Понятие дифференциала функции:
Известно, что если функция 
, дифференцируема в некоторой точке 
, то ее приращение в этой точке может быть представлено в виде
где функция 
такова, что
Слагаемое 
является линейной функцией от 
, а слагаемое есть бесконечно малая более высокого порядка, чем бесконечно малая . Поэтому говорят, что величина : составляет главную часть приращения функции 
в точке 
.
Определение:
Дифференциалом функции 
в точке 
называется линейная относительно 
функция 
составляющая главную часть приращения функции в точке .
Дифференциал функции обозначается 
(«де эф от икс нулевое) или 
(«де игрек»)»
Таким образом,
или
Пример:
Найти дифференциал функции 
.
Решение:
По формуле (3) имеем:
Итак, дифференциал 
независимого переменного 
совпадает с его приращением 
. Поэтому равенство (3) можно записать в виде
Пример:
Найти дифференциал сложной функции 
.
Решение:
По формуле (4) находим:
Но — 
поэтому,
Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент данной функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала сложной функции называется инвариантностью формы дифференциала.
Пример:
Найти дифференциал функции
Решение:
По формуле (4) находим:
Геометрический смысл дифференциала
Пусть 
— дифференцируемая в точке функция, график которой изображен на рис. 74, 
— касательная к графику функции 
в точке 
с абсциссой . Рассмотрим ординату этой касательной, соответствующую абсциссе 
.
Из прямоугольного треугольника 
находим 
. По этому
Таким образом, дифференциал функции 
в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику этой функции в точке 
, соответствующему приращению ее абсциссы 
.
Можно показать, что этот вывод не зависит от расположения графика функции и касательной на координатной плоскости.
Дифференциал может быть как меньше приращения функции (см. рис. 74), так и больше (рис. 75). Однако при достаточно малых приращениях можно
принять 
. Этот вывод следует и из равенств (1) и (2) предыдущего параграфа.
Вычисление дифференциала
Мы установили, что дифференциал функции 
имеет форму
т. е. дифференциал функции 
равен произвелдению производной этой функции на дифференциал ее аргумента.
По формуле (1) можно вычислить дифференциал любой дифференцируемой функции. Так, например;
Аналогично, каждой из основных формул дифференцирования можно сопоставить соответствующую формулу для вычисления дифференциала.
Пример:
Найти дифференциал функции
Решение:
По формуле (1) находим: 
Пример:
Найти дифференциал функции
Решение:
Находим: 
Дифференциалы высших порядков
Из формулы 
следует, что дифференциал функции 
зависит от двух переменных, 
, причем 
не зависит.
Рассмотрим дифференциал 
только как функцию от , т. е. будем считать 
постоянным. В этом случае можно найти дифференциал этой функции.
Дифференциал от дифференциала функции 
называется дифференциалом второго порядка, или вторым дифференциалом этой функции и обозначается 
(«де два игрек») или 
(«де два эф от икс»).
Таким образом, 
Принято скобки при степенях 
не писать, поэтому
Аналогично определяются дифференциалы третьего порядка:
Вообще, дифференциалом п-го порядка называется дифференциал от дифференциала 
порядка:
Таким образом, для нахождения дифференциала п—го порядка функции нужно найти производную п-го порядка от этой функции и полученный результат умножить на 
.
Пример:
Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядка функции
Решение:
Находим соответствующие производные
от данной функции:
Следовательно,
Приложение дифференциала приближенным вычислениям
Рассмотрим функцию 
, приращение которой
и дифференциал
Выше (§ 2) было установлено, что при достаточно малых 
— имеем
Так как вычислять 
значительно проще, чем 
, то на практике формулу (3) применяют к различным приближенным вычислениям.
Вычисление приближенного значения приращения функции
Пример:
Найти приближенное значение приращения функции 
.
Решение:
Применив формулу (3), получим:
Посмотрим, какую погрешность мы допустили, вычислив дифференциал данной функции вместо ее приращения. Для этого найдем истинное значение приращения:
Далее, находим абсолютную погрешность приближения:
а затем и относительную погрешность:
Погрешность приближения оказалась довольно малой, что еще раз подтверждает целесообразность применения формулы (3).
Вычисление приближенного числового значения функции
Из формулы (1) имеем
или
Пример:
Найти приближенное значение функции 
Решение:
Представим в виде суммы 
Приняв 
найдем 
Следовательно,
Приближенное вычисление степеней
Рассмотрим функцию 
Применив формулу (4), получим
или
По этой формуле наводят приближенное значение степеней.
Пример:
Найти приближенное значение степени 
.
Решение:
Представим данную степень в виде 
. Приняв 
по формуле
(5) найдем: 
Приближенное извлечение корней
При 
и 
формула (5) примет вид
или
Формула (6), известная и по школьному курсу, дает возможность найти приближенные значения различных корней.
Пример:
Найти приближенное значение корня 
Решение:
Представим данный корень в виде 
Приняв 
по формуле (6) найдем:
Дополнение к дифференциалу
Смотрите также:
Предмет высшая математика
Понятие о дифференциале в высшей математике
Сравнение бесконечно малых величин между собой
I. Мы рассмотрели действия над бесконечно малыми величинами и показали, что в результате сложения, вычитания и умножения их получаются также бесконечно малые величины. Однако частное от деления двух бесконечно малых друг на друга может быть не только бесконечно малой величиной, но и бесконечно большой и конечной.
В самом деле, пусть, например, а — бесконечно малая, тогда 
и 2а будут также бесконечно малыми. При делении их друг на друга возможны следующие случаи:
1) отношение
— бесконечно малая величина,
2) отношение 
— бесконечно большая величина,
3) отношение 
— конечная величина.
Первое отношение показывает, что бесконечно малая составляет ничтожно малую часть от а и, следовательно, стремится к нулю значительно быстрее, чем а.
Второе отношение указывает на то, что а, неограниченно уменьшаясь, остается значительно больше, чем , т. е. стремится к нулю медленнее величины .
Сказанное можно иллюстрировать следующей таблицей:
Принято бесконечно малую по отношению к а называть бесконечно малой высшего порядка, а а по отношению к — бесконечно малой низшего порядка.
Что касается третьего отношения, то из него следует, что бесконечно малые 2а и а стремятся к нулю с одинаковой скоростью, так как при их изменении отношение 
остается постоянным. Такие бесконечно малые имеют, как говорят, одинаковый порядок малости.
Таким образом, частное от деления двух бесконечно малых величин позволяет сравнивать их между собой. Это сравнение особенно полезно в приближенных вычислениях, где отбрасывание бесконечно малых высшего порядка приводит к значительному упрощению вычислений.
II. Возьмем функцию 
; ее приращение
Множитель при 
есть производная данной функции, а потому последнее равенство можно переписать так:
Сравним изменение величины обоих слагаемых правой части равенства (I) с уменьшением . Положив, например,
х = 2 и, следовательно, у’ = 4, составим следующую таблицу значений этих слагаемых:
Как видно из таблицы, слагаемые у’ и 
уменьшаются с уменьшением , причем первое пропорционально , второе же значительно быстрее.
Покажем, что то же самое справедливо для любой дифференцируемой функции f(x).
Пусть дана функция у = f(х). Ее производная
Согласно определению предела переменной имеем:
где а—бесконечно малая величина при 
. Отсюда
И здесь при уменьшении первое слагаемое у’ уменьшается пропорционально второе же слагаемое а уменьшается быстрее, так как отношение 
—бесконечно
малая величина при 
, т. е. по отношению к у’ величина а — бесконечно малая высшего порядка. Поэтому выражение у’ называют главной частью приращения функции у = f(х).
Определение:
Главная часть у’ приращения функции у = f(х) называется дифференциалом функции.
Дифференциал функции у = f(х) принято обозначать символом dу. Таким образом
Дифференциал аргумента dх принимают равным приращению аргумента т. е.
Поэтому равенство (3) можно переписать в следующем виде:
т. е. дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента. Из формулы (4) следует:
Равенство (5) показывает, что производная функции есть отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента. На этом основании производную функции часто выражают в виде 
и читают: «дэ игрек по дэ икс».
III. Заменив в равенстве (2)
символом dу, напишем:
Как было показано выше, 
— бесконечно малая высшего порядка по отношению к 
а потому, отбросив в равенстве (6) слагаемое 
, получим:
В практических вопросах часто используют формулу (7), т. е. берут дифференциал функции вместо ее приращения, делая при этом незначительную ошибку и тем меньшую, чем меньше .
Примечание:
В случае линейной функции 
. В самом деле, для функции 
приращение будет:
Множитель 
есть производная линейной функции; поэтому правая часть последнего равенства выражает дифференциал данной функции, т. е.
Итак, в случае линейной функции
Геометрическое изображение дифференциала
Возьмем функцию у = f(x), график которой изображен на рис. 104.
Пусть абсцисса точки М
тогда ордината ее
Дадим аргументу х приращение 
и восставим в точке Р1 перпендикуляр Р1М1 к оси Ох, а из точки М проведем 
. Тогда, как известно,
Проведем в точке М касательную к кривой; полученный при этом отрезок QN, равный приращению ординаты точки М, движущейся по касательной, называется приращением ординаты касательной. Из прямоугольного треугольника МQN имеем:
Но
а, согласно геометрическому смыслу производной,
Поэтому
Но
Следовательно,
Таким образом, если в точке М кривой у = f(х) провести касательную, то дифференциал функции у = f(х) в этой
точке изобразится приращением ординаты касательной, соответствующим приращению ее абсциссы на dx.
Дифференциал функции в данной точке может быть как меньше приращения ее (рис. 104), так и больше (рис. 105).
Дифференциал второго порядка
Дифференциал dy функции у = f(x), называемый первым дифференциалом или дифференциалом первого порядка, представляет собой также функцию x, а потому и от него можно найти дифференциал, который называют вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка. В этом случае пишут d(dy) или короче 
и читают: «дэ два игрек».
Найдем выражение дифференциала второго порядка от функции через ее производную. Для этого продифференцируем по х равенство.
считая dx постоянным множителем (так как dx не зависит от х):
Но согласно формуле (4)
Поэтому
т. е. дифференциал второго порядка равен произведению второй производной функции на квадрат дифференциала аргумента.
Из равенства (1) следует
Это дает основание для выражения второй производной
функции в виде отношения 
которое читают так: «дэ дна игрек по дэ икс квадрат».
Приложение дифференциала к приближенным вычислениям
Рассмотрим несколько примеров использования дифференциала в приближенных вычислениях.
а) Определение приращения функции.
Пример:
Найти приближенно приращение функции
при х = 2 и = 0,001.
Решение:
Так как приращение аргумента — величина малая, то согласно формуле (7) можем приращение функции заменить ее дифференциалом.
Дифференциал же данной функции
Заменив в равенстве (1) х и dх их значениями, получим:
Следовательно,
Посмотрим, какую ошибку мы делаем, беря дифференциал вместо приращения. Для этого найдем точное значение приращения функции:
Сравнивая полученное точное значение 
с приближенным, видим, что допущенная ошибка равна 0,000002. Выражая ее в процентах, найдем:
Ошибка оказалась очень малой.
Пример:
Шар радиуса R = 20 см был нагрет, отчего радиус его удлинился на 0,01 см. Насколько увеличился при этом объем шара?
Решение:
Объем шара определяется по формуле
Каждому значению R по закону, заданному этой формулой, отвечает одно определенное значение v, т. е. v есть функция от R. Следовательно, наша задача сводится к определению приращения функции v при заданном приращении аргумента R. Так как приращение аргумента мало
то мы можем приращение функции заменить ее дифференциалом.
Находим дифференциал функции v.
Но
Поэтому
б) Нахождение числового значения функции. Пусть требуется найти приближенное значение функции
при x1 = 2,001, т. е. найти величину f(2,001). Представим х1 в виде суммы
где 0,001 будем рассматривать как приращение аргумента. Из формулы для приращения функций
найдем:
Полагая малой величиной, можем заменить величиной dу; тогда последнее равенство перепишется в виде
Применив равенство (2) к данному примеру, можем написать:
По
Поэтому
Равенство (2) может служить формулой для приближенного вычисления значения функции.
в) Вычисление по приближенным формулам. Пользуясь формулой (2), выведем приближенные формулы для вычисления некоторых выражений. 1) Возьмем функцию
и положим, что угол х, равный нулю, получает весьма малое приращение а. Применим формулу (2), полагая в ней х = 0 и dx = а. Получим:
Но
и
Поэтому
или
Отсюда следует, что синус очень малого угла приближенно равен самому углу; при этом нужно помнить, что угол должен быть выражен в радианной мере. Так, например, sin 0,003 
0,003. В самом деле, выразив данный угол в градусной мере, найдем:
а
2) Возьмем функцию 
и положим, что х, равный 1, получает весьма малое по сравнению с единицей приращение 
. Тогда согласно формуле (2) имеем:
Но
и
Поэтому
или
Точно так же можно вывести равенство
По формулам (3) и (4) можно быстро найти приближенную степень числа, близкого к единице; например:
3) Выведем формулу для приближенного вычисления выражения 
где а имеет малое значение по сравнению с единицей. Для этого представим в виде степени
Но по формуле (3)
или
Аналогично выводится формула
По формулам (5) и (6) можно легко найти приближенное значение корня из числа, близкого к единице; например:
Кривизна кривой
Пусть дана кривая, определяемая уравнением у = f(х) (рис. 106).
Возьмем на ней две точки А и В и проведем в них касательные к кривой. При переходе от точки А к точке В касательная меняет угол наклона к положительному направлению оси абсцисс на некоторую величину. Если обозначим угол наклона касательной в точке А к оси Ох через а, то угол наклона касательной в точке В к той же оси, получив приращение 
, будет равен а + , а угол между самими касательными, как видно из рисежа, будет . Величину можно рассматривать как угол отклонения касательной от первоначального ее положения.
Разделив на длину дуги АВ = 
, получим среднюю величину угла отклонения, приходящегося на единицу длины дуги. Отношение 
называется средней кривизной кривой на ее участке АВ.
Средняя кривизна кривой на разных ее участках может быть различной.
Допустим теперь, что точка В, двигаясь по кривой, неограниченно приближается к точке А и уменьшается, стремясь к нулю; тогда предел отношения будет определять кривизну кривой в точке А. Обозначив кривизну кривой в точке буквой К, будем иметь:
Определение:
Кривизной кривой в данной ее точке А называется предел, к которому стремится средняя кривизна дуги АВ при неограниченном приближении точки В к А.
Согласно определению производной
поэтому
Преобразуем правую часть этого равенства, выразив dа. и ds через производные данной функции у =f(x).
Согласно геометрическому смыслу производной имеем
где а — угол наклона касательной к кривой у =f(х) в точке А к положительному направлению оси абсцисс (рис. 106); отсюда
В этом равенстве аrctg у’ — функция от функции, так как аrctg у’ зависит от у’, a у’ зависит от х. Продифференцируем последнее равенство по аргументу х; получим:
отсюда
Найдем выражение ds через производную функции у =f(x). Для этого возьмем снова тот же участок АВ кривой (рис. 107).
Будем рассматривать длину АВ как приращение дуги 
, соответствующее приращениям PQ = и RB = . Если достаточно мало, то отрезок дуги АВ можно считать прямолинейным; в этом случае, применяя теорему Пифагора, получим:
или
Разделив обе части равенства на
, найдем:
отсюда
Положим, что 
тогда
Применяя теоремы о пределе корня, суммы и степени , получим:
Но
поэтому равенство (3) примет вид
откуда
Подставив значение da и ds в выражение (1), получим:
Формула (5) позволяет найти кривизну кривой, определяемой уравнением у = f(x), в любой ее точке.
Кривизна окружности
Кривизну окружности можно определить по формуле (5) , но гораздо проще ее найти из следующих рассуждений.
Проведем касательные в двух точках А и В окружности (рис. 108).
Обозначив дугу АВ через , найдем среднюю кривизну
на этом участке; она выразится дробью 
. Проведя радиусы в точки касания, получим:
так как углы АО1В и образованы взаимно перпендикулярными прямыми. Но, как известно, угол в радиаyной мере измеряется отношением длины дуги к радиусу; следовательно,
откуда
Ясно, что такой же вывод мы получим, взяв другой какой-либо участок окружности. Следовательно,
для любой точки окружности, т. е. кривизна окружности постоянна во всех ее точках и равна обратной величине ее радиуса.
Радиус кривизны кривой
При изучении кривизны кривой подбирают такую окружность, кривизна которой равна кривизне кривой в той или иной ее точке. Центр этой окружнoсти называется центром кривизны кривой в соответствующей точке, радиус—радиусом кривизны кривой в этой точке, а сама окружность— окружностью кривизны (рис. 109).
Определение:
Окружностью кривизны в точке М кривой называется окружность, проходящая через точку М и имеющая с кривой одинаковую кривизну и общую касательную.
Заметим, что центр окружности кривизны всегда располагается со стороны вогнутости кривой.
Кривизна окружности, как мы знаем,
отсюда
Следовательно, и радиус кривизны кривой в точке ее определяется тем же равенством.
Заменив К его значением, взятым из равенства (5) , получим формулу для определения радиуса кривизны кривой в любой ее точке:
Применяя эту формулу к прямой линии, заданной, например уравнением 
получим:
так как 
Это значит, что прямую линию можно рассматривать как окружность бесконечно большого радиуса.
Пример:
Найти радиус кривизны кривой 
в точке, абсцисса которой равна 
Решение:
Найдем сначала первую и вторую производные функции для точки с абсциссой 
Подставив значения у’ и у» в формулу (1), получим:
Как найти дифференциал — подробная инструкция
Бесконечно малые величины
Бесконечно малые величины 
В этом параграфе чаще всего независимое переменное будем обозначать через h.
Определение:
Бесконечно малой величиной вблизи h = a называется функция, зависящая от h и имеющая предел, равный нулю при условии, что независимое переменное стремится к а.
Например, 
является бесконечно малой величиной при условии, что h стремится к 3; sinh и tgh являются бесконечно малыми при условии, что h стремится к нулю.
Бесконечно малые величины при условии, что независимое переменное стремится к нулю, будем называть «бесконечно малыми», не указывая, а только подразумевая условие 
. Таким образом, будем говорить, что sinh , tgh , 
являются «бесконечно малыми», а не бесконечно малыми при условии .
Приведем примеры геометрического и физического содержания.
Пример:
Площадь S прямоугольника со сторонами х и h является бесконечно малой при любых х, так как
Пример:
Объема прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 3, 2 и 2h, является бесконечно малым, так как
Пример:
Объем v прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны h, 2h и 5h, является бесконечно малым, так как
Пример:
По закону Ома v = Ri, где v — напряжение, R — сопротивление и i — ток. Отсюда следует, что при постоянном сопротивлении напряжение является бесконечно малым относительно тока, так как
Пусть дана бесконечно малая величина а (h), т. е.
Рассмотрим предел отношения
Если этот предел существует и равен нулю, то бесконечно малая величина a (h) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем h.
Если предел равен конечному числу 
то бесконечно малые a (h) и h называются величинами одного порядка; если l =1, то a(h) и h называются эквивалентными бесконечно малыми.
Этот предел может зависеть от других переменных, отличных от h.
Пример:
Пусть 
Это бесконечно малая величина порядка более высокого, чем h, так как
Пример:
Пусть а(h) = sin 2h; а(h) — бесконечно малая того же порядка, что и h , поскольку
Пример:
а (h) = sin h —бесконечно малая, эквивалентная h , так как
Пример:
a( h ) = l — cos h . Так как
то 1—cos h есть бесконечно малая более высокого порядка, чем h .
В заключение параграфа рассмотрим функцию y = f(x). Пусть приращение независимого переменного равно А, тогда приращение функции равно
Так как приращение h независимого переменного х не зависит от величины х, то для вычисления 
нужно задать величину х и величину h , т. е. приращение функции одного переменного является функцией двух независимых переменных х и h .
Пример:
Пусть дана функция 
Ее приращение равно
Если x = 3, а h =1, то
Если же x = 0 и по-прежнему h =1, то
Здесь h сохраняет значение 1, но, поскольку х меняется, изменяется и .
Если x = 2, а h = 1, то
Если же x = 2, а h = 0,5, то
Здесь х сохраняет значение 2, но h меняется, поэтому меняется и .
Если f(х)—функция непрерывная, то, по определению, ее приращение стремится к нулю при условии, что приращение h независимого переменного х стремится к нулю. Поэтому, используя введенное понятие бесконечно малой величины, можно сказать, что приращение непрерывной функции есть величина бесконечно малая относительно приращения независимого переменного.
Дифференциал
Пусть дана непрерывная функция у = f(х), имеющая производную. Тогда, по определению производной,
Поэтому, если в правой части откинем знак предела, то получим ошибку, величина которой зависит и от x и от h. Обозначим эту ошибку через а( x , h ). Тогда вместо равенства (1) можно написать
Про ошибку а( x , h ) мы знаем, что
Это следует из равенства (1). Значит, ошибка а( x , h ) является бесконечно малой относительно приращения h независимого переменного.
Если умножим обе части равенства (2) на h , то получим
или
В левой части равенства (4) стоит приращение функции , а в правой части—два члена: 
(x)h и а(x , h)h . Оценим порядок малости этих членов:
Очевидно, что первый член
одного порядка с h , т. е. является линейным относительно h , а второй член а(x , h)h является бесконечно малой величиной более высокого порядка относительно h .
Из равенства (4) получаем, что приращение функции с точностью до бесконечно малой высшего порядка равно f'(х)h ; это выражение называется дифференциалом функции.
Определение. Дифференциал есть та часть при-ращения функции , которая линейна относительно h . Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной на приращение независимого переменного.
Дифференциал функции обозначают или dy, или df(x), так что
Для симметрии записей вводится определение дифференциала независимого переменного.
Определение:
Дифференциалом независимого переменного называется его приращение.
Дифференциал независимого переменного обозначается dx, так что имеем
Операция нахождения дифференциала называется дифференцированием.
Пример:
Найдем дифференциал функции у = sin х. Так как (sin х)’ = cos х, то dy = dsin х = cos х • h = cos xdx.
Пример:
Вычислим значение дифференциала функции 
,если x = 2 и dx = h = 0,1 .
Так как
Подставляя сюда вместо х его значение 2, а вместо dx его значение 0,1, получим
Из определения дифференциала функции следует, что дифференциал функции одного переменного является функцией двух переменных. Из формул (5) и (6) следует, что
Таким образом, производная равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.
С этого момента для обозначения производной будем пользоваться и знаком ( )’ и отношением дифференциалов.
Таблица дифференциал
Применение к приближенным вычислениям
Перепишем формулу (4) § 2 в следующем виде:
и для начала посмотрим на примере, как будут выглядеть отдельные ее члены при некоторых числовых значениях х и h.
Пример:
Пусть 
Положим x = 2 и h = 0,01. Применяя формулу куба суммы, получаем
С другой стороны, применяя формулу (1) и зная, что
получим
Сравнивая формулы (*) и (**), видим, что в левых частях стоит одно и то же, в правых же частях совпадают первые два члена, следовательно, третий член в формуле (**) равен двум последним членам в формуле (*), т. е.
Вычислим все члены, встречающиеся в этом примере, при указанных числовых значениях х и h:
Если бы мы захотели вычислить 
не точно, а приближенно с точностью до 0,01, то член а (x, h)h = 0,000601 никакого значения бы не имел, т. е. его можно было бы просто откинуть.
Аналогично в общем случае формулу (1) заменяют приближенной формулой, откидывая бесконечно малую высшего порядка, т. е. член а (x, h)h . Тогда получается приближенная формула
(знак 
обозначает приближенное равенство). Эту формулу имеет смысл употреблять только при малых значениях величины h, так как в противном случае ошибка может оказаться очень большой.
Приведем примеры применения формулы (2).
Пример:
Выведем приближенную формулу для вычисления кубического корня. Возьмем 
тогда 
Применяя формулу (2), получаем
Если положить 
, то полученному результату можно придать следующий вид:
Отсюда видно, что если нам известен кубический корень из числа, то для близких чисел можно с удобством воспользоваться выведенной формулой. Например, зная, что 
вычисляем 
Здесь z = 10, h = 3, поэтому получаем
Сделаем проверку, возведя 10,01 в куб. Видим, что вместо 1003 получили число 1003,003001, т. е. ошибка меньше 0,005.
Пример:
Выведем приближенную формулу для вычисления тангенсов малых углов. Так как
то применяя формулу (2), получаем
Зная, что tg 0 = 0 и cos 0=1, и полагая в предыдущей формуле x = 0, найдем
Напоминаем, что здесь h есть радианная мера угла. Например, вычислим tg3°. Переведем сначала градусную меру угла в радианную:
тогда
Дифференциал площади криволинейной трапеции
Определение:
Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная с трех сторон прямыми, а с четвертой стороны кривой. При этом две прямые параллельны между собой и перпендикулярны третьей, а кривая пересекается с любой прямой, параллельной боковым сторонам, в одной точке.
Не исключается случай, когда одна или обе боковые стороны обращаются в точку. На рис. 69, 70, 71 изображены криволинейные трапеции.
Все плоские фигуры, с которыми нам придется встречаться, могут быть представлены как совокупность криволинейных трапеций. Например, на рис. 72 фигура разбита на четыре криволинейные трапеции.
Конечная наша цель — определить площадь криволинейной трапеции, но пока эту задачу мы еще не можем решить. Однако мы сумеем найти дифференциал площади криволинейной трапеции. Решим эту задачу, предполагая, что трапеция расположена определенным образом.
Пусть дана криволинейная трапеция АВСD, ограниченная осью Ох, двумя прямыми, перпендикулярными этой оси, и кривой, заданной уравнением у=f(х) (рис. 73).
Будем считать, что прямая АВ неподвижна в процессе всех рассуждений, т. е. абсцисса точки А есть постоянная величина. «Прямую же СD будем двигать, т. е. абсцисса точки D будет переменной. Обозначим ее через х.
Ясно, что площадь криволинейной трапеции АВСD будет изменяться в зависимости от величины х, значит, площадь есть функция х. Обозначим ее F(х). Этой функции мы не знаем, но несмотря на это найдем ее дифференциал.
Дадим х приращение h = DК, тогда площадь F(x) получит приращение
( х ) (это приращение на рис. 73 заштриховано).
При изменении независимого переменного от величины х до х + h (от точки D) до точки К) функция f(х), т. е. ордината точки, лежащей на кривой, также изменяется и при этом достигает наибольшего значения М и наименьшего значения т. На рис. 73 QR = М и NР= т.
Рассмотрим прямоугольник с основанием DК и высотой QR = М , его площадь равна Т1= Мh. Прямоугольнике тем же основанием DK = h и высотой NР = т имеет площадь, равную T2 = тh.
Очевидно, что площадь второго прямоугольника Т2 меньше площади T1 первого на величину (М— т)h . Также очевидно, что площадь второго прямоугольника меньше приращения (x), а площадь первого больше этого приращения, так что
Следовательно, приращение отличается и от площади первого, и от площади второго прямоугольника на величину, меньшую чем (М— т)h .
Обозначим разность между приращением и площадью Т2 через со, тогда
Величина 
меняется вместе с h и всегда меньше (М— т)h . Обозначим через 
) разность между площадью Т1 и приращением , получим:
Остановимся на формуле (1) и проследим, как меняются ее члены при стремлении h к нулю.
Предварительно заметим, что, во-первых, всегда, т. е. при любых значениях x,
и, во-вторых, если , то точка К приближается к точке D. Точка N, абсциссу которой обозначим через 
, заключена между D и К, поэтому при точка N также приближается к точке D, следовательно,
Функция f(х) предполагается непрерывной. В силу свойств непрерывной функции (см. гл. VI, § 6) находим
а это значит, что можно записать (см. начало § 2 этой главы)
где а—бесконечно малая относительно h. Также можно заключить, что
где 
—бесконечно малая относительно h.
Исследуем порядок малости членов, стоящих в правой части равенства (1). Для этого найдем следующие пределы:
Первый предел находим непосредственно [применяя (3)]:
Чтобы найти второй предел, найдем сначала [используя (4) и (5)]
Так как удовлетворяет неравенству (2), то
а в силу равенства (7)
Таким образом, установлено, что и mh и являются бесконечно малыми. Кроме того, член со есть бесконечно малая высшего порядка относительно h.
Учитывая все эти рассуждения и применяя равенство (4), можно переписать равенство (1) в виде
В правой части равенства (8) стоят три члена. Каждый из них является бесконечно малым относительно h первый из них линеен относительно h, а два других имеют высший порядок малости.
Применяя результаты § 2, заключаем, что приращение площади криволинейной трапеции равно f(x)h плюс величина высшего порядка относительно h , а поэтому дифференциал площади криволинейной трапеции равен f(x)h , т. е.
Этим результатом мы воспользуемся в следующих главах.
Пример:
Найдем дифференциал площади F криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой, заданной уравнением , прямой x =1 и подвижной прямой, параллельной оси Оу.
Применяя только что полученный результат, будем иметь
Пример:
Найти производную от площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой, заданной уравнением у = sin x, прямой х = 2 и подвижной прямой, параллельной оси Оу.
Находим дифференциал этой площади: dF = sin x dx, а следовательно и производную:
Применение дифференциала к различным задачам
Рассуждения не только приводят к понятию дифференциала, но в некоторых случаях позволяют найти производную. Предположим, что приращение некоторой функции представлено в виде
где 
(x) не зависит от h, и
Тогда
откуда
т. е. (x)—производная заданной функции.
Пример:
Найти производную от функции f(x), определенной геометрически как объем, ограниченный:
1) поверхностью Р, полученной от вращения вокруг оси Ох дуги ОА, принадлежащей параболе ;
2) плоскостью П1, перпендикулярной оси Ох и отстоящей от начала координат на расстояние х (рис. 74).
Ясно, что объем зависит от величины х, т. е. является функцией х .
Возьмем произвольное число х. Соответствующее значение функции f(х) будет определяться объемом, ограниченным поверхностью Р и плоскостью П1 . Дадим х приращение h. Объем, т. е. функция f(x), в связи с этим получит приращение 
. Это приращение показано на рис. 75 и отдельно на рис. 76: оно ограничено поверхностью Р и плоскостями П1 и П2. Плоскости П1 и П2 пересекаются с поверхностью Р по окружностям (так как Р—поверхность вращения). Обозначим эти окружности К1 и К2.
Рассмотрим два цилиндра: первый из них имеет основанием К1, образующую, параллельную оси Ох, и высоту h, второй имеет основанием К2 и образующую, также параллельную оси Ох (рис. 77).
Объем первого цилиндра обозначим через W1 второго — через W2 . Из чертежей ясно, что приращение функции больше объема W1 и меньше объема W2 т. е.
Но oбъемы W1 и W2 легко подсчитать:
Разность объемов W1 и W2 (т. е. объем цилиндрического кольца) равна
Приращение (х) отличается от W1 на некоторую часть разности W2 — W1 поэтому
где
— некоторое положительное число, меньшее единицы. Так как
то член 
—стоящий в правой части равенства (**), является бесконечно малой высшего порядка малости относительно h. Поэтому равенство (**) является частным случаем равенства (*). Следовательно, вывод, который был сделан в начале параграфа, может быть перенесен и на равенство (*), т. е. производная от функции f(х) равна 
.
В этом примере следует обратить внимание на то, что функция f(х) была определена чисто геометрически, нам не была известна формула, определяющая эту функцию, однако производную мы нашли.
Пример:
Рассмотрим цилиндрическую трубу, у которой радиус внешней поверхности R, радиус внутренней поверхности r, высота H. Найдем объем V материала, из которого сделана эта труба (рис. 78).
Будем называть этот объем объемом цилиндрического слоя. Поскольку объем внешнего цилиндра равен 
, а объем внутреннего равен
, то объем цилиндрического слоя равен
или
Если стенка трубы тонкая, то r и R мало отличаются друг от друга. Обозначим их разность через h (h = R — r). Тогда формула (*) примет вид
или
Второй член, стоящий в правой части равенства (*), второго порядка относительно h. Поэтому при член 
становится бесконечно малой высшего порядка. Отбрасывая его, мы получим приближенную формулу для подсчета объема тонкого цилиндрического слоя:
Интересно отметить еще один способ получения этой формулы (рис. 79).
Если разрезать трубку вдоль ее образующей и развернуть на плоскость, то получим «почти» прямоугольный параллелепипед с измерениями 
, h и H. Его объем равен Hh , т. е. как раз тому, что дает формула (***).
Решение заданий и задач по предметам:
- Математика
- Высшая математика
- Математический анализ
- Линейная алгебра
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат
Применение производной к приближенным вычислениям
- Определение и геометрический смысл дифференциала
- Алгоритм приближенных вычислений с помощью дифференциала
- Приближение с точностью до квадрата приращения
- Полезные формулы приближений для функций вблизи нуля
- Примеры
п.1. Определение и геометрический смысл дифференциала
Дифференциал функции (y=f(x)) – это главная, линейная часть приращения функции, равная произведению производной на приращение аргумента: $$ dy=f'(x_0)triangle x $$
Выберем на кривой (y=f(x)) начальную точку (A(x_0,y_0)). Если мы начнем перемещаться к точке (B(x,y)), то приращению аргумента (triangle x=AC) соответствует приращение функции (triangle y=BC). Если считать, что кривая приблизительно совпадает со своей касательной при малых приращениях (triangle x), то (BCapprox MC) и (triangle yapprox dy).
Геометрический смысл дифференциала — замена приращения функции (triangle y) на линейное приращение по касательной (dy: triangle yapprox dy=f'(x_0 )triangle x)
Чем меньше (triangle x), тем ближе дифференциал к полному приращению функции: $$ triangle yrightarrow dy, triangle xrightarrow 0 $$
п.2. Алгоритм приближенных вычислений с помощью дифференциала
На входе: функция (y=f(x)), точка x*, в которой нужно посчитать значение функции
Шаг 1. Определяем ближайшую к x* начальную точку (x_0), для которой значение (y_0=f(x_0)) известно или легко находится.
Шаг 2. Находим выражение для первой производной (f'(x)).
Шаг 3. Находим значение производной в начальной точке (f'(x_0))
Шаг 4. Находим линейное приближение значения функции $$ y^*approx f(x_0)+f'(x_0)(x^*-x_0) $$ На выходе: значение y*
Например:
1) Найдем значение корня (sqrt{65})
Функция (y=sqrt{x}, x^*=65)
Начальная точка (x_0=64). Начальное значение функции (y_0=sqrt{64}=8)
Производная: (f'(x)=frac{1}{2sqrt{x}})
Производная в начальной точке: (f'(x_0)=frac{1}{2sqrt{64}}=frac{1}{16})
Подставляем: (y^*=sqrt{65}approx 8+frac{1}{16}(65-64)=8+frac{1}{16}=8,0625)
Оценим относительную ошибку для полученного результата.
Значение, полученное на калькуляторе: (sqrt{65}approx 8,062258). Откуда: $$ partial=frac{|8,062258|}{8,062258}cdot 100text{%}approx 0,003text{%} $$ Таким образом, в данном случае линейное приближение имеет высокую точность, т.к. для (x_0=64) и (x^*=65) кривая (y=sqrt{x}) очень близка к прямой, т.е. своей касательной.
2) Найдем значение корня (sqrt{5})
Пусть начальная точка (x_0=4). Начальное значение функции (y_0=sqrt{4}=2)
Производная в начальной точке: (f'(x_0)=frac{1}{2sqrt{4}}=frac14)
(y^*=sqrt{5}approx 2+frac14 (5-4)=2,25)
Значение, полученное на калькуляторе: (sqrt{5}approx 2,23607) $$ partial=frac{|2,23607-2,25|}{2,23607}cdot 100text{%}approx 0,06text{%} $$ Точность стала хуже. Однако, её можно повысить, если взять (x_0=4,84).
3) Найдем (sqrt{5}) при (x_0=4,84).
(y_0=sqrt{4,84} =2,2)
Производная в начальной точке: (f'(x_0 )=frac{1}{2cdot 2,2}=frac{1}{4,4})
(y^*=sqrt{5}approx 2,2+frac{1}{4,4}(5-4,84)=2,2+frac{0,16}{4,4}=2,2+frac{2}{55}=2,23636…)
Значение (sqrt{5}approx 2,23607) $$ partial=frac{|2,23607-2,23636|}{2,23607}cdot 100text{%}approx 0,01text{%} $$ Точность повысилась.
Вывод: точку (x_0) следует выбирать, исходя из поведения функции (y=f(x)) в окрестности (x^*). Чем ближе (x_0) к (x^*) и чем ближе кривая к касательной, тем точнее будет линейное приближение с помощью дифференциала.
п.3. Приближение с точностью до квадрата приращения
Значение функции в зависимости от приращения (triangle x=x^*-x_0) с точностью до квадратичного слагаемого определяется формулой: $$ y^*approx f(x_0)+f'(x_0)(x^*-x_0)+frac{f»(x_0)}{2}(x^*-x_0)^2 $$
Например:
1) Найдем квадратичное слагаемое для (x^*=65, x_0=64, y=sqrt{x})
Вторая производная: (f»(x)=left(frac{1}{2sqrt{x}}right)’=frac12cdotleft(-frac12right)cdotfrac{1}{xsqrt{x}}=-frac{1}{4xsqrt{x}}) $$ frac{f»(x_0)}{2}(x^*-x_0)^2=-frac{(65-64)^2}{2cdot 4cdot 64cdot 8}=-frac{1}{4096}approx -0,0002 $$ Значит, квадратичное слагаемое дает поправку в 4-м знаке.
Используя полученное выше линейное приближение, получаем: $$ y^*=sqrt{65}approx 8,0625-0,0002=8,0623approx 8,062 $$ Квадратичное слагаемое указывает, что округлить результат нужно до 3-го знака после запятой.
2) Найдем квадратичное слагаемое для (x^*=5, x_0=4, y=sqrt{x}) $$ frac{f»(x_0)}{2}(x^*-x_0)^2=-frac{(5-4)^2}{2cdot 4cdot 4cdot 2}=-frac{1}{64}approx -0,02 $$ Получаем: $$ y^*=sqrt{5}approx 2,25-0,02=2,23approx 2,2 $$ Квадратичное слагаемое указывает, что округлить результат нужно до 1-го знака после запятой.
3) Найдем квадратичное слагаемое для (x^*=5, x_0=4,84, y=sqrt{x}) $$ frac{f»(x_0)}{2}(x^*-x_0)^2=-frac{(5-4,84)^2}{2cdot 4cdot 4,84cdot 2,2}=-frac{0,0256}{85,184}approx -0,0003 $$ Получаем: $$ y^*=sqrt{5}approx 2,2367-0,0003=2,2364approx 2,236 $$ Квадратичное слагаемое указывает, что округлить результат нужно до 3-го знака после запятой.
п.4. Полезные формулы приближений для функций вблизи нуля
Рассмотрим свойства приближений некоторых функций при (x_0=0) и (triangle x=xrightarrow 0).
В разложении ограничимся слагаемым (y(0)) и линейным приближением. Только если линейное приближение равно 0, будем учитывать слагаемое квадратичного приближения.
1) (y=sinx)
(y’=cosx, y»=-sinx)
(y(0)=0, y'(0)=1, y»(0)=0)
(sinxapprox 0+1cdot x-frac02cdot x^2approx x)
2) (y=cosx)
(y’=-sinx, y»=-cosx)
(y(0)=1, y'(0)=0, y»(0)=-1)
(cosxapprox 1+0cdot x-frac12cdot x^2=1-frac{x^2}{2})
3) (y=tgx)
(y’=frac{1}{cos^2x}, y»=-frac{2cosxcdot(-sinx)}{cos^4x}=frac{2sinx}{cos^3x})
(y(0)=0, y'(0)=1, y»(0)=0)
(tgxapprox 0+1cdot x-frac02cdot x^2= x)
4) (y=e^x)
(y’=y»=e^x)
(y(0)=y'(0)=y»(0)=1)
(e^xapprox 1+1cdot x+frac12cdot x^2approx 1+x)
Пренебрегаем (frac{x^2}{2}) как очень малым слагаемым.
5) (y=ln(1+x))
(y’=frac{1}{1+x}, y»=-frac{1}{(1+x)^2})
(y(0)=0, y'(0)=1, y»(0)=-1)
(ln(1+x)approx 0+1cdot x-frac12 x^2approx x)
6) (y=sqrt{1+x})
(y’=frac{1}{2sqrt{1+x}}, y»=-frac{1}{4(1+x)^{3/2}})
(y(0)=1, y'(0)=frac12, y»(0)=-frac14)
(sqrt{1+x}approx 1+frac12cdot x-frac18 x^2approx1+frac x2)
7) (y=frac{1}{sqrt{1+x}})
(y’=-frac{1}{2(1+x)^{frac32}}, y»=frac{3}{4(1+x)^{frac52}})
(y(0)=1, y'(0)=-frac12, y»(0)=frac34)
(frac{1}{sqrt{1+x}}approx 1-frac12 x+frac38 x^2approx 1-frac x2)
(y=(1+x)^a, ainmathbb{R})
(y’=a(1+x)^{a-1}, y»=a(a-1)(1+x)^{a-2})
(y(0)=1, y'(0)=a, y»(0)=a(a-1))
((1+x)^aapprox 1+acdot x+frac{a(a-1)}{2}x^2approx 1+ax)
Таблица приближений для функций при (xrightarrow 0)
$$ sinxapprox x $$
$$ e^xapprox 1+x $$
$$ cosxapprox 1-frac{x^2}{2} $$
$$ ln(1+x)approx x $$
$$ tgxapprox x $$
$$ sqrt{1+x}approx 1+frac x2 $$
$$ (1+x)^aapprox 1+ax, ainmathbb{R} $$
$$ frac{1}{sqrt{1+x}}approx 1-frac x2 $$
п.5. Примеры
Пример 1. Найдите линейное приближение значения функции в заданной точке с помощью дифференциала. Ответ представьте с точностью до сотых. $$ y^*approx f(x_0)+f'(x_0)(x^*-x_0) $$ a) (sqrt[3]{28})
Функция (y=sqrt[3]{x}, x^*=28, x_0=27)
(f(x_0)=sqrt[3]{27}=3)
Производная: (f'(x)=(sqrt[3]{x})’=frac13 x^{-frac23}=frac{1}{3sqrt[3]{x^2}})
(f'(x_0)=frac{1}{3sqrt[3]{27^2}}=frac{1}{3cdot 9}=frac{1}{27}) $$ y^*=sqrt[3]{28}approx 3+frac{1}{27}(28-27)=3+frac{1}{27}approx 3,037approx 3,04 $$
б) (sin(0,03))
Функция (y=sinx, x^*=0,03, x_0=0)
(f(x_0)=sin0=0)
Производная: (f'(x)=(sinx)’=cosx)
(f'(x_0)=cos0=1) $$ y^*=sin(0,03)approx 0+1cdot(0,03-0)=0,03 $$
в) (sqrt{0,98})
Функция (y=sqrt{x}, x^*=0,98, x_0=1)
(f(x_0)=sqrt[3]{27}=3)
Производная: (f'(x)=(sqrt{x})’=frac{1}{2sqrt{x}})
(f'(x_0)=frac{1}{2sqrt{1}}=frac12) $$ y^*=sqrt{0,98}approx 1+frac12(0,98-1)=1-0,01=0,99 $$
e) (e^{0,01})
Функция (y=e^x, x^*=0,01, x_0=0)
(f(x_0)=e^0=1)
Производная: (f'(x)=(e^x)’=e^x)
(f'(x_0)=e^0=1) $$ y^*=e^{0,01}approx 1+1cdot (0,01-0)=1+0,01=1,01 $$
Пример 2. Найдите приближение значения функции в заданной точке с точностью до квадрата приращения. Ответ представьте с точностью округления последнего слагаемого. $$ y^*approx f(x_0)+f'(x_0)(x^*-x_0)+frac{f»(x_0)}{2}(x^*-x_0)^2 $$ a) (sqrt[4]{80})
Функция (y=sqrt[4]{x}, x^*=80, x_0=81)
(f(x_0)=sqrt[4]{81}=3)
Первая производная: (f'(x)=(sqrt[4]{x})’=frac14 x^{-frac34}=frac{1}{4sqrt[4]{x^3}})
(f'(x_0)=frac{1}{4sqrt[4]{81^3}}=frac{1}{4cdot 27}=frac{1}{108})
Вторая производная: (f»(x)=frac14cdot left(-frac34right)cdotfrac{1}{xsqrt[4]{x^3}}=-frac{3}{16xsqrt[4]{x^3}})
(f»(x_0)=-frac{3}{16cdot 81cdotsqrt[4]{81^3}}=-frac{3}{16cdot 81cdot 27}=-frac{1}{11664}) begin{gather*} y^*=sqrt[4]{80}approx 3+frac{1}{108}(80-81)-frac{1}{11664}cdot frac12(80-81)^2approx 3-0,00926-0,00004=\ =2,99070approx 2,9907 end{gather*}
б) (ln 1,04)
Функция (y=ln x, x^*=1,04, x_0=1)
(f(x_0)=ln 1=0)
Первая производная: (f'(x)=(ln x)’=frac1x)
(f'(x_0)=frac{1}{1}=1)
Вторая производная: (f»(x)=-frac{1}{x^2})
(f»(x_0)=-frac{1}{1^2}=-1) begin{gather*} y^*=ln 1,04approx 0+1cdot (1,04-1)-1frac12(1,04-1)^2=0,04-0,0008=0,0392approx 0,039 end{gather*}
в) (cos0,07)
Функция (y=cosx, x^*=0,07, x_0=0)
(f(x_0)=cos0=1)
Первая производная: (f'(x)=(cosx)’=-sinx)
(f'(x_0)=-sin0=0)
Вторая производная: (f»(x)=(-sinx)’=-cosx)
(f»(x_0)=-cos0=-1) begin{gather*} y^*=cos0,07approx 1+0cdot (0,07-0)-1cdotfrac12(0,07-0)^2=1-0,00245=\ =0,99755approx 0,9976 end{gather*}
г) (tg0,11)
Функция (y=tgx, x^*=0,11, x_0=0)
(f(x_0)=tg0=0)
Первая производная: (f'(x)=(tgx)’=frac{1}{cox^2x})
(f'(x_0)=frac{1}{cos^2x}=1)
Вторая производная: (f»(x)=left(frac{1}{cos^2x}right)’=-frac{2cosxcdot(-sinx)}{cos^4x}=frac{2sinx}{cos^3x})
(f»(x_0)=frac{2sin0}{cos^30}) begin{gather*} y^*=tg0,11approx 0+1cdot (0,11-0)+0cdotfrac12 (0,11-0)^2=0,11 end{gather*}
Применение дифференциала в приближенных
вычислениях
Приращение функции Δу при приращении
аргумента на Δх отличается от
дифференциала функции dy
на бесконечно малую величину. Бесконечно
малой величиной можно пренебречь и
записать:
Можно утверждать, что при малых приращениях
аргумента приращение функции равно:
или значение функции в точке х+Δх можно
определить по формуле:
(3.28)
Чем меньше Δх тем точнее оказывается
результат вычисления значения функции
в точке х0 + Δх. Формула
(3.28) находит широкое применение на
практике при приближенных вычислениях
значений функций.
Таблица 3.2
Формулы приближенного вычисления
значений
элементарных функций
|
Элементарная |
Формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Вычислить приближенно
значения
Решение. Представим число 83 в виде
х0 + Δх, где х0
ближайшее к 83 число, для которого известен
.
Таким числом является х0 = 81
(х0 + Δх = 81 + 2). Воспользуемся
формулой приближенного вычисления
степенной функции при
:
Пример 2. Вычислить приближенное
значение функции
Решение. Обозначим х0 = е;
Δх = 0,272. В
соответствии с формулой для дифференциала
логарифмической функции получим:
3. Найти приближенное значение приращения
дифференциала функции y
= sin2x
при
и
.
Решение. Для вычисления приращения
дифференциала функции Δ(dy)
найдем сначала дифференциал функции:
Приращение дифференциала будет равно:
Пример 3. Вычислить приближенно
значения lg 9,8.
Решение. Для нахождения приближенного
значения lg 9,8 представим
число 9,8 в виде х0 + Δх = 10 –
0,2. Используя формулу для приближенного
вычисления значений логарифмической
функции (табл. 3.2) получим:
При заданной погрешности нахождения
(измерения) аргумента х с помощью
дифференциала может быть найдена
абсолютная и относительная погрешность
нахождения значения функции у = f(x).
Предположим, что значение аргумента х
измерено с некоторой погрешностью
x0 – Δx
< x < x0
+ Δx, где Δx
= |x
– x0|.
Необходимо по данному значению аргумента
вычислить значение функции у = f(x)
и определить погрешность вычисленного
значения функции. если вместо истинного
значения аргумента х0 мы
возьмем значение х, то при вычислении
значения функции погрешность вычисления
составит:
Относительная погрешность вычисления
функции
при достаточно малых Δх может быть
вычислена по формуле:
В правой части равенства первый
сомножитель является эластичностью
функции Ex(y),
а второй сомножитель равен относительной
погрешности измерения аргумента
:
.
Таким образом, относительная погрешность
вычисления значения функции равна
произведению эластичности функции на
относительную погрешность измерения
аргумента.
Пример 4. Определить на сколько
процентов изменится значение степени
23,1 при изменении основания степени
на 5%.
Решение. Для решения задачи
воспользуемся формулой для относительного
приращения функции, определяющейся
эластичностью функции. В условии задачи
задано относительное приращение
аргумента
,
являющегося основанием степени. Таким
образом, исходной функцией
является
степенная
функция у
= х3,1
при х0
= 2 и δх
= 0,05.
Определяем эластичность Ех(у):
Определяем относительное приращение
аргумента:
В процентах значение степени 23,1
при изменении основания на 5% изменится
на 15,5%.
Соседние файлы в папке Дифференциалы
- #
- #
- #
- #
Содержание:
- Приближённые вычисления
- Абсолютная и относительная погрешности
- Выполнение действий над приближёнными числами
- Выполнение действий без точного учёта погрешности
Приближённые вычисления
Приближённые вычисления — вычисления, в которых данные и результат (или только результат) являются числами, приближенно представляющими истинные значения соответствующих величин. Числовые данные, полученные измерением реальных объектов, редко бывают точными значениями соответствующей величины, а обычно имеют некоторую погрешность
Абсолютная и относительная погрешности
При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями разных числовых величин. К ним относятся: результаты измерения разных величин с помощью приборов; значения полученные при считывании на графиках, диаграммах, номограммах; проектные данные; результаты округления чисел; результаты действий над приближёнными числами; табличные значения некоторых величин; результаты вычислений значений функции. Приближённые значения (приближение, приближённые числа) могут значительно отличаться от точных, либо быть близкими к ним.
Для оценки отклонения приближённых чисел от точных используют такие понятия как абсолютная и относительная погрешности.
Абсолютной погрешностью приближённой называется модуль разности между точным значением величины 
и её приближённым значением х, то есть
Пример.
Абсолютная погрешность приближённого числа 
числом 0,44 составляет
Если точное число неизвестно, то найти абсолютную погрешность 
невозможно. На практике вводят оценку допустимой при данных измерениях или вычислениях абсолютной погрешности, которую называют пределом абсолютной погрешности и обозначают буквой h. Считают, что h
. Как правило, предел абсолютной погрешности устанавливают из практических соображений, например, при измерениях пределом абсолютной погрешности считают наименьшее деление прибора.
При записи приближённых чисел часто используют понятия верной и сомнительной цифры.
Цифра 
называется верной, если предел абсолютной погрешности данного приближения не превышает единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В другом случае цифра называется сомнительной.
Например: в числе 
две цифры верны, поскольку погрешность 0,04 не превышает единицу разряда десятых. Цифры 9 и 7 верны, поскольку 
а цифры 4 и 6 являются сомнительными, поскольку 
В конечной записи приближённого числа сохраняют только верные цифры. Так число можно записать в виде 
, число 
в виде 
Если в десятичной дроби последние верные цифры — нули, то их оставляют в записи числа.
Например: если 
, то правильной записью числа будет 0,260.
Если в целом числе последние нули являются сомнительными, их исключают из записи числа.
Именно поэтому при работе с приближёнными числами широко используют стандартную форму записи числа.
Например: в числе 
верными являются три первые цифры, а два последних нуля — сомнительные цифры. Запись числа возможна только в виде:
Следовательно, в десятичной записи приближённого числа последняя цифра указывает на точность приближённости, то есть предел абсолютной погрешности не превышает единицу последнего разряда.
Например:
1. Запись 
означает, что 
, то есть предел абсолютной погрешности h=0,01.
2. Запись 
3. Если 
В десятичной записи числа значимыми цифрами называются все его верные цифры начиная с первой слева, отличной от нуля.
Например: в числе 1,13 — три значимых цифры, в числе 0,017 — две, в числе 0,303 — три, в числе 5,200 — четыре, в числе 25*103 — две значимых цифры.
При таком подходе к записи приближенного числа необходимо уметь округлять числа.
Правила округления чисел:
— Если первая цифра, которую отбрасываем является меньше пяти, то в основном разряде, который сохраняется цифра не меняется. Например: 879,673≈879,67.
— Если первая цифра, которую отбрасываем больше пяти, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 456,87≈456,9.
— Если первая цифра, которая отбрасывается пять и за ней есть ещё отличны от нуля, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 1246,5002≈1247.
— Если первая цифра, которая отбрасывается — пять и за ней нет больше никаких цифра, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 0,275≈0,28; 1,865≈1,86.
Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность приближения. Например, 
будет грубой ошибкой при измерении жука, и незначительной при измерении кита. Тоже самое можно сказать и про предел абсолютной погрешности. Качество (точность) приближённости лучше характеризуется относительной погрешностью.
Относительной погрешностью 
(омега) приближённости х величины 
называется отношением абсолютной погрешности 
этого приближения к модулю приближённого значения х, то есть
Поскольку абсолютная погрешность обычно бывает неизвестна, то на практике оценивают модуль относительной погрешности некоторым числом, которое не меньше чем этот модуль:
Число 
называется пределом относительной погрешности.
Предел относительной погрешности можно вычислить по формуле: 
Конечно относительная погрешность выражается в процентах.
С помощью относительной погрешности легко установить точность приближённости.
Пример 1. Найти относительную погрешность числа 
Решение: Имеем 
Следовательно 
Пример 2. Сравнить точность измерения толщины книги d (см) и высоты стола H (см), если известно, что 
.
Решение:
Как видим, точность измерения высоты стола значительно выше.
Выполнение действий над приближёнными числами
Результат арифметических действий над приближёнными числами является также приближённым числом.
Необходимо уметь устанавливать погрешности результатов вычислений. Их находят с точным и без точного учёта погрешностей исходных данных. Правила нахождения погрешностей результатов действий с точным учётом погрешности приведены в таблице (обозначения — 
исходные данные; 
пределы абсолютных погрешностей относительно чисел; 
пределы относительных погрешностей).
Пример 3. Вычислить приближение значения выражения 
и найти предел погрешностей результата.
Решение: находим значение квадрата числа 5,62 и квадратного корня из числа 18,50. 
Найдём границу относительной погрешности результата:
Граница абсолютной погрешности результата:
Ответ: 
Пример 4. Вычислить приближение значения выражения 
и найти предел погрешностей результата.
Решение: находим значение квадратного корня из числа 6,24 и 
, имеем:
Граница относительной погрешности результата:
Граница абсолютной погрешности результата: 
Ответ: 
Выполнение действий без точного учёта погрешности
Точный учёт погрешности усложняет вычисление. Поэтому, если не надо учитывать погрешность промежуточных результатов, можно использовать более простые правила.
Сложение и вычитание приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:
а) выделить слагаемое с наименьшим числом верных десятичных знаков;
б) округлить другие слагаемые так, чтобы каждое из них содержало на один десятичный знак больше чем выделенное;
в) выполнить действия, учитывая все сохранённые десятичные знаки;
г) результаты округлить и сохранить столько десятичных знаков, сколько их есть в приближённом числе с наименьшим числом десятичных знаков.
Умножение и деление приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:
а) выделить среди данных чисел, число с наименьшим количеством верных значимых цифр;
б) округлить оставшиеся данные так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем в выделенном;
в) выполнить действия — сохранить все значимые цифры;
г) сохранять в результате столько значащих цифр, сколько их имеет выделенное число с наименьшим количеством верных значимых цифр.
При возведении в степень приближённого числа в результате сохраняют столько значимых цифр, сколько верных значимых цифр имеет основа степени.
При извлечении корня из приближённого числа в результате сохраняют столько верных цифр, сколько имеет подкоренное число.
Лекции:
- Уравнение сферы
- Пределы: примеры решения
- Площадь поверхности конуса
- Целые рациональные выражения
- Числовые ряды. Числовой ряд. Сумма ряда
- Свойства логарифмов
- Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- Скрещивающиеся прямые
- Скалярное призведение двух векторов
- Теоремы, связанные с понятием производной
Человеку постоянно приходится сталкиваться с решением различных практических и теоретических задач, которые чаще всего связаны с нахождением числовых значений величин.
Измерить какую-либо величину- это значит сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу измерения.
В большинстве случаев полученные значения в результате вычислений и измерений получаются неточными, приближенными: немного больше или меньше истинного значения.
Точность- это степень приближения результата измерения (вычисления) к реальному значению.
Чем меньше точность, тем больше погрешность (расхождение истинного и полученного значения) и, соответственно, чем меньше погрешность, тем выше точность.
Точные измерения проблематичны в реальности по ряду причин:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
- Несовершенство органов чувств человека.
- Неточность и несовершенство измерительных приборов.
- Характеристики самого измеряемого объекта, не позволяющие выполнить точные измерения и вычисления.
Так, например, невозможно точно до метра определить протяженность рек, гор, расстояние от Земли до Луны, с точностью до грамма проблематично определить массу грузовика и т.д.
Сегодня на уроке мы научимся находить приближенные значения с избытком и недостатком.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Познакомимся с правилом округления чисел до заданного разряда.
Рассмотрим несколько примеров округления чисел.
В настоящее время в различные сферы жизни человека все больше внедряются современные высокоточные устройства, которые позволяют быстро и точно производить измерения и вычисления.
Однако, порой нам даже нет необходимости знать точное значение величины.
Не раз нам приходилось встречать такие фразы: «около одного часа», «примерно один килограмм» или «приблизительно двадцать тысяч рублей» и т.п.
В подобных фразах синонимы: «около», «примерно», «приблизительно» и т.д. указывают на приближенность значений величины, на чуть большее или меньшее значение относительно реального.
Например, говоря о своем возрасте, мы чаще всего называем количество лет и месяцев, не упоминая о прожитых днях и часах.
На вопрос «который час?» мы скорее всего назовем сколько часов и минут в данный промежуток времени, не указывая секунды.
Числа, с которыми нам приходится встречаться и использовать в действительности, бывают двух типов:
- Точные (в истинности которых мы не сомневаемся).
Например, говоря о том, что у треугольника 3 стороны, число 3 представляет собой точным числом.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
В утверждении о том, что стул имеет 4 ножки, число 4 так же является точным.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
- Приближенные (близкие к истинному значению).
На практике, измеряя расстояние, массу, температуру, объем, площадь и другие величины, мы не можем определить их точные значения, а порой эти точные значения вовсе не требуется находить.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Поэтому важно знать (заранее установить) с какой точностью необходимо выполнить измерения и вычисления, т.е. необходимо выяснить какие доли единицы измерения необходимо принять во внимание, а какими можно пренебречь.
Приближенные значения делят на:
- Приближенные значения с недостатком.
- Приближенные значения с избытком.
Рассмотрим поясняющий пример.
Обратите внимание на рисунок.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Улитка проползла некоторое расстояние и остановилась, данное расстояние обозначим как х (см).
Заметим, что улитка смогла преодолеть больше 7 см, но не смогла доползти до отметки 8 см.
Получается, что расстояние, которое проползла улитка больше 7 см, но меньше 8 см:
7 < x < 8
В данном случае число 7, 8— это приближенные значения числа х.
Путь, который проползла улитка, изображен в виде отрезка МN.
Конец отрезка MN заключен между отметками 7 см и 8 см.
Если А< x < В (число х больше числа А, но меньше числа В), то А называют приближенным значением числа х с недостатком, а число В— приближенным значением числа х с избытком.
Получаем в нашем случае 7 см- это приближенное значение длины отрезка MN с недостатком, а 8 см- это приближенное значение длины отрезка MN с избытком.
Так, если бы улитка проползла х = 6,3 см, то 6 см являлось бы приближенным значением пути улитки с недостатком, а значение 7 см было бы приближенным значением пути с избытком.
Рассмотрим пару заданий, в которых необходимо произвести оценку величины.
Задание №1.
Из предложенных чисел 2,1; 2,7; 4,1; 3,2; 2,4; 3,5 выберите те, для которых 2,3 является приближенным значением числа с недостатком, а число 3,7 является приближенным значением числа с избытком.
Для искомых чисел должно выполняться условие 2,3 < x < 3,7.
Такому условию удовлетворяют следующие десятичные дроби:
2,4 так как 2,3 < 2,4 < 3,7
2,7 так как 2,3 < 2,7 < 3,7
3,2 так как 2,3 < 3,2 < 3,7
3,5 так как 2,3 < 3,5 < 3,7
Задание №2.
Определите между какими двумя ближайшими натуральными числами расположена дробь 2,4.
К какому натуральному числу ближе заданная десятичная дробь 2,4?
С помощью координатного луча мы можем оценить расположение десятичной дроби.
Отметим на координатном луче число 2,4 (две целых четыре десятых).
Разложим заданное число по разрядам.
2,4 = 2 + 0,4
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком ОЕ, равным 1 единице.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Отложим два целых единичных отрезка от начала координат, получим две целых единицы.
Чтобы отметить дробь 0,4, третий единичный отрезок разделим на десять долей, каждая такая доля будет равна (mathbf{frac{1}{10} = 0,1}).
От точки с координатой 2 отложим вправо четыре доли единичного отрезка ОЕ, получим точку 2,4.
Если мы посмотрим на координатный луч, то заметим, что десятичная дробь 2,4 находится между натуральными числами 2 и 3, причем десятичная дробь 2,4 удалена от точки 2 всего на четыре доли единичного отрезка, а точка 3 удалена от точки 2,4 на шесть таких долей, следовательно, десятичная дробь 2,4 расположена ближе к натуральному числу 2.
2 < 2,4 < 3
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Чтобы найти приближенное значение числа, используют математическое действие- округление чисел (замена числа его ближайшим «круглым» числом).
«Круглым» числом называют число, оканчивающееся одним или несколькими нулями.
Округление- это математическая операция, с помощью которой можно уменьшить количество знаков в числе за счет замены этого числа его близким значением с определенной точностью.
Суть операции округления заключается в нахождении числа ближайшего по своему значению к истинному.
Округлить можно любое число до любого разряда.
Важно знать и помнить правильное название и расположение разрядов в числе.
Вспомним разряды десятичных дробей.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Замену числа ближайшим к нему натуральным числом или нулем называют округлением этого числа до целых.
Десятичные дроби возможно округлять так же как натуральные числа до единиц, десятков, сотен, тысяч и т.д.
При округлении числа до десятков число заменяют «круглым» числом, которое должно состоять из целых десятков, а вместо разряда единиц должен быть нуль.
Если необходимо округлить число, например, до сотен, это число заменяют «круглым» числом, в котором остается разряд сотен, а в разряде десятков и единиц должны стоять нули.
Пример.
Округлим 1,7 до целого.
Рассмотрим процесс округления десятичной дроби с помощью координатного луча.
Разложим заданное число по разрядам.
1,7 = 1 + 0,7
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком ОЕ, равным 1 единице.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Отметим на координатном луче точку с координатой 1,7.
Отложим один целый единичный отрезок от начала координат, получим одну целую единицу.
Чтобы отметить дробь 0,7, второй единичный отрезок разделим на десять долей, каждая такая доля будет равна (mathbf{frac{1}{10} = 0,1}).
От точки с координатой 1 отложим вправо семь долей единичного отрезка ОЕ, получим точку с координатой 1,7.
Обратим внимание, что точка 1,7 находится между натуральными числами 1 и 2.
Точка с координатой 1,7 удалена от точки Е(1) на семь долей единичного отрезка ОЕ, а от точки с координатой 2— всего на три доли единичного отрезка ОЕ.
Таким образом, можно утверждать, что точка с координатой 1,7 расположена ближе к точке с координатой 2.
Значит, при округлении числа 1,7 до целых получается число 2 (1,7 приближенно равно 2).
1,7 ≈ 2
Десятичные дроби так же можно округлять до определенного разряда, стоящего после десятичной запятой: до десятых, сотых, тысячных и т.д.
При округлении до какого-либо разряда все последующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их просто отбрасывают.
Округление чисел происходит по определенному правилу, рассмотрим его.
Чтобы округлить число до какого-либо разряда нужно:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Поясним на примерах.
Пример №1.
Округлим 83421 до сотен.
Решение:
Подчеркнем в числе цифру 4, так как она стоит в разряде сотен.
83421
За подчеркнутой цифрой стоит цифра 2, следовательно, необходимо действовать согласно Правила №1: оставить цифру 4 без изменения.
Все цифры, стоящие после разряда сотен (цифры 2 и 1), заменим нулями.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
В итоге получим округление числа 83421 до 83400.
Результат запишем следующим образом: 83421 ≈ 83400.
Пример №2.
Округлим до разряда единиц число 316,52.
Решение:
Число 316,52 будем округлять до целых.
Известно, что десятичная дробь состоит из целой части (находящейся до десятичной запятой) и дробной части (находящейся после десятичной запятой).
В заданной десятичной дроби 316,52 в разряде единиц стоит цифра 6.
Подчеркнем цифру 6.
316,52
Цифра, стоящая справа от подчеркнутой цифры- это цифра 5, следовательно, необходимо действовать согласно Правила №2: к подчеркнутой цифре 6 прибавить единицу.
Получим в разряде единиц цифру 7, все цифры, стоящие следом за округляемым разрядом (стоящие после десятичной запятой), отбрасываем.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
В итоге получим округление числа 316,52 до 317.
Результат запишем следующим образом: 316,52 ≈ 317.
Пример №2.
Округлим число 27,819 до разряда сотых.
Решение:
В заданной десятичной дроби 27,819 в разряде сотых стоит цифра 1, подчеркнем ее.
27,819
За подчеркнутым разрядом стоит цифра 9, следовательно, необходимо действовать согласно Правила №2: к подчеркнутой цифре 1 прибавить единицу.
Получим в разряде сотых цифру 2, все цифры, следующие за разрядом сотых, просто отбрасываем.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
В итоге получим округление числа 27,819 до 27,82.
Результат запишем следующим образом: 27,819 ≈ 27,82.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Рассмотрим несколько примеров округления чисел при решении задач.
Задача №1.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
В первый день продали 20,35 м ткани, во второй день еще 17,8 м ткани.
Сколько метров ткани продали за два дня?
Ответ округлите до десятых.
Решение:
Кратко запишем условие задачи.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Схематично изобразим условие задачи.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Сложим ткань, которую продали в первый и во второй день, в результате получим сколько метров ткани продали за два дня.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
20,35 + 17,8 = 38,15 (м) ткани продали за два дня.
Округлим полученное число 38,15 до десятых.
В полученной десятичной дроби 38,15 в разряде десятых стоит цифра 1, подчеркнем ее.
38,15
За подчеркнутым разрядом стоит цифра 5, следовательно, необходимо действовать согласно Правила №2: к подчеркнутой цифре 1 прибавить единицу.
Получим в разряде десятых цифру 2, все цифры, следующие за подчеркнутой цифрой, просто отбрасываем.
Результат запишем следующим образом: 38,15 ≈ 38,2.
Ответ: 38,2 (м).
Задача №2.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
В первый день автомобиль проехал 124,4 км, а во второй день на 31,2 км меньше.
Какой путь проехал автомобиль за эти два дня?
Ответ округлите до целых.
Решение:
Кратко запишем условие задачи.
Проехал в первый день- 124,4 км
Проехал во второй день- 124,4 – 31,2 км
Чтобы найти путь, который проехал автомобиль, необходимо сложить пройденный путь в первый и во второй день.
Составим выражение.
124,4 + (124,4 – 31,2)
Найдем значение полученного выражения.
Выражение содержит несколько арифметических операций и скобки.
1. Выполним действия в скобках (найдем разность двух десятичных дробей).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
2. Сложим полученный результат и 124,4.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
124,4 + 93,2 = 217,6 (км) автомобиль проехал за два дня.
Округлим полученный результат до целых.
В полученной десятичной дроби 217,6 в разряде единиц (в самом младшем разряде целой части десятичной дроби) стоит цифра 7, подчеркнем ее.
217,6
После подчеркнутой цифры стоит цифра 6, следовательно, чтобы верно округлить число, необходимо действовать согласно Правила №2: к подчеркнутой цифре 7 нужно прибавить единицу.
Получим в разряде единиц цифру 8, все цифры, следующие за подчеркнутой цифрой, просто отбрасываем.
Результат запишем следующим образом: 217,6 ≈ 218.
Ответ: 218 (км).
Задача №3.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
За два дня было продано 45,35 (кг) конфет. В первый день продали 31,20 (кг).
На сколько больше конфет продали в первый день, чем во второй?
Ответ округлите до десятых.
Решение:
Кратко запишем условие задачи.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Первым действием найдем сколько конфет продали во второй день, для этого вычтем конфеты, проданные в первый день из общего количества конфет, проданных за два дня.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
1. 45,35 – 31,20 = 14,15 (кг) конфет продали во второй день.
Следующим действием найдем на сколько килограммов конфет было продано больше в первый день, чем во второй.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
2. 31,20 – 14,15 = 17,05 (кг)
Округлим полученный результат (десятичную дробь 17,05) до десятых.
В полученной десятичной дроби 17,05 в разряде десятых стоит цифра 0, подчеркнем ее.
17,05
За подчеркнутым разрядом стоит цифра 5, следовательно, необходимо действовать согласно Правила №2: к подчеркнутой цифре 0 прибавить единицу.
Получим в разряде десятых цифру 1, все цифры, следующие за подчеркнутой цифрой, просто отбрасываем.
Результат запишем следующим образом: 17,05 ≈ 17,1.
Ответ: в первый день продали на 17,1 кг конфет больше, чем во второй день.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям