Содержание:
- Приближённые вычисления
- Абсолютная и относительная погрешности
- Выполнение действий над приближёнными числами
- Выполнение действий без точного учёта погрешности
Приближённые вычисления
Приближённые вычисления — вычисления, в которых данные и результат (или только результат) являются числами, приближенно представляющими истинные значения соответствующих величин. Числовые данные, полученные измерением реальных объектов, редко бывают точными значениями соответствующей величины, а обычно имеют некоторую погрешность
Абсолютная и относительная погрешности
При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями разных числовых величин. К ним относятся: результаты измерения разных величин с помощью приборов; значения полученные при считывании на графиках, диаграммах, номограммах; проектные данные; результаты округления чисел; результаты действий над приближёнными числами; табличные значения некоторых величин; результаты вычислений значений функции. Приближённые значения (приближение, приближённые числа) могут значительно отличаться от точных, либо быть близкими к ним.
Для оценки отклонения приближённых чисел от точных используют такие понятия как абсолютная и относительная погрешности.
Абсолютной погрешностью приближённой называется модуль разности между точным значением величины 
и её приближённым значением х, то есть
Пример.
Абсолютная погрешность приближённого числа 
числом 0,44 составляет
Если точное число неизвестно, то найти абсолютную погрешность 
невозможно. На практике вводят оценку допустимой при данных измерениях или вычислениях абсолютной погрешности, которую называют пределом абсолютной погрешности и обозначают буквой h. Считают, что h
. Как правило, предел абсолютной погрешности устанавливают из практических соображений, например, при измерениях пределом абсолютной погрешности считают наименьшее деление прибора.
При записи приближённых чисел часто используют понятия верной и сомнительной цифры.
Цифра 
называется верной, если предел абсолютной погрешности данного приближения не превышает единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В другом случае цифра называется сомнительной.
Например: в числе 
две цифры верны, поскольку погрешность 0,04 не превышает единицу разряда десятых. Цифры 9 и 7 верны, поскольку 
а цифры 4 и 6 являются сомнительными, поскольку 
В конечной записи приближённого числа сохраняют только верные цифры. Так число можно записать в виде 
, число 
в виде 
Если в десятичной дроби последние верные цифры — нули, то их оставляют в записи числа.
Например: если 
, то правильной записью числа будет 0,260.
Если в целом числе последние нули являются сомнительными, их исключают из записи числа.
Именно поэтому при работе с приближёнными числами широко используют стандартную форму записи числа.
Например: в числе 
верными являются три первые цифры, а два последних нуля — сомнительные цифры. Запись числа возможна только в виде:
Следовательно, в десятичной записи приближённого числа последняя цифра указывает на точность приближённости, то есть предел абсолютной погрешности не превышает единицу последнего разряда.
Например:
1. Запись 
означает, что 
, то есть предел абсолютной погрешности h=0,01.
2. Запись 
3. Если 
В десятичной записи числа значимыми цифрами называются все его верные цифры начиная с первой слева, отличной от нуля.
Например: в числе 1,13 — три значимых цифры, в числе 0,017 — две, в числе 0,303 — три, в числе 5,200 — четыре, в числе 25*103 — две значимых цифры.
При таком подходе к записи приближенного числа необходимо уметь округлять числа.
Правила округления чисел:
— Если первая цифра, которую отбрасываем является меньше пяти, то в основном разряде, который сохраняется цифра не меняется. Например: 879,673≈879,67.
— Если первая цифра, которую отбрасываем больше пяти, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 456,87≈456,9.
— Если первая цифра, которая отбрасывается пять и за ней есть ещё отличны от нуля, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 1246,5002≈1247.
— Если первая цифра, которая отбрасывается — пять и за ней нет больше никаких цифра, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 0,275≈0,28; 1,865≈1,86.
Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность приближения. Например, 
будет грубой ошибкой при измерении жука, и незначительной при измерении кита. Тоже самое можно сказать и про предел абсолютной погрешности. Качество (точность) приближённости лучше характеризуется относительной погрешностью.
Относительной погрешностью 
(омега) приближённости х величины 
называется отношением абсолютной погрешности 
этого приближения к модулю приближённого значения х, то есть
Поскольку абсолютная погрешность обычно бывает неизвестна, то на практике оценивают модуль относительной погрешности некоторым числом, которое не меньше чем этот модуль:
Число 
называется пределом относительной погрешности.
Предел относительной погрешности можно вычислить по формуле: 
Конечно относительная погрешность выражается в процентах.
С помощью относительной погрешности легко установить точность приближённости.
Пример 1. Найти относительную погрешность числа 
Решение: Имеем 
Следовательно 
Пример 2. Сравнить точность измерения толщины книги d (см) и высоты стола H (см), если известно, что 
.
Решение:
Как видим, точность измерения высоты стола значительно выше.
Выполнение действий над приближёнными числами
Результат арифметических действий над приближёнными числами является также приближённым числом.
Необходимо уметь устанавливать погрешности результатов вычислений. Их находят с точным и без точного учёта погрешностей исходных данных. Правила нахождения погрешностей результатов действий с точным учётом погрешности приведены в таблице (обозначения — 
исходные данные; 
пределы абсолютных погрешностей относительно чисел; 
пределы относительных погрешностей).
Пример 3. Вычислить приближение значения выражения 
и найти предел погрешностей результата.
Решение: находим значение квадрата числа 5,62 и квадратного корня из числа 18,50. 
Найдём границу относительной погрешности результата:
Граница абсолютной погрешности результата:
Ответ: 
Пример 4. Вычислить приближение значения выражения 
и найти предел погрешностей результата.
Решение: находим значение квадратного корня из числа 6,24 и 
, имеем:
Граница относительной погрешности результата:
Граница абсолютной погрешности результата: 
Ответ: 
Выполнение действий без точного учёта погрешности
Точный учёт погрешности усложняет вычисление. Поэтому, если не надо учитывать погрешность промежуточных результатов, можно использовать более простые правила.
Сложение и вычитание приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:
а) выделить слагаемое с наименьшим числом верных десятичных знаков;
б) округлить другие слагаемые так, чтобы каждое из них содержало на один десятичный знак больше чем выделенное;
в) выполнить действия, учитывая все сохранённые десятичные знаки;
г) результаты округлить и сохранить столько десятичных знаков, сколько их есть в приближённом числе с наименьшим числом десятичных знаков.
Умножение и деление приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:
а) выделить среди данных чисел, число с наименьшим количеством верных значимых цифр;
б) округлить оставшиеся данные так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем в выделенном;
в) выполнить действия — сохранить все значимые цифры;
г) сохранять в результате столько значащих цифр, сколько их имеет выделенное число с наименьшим количеством верных значимых цифр.
При возведении в степень приближённого числа в результате сохраняют столько значимых цифр, сколько верных значимых цифр имеет основа степени.
При извлечении корня из приближённого числа в результате сохраняют столько верных цифр, сколько имеет подкоренное число.
Лекции:
- Уравнение сферы
- Пределы: примеры решения
- Площадь поверхности конуса
- Целые рациональные выражения
- Числовые ряды. Числовой ряд. Сумма ряда
- Свойства логарифмов
- Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- Скрещивающиеся прямые
- Скалярное призведение двух векторов
- Теоремы, связанные с понятием производной
•обучение проведению моделирования процессов и систем;
•повышение способности оценивания качества и надежности функционирования объекта проектирования.
При решении практических задач очень часто нет необходимости производить точные вычисления, поэтому используют приближенные вычисления и приближенные числа. Но при любых приближенных вычислениях очень важна точность, с которой производятся данные вычисления и точность, которая необходима для округления различных величин. Встает вопрос о погрешности величин и вычислений. Погрешности бывают двух видов: устранимые и неустранимые.
Источниками погрешностей могут служить различные причины. Вопервых, очень часто исходные данные получаются из эксперимента, а это само по себе влечет достаточно сильный разброс данных и ограниченную их точность, погрешности дают также и физические приборы, используемые во время эксперимента. Во-вторых, математическая модель, которая используется для формализации данного физического или химического процесса сама по себе является достаточно приблизительной, что тоже влечет за собой погрешности. В-третьих, иррациональные числа и физические константы в процессе вычисления берутся тоже с определенной точностью. Кроме того, потеря точности возможна и при выполнении арифметических операций, использовании бесконечных последовательностей и т.д. Влияние погрешностей на результат может быть достаточно велико, поэтому необходимо очень аккуратно обращаться с приближением чисел.
1.1. Абсолютная и относительная погрешности
Обозначим A точное значение некоторого числа, а a его приближенное значение. Записывается это следующим образом A ≈ a . Если A > a , то это
— 4 —
приближение по недостатку, а если A < a , то это приближение по избытку. Например, 3,14 <π < 3,15, поэтому приближение по недостатку 3,14, а по избытку 3,15.
Определение. Абсолютной погрешностью приближенного числа а
называют абсолютную величину разности между точным и приближенным значением числа:
|
∆ = |
A − a |
. |
(1.1) |
||
В практике возможны два случая:
1.Если точное значение известно тогда легко можно использовать формулу (1.1),
2.Если точное значение не известно, как чаще всего и бывает, то тогда используют понятие предельной абсолютной погрешности.
Определение. Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а называется погрешность, которая не меньше абсолютной погрешности этого числа.
|
∆a ≥ ∆ = |
A − a |
. |
(1.2) |
||
Таким образом, точное значение числа заключено в границах: a − ∆a ≤ A ≤ a + ∆a ,
A = a ± ∆a ,
где a − ∆a — приближение по недостатку, а a + ∆a — приближение по избытку. Пример. Определить предельную абсолютную погрешность числа
е=2,71828…с точностью до тысячных. Число е можно оценить следующим образом 2,7181<e< 2,7183. Тогда предельная абсолютная погрешность: ∆e = 0,0001. Отметим, что этот вариант не единственный, возможны и другие значения предельной абсолютной погрешности.
Ответ: ∆e = 0,0001.
Таким образом, предельной абсолютной погрешностью может являться любой представитель бесконечного множества неотрицательных чисел,
— 5 —
которые удовлетворяют неравенству (1.2). Но из разумных соображений выбирают наименьшее из этих чисел. Абсолютная погрешность характеризует ошибку, приходящуюся на единицу измерения той или иной величины.
Пример. Необходимо измерить длину некоторого расстояния. Измерения
|
были проведены с |
некоторой точностью:456,25 ≤ l ≤ 456,35м. Погрешность |
|
∆l = 0,05м. Запись |
результата в этом случае имеет следующий вид: |
l = 456,3 ± 0,05 м, где 456,3 – длина отрезка, а 0,05 – точность измерения.
Ответ: l = 456,3 ± 0,05 м.
Определение. Относительной погрешностью приближенного числа а
называют отношение абсолютной погрешности приближенного числа к точному значению этого числа:
|
δ = |
∆ |
= |
A − a |
. |
(1.3) |
||||
|
A |
|||||||||
|
A |
Здесь надо отметить, что, во-первых, A ≠ 0 , а во-вторых, очень редко бывает известно точное значение A. Тогда вместо A берут приближенное значение а.
Так же как и в предыдущем случае введем понятие предельной относительной
|
погрешности. |
||||
|
Определение. |
Предельной |
относительной |
погрешностью |
|
|
приближенного числа а |
называется |
погрешность, которая не меньше |
||
|
относительной погрешности этого числа: |
||||
|
δa ≥δ . |
(1.5) |
Отсюда следует, что ∆ = Aδ ≤ Aδa . На практике A ≈ a , поэтому считают ∆ = a δa . Границы точного числа А: A = a(1±δa ).
Пример. Вычислить предельную относительную погрешность при округлении числа е = 2,71828.… В одном из предыдущих примеров было
— 6 —
получено, что число e = 2,7182 ± 0,0001. Тогда предельная относительная погрешность δe = 2,718280,0001 ≈ 3,7 10−5 ≤ 4 10−5 .
Ответ: δe = 4 10−5
Докажем следующую формулу, связывающую предельную абсолютную и предельную относительную погрешности:
|
∆a = |
aδa |
. |
(1.6) |
|
1−δa |
Для определенности будем считать, что A > 0,a > 0,∆a < a .
По определению относительной и предельной относительной
|
погрешностей |
получаем δ = |
∆ |
≤ |
∆ |
, а |
δa = |
∆a |
. |
Тогда |
абсолютную |
|||||
|
A |
a + ∆ |
||||||||||||||
|
a + ∆a |
|||||||||||||||
|
погрешность |
можем представить |
∆ = |
A |
δ ≤ (a + ∆)δa . |
Выделив из этого |
||||||||||
|
неравенства |
∆, получаем |
∆ ≤ |
aδa |
. |
Тогда |
предельная |
абсолютная |
||||||||
|
1−δa |
|
погрешность равна ∆a = |
aδa |
. |
||
|
1−δa |
||||
|
На практике стараются, чтобы ∆a << a , а δ <<1; тогда можно принять |
||||
|
δ ≈ |
∆a , а ∆a ≈ aδa . |
(1.7) |
||
|
a |
Достаточно часто относительную погрешность измеряют в процентном отношении к приближенной величине. Относительная погрешность показывает, насколько велика абсолютная погрешность по отношению к самой величине.
1.2. Десятичная запись приближенных чисел. Значащие цифры
Любое положительное число А можно представить в виде бесконечной десятичной дроби
|
A =α |
m |
10m +α |
10m−1 |
+α |
m−2 |
10m−2 |
+… +α |
10m−n+1 |
+…, |
(1.8) |
|
m−1 |
m−n+1 |
— 7 —
|
где αi цифры (αi =0,1,2,…,9), |
i=m, m-1,…, причем |
αi ≠ 0 , m— |
старший |
|
десятичный разряд числа а. |
|||
|
Пример. Число 7654,7683… |
можно представить |
следующим |
образом: |
7654,7683… = 7 103 + 6 102 + 5 101 + 4 100 + 7 10−1 + 6 10−2 + 8 10−3 +…
Но работать с бесконечными числами не очень удобно, поэтому берут числа приближенные:
|
a ≈α |
m |
10m +α |
10m−1 +α |
m−2 |
10m−2 +… +α |
10m−N +1. |
|||
|
m−1 |
m−N +1 |
||||||||
|
Число (1.8) сохранено до m-N+1 разряда. |
|||||||||
|
Определение. Пусть |
αN |
первая ненулевая цифра в десятичной записи |
|||||||
|
приближенного |
числа а, |
считая слева. Тогда сама |
цифра |
αN и |
все, |
||||
|
последующие за ней, называются значащими цифрами. |
|||||||||
|
Пример. Рассмотрим |
приближенное число а=0,00234. Это число имеет |
||||||||
|
три значащие цифры 2,3,4. А приближенное число |
а=1,1030 |
имеет |
пять |
||||||
|
значащих цифр 1,1,0,3,0. |
Определение. N первых значащих цифр αm ,αm−1,…,αm−N +1 приближенного числа а называют верными, если выполняется следующее
неравенство: ∆ = A − a ≤ 12 10m−N +1 , то есть абсолютная погрешность этого
числа не более чем половина единицы разряда, выражаемого N-й значащей цифрой, считая слева направо.
Пример. Рассмотрим точное и приближенное числа А=78,98 и а=79,00. Определим количество верных цифр у приближенного числа при данном округлении.
Приближенное число будет иметь три верных цифры, так как
∆= A − a = 0,02 ≤ 12 10−1, а m − N +1 = −1 и m=1. Следовательно, N = 3 .
Ответ: приближенное число имеет три верные цифры.
—8 —
В настоящее время умение производить приблизительные вычисления актуально практически в каждой сфере человеческой жизнедеятельности. Что бы это ни было: ведение бюджета, финансовое планирование, расчёт процентной ставки по вкладам или суммы подоходного налога, да и просто любые элементарные математические операции — во всём этом нам может пригодиться навык приближённых вычислений. Цель представленной статьи – показать ряд очень простых, но полезных математических приёмов, овладеть которыми будет полезно любому человеку, ведь с помощью них считать становится значительно проще, а сам этот процесс доставляет исключительно удовольствие.
Итак, специально для вас 10 приёмов приближённых вычислений, которые могут пригодиться в повседневной жизни.
1
Способ быстрого умножения на 4
Если вдруг вам срочно понадобилось умножить на четыре какое-нибудь крупное число, не стоит в панике пытаться производить сложные вычисления, т.к. это довольно-таки неудобно. Нужно лишь воспользоваться простым способом умножения: для начала умножить своё число на два, а затем прибавить к этому числу точно такое же.
Пример: вам нужно умножить 3445 на 4. Сделать это в уме под силу не каждому. Выход из ситуации следующий: умножаем 3445 на два, получаем 6890, затем прибавляем к 6890 это же число. В итоге получаем искомый результат: 13780.
2
Таблица умножения на пальцах
Все мы в школе учили таблицу умножения, и каждый знает, сколько будет дважды два. Но далеко не каждый способен при необходимости умножить, например, семь на девять. И здесь наши пальцы – наши лучшие помощники.
Пример: пронумеруйте свои пальцы слева направо от 1 до 10. Теперь, если вам нужно умножить 7 на 9, загните седьмой палец. Смотрите на свои руки: получается, что до не согнутого пальца у вас остаётся шесть. Пальцы слева обозначают десятки. После не согнутого пальца у вас остаётся ещё три – пальцы справа обозначают единицы. Таким образом, у вас получилось искомое число: 63.
При помощи этого способа можно умножить на девять все цифры таблицы умножения.
3
Ускоренные процентные вычисления
Навык вычисления процентов в уме очень востребован в наше время повсеместных возможностей взять кредит или деньги в рассрочку. Наиболее простым методом вычисления определённого процента является его умножение на соответствующее число, после чего из получившейся суммы отбрасываются две последние цифры, т.к. один процент — это одна сотая.
Пример: вам нужно вычислить 30% от 80. Умножьте 30 на 80. Получите 2400. Отбросьте две последних цифры и получите искомую сумму: 24.
Обратите внимание на то, что от перестановки множителей произведение остаётся точно таким же. Так что, если вы захотите узнать, сколько будет 80% от 30, то получите то же число 24.
Этот способ применять особенно хорошо, если нужно работать с круглыми числами. Если же вам требуется, например, узнать, сколько будет 37% от 67, то здесь получится сделать только приближённое к настоящему результату вычисление. Для этого нужно округлить числа.
Пример: 37 округляем до 40, а 67 – до 70. Далее проделываем уже знакомый нам приём: 40 умножаем на 70, поучаем 2800, отбрасываем две последние цифры и получаем 28. Точное же число составляет 24,79. Расхождение в 3,21 довольно серьёзное, но, учитывая, что эту операцию вы проделали в уме, результат довольно неплохой.
4
Способ быстро вычислить процентную ставку
Возьмём для примера ситуацию, где вы устраиваетесь на работу и проходите собеседования у двух работодателей. Вам нужно выбрать наиболее выгодное предложение. Но об оплате вашей работе они говорят не в привычной форме заработной платы, а в терминах почасовой оплаты и годового оклада. Как же быстро посчитать, что лучше: 300 рублей в час или 380 тысяч в год? Чтобы рассчитать почасовую оплату, когда вам озвучивается сумма годового оклада, нужно отбросить от названной суммы три последние цифры, и разделить полученный результат на два.
Пример: отбрасываем от 380 000 три последних нуля, а затем делим 380 на 2. Получается, что час вашей работы на этом месте будет стоить 190 рублей. Очевидно, что первое предложение гораздо выгоднее.
5
Способ быстрого вычисления времени увеличения определённого процента вдвое
Если вам нужно узнать, какое количество времени необходимо, чтобы вложенные вами под определённый процент деньги удвоились, то совсем необязательно искать в поле зрения калькулятор. Можно просто применить «правило 72», в котором число 72 делится на имеющуюся процентную ставку, благодаря чему получается примерный срок удвоения вашего вклада.
Пример: вы положили деньги под 7% годовых, когда каждый год полученный доход плюсуется к изначальной сумме и снова вкладывается под те же проценты. Разделите 72% на 7. Получится, что ваш вклад удвоится через 10 лет и несколько месяцев.
Пример: Инфляция в стране составляет 10 процентов. Чтобы посчитать, через сколько лет цены вырастут вдвое, нужно разделить 72 на 10. В итоге получаем, что через 7 лет и несколько месяцев цены в стране удвоятся.
6
Способ быстрого вычисления времени увеличения определённого процента втрое
Этот способ применяется в тех же ситуациях и с той же целью, что и предыдущий. Единственная разница здесь в том, что вместо цифры 72 используется цифра 115, т.е. именно её нужно делить на имеющийся процент.
Пример: деньги, вложенные вами под 7% годовых утроятся чуть меньше, чем через 16,5 лет — мы разделили 115 на 7.
7
Способ быстрого представления значения обычной дроби
Когда у вас возникла потребность представить приблизительное значение обычной дроби, проще всего перевести её в вид десятичной. Сделать это можно, предварительно приведя дробь к более привычным соотношениям, таким как ½, 1/3, ¼, 2/3, 2/4 и т.д.
Пример: у вас есть дробь 34/78. Это довольно близко к соотношению 34/68, что равно ½. Но мы немного уменьшили знаменатель, а значит, и искомое число будет немного меньше 0, 5.
8
Способ быстрого вычисления квадратного корня
Наверное, каждый сможет ответить, что квадратный корень из четырёх равен двум, из девяти – трём, из шестнадцати – четырём и т.д. Но что если нужно быстро вычислить квадратный корень, к примеру, из 79? На самом деле в это нет ничего сложного.
Пример: чтобы быстро найти приблизительное значение, нужно сначала найти число, максимально близкое к заданному. К 79 это будет 81, квадратный корень из которого равен 9. Далее ищем следующее ближайшее число. Например, 64, квадратный корень из которого равен 8. Получается, что наше число 79 находится между 81 и 64, т.е. в интервале между 8 и 9. А учитывая то, что 79 ближе 81, то и квадратный корень из 79 будет 8 с чем-то, почти 9.
9
Способ быстрой проверки делимости
Как вы считаете, можно ли поделить между 12 мартышками 506 бананов? Ответ на это вопрос можно легко найти и без калькулятора. Нужно только вспомнить основные правила делимости, которые со школьной скамьи вы уже наверняка подзабыли.
Правила делимости:
- Число можно поделить на 2, если на 2 делится его последняя цифра
- Число можно поделить на 3, если сумма всех цифр этого числа делится на 3
- Число можно поделить на 4, если сумма двух его последних цифр делится на 4
- Число можно поделить на 5, если последняя его цифра – это 0 или 5
- Число можно поделить на 6, если его можно поделить на 2 и 3
- Число можно поделить на 9, если сумма всех цифр этого числа делится на 9
- Число можно поделить на 12, если его можно поделить на 2, 3 и 4
10
Способ быстрого определения необходимого минимума
И снова давайте обратимся к нашему воображению и представим ситуацию, будто вы проходите серию тестов, состоящую из пяти этапов. Чтобы пройти её успешно вам нужно получить минимальный балл, например 94. У вас остался последний тест. А результаты прошлых четырёх этапов следующие: 87, 96, 89 и 91. Какие расчёты нужно произвести, чтобы определить балл, необходимый для получения на последнем этапе? Нужно посчитать количество баллов, которые вы недобрали или перебрали на прошедших этапах. Недобор отмечайте цифрой со знаком минус, перебор – обычной цифрой.
Пример: 87-94 = -7; 96-94 = 2; 89-94 = -5; 91-94 = -3. Далее складываем эти числа: -7+2-5-3 = -13. Число -13 – это ваш дефицит. Чтобы вам пройти серию тестов хорошо, нужно сдать последний тест на 107 баллов (94+13) – самое время готовить шпаргалки.
На примере этих десяти способов можно убедиться в том, что приближённые вычисления гораздо проще, чем кажутся, но могут пригодиться в самых непредвиденных жизненных ситуациях: от простой потребности в том, чтобы занять себя чем-то, дожидаясь, например, своей очереди в банке, до собеседования на работу или сдачи экзаменов.
Попрактикуйтесь в новом навыке и вычисляйте в своё удовольствие!
Geometry as one of the oldest branches of mathematics deals with the parameters and properties of shapes, relation between points, shape positioning, angles, dimensions, etc. The study is used to determine the dimensions and parameters of regular as well as irregular shapes. The given article discusses approximation or approximate numbers, symbols used to indicate approximate numbers, and their use in mathematics.
Approximation or approximate number
Approximation or approximate numbers can be defined as a value that is similar to the other value but not exactly equal to it. The approximation is used when the results of the numeric calculations are uncertain. They mostly come into use when the decimal numbers with larger place values come as a result.
Use of Approximate number in Maths
In mathematics, approximate numbers or symbols are used to define some uncertain or infinite numbers. While conducting some advanced mathematical operations an exact numeric result is difficult to achieve. So, The approximate values are used as solutions instead of the uncertain values.
What are approximate numbers?
Answer:
The mathematical symbol (≈) is used to symbolically denote that the given two numbers are approximately equal to each other. The uncertain value is replaced by a finite number with the symbol to indicate that the value is almost equal to the original result.
For example, while performing a calculation using π we certainly use the value π=3.14, but the value of pi is supposed to be 3.142857142857143. Hence, π=3.14 is an approximate value to make the calculation convenient.
Sample Questions
Question 1: What is the approximate value of π?
Answer:
The approximate value of π is 3.14 or 22/7.
Question 2: Find a rational number approximation of e that is accurate to the 100th place, e = 2.7182818284…
Answer:
Round off e to the 100th place,
e = 2.71
Now, write the decimal value in fractional form
e = 271/100
Question 3: What is the approximate of √2?
Answer:
The approximate value of √2 is 1.41.
Question 4: What is the approximate value of √3?
Answer:
The approximate value of √3 is 1.73.
Question 5: What is the approximate value of √19?
Answer:
The approximate value of √19 is 4.36
Last Updated :
13 Dec, 2021
Like Article
Save Article
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
- Приближенное значение величины. Абсолютная и относительная погрешности
- Верные и значащие цифры. Запись приближенных значений.
- Вычисление погрешностей величин и арифметических действий
- Методы оценки погрешности приближенных вычислений
- Приближенное значение величины. Абсолютная и относительная погрешности
Решение практических задач, как правило, связано с числовыми значениями величин. Эти значения получаются либо в результате измерения, либо в результате вычислений. В большинстве случаев значения величин, которыми приходится оперировать, являются приближенными.
Пусть X — точное значение некоторой величины, а х — наилучшее из известных ее приближенных значений. В этом случае погрешность (или ошибка) приближения х определяется разностью Х-х. Обычно знак этой ошибки не имеет решающего значения, поэтому рассматривают ее абсолютную величину:
Величина ех, называемая абсолютной погрешностью приближенного значения х, в большинстве случаев остается неизвестной, так как для ее вычисления нужно точное значение X. Вместе с тем, на практике обычно удается установить верхнюю границу абсолютной погрешности, т.е. такое (по возможности наименьшее) число для которого справедливо неравенство
Число в этом случае называется предельной абсолютной погрешностью, или границей абсолютной погрешности приближения х.
Таким образом, предельная абсолютная погрешность приближенного числа х — это всякое число , не меньшее абсолютной погрешности ех этого числа.
Пример: Возьмем число . Если же вызвать на индикатор 8-разрядного МК, получим приближение этого числа: Попытаемся выразить абсолютную погрешность значения . Получили бесконечную дробь, не пригодную для практических расчетов. Очевидно, однако, что следовательно, число 0,00000006 = 0,6 * 10-7 можно считать предельной абсолютной погрешностью приближения , используемого МК вместо числа
Неравенство (2) позволяет установить приближения к точному значению X по недостатку и избытку:
которые могут рассматриваться как одна из возможных пар значений соответственно нижней границы (НГ) и верхней границы (ВГ) приближения х:
Во многих случаях значения границы абсолютной ошибки так же как и наилучшие значения приближения х, получаются на практике в результате измерений. Пусть, например, в результате повторных измерений одной и той же величины х получены значения: 5,2; 5,3; 5,4; 5,3. В этом случае естественно принять за наилучшее приближение измеряемой величины среднее значение х=5,3. Очевидно также, что граничными значениями величины х в данном случае будут НГХ= 5,2, ВГХ = 5,4, а граница абсолютной погрешности х может быть определена как половина длины интервала, образуемого граничными значениями НГХ и ВГХ,
т.е.
По абсолютной погрешности нельзя в полной мере судить о точности измерений или вычислений. Качество приближения характеризуется величиной относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки ех к модулю значения X(когда оно неизвестно, то к модулю приближения х).
Предельной относительной погрешностью (или границей относительной погрешности) приближенного числа называется отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютному значению приближения х:
Формула (5) позволяет при необходимости выражать абсолютную погрешность через относительную:
Относительную погрешность выражают обычно в процентах.
Пример Определим предельные погрешности числа х=3,14 как приближенного значения π. Так как π=3,1415926…., то |π-3,14|<0,0015927<0,0016=по формуле связи получаем таким образом
- Верные и значащие цифры. Запись приближенных значений
Цифра числа называется верной (в широком смысле), если ее абсолютная погрешность не превосходит единицы разряда, в котором стоит эта цифра.
Пример. Х=6,328 Х=0,0007 X<0,001 следовательно цифра 8-верная
Пример: А). Пусть 0 = 2,91385, В числе а верны в широком смысле цифры 2, 9, 1.
Б) Возьмем в качестве приближения к числу = 3,141592… число = 3,142. Тогда (рис.) откуда следует, что в приближенном значении = 3,142 все цифры являются верными.
В) Вычислим на 8-разрядном МК частное точных чисел 3,2 и 2,3, получим ответ: 1,3913043. Ответ содержит ошибку, поскольку
Рис. Приближение числа π
разрядная сетка МК не вместила всех цифр результата и все разряды начиная с восьмого были опущены. (В том, что ответ неточен, легко убедиться, проверив деление умножением: 1,3913043 2,3 = 3,9999998.) Не зная истинного значения допущенной ошибки, вычислитель в подобной ситуации всегда может быть уверен, что ее величина не превышает единицы самого младшего из изображенных на индикаторе разряда результата. Следовательно, в полученном результате все цифры верны.
Первая отброшенная (неверная) цифра часто называется сомнительной.
Говорят, что приближенное данное записано правильно, если в его записи все цифры верные. Если число записано правильно, то по одной только его записи в виде десятичной дроби можно судить о точности этого числа. Пусть, например, записано приближенное число а = 16,784, в котором все цифры верны. Из того, что верна последняя цифра 4, которая стоит в разряде тысячных, следует, что абсолютная погрешность значения а не превышает 0,001. Это значит, что можно принять т.е. а = 16,784±0,001.
Очевидно, что правильная запись приближенных данных не только допускает, но и обязывает выписывать нули в последних разрядах, если эти нули являются выражением верных цифр. Например, в записи = 109,070 нуль в конце означает, что цифра в разряде тысячных верна и она равна нулю. Предельной абсолютной погрешностью значения , как следует из записи, можно считать Для сравнения можно заметить, что значение с = 109,07 является менее точным, так как из его записи приходится принять, что
Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля, и нули, если они расположены между значащими цифрами или стоят в конце для выражения верных знаков.
Пример а) 0,2409 — четыре значащие цифры; б) 24,09 — четыре значащие цифры; в) 100,700 — шесть значащих цифр.
Выдача числовых значений в ЭВМ, как правило, устроена таким образом, что нули в конце записи числа, даже если они верные, не сообщаются. Это означает, что если, например, ЭВМ показывает результат 247,064 и в то же время известно, что в этом результате верными должны быть восемь значащих цифр, то полученный ответ следует дополнить нулями: 247,06400.
В процессе вычислений часто происходит округление чисел, т.е. замена чисел их значениями с меньшим количеством значащих цифр. При округлении возникает погрешность, называемая погрешностью округления. Пусть х — данное число, а х1 — результат округления. Погрешность округления определяется как модуль разности прежнего и нового значений числа:
В отдельных случаях вместо ∆окр приходится использовать его верхнюю оценку.
Пример Выполним на 8-разрядном МК действие 1/6. На индикаторе высветится число 0,1666666. Произошло автоматическое округление бесконечной десятичной дроби 0,1(6) до числа разрядов, вмещающихся в регистре МК. При этом можно принять
Цифра числа называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит эта цифра.
Правила записи приближенных чисел.
- Приближенные числа записываются в форме х ± х. Запись X = х ± x означает, что неизвестная величина X удовлетворяет следующим неравенствам: x-x <= X <= x+x
При этом погрешность х рекомендуется подбирать так, чтобы
а) в записи х было не более 1-2 значащих цифр;
б) младшие разряды в записи чисел х и х соответствовали друг другу.
Примеры: 23,4±0,2 ; 2,730±0,017 ; -6,970,10.
- Приближенное число может быть записано без явного указания его предельной абсолютной погрешности. В этом случае в его записи (мантиссе) должны присутствовать только верные цифры (в широком смысле, если не сказано обратное). Тогда по самой записи числа можно судить о его точности.
Примеры. Если в числе А=5,83 все цифры верны в строгом смысле, то А=0,005. Запись В=3,2 подразумевает, что В=0,1. А по записи С=3,200 мы можем заключить, что С=0,001. Таким образом, записи 3,2 и 3,200 в теории приближенных вычислений означают не одно и то же.
Цифры в записи приближенного числа, о которых нам неизвестно, верны они или нет, называются сомнительными. Сомнительные цифры (одну-две) оставляют в записи чисел промежуточных результатов для сохранения точности вычислений. В окончательном результате сомнительные цифры отбрасываются.
Округление чисел.
- Правило округления. Если в старшем из отбрасываемых разрядов стоит цифра меньше пяти, то содержимое сохраняемых разрядов числа не изменяется. В противном случае в младший сохраняемый разряд добавляется единица с тем же знаком, что и у самого числа.
- При округлении числа, записанного в форме х±х, его предельная абсолютная погрешность увеличивается с учетом погрешности округления.
Пример: Округлим до сотых число 4,5371±0,0482. Неправильно было бы записать 4,54±0,05 , так как погрешность округленного числа складывается из погрешности исходного числа и погрешности округления. В данном случае она равна 0,0482 + 0,0029 = 0,0511 . Округлять погрешности всегда следует с избытком, поэтому окончательный ответ: 4,54±0,06.
Пример Пусть в приближенном значении а = 16,395 все цифры верны в широком смысле. Округлим а до сотых: a1 = 16,40. Погрешность округления Для нахождения полной погрешности , нужно сложить c погрешностью исходного значения а1 которая в данном случае может быть найдена из условия, что все цифры в записи а верны: = 0,001. Таким образом, . Отсюда следует, что в значении a1 = 16,40 цифра 0 не верна в строгом смысле.
- Вычисление погрешностей арифметических действий
1. Сложение и вычитание. Предельной абсолютной погрешностью алгебраической суммы является сумма соответствующих погрешностей слагаемых:
Ф.1 (X+Y) = Х + Y , (X-Y) = Х + Y .
Пример. Даны приближенные числа Х = 34,38 и Y = 15,23 , все цифры верны в строгом смысле. Найти (X-Y) и (X-Y). По формуле Ф.1 получаем:
(X-Y) = 0,005 + 0,005 = 0,01.
Относительную погрешность получим по формуле связи:
2. Умножение и деление. Если Х << |Х| и Y << |Y|, то имеет место следующая формула:
Ф.2 (X · Y) = (X/Y) = X + Y.
Пример. Найти (X·Y) и (X·Y) для чисел из предыдущего примера. Сначала с помощью формулы Ф.2 найдем (X·Y):
(X·Y)= X + Y=0,00015+0,00033=0,00048
Теперь (X·Y) найдем с помощью формулы связи:
(X·Y) = |X·Y|·(X·Y) = |34,38 -15,23|·0,00048 0,26 .
3. Возведение в степень и извлечение корня. Если Х << |Х| , то справедливы формулы
Ф.З
4. Функция одной переменной.
Пусть даны аналитическая функция f(x) и приближенное число с ± с. Тогда, обозначая через малое приращение аргумента, можно написать
Если f ‘(с) 0, то приращение функции f(с+) — f(c) можно оценить ее дифференциалом:
f(c+) — f(c) f ‘(c) ·.
Если погрешность с достаточно мала, получаем окончательно следующую формулу:
Ф.4 f(c) = |f ‘(с)|· с .
Пример. Даны f(x) = arcsin x , с = 0,5 , с = 0,05 . Вычислить f(с).
Применим формулу Ф.4:
5. Функция нескольких переменных.
Для функции нескольких переменных f(x1, … , хn) при xk= ck ± ck справедлива формула, аналогичная Ф.4:
Ф.5 f(c1, … ,сn) l df(c1, … ,сn) | = |f ‘x1 (с1)|·с1+… + |f ‘xn (сn)|· сn.
Пример Пусть х = 1,5, причем т.е. все цифры в числе х верны в строгом смысле. Вычислим значение tg x. С помощью МК получаем: tgl,5= 14,10141994. Для определения верных цифр в результате оценим его абсолютную погрешность: отсюда следует, что в полученном значении tgl,5 ни одну цифру нельзя считать верной.
- Методы оценки погрешности приближенных вычислений
Существуют строгие и нестрогие методы оценки точности результатов вычислений.
1. Строгий метод итоговой оценки. Если приближенные вычисления выполняются по сравнительно простой формуле, то с помощью формул Ф.1-Ф.5 и формул связи погрешностей можно вывести формулу итоговой погрешности вычислений. Вывод формулы и оценка погрешности вычислений с ее помощью составляют суть данного метода.
Пример Значения a = 23,1 и b = 5,24 даны цифрами, верными в строгом смысле. Вычислить значение выражения
С помощью МК получаем В = 0,2921247. Используя формулы относительных погрешностей частного и произведения, запишем:
т.е.
Пользуясь МК, получим 5, что дает . Это означает, что в результате две цифры после запятой верны в строгом смысле: В=0,29±0,001.
2. Метод строгого пооперационного учета погрешностей. Иногда попытка применения метода итоговой оценки приводит к слишком громоздкой формуле. В этом случае более целесообразным может оказаться применение данного метода. Он заключается в том, что оценивается точность каждой операции вычислений отдельно с помощью тех же формул Ф.1-Ф.5 и формул связи.
3. Метод подсчета верных цифр. Данный метод относится к нестрогим. Оценка точности вычислений, которую он дает, в принципе не гарантирована (в отличие от строгих методов), но на практике является довольно надежной. Суть метода заключается в том, что после каждой операции вычислений в полученном числе определяется количество верных цифр с помощью нижеследующие правил.
П.1. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате верными следует считать, те цифры, десятичным разрядам которых соответствуют верные цифры во всех слагаемых. Цифры всех других разрядов кроме самого старшего из них перед выполнением сложения или вычитания должны быть округлены во всех слагаемых.
П.2. При умножении и делении приближенных чисел в результате верными следует считать столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим количеством верных значащих цифр. Перед выполнением этих действий среди приближенных данных нужно выбрать число с наименьшим количеством значащих цифр и округлить остальные числа так, чтобы они имели лишь на одну значащую цифру больше него.
П.З. При возведении в квадрат или в куб, а также при извлечении квадратного или кубического корня в результате следует считать верными столько значащих цифр, сколько имелось верных значащих цифр в исходном числе.
П.4. Количество верных цифр в результате вычисления функции зависит от величины модуля производной и от количества верных цифр в аргументе. Если модуль производной близок к числу 10k (k — целое), то в результате количество верных цифр относительно запятой на k меньше (если k отрицательно, то — больше), чем их было в аргументе. В данной лабораторной работе для определенности примем соглашение считать модуль, производной близким к 10k , если имеет место неравенство:
0,2·10K < |f ‘(X) | 2·10k .
П.5. В промежуточных результатах помимо верных цифр следует оставлять одну сомнительную цифру (остальные сомнительные цифры можно округлять) для сохранения точности вычислений. В окончательном результате оставляют только верные цифры.
Вычисления по методу границ
Если нужно иметь абсолютно гарантированные границы возможных значений вычисляемой величины, используют специальный метод вычислений — метод границ.
Пусть f(x, у) — функция, непрерывная и монотонная в некоторой области допустимых значений аргументов х и у. Нужно получить ее значение f(a, b), где а и b — приближенные значения аргументов, причем достоверно известно, что
Здесь НГ, ВГ — обозначения соответственно нижней и верхней границ значений параметров. Итак, вопрос состоит в том, чтобы найти строгие границы значения f(a, b), при известных границах значений а и b.
Допустим, что функция f(x, у) возрастает по каждому из аргументов x и y. Тогда
f(НГа, НГb< f(a, b)<f(ВГa ВГb).
Пусть f(x, у) возрастает по аргументу х и убывает по аргументу у. Тогда будет строго гарантировано неравенство
f(НГa ВГb)< f(a, b)< f(ВГa, НГb).
Указанный принцип особенно очевиден для основных арифметических действий. Пусть, например, f(x, у)=х + у. Тогда очевидно, что
Точно так же для функции f2(x, у) = х—у (она по х возрастает, а по у убывает) имеем
Аналогично для умножения и деления:
|
НГа*НГb<а * b<ВГa*ВГb. |
||
|
НГа/ВГb<а / b<ВГa/НГb. |
Пример. Вычислите значение где 2,57<=x<=2,58; 1,45<=y<=1,46; 8,33<=z<=8,34
|
Действие |
Содержимое |
НГ |
ВГ |
|
1 |
X |
2.57 |
2.58 |
|
2 |
Y |
1.45 |
1.46 |
|
3 |
Z |
8.33 |
8.34 |
|
4 |
x+y |
4.02 |
4.04 |
|
5 |
x-y |
1.11 |
1.13 |
|
6 |
(x-y)z |
9.24 |
9.43 |
|
7 |
2.28 |
2.35 |
Пример. В табл. приведены вычисления по формуле методом границ. Нижняя и верхняя границы значений a и b определены из условия, что в исходных данных а = 2,156 и b = 0,927 все цифры верны в строгом смысле (∆a = ∆b = 0,0005), т.е. 2,1555<а<2,1565; 0,92650,9275.
|
a |
b |
ea |
b2 |
a+b2 |
A |
||||
|
НГ |
2,1555 |
0,9265 |
8,63220 |
0,96255 |
9,59475 |
0,85840 |
3,01434 |
1,10338 |
8,6894 |
|
ВГ |
2,15,65 |
0,9275 |
8,64084 |
0,96307 |
9,60391 |
0,86026 |
3,01676 |
1,10419 |
8,7041 |
Рис. Связь между абсолютной погрешностью и границами
Таким образом, результат вычислений значения А по методу границ имеет следующий вид:
8,6894 <А< 8,7041.