Как найти приближенное значение синуса угла

Содержание:

При изучении геометрии вы рассматривали отношения сторон в прямоугольном треугольнике и познакомились с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла (рис. 28).

Построение синуса и косинуса произвольного угла

Построим точку

Рассмотрим прямоугольный треугольник в котором гипотенуза равна 1 (радиусу единичной окружности). По определению синуса и косинуса острого угла получим:

Таким образом, синус угла равен ординате точки а косинус угла равен абсциссе точки

Поскольку в тригонометрии рассматриваются углы то определим синус и косинус для любого угла

Определение синуса произвольного угла

Определение:

Синусом угла называется ордината точки полученной поворотом точки единичной окружности вокруг начала координат на угол

Определение косинуса произвольного угла

Определение:

Косинусом угла называется абсцисса точки полученной поворотом точки единичной окружности вокруг начала координат на угол

Для того чтобы найти синус и косинус произвольного угла нужно:

1. Построить точку единичной окружности.
2. Найти ординату точки
3. Найти абсциссу точки

Найдите синус и косинус угла

Значения синуса и косинуса произвольного угла с помощью единичной окружности в основном можно указать только приближенно.

Однако для некоторых углов значения синуса и косинуса можно указать точно. Определим значения синуса и косинуса для углов, которые соответствуют точкам пересечения окружности с осями координат Найдем Углу соответствует точка имеющая координаты По определению синус угла равен ординате точки значит, Косинус угла равен абсциссе точки т.е. (рис. 31).

Пользуясь определением синуса и косинуса угла получим, что:

Так как ординаты и абсциссы точек единичной окружности изменяются от -1 до 1, то значения синуса и косинуса произвольного угла принадлежат промежутку

Например, выясним, может ли принимать значения, равные:

Значения синуса произвольного угла принадлежат отрезку значит, может принимать значения, равные и так как и Поскольку то не может принимать значения, равные

По определению синуса и косинуса угла синус угла равен ординате точки а косинус угла равен абсциссе этой точки. Значит, знаки и совпадают со знаками ординаты и абсциссы точки соответственно.

Пример №1

Определите знак выражения:

Решение:

а) Так как — угол второй четверти (рис. 32), а ординаты точек единичной окружности, находящихся во второй четверти, положительны, то

б) Так как — угол третьей четверти (см. рис. 32), а абсциссы точек единичной окружности, находящихся в третьей четверти, отрицательны, то

в) Так как — угол третьей четверти (см. рис. 32), а ординаты точек единичной окружности, находящихся в третьей четверти, отрицательны, то

г) Так как — угол первой четверти (см. рис. 32), а абсциссы точек единичной окружности, находящихся в первой четверти, положительны, то

Из геометрии нам известны значения синусов и косинусов острых углов (см. табл.).

С помощью этих значений можно находить значения синусов и косинусов некоторых других углов

Пример №2

Вычислите:

Решение:

а) Отметим на единичной окружности точку Поскольку известно, что а то ордината точки равна а абсцисса этой точки равна

Точки единичной окружности симметричны относительно оси абсцисс (рис. 33), значит, их ординаты (синусы углов противоположны, а абсциссы (косинусы углов и равны. Таким образом, а

б) Так как то точки единичной окружности симметричны относительно оси ординат (рис. 34). Тогда их ординаты (синусы углов равны, а абсциссы (косинусы углов и противоположны. Значит,

в) Точки единичной окружности симметричны относительно начала координат (рис. 35), поскольку Тогда и их ординаты противоположны, и их абсциссы противоположны, т. е.

г) Поскольку то точки и единичной окружности совпадают (рис. 36), а значит, их координаты равны. Тогда

Пример №3

Вычислите:

Решение:

а) Так как то точка единичной окружности совпадает с точкой (рис. 37).

Поскольку

б) Точки единичной окружности симметричны относительно начала координат (см. рис. 37), а значит, их абсциссы (косинусы углов и отличаются только знаком. Так как

Пример №4

Постройте один из углов, если:

Решение:

а) Так как то на оси ординат отметим Проведем прямую, параллельную оси абсцисс, и найдем на единичной окружности точки ордината каждой из которых равна Отметим один из углов, соответствующих точкам или (рис. 38, а).

б) Так как то на оси абсцисс отметим 0,8. Проведем прямую, параллельную оси ординат, и найдем на единичной окружности точки и абсцисса каждой из которых равна 0,8. Отметим один из углов,соответствующих точкам или (рис. 38, б).

• Заказать решение задач по высшей математике

Примеры заданий и их решения:

Пример №5

Точка единичной окружности имеет координаты Используя определение синуса и косинуса произвольного угла, найдите

Решение:

Синусом угла называется ордината точки полученной поворотом точки единичной окружности вокруг начала координат на угол По условию ордината точки равна значит,

Косинусом угла называется абсцисса точки полученной поворотом точки единичной окружности вокруг начала координат на угол По условию абсцисса точки равна значит,

Пример №6

Если то угол может быть равен:

Выберите правильный ответ.

Решение:

Так как синусом угла называется ордината точки полученной поворотом точки единичной окружности вокруг начала координат на угол то нужно найти точку единичной окружности, ордината которой равна -1. Эта точка лежит на оси ординат, и из данных углов ей соответствует угол (рис. 39). Правильный ответ в).

Пример №7

Если то угол может быть равен:

Выберите правильный ответ.

Решение:

Так как косинусом угла называется абсцисса точки полученной поворотом точки единичной окружности вокруг начала координат на угол то нужно найти точку единичной окружности, абсцисса которой равна 0. Эта точка лежит на оси ординат, и из данных углов ей соответствует угол (рис. 40). Правильный ответ в).

Пример №8

Найдите значение выражения:

Решение:

а) Абсцисса точки соответствующей углу равна -1 (рис. 41), значит, Ордината точки соответствующей углу равна 1 (см. рис. 41), т. е. Значит,

б) ( рис. 42) тогда

Может ли быть равным:

Решение:

Поскольку

а) не может быть равным 1,2, так как

б) может быть равным 0,89, так как

в) не может быть равным так как

г) может быть равным так как

Пример №9

Определите знак выражения:

Решение:

а) так как — угол четвертой четверти, а косинус в четвертой четверти положителен;

б) так как — угол первой четверти, а косинус в первой четверти положителен;

в) так как угол второй четверти, а синус во второй четверти положителен;

г) так как 6 радиан — угол четвертой четверти, а синус в четвертой четверти отрицателен.

Пример №10

Сравните:

Решение:

а) Отметим на единичной окружности точки, соответствующие углам и сравним ординаты этих точек. Ордината точки больше ординаты точки (рис. 43), значит,

б) Сравним абсциссы точек единичной окружности Так как абсцисса точки больше абсциссы точки (рис. 44), то

Пример №11

С помощью единичной окружности найдите значение:

Решение:

а) Ордината точки равна ординате точки (рис. 45), поэтому

б) Абсцисса точки противоположна абсциссе точки (см. рис. 45), поэтому

Как найти синус, зная угол

Одной из фундаментальных основ точных наук является понятие о тригонометрических функциях. Они определяют простые отношения между сторонами прямоугольного треугольника. К семейству данных функций относится синус. Найти его, зная угол, можно большим количеством способов, включающих экспериментальные, вычислительные методы, а также использование справочной информации.

Вам понадобится

• — калькулятор;
• — компьютер;
• — электронные таблицы;
• — таблицы брадиса;
• — бумага;
• — карандаш.

Инструкция

Используйте калькулятор с функцией вычисления синуса для получения нужных значений на основании знания угла. Подобный функционал сегодня имеют даже самые простые устройства. При этом вычисления производятся с очень высокой степенью точности (как правило, до восьми и более знаков после запятой).

Примените программное обеспечение, представляющее собой среду для работы с электронными таблицами, запущенное на персональном компьютере. Примерами подобных приложений являются Microsoft Office Excel и OpenOffice.org Calc. Введите в любую ячейку формулу, состоящую из вызова функции вычисления синуса с нужным аргументом. Нажмите Enter. В ячейке отобразится искомая величина. Преимуществом электронных таблиц является возможность быстрого расчета значений функций для большого набора аргументов.

Узнайте приближенное значение синуса угла из таблиц Брадиса, если они имеются в наличии. Их недостатком является точность значений, ограниченная четырьмя знаками после запятой.

Найдите приближенное значение синуса угла, совершив геометрические построения. На листе бумаги вычертите отрезок. При помощи транспортира отложите от него угол, синус которого необходимо найти. Начертите еще один отрезок, пересекающий первый в некоторой точке. Перпендикулярно первому же отрезку проведите прямую линию, пересекающую два уже существующих отрезка. Получится прямоугольный треугольник. Измерьте длину его гипотенузы и катета, противолежащего углу, построенному при помощи транспортира. Разделите второе значение на первое. Это и будет искомая величина.

Рассчитайте синус угла, используя разложение в ряд Тейлора. Если значение угла представлено в градусах, переведите его в радианы. Используйте формулу вида: sin(х) = х — (х^3)/3! + (х^5)/5! — (х^7)/7! + (х^9)/9! — … Для повышения скорости расчетов записывайте текущее значение числителя и знаменателя последнего члена ряда, производя вычисление следующего значения на основе предыдущего. Увеличивайте длину ряда для получения более точной величины.

Видео по теме

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

В статье мы расскажем, как находить значения:

(cos300^°),       (sin⁡(-540^°)),     (cos 510^°),     (sin⁡(-135^°))

и других тригонометрических выражений без тригонометрической таблицы.

Как вычисляются синусы и косинусы углов?

Предположим, стоит задача найти косинус и синус угла (30^°). Отложим на круге угол в (30^°) и найдем какая точка соответствует этому углу.

Если построить все точно, то видно, что абсцисса точки равна (0,866)… , что равно числу (frac{sqrt{3}}{2}) , а ордината равна (0,5), то есть (frac{1}{2}).

Получается, (cos 30^° = frac{sqrt{3}}{2}), а (sin⁡30^° =frac{1}{2}).

Аналогично и для любой другой точки на круге: значение абсциссы равно косинусу угла, а ординаты – синусу угла. Поэтому:

Обычно на осях не отмечают (0,1); (0,2); (0,3) и т.д., а сразу наносят стандартные значения для синуса и косинуса: (±frac{1}{2}=±0,5);    (±frac{sqrt{2}}{2} ≈±0,707);     (±frac{sqrt{3}}{2} ≈±0,866).

Первый шаг к тому, чтобы находить синусы и косинусы стандартных углов – научится отмечать эти углы на тригонометрическом круге.

Как отметить любой угол на тригонометрическом круге?

Для этого нужно знать несколько фактов:

• Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

• Чтоб отложить положительный угол нужно двигаться против часовой стрелки от начала отсчета, чтобы отметить отрицательный – по часовой стрелке;

• Градусная мера окружности равна (360^°), полуокружности (180^°),  а четверти (90^°);

• Углы в (0^°), (30^°), (45^°) и (60^°) выглядят так:

    

• Одна точка может соответствовать разным углам;
• Угол может быть больше (360^°). В этом случае он просто сделает полный оборот и пойдет дальше. Фактически, можно (360^°) просто отбросить и откладывать тот угол, который останется – в итоге вы всё равно окажетесь в той же точке.

Пример. Отметьте угол в (90^° ) и (-90^°).
Решение:

Пример. Отметьте угол в (225^° ) и (-135^°).
Решение:   (225^°=180^°+45^°)
(-135^°=-90^°-45^°)

Пример. Отметьте угол в (420^° ) и (-390^°).
Решение:    (420^°=360^°+60^°)
(-390^°=-360^°-30^°)

    

Задание 1. Отметьте на окружности точки соответствующие углам: (720^°), (225^°), (300^°), (870^°), (900^°), (-330^°), (-630^°), (-210^°).

Как находить синус и косинус любого угла?

Простой алгоритм:

1. Начертите тригонометрический круг и оси косинусов и синусов (не обязательно рисовать прям аккуратно, как на картинке ниже, можно и некрасиво – главное не запутаться какая точка к какому значению относится).
2. Отложите на круге угол, синус и косинус которого надо найти, и определите точку на круге, соответствующую этому углу.
3. Найдите координаты точки, используя картинку ниже.

Пример.  Вычислите (sin⁡300^°) и (cos⁡300^°) .
Решение:   (⁡300^°=360^°-60^°)

(cos⁡ 300^°=frac{1}{2}),     (sin⁡{300^°}=-frac{sqrt{3}}{2}).

Пример . Вычислите (sin⁡(-540^°)) и (cos(-540^°)) .
Решение.    (-540^°=-360^°-180^°).

(-540^°) на тригонометрическом круге совпадает с (-1) на оси косинусов. То есть, координаты этой точки: ((-1;0)). Значит, (cos⁡(-540^°)=-1), а (sin⁡(-540^° )=0).

Да, имея перед глазами тригонометрический круг, вычислять синусы и косинусы любых углов легко. Возможно, у вас возник вопрос: «а что делать, если круга нет? Как делать такие вычисления на ЕГЭ?». Ответ очевиден – нарисовать круг самому! Для этого надо понять, как располагаются значения на нем. Подробную методику того, как это делается я рассказывала в этой статье.

Есть и другой способ запомнить тригонометрический круг – внимательно посмотреть на картинку ниже и запомнить максимальное количество элементов. После прикройте страницу и по памяти нарисуйте круг и отметьте всё, что смогли запомнить. Сверьте, что у вас получилось с тем, что было на картинке. Повторяйте эту последовательность действий пока по памяти не получится нарисовать тригонометрический круг со всеми значениями. Это займет 15 минут вашего времени, но сильно поможет в 13 задаче ЕГЭ (и не только в ней).

Примеры вычисления синуса и косинуса из ЕГЭ

В двух следующих примерах я специально рисовала круг от руки, чтобы вы увидели, как выглядят реальные решения.

Пример . Найдите значение выражения (-18sqrt{2}sin⁡(-135^°)).
Решение. (-135^°=-90^°-45^°)

Получается (-18sqrt{2} sin⁡(-135^° )=-18sqrt{2}cdot-frac{sqrt{2}}{2}=frac{18cdotsqrt{2}cdotsqrt{2}}{2}=9cdot 2=18.)
Ответ: (18).

Пример . Найдите значение выражения (54sqrt{3}cos⁡(510^°)).
Решение. (510^°=360^°+150^°=360^°+180^°-30^°.)

(54sqrt{3}cos⁡(510^°)=54sqrt{3}cdot(-frac{sqrt{3}}{2})=-frac{54cdot sqrt{3}cdot sqrt{3}}{2}=-27cdot 3=-81.)
Ответ: (-81).

Смотрите также:
Как найти тангенс и котангенс без тригонометрической таблицы? Из градусов в радианы и наборот
Тригонометрическая таблица с кругом
Почему в тригонометрической таблице такие числа?

Для тех кто хочет закрепить знания:
Задание на вычисление синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Синус угла. Таблица синусов.

Похожие калькуляторы