Как найти приближенное значение вероятности того что

При большом числе испытаний $n$ и малой вероятности $р$ формулой Бернулли пользоваться неудобно, например, $0.97^{999}$ вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в $n$ испытаниях ($n$ – велико) событие произойдет $k$ раз, используют формулу Пуассона:

$$
P_n(k)=frac{lambda^k}{k!}cdot e^{-lambda}.
$$

Здесь $lambda=n cdot p$ обозначает среднее число появлений события в $n$ испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для $p le 0,1$ и $np le 10$. Cобытия, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

При больших $np$ рекомендуется применять формулы Лапласа (Муавра-Лапласа).

Бесплатный онлайн-калькулятор для формулы Пуассона

Примеры решений на формулу Пуассона

Содержание:

1. Примеры с решением
2. Задачи с решением

Предположим, что мы хотим вычислить вероятность появления события при большом числе испытаний например, По формуле Бернулли (2.1) .

Ясно, что в этом случае непосредственное вычисление по формуле Бернулли технически сложно, тем более если учесть, что сами — числа дробные. Поэтому возникает естественное желание иметь более простые приближенные формулы для вычисления при больших

• Такие формулы, называемые асимптотическими, существуют и определяются теоремой Пуассона, локальной и интегральной теоремами Муавра—Лапласа. Наиболее простой из них является теорема Пуассона.

Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании стремится к нулю при неограниченном увеличении числа испытаний причем произведение стремится к постоянному числу то вероятность того,

что событие появится раз в независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

По формуле Бернулли (2.1)

или, учитывая, что т.е. при достаточно больших

Так как

то

Строго говоря, условие теоремы Пуассона при так что противоречит исходной предпосылке схемы испытаний Бернулли, согласно которой вероятность наступления события в каждом испытании

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Однако, если вероятность — постоянна и мала, число испытаний — велико и число — незначительно (будем полагать, что то из предельного равенства (2.5) вытекает приближенная формула Пуассона:

В табл. III приложений приведены значения функции Пуассона

Примеры с решением

Пример 2.4.

На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?

Решение:

Вероятность того, что день рождения студента 1 сентября, равна Так как — мала, 1825 — велико и то применяем формулу Пуассона (2.6):

(по табл. III приложений).

В этом подразделе вы научитесь решать задачи по определению вероятностей редких явлений по формуле Пуассона.

Если в каждом отдельном независимом испытании вероятность одного из событий или близка к нулю, то события называют редкими. Редкими можно считать события: появление ошибки на некоторой странице в книге, телефонный звонок в квартиру за сутки, количество осадков, выпавших за июнь в городе и др.

Для определения вероятности таких явлений применяется асимптотическая формула Пуассона, названная по имени французского математика С. Пуассона,

Теорема 1.8. Если вероятность события в каждом повторном испытании связана с числом независимых испытаний которое достаточно велико, то вероятность того, что в независимых испытаниях событие произойдет раз, приближенно находится по формуле

Доказательство. По формуле Бернулли имеем:

Выразим через Так как

Тогда формула примет вид Найдем приближенное значение вероятности при помощью предела: При выводе формулы использован второй замечательный предел:

Пределы остальных двучленов равны единице при Итак, закон Пуассона применяется для определения вероятности появления событий, происходящих независимо друг от друга с постоянной вероятностью (средней интенсивностью), причем число испытаний достаточно велико а вероятность появления события в каждом испытании мала, т.е. (или

Приближенные значения вероятности по формуле Пуассона приведены в табл. П. 1.

Задача с решением

Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин равна 0,002. Найти вероятность того, что в течение 1 мин обрыв произойдет более чем на трех веретенах.

Решение:

По условию задачи

Так как обрыв нити на каждом веретене может либо произойти, либо не произойти, то речь идет о независимых повторных испытаниях. Тот факт, что вероятность обрыва нити мала, дает возможность использовать для решения формулу Пуассона для редких явлений.

Имеем

Тогда

Используя формулу Пуассона, имеем:

Задача 1.63.

Радиоаппаратура состоит из 1000 электроэлементов. Вероятность отказа одного из них в течение года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа:

а) двух элементов;

б) не менее двух и не более четырех элементов;

в) не менее двух элементов в год?

Решение:

Независимые повторные испытания при вычисляют по формуле Пуассона для редких явлений. Тогда Найдем вероятность по табл. П. 1.

Задача 1.64.

получает в среднем 300 вызовов в час. Какова вероятность того, что в указанную минуту будут два вызова?

Решение:

Количество вызовов в среднем можно найти, если вычислить число вызовов в минуту, т.е. Найдем

Задача 1.65.

Вероятность выхода из строя кодового замка в течение месяца равна 2 %. Какова вероятность того, что в партии из 600 кодовых замков, установленных фирмой на входных дверях домов, 20 замков выйдут из строя в течение месяца?

Решение:

По условию Если применять формулу Бернулли, то подсчет вероятности будет весьма сложен.

В
приложениях часто возникает необходимость
в вычислении вероятностей Р_n(к)для весьма больших значенийnиk. Рассмотрим,
например, такую задачу.

Задача.На
некотором предприятии вероятность
брака, равна 0,02. Обследуются 500 изделий
готовой продукции. Найти вероятность
того, что среди них окажется ровно 10
бракованных.

Рассматривая
обследование каждого изделия как
отдельный опыт, можно сказать, что
производиться 500 независимых опытов,
причем в каждом их них событие А(изделие оказалось бракованным) наступает
с вероятностью 0,02, тогда по формуле
Бернулли получаем

.

Непосредственный
подсчет этого выражения представляется
сложным. Ещё большую трудность пришлось
бы испытать, если бы мы искали вероятность
того, что число бракованных изделий
среди 500 окажется в пределах, скажем, от
10 до 20. В этом случае потребовалось бы
вычислить сумму
,
что является более сложным делом.

Задачи
подобного рода встречаются в приложениях
весьма часто. Поэтому возникает
необходимость в отыскании приближённых
формул для вероятностей Р_n(к),
а также для сумм вида

(1)

при
больших n.

1.
Приближённые формулы Лапласа.Их
используют при большихn(порядка сотен или тысяч), вероятностейpилиqне слишком
близким к 0 или 1 (порядка сотых долей).
Обычно условием применения этих
приближений является условиеnpq>9.

а)
Локальная приближённая формула Лапласа.
При большихnсправедливо равенство.

,
(2)

где
,
аφ(х) обозначает следующую
функцию:.

Заметим, что функция
φ(х)табулирована, т.е. для нее
составлена таблица её значений.

Вторая
приближённая формула Лапласа даёт
приближённые значения для величины
-вероятности того, что число наступлений
событияАвnопытах
(число «успехов») окажется заключенным
между заданными границамик₁ ик₂.

б)
Интегральная приближённая формула
Лапласа. При большихnсправедливо приближённое равенство

,
(3)

где
Φ(х)обозначает следующую функцию

. (4)

Функция Φ(х)обладает следующими полезными для
вычисления свойствами:

1.
Φ(х)– нечётная функция: ,

2.
при возрастании хот 0 до ∞ функцияΦ(х)растет от 0

до
0,5, причем уже при х= 5 значение
функцииΦ(х)

отличается
от 0,5 меньше чем на
(т.е. прифункцияФ(x)
практически равна 0,5 ).

Пример
1.Монету бросают 100 раз. Какова
вероятность того, что герб выпадет ровно
50 раз?

Решение. Имеем:npq= 100··=
25>9. Воспользовавшись приближённой
формулой (2), получим..
Из таблицы для функцииφ(x)найдем, что φ(0) = 0,3989…. Отсюда получаем.

Пример
2. Доведём до конца решение задачи,
приведённой в начале этого параграфа.
В ней требовалось найти,
а также вероятностьP₅₀₀(10≤к ≤20).

Решение. В
данном случаеnpq=
500·0,02·0,98=9,8. Воспользовавшись приближёнными
формулами (2) и (3), получим:,

Замечание.Если мы осуществляем опытnраз иk— число наступлений
событияАпри этом, то, вообще говоря,
дробь-относительная частота наступления
события

А– будет близка кр(вероятности
событияА). Однако сколь тесной
окажется эта близость, предугадать
невозможно.

Интегральная
теорема Лапласа позволяет оценить
вероятность неравенства
при достаточно большихnи значенияхрне слишком близких к
0 или 1, т.е. определить вероятностьтого, что отклонение частотыслучайного события от его вероятностирпо абсолютной величине не
превосходит некоторого.
Имеем

Таким образом,
получаем

(5)

Вероятность
в этом случае называютнадёжностью
оценки,
а сама оценкадоверительной оценкойчастотыс надёжностью .

На
практике надёжность
оценки задаётся заранее. Тогда по
заданной надёжностиможно найти соответствующее значениеиз уравненияс помощью таблиц функции Лапласа. В этом
случае доверительная оценка с заданной
надёжностью примет вид

, где
(6)

(найдено из уравнениясмотри
(5)).

Это
неравенство означает, что частота
с заданной надёжностьюдолжна лежать в интервале (p—ε,
p+ε).
Этот интервал называетсядоверительным
интервалом.

Пример
3. Какова вероятностьтого, что в 10 000 независимых испытаниях
частота наступления события будет иметь
отклонение от его вероятностиp=0,36
не более чем на 0,01?

Решение. Искомая
вероятность вычисляется по формуле
(5). Здесьn=10000, р=0,36,q=0,64,ε=0,01,
тогда

.

Отсюда получаем:

.

Пример
4. Вероятность приёма некоторого
сигнала равнар= 0,72. Определить,
какое должно быть общее количество
принятых сигналов, чтобы частота приёма
этого сигнала отличалась от вероятности
его приёма не более чем наε=0,1 с надежностью= 0,95.

Решение:
Воспользуемся формулой(5).

У
нас р=0,72,q=0,28,По таблице для

находим,
что
Значитt=1,96. Тогда из
выражения
находимn:
,

откуда
n≈76,8. Так какnдолжно быть целым, то общее количество
принятых сигналов равно 77.

2.
Приближённые формулы Пуассона. Точность
приближённых формул Лапласа понижается
по мере приближения одного из чиселрилиqк нулю, поэтому,
в этом случае используют приближённые
формулы Пуассона. При большихn(порядка тысяч, десятков тысяч и больше)
и малыхр(порядка тысячных долей и
меньше) справедливы приближённые
равенства. Обычно условием применения
этих приближений является условиеnpq<9.

,
(7).

, (8)

где λ =np.

Особенностью
формул (7) и (8) является то, что для того,
чтобы найти вероятность того или иного
числа успехов, вовсе не требуется знать
nир. Всё определяется
числом λ=np, которое
является (см. §11)средним числом успехов.

Для
выражения , рассматриваемого как функция
двух переменных киλ,
составлены таблицы значений.

Пример
5. Прядильщица обслуживает 1000 веретён.
Вероятность обрыва нити на одном веретене
в течение одной минуты равна 0,004. Найти
вероятность того, что в течение одной
минуты обрыв произойдет в пяти веретенах.

Решение.Формула
Бернулли приведёт к громоздким
вычислениям, поэтому воспользуемся
формулой Пуассона (7). Здеськ = 5,р=0.004,n= 1000, тогда λ =np= 4.

Отсюда:
.

Пример
6. Книга в 1000 страниц имеет 100 опечаток.
Какова вероятность того, что на случайно
выбранной странице будет не менее
четырёх опечаток (событиеВ).

Решение:Среднее
количество опечаток на одну страницу
есть.
В данном случае следует применить
формулу Пуассона. Тогда вероятностьp_к
иметькопечаток на одной странице
будет равна.

Сумма
р =p₀+p₁+p₂+p₃есть вероятность того, что на странице
окажется не более трёх опечаток. Пользуясь
таблицами (или калькулятором) получаемр= 0,999996 (в данном случае мы пользовались
калькулятором, таблицы дадутр=0,9048+0,0905+0,0045+0,0002=1). Вероятность того, что
на случайно выбранной странице будет
не менее четырёх опечаток, равна
1-р=1-0,999996=0,0000004 (таблицы дадут
1-р=1-1=0). Отсюда можно сделать вывод,
что событиеВпрактически невозможно.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Сообщения без ответов | Активные темы

Автор	Сообщение
	Заголовок сообщения: Найти приближенное значение вероятности того, что среди Добавлено: 13 янв 2022, 15:22
Начинающий Зарегистрирован: 11 окт 2020, 22:46 Сообщений: 46 Cпасибо сказано: 11 Спасибо получено: 2 раз в 2 сообщениях Очков репутации: 1	Доброго времени суток! Подскажите, как это решить?
Вернуться к началу

vika19	Заголовок сообщения: Re: Найти приближенное значение вероятности того, что среди Добавлено: 13 янв 2022, 16:00
	MihailM писал(а): пособие? Пособие? Что Вы имеете в виду?
Вернуться к началу

searcher	Заголовок сообщения: Re: Найти приближенное значение вероятности того, что среди Добавлено: 13 янв 2022, 16:16
	vika19 MihailM имел в виду не пособие по бедности, а книгу, по которой вы учитесь, чтобы вы там посмотрели нужную теорему. vika19 писал(а): Подскажите, как это решить? Может вы какие-то предельные теоремы теории вероятностей уже знаете?
Вернуться к началу

vika19	Заголовок сообщения: Re: Найти приближенное значение вероятности того, что среди Добавлено: 13 янв 2022, 20:13
	MihailM писал(а): забейте на этот неведомый предмет)) и на математику тоже Разделяю ваш настрой и сама того же мнения Но ОКР само себя не сдаст
Вернуться к началу

MihailM	Заголовок сообщения: Re: Найти приближенное значение вероятности того, что среди Добавлено: 13 янв 2022, 21:02
	vika19 писал(а): Но ОКР само себя не сдаст да печально что эти ботаники перестали кидаться на задачи, как собаки на кость может еще зарплату себе попросят как у паразитов правильных людей?))
Вернуться к началу

vika19	Заголовок сообщения: Re: Найти приближенное значение вероятности того, что среди Добавлено: 13 янв 2022, 21:38
	MihailM писал(а): vika19 писал(а): Но ОКР само себя не сдаст да печально что эти ботаники перестали кидаться на задачи, как собаки на кость может еще зарплату себе попросят как у паразитов правильных людей?)) Не знаю насчет ботаников (ведь это моя специализация ), но не имею ничего против зарплат и прочих вознаграждений для тех, кто решает подобные задачки. Конечно, безотносительно моего случая)) Жаловаться тоже не пристало, — всё-таки уже не первый раз помогают, доброжелательно и бесплатно
Вернуться к началу