Как найти приблизительное значение функции

1. Определение и геометрический смысл дифференциала
2. Алгоритм приближенных вычислений с помощью дифференциала
3. Приближение с точностью до квадрата приращения
4. Полезные формулы приближений для функций вблизи нуля
5. Примеры

п.1. Определение и геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции (y=f(x)) – это главная, линейная часть приращения функции, равная произведению производной на приращение аргумента: $$ dy=f'(x_0)triangle x $$

Выберем на кривой (y=f(x)) начальную точку (A(x_0,y_0)). Если мы начнем перемещаться к точке (B(x,y)), то приращению аргумента (triangle x=AC) соответствует приращение функции (triangle y=BC). Если считать, что кривая приблизительно совпадает со своей касательной при малых приращениях (triangle x), то (BCapprox MC) и (triangle yapprox dy).

Геометрический смысл дифференциала — замена приращения функции (triangle y) на линейное приращение по касательной (dy: triangle yapprox dy=f'(x_0 )triangle x)
Чем меньше (triangle x), тем ближе дифференциал к полному приращению функции: $$ triangle yrightarrow dy, triangle xrightarrow 0 $$

п.2. Алгоритм приближенных вычислений с помощью дифференциала

п.3. Приближение с точностью до квадрата приращения

Значение функции в зависимости от приращения (triangle x=x^*-x_0) с точностью до квадратичного слагаемого определяется формулой: $$ y^*approx f(x_0)+f'(x_0)(x^*-x_0)+frac{f»(x_0)}{2}(x^*-x_0)^2 $$

п.4. Полезные формулы приближений для функций вблизи нуля

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите линейное приближение значения функции в заданной точке с помощью дифференциала. Ответ представьте с точностью до сотых. $$ y^*approx f(x_0)+f'(x_0)(x^*-x_0) $$ a) (sqrt[3]{28})
Функция (y=sqrt[3]{x}, x^*=28, x_0=27)
(f(x_0)=sqrt[3]{27}=3)
Производная: (f'(x)=(sqrt[3]{x})’=frac13 x^{-frac23}=frac{1}{3sqrt[3]{x^2}})
(f'(x_0)=frac{1}{3sqrt[3]{27^2}}=frac{1}{3cdot 9}=frac{1}{27}) $$ y^*=sqrt[3]{28}approx 3+frac{1}{27}(28-27)=3+frac{1}{27}approx 3,037approx 3,04 $$
б) (sin(0,03))
Функция (y=sinx, x^*=0,03, x_0=0)
(f(x_0)=sin0=0)
Производная: (f'(x)=(sinx)’=cosx)
(f'(x_0)=cos0=1) $$ y^*=sin(0,03)approx 0+1cdot(0,03-0)=0,03 $$
в) (sqrt{0,98})
Функция (y=sqrt{x}, x^*=0,98, x_0=1)
(f(x_0)=sqrt[3]{27}=3)
Производная: (f'(x)=(sqrt{x})’=frac{1}{2sqrt{x}})
(f'(x_0)=frac{1}{2sqrt{1}}=frac12) $$ y^*=sqrt{0,98}approx 1+frac12(0,98-1)=1-0,01=0,99 $$
e) (e^{0,01})
Функция (y=e^x, x^*=0,01, x_0=0)
(f(x_0)=e^0=1)
Производная: (f'(x)=(e^x)’=e^x)
(f'(x_0)=e^0=1) $$ y^*=e^{0,01}approx 1+1cdot (0,01-0)=1+0,01=1,01 $$

Пример 2. Найдите приближение значения функции в заданной точке с точностью до квадрата приращения. Ответ представьте с точностью округления последнего слагаемого. $$ y^*approx f(x_0)+f'(x_0)(x^*-x_0)+frac{f»(x_0)}{2}(x^*-x_0)^2 $$ a) (sqrt[4]{80})
Функция (y=sqrt[4]{x}, x^*=80, x_0=81)
(f(x_0)=sqrt[4]{81}=3)
Первая производная: (f'(x)=(sqrt[4]{x})’=frac14 x^{-frac34}=frac{1}{4sqrt[4]{x^3}})
(f'(x_0)=frac{1}{4sqrt[4]{81^3}}=frac{1}{4cdot 27}=frac{1}{108})
Вторая производная: (f»(x)=frac14cdot left(-frac34right)cdotfrac{1}{xsqrt[4]{x^3}}=-frac{3}{16xsqrt[4]{x^3}})
(f»(x_0)=-frac{3}{16cdot 81cdotsqrt[4]{81^3}}=-frac{3}{16cdot 81cdot 27}=-frac{1}{11664}) begin{gather*} y^*=sqrt[4]{80}approx 3+frac{1}{108}(80-81)-frac{1}{11664}cdot frac12(80-81)^2approx 3-0,00926-0,00004=\ =2,99070approx 2,9907 end{gather*}
б) (ln 1,04)
Функция (y=ln x, x^*=1,04, x_0=1)
(f(x_0)=ln 1=0)
Первая производная: (f'(x)=(ln x)’=frac1x)
(f'(x_0)=frac{1}{1}=1)
Вторая производная: (f»(x)=-frac{1}{x^2})
(f»(x_0)=-frac{1}{1^2}=-1) begin{gather*} y^*=ln 1,04approx 0+1cdot (1,04-1)-1frac12(1,04-1)^2=0,04-0,0008=0,0392approx 0,039 end{gather*}
в) (cos0,07)
Функция (y=cosx, x^*=0,07, x_0=0)
(f(x_0)=cos0=1)
Первая производная: (f'(x)=(cosx)’=-sinx)
(f'(x_0)=-sin0=0)
Вторая производная: (f»(x)=(-sinx)’=-cosx)
(f»(x_0)=-cos0=-1) begin{gather*} y^*=cos0,07approx 1+0cdot (0,07-0)-1cdotfrac12(0,07-0)^2=1-0,00245=\ =0,99755approx 0,9976 end{gather*}
г) (tg0,11)
Функция (y=tgx, x^*=0,11, x_0=0)
(f(x_0)=tg0=0)
Первая производная: (f'(x)=(tgx)’=frac{1}{cox^2x})
(f'(x_0)=frac{1}{cos^2x}=1)
Вторая производная: (f»(x)=left(frac{1}{cos^2x}right)’=-frac{2cosxcdot(-sinx)}{cos^4x}=frac{2sinx}{cos^3x})
(f»(x_0)=frac{2sin0}{cos^30}) begin{gather*} y^*=tg0,11approx 0+1cdot (0,11-0)+0cdotfrac12 (0,11-0)^2=0,11 end{gather*}

Задание. Вычислить приближенно $text { arctg } 1,02$ ,
заменяя приращение функции ее дифференциалом.

Решение. Рассмотрим функцию $y=operatorname{arctg} x$.
Необходимо вычислить ее значение в точке $x=1,02$ .
Представим данное значение в виде следующей суммы:

$x=x_0+Delta x$

Величины $x_0$ и $delta x$
выбираются так, чтобы в точке $x_0$ можно было бы
достаточно легко вычислить значение функции и ее производной, а $delta x$
было бы достаточно малой величиной. С учетом этого, делаем вывод, что
$x=1,02=1+0,02$ , то есть $x_0=1$, $Delta x=0,02$.

Вычислим значение функции $y=operatorname{arctg} x$ в точке
$x_0=1$:

$$yleft(x_{0}right)=y(1)=operatorname{arctg} 1=frac{pi}{4}$$

Далее продифференцируем рассматриваемую функцию и найдем значение
$y^{prime}left(x_{0}right)$:

$$y^{prime}=(operatorname{arctg} x)^{prime}=frac{1}{1+x^{2}}$$

Тогда

$$y^{prime}(1)=frac{1}{2}$$

Итак,

$$begin{aligned}
y(1,02) &=operatorname{arctg} 1,02=y(1+0,02) approx y(1)+y^{prime}(1) cdot Delta x=\
&=frac{pi}{4}+frac{1}{2} cdot 0,02 approx 0,7852+0,01=0,7952
end{aligned}$$

Ответ. $operatorname{arctg} 1,02 approx 0,7952$

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!