Как найти принужденный ток

Содержание:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами:

В предыдущих главах электрические цепи постоянного и переменного токов и их расчет рассмотрены в установившемся режиме, т. е. при установившихся напряжениях и токах.

В установившемся режиме напряжения и токи во всех участках электрической цепи остаются неизменными в течение сколь угодно большого промежутка времени. В понятие неизменных напряжений и токов в данном случае включаются не только постоянные, но и синусоидальные напряжения и токи с постоянными амплитудой и частотой.

По условиям эксплуатации и характеру работы электроустановок или по другим (в том числе случайным) причинам изменяются режимы в электрических цепях.

Для перехода от одного установившегося режима к другому требуется некоторый переходный период, в течение которого изменяются величины токов и напряжений в электрической цепи. С большей или меньшей скоростью эти величины приходят в соответствие с условиями нового режима.
В последующих параграфах для переходных периодов в некоторых простых цепях найдены зависимости тока и напряжения от времени, позволяющие определить их величины в любой момент.

Общие сведения о переходных процессах

Для изучения переходных процессов в простой или сложной цепи необходимо рассмотреть общие сведения о них. В числе таких сведений отметим причины возникновения переходных процессов, основные определения и два закона коммутации, на которых основаны исследования переходных процессов.

Причины возникновения переходных процессов

Переходные процессы возникают вследствие изменения э. д. с. в цепи, напряжения, приложенного к цепи, или в связи с изменением ее параметров — сопротивления, индуктивности или емкости.

Непосредственными причинами возникновения переходных процессов могут быть: коммутационные изменения режимов, т.е. включение и выключение источников питания, приемников энергии; короткие замыкания на участках электрических цепей; изменения механической нагрузки электродвигателей и др.

Электромагнитные процессы, происходящие в электрических целях при переходе от одного установившегося режима к другому, называют переходными процессами.

Электрические токи, напряжения в цепи во время переходного процесса называют переходными токами или напряжениями.

Продолжительность переходных процессов в электрических цепях (переходный период) чаще всего составляет десятые и сотые доли секунды. Однако знание характера их очень важно, так как и за малое время возможны резкие увеличения токов и напряжений, которые могут оказаться опасными для электрических установок.

В устройствах связи, автоматики, счетно-решающей техники, радиотехники с помощью переходных процессов формируются импульсы — сигналы, несущие определенную информацию.

Изучение переходных процессов в этих устройствах необходимо для оценки тех изменений, которые они могут внести в электрические сигналы.
Соотношение длительностей установившихся и переходных режимов может быть самым различным и зависит от условий эксплуатации и назначения электрических цепей. Одни из них по продолжительности практически все время работают в установившемся режиме (двигатели с длительной неменяющейся нагрузкой, лампы электрического освещения), другие, наоборот, непрерывно находятся в переходном режиме (двигатели с повторно-кратковременной нагрузкой, линии связи во время передачи информации, импульсные устройства автоматики, счетно-решающие машины в период работы).

Первый закон коммутации

Первый закон коммутации применяется к цепям, обладающим индуктивностью.

Ток в индуктивности не может измениться скачком. Поэтому мгновенный ток в ветви с индуктивностью в первый момент переходного периода остается таким, каким он был в последний момент предшествующего установившегося режима.

Справедливость первого закона коммутации следует из простых рассуждений, которые изложим применительно к случаю включения катушки индуктивности на постоянное напряжение U (рис. 25.1).
До замыкания рубильника Р установившийся режим характеризуется тем, что ток в цепи, напряжения активное u_R и индуктивное u_L равны нулю.

С момента замыкания рубильника возникает переходный процесс, в течение которого ток в катушке увеличивается до некоторой величины i = I, изменяются и напряжения u_R и u_L. Электрическое состояние цепи по схеме рис. 25.1 в любой момент переходного периода характеризуется уравнением

В установившемся режиме при замкнутом рубильнике Р ток в цепи постоянный, т. е. скорость изменения тока равна нулю: , поэтому и индуктивное напряжение u_L равно нулю. Напряжение источника полностью приложено к сопротивлению R, и ток в цепи определяется согласно закону Ома:

Предположим, что переходный период отсутствует и ток в катушке мгновенно () увеличился от 0 до конечной величины I. Тогда скорость изменения тока должна быть равна бесконечности ().
Но это противоречит уравнению (25.1), в котором напряжение источника U — конечная величина. Изменение тока скачком означало бы также, что энергия магнитного поля катушки увеличилась скачком от 0 до Для мгновенного изменения запаса энергии в магнитном поле цепи требуется источник бесконечно большой мощности , что лишено физического смысла.

Из первого закона коммутации следует, что в начальный момент после замыкания рубильника (при t = 0) ток в цепи равен нулю (i₀ = 0), падение напряжения в сопротивлении i₀R = 0, а индуктивное напряжение — напряжению источника u_0L = U и цепь как бы разомкнута индуктивностью.

Второй закон коммутации

Второй закон коммутации применяется к цепям, обладающим емкостью.

Напряжение на емкости не может измениться скачком. Поэтому напряжение на емкости в первый момент переходного периода остается таким, каким оно было в последний момент предшествующего установившегося режима.

Рассуждения, подтверждающие второй закон коммутации, приведем применительно к случаю зарядки конденсатора через резистор (включение цепи с R и С на постоянное напряжение, рис. 25.2). До замыкания рубильника Р установившийся режим характеризуется тем, что ток в цепи на резисторе и конденсаторе равны нулю.

Рис. 25.2. Ко второму закону коммутации

С момента замыкания рубильника возникает переходный процесс, в течение которого напряжение на конденсаторе увеличивается до напряжения источника U (конденсатор заряжается), изменяются ток в цепи и напряжение на резисторе.

Электрическое состояние цепи (рис. 25.2) в любой момент переходного периода характеризуется уравнением, составленным по второму закону Кирхгофа:

Ток в цепи пропорционален скорости изменения напряжения на конденсаторе:

Учитывая это, получаем

Приложенное к цепи напряжение (напряжение источника) делится на две части: одна из них () компенсирует падение напряжения в резисторе, а другая (u_C) равна напряжению в конденсаторе.

В установившемся режиме при замкнутом рубильнике Р напряжение на конденсаторе не изменяется, т. е. скорость изменения напряжения на конденсаторе равна нулю (), поэтому и ток в цепи равен нулю (i_у = 0). Напряжение на резисторе равно нулю, и, следовательно, напряжение источника полностью приложено к конденсатору: (т. е. цепь разомкнута конденсатором).

Доказательства существования переходного периода при зарядке конденсатора аналогичны тем, которые были ранее приведены для цепи с катушкой индуктивности.
Предположим, что в момент замыкания рубильника Р напряжение на конденсаторе изменилось скачком от 0 до U. Такое предположение означает конечное изменение напряжения за время, равное нулю, т. е. , что противоречит уравнению (25.4), в котором напряжение источника — конечная величина. Кроме того, при изменении напряжения на конденсаторе скачком энергия электрического поля должна увеличиться мгновенно от 0 до . Для такого скачкообразного изменения энергии требуется источник бесконечно большой мощности, чего в действительности быть не может. Из второго закона коммутации следует, что в начальный момент переходного периода (при t = 0) напряжение на конденсаторе равно нулю (u_C0 = 0) (конденсатор как бы замкнут накоротко). Напряжение на резисторе равно напряжению источника i₀R = U, а ток в цепи i₀ = U/R.

Включение катушки индуктивности на постоянное напряжение

После включения катушки к источнику постоянного напряжения ток в цепи рис. 25.1 увеличивается, но не мгновенно. Перейдем к более подробному анализу переходного процесса.

График переходного тока

Закон изменения тока в катушке после замыкания рубильника в схеме рис. 25.1 можно выяснить, используя уравнение (25.1) в преобразованном виде:

В первый момент переходного периода ток в цепи с R и L равен нулю (i₀ = 0).

Поэтому независимо от величины сопротивления R скорость изменения тока в начальный момент переходного периода выражается отношением величины напряжения к индуктивности:

Из этого выражения следует, что сразу после включения цепи ток начинает увеличиваться по линейному закону с наибольшей в данных условиях скоростью.

Но так происходит лишь в начальный момент переходного периода. Как только в цепи появился ток, хоть и малой величины, одновременно возникло падение напряжения iR [см. уравнение (25.1)], а индуктивное напряжение соответственно уменьшилось. Уменьшение индуктивного напряжения немедленно вызовет снижение скорости изменения тока.

Рис. 25.3. График переходного тока после включения цепи на постоянное напряжение

Таким образом, рассматриваемый переходный процесс в катушке (при постоянных величинах U, R, L) отличается тем, что с увеличением тока уменьшается скорость его изменения. По этой причине график тока (кривая i на рис. 25.3) с течением времени все более отклоняется от прямой i_L, которая соответствует начальной скорости переходного процесса. Прямая i_L, как нетрудно заметить, является касательной к кривой переходного тока i реальной цепи, а наклон ее к оси абсцисс характеризует наибольшую скорость изменения тока, возможную при заданных условиях.

Теоретически переходный процесс продолжается бесконечно долго, а ток в цепи асимптотически стремится к установившемуся I = U/R.

Постоянная времени электрической цепи

Если предположить, что при наличии в цепи сопротивления R ток изменялся бы по линейному закону с наибольшей скоростью (прямая i_L), то установившейся величины I он достиг бы за наименьшее время t = τ. Этот промежуток времени является важной характеристикой и называется постоянной времени электрической цепи.

Постоянную времени можно определить графически (рис. 25.3). Для этого нужно провести касательную Оа к кривой тока в начале координат; точку пересечения касательной с асимптотой спроектировать на ось времени. Отрезок Оа’ в масштабе времени выражает постоянную времени τ.
Такую же длину имеет отрезок , который можно получить, если провести касательную к кривой тока в любой точке , найти точку  пересечения касательной с асимптотой и спроектировать точки  и  на ось времени.
Из рис. 25.3 можно получить аналитическое выражение для определения постоянной времени. Прямая  представляет собой график изменения тока (i_L) в идеальной катушке без сопротивления.
Это следует из уравнения (25.5): при R = 0
  
Отсюда

По графику при t = τ i = I.
Так как U = IR, то постоянная времени

Постоянная времени, как видно из последней формулы, определяется только параметрами R, L данной цепи.

Уравнение кривой переходного тока

Уравнение кривой переходного тока в катушке после замыкания рубильника в схеме рис. 25.1 можно получить, используя уравнение (25.1) в таком виде:

Проинтегрируем обе части этого дифференциального уравнения:

В результате интегрирования получим

или

(постоянная интегрирования взята в форме  для упрощения окончательного выражения переходного тока). Потенцируя, находим

Постоянная интегрирования К₂ определяется из начальных условий: согласно первому закону коммутации, в начальный момент переходного периода ток в цепи равен нулю, так как он был равен нулю в последний момент до включения рубильника.
Подставив в последнее равенство t = 0 и i = 0, найдем

Определив К₂ из начальных условий, получим окончательно уравнение для переходного тока

В этом уравнении τ = L/R — уже известная постоянная времени цепи.
Уравнению (25.8) соответствует график переходного тока (кривая i на рис. 25.3).
Как было отмечено, переходный процесс продолжается бесконечно долго. Это подтверждается уравнением (25.8), согласно которому ток устанавливается при t = ∞. В практике переходный период считается законченным по истечении времени, равном (4 ÷ 5)τ, когда ток отличается от установившегося примерно на 1%.

Принужденная и свободная составляющие переходного тока

Из уравнения (25.8) видно, что переходный ток можно рассматривать как алгебраическую сумму двух составляющих:

Первая составляющая представляет собой ток, установившийся в цепи по окончании переходного процесса (прямая i_пр на рис. 25.3):

Этот ток определяется непрерывным действием постоянного напряжения U в переходном и установившемся режимах. Его принято называть принужденным током.

Вторая составляющая возникает в начале переходного процесса и постепенно затухает до нуля, после чего переходный процесс считается законченным (кривая i_св на рис. 25.3). Эта составляющая переходного тока называется свободным током. Он изменяется по закону

Из уравнения (25.10) следует:
постоянная времени электрической цепи равна интервалу времени, в течение которого свободный ток в этой цепи убывает в е раз.

График переходного тока (рис. 25.3) можно получить, сложив графики принужденного и свободного токов. Однако нужно помнить, что физически реальным в течение переходного процесса является общий ток, постепенно нарастающий от начального (i = 0) до установившегося (i = I).
Одновременно с увеличением тока происходит процесс постепенного изменения (в данном случае накопления) энергии  в магнитном поле.

Влияние величины напряжения и параметров цепи на переходный процесс

Переходный процесс при включении цепи с R и L на постоянное напряжение U характеризуют три показателя: установившийся ток, начальная скорость изменения тока и постоянная времени цепи [см. формулы (25.2), (25.6), (25.7)].
Используя эти выражения, можно проследить влияние величины напряжения источника и параметров цепи на переходный процесс (имеются в виду изменения напряжения или параметров цепи до начала переходного процесса).
Установившийся ток и начальная скорость изменения тока зависят от напряжения, а постоянная времени цепи, характеризующая продолжительность переходного процесса, не зависит.

Эти заключения отражены на рис. 25.4: графики установившегося тока проведены на разном уровне, а касательные к кривой тока наклонены к оси времени под разными углами. При этом постоянная времени не изменилась (τ₂ = τ₁).

Продолжительность переходного процесса в обоих случаях одинакова, несмотря на то что скорость изменения тока разная. Это обстоятельство не должно вызывать сомнения: при изменении напряжения ток увеличивается с другой скоростью, но и стремится к другой установившейся величине.

Рис. 25.4. Графики переходного тока при различных напряжениях на зажимах цепи

При изменении сопротивления R в цепи изменяются установившийся ток и постоянная времени. Начальная скорость изменения тока от сопротивления R не зависит.

В соответствии с этими выводами на рис. 25.5 проведены две асимптоты (I₁ и I₂) и одна общая касательная к графикам переходного тока в начале координат:

Касательная пересекает асимптоты в точках с разными координатами не только по оси токов, но и по оси времени, что подтверждает предыдущий вывод о зависимости постоянной времени от сопротивления R.

Рис. 25.5. Графики переходного тока при различных сопротивлениях цепи

Рис. 25.6. Графики переходного тока при различных индуктивностях цепи

Из этого нетрудно сделать заключение о том, как влияет сопротивление на продолжительность переходного процесса.
Изменение индуктивности не сказывается на величине установившегося тока, но начальная скорость изменения тока и постоянная времени изменяются. Поэтому на рис. 25.6 проведены одна (общая) асимптота и две касательные в начале координат к графикам переходного тока. Касательные пересекают асимптоту в двух точках и отмечают величины постоянных времени τ₁ и τ₂, соответствующих двум величинам индуктивности цепи.
В данном случае переходные токи стремятся к одинаковой установившейся величине с разной скоростью, поэтому продолжительность переходного процесса неодинакова.

Отключение катушки индуктивности от источника постоянного напряжения

Отключение приемников электрической энергии от источника или от сети осуществляется в большинстве случаев разрывом цепи в одной или нескольких точках. Встречаются случаи, когда элементы цепи, обладающие большой индуктивностью, при разрыве цепи одновременно замыкаются накоротко или на разрядное сопротивление.

Размыкание электрической цепи с катушкой индуктивности

При размыкании электрической цепи с катушкой индуктивности (рис. 25.7, а) в момент разрыва цепи напряжение между расходящимися контактами выключателя В резко увеличивается от нуля до U + u_L. Скорость изменения тока в момент разрыва цепи , поэтому величина — может быть весьма большой. Воздушный промежуток между контактами пробивается и образуется искра. Таким образом, ток в цепи сохраняется некоторое время после начала расхождения контактов. При большой мощности источника искровой разряд может перейти в дуговой. Для гашения электрической дуги отключающие аппараты, как правило, снабжаются дугогасительными приспособлениями, конструкция которых зависит от мощности цепи и рабочего напряжения установки.

Рис. 25.7. Схемы размыкания цепи с индуктивностью

В некоторых случаях (например, при выключении обмоток возбуждения электрических машин) напряжение может достигать величин, опасных для изоляции. Значительного повышения напряжения можно избежать, если одновременно с отключением индуктивной катушки от источника замкнуть ее на разрядное сопротивление (рис. 25.7, б). По подобной схеме работают, например, автоматы гашения поля (АГП) генераторов на электростанциях. При внутренних повреждениях в генераторе необходимо как можно скорее отключить его от сети и «погасить» магнитное поле. Для этого и служит АГП, с помощью которого обмотка возбуждения замыкается на разрядное сопротивление и отключается от возбудителя.

Изменение тока в катушке, замкнутой на разрядное сопротивление

Переходный процесс в замкнутом контуре катушка — разрядное сопротивление отличается от процесса в цепи рис. 25.7, а тем, что скорость изменения тока зависит от параметров цепи  и L. Соответствующим подбором разрядного сопротивления величина ее может быть ограничена.
При включении катушки на постоянное напряжение по схемам рис. 25.1 или 25.7, б катушка является приемником энергии. Ток i и э. д. с. самоиндукции е_L имеют противоположные направления, что соответствует накоплению энергии в магнитном поле катушки за счет энергии источника.
После отключения цепи от источника энергии (рис. 25.7, б) в образовавшемся короткозамкнутом контуре ток не может уменьшиться мгновенно до нуля, а поддерживается в течение переходного периода, пока имеется энергия в магнитном поле катушки.

Запас энергии в магнитном поле непрерывно уменьшается, так как в активном сопротивлении цепи R совершается необратимый процесс превращения электрической энергии в тепловую.

Таким образом, во время переходного процесса катушка является источником электрической энергии с электродвижущей силой самоиндукции е_L, которая возникает и поддерживается в связи с уменьшением тока. Это подтверждается и изменением направления э. д. с. самоиндукции, которое теперь совпадает с направлением тока.

Закон изменения тока при выключении катушки (как и при ее включении) определяется параметрами R и L. Еще до подробного анализа уравнения тока, который приведен далее, можно отметить обстоятельства, позволяющие судить о характере уменьшения тока в катушке.

Рис. 25.8. График переходного тока в катушке индуктивности, замкнутой на сопротивление

В начальный момент переходного периода величина тока в катушке сохраняется в соответствии с первым законом коммутации. В дальнейшем после отключения источника энергии принужденная составляющая переходного тока отсутствует, поэтому переходный ток является свободным током. Возникновение свободного тока связано с изменением запаса энергии в магнитном поле, подобно тому как при увеличении тока в катушке изменением энергии в магнитном поле определяется свободная составляющая тока (см. рис. 25.3). Отличие заключается лишь в том, что при включении катушки энергия в магнитном поле накапливалась, а теперь она расходуется. С этим и связано изменение направления свободного тока, которое всегда совпадает с направлением э. д. с. самоиндукции.

Предположим, что сопротивление короткозамкнутого контура в схеме рис. 25.7, б равно сопротивлению цепи при включении катушки по схеме рис. 25.1 и индуктивности одинаковы. В этом случае график тока в цепи рис. 25.7, б после замыкания ее накоротко можно получить, повернув на 180° вокруг оси времени график i_1св свободного тока при включении катушки (ср. рис. 25.3 и 25.8, где показаны также графики установившегося i_1у и переходного i₁ токов при включении катушки).

Касательная к графику тока (рис. 25.8) в точке с координатами t = 0, i = I отсечет на оси времени отрезок τ, выражающий постоянную времени цепи, которая и в данном случае аналитически определяется формулой (25.7).

Уравнение переходного тока

Величину переходного тока в короткозамкнутой катушке можно определить из уравнения (25.1), если учесть, что U = 0:

После разделения переменных получим

а после интегрирования обеих частей уравнения —

где К₃ — постоянная интегрирования, отсюда

В установившемся режиме, предшествующем отключению катушки от источника, и в начальный момент переходного периода (t = 0) ток i₀ = I = U/R.
Учитывая это, из начальных условий найдем K₃:

а

Таким образом, уравнение тока в переходный период имеет вид

где — постоянная времени короткозамкнутой цепи.
В короткозамкнутой катушке ток уменьшается по экспоненциальному закону от i₀ = I до установившегося i_y = 0.
Сравнивая (25.11) с выражением свободного тока в катушке при ее включении на постоянное напряжение (25.10), убеждаемся, что они одинаковы, если не учитывать изменение знака.
Длительность переходного процесса, как и при включении катушки, теоретически равна бесконечности, а практически ток принимается равным нулю при t = (4 ÷ 5)τ.’
Вопрос о влиянии величины начального тока I и параметров цепи на продолжительность переходного процесса можно проанализировать аналогично тому, как это сделано  для случая включения катушки.
Основными характеристиками переходного процесса являются:
начальный ток I = U/R; начальная скорость изменения тока

постоянная времени цепи τ = L/R.
Нетрудно заметить, что выражения этих характеристик совпадают соотвественно с формулами (25.2), (25.6) и (25.7). Изменился лишь знак в формуле начальной скорости изменения тока. Но это объясняется просто: ток теперь не увеличивается, а уменьшается, и касательная к кривой тока наклонена к оси времени под утлом, большим 90°.

Изменение сопротивления в цепи с индуктивностью

При включении катушки индуктивности, обладающей параметрами R, L, сопротивление цепи уменьшается скачком от ∞ до R, а при выключении оно увеличивается от R до ∞.

В соответствии с такими изменениями сопротивления ток в цепи за время переходного периода увеличивается от 0 до I или уменьшается от I до 0.
При скачкообразном изменении сопротивления цепи в конечных пределах тоже возникает переходный процесс, который в общих чертах подобен уже рассмотренным процессам.

Некоторые особенности его обусловлены тем, что при уменьшении сопротивления ток увеличивается начиная с некоторой конечной величины, а при увеличении сопротивления ток уменьшается не до нуля.

Уменьшение сопротивления в цепи

При разомкнутом рубильнике Р в цепи с последовательно соединенными сопротивлением R₁ и катушкой R₂, L (рис. 25.9) установившийся ток

После замыкания рубильника сопротивление в цепи внезапно уменьшается до R₂, а ток постепенно увеличивается до
Переходный процесс от первого режима ко второму отличается от рассмотренного  тем, что ток в цепи увеличивается не от нуля, а от величины I₁. Однако закон изменения тока от I₁ до I₂ такой же.

25.9. Схема изменения скачком сопротивления в цепи

Рис. 25.10. График переходного тока после уменьшения сопротивления

Вследствие уменьшения сопротивления в цепи возникает добавочный свободный ток, начальная величина которого определяется в соответствии с первым законом коммутации:
Если к принужденному току прибавить свободный ток  то получим переходный ток, который в начальный момент сохраняет свою предыдущую величину I₁:

Свободный ток уменьшается в течение переходного процесса до нуля по известному закону (рис. 25.10). По аналогии с формулой (25.11) имеем

или

где 

Увеличение сопротивления в цепи

Обратный переход от второго режима к первому совершается после размыкания рубильника. Сопротивление цепи внезапно увеличивается, а ток от I₂ уменьшается по экспоненциальному закону, стремясь к установившейся величине I₁ (рис. 25.11).

Рис. 25.11. График переходного тока после увеличения сопротивления

Принужденная составляющая переходного тока i_пр = I₁.
Свободная составляющая, по аналогии с формулой (25.11),

где

Уравнение переходного тока

Зарядка конденсатора

Анализ процесса зарядки конденсатора от источника постоянного напряжения во многом совпадает с анализом переходного процесса после включения катушки на постоянное напряжение, так как исходные уравнения (25.1) и (25.4) по своей структуре аналогичны.

Уравнение кривых переходного тока и напряжения на конденсаторе

Закон изменения напряжения на конденсаторе и зарядного тока можно найти, решив дифференциальное уравнение (25.4). Путем разделения переменных это уравнение приводится к виду, удобному для интегрирования:

Интегрирование и последующие преобразования, выполненные в том же порядке, как для цепи с катушкой индуктивности, приводят к решению уравнения в виде

где К₄ — постоянная интегрирования.
Из начальных условий (t = 0, u_C0 — 0) находим
Уравнение кривой напряжения на конденсаторе принимает вид

Уравнение зарядного тока легко найти из предыдущего уравнения (25.14), если учесть выражение (25.3):


В дальнейшем для анализа переходных процессов при зарядке конденсаторов потребуется выражение скорости изменения напряжения на конденсаторе в начальный момент времени. Это выражение нетрудно получить, используя формулы (25.3) и (25.15):

Графики зависимости напряжения на конденсаторе u_C и зарядного тока i₃ от времени изображены на рис. 25.12.
Как видно из этих графиков, скорость увеличения напряжения на конденсаторе и скорость уменьшения зарядного тока непрерывно снижаются.

Рис. 25.12. Графики переходных тока и напряжения при зарядке конденсатора

Напряжение u_C и зарядный ток асимптотически стремятся к своим пределам: u_C— к величине напряжения источника U, а ток i — к нулю. Теоретически переходный процесс продолжается бесконечно долго, что подтверждают уравнения (25.14) и (25.15) (u_C = U и i = 0 при t = ∞). Однако практически считают, что переходный процесс заканчивается за время, равное (4 ÷ 5)τ. Величина τ в уравнениях (25.14) и (25.15) — постоянная времени цепи:

Постоянная времени, которая зависит от параметров цепи R, С, как и в цепи с индуктивностью, является показателем продолжительности переходного процесса.
В уравнении (25.14) можно выделить принужденную и свободную составляющие напряжения на конденсаторе:



Зарядный ток состоит только из свободной составляющей

а принужденная составляющая

Влияние величины напряжения источника и параметров цепи на переходный процесс

Переходный процесс при зарядке конденсатора от источника постоянного напряжения характеризуют три показателя: установившееся напряжение на конденсаторе; начальная скорость изменения напряжения; постоянная времени [см. формулы (25.18), (25.16), (25.17)].

Рис. 25.13. Графики переходного напряжения на конденсаторе при различных напряжениях источника

Рис. 25.14. Графики переходного напряжения на конденсаторе при различных сопротивлениях цепи

Используя их выражения, можно проследить влияние величины напряжения заряжающего источника и параметров цепи на переходный процесс (имеется в виду изменение напряжения или параметров цепи до начала переходного процесса).

При изменении напряжения источника изменяются установившееся напряжение на конденсаторе и начальная скорость изменения напряжения, а постоянная времени цепи, характеризующая длительность переходного процесса, от напряжения не зависит. На рис. 25.13 построены соответственно двум различным напряжениям источника U₁ и U₂ два графика изменения напряжения на конденсаторе 1 и 2 и две касательные к ним в начале координат, имеющие разные углы наклона к оси времени.
Продолжительность переходного периода в обоих случаях одинакова, так как напряжения на конденсаторе изменяются с разными скоростями, стремясь к разным установившимся величинам.

Рис. 25.15. Графики переходных напряжений и тока конденсатора при различных величинах емкости

Сопротивление входит в выражения начальной скорости изменения напряжения на конденсаторе (25.16) и постоянной времени цепи (25.17), а установившееся напряжение на конденсаторе от сопротивления не зависит. В соответствии с этим на рис. 25.14 проведены одна общая асимптота (U₁ = U₂) и две касательные в начале координат к графикам переходного напряжения на конденсаторе.

Касательные пересекают асимптоту в двух точках, при этом отмечают две величины постоянной времени: τ₁ и τ₂. На том же рисунке показаны кривые 1 и 2 изменения напряжения на конденсаторе u_C, соответствующие двум величинам сопротивления в цепи. По этим графикам нетрудно сделать заключение о влиянии сопротивления на переходный процесс заряда конденсатора. Изменение емкости влияет на продолжительность переходного процесса так же, как изменение сопротивления (рис. 25.15) К такому заключению можно прийти, применяя для анализа те же выражения (25.16), (25.17), (25.18). Однако имеется разница в энергетической характеристике процесса: при изменении емкости меняется конечный запас энергии в электрическом поле цепи, а при изменении сопротивления — количество электрической энергии, преобразованной в тепло.

Задача 25.13.

Конденсатор емкостью С = 10 мкФ заряжается через резистор, сопротивление которого R = 9 Ом, по схеме рис. 15.16 (переключатель П в положении 1) от источника электрической энергии с э. д. с. Е = 100 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом (на схеме не показано). Через промежуток времени, равный удвоенной величине постоянной времени цепи зарядки, переключатель П переведен в положение 2.
Определить энергию, израсходованную в резисторе за время зарядки конденсатора.
Решение. Закон изменения напряжения на конденсаторе в процессе зарядки

К моменту переключения рубильника напряжение u_C достигает величины

Закон изменения тока в процессе зарядки конденсатора

Энергия, израсходованная в сопротивлении R при зарядке конденсатора,

Разрядка конденсатора на сопротивление

Переходный процесс при разрядке конденсатора рассмотрим по схеме рис. 25.16, предполагая, что заряженный до напряжения u_СУ = U конденсатор емкостью С отключается от источника энергии и его обкладки замыкаются на сопротивление R (переключатель П в положении 2).

Рис. 25.16. Схема разрядки конденсатора

Переходный процесс при разрядке конденсатора

После переключения по схеме рис. 25.16 конденсатор не может разрядиться мгновенно, т. е. напряжение u_C не может уменьшиться скачком до нуля, а поддерживается в течение переходного периода за счет энергии, накопленной в электрическом поле конденсатора.

При этом в активном сопротивлении R совершается необратимый процесс превращения электрической энергии в тепловую. Запас энергии в электрическом поле непрерывно сокращается, а вместе с этим уменьшается и напряжение на конденсаторе. Во время переходного периода конденсатор является источником энергии.

Характер изменения напряжения на конденсаторе при его разрядке можно установить пока без математического анализа несложными рассуждениями, предположив, что конденсатор замкнут на то же сопротивление R, через которое он заряжается.

В начальный момент переходного периода величина напряжения на конденсаторе сохраняется, как и следует из второго закона коммутации. В дальнейшем закон уменьшения напряжения u_C будет определяться изменением энергии в электрическом поле конденсатора, подобно тому как при зарядке изменением энергии электрического поля определяется свободная составляющая напряжения на конденсаторе (см. рис. 25.12).

Отличие заключается лишь в том, что при зарядке энергия в электрическом поле накапливалась, а при разрядке она расходуется. Выражением этого отличия служит изменение направления разрядного тока в конденсаторе по сравнению с зарядным током (на рис. 25.16 направления тока, напряжений на конденсаторе и резисторе при разрядке показаны сплошными, а при зарядке — пунктирными стрелками).

График разрядного тока можно получить, повернув график зарядного тока на 180° вокруг оси времени (рис. 25.17).

Рис. 25.17. Графики переходных напряжений и тока при разрядке конденсатором

Так же можно получить график напряжения на конденсаторе, который по форме повторяет график свободной составляющей напряжения на конденсаторе при зарядке (на рис. 25.17 графики, относящиеся к процессу зарядки, показаны пунктиром, а графики при разрядке — сплошными линиями). Касательная к графику u_C в точке с координатами t = 0, u_C = U отсечет на оси времени отрезок τ, выражающий постоянную времени цепи, которая и при разрядке алгебраически определяется формулой (25.17).

Уравнение напряжения на конденсаторе и тока в цепи при разрядке конденсатора

Для математического анализа переходного процесса при разрядке конденсатора исходным является уравнение (25.4), в котором для этого случая напряжение источника нужно считать равным нулю:

отсюда

После разделения переменных получим

После интегрирования

Отсюда

где К₅ — постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий: при t = 0 и u_C0 = U.
Подставляя начальные условия в последнее уравнение, найдем
К₅ = U.
Следовательно, напряжение на конденсаторе при разрядке выражается уравнением

где τ = RC — постоянная времени цепи при разрядке конденсатора.
Итак, напряжение на конденсаторе при разрядке уменьшается по экспоненциальному закону от u_C0 = U до установившегося u_CУ = 0.
Сравнивая формулу (25.21) с выражением свободного напряжения на конденсаторе при зарядке [см. формулу (25.19)], убеждаемся в том, что они одинаковы, если не учитывать изменения знака.
Длительность переходного процесса, как и при зарядке, теоретически равна бесконечности, а практически разрядка считается законченной при t = (4 ÷ 5)τ.
Для разрядного тока выражение получается на основе закона Ома:

Вопрос о влиянии величины начального напряжения и параметров цепи на продолжительность переходного процесса можно проанализировать, используя три основные характеристики переходного процесса: начальное напряжение на емкости начальную скорость изменения u_C:

постоянную времени
Эти выражения совпадают соответственно с формулами (25.16), (25.17), (25.18). Только знак в формуле начальной скорости изменился на обратный. Объясняется это тем, что конденсатор теперь разряжается, а не заряжается, и напряжение u_C уменьшается, а не увеличивается, поэтому касательная к кривой u_C в начальный момент наклонена к оси времени под углом, большим 90°.

Задача 25.15.

Согласно условию задачи 25.13, после периода зарядки конденсатора переключатель П переведен из положения 1 в положение 2.
Определить энергию, израсходованную в цепи за время разрядки конденсатора.
Решение. При разрядке конденсатора энергия, израсходованная в элементе цепи с сопротивлением R, равна убыли энергии электрического поля конденсатора в одно и то же время.
Энергия электрического поля к концу зарядки конденсатора

Вся эта энергия выделяется в виде тепла в сопротивлении при разрядке конденсатора. Таким образом, общая энергия, выделенная в сопротивлении R при зарядке и разрядке, составляет

Включение катушки индуктивности на синусоидальное напряжение

Изменение напряжения источника во время переходного процесса влияет на характер переходного тока. При анализе переходного процесса в цепи переменного тока приходится, кроме того, учитывать сдвиг фаз между напряжением и установившимся током, начальную фазу напряжения или, иначе говоря, мгновенное напряжение источника в момент включения цепи.
Однако переходные процессы в цепях постоянного и переменного токов одинаковы: они возникают при переходе от одного установившегося режима к другому при несоответствии запасов энергии в электрическом и магнитном полях цепи условиям нового режима. В течение переходного режима это несоответствие устраняется изменением энергии полей.

Уравнение переходного тока

После включения участка электрической цепи с активным сопротивлением R и индуктивностью L на синусоидальное напряжение (рис. 25.18) начинается переходный период, к концу которого в цепи устанавливается синусоидальный ток.

Рис. 25.18. Схема катушки индуктивности, включенной на переменное напряжение

Момент включения цепи будем полагать началом отсчета времени (t = 0).
Пусть приложенное напряжение изменяется по закону

где ψ — начальная фаза.
В момент включения цепи напряжение имеет величину

Ток в цепи после ее включения представляется суммой принужденной и свободной составляющих:
В установившемся режиме синусоидальный ток в катушке сдвинут по фазе относительно напряжения на угол φ, определяемый соотношением активного и индуктивного сопротивлений катушки. Установившийся ток, как известно, является принужденной составляющей переходного тока:

где
    
Свободная составляющая переходного тока не зависит от формы приложенного напряжения и изменяется по такому же закону [см. формулу (25.10)], что и при включении катушки на постоянное напряжение, равное мгновенному напряжению источника (u₀) в момент включения цепи (t = 0):

где К₆ — постоянная интегрирования, равная свободной составляющей тока при t = 0, т. е.   — постоянная времени цепи.
Таким образом, переходный ток

Постоянную К₆ находят с помощью первого закона коммутации: в начальный момент (t = 0) ток в цепи равен нулю, так как ранее цепь была разомкнута и ток в катушке скачком измениться не может.

Рис. 25.19. Графики переходного процесса в катушке индуктивности после включения на переменное напряжение

Поэтому

отсюда следует, что
Bp (25.25)

Следовательно,

Уравнение свободной составляющей

Переходный ток

Графики переходного тока и его составляющих показаны на рис. 25.19.

Влияние на переходный процесс начальной фазы приложенного напряжения

Рассматривая рис. 25.19, можно заметить, что изменения установившегося и переходного токов носят колебательный характер, причем колебания установившегося тока совершаются около оси ωt, а переходного тока — около кривой i_св(t). Обусловлено это тем, что свободная составляющая переходного тока, внося искажения, как бы смещает график синусоидального тока и искривляет его ось. Степень искажения зависит от того, в какой момент включена цепь, так как в выражение свободной составляющей (25.29) входит начальная фаза приложенного к цепи напряжения.

Рис. 25.20. Графики переходного процесса после включения катушки индуктивности (при ψ = φ)

Рис. 25.21. Графики переходного процесса после включения катушки индуктивности (при ψ = φ + 90°)

Если включение катушки произошло в момент, когда принужденная составляющая переходного тока равна нулю [т. е. при ψ = φ, см. формулу (25.27)], то свободная составляющая не возникает: согласно (25.27), при ψ = φ i_св = 0. Иначе говоря, в этом случае переходный период отсутствует и в цепи с первого момента после включения наступает установившийся режим (рис. 25.20).
Наибольшая величина свободного тока в начальный момент времени может быть равна амплитуде установившегося тока. Это имеет место при ψ = φ + 90°, когда в момент включения цепи принужденная составляющая тока равна амплитуде I_m (рис. 25.21):

В этом случае свободная составляющая переходного тока затухает быстрее или медленнее в зависимости от величины постоянной времени цепи, а переходный ток в соответствии с этим приближается к установившемуся.
В цепях с большой постоянной времени (с большой индуктивностью и малым сопротивлением) свободная составляющая переходного тока затухает медленно, поэтому переходный ток в течение первого полупериода достигает величины, равной почти удвоенной амплитуде установившегося тока:

Короткое замыкание в цепи переменного тока

При внезапном коротком замыкании скачком уменьшается сопротивление цепи Z. Переходный процесс, возникающий в результате изменения сопротивления, рассмотрим на схеме рис. 25.22, где электрическая нагрузка, представленная сопротивлением Z_н, подключена через сопротивление Z_л к источнику синусоидального напряжения с постоянной амплитудой и неизменной частотой. Такой схемой замещения можно представить реальную
цепь, в которой к шинам трансформаторной подстанции через линию (Z_л) подключена группа потребителей электрической энергии (Z_н).

Рис. 25.22. Схема короткого замыкания в цепи переменного тока

Уравнение кривой переходного тока

Предположим, что сопротивление цепи изменилось в результате короткого замыкания в конце линии, как показано на рис. 25.22. При этом будем считать, что синусоидальное напряжение источника остается неизменным по амплитуде (принятое условие неизменности амплитуды напряжения соответствует короткому замыканию на участке, отделенном от мощных источников питания большим сопротивлением).

До короткого замыкания установившийся режим характеризуется напряжением  и током:

Уравнение напряжения, приложенного к цепи,

где ψ— фазовый угол, определяющий напряжение в начальный момент короткого замыкания (t = 0).
Установившийся ток до короткого замыкания отстает от напряжения на угол  зависящий от параметров линии и нагрузки:

В этом случае уравнение тока

Установившийся режим после короткого замыкания характеризуется тем же напряжением U и током

Уравнение установившегося тока

где φ₂ — угол сдвига фаз напряжения и установившегося тока короткого замыкания, определяемый соотношением активного и реактивного сопротивлений короткозамкнутой цепи:

Переходный ток в короткозамкнутой линии представим суммой принужденной и свободной составляющих:
( — установившийся ток короткого замыкания).
Свободная составляющая тока изменяется по тому же закону, по которому она изменяется в цепи по схеме рис. 25.9 при уменьшении сопротивления:

где τ₂ — постоянная времени короткозамкнутой цепи:

K₇ — постоянная величина, определяемая из начальных условий.
В начальный момент переходного периода, согласно первому закону коммутации, следовательно,

Отсюда

Свободная составляющая переходного тока, согласно уравнению (25.34)

Переходный ток короткого замыкания выражается уравнением

На рис. 25.23 показаны графики напряжения и тока в цепи до и после короткого замыкания.

Влияние начальной фазы напряжения на переходный процесс короткого замыкания

Ток короткого замыкания, как уже отмечено, складывается из двух составляющих — принужденной составляющей, равной установившемуся току короткого замыкания, и свободной составляющей, затухающей благодаря наличию в цепи активного сопротивления.

Принужденная составляющая изменяется по синусоидальному закону, и поэтому ее называют периодической составляющей, а свободная составляющая не изменяет знака, и ее называют апериодической составляющей тока короткого замыкания.

Начальную величину свободной составляющей определяют из уравнения (25.36):

Она зависит от начальной фазы напряжения ψ, т. е. от момента возникновения короткого замыкания.

Рис. 25.23. Графики переходного процесса при коротком замыкании в цепи переменного тока (при )

Рис. 25.24. Графики переходного процесса при коротком замыкании в цепи переменного тока (при )

Наиболее тяжелым случаем является короткое замыкание в момент, когда мгновенное напряжение на зажимах цепи равно нулю (), а сопротивление цепи короткого замыкания чисто индуктивное (). Соответствующий график тока короткого замыкания показан на рис. 25.24.

В реальных электрических сетях индуктивное сопротивление цепи короткого замыкания во многих случаях значительно больше активного, поэтому при расчете токов короткого замыкания активное сопротивление часто не учитывают. При этом условии свободная составляющая переходного тока в момент t = 0 близка к наибольшей возможной величине, равной амплитуде периодической составляющей. Если активное сопротивление цепи короткого замыкания мало, свободная составляющая затухает медленно, поэтому в самом неблагоприятном случае за время, приблизительно равное полупериоду, ток короткого замыкания достигает своей наибольшей величины, близкой к удвоенной амплитуде установившегося тока короткого замыкания.
Наибольший мгновенный ток короткого замыкания называют ударным током (i_уд).

Свободная составляющая тока короткого замыкания затухает тем быстрее, чем меньше постоянная времени цепи короткого замыкания τ₂, т. е. чем больше активное сопротивление и меньше индуктивность.
Параметры цепей короткого замыкания в реальных электроустановках обычно такие, что свободная составляющая тока короткого замыкания заметно проявляется в течение 0,1—0,2 с.

Методы анализа переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами

Как отмечено ранее, в установившемся режиме токи и напряжения всех ветвей электрической цепи изменяются по периодическому закону или, в частном случае, сохраняют неизменные значения. Всякое изменение как топологии цепи, так и параметров входящих в нее элементов: подключение или отключение отдельных ветвей, изменение параметров пассивных элементов или параметров источников энергии, нарушает периодический характер изменения токов и напряжений ветвей, т. е. приводит к тому, что режим работы цепи становится неустановившимся. Любое скачкообразное изменение в цепи, приводящее к нарушению установившегося режима, будем называть коммутацией. Если внешнее воздействие на цепь и после коммутации имеет периодический характер, то с течением времени (теоретически через бесконечно большой промежуток времени) цепь перейдет в новый установившийся режим. Неустановившиеся процессы, которые имеют место в цепи при переходе от одного установившегося режима к друюму, называются переходными.

При анализе переходных процессов в цепи, как правило, можно пренебречь длительностью процесса коммутации, т. е. считать, что коммутация осуществляется практически мгновенно. Начало отсчета времени переходного процесса обычно совмещают с моментом коммутации, причем через t=0_ обозначают момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, а через или — момент времени, следующий непосредственно за коммутацией (начальный момент времени после коммутации).

Переходные процессы, связанные с изменением топологии цепи или различными коммутациями пассивных элементов, присущи в основном устройствам производства, передачи и преобразования электрической энергии. Для радиотехнических устройств более характерен режим, когда топология цепи и параметры пассивных элементов неизменны, а внешнее воздействие на цепь изменяется по произвольному (чаще всего непериодическому) закону. Понятие коммутации в том виде, как оно было сформулировано ранее, по сути дела, теряет смысл, так как изменение параметров источников энергии происходит практически непрерывно. При анализе неустановившихся процессов в радиотехнических цепях начало отсчета времени выбирают исходя из постановки задачи, независимо от того, находилась ли цепь до этого момента времени в установившемся режиме или нет. Для единства терминологии начало отсчета времени неустановившихся процессов, имеющих место в радиотехнических цепях, обычно также называют моментом коммутации.

Законы коммутации

Переход реальной электрической цепи от одного установившегося режима к другому не может происходить мгновенно, скачком. Это объясняется тем, что каждому установившемуся состоянию соответствует определенное значение энергии, запасенной в электрическом и магнитном полях. Скачкообразный переход от одного установившегося режима к другому потребовал бы скачкообразного изменения запасенной энергии,- что, учитывая выражение (1.5), возможно только, если источники энергии обладают бесконечно большой мощностью, т. е. отдаваемые ими токи или напряжения могут принимать бесконечно большие значения. В связи с тем что любой реальный источник энергии может отдавать только конечную мощность, суммарная энергия, запасенная в цепи, может изменяться только плавно, т. е. представляет собой непрерывную функцию времени. Принимая во внимание, что запасенная в цепи энергия определяется суммарными зарядом всех конденсаторов и потокосцеплением всех индуктивных катушек, приходим к выводу, что суммарные потокосцепление и заряд цепи также являются непрерывными функциями времени, в частности после коммутации они равны суммарному потокосцеплению и суммарному заряду цепи в момент времени

Это положение известно под названием принципа непрерывности во времени суммарного потокосцепления и суммарного электрического заряда цепи. В реальных цепях в момент коммутации возможны коммутационные потери энергии, например потери энергии за счет искры или электрической дуги между контактами переключателей, поэтому суммарная энергия цепи после коммутации может быть несколько меньше суммарной энергии цепи до коммутации.

Если электрическая цепь не содержит энергоемких элементов, то процесс ее перехода от одного установившегося режима к другому должен происходить мгновенно. Такие безреактивные цепи можно рассматривать только в качестве весьма упрощенных моделей реальных цепей.

Если коммутация идеализированной электрической цепи не затрагивает ветвей, содержащих реактивные элементы, т. е. в процессе коммутации не производится подключения или отключения ветвей, содержащих емкости и индуктивности, и не происходит скачкообразного изменения их параметров, то из принципа непрерывности суммарных потокосцепления и заряда цепи следует непрерывность токов индуктивностей и напряжений емкостей. Вывод о непрерывности токов индуктивностей и напряжений емкостей формулируется в виде законов (правил) коммутации.

Первый закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации ток индуктивности сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией:

а затем плавно изменяется, начиная с этого значения.

Второй закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией:

а затем плавно изменяется, начиная с этого значения.

Законы коммутации не накладывают ограничений на характер изменения токов емкостей, напряжений индуктивностей и токов или напряжений сопротивлений, которые могут изменяться произвольным образом, в том числе и скачкообразно.

Как известно, в теории цепей рассматриваются процессы, имеющие место в идеализированных цепях при идеализированных внешних воздействиях. Применение чрезмерно упрощенных моделей элементов цепей и внешних воздействий может привести к нарушению предпосылок, использованных при формулировании законов коммутации, и вследствие этого к нарушению самих законов. Так, представляют интерес случаи, когда идеализированные источники энергии в течение бесконечно короткого промежутка времени могут отдавать бесконечно большой ток или напряжение, т. е. развивать бесконечно большую мощность. При таких внешних воздействиях законы коммутации нарушаются и токи индуктивностей или напряжения емкостей изменяются скачкообразно.

Законы коммутации могут не выполняться и при некоторых коммутациях, затрагивающих ветви, содержащие реактивные элементы. Коммутации такого типа называются некорректными. Анализ процессов в цепях при некорректных коммутациях производят с использованием принципа непрерывности суммарных потокосцепления и электрического заряда цепи, который имеет более общий характер, чем законы коммутации.

Следует подчеркнуть, что некорректность коммутации возникает вследствие излишне упрощенного рассмотрения процесса коммутации или в результате применения чрезмерно упрощенных моделей элементов и может быть устранена при более строгом анализе.

Таким образом, термин «некорректная коммутация» является не вполне удачным: правильнее говорить не о некорректной коммутации, а о некорректной постановке задачи коммутации.

Пример 6.1.

Рассмотрим процесс зарядки конденсатора от гальванического элемента. Если использовать последовательные схемы замещения конденсатора и источника энергии (рис. 6.1, а), то переключение ключа S из положения 1 в положение 2 (или наоборот) является корректной коммутацией.

Действительно, пусть в исходном состоянии ключ находится в ,положении 1 и емкость С полностью разряжена, а в момент времени t = 0 ключ перебрасывается в положение 2. Если бы в результате коммутации напряжение та емкости возросло скачком, то в соответствии с компонентным уравнением емкости (1.13) ток цепи достиг бы бесконечно большого значения, что привело бы к .тому, что левая часть уравнения баланса напряжений для цепи, получающейся после коммутации не равнялась бы правой части.

Таким образом, предположение о том, что в рассматриваемой цепи нарушается второй закон коммутации, приводит к явно неправильному результату. Следовательно, в начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости сохраняет то же значение, что и в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации:  а затем плавно увеличивается, стремясь в пределе к новому установившемуся значению, роемому э.д.с. источника напряжения (в установившемся режиме ток через емкость равен нулю, и из уравнения баланса напряжений следует, что = Е).

Если в исходном состоянии ключ находится в положении 2, а емкость С заряжена до напряжения Е, то при перебросе ключа в положение 1 напряжение на емкости в начальный момент времени после коммутации сохраняет значение, которое было в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, напряжение на сопротивлении скачком становится равным — (0+) = —Е, а ток сопротивления скачком возрастает до значения (0+)= Затем напряжение и ток емкости плавно уменьшаются, стремясь в пределе к нулю.

Если упростить схему замещения конденсатора и исключить из нее последовательное сопротивление (рис. 6.1, б), то перевод ключа из положения 1 в положение 2 будет по-прежнему оставаться корректной коммутацией в то время, как перевод ключа из положения 2 в положение 1 — станет некорректной коммутацией (некорректность коммутации объясняется тем, что рассматриваемая схема замещения цепи не учитывает потерь энергии в конденсаторе и соединительных проводах, а также энергию, выделяющуюся вместе с искрой между контактами ключа. В зависимости от требуемой точности анализа необходимо либо принять, что напряжение на емкости скачком изменилось от одного установившегося значения до другого, либо применить более сложную схему замещения цепи с учетом ключа и соединительных проводников).

Если упрощать и далее схему замещения цепи (исключив из нее внутреннее сопротивление источника (рис. 6.1, в), то перевод ключа из одного положения в другое всегда будет представлять собой некорректную коммутацию.

Пример 6.2.

Рассмотрим идеализированную цепь (рис. 6.2). Пусть в исходном состоянии ключ S находится в положении 1, через индуктивность протекает постоянный ток а ток индуктивности равен нулю: 

Если в момент времени t=0 ключ S перебросить из положения 1 в положение 2, то индуктивности окажутся включенными последовательно и их токи должны мгновенно уравняться (для соблюдения уравнения баланса токов). Очевидно, что такая коммутация некорректна, причем начальное значение тока индуктивностей после коммутации может быть определено из принципа непрерывности потокосцепления:  откуда

При анализе такой цепи обычно принимается, что токи индуктивностей скачком изменяются до уровня а затем плавно увеличиваются, начиная с этого уровня, до установившегося значения

Можно убедиться, что энергия данной цепи непосредственно после коммутации

меньше, чем энергия, запасенная в индуктивности  до коммутации:

причем разность между этими величинами равна энергии коммутационных потерь. Рассмотренная коммутация может быть сделана корректной, если при анализе принять во внимание конечное время коммутации, применить более точные модели индуктивных катушек, содержащие не только сопротивления потерь, но и паразитные емкости, и учесть явления, имеющие место в искре или дуге между контактами. Разумеется, учет этих явлений существенно усложняет анализ.

Общий подход к анализу переходных процессов

Задача анализа переходных процессов заключается в общем случае в определении мгновенных значений токов и напряжений всех или части ветвей электрической цепи в произвольный момент времени после коммутации. Для этого необходимо найти общее решение основной системы уравнений электрического равновесия цепи или системы уравнений электрического равновесия, составленной любым другим способом, при t> 0. Исключая из системы уравнений все неизвестные величины, кроме одной, получают дифференциальное уравнение цепи, составленное относительно этой величины. Таким образом, задача анализа переходных процессов может быть сведена к решению дифференциального уравнения цепи при t > 0. В частности, задача анализа переходных процессов в линейной инвариантной во времени цепи с сосредоточенными параметрами -ro порядка сводится к нахождению об

щего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения -ro порядка вида (1.61).

Общее решение такого уравнения содержит v произвольных постоянных, для нахождения которых необходимо задать значения искомой функции у и ее — 1 первых производных в начальный момент времени после коммутации, т. е. при t = Эти величины определяют с помощью законов коммутации на основании анализа процессов, имеющих место в рассматриваемой цепи перед коммутацией. В результате анализа цепи до коммутации рассчитывают значения токов всех индуктивностей и напряжения всех емкостей в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации. Далее, используя законы коммутации (в более общем случае — принцип непрерывности потокосцепления и электрического заряда цепи), находят значения токов индуктивностей и напряжений емкостей в начальный момент времени после коммутации. Очевидно, что для определения v начальных условий требуется применить законы коммутации к v независимо включенным реактивным элементам, т. е. к реактивным элементам, включенным таким образом, что их энергетическое состояние может быть задано независимо. Следовательно, порядок сложности цепи, равный порядку дифференциального уравнения цепи определяется числом независимо включенных реактивных элементов. Совокупность начальных значений токов независимо включенных индуктивностей и напряжений независимо включенных емкостей представляет собой независимые начальные условия цепи. Используя независимые начальные условия и уравнения электрического равновесия цепи после коммутации, находят зависимые начальные условия, т. е. значения токов и напряжений любых ветвей и их производных в момент времени t =  

Если энергия, запасенная в цепи в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, равна нулю, то говорят, что цепь анализируется при нулевых начальных условиях. Если начальный запас энергии не равен нулю, то цепь анализируется при ненулевых начальных условиях (в первом случае все независимые начальные условия равны нулю, во втором случае хотя бы одно из них имеет ненулевое значение).

Следует обратить внимание на то, что независимые начальные условия, а следовательно, токи и напряжения ветвей цепи после коммутации определяются исходя из энергетического состояния цепи только в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации (t = 0_), и не зависят от характера процессов, имеющих место в рассматриваемой цепи до коммутации (при ).

Определение порядка сложности цепи

В некоторых случаях порядок сложности электрической цепи v бывает желательно выяснить еще до составления уравнений электрического равновесия. Очевидно, что значение не может превышать общего числа реактивных элементов цепи В связи с тем что последовательно или параллельно включенные реактивные элементы одного типа не являются энергетически независимыми, при подсчете необходимо объединять такие элементы и заменять их эквивалентным элементом соответствующего типа.

Если в цепи имеется так называемый емкостный контур, т е. контур, образованный только емкостями и, может быть, независимыми источниками напряжения, то напряжение любой из емкостей такого контура выражают через напряжения других емкостей с помощью уравнения баланса напряжений, составленного для данного емкостного контура. Таким образом, наличие в цепи емкостного контура уменьшает на единицу число независимо включенных емкостей и снижает порядок сложности цепи.

Число независимо включенных индуктивностей снижается при наличии в цепи так называемого индуктивного сечения, т. е. сечения, в которое входят только индуктивности, и, может быть, независимые источники тока. Частным случаем индуктивного сечения является индуктивный узел (узел, к которому подключены только индуктивности и независимые источники тока). Ток, а следовательно, и энергия любой из индуктивностей, входящей в индуктивное сечение, могут быть выражены через токи других индуктивностей на основании уравнений баланса токов, составленного для данного сечения.

Если в состав цепи входит несколько емкостных контуров или индуктивных сечений, то при оценке числа независимо включенных реактивных элементов учитывают только независимые емкостные контуры и независимые индуктивные сечения, т. е. такие контуры и сечения, уравнения баланса напряжений и токов которых независимы.

Таким образом, порядок сложности линейной цепи, составленной только из идеализированных пассивных элементов и независимых источников тока или напряжения:

Где — общее число реактивных элементов; — число независимых емкостных контуров; — число независимых индуктивных сечений.

Следует иметь в виду, что порядок сложности цепи зависит также от соотношений между параметрами входящих в нее элементов, поэтому выражение (6.4) позволяет оценить только максимально возможное значение порядка сложности цепи (в том числе и цепи с управляемыми источниками).

Пример 6.3.

Определим порядок сложности цепи, схема которой приведена на рис. 6.3, а.

Преобразуя участки цепи, содержащие последовательно и параллельно включенные однотипные реактивные элементы (рис. 6.3, б), определяем общее число реактивных элементов цепи = 6. Рассматриваемая цепь содержит один емкостной контур, образованный емкостями и источником напряжения е, и одно индуктивное сечение (индуктивности поэтому порядок сложности данной цепи не может превышать четырех.

Классический метод анализа переходных процессов

Свободные и принужденные составляющие токов и напряжений:

Классический метод анализа переходных процессов в линейных инвариантных во времени цепях с сосредоточенными параметрами основан на классическом методе решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Как известно, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами [см. (1.61)]

равно сумме частного решения этого уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения

которое получается из (1.61) при f(t) = 0.

Общее решение однородного дифференциального уравнения (6.5) характеризует так называемые свободные процессы в цепи, т. е. процессы в цепи после коммутации в отсутствие внешних источников энергии (напомним, что функция f (t) обращается в нуль при выключении всех независимых источников тока и напряжения).

Таким образом, характер свободных процессов ие зависит от вида внешнего воздействия на цепь, а определяется только параметрами пассивных элементов и линейно управляемых источников, а также топологией цепи после коммутации.

Свободные процессы в цепи протекают за счет разности энергий, соответствующих установившимся режимам работы цепей до и после коммутации. В связи с тем что эта разность имеет конечное значение, свободные процессы в цепях с потерями с течением времени затухают (в идеализированных цепях без потерь свободные процессы имеют незатухающий характер).

Частное решение уравнения (1.61) определяет принужденный режим работы цепи, т.е. режим, задаваемый действующими в цепи независимыми источниками энергии.

Если внешнее воздействие иа цепь после коммутации изменяется по периодическому закону (сохраняет неизменное значение), то частное решение уравнения (1.61) характеризует установившийся режим цепи после коммутации.

Итак, при использовании классического метода анализа переходных процессов искомая реакция цепи у (ток или напряжение какойлибо ветви после коммутации) представляется в виде суммы свободной и принужденной составляющих:

Свободная составляющая реакции цепи с течением времени затухает поэтому принужденная составляющая реакции представляет собой установившееся значение искомого тока или напряжения после коммутации

Для определения принужденной составляющей реакции цепи можно воспользоваться рассмотренными ранее методами анализа линейных цепей в установившемся режиме. Если после коммутации токи всех независимых источников тока и напряжения всех независимых источников напряжения не изменяются, то с течением времени в цепи после коммутации установится режим постоянного тока. Очевидно, что принужденная составляющая реакции цепи в этом случае будет являться постоянным током или напряжением.

Если после коммутации цепь находится под гармоническим воздействием определенной частоты, то принужденная составляющая реакции цепи также будет гармонической функцией времени и для определения можно воспользоваться методом комплексных амплитуд.

Если цепь после коммутации находится под воздействием нескольких источников гармонических колебаний различной частоты, то, используя принцип наложения, мгновенное значение можно найти как сумму мгновенных значений частичных токов или напряжений, вызванных в установившемся после коммутации режиме каждым из источников в отдельности. Применяя принцип наложения, можно найти принужденную составляющую реакции цепи и тогда, когда внешнее воздействие на цепь х (t) описывается периодической функцией более сложного вида, удовлетворяющей условиям Дирихле, т. е. имеющей на конечном интервале конечное число максимумов и минимумов и конечное число разрывов первого рода. В этом случае Функция х (t) может быть разложена в ряд Фурье (представлена в виде суммы гармонических колебаний кратных частот), а мгновенное значение может быть найдено как сумма мгновенных значений частичных токов или напряжений, вызванных в установившемся после коммутации режиме каждой из гармонических составляющих внешнего воздействия в отдельности.

Для определения свободной составляющей реакции цепи необходимо найти корней характеристического уравнения

соответствующего однородному уравнению (6.5). Когда все корни уравнения (6.6) простые (различные), свободная составляющая реакции имеет вид

т. е. каждому простому корню соответствует слагаемое свободной составляющей вида

где —постоянная интегрирования.

Если какой-либо корень  характеристического уравнения (6.6) имеет кратность n, то этому корню соответствует слагаемое свободной составляющей вида

Характеристическое уравнение (6.6) может иметь вещественные или комплексные корни, причем все корни  характеристического уравнения линейной цепи, составленной из идеализированных пассивных элементов и независимых источников энергии, расположены в левой полуплоскости комплексного переменного р (включая и мнимую ось): так как только в этом случае свободные процессы в цепи имеют затухающий (точнее, ненарастающий) характер.

Общая схема применения классического метода анализа переходных процессов

Наметим основные этапы классического метода анализа переходных процессов в линейных инвариантных во времени цепях с сосредоточенными параметрами.

1. Анализ цепи до коммутации. В результате этого анализа определяют токи индуктивностей и напряжения емкостей в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации (t= 0_).

2. Определение независимых начальных условий. Независимые начальные условия представляют собой токи индуктивностей и напряжения емкостей в момент времени (t = ). Независимые начальные условия находят с помощью законов коммутации или принципа непрерывности потокосцепления и электрического заряда цепи.

3. Составление дифференциального уравнения цепи после коммутации (при Дифференциальное уравнение цепи получают из системы уравнений электрического равновесия цепи, составленной любым методом, путем исключения всех неизвестных величин, кроме одной, представляющей собой Ток или напряжение какой-либо ветви.

4. Анализ установившегося процесса в цепи после коммутации (при В результате анализа установившегося процесса в цепи после коммутации находят принужденную составляющую реакции цепи (частное решение дифференциального уравнения цепи).

5. Определение свободной составляющей реакции цепи. На этом этапе составляют характеристическое уравнение цепи, находят его корни и определяют общий вид свободной составляющей реакции цепи (общее решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению цепи после коммутации).

6. Нахождение общего вида реакции цепи. Общий вид реакции цепи (общее решение дифференциального уравнения цепи) находят путем суммирования свободной и принужденных составляющих реакции цепи.

7. Определение постоянных интегрирования. Постоянные интегрирования находят по зависимым начальным условиям (значениям искомых токов или напряжений и их — 1 первых производных в начальный момент времени после коммутации). Для определения зависимых начальных условий используют независимые начальные условия и уравнения электрического равновесия цепи после коммутации.

8. Определение реакции цепи, соответствующей заданным начальным условиям. Подставляя постоянные интегрирования в общее решение дифференциального уравнения цепи после коммутации, находят частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям, т. е. искомый ток или напряжение одной из ветвей при t>0.

Переходные процессы в последовательной RС-цепи при скачкообразном изменении э. д. с.

Рассмотрим переходные процессы в последователоной RС-цепи (рис. 6.4, а) при скачкообразном изменении э. д. с. идеализированного источника постоянного напряжения

Такое изменение э. д. с. источника напряжения происходит наприМеР, когда в цепи, схема которой приведена на рис. 6.4, б, ключ S в момент времени t = 0 перебрасывают из положения 1 в положение 2.

Очевидно, что в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации, напряжение на емкости равнялось напряжению на зажимах источника энергии при t<0 (предполагается, что до коммутации цепь находилась в установившемся режиме). Используя второй закон коммутации, находим единственное независимое начальное условие

Дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи можно составить относительно любой из неизвестных величин (напряжения на сопротивлении напряжения на емкости тока сопротивления

 тока емкости  однако, учитывая, что для данной цепи известно начальное значение напряжения на емкости, целесообразно составить уравнение относительно этого напряжения.

Исключая из основной системы уравнений электрического равновесия цепи при

все неизвестные величины, кроме получаем

Напряжение на емкости при представим в виде суммы принужденной и свободной составляющих

Очевидно, что с течением времени после коммутации в цепи должен установиться режим постоянного тока, причем установившееся значение тока емкости будет равно нулю (сопротивление емкости постоянному току бесконечно велико), а установившееся значение напряжения на емкости — напряжению источника энергии после коммутации. Таким образом, принужденная составляющая напряжения на емкости

Характеристическое уравнение цепи

имеет единственный корень

где — постоянная времени последовательной RС-цепи, поэтому свободная составляющая напряжения на емкости содержит один экспоненциальный член

Используя выражения (6.10), (6.11) и (6.12), находим напряжение на емкости после коммутации при произвольных начальных условиях

Для определения постоянной интегрирования воспользуемся независимым начальным условием (6.9). Полагая в (6.13) получаем откуда

Таким образом, при заданных начальных условиях напряжение на емкости после коммутации  определяется выражением

Зависимость напряжения на емкости от времени при различных соотношениях между показана на рис. 6.4, в— д. Здесь же показана зависимость от времени тока емкости которая при определяется путем дифференцирования выражения (6.14) по времени и умножения результата на С:

Как видно из рисунка, в начальный момент после коммутации напряжение на емкости сохраняет то же значение, что и до коммутации, а затем плавно изменяется, стремясь в пределе к новому установившемуся значению. Ток емкости в начальный момент скачком изменяется от нуля до начального значения:

а затем плавно уменьшается, стремясь в пределе к нулю. В связи с тем что установившееся значение тока емкости до и после коммутации равно нулю, ток рассматриваемой цепи содержит только свободную составляющую.

Анализ выражения (6.16) показывает, что значение тока емкости численно равно постоянному току, который протекал бы в цепи после коммутации, если бы емкость С была заменена идеальным источником напряжения э. д. с. Следовательно, в начальный момент времени после коммутации емкость ведет себя подобно источнику напряжения, э. д. с. которого равна начальному значению напряжения на емкости. Если начальное значение напряжения на емкости равно нулю, то в начальный момент после коммутации ветвь с емкостью можно считать короткозамкнутой, т. е. сопротивление емкости равно нулю.

Далее (см. пример 6.4) будет показано, что в начальный момент времени после коммутации индуктивность ведет себя подобно источнику тока, ток которого равен начальному значению тока через индуктивность. При  ветвь с индуктивностью в начальный момент времени можно считать разомкнутой, т. е. сопротивление индуктивности при t = имеет бесконечно большое значение.

Как видно из выражений (6.12) и (6.15), скорость затухания свободных составляющих тока и напряжения емкости не зависит от значения э. д. с. идеализированного источника напряжения до и после коммутации, а определяется только постоянной времени цепи которая численно равна промежутку времени, в течение которого свободные составляющие тока и напряжения уменьшаются в 2,718 раз. Можно показать, что при любом

Таким образом, постоянная времени рассматриваемой цепи численно равна длине подкасательной к кривой или при любом значении т. е. длине отрезка временной оси, заключенного между какой-либо точкой и точкой пересечения временной оси касательной, проведенной к кривой или в точке или Для определения постоянной времени цепи касательную к кривым или наиболее удобно проводить при = 0. В этом случае она пересекает ось времени в точке t =  (рис. 6.4, в—д).

Чем больше постоянная времени цепи, тем медленнее затухают свободные составляющие токов и напряжений и, следовательно, токи и напряжения цепи медленнее приближаются к установившимся значениям.

Теоретически процесс установления нового режима длится бесконечно долго, однако, учитывая, что к моменту времени, равному после коммутации, свободные составляющие уменьшаются до уровня менее 0,02 от начального значения, переходные процессы в цепи можно считать практически закончившимися через промежуток времени после коммутации.

Подключение к последовательной RL-цепи источника гармонического напряжения

Рассмотрим переходные процессы в последовательной RL-цепи, содержащей идеализированный источник, э. д. с. которого е (t) изменяется во времени по закону

Временная диаграмма е (t) при > 0 приведена на рис. 6.5, а. В этом случае ток индуктивности в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, (0_) = 0.

Дифференциальное уравнение цепи, составленное относительно тока при имеет вид

Принужденная составляющая тока может быть найдена с помощью метода комплексных амплитуд

где —модуль и аргумент комплексного входного сопротивления рассматриваемой цепи. Характеристическое уравнение цепи

имеет единственный корень = —R/L, поэтому свободная составляющая тока содержит один экспоненциальный член

где  = L/R — постоянная времени последовательной RL-цепи.

Суммируя свободную и принужденную составляющие, находим общее решение дифференциального уравнения цепи (6.18) после коммутации:

Для определения постоянной интегрирования воспользуемся первым законом коммутации, в соответствии с которым начальное значение тока рассматриваемой цепи должно равняться нулю:

Подставляя (6.20) в выражение (6.19), получаем откуда

С учетом (6.21) выражение для тока рассматриваемой цепи после коммутации принимает вид

Характер переходных процессов зависит от соотношения между начальной фазой э. д. с. идеализированного источника напряжения и аргументом входного сопротивления цепи. Если выбирают таким образом, что начальные значения принужденной и свободной составляющих равны нулю то свободная составляющая тока тождественно равна нулю. Переходные процессы в цени в этом случае отсутствуют, т. е. установившийся режим наступает сразу же после коммутации. При или начальные значения свободной и принужденной составляющих максимальны, и отличие в форме кривых выражено наиболее резко (рис. 6.5, б).

Как и для последовательной RC-цепи, скорость затухания свободной составляющей тока рассматриваемой цепи не зависит от характера внешнего воздействия, а определяется только постоянной времени За промежуток времени t = свободная составляющая тока уменьшается в е раз и к моменту времени после коммутации переходные процессы в цепи можно считать практически закончившимися.

Подключение к последовательной RLC-цепи источника постоянного напряжения

Последовательная RLС-цепь содержит два независимо включенных реактивных элемента, поэтому процессы в ней описываются дифференциальным уравнением второго порядка, а для определения постоянных интегрирования необходимо задать два независимых начальных условия. Если э. д. с. идеального источника напряжения изменяется во времени по закону

то независимые начальные условия цепи имеют нулевые значения

Составим уравнение электрического равновесия цепи по методу токов ветвей

Дифференцируя правую и левую части (6.23), получаем дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи после коммутации

Для определения единственного решения этого уравнения, соответствующего заданному режиму работы цепи до коммутации, необходимо определить начальные значения тока цепи и его первой производной по времени. Начальное значение тока цепи совпадает с начальным значением тока индуктивности

а начальное значение первой производной тока цепи по времени может быть найдено с использованием независимых начальных условий (6.22) и уравнения электрического равновесия цепи (6.23) при

В связи с тем что установившееся значение тока этой цепи после коммутации равно нулю, ток при содержит только свободную составляющую:

Характеристическое уравнение последовательной RLC-цепи

имеет два корня 

где  — коэффициент затухания;  — резонансная частота цепи. В зависимости от соотношения между величинами  и  или, что то же самое, в зависимости от добротности цепи,

корни характеристического уравнения (6.27) могут быть вещественными различными, комплексно-сопряженными или вещественными одинаковыми (кратными). Рассмотри каждый из этих случаев.

Вещественные различные корни. При малой добротности последовательной RLC-цепи (Q<12, т.е. R>2p) характеристическое уравнение (6.27) имеет два различных вещественных отрицательных корня, а выражение для тока цепи после коммутации содержит два экспоненциальных члена:

Дифференцируя правую и левую части выражения (6.29) 

 и используя зависимые начальные условия (6.25), (6.26), составляем уравнения для определения постоянных интегрирования  и   откуда 

С учетом (6.30) выражение для тока цепи после коммутации принимает вид

Расположение корней  характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного р и зависимость нормированного тока рассматриваемой цепи от времени

приведены на рисунке 6.6,а. Переходный процесс в цепи носит апериодический (неколебательный) характер, причем вследствие того, что  вторая составляющая нормированного тока цепи  затухает быстрее, чем первая 

Комплексно-сопряженные корни добротности последовательной RLС-цепи (Q> 1/2, т. е. R < 2р и характеристическое уравнение (6.27) имеет два комплексно-сопряженных корня

где — частота свободных колебаний в цепи (смысл этого понятия будет ясен из последующего изложения). Ток цепи после коммутации, как и в предыдущем случае, определяется выражением 

(6.29), которое после нахождения постоянных интегрирования

 может быть с учетом соотношения

преобразовано к виду

где 

Таким образом, при включении в последовательную RLС-цепь с высокой добротностью идеального источника постоянного напряжения переходные процессы в ней имеют колебательный характер. Ток цепи представляет собой затухающую гармоническую функцию, амплитуда которой экспоненциально уменьшается во времени. Колебательный характер переходного процесса в цепи связан с периодическим обменом энергией между емкостью и индуктивностью, а затухание колебаний объясняется потерями энергии в сопротивлении.

Расположение корней характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного р и зависимость тока цепи от времени показаны на рис. 6.6, б. Корни характеристического уравнения расположены симметрично относительно действительной оси в левой полуплоскости на полуокружности с радиусом, численно равным резонансной частоте последовательного колебательного контура

Чем меньше коэффициент затухания тем ближе к мнимой оси расположены корни уравнения, меньше различие между и медленнее затухание свободных процессов. В пределе, при корни характеристического уравнения располагаются на мнимой оси, частота свободных колебаний совпадает с резонансной частотой цепи, а колебательные процессы в цепи носят незатухающий характер (рис. 6.6, в). Таким образом, резонансная частота RLC-upna численно равна частоте свободных колебаний в цепи, когда коэффициент затухания равен нулю.

Пунктирными линиями на рис. 6.6, б показаны кривые которые характеризуют закон изменения амплитуды тока во времени. Эти кривые называются огибающими. Величина, численно равная длине подкасательной к огибающей тока, называется постоянной времени последовательной RLС-цепи. Очевидно, что за промежуток времени t = ордината огибающей тока уменьшается в е раз. Скорость затухания свободных процессов в рассматриваемой цепи может быть охарактеризована также логарифмическим декрементом колебаний который равен натуральному логарифму отношения двух максимальных значений тока, взятых через период свободных колебаний 

Находя натуральный логарифм отношения ординат огибающих тока для можно прийти к выводу, что логарифмический декремент колебаний ие зависит от выбора а определяется только добротностью цепи Q:

Анализ выражения (6.31) показывает, что логарифмически^ декремент колебаний равен нулю при и обращается в бесконечность при

Кратные корни. При Q=12, т.е. при  характеристическое уравнение последовательной RLС-цепи имеет два одинаковых вещественных корня расположенных на отрицательной вещественной полуоси в плоскости комплексного переменного р (рис. 6.6, г). Как следует из выражения (6.8), общее решение дифференциального уравнения (6.24) при в этом случае имеет вид

Определяя с помощью зависимых начальных условий (6.25) и (6.26) значения постоянных интегрирования и подставляя их в выражение (6.32), получаем окончательно

Как и для вещественных различных корней, переходный процесс в цепи при одинаковых вещественных корнях имеет апериодический характер (рис. 6.6, г), поэтому условие Q = 1/2 является предельным условием существования в цепи апериодических свободных процессов. Режим работы цепи на границе между колебательным и апериодическим характерами переходных процессов называется критическим.

Итак, характер переходных процессов в последовательной RLC-цепи полностью определяется расположением корней характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного.

Зависимость характера переходных процессов от расположения корней характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного присуща не только последовательной RLС-цепи, она является общим свойством линейных электрических цепей любого порядка сложности.

Подключение к последовательной RLС-цепи источника гармонического напряжения

Рассмотрим важный для практики случай включения источника гармонического напряжения в последовательную RLC-цепь с высокой добротностью Свободные процессы в такой цепи, как было установлено ранее, имеют колебательный характер. Пусть идеализированный источник напряжения включен в цепь в момент времени t =0, причем примем, что мгновенное значение э.д.с. этого источника при t = 0 равно нулю Уравнение электрического равновесия такой цепи после коммутации, составленное по методу токов ветвей, имеет вид

а дифференциальное уравнение цепи

Для решения уравнения (6.34) необходимо определить начальные значения тока цепи и его первой производной по времени Используя независимые начальные условия

и уравнение электрического равновесия (6.33), получаем

Далее, суммируя составляющие тока

находим общее решение уравнения (6.34) при

Здесь — амплитуда принужденной составляющей тока; — аргумент комплексного входного сопротивления рассматриваемой цепи.

Для определения постоянных интегрирования продифференцируем правую и левую части (6.38)

и подставим в выражения (6.38) и (6.39) зависимые начальные условия (6.35). Решая полученную таким образом систему уравнений относительно находим

С учетом соотношений (6.40) выражение (6.37) для свободной составляющей тока может быть преобразовано к виду

Предположим, что частота о> внешнего воздействия близка к частоте свободных колебаний, а добротность Q настолько велика, что практически совпадает с резонансной частотой цепи С учетом этих допущений, которые незначительно уменьшают общность получаемых результатов, выражение (6.41) существенно упрощается:

Таким образом, в последовательной 7?£С-цепи, удовлетворяющей принятым допущениям, свободная составляющая тока является затухающей гармонической функцией времени. В начальный момент времени амплитуда свободной составляющей тока равна амплитуде принужденной составляющей, а затем уменьшается по экспоненциальному закону. Через промежуток времени, равный после коммутации, амплитуда свободной составляющей становится пренебрежительно малой по сравнению с амплитудой принужденной составляющей, и переходной процесс в цепи можно считать практически закончившимся.

Ток цепи после коммутации равен сумме свободной и принужденной составляющих:

Если частота внешнего воздействия в точности совпадает с резонансной частотой цепи озо, то входное сопротивление цепи имеет чисто резистивный характер и выражение (6.42) принимает вид (рис. 6.7, а)

Как видно из рисунка, амплитуда тока цепи при плавно увеличивается во времени, стремясь в пределе к установившемуся значению Ни при каких значениях t амплитуда тока после коммутации не превышает этого значения.

При включении в последовательную RLС-цепь источника гармонического напряжения, частота которого близка к резонансной, но не равна ей, в цепи наблюдаются биения, заключающиеся в периодическом увеличении амплитуды тока или напряжения до значения, значительно превышающего амплитуду принужденной составляющей (рис. 6.7, б). Если пренебречь затуханием свободной составляющей тока то из выражения (6.42) получаем

Как видно из этого выражения, ток цепи имеет частоту, близкую к резонансной, а амплитуда тока медленно изменяется во времени:

причем максимальное значение тока в переходном режиме в два раза превышает амплитуду принужденной составляющей.

Возникновение биений при включении источника гармонического напряжения в последовательную RLC-цепь объясняется тем, что вследствие несовпадения частот внешнего воздействия и свободных колебаний фазовые соотношения между свободной и принужденной составляющими тока непрерывно изменяются, а разность мгновенных фаз этих колебаний линейно нарастает во времени. В те моменты времени, когда разность мгновенных фаз будет равна где k = 0,1, 2, …. сумма мгновенных значений будет максимальна, а в те моменты времени, когда разность фаз будет равна — минимальна. Частотой биений называют частоту повторения максимумов огибающей тока (6.45). Угловая частота биений, таким образом, равна абсолютному значению разности угловых частот свободной и принужденной составляющей

В реальных колебательных контурах коэффициент затухания имеет малое, но конечное значение. Свободная составляющая тока в таких контурах экспоненциально уменьшается во времени, а биения носят затухающий характер.

Операторный метод анализа переходных процессов

Преобразование Лапласа и его применение к решению дифференциальных уравнений:

Классический метод анализа переходных процессов применяют в основном тогда, когда исследуемая цепь имеет невысокий порядок сложности, а внешнее воздействие на нее после коммутации является гармонической функцией времени либо постоянно. Если внешнее воздействие на цепь после коммутации имеет более сложный характер, то определение принужденной составляющей реакции цепи существенно затруднено, а при повышении порядка цепи усложняется определение постоянных интегрирования. Значительно большие возможности представляет операторный метод анализа переходных процессов, основанный на применении преобразования Лапласа. Подобно ранее рассмотренному методу комплексных амплитуд, операторный метод относится к символическим методам, в которых операции над функциями времени заменяются операциями над их символами (изображениями). Взаимное соответствие между функцией времени a (t) и ее изображением А (р) в операторном методе устанавливается с помощью прямого

или обратного 

преобразований Лапласа и указывается знаком соответствия

Функция А (р) называется операторным изображением функции а (t) или изображением функции р (t) по Лапласу. Исходная функция времени a (t) по отношению к своему операторному изображению является оригиналом. Комплексное число р будем называть оператором преобразования Лапласа или комплексной частотой (смысл последнего понятия будет пояснен в следующем параграфе).

Из курса высшей математики известно, что для функций а (t), равных нулю при t < 0, интегрируемых при t > 0 и удовлетворяющих неравенству

где К и — некоторые постоянные числа, интеграл (6.46) абсолютно сходится при Re (р) > . Изображение А (р) в полуплоскости Re (р) > является аналитической функцией р, которая стремится к нулю при Re(p) На практике к интегрированию по формулам (6.46), (6.47) приходится прибегать сравнительно редко, так как для большинства часто употребляемых функций разработаны таблицы прямого и обратного преобразований Лапласа [6, 7]. Операторные изображения некоторых функций приведены в приложении 1. Следует иметь в виду, что в ряде справочников, в частности в [6], приведены таблицы преобразовании Карсона—Хевисайда

которое отличается от преобразования Лапласа только наличием множителя р.

Напомним некоторые свойства преобразования Лапласа. Изображение по Лапласу постоянной величины К равно этой величине, деленной на р:

Умножение функции времени а (t) на постоянное число К соответствует умножению на это же число ее изображения:

Изображение суммы функций времени равно сумме изображений этих функций:

где

Если начальное значение функции a (t) равно нулю а = 0, то дифференцированию функции а (y) соответствует умножение изображения этой функции на р (теорема дифференцирования)

при 

Повторным применением теоремы дифференцирования, можно выражения для производных высших порядков:

Интегрированию функции времени в пределах от 0 до t соответствует деление изображения этой функции на р (теорема интегрирования:

смещению функции времени на соответствует умножение изображения на (теорема запаздывания):

а смещению изображения А (р) в комплексной плоскости на комплексное число соответствует умножение оригинала на  (теорема смещения):

Значения функции времени при t = 0 и t = могут быть найдены с помощью предельных соотношений

предполагается, что соответствующие пределы существуют).

Если изображение А (р) может быть представлено в виде отношения двух полиномов от р, не имеющих общих корней:

причем степень полинома М (р) выше, чем степень полинома N (р), а уравнение

не имеет кратных корней, то для перехода от изображения к оригиналу можно воспользоваться теоремой разложения

где — корни уравнения (6.56).

Теорема разложения может быть сформулирована также для случая, когда уравнение (6.56) имеет кратные корни, и может быть распространена на случай, когда А (р) является произвольной мероморфной функции р, т. е. функцией, не имеющей иных особых точек, кроме полюсов [7].

Как известно, преобразование Лапласа лежит в основе операторного метода решения линейных дифференциальных уравнений, разработанного в середине прошлого века русским математиком М. Е. Ващенко-Захарченко. Независимо, но значительно позднее известный английский ученый О. Хевисайд применил операторный метод к анализу переходных процессов в электрических цепях с сосредоточенными и распределенными параметрами. Значительный вклад в развитие и обоснование операторного метода внесли советские ученые К. А. Круг, В. С. Игнатовский, А. М. Эфрос, А. М. Данилевский, А. И. Лурье, М.И. Конторович и зарубежные ученые Д. Р. Карсон, Я. Минусинский, Б. ван дер Поль, П. Леви.

При использовании операторного метода решения дифференциальных уравнений неизвестные токи и напряжения ветвей электрической цепи, а также заданные токи и напряжения независимых источников заменяют их операторными изображениями. При этом система интегродифференциальных уравнений электрического равновесия, составленная относительно мгновенных значений токов и напряжений ветвей, преобразуется в систему алгебраических уравнений, составленных относительно операторных изображений соответствующих токов и напряжений. Решая эту систему уравнений, можно найти изображения искомых токов и напряжений ветвей электрической цепи после коммутации. Далее, применяя обратное преобразование Лапласа, можно перейти от изображений искомых токов и напряжений к оригиналам.

Уравнения электрического равновесия цепи в операторной форме. Операторные схемы замещения идеализированных двухполюсных элементов

Итак, используя преобразование Лапласа, каждому уравнению, входящему в систему уравнений электрического равновесия цепи, можно поставить в соответствие уравнение, составленное относительно операторных изображений токов и напряжений. Уравнениям баланса мгновенных значений токов и напряжений соответствуют уравнения баланса операторных изображений токов и напряжений, а компонентным уравнениям, описывающим соотношения между мгновенными значениями токов и напряжений отдельных ветвей, соответствуют уравнения, связывающие операторные изображения токов и напряжений тех же ветвей. Вследствие того что изображение суммы функций времени равно сумме изображений этих функций (6.50), для перехода от уравнений баланса мгновенных значений токов и напряжений ветвей к уравнениям баланса операторных изображений токов и напряжений достаточно в уравнениях (1.37), (1.40) заменить мгновенные значения токов и напряжений их операторными изображениями

Если уравнения баланса напряжений формировались относительно мгновенных значений напряжений отдельных элементов (1.42), то в операторной форме эти уравнения принимают вид

Уравнения (6.58) и (6.59) или (6.60) будем называть уравнениями баланса токов и напряжений в операторной форме, а операторные изображения токов и напряжений— операторными токами и напряжениями.

 По аналогии с ранее рассмотренными понятиями комплексного входного сопротивления и комплексной входной проводимости введем понятия операторного входного сопротивления Z (р) и операторной входной проводимости Y (р).

Операторным входным сопротивлением пассивного линейного двухполюсника называется отношение операторного напряжения на входе двухполюсника к операторному току при нулевых начальных условиях

где  — операторные изображения тока и напряжения на входе некоторого пассивного двухполюсника при и нулевых начальных условиях.

Величина, обратная Z (р), называется операторной входной проводимостью

Операторное входное сопротивление и операторная входная проводимость пассивного линейного двухполюсника, подобно его комплексному входному сопротивлению и комплексной входной проводимости, не зависят от интенсивности внешнего воздействия и определяются только параметрами входящих в двухполюсник идеализированных пассивных элементов и схемой их соединения.

Как следует из выражений (6 .61), (6.62), каждому пассивному линейному двухполюснику при нулевых начальных условиях может быть поставлена в соответствие операторная схема замещения, на которой рассматриваемый двухполюсник представляется своим операторным входным сопротивлением или операторной входной проводимостью, а токи и напряжения на его зажимах — их операторными изображениями. Если в рамках решаемой задачи двухполюсник не находится при нулевых начальных условиях, то его операторная эквивалентная схема должна содержать независимый источник тока или напряжения, характеризующий начальные запасы энергии в цепи.

Рассмотрим операторные компонентные уравнения и операторные схемы замещения идеализированных пассивных двухполюсников.

Сопротивление. Соотношения между мгновенными значениями тока и напряжения на зажимах сопротивления устанавливаются выражениями (1.9), (1.10):

Учитывая, что умножению функции времени на постоянное число соответствует умножение изображения функции на это же число (6.49), получения компонентных уравнений сопротивления в операторной форме достаточно в выражениях (1.9), (1.10) заменить мгновенные значения токов и напряжений их операторными изображениями

Подставляя соотношения (6.63), (6.64) в (6.61), (6.62), находим выражения для операторного входного сопротивления и операторной входной проводимости

Операторная эквивалентная схема сопротивления приведена на рис. 6.8.

Емкость. Напряжение и ток емкости связаны соотношениями (1.13), (1.16):

Используя теоремы дифференцирования (6.52) и интегрирования (6.53), получаем

Операторные компонентные уравнения емкости (6.66) и (6.67) являются равносильными и могут быть получены одно из другого. При нулевых начальных условиях они принимают вид

Таким образом, операторное входное сопротивление (p) и операторная входная проводимость емкости (р) определяются выражениями

Операторным компонентным уравнениям (6.66) и (6.67) соответствуют параллельная и последовательная схемы замещения емкости (рис. 6.9, а, б), содержащие независимый источник тока или напряжения . При нулевых начальных условиях независимые источники тока или напряжения, характеризующие начальный запас энергии в емкости, выключаются, и в операторной эквивалентной схеме емкости остается только один элемент — операторное входное сопротивление или операторная входная проводимость емкости (рис. 6.9 в). 

Индуктивность. Мгновенные значения тока и напряжения индуктивности связаны между собой соотношениями (1.22) и (1.23):

Применяя к этим выражениям теоремы дифференцирования (6.52) и интегрирования (6.53), получаем компонентные уравнения индуктивности в операторной форме:

Уравнения (6.69), (6.70) равносильные и могут быть получены одно из другого с помощью элементарных преобразований. Используя их, определяем комплексное входное сопротивление и комплексную входную проводимость индуктивности

и строим ее последовательную и параллельную схемы замещения (рис. о. 10, а, б). Как и операторные схемы замещения емкости, операторные схемы замещения индуктивности содержат независимый источник напряжения или тока характеризующий начальный запас энергии в индуктивности. Операторная эквивалентная схема индуктивности при нулевых начальных условиях приведена на рис. 6.10, в.

Анализируя полученные результаты, нетрудно установить, что выражения для операторных входных сопротивлений (проводимостей) идеализированных пассивных элементов имеют такую же структуру, как и выражения для комплексных входных сопротивлений (проводимостей) этих же элементов, и могут быть получены одно из другого путем замены  на р.

Аналогичным образом может быть получено выражение для операторного входного сопротивления (проводимости) произвольного линейного двухполюсника, составленного из идеализированных пассивных

элементов. Поэтому для преобразования операторных схем замещения линейных пассивных двухполюсников при нулевых начальных условиях можно использовать все рассмотренные ранее (см. гл. 2) правила преобразования линейных пассивных цепей при гармоническом воздействии, а для преобразования операторных схем замещения тех же участков цепей при ненулевых начальных условиях — правила преобразования активных двухполюсников. В частности, последовательная и параллельная схемы замещения емкости или индуктивности могут быть преобразованы одна в другую с помощью рассмотренных ранее (см. гл. 2) приемов преобразования активных двухполюсников.

Используя операторные эквивалентные схемы идеализированных пассивных элементов, можно получить операторную эквивалентную схему произвольного участка линейной цепи или всей цепи в целом. С этой целью каждый идеализированный пассивный элемент, изображенный на эквивалентной схеме цепи для мгновенных значений, должен быть заменен операторной эквивалентной схемой, а токи и напряжения идеализированных источников тока или напряжения — представлены операторными изображениями соответствующих функций.

Операторная эквивалентная схема цепи имеет такую же структуру, как и эквивалентная схема цепи для мгновенных значений, но содержит дополнительные независимые источники энергии, определяющие запасы энергии цепи в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации.

Используя операторную схему замещения цепи, можно с помощью любого из известных методов сформировать систему уравнений ее электричесхого равновесия в операторной форме, которая будет равносильна основной системе уравнений электрического равновесия цпи после коммутации.

В связи с тем что операторная схема замещения цепи может быть построена непосредственно по эквивалентной схеме цепи для мгновенью значении, этап формирования дифференциальных уравнений цепи может быть исключен. Метод анализа переходных процессов в линейных цепях, основанный на формировании операаторных уравнений  электрического равновесия цепей по их операторным эквивалентным схемам, получил название операторного метода анализа переходных процессов. Этот метод представляет собой дальнейшее развитие операторного метода решения дифференциальных уравнений и позволяе анализировать процессы в цепи после коммутации, минуя этап формирования уравнений электрического равновесия цепи для мгновенных значений токов и напряжений.

Общая схема применения метода

Наметим основные этапы анализа переходных процессов в линейных цепях с помощью операторного метода.

1. Анализ цепи до коммутации и определение независимых начальных условий. Выполняются так же, как и при использовании классического метода анализа переходных процессов.
2. Составление операторной эквивалентной схемы цепи после коммутации. Составление операторной эквивалентной схемы цепи производится непосредственно по эквивалентной схеме цепи для мгновенных значений путем замены каждого идеализированного пассивного элемента его операторной схемой замещения и представления токов и напряжений идеализированных источников тока или напряжения их операторными изображениями.
3. Составление уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме. Система уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме может быть сформирована любым из рассмотренных в гл.4 методов непосредственно по операторной схеме замещения цепи.
4. Решение уравнений электрического равновесия цепи относительно изображений искомых токов и напряжений. Может производиться любым методом, в том числе путем использования рассмотренного ранее метода сигнальных графов.
5. Определение оригиналов искомых токов и напряжений. Как правило, производится путем применения таблиц обратного преобразования Лапласа [6] и использования основных свойств преобразования Лапласа. Если изображение интересующей функции представляет собой отношение двух полиномов р, для выполнения обратного преобразования Лапласа можно воспользоваться теоремой разложения.

Пример 6.4.

Для цепи, схема которой приведена на рис. 6.11, а, найдем зависимость тока и напряжения индуктивности от времени при  Э.д.с. идеализированного источника постоянного напряжения е (t) при t = 0 скачком изменяется от

Анализируя процессы в цепи до коммутации, находим начальное значение тока индуктивности

Для построения операторной эквивалентной схемы цепи после коммутации (рис. 6.11, б) заменяем все идеализированные пассивные элементы их операторными схемами замещения, а э. д. с. идеализированного источника напряжения

— операторной э.д.с., Используя метод контурных токов, составляем систему уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме

где 

Решая эту систему уравнений, находим операторные изображения искомого тока

и напряжения

Преобразуем полученные выражения к такому виду, чтобы для выполнения обратного преобразования Лапласа можно было непосредственно воспользоваться таблицами, приведенными в приложении 1:

Учитывая, что получаем .выражения для искомых тока и напряжения индуктивности при

где — постоянная времени рассматриваемой цепи. Как видно из полученных соотношений, в начальный момент времени ток индуктивности сохраняет то же значение, что и до коммутации а затем плавно изменяется, стремясь в пределе к  Напряжение индуктивности в начальный момент времени скачком изменяется от нуля до и а затем плавно уменьшается до нуля.

Нетрудно заметить, что в начальный момент времени (t =  ток и напряжение индуктивности принимают такие значения, которые они имели бы в случае, если индуктивность была заменена идеализированным источником тока (рис. 6.11, в), ток которого равен

Таким образом, в начальный момент после коммутации индуктивность ведет себя подобно идеализированному источнику тока (при нулевых начальных условиях ток этого источника равен нулю, и, следовательно, ветвь, содержащую индуктивность, в начальный момент времени можно считать разомкнутой).

Операторные характеристики линейных цепей

Реакция цепи на экспоненциальное воздействие:

Выясним, какой физический смысл имеет оператор р, входящий в выражения для операторных сопротивлений и проводимостей. С этой целью найдем реакцию цепи на экспоненциальное внешнее воздействие

где — некоторые комплексные числа.

Коэффициент имеет размерность внешнего воздействия и называется обобщенной комплексной амплитудой, величина — имеет размерность  и называется обобщенной (комплексной) частотой.

Заметим, что многие встречающиеся на практике внешние воздействия можно рассматривать как частный случай экспоненциального воздействия или как сумму некоторого их количества. Действительно, при  выражение (6.72) описывает экспоненциально затухающее экспоненциально нарастающее или неизменное внешнее воздействие. Сумма экспоненциальных воздействий с комплексно-сопряженными амплитудами и комплексно-сопряженными частотами представляет собой гармоническое колебание

амплитуда которого нарастает , затухает или неизменна во времени . Как видно из выражения (6.73), мнимую часть комплексной частоты можно рассматривать как угловую частоту некоторого гармонического колебания, а вещественную часть— как коэффициент, определяющий характер изменения огибающей этого колебания. Вследствие того что интегрирование и дифференцирование экспоненциальной функции не изменяют ее вида, реакция линейной цепи на экспоненциальное внешнее воздействие определенной комплексной частоты является экспоненциальной функцией той же частоты, причем отношение реакции цепи к внешнему воздействию в этом случае не зависит от времени.

Пусть напряжение, приложенное к зажимам идеализированного пассивного элемента изменяется во времени по закону

В этом случае ток сопротивления

ток емкости

и ток индуктивности 

Входным сопротивлением пассивного линейного двухполюсника при экспоненциальном внешнем воздействии называется отношение мгновенного значения напряжения на зажимах этого двухполюсника к мгновенному значению тока:

Используя выражения (6.74) — (6.78), найдем входные сопротивления идеализированных пассивных элементов при экспоненциальном внешнем воздействии

Полагая в выражениях (6.79) получаем рассмотренные ранее выражения для операторных входных сопротивлений идеализированных пассивных элементов, а полагая — выражения для комплексных входных сопротивлений тех же элементов при гармоническом внешнем воздействии. Таким образом, комплексные сопротивления идеализированных пассивных элементов при гармоническом внешнем воздействии численно равны входным сопротивлениям тех же элементов при экспоненциальном внешнем воздействии а операторные входные сопротивления рассматриваемых элементов — входному сопротивлению этих элементов при экспоненциальном внешнем воздействии

Следовательно, оператор преобразования Лапласа р, входящий в выражения для операторных входных сопротивлений и проводимостей идеализированных пассивных элементов, можно рассматривать как обобщенную (комплексную) частоту экспоненциального воздействия вида (6.80).

Переходя от идеализированных пассивных элементов к участкам цепей, составленным из таких элементов, и, далее, к произвольным линейным цепям, убеждаемся, что отношение двух любых токов или напряжений этих цепей при экспоненциальном внешнем воздействии вида (6.80) численно равно отношению операторных изображений соответствующих токов или напряжений при нулевых начальных условиях.

Понятие об операторных характеристиках

Рассмотрим идеализированную линейную цепь, не содержащую независимых источников тока и напряжения, у которой выделены пара входных v — v’ и пара выходных k — k’ зажимов.

Операторной, или обобщенной, частотной характеристикой линейной цепи называется отношение операторного изображения реакции цепи к операторному изображению внешнего воздействия при нулевых начальных условиях:

где

Учитывая, что отношение двух любых токов и напряжений линейной цепи, находящейся под экспоненциальным воздействием, численно равно отношению операторных изображений соответствующих величин при нулевых начальных условиях, устанавливаем, что операторная характеристика линейной цепи численно равна отношению реакции цепи к внешнему воздействию при внешнем воздействии вида (6.80)

Для перехода от операторной характеристики цепи к ее комплексной частотной характеристике достаточно в выражении (6.81) заменить р на Следовательно, комплексную частотную характеристику можно рассматривать как частный случай обобщенной частотной характеристики при

Подобно комплексной частотной характеристике, операторная характеристика линейной цепи не зависит от действующих в цепи токов и напряжений, а определяется только топологией цепи и параметрами входящих в нее элементов. В связи с тем что выражения для операторных сопротивлений и проводимостей идеализированных пассивных элементов (6.65), (6.68), (6.71) были получены безотносительно к виду внешнего воздействия, операторные характеристики описывают свойства линейных цепей при произвольных внешних воздействиях. 

Как и комплексные частотные характеристики, операторные характеристики цепи делятся на входные и передаточные, причем каждой комплексной частотной характеристике соответствует операторная. В зависимости оттого, какая величина выступаете качестве внешнего воздействия на цепь, а какая рассматривается в качестве отклика цепи, различают:

операторное входное сопротивление

операторную входную проводимость

операторные коэффициенты передачи по напряжению 

и току

операторное передаточное сопротивление 

и операторную передаточную проводимость

Операторные коэффициенты передачи по напряжению и току являются безразмерными величинами, операторные входное и передаточное сопротивления имеют размерность сопротивления, а операторные входная и передаточная проводимости — размерность проводимости.

Определение операторных характеристик

Для определения операторной характеристики цепи с заданной комплексной частотной характеристикой достаточно в соответствующем аналитическом выражении заменить на р. В общем случае выражения для любых операторных характеристик сколь угодно сложной линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, могут быть получены из рассмотрения узловых или контурных уравнений цепи, составленных по ее операторной схеме замещения при нулевых начальных условиях.

Пусть необходимо найти операторные входное сопротивление и входную проводимость цепи со стороны зажимов v — v’. Подключим к этим зажимам идеализированный источник напряжения (t) и построим операторную схему замещения цепи при нулевых начальных условиях. Выбирая систему независимых контуров таким образом, чтобы ветвь, содержащая источник явилась главной ветвью v-гo контура, составим систему контурных уравнений цепи в операторной форме. Далее, используя формулы Крамера (4.14), найдем ток v-й ветви, совпадающий с током v-гo контура:

Здесь — определитель системы контурных уравнений, составленных в операторной форме; — алгебраическое дополнение элемента

Используя выражение (6.88), находим операторное входное сопротивление и операторную входную проводимость цепи  со стороны зажимов v — v’:

Аналогичным образом можно найти и передаточные функции цепи. С этой целью, используя (4.14), определяем ток

и напряжение

ветви, содержащей сопротивление и являющейся главной ветвью k-го контура. Далее, подставляя выражения (6.88), (6.89), (6.90) в (6.84) — (6.87), находим операторный коэффициент передачи цепи по напряжению

операторный коэффициент передачи по току

операторную передаточную проводимость

и операторное передаточное сопротивление

В связи с тем что определитель представляют собой полиномы от собственных и взаимных операторных сопротивлений независимых контуров цепи, а сопротивления контуров являются рациональными функциями р с вещественными коэффициентами, любая операторная характеристика линейной электрической цепи не содержащей независимых источников энергии, также является рациональной функцией р с вещественными коэффициентами, т. е. может быть представлена в виде отношения двух полиномов

Здесь — вещественные коэффициенты, значения которых опре деляются параметрами идеализированных пассивных элементов и управляемых источников.

Напомним, что значения аргумента при которых N (р) = О, называются нулями, а значения аргумента при которых М (р) = 0, — полюсами функции Решая уравнения N (р) = 0; М (р) = 0 и разлагая полиномы N (р) и М (р) на множители, выражение (6.91) можно преобразовать к виду

Здесь — вещественное число, называемое масштабным коэффициентом.

Из выражения (6.92) следует, что нули и полюсы функции определяют значения этой функции с точностью до постоянного коэффициента K. Зная расположение нулей и полюсов операторной характеристики цепи в плоскости комплексной частоты р, можно получить полную информацию о свойствах этой цепи, в частности с точностью до постоянного множителя найти реакцию цепи на заданное воздействие. Графическое изображение расположения нулей и полюсов функции в плоскости комплексной частоты называется диаграммой нулей и полюсов или полюсно-нулевой диаграммой функции. При пoстроении полюсно-нулевых диаграмм мнимую и вещественную оси плоскости р обозначают соответственно нули изображают кружками, а полюсы — крестиками.

Пример 6.5.

Для цепи, схема которой приведена на рис. 3.12, а, найдем операторное входное сопротивление со стороны зажимов 1—1′ и операторный коэффициент передачи по напряжению от зажимов 1—1′ к зажимам 2—2′ в режиме холостого хода на зажимах  2—2′. Построим диаграммы нулей и полюсов функций

Ранее были получены выражения для комплексного входного сопротивления (3.12) и комплексного коэффициента передачи (3.16) данной цепи

Заменяя в этих выражениях на р, находим операторное входное сопротивление и операторный коэффициент передачи цепи по напряжению:

Можно убедиться, что аналогичные результаты получаются и при рассмотрении операторной схемы замещения цепи (рис. 6.12, а).

Полюсно-нулевые диаграммы функций изображены на рис. 6.12, б,в соответственно. Функция имеет один нуль = —RL, функция имеет один нуль = 0 и один полюс v = — R/L.

Пример 6.6.

Найдем операторное входное сопротивление последовательного колебательного контура (см. рис. 3.21, а) в режиме холостого хода на выходе. Построим полюсно-нулевую диаграмму функции .

Операторное входное сопротивление последовательного колебательного контура равно сумме операторных сопротивлений входящих в контур элементов

Используя введенные ранее обозначения запишем выражение для операторного входного сопротивления контура в виде

В зависимости от соотношения между величинами операторное входное сопротивление может иметь два различных вещественных нуля

два одинаковых вещественных нуля

или два комплексно-сопряженных нуля

Во всех случаях функция имеет один полюс

Диаграммы нулей и полюсов функции для изображены на рис. 6.13, а, б, в соответственно. Очевидно, что нули функции   являются полюсами функции а полюсы — нулями

Из примеров 6.5 и 6.6 видно, что нули операторного входного сопротивления цепи (полюсы операторной входной проводимости) совпадают с корнями характеристического уравнения, определяющего характер свободных процессов в цепи. Этот результат имеет весьма общий характер и позволяет находить корни характеристического уравнения по выражению для входного сопротивления (входной проводимости) цепи, не прибегая к составлению дифференциального уравнения.

Временные характеристики линейных цепей

Единичные функции и их свойства:

Важное место в теории линейных цепей занимает исследование реакции этих цепей на идеализированные внешние воздействия, описываемые так называемыми единичными функциями.

Единичной ступенчатой функцией (функцией Хевисайда) называется функция

При = 0 для единичной ступенчатой функции используют обозначение l (t) (рис. 6.14, б). График функции l (t— ) имеет вид ступеньки или скачка, высота которого равна l (рис. 6.14, а). Скачок такого типа будем называть единичным. Функцию Хевисайда

l  удобно использовать для аналитического представления различных внешних воздействий на цепь, значение которых скачкообразно изменяется в момент коммутации:

где f (t) — ограниченная функция времени.

При подключении цепи к источнику постоянного тока или напряжения значение внешнего воздействия на цепь

где — момент коммутации.

Внешнее воздействие такого вида называется неединичным скачком. Используя функцию Хевисайда, выражение (6.95) можно представить в виде

Если при t = в цепь включается источник гармонического тока или напряжения

то с использованием функции l (t — внешнее воздействие на цепь можно представить в форме

Если внешнее воздействие на цепь в момент времени t = скачкообразно изменяется от одного фиксированного значения до другого то

Внешнее воздействие на цепь, имеющее форму прямоугольного импульса высотой X и длительностью (рис. 6.15, а), можно представить в виде разности двух одинаковых скачков

сдвинутых во времени на (рис. 6.15, б, в):

Рассмотрим прямоугольный импульс длительностью и высотой 1/ (рис. 6.16, а). Очевидно,что площадь этого импульса равна 1 и не зависит от . При уменьшении длительности импульса его высота возрастает, причем при она стремится к бесконечности, но площадь остается равной 1. Импульс бесконечно малой длительности, бесконечно большой высоты, площадь которого равна 1 будем называть единичным импульсом. Функция, определяющая единичный импульс, обозначается и называется —функцией или функцией Дирака.

Итак,

причем 

При = 0 для -функции используется обозначение (t). При построении временных диаграмм функции и (t) будем изображать в виде вертикальной стрелки со значком оо около острия (рис.6.16, б, в).

Для установления связи между -функцией и единичной ступенчатой функцией воспользуемся выражением (6.96). Полагая X = 1/ и устремляя к нулю, получаем

откуда 

Таким образом, -функция представляет собой производную от единичной ступенчатой функции, а единичная ступенчатая функция — интеграл от -функции.

Строгое обоснование операций над единичными функциями, в том числе операции дифференцирования единичной ступенчатой функции, дано в теории обобщенных функций. Для качественного обоснования таких операций функции и 6 удобно рассматривать в качестве предельных значений некоторых более простых функций, для которых соответствующие операции являются определенными. Рассмотрим, например, функцию  (t) (рис. 6.17, а), удовлетворяющую условиям

 

Производная функция (t) по времени (рис. 6.17, б) имеет вид прямоугольного импульса длительностью и высотой 1/:

При функция (t) вырождается в единичную ступенчатую функцию, а функция — в -функцию:

откуда непосредственно следует, что

При выполнении различных операций над единичными функциями момент коммутации удобно расчленять на три различных момента: _ момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации

— собственно момент коммутации и —момент времени, следующий непосредственно после коммутации. С учетом этого интеграл (6.98) можно заменить на

В общем случае

Произведение произвольной ограниченной функции времени f(t) на 6  

следовательно,

Из выражений (6.102) и (6.103) следует, что интеграл от произведения произвольной ограниченной функции f (t) на равен либо значению этой функции при (если точка принадлежит интервалу интегрирования), либо нулю (если  не принадлежит интервалу интегрирования):

Таким образом, с помощью -функции можно выделять значения функции f (t) в произвольные моменты времени Эту особенность — функции обычно называют фильтрующим свойством.

Для определения реакции линейных электрических цепей на внешнее воздействие в виде единичного скачка или единичного импульса необходимо найти изображения единичных функций по Лапласу. Используя рассмотренные свойства единичных функций, получаем

При операторные изображения единичных функций имеют простой вид:

Переходная и импульсная характеристики линейных цепей

Рассмотрим линейную электрическую цепь, не содержащую независимых источников тока и напряжения. Пусть внешнее воздействие на Цепь представляет собой неединичный скачок а реакция цепи на это воздействие при нулевых начальных условиях

Переходной характеристикой линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие неединичного скачка тока или напряжения к высоте этого скачка при нулевых начальных условиях:

Из выражения (6.107) видно, что если X =1, следовательно, переходная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения. Размерность переходной характеристики равна отношению размерности отклика к размерности внешнего воздействия, поэтому переходная характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимости или быть безразмерной величиной.

Пусть внешнее воздействие на цепь имеет форму бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади

Реакцию цепи на это воздействие при нулевых начальных условиях обозначим

Импульсной характеристикой ) линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади к площади этого импульса при нулевых начальных условиях:

Как следует из выражения (6.108), импульсная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного импульса = 1), а размерность импульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произведению размерности внешнего воздействия на время.

Подобно комплексной частотной и операторной характеристикам цепи, переходная и импульсная характеристики устанавливают связь между внешним воздействием на цепь и ее реакцией, однако в отличие от первых характеристик аргументом последних является время t, а не угловая или комплексная р частота. Так как характеристики цепи, аргументом которых является время , называются временными, а аргументом которых является частота (в том числе и комплексная) — частотными характеристиками, то переходная и импульсная характеристики относятся к временным характеристикам цепи.

Каждой операторной характеристике цепи можно поставить в соответствие переходную и импульсную  характеристики. Для установления связи между ними найдем операторные изображения переходной и импульсной характеристик. Используя выражения (6.107), (6.108), запишем

Здесь  — операторные изображения реакции цепи на внешние воздействия соответственно. Выражая через операторные изображения внешних воздействий получаем

При = 0 операторные изображения переходной и импульсной характеристик имеют простой вид

Таким образом, импульсная характеристика цепи — это функция, изображение которой, по Лапласу, представляет собой операторную характеристику цепи а переходная характеристика цепи  — функция, операторное изображение которой равно Выражения (6.109), (6.110) устанавливают связь между частотными и временнйми характеристиками цепи. Зная, например, им. пульсную характеристику можно с помощью прямого преобразования Лапласа найти соответствующую операторную характеристику цепи

а по известной операторной характеристике с помощью обратного преобразования Лапласа определить импульсную характеристику цепи

Используя выражения (6.109) и теорему дифференцирования (6.51), нетрудно установить связь между переходной и импульсной характеристиками

Следовательно, импульсная характеристика цепи равна первой производной переходной характеристики по времени. В связи с тем что переходная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка напряжения или тока, приложенного к цепи с нулевыми начальными условиями, значения функции при равны нулю. Поэтому, строго говоря, переходную характеристику цепи следует записывать как а не Заменяя в выражении (6.111) на и используя соотношение (6.103), получаем

Выражение (6.112) известно под названием формулы обобщенной производной. Первое слагаемое в этом выражении представляет собой производную переходной характеристики при t> а второе слагаемое содержит произведение -функции на значение переходной характеристики в точке . Если при функция изменяется скачкообразно, то импульсная характеристика цепи содержит -функцию, умноженную на высоту скачка переходной характеристики в точке Если функция не претерпевает разрыва при т. е. значение переходной характеристики в точке равно нулю, то выражение для обобщенной производной совпадает с выражением для обычной производной.

Определение временных характеристик линейных цепей

Для определения переходных (импульсных) характеристик линейной цепи в общем случае необходимо рассмотреть переходные процессы, имеющие место в данной цепи при воздействии на нее единичного скачка (единичного импульса) тока или напряжения. Это может быть выполнено с помощью классического или операторного методов анализа переходных процессов. На практике для нахождения временных характеристик линейных цепей удобно использовать другой путь, основанный на применении соотношений, устанавливающих связь между частотными и временными характеристиками. Определение временных характеристик в этом случае начинается с составления операторной схемы замещения цепи для нулевых начальных условий. Далее, используя эту схему, находят операторную характеристику соответствующую заданной паре: внешнее воздействие на цепь — реакция цепи Зная операторную характеристику цепи и применяя соотношения (6.109) или (6.110), определяют искомые временные характеристики.

При качественном рассмотрении реакции линейной цепи на воздействие единичного импульса тока или напряжения переходной процесс в цепи разделяют на два этапа. На первом этапе (при [цепь находится под воздействием единичного импульса, сообщающего цепи определенную энергию. Токи индуктивностей и напряжения емкостей, при этом скачком изменяются на значение, соответствующее поступившей в цепь энергии. На втором этапе (при ) действие приложенного к цепи внешнего воздействия закончилось (при этом соответствующие источники энергии выключены, т. е. представлены внутренними сопротивлениями), и в цепи возникают свободные процессы, протекающие за счет энергии, запасенной в реактивных элементах на первой стадии переходного процесса. Таким образом, импульсная характеристика цепи, численно равная реакции на воздействие единичного импульса тока или напряжения, характеризует свободные процессы в рассматриваемой цепи. Следовательно, при переходе цепи от исходного состояния к первой стадии переходного процесса, законы коммутации не выполняются, а при переходе от первой стадии переходного процесса ко второй — выполняются.

Пример 6.7.

Для цепи, схема которой приведена на рис. 3.12, а, найдем переходную и импульсную характеристики в режиме холостого хода на зажимах 2 —2′. Внешнее воздействие на цепь — напряжение на зажимах 1 —1′ х (t)=  реакция цепи — напряжение на зажимах 2—2′ у (t) =

Операторная характеристика данной цепи, соответствующая указанной паре’ внешнее воздействие на цепь — реакция цепи, была получена в примере 6.5:

Следовательно, операторные изображения переходной и импульсной характеристик цепи имеют вид

Используя таблицы обратного преобразования Лапласа (см. приложение 1), переходим от изображения искомых временных характеристик к оригиналам (рис. 6.18, а, б):

Заменяя в полученных выражениях t на t — находим временные характеристики цепи при

Отметим, что выражение для импульсной характеристики рассматриваемой цепи (t) могло быть получено и другим путем с помощью формулы (6.112), примененной к выражению для переходной характеристики цепи

Для качественного объяснения вида переходной и импульсной характеристик цепи в рассматриваемом включении, подсоединим к зажимам независимый источник напряжения е (t) =  (рис. 6.18, в). Переходная характеристика данной цепи численно равна напряжению на зажимах  при воздействии на цепь единичного скачка напряжения е (t) = 1 (t), В, и нулевых начальных условиях.

В начальный момент времени после коммутации сопротивление индуктивности бесконечно велико, поэтому при t —  = 0 напряжение на выходе цепи равно напряжению на зажимах 1—1′:

С течением времени напряжение на индуктивности уменьшается, стремясь к нулю при Все это объясняет, почему переходная характеристика начинается от значения и стремится к нулю при

Импульсная характеристика цепи численно равна напряжению на зажимах  при приложении к входу цепи единичного импульса напряжения

е (t) =

При все входное напряжение оказывается приложенным к индуктивности, и ток индуктивности скачком увеличивается от нуля до

 При источник напряжения может быть заменен короткозамыкаюшей перемычкой, а ток индуктивности плавно уменьшается от до нуля. Напряжение на индуктивности равно напряжению на сопротивлении R, поэтому при выходное напряжение цепи изменяется от                        ) — R/L до нуля.

Применение принципа наложения для анализа переходных процессов в линейных цепях

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие:

Наиболее общий подход к анализу переходных процессов в линейных цепях основан на использовании принципа наложения. Внешнее воздействие на цепь х = х (t) в этом случае представляют в виде линейной комбинации однотипных элементарных составляющих

а реакцию цепи на такое воздействие ищут в виде линейной комбинации частичных реакций (t) на воздействие каждой из элементарных составляющих внешнего воздействия в отдельности:

В качестве элементарных составляющих (t) можно выбирать внешние воздействия, описываемые различными классами функций, реакция цепи на которые может быть найдена с помощью рассмотренных ранее методов. Наиболее широкое распространение получили элементарные (пробные) воздействия в виде гармонической функции времени, единичного скачка или единичного импульса.

Метод анализа переходных процессов в линейных цепях, основанный на представлении внешнего воздействия в виде конечной или бесконечной суммы гармонических функций времени, получил название спектрального.

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике

Рассмотрим произвольную линейную электрическую цепь, не содержащую независимых источников энергии, переходная характеристика которой (t) известна. Пусть внешнее воздействие на цепь задается в виде произвольной функции х = х (t), равной нулю при t< и непрерывной при всех t, за исключением точки t = где х (t) может иметь конечный разрыв (рис. 6.19). Функцию х (t) можно приближенно представить в виде суммы неединичных скачков или, что то же самое, в виде линейной комбинации единичных скачков, смещенных один относительно другого на 

Здесь — высота начального скачка функции х (t); — высота скачка, подаваемого в момент времени t = (на рис. 6.19 этот скачок заштрихован).

В соответствии с определением переходной характеристики (6.107) реакция цепи на воздействие неединичного скачка, приложенного в момент времени t = , равна произведению высоты скачка на переходную характеристику цепи Следовательно,реакция цепи на воздействие, представляемое суммой неединичных скачков (6.113), равна сумме произведений высот скачков на соответствующие переходные характеристики

Очевидно, что точность представления входного воздействия в виде суммы неединичных скачков, как и точность представления реакции цепи в видe (6.114), возрастает с уменьшением шага разбиения по времени При суммирование заменяется интегрированием:

Выражение (6.115) известно под названием интеграла Дюамеля (интеграла наложения). Используя это выражение, можно найти точное значение реакции цепи на заданное воздействие х = х (t) в любой момент времени t после коммутации. Интегрирование в (6.115) осуществляется на промежутке причем выражения для и получаются из выражений для х (t) и (t) путем замены t на и t — соответственно.

С помощью интеграла Дюамеля можно найти реакцию цепи на заданное воздействие и тогда, когда внешнее воздействие на цепь описывается кусочно-непрерывной функцией, т. е. функцией, которая имеет конечное число конечных разрывов. В этом случае необходимо разбить интервал интегрирования на несколько промежутков в соответствии с интервалами непрерывности функции х = х (t) и учесть реакцию цепи на конечные скачки функции х = х (t) в точках разрыва.

Пример 6.8.

Найдем реакцию цепи на внешнее воздействие, задаваемое функцией х = х (t) вида (рис. 6.20)

Разбиваем ось времени на четыре промежутка в соответствии с интервалами непрерывности функции х = х (t).

При t< 0 реакция цепи у = у (t) тождественно равна нулю (реакция цепи не может опережать по времени внешнее воздействие на цепь).

На участке функция х = х (t) непрерывна, поэтому реакция цепи находится непосредственно с помощью выражения (6.115)

При интервал интегрирования ]0, t[ содержит одну точку разрыва функции х (t). Разбивая интервал интегрирования на два промежутка и учитывая реакцию цепи на воздействие скачка функции х (t) в точке получаем

При интервал интегрирования содерРис. 6.20. д примеру о.б жит две точки разрыва функции х (t). Для определения реакции цепи в этом случае необходимо разбить интервал интегрирования на три промежутка и учесть реакцию цепи на скачки функции в точках Принимая во внимание, что при = 0, получаем

Пример 6.9. Найдем на зажимах  цепи, схема которой приведена на рис. 3.12, а, если напряжение на зажимах  этой цепи изменяется во времени по закону

Переходная характеристика данной цепи в рассматриваемом включении была определена в примере 6.7:

При t < 0 напряжение на зажимах 2—2′ тождественно равно нулю. При 

При 

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее импульсной характеристике

 Пусть внешнее воздействие на линейную электрическую цепь, импульсная характеристика которой известна, описывается произвольной функцией х = х (t), равной нулю при и непрерывной при всех t, за исключением точки где функция х (t) может иметь конечный разрыв (рис. 6.21). Функция х (t) может быть приближенно представлена в виде суммы импульсов (t) длительностью сдвинутых один относительно другого на

Рассматривая элементарный импульс (на рис. 6.21 заштрихован) как разность двух неединичных скачков сдвинутых по времени на выражение (6.116) можно представить в форме

где — площадь элементарного импульса

Точность представления внешнего воздействия на цепь с помощью выражения (6.117) возрастает с уменьшением шага разбиения по времени

Учитывая, что

внешнее воздействие на цепь при достаточно малом шаге разбиения по времени можно представить в виде линейной комбинации единичных импульсов

В соответствии с определением импульсной характеристики (6.108) реакция цепи на воздействие одиночного импульса равна произведению площади импульса на импульсную характеристику цепи

Следовательно, реакция цепи на воздействие вида (6.118) равна сумме произведений площадей импульсов на соответствующие импульсные характеристики

Устремляя к нулю и переходя от суммирования к интегрированию, получаем окончательно

Выражение (6.119) представляет собой одну из форм записи интеграла Дюамеля и его можно получить непосредственно из (6.115), используя правило интегрирования по частям и учитывая соотношения между переходной и импульсной характеристиками цепи (6.112). Выражение (6.119) можно использовать для определения реакции цепи и в том случае, когда внешнее воздействие на цепь описывается кусочно-непрерывной функцией, при этом интервал интегрирования разбивается на несколько промежутков в соответствии с интервалами непрерывности функции x(t).

Пример 6.10.

Зная импульсную характеристику цепи найдем реакцию цепи на внешнее воздействие, описанное в примере 6.8.

Разбиваем ось времени на четыре промежутка в соответствии с интервалами непрерывности функции х = х (t) и, используя выражение (6.119), определяем реакцию цепи на заданное воздействие на каждом из промежутков:

Пример 6.11.

Используя данные примеров 6.7 и 6.9, найдем реакцию цепи на заданное внешнее воздействие по ее импульсной характеристике

Разбиваем ось времени на три интервала в соответствии с интервалами непрерывности функции х = х (t). При t<0 напряжение на зажимах 2—2’ тождественно равно нулю.

На участке функция  не имеет разрывов, поэтому напряжение на зажимах 2—2′ находится непосредственно с помощью выражения (6.119):

поскольку

то, выполняя преобразования, получаем выражение для напряжения на зажимах при

При интервал интегрирования содержит точку разрыва функции Разбивая интервал интегрирования на два промежутка и принимая во внимание, что получаем выражение для напряжения на зажимах 2—2′ при

Как и следовало ожидать, полученные выражения для реакции рассматриваемой цепи на заданное воздействие, найденные с помощью импульсной характеристики цепи, совпадают с соответствующими выражениями, полученными с использованием переходной характеристики цепи (пример 6.9).

Функция f (t), определяемая соотношением

называется сверткой функций и Используя известное из математики [7] свойство свертки двух функций

из выражений (6.115) и (6.119) можно получить еще две формы записи интеграла Дюамеля

Все приведенные формы записи интеграла Дюамеля равноценны в смысле получаемых результатов, поэтому выбор того или иного выражения определяется только удобством вычислений и не носит принципиального характера.

переходных колебаний

Классический
метод анализа переходных процессов в
линейных инвариантных по времени цепях
с сосредоточенными параметрами основан
на классическом методе решения
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Как известно, общее решение линейного
неоднородного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами
равно сумме частного решения этого
уравнения и общего решения однородного
дифференциального уравнения при f(t)=0.

Общее решение
однородного дифференциального уравнения
характеризует свободные процессы в
цепи, т.е. процессы в цепи после коммутации
в отсутствие внешних источников энергии.
Таким образом, характер свободных
процессов не зависит от вида внешнего
воздействия на цепь, а определяется
только параметрами пассивных элементов
и линейно управляемых источников, а
также топологией цепи после коммутации.
Свободные процессы в цепи протекают
за счет разности энергий, соответствующим
установившимся режимам работы цепей
до и после коммутации. В связи с тем, что
эта разность имеет конечное значение,
свободные процессы в цепях с потерями
с течением времени затухают.

Частное
решение уравнения определяет принужденный
режим работы цепи, т.е. режим, задаваемый
действующими в цепи независимыми
источниками энергии. Принужденная
составляющая тока или напряжения
физически представляет собой составляющую,
изменяющуюся с той же частотой, что и
действующая в схеме принуждающая ЭДС.

Рассмотрим
это на примере процесса в RL-цепи
первого порядка.

В
цепях первого
порядка переходные процессы описываются
дифференциальными уравнениями первого
порядка:

Пусть
при t=0
RL-цепь
подключается
к источнику
постоянного
напряжения
U
(рис 1.2)

Рис. 1.2

Из
рисунка 1.2 следует, что до коммутации
ключ К
разомкнут, поэтому

i_L(0_)
= 0, (1.10)

т.е. цепь имеет нулевые
начальные условия.

После
замыкания ключа (коммутации) в цепи
имеет место переходной процесс. В
качестве переменной дифференциального
уравнения выберем ток в цепи, который
совпадает с током в индуктивности i_L,
и составим дифференциальное уравнение
по второму закону Кирхгофа:

(1.11)

Решение
уравнения (1.11)
ищем по формуле

i_L
=
i_пр+i_св, (1.12)

где
i_пр
определяем в режиме, установившемся
после коммутации цепи (рис. 1.3)

Рис. 1.3

i_пр=U/R,

а
i_св
определяем как общее решение
дифференциального уравнения первого
порядка:

. (1.13)

В
(1.13)
А
– постоянная интегрирования, которая
определяется с использованием первого
закона коммутации (1.7)
и начального условия цепи (1.10):

i_L(0₊)
= i_пр+A=i_L(0_—)
= 0, откуда

A
=- i_пр
= —U/R;

р
– корень характеристического уравнения:

R+pL
= 0. (1.14)

Решая уравнение (1.14),
получим:

Следовательно,
решение уравнения (1.11)
запишется
так:

В
нем слагаемое есть частное
решение неоднородного уравнения (1.11),
а слагаемое
-общее решение
однородного уравнения

Частное
решение неоднородного дифференциальногоуравнения называется
принужденной составляющей переходного
колебания, а полное решение однородного
уравнения – свободной составляющей.

Принужденная
составляющая тока или напряжения
физически представляет собой составляющую,
изменяющуюся с той же частотой, что и
действующая в схеме принуждающая ЭДС.
Так, если в схеме действует принуждающая
синусоидальная ЭДС частоты ω,
то принужденная составляющая любого
тока и любого напряжения в схеме
представляет собой соответственно
синусоидальный ток или синусоидальное
напряжение частоты ω.

Во
всех линейных электрических цепях
свободные составляющие токов и напряжений
затухают во времени по показательному
закону е^pt.Так,
в рассмотренном примере

.

С
увеличением времени t
множитель
быстро
уменьшается. Название «свободная»
составляющая объясняется тем, что эта
составляющая есть решение уравнения,
«свободного» от вынуждающей силы
(однородного уравнения без правой
части).

Обновлено: 29.05.2023

Переходные процессы есть процессы перехода от одного установившегося состояния к другому установившемуся состоянию. Изменения параметров элементов схемы или изменение режима работы самой схемы называются коммутациями .
Непосредственное изменение сигналов тока и напряжения во времени может быть определено классическим методом расчета электрических цепей. Основой этого способа является составление дифференциальных уравнений, описывающих состояние цепи, и их интегрирование, причем количество производных определяется числом элементов-накопителей в заданной цепи.

В соответствии с классическим методом находят частное и общее решения однородных дифференциальных уравнений. Частное решение обусловлено вынужденным воздействием источников e(t) или i(t). Общее решение находят при отсутствии источников. В этом случае токи и напряжения называются свободными и всегда затухают за счет потерь в цепи. В случае комплексных корней процессы в цепи могут быть колебательными за счет собственных колебаний цепи, но также будут убывать во времени при положительной вещественной части.

В природе соблюдается принцип непрерывности во времени потокосцепления индуктивности и электрического заряда емкости.

Потокосцепление скачком измениться не может

Заряд емкости скачком измениться не может

Следовательно, по 1-му закону коммутации в первый момент после коммутации ток в катушке индуктивности скачком измениться не может :

по 2-му закону коммутации в первый момент после коммутации напряжение на емкости скачком измениться не может :

Общее решение уравнения может быть найдено методом наложения принужденного и свободного режимов.

где
— ток принужденного режима при или частное решение неоднородного уравнения,
— ток свободного режима или общее решение однородного уравнения (с нулевой правой частью).

В общем случае . Число слагаемых зависит от порядка уравнения или числа накопителей энергии.
Свободные процессы исследуются для определения устойчивости системы. В устойчивой системе процессы должны затухать.
Принужденный режим определяет новое состояние электрической цепи после окончания переходного процесса.
До коммутации (до включения) ток в цепи отсутствовал . На основании 1-го закона коммутации
ток в индуктивности в первый момент после коммутации равен току до коммутации. В нашем примере ток равен 0.
Ток находим в виде суммы принужденной и свободной составляющих :

Решение этого уравнения

где
k — корень характеристического уравнения, называют постоянной времени для цепи, состоящей из соленоида и резистора.

А — постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий при t = 0 с использованием законов коммутации, в частном случае первого закона для индуктивности

Учитывая, что
Решение будет иметь вид:

Вид кривых тока и напряжений на элементах цепи

При размыкании цепи с соленоидом, в которой отсутствует разветвление, изменение силы тока протекает более сложным образом. При отключении контакты рубильника расходятся и в цепь последовательно включается сопротивление воздушного промежутка между удаляющимися друг от друга контактами рубильника. Если предположить, что проводимость воздуха весьма мала, то сила тока в такой цепи должна почти мгновенно уменьшиться до нуля, при этом в контуре возникает большая э. д. с. самоиндукции. Она может оказаться во много раз больше, чем э. д. с. источника тока, на которую рассчитана цепь, и это может привести к аварийной ситуации (лампочки в квартире иногда перегорают после выключения цепи с большой индуктивностью).
При размыкании цепи э. д. с. самоиндукции часто создает между расходящимися контактами рубильника настолько сильное электрическое поле, что происходит ионизация воздуха, возможно даже вырывание свободных электронов с поверхности контактов (явление автоэмиссии); в воздушном промежутке возникает искровой или дуговой разряд, разрушающий контакты рубильника.

Таким образом, газовый промежуток между расходящимися контактами рубильника при отключении цепи обладает проводимостью и сила тока в цепи уменьшается до нуля не мгновенно. Сопротивление газового промежутка между контактами выключающего устройства нелинейно; поэтому детальный анализ переходного процесса в этом случае оказывается достаточно сложным.
При размыкании неразветвленной цепи большой мощности со значительной силой тока (сотни и тысячи ампер и более), содержащей большие индуктивности (электродвигатели, трансформаторы), принимают специальные меры против образования дугового разряда между контактами рубильника.

Для гашения дуги применяют масляные выключатели, в которых контакты находятся в жидком масле, имеющем малую проводимость и гасящем дугу, выключатели нагрузки, вакуумные выключатели.

которое является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Следовательно, определение тока как функции времени сводится к решению этого дифференциального уравнения.

Известно, что общий интеграл линейного дифференциального уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Если действующая в цепи ЭДС постоянна (Е=Const), то частным решением неоднородного уравнения будет E/R.

Однородное уравнение получаем из исходного, приравнивая нулю его правую часть:

Решением однородного уравнения является функция вида Ae pt , где A и p – постоянные числа, не зависящие от t. Для рассматриваемой цепи A=E/R, р=-R/L.

Тогда полным решение исходного уравнения будет

Убедимся, что подстановка этого решения в исходное уравнение обращает его в тождество

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения называют принужденной составляющей переходного тока или напряжения, а общее решение однородного дифференциального уравнения – свободной составляющей.

В рассмотренном нами примере E/R – принужденная составляющая переходного тока, а (-E/R)e -Rt/L его свободная составляющая. Таким образом, полная величина переходного тока

Принужденные составляющие переходных токов и напряжений определяются в цепях постоянного тока любым из известных методов расчета цепи в установившемся режиме после коммутации, а в цепях синусоидального тока символическим методом.

Кроме того, следует помнить, что постоянный ток через конденсатор не проходит, поэтому принужденная составляющая емкостного тока в цепях с постоянной ЭДС равна нулю. Падение напряжения на индуктивности от постоянного тока равно нулю. Следовательно, равна нулю и принужденная составляющая индуктивного напряжения.

В линейных электрических цепях свободные составляющие затухают по показательному закону e pt . Из трех токов (полного, принужденного и свободного) основное значение имеет полный ток. Именно он является тем реальным током, который проходит по тому или иному участку цепи в переходном режиме.

Физический смысл:
ПРИНУЖДЕННОЙ величины: когда в ПОСЛЕ-коммутационной схеме есть кому принуждать ток двигаться.
СВОБОДНОЙ величины: процесс перераспространения накопления энергии между накопителями.

С математической точки зрения:
После срабатывания ключа (или рубильника) схема может быть описана по уравнениям Кирхгофа в дифференциальном виде для мгновенных значений.
Для искомой величины получится дифференциальное уравнение. Его решение есть сумма общего и частного решения. В электротехнике это решение называется соответственно суммой свободной и принужденной составляющих.
Для определения свободной составляющей следует математически имитировать свободный режим, т. е . исключить воздействие, положив правую часть дифференциального уравнения равной нулю.
В общем случае для определения принужденной составляющей нужно рассчитать искомую величину в стационарном режиме, т. е. по прошествии бесконечно большого времени после коммутации.

Физически эта составляющая определяет закон рассеяния энергии, первоначально запасенной в накопителях энергии ( индуктивных и (или) емкостных) в цепи свободной от источников энергии . Именно эта составляющая определяет характер и время переходного процесса.

Рассмотрим сначала некоторые общие вопросы расчета переходных процессов на достаточно простом примере — включении последовательного контура (rLC-цепи) к источнику ЭДС е, которая изменяется во времени непрерывно и задана каким-либо аналитическим выражением.

Запишем второй закон Кирхгофа для произвольного момента времени

где i — ток переходного процесса, который в дальнейшем будем называть переходным током, или просто током;

Когда с переходным процессом можно уже не считаться, наступает принужденный режим. Принужденный режим, создаваемый источником произвольной периодически изменяющейся ЭДС (или тока), называют установившимся. После окончания переходного процесса источник ЭДС, изменяющейся, например, по экспоненциальному закону, создает принужденный режим. Источники постоянной и изменяющейся по гармоническому закону ЭДС (или тока) создают принужденный, или установившийся, режим.

Когда наступит установившийся режим, уравнение (14.1) примет вид

где и — ток и напряжение установившегося режима, или просто установившиеся ток и напряжение.

Вычитая почленно уравнение (14.2) из уравнения (14.1) и обозначая

Разности токов и напряжений переходного процесса и принужденного режимов называются соответственно тока и напряжением свободного процесса, или просто свободными током и напряжением.

Уравнения (14.4) показывают, что при переходе цепи от одного установившегося состояния к другому напряжения на всех элементах, создаваемые свободными составляющими токов, взаимно уравновешиваются, но свободные напряжения зависят, конечно, от ЭДС е источника.

Уравнение (14.3) показывает, что процесс, происходящий в цепи, можно рассматривать состоящим из двух накладывающихся друг на друга процессов — установившегося, который как бы наступил сразу, и свободного, имеющего место только во время переходного процесса. Благодаря свободным составляющим и достигается в переходном процессе непрерывное приближение к установившемуся режиму. Следовательно, во время переходного процесса токи и напряжения могут быть разложены на слагающие в общем случае принужденного, а при постоянных и периодических ЭДС или токах источников установившегося режима и свободного процесса:

Так как принцип наложения применим лишь к линейным цепям, то это разложение допустимо для линейных цепей. Конечно, физически существуют только переходные токи и напряжения, и разложение их на установившиеся и свободные составляющие является удобным математическим приемом, облегчающим расчет переходных процессов в линейных цепях. Разложение переходных токов и напряжений соответствует правилу решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений, согласно которому общее решение таких уравнений равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Действительно, свободный ток представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения (14.4а), и, следовательно, в его выражении должны быть постоянные интегрирования, число которых равно порядку дифференциального уравнения. Установившийся ток представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения (14.1), а именно такое, которое получается из общего решения неоднородного дифференциального уравнения при равных нулю постоянных интегрирования. Иными словами, в составе принужденного тока не должно быть слагающих свободного тока. Поэтому переходный ток и будет общим решением того же самого неоднородного дифференциального уравнения.

Начнем изучение переходных процессов с исследования процессов в простейших цепях так называемым классическим методом. Этот метод заключается в интегрировании дифференциальных уравнений, связывающих токи и напряжения цепи, в результате чего появляются постоянные, и в определении постоянных из начальных условий, вытекающих из законов коммутации.

Начальными условиями назовем значения переходных токов в индуктивных элементах и напряжений на емкостных элементах при t = О, т. е. те значения, которые в момент коммутации не изменяются скачком. Иногда эти условия называются еще независимыми начальными условиями. В отличие от них начальные значения всех остальных токов и напряжений называют зависимыми начальными условиями. Зависимые начальные условия определяются по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Отметим, что основная трудность классического метода исследования переходных процессов в сложных цепях как раз и состоит в определении зависимых начальных условий.

Читайте также:

  

• 2 вселенский собор кратко

  

• Биография мольера кратко самое главное по датам

  

• Классификация виноградных вин кратко

  

• Средства в расчетах кратко

  

• Ликвидация общественных объединений кратко