Как найти приближенное значение частного приближенных значений

При делении чисел нередки случаи, когда частное не­возможно выразить конечной десятичной дробью, сколь­ко бы раз мы ни дробили остатки. Пусть требуется раз­делить 44 на 14.

Производя деление обычным способом и найдя не­сколько цифр частного, например, получив в результате деления число 2,82352941…, мы вскоре убеждаемся в пол­ной безнадежности наших попыток получить точное част­ное и закончить деление. В таких случаях деление обры­вают, дойдя до определенного знака, и получают при­ближенное значение частного. Если, допустим, в выше­приведенном примере мы прекратим деление на втором десятичном знаке, т. е. ограничимся числом 2,82, то ска­жем, что деление произведено приближенно с точностью до одной сотой, при числе 2,823 — до одной тысячной и т. п.

Если частное, отдельно взятое, выражается дробным числом, то считается, что ‘количество десятичных знаков в нем характеризует степень его точности — чем больше десятичных знаков, тем точнее результат. Однако для практических целей большое количество’ десятичных зна­ков в числах, составляющих предмет вычислений, часто оказывается совершенно излишним. В счетной практике обычно применяется и считается достаточной точность приближенных значений чисел не свыше 2 — 3-го знака после запятой.

О приближенных вычислениях ниже будет сказано подробнее. Здесь же мы ограничимся лишь указанием, что

при отбрасывании лишних десятичных знаков в прибли­женном числе последняя (правая) остающаяся цифра не меняется, если отбрасываемая часть дроби меньше поло­вины единицы последнего сохраненного разряда, и уве­личивается на единицу, если отбрасываемая часть равна или больше половины того же числа.

Например, если требуется записать приближенные значения чисел 6,857 и 6,852 с точностью до сотых долей, то в первом случае мы запишем 6,86, во втором — 6,85.

Упражнение 43. Найти приближенные частные: 35: 6 с точностью до 0,1 148: 28 » » » 0,01 567:560 » » » 0,001 1448:260 » » » 0,001 1023:360 » » » 0,01 100:270 » » » 0,01

Добавить комментарий

Авторизоваться

Рекомендуемые статьи

Scroll to top

Математика

6 класс

Урок № 69

Приближение суммы, разности, произведения и частного двух чисел

Перечень рассматриваемых вопросов:

– десятичная дробь, приближённое значение, округление;

– значащая цифра десятичной дроби;

– приближение суммы, разности, произведения и частного двух чисел.

Тезаурус

Округление десятичной дроби – замена десятичной дроби приближённым значением с меньшим количеством значащих цифр.

Десятичная дробь – это дробь, записанная в десятичной форме.

Значащая цифра десятичной дроби – это первая слева направо отличная от нуля цифра, а также все следующие за ней цифры.

Список литературы

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Зачастую необходимо быстро прикинуть результат, который получается при сложении, вычитании, умножении или делении двух десятичных дробей. Если дроби имеют много знаков после запятой, выполнить эти действия быстро довольно сложно. Для этого используют правила приближения суммы, разности, произведения и частного двух чисел.

Сумма (разность, произведение, частное) двух чисел считается приближённо равной сумме (разности, произведению, частному) их приближений.

Поясним на примере.

1,45 + 2,32

Округлим данные числа до десятых.

1,45 ≈ 1,5

2,32 ≈ 2,3

Сложим приближённые значения дробей.

1,5 + 2,3 = 3,8

Проверим с исходными числами.

1,45 + 2,32 = 3,77

Округлим сумму до десятых.

3,77 ≈ 3,8

Получили тот же результат.

Итак, чтобы вычислить приближённую сумму или разность двух чисел, надо округлить эти числа с одинаковой точностью, то есть до одного и того же разряда. Затем сложить или вычесть полученные приближения.

Рассмотрим пример.

23,184567 + 4,4486

Округлим эти числа с точностью до одной сотой.

23,184567 ≈ 23,18

4,4486 ≈ 4,45

Найдём сумму приближённых значений.

23,18 + 4,45 = 27,63

23,184567 + 4,4486 ≈ 27,63

Теперь рассмотрим умножение и деление.

Чтобы вычислить приближённое произведение или частное двух чисел, надо округлить эти числа с точностью до одной и той же значащей цифры, перемножить или разделить полученные приближения и результат округлить до той же значащей цифры.

Пусть даны числа.

246,76556 и 0,0078653

Найдём их произведение и частное.

Округлим числа до трёх значащих цифр.

246,76556 ≈ 247

0,0078653 ≈ 0,00787

Вычислим произведение их приближений.

247·0,00787 = 1,94389

Округлим результат также до трёх значащих цифр.

1,94389 ≈ 1,94

Получаем, что

246,76556 · 0,0078653 ≈ 1,94

Вычислим частное приближений этих чисел и тоже округлим его до трёх значащих цифр.

247 : 0,00787 = 31385,00635… ≈ 31400

Получаем, что

246,76556 : 0,0078653 ≈ 31400

Точность вычислений находится в противоречии с простотой вычислений. Чем большим количеством цифр мы пользуемся, тем точнее наш результат.

Пример

Вычислить 2,2637².

Для простоты вычислений округлим до одной значащей цифры.

2,2637 ≈ 2

Тогда 2² = 4.

Округлим до двух значащих цифр.

2,2637 ≈ 2,3

Тогда 2,3² = 5,29

Округлим до трёх значащих цифр.

2,2637 ≈ 2,26

2,26² = 5,1076

Если же посчитать не приближённый, а реальный результат, то получается

2,2637² = 5,12433769

Видим, что наиболее приближённый к реальному результат дало нам округление до трёх значащих цифр. А самый далёкий от реального результат дало округление до одной значащей цифры.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Вставьте вместо пропусков верные цифры.

Задание. Вычислите приближённое значение произведения, округлив множители до двух значащих цифр.

2,465·1,923 ≈ …

Решение

Округлим множители до двух значащих цифр.

2,465≈ 2,5

1,923≈1,9

Найдём произведение приближённых значений.

2,5·1,9=4,75

Округлим произведение также до двух значащих цифр.

4,75≈4,8

Ответ:2,465·1,923 ≈4,8.

Тип 2. Подстановка элементов в пропуски в тексте

Нахождение приближённого значения частного десятичных дробей

Задание. Вставьте вместо пропуска цифру, чтобы получилось верное равенство.

3,_781 : 0,00494 ≈ 3,6 : 0,0049

Решение. При нахождении приближённого значения частного, числа были округлены до двух значащих цифр. В делимом третья значимая цифра 7, значит, при округлении ко второй цифре прибавили единицу. Получилось 6, значит, исходная цифра – это 5.

Ответ: 3,5781 : 0,00494 ≈ 3,6 : 0,0049

Тип 3. Добавление подписей к изображениям

Нахождение приближённого значения произведения и частного десятичных дробей

Задание. Округлив числа a и b с точностью до двух значащих цифр, найдите и впишите результаты действий.

a = 191,452; b = 0,004868

a : b =

a · b =

Решение

Округлим числа до двух значащих цифр.

191,452 ≈ 190

0,004868 ≈ 0,0049

Найдём частное приближённых значений.

190 : 0,0049 = 38775,5

Округлим до двух значащих цифр.

38775,5… ≈ 39000

Найдём произведение приближённых значений.

190 · 0,0049 = 0,931

Округлим произведение также до двух значащих цифр.

0,931 ≈ 0,93

Ответ:

a : b = 39000

a · b = 0,93

Найдите приближенное значение частного, выраженное десятичной дробью с двумя знаками после запятой:
а) 7 : 0,3;
б) 0,28 : 0,9;
в) 3,5 : 1,5;
г) 2 : 1,2.

20 < m < 30.

Заменив потом гирю  10 г  гирей  5 г, и убедимся, что масса детали больше  25 г,

То есть

25 < m < 30.

Положив на чашу весов с гирьками еще  2 г, заметим, что масса
детали меньше чем  27 г.

25 < m < 27.

Поскольку более мелких гирь нет, то процесс определения
массы на этом этапе закончим.

Взвешиваниями мы нашли приближенные значения массы детали
в граммах:

26 г – приближённое значение с
недостачей,

27 г – приближённое значение с излишком.

Другими словами, мы установили границы значения массы в
граммах. Число  26 – нижняя граница, число 
27 –
верхняя граница.

Заметим, что когда бы наименьшая гиря была бы равна  2
г, то границами значения массы детали в граммах были бы числа  25 г  и  27 г, то есть масса была бы определена менее точно.

Зная пределы
значения некоторой величины, можно оценить значение другой величины, которая
зависит от первой.

ПРИМЕР:

Пусть известны приближенные значения (в см) с недостачей и с излишком длины  а  стороны равностороннего треугольника:

5,4 ≤ а ≤ 5,5.

Надо найти пределы периметра  Р.

РЕШЕНИЕ:

Периметр равностороннего треугольника вычисляется по
формуле:

Р = 3а.

Из условия, что  а ≥ 5,4  выплывает, что  3а
≥ 16,2.

Из условия, что  а ≤ 5,5  выплывает, что  3а
≤ 16,5.

Числа  16,2  и  16,5
– приближенные значения периметра  (в см)  с недостачей и излишком:

16,2 ≤ Р ≤ 16,5.

Записать решение можно и так:

5,4 ≤ а ≤ 5,5,

5,4 ∙ 3 ≤ 3а ≤ 5,5 ∙ 3,

то есть

16,2 ≤ Р ≤ 16,5.

ПРИМЕР:

Пусть известны границы какого-то числа  х:

3 < х < 6.

Надо оценить значение выражения  ¹/_х.

РЕШЕНИЕ:

Из условия задачи определяем, что  х –
число положительное.

Поскольку  х ˃ 3, то

¹/_х < ¹/₃.

Поскольку  х < 6, то

¹/_х ˃ ¹/₆.

Выходит, что

¹/₆ < ¹/_х < ¹/₃.

Заменим границы значения выражения  ¹/_х  десятичными дробями. Число  ¹/₆  можно заменить лишь меньшим числом (любым приближением
с недостачей), а число ¹/₃ –
лишь больше (приближением с излишком). Поскольку

¹/₆ =
0,166…   

¹/₃ =
0,333… ,

то границами значения выражения  ¹/_х  могут быть десятичные дроби  0,1  и  0,4.

0,1 < ¹/_х < 0,4.

Заменив нижнюю границу
числом  0,1, а верхнюю – числом  0,4, мы
расширили промежуток, которому принадлежат значения выражения  ¹/_х.

Если бы мы сделали иначе, округлив бесконечные десятичные
дроби

0,166…  и  0,333…

по известным правилам округления, то получили бы, что

0,2 < ¹/_х < 0,3.

Но тогда неизвестное нам точное значение выражения  ¹/_х  могло бы очутиться вне полученных границах.

Способ записи приближённых чисел.

Приближённые
значения обычно записывают так, чтобы по записи можно было судить о точности
приближения.

ПРИМЕР:

На рулоне обоев написано, что его длина равна 

18 ±
0,3 м.

Эта запись означает, что длина рулона равна  18
м  с точностью до  0,3
м, то есть точное значение длины может отличаться от
приближённого значения, равного  18 м, не более чем на 
0,3 м.
Другими словами длина рулона должна находиться между 

18
– 0,3 = 17,7 м  и 

18
+ 0,3 = 18,3 м.

 ПРИМЕР:

Если измеряя длину 
х 
некоторой рейки, выявили, что она больше чем  6,427
м  и меньше чем  6,429
м, то записывают:

х = 6,428 ± 0,001 м.

Говорят, что значение длины рейки найдено с точностью
до 

0,001 м (одного миллиметра).

ПРИМЕР:

При приближённых вычислениях отличают запись  2,4  от  2,40, запись  0,02  от  0,0200  и так далее.

Запись  2,4  означает,
что верны только цифры целых и десятых, истинное же значение числа может быть,
например, 2,43 или  2,38 (при отбрасывании цифры  8  происходит округление в сторону увеличения
предшествующей цифры).

Запись  2,40  означает,
что верны и сотые доли, истинное число может быть  2,403  или  2,398, но не  2,421  и
не  2,382.

То же отличие производится и для целых чисел. Запись  382  означает, что все цифры верны, если же за
последнюю цифру ручаться нельзя, то число округляется, но записывается не в
виде  380,
а в виде  38
∙ 10. Запись же  380  означает, что
последняя цифра  (0)  верна.

Если в числе  4720  верны лишь первые
две цифры, его нужно записать в виде  47 ∙ 10²,
или это число можно также записать в виде 
4,7 ∙
10³  и так далее.

Значащими
цифрами называются все верные цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа.

ПРИМЕР:

В числе 
0,00385  три значащие цифры.

В числе 
0,03085  четыре значащие цифры,

В числе 
2500 – четыре,

В числе 
2,5 ∙
10³ – две.

Число
значащих цифр некоторого числа называется его значностью.

Через то, что мы не
можем выполнить бесконечного процесса деления, то мы должны прекратить деление
на каком-либо десятичном знаке, то есть выполнить приближенное деление. Мы
можем, например, прекратить деление на первом десятичном знаке, то есть
ограничиться десятыми частями; в случае потребности мы можем остановиться на
втором десятичном знаке, ограничиться сотыми частями, и так далее. В таких
случаях говорят о приближенном превращении обычных дробей в десятичные. В этих
случаях говорят, что мы округляем бесконечную десятичную дробь. Округление
делается с той точностью, которая нужна для решения данной задачи.

Вычисления с приближенными
данными.

Вычисления с
приближенными данными постоянно используется в практических задачах, при этом
результат вычислений обычно округляют. Результат действий с приближёнными
числами есть тоже приближённое число. Выполняя некоторые действия над точными числами,
можно так же получить приближённые числа.

При сложении и вычитании приближённых чисел в
результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в
приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков, то есть оставляют в
результате столько знаков после запятой, сколько их содержится в менее точном
данном числе.

ПРИМЕР:

Пусть 

х ≈ 17,2  и  у
≈ 8,407.

Найдём приближённое значение суммы  х 
и  у.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

х +
у ≈ 25,607.

Из данных приближённых значений  17,2 
и  8,407 
менее точным является первое. Округлив результат по первому данному, то
есть до десятых, получим:

х + у ≈ 25,6.

ПРИМЕР:

Пусть 

х ≈ 6,784  и 

у ≈ 4,91.

Найдём приближённое значение разности  х 
и  у.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

х –
у ≈ 1,874.

Из данных приближённых значений  6,784 
и  4,91 
менее точным является второе. Округлив результат по второму данному, то есть.
до сотых, получим:

х –
у ≈ 1,87.

ПРИМЕР:

Найдите разность приближенных значений 

х = 1,52
± 0,01  и 

у = 0,27
± 0,02.

РЕШЕНИЕ:

Данным приближенным значением отвечают двойные
неравенства

1,51 ≤ х ≤ 1,53  и 

0,25 ≤ у ≤ 0,29.

Умножим все части последнего двойного неравенства на  –1, получим

–0,29 ≤ –у ≤ –0,25.

Прибавив это двойное неравенство к первому, получим

1,22 ≤ х – у ≤ 1,28, или  

х – у = 1,25
± 0,03.

Несколько иначе
поступают при умножении и делении приближённых значений. Здесь округление
производится с учётом относительной точности данных. В
этом случае находят произведение или частное приближённых значений, и результат
округляют по менее точному данному, имея ввиду относительную точность. Для
этого исходные данные и полученный результат записывают в стандартном виде 

а × 10ⁿ,

и множитель  а  результата округляют, оставляя в нём столько
знаков после запятой, сколько их имеет соответствующий множитель в менее точном
данном.

ПРИМЕР:

Пусть 

х ≈ 0,86  и 

у ≈ 27,1.

Найдём приближённое значение произведения  х  и  у.

РЕШЕНИЕ:

Перемножив  0,86  и  27,1,  получим:

ху ≈
23,306.

Запишем данные числа и результат в стандартном виде:

0,86 = 8,6 × 10^-1;   

27,1 = 2,71 × 10¹;   

23,306 = 2,3306 × 10¹.

В множителе  8,6  одна цифра после запятой, а в множителе  2,71
две цифры после запятой. Округлим число  2,2306  по первому данному, то есть до десятых.
Получим:

ху ≈ 2,3 × 10¹ = 23.

ПРИМЕР:

Пусть 

х ≈ 60,2  и 

у ≈ 80,1.

Найдём приближённое значение произведения  х  и  у.

РЕШЕНИЕ:

Известно, что все выписанные цифры верны, так что
истинные величины могут отличаться от приближённых лишь сотыми, тысячными и так
далее долями.

В произведении получаем 
4822,02. Здесь
могут быть неверными не только цифры сотых и десятых, но и цифры единиц.

Пусть, например, сомножители получены округлением точных
чисел  60,23  и  80,14.
Тогда точное произведение будет  4826,8322, так что цифра единиц в приближённом произведении (2)
отличается от точной цифры  (6)  на  4  единицы.

ПРИМЕР:

Пусть 

х ≈ 563,2  и 

у ≈ 32.

Найдём приближённое значение частного  х  и  у.

РЕШЕНИЕ:

Разделив  563,2  на  32, получим:

х :
у ≈ 17,6.

Запишем данные числа и результат в стандартном виде:

563,2 = 5,632 × 10²;   

32 = 3,2 × 10;   

17,6 = 1,76 × 10.

Из этой записи видно, что число  1,76 
следует округлить по второму данному, то есть до десятых. Получим:

х :
у ≈ 1,8 × 10
≈ 18.

При умножении и делении приближённых чисел нужно в
результатах сохранять столько значащих цифр, сколько их было в приближённом
данном с наименьшим числом значащих цифр.

Таким образом, при
сложении, вычитании, умножении и делении приближённых значений результат
округляется по менее точному данному. При этом при сложении и вычитании данные
числа записываются в десятичных дробях и менее точное данное определяется по
абсолютной точности, а при умножении и делении данные числа записываются в
стандартном виде и менее точное данное определяется по относительной точности.

Теория приближённых
вычислений позволяет:

– зная степень точности данных, оценить степень
точности результатов ещё до выполнения действий;

– брать данные с надлежащей степенью точности,
достаточной для обеспечения требуемой точности результата, но не слишком
большой, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчётов;

– рационализировать сам процесс вычисления,
освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры
результата.

Цель: освоить действия над приближенными значениями и правила округления результатов вычислений.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Число 23,48 записано верными цифрами. Оцените абсолютную и относительную погрешности приближенного значения этого числа.

2. Представьте дробь 7/3 в виде десятичной дроби. Округлите эту дробь до тысячных. Найдите абсолютную и относительную погрешности приближения.

Вариант 2

1. Число 35,28 записано верными цифрами. Оцените абсолютную и относительную погрешности приближенного значения этого числа.

2. Представьте дробь 11/3 в виде десятичной дроби. Округлите эту дробь до тысячных. Найдите абсолютную и относительную погрешности приближения.

III. Изучение нового материала (основные понятия)

В повседневной практике, технике и науке постоянно выполняют вычисления с приближенными величинами, при этом результат вычислений

обычно округляют. Рассмотрим на примерах, как производятся такие округления при сложении, вычитании, умножении и делении приближенных значений, в записи которых все цифры верные.

Пример 1

Найдем приближенное значение суммы чисел х ≈ 8,34 и у ≈ 5,6.

Сложим приближенные значения чисел х и у: х + у = 8,34 + 5,6 = 13,94. Оценим точность такого приближения: 8,34 — 0,01 ≤ х ≤ 8,34 + 0,01 и 5,6 — 0,1 ≤ у ≤ 5,6 + 0,1. Сложим эти два неравенства одного знака и получим: 13,94 — 0,11 ≤ х + у ≤ 13,94 + 0,11. Поэтому х + у ≈ 13,94 с точностью до 0,11.

Видно, что абсолютная погрешность может составлять чуть больше одной единицы разряда десятых. Поэтому цифру десятых в значении 13,94 разумно сохранить. Цифра сотых доверия не внушает, т. к. абсолютная погрешность может достигать 0,11. Следовательно, результат целесообразно округлить до десятых (что соответствует менее точной величине 5,6). Поэтому х + у ≈ 13,9.

При нахождении приближенного значения суммы чисел сложили приближенные значения, и полученный результат округлили по менее точному слагаемому (т. е. оставили в сумме столько знаков после запятой, сколько их содержится в менее точной величине). Таким же образом поступают во всех случаях сложения и вычитания величин.

Пример 2

Найдем приближенное значение разности чисел х ≈ 8,34 и у ≈ 5,6.

Найдем разность данных чисел х — у ≈ 8,34 — 5,6 ≈ 2,74 . Из данных чисел 8,34 и 5,6 менее точным является второе число. Поэтому округляем результат по второму числу (с точностью до десятых) и получаем х — у ≈ 2,7.

Теперь рассмотрим округление результата при умножении и делении приближенных значений. В этом случае учитывается относительная точность данных. Находят произведение или частное приближенных значений и результат округляют по менее точному числу (имеющему наименьшую относительную точность). Для этого данные числа и результат записывают в стандартном виде а · 10n. Множитель а результата округляют, оставляя в нем столько знаков после запятой, сколько их имеет соответствующий множитель в менее точном данном.

Пример 3

Найдем приближенное значение произведения чисел х ≈ 0,73 и у ≈ 28,6.

Перемножим данные числа ху ≈ 0,73 · 28,6 ≈ 20,878. Запишем данные числа и результат в стандартном виде: х ≈ 7,3 · 10-1, у ≈ 2,86 · 101 и xу ≈ 2,0878 · 101. Округлим произведение 2,0878 · 101 по первому (менее точному числу), т. е. до десятых. Получим ху ≈ 2,1 · 101 = 21.

Пример 4.

Найдем приближенное значение частного чисел х ≈ 378,3 и у ≈ 23,1.

Найдем частное Запишем данные числа и частное в стандартном виде: х ≈ 3,783 · 102, у ≈ 2, 31 · 101 и x/y ≈ 1,6377 · 101. Округлим результат по второму (менее точному) числу, т. е. с точностью до сотых.

Получаем: x/y ≈ 1,64 · 101 = 16,4.

Итак, при сложении, вычитании, умножении и делении приближенных значений результат округляют по менее точному данному. При этом при сложении и вычитании данные числа записывают в десятичных дробях, и менее точное данное определяется по абсолютной точности. При умножении и делении данные числа записывают в стандартном виде, и менее точное данное определяется по относительной точности.

Обычно приходится выполнять несколько действий над приближенными значениями чисел.

Пример 5

Найдем приближенное значение выражения (2x + 3y)z при x ≈ 4,87, у ≈ 23,1 и z ≈ 0,0034.

Выполним указанные действия: 2х + 3у ≈ 2 · 4,87 + 3 · 23,1 ≈ 9,74 + 69,3 ≈ 79,04 ≈ 79,0 (округление по менее точному числу 3у). Теперь найдем: (2x + 3y) · z ≈ 79,0 · 0,0034 ≈ 0,2686 ≈ 0,3. При округлении результата было учтено: 79,0 = 7,90 · 101 и 0,0034 = 3,4 · 10-3. Поэтому число 0,2686 было округлено до десятых.

IV. Контрольные вопросы

1. Как округляется приближенное значение суммы или разности чисел?

2. Как округляется приближенное значение произведения или частного чисел?

V. Задание на уроке

№ 988 (а); 989 (б); 990 (а); 994; 998 (б); 999 (а); 1000; 1004; 1011 (а).

VI. Задание на дом

№ 988 (в); 989 (г); 990 (б); 995; 998 (г); 999 (б); 1003; 1005; 1011 (б).

VII. Подведение итогов урока