Как найти принужденный ток

Содержание:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами:

В предыдущих главах электрические цепи постоянного и переменного токов и их расчет рассмотрены в установившемся режиме, т. е. при установившихся напряжениях и токах.

В установившемся режиме напряжения и токи во всех участках электрической цепи остаются неизменными в течение сколь угодно большого промежутка времени. В понятие неизменных напряжений и токов в данном случае включаются не только постоянные, но и синусоидальные напряжения и токи с постоянными амплитудой и частотой.

По условиям эксплуатации и характеру работы электроустановок или по другим (в том числе случайным) причинам изменяются режимы в электрических цепях.

Для перехода от одного установившегося режима к другому требуется некоторый переходный период, в течение которого изменяются величины токов и напряжений в электрической цепи. С большей или меньшей скоростью эти величины приходят в соответствие с условиями нового режима.
В последующих параграфах для переходных периодов в некоторых простых цепях найдены зависимости тока и напряжения от времени, позволяющие определить их величины в любой момент.

Общие сведения о переходных процессах

Для изучения переходных процессов в простой или сложной цепи необходимо рассмотреть общие сведения о них. В числе таких сведений отметим причины возникновения переходных процессов, основные определения и два закона коммутации, на которых основаны исследования переходных процессов.

Причины возникновения переходных процессов

Переходные процессы возникают вследствие изменения э. д. с. в цепи, напряжения, приложенного к цепи, или в связи с изменением ее параметров — сопротивления, индуктивности или емкости.

Непосредственными причинами возникновения переходных процессов могут быть: коммутационные изменения режимов, т.е. включение и выключение источников питания, приемников энергии; короткие замыкания на участках электрических цепей; изменения механической нагрузки электродвигателей и др.

Электромагнитные процессы, происходящие в электрических целях при переходе от одного установившегося режима к другому, называют переходными процессами.

Электрические токи, напряжения в цепи во время переходного процесса называют переходными токами или напряжениями.

Продолжительность переходных процессов в электрических цепях (переходный период) чаще всего составляет десятые и сотые доли секунды. Однако знание характера их очень важно, так как и за малое время возможны резкие увеличения токов и напряжений, которые могут оказаться опасными для электрических установок.

В устройствах связи, автоматики, счетно-решающей техники, радиотехники с помощью переходных процессов формируются импульсы — сигналы, несущие определенную информацию.

Изучение переходных процессов в этих устройствах необходимо для оценки тех изменений, которые они могут внести в электрические сигналы.
Соотношение длительностей установившихся и переходных режимов может быть самым различным и зависит от условий эксплуатации и назначения электрических цепей. Одни из них по продолжительности практически все время работают в установившемся режиме (двигатели с длительной неменяющейся нагрузкой, лампы электрического освещения), другие, наоборот, непрерывно находятся в переходном режиме (двигатели с повторно-кратковременной нагрузкой, линии связи во время передачи информации, импульсные устройства автоматики, счетно-решающие машины в период работы).

Первый закон коммутации

Первый закон коммутации применяется к цепям, обладающим индуктивностью.

Ток в индуктивности не может измениться скачком. Поэтому мгновенный ток в ветви с индуктивностью в первый момент переходного периода остается таким, каким он был в последний момент предшествующего установившегося режима.

Справедливость первого закона коммутации следует из простых рассуждений, которые изложим применительно к случаю включения катушки индуктивности на постоянное напряжение U (рис. 25.1).
До замыкания рубильника Р установившийся режим характеризуется тем, что ток в цепи, напряжения активное uR и индуктивное uL равны нулю.

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

С момента замыкания рубильника возникает переходный процесс, в течение которого ток в катушке увеличивается до некоторой величины i = I, изменяются и напряжения uR и uL. Электрическое состояние цепи по схеме рис. 25.1 в любой момент переходного периода характеризуется уравнением
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

В установившемся режиме при замкнутом рубильнике Р ток в цепи постоянный, т. е. скорость изменения тока равна нулю: Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами, поэтому и индуктивное напряжение uL равно нулю. Напряжение источника полностью приложено к сопротивлению R, и ток в цепи определяется согласно закону Ома:
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Предположим, что переходный период отсутствует и ток в катушке мгновенно (Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами) увеличился от 0 до конечной величины I. Тогда скорость изменения тока должна быть равна бесконечности (Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами).
Но это противоречит уравнению (25.1), в котором напряжение источника U — конечная величина. Изменение тока скачком означало бы также, что энергия магнитного поля катушки увеличилась скачком от 0 до Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами Для мгновенного изменения запаса энергии в магнитном поле цепи требуется источник бесконечно большой мощности Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами, что лишено физического смысла.

Из первого закона коммутации следует, что в начальный момент после замыкания рубильника (при t = 0) ток в цепи равен нулю (i0 = 0), падение напряжения в сопротивлении i0R = 0, а индуктивное напряжение — напряжению источника u0L = U и цепь как бы разомкнута индуктивностью.

Второй закон коммутации

Второй закон коммутации применяется к цепям, обладающим емкостью.

Напряжение на емкости не может измениться скачком. Поэтому напряжение на емкости в первый момент переходного периода остается таким, каким оно было в последний момент предшествующего установившегося режима.

Рассуждения, подтверждающие второй закон коммутации, приведем применительно к случаю зарядки конденсатора через резистор (включение цепи с R и С на постоянное напряжение, рис. 25.2). До замыкания рубильника Р установившийся режим характеризуется тем, что ток в цепи на резисторе и конденсаторе равны нулю.

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Рис. 25.2. Ко второму закону коммутации

С момента замыкания рубильника возникает переходный процесс, в течение которого напряжение на конденсаторе увеличивается до напряжения источника U (конденсатор заряжается), изменяются ток в цепи и напряжение на резисторе.

Электрическое состояние цепи (рис. 25.2) в любой момент переходного периода характеризуется уравнением, составленным по второму закону Кирхгофа:
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Ток в цепи пропорционален скорости изменения напряжения на конденсаторе:
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Учитывая это, получаем
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Приложенное к цепи напряжение (напряжение источника) делится на две части: одна из них (Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами) компенсирует падение напряжения в резисторе, а другая (uC) равна напряжению в конденсаторе.

В установившемся режиме при замкнутом рубильнике Р напряжение на конденсаторе не изменяется, т. е. скорость изменения напряжения на конденсаторе равна нулю (Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами), поэтому и ток в цепи равен нулю (iу = 0). Напряжение на резисторе равно нулю, и, следовательно, напряжение источника полностью приложено к конденсатору: Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (т. е. цепь разомкнута конденсатором).

Доказательства существования переходного периода при зарядке конденсатора аналогичны тем, которые были ранее приведены для цепи с катушкой индуктивности.
Предположим, что в момент замыкания рубильника Р напряжение на конденсаторе изменилось скачком от 0 до U. Такое предположение означает конечное изменение напряжения за время, равное нулю, т. е. Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами, что противоречит уравнению (25.4), в котором напряжение источника — конечная величина. Кроме того, при изменении напряжения на конденсаторе скачком энергия электрического поля должна увеличиться мгновенно от 0 до Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами. Для такого скачкообразного изменения энергии требуется источник бесконечно большой мощности, чего в действительности быть не может. Из второго закона коммутации следует, что в начальный момент переходного периода (при t = 0) напряжение на конденсаторе равно нулю (uC0 = 0) (конденсатор как бы замкнут накоротко). Напряжение на резисторе равно напряжению источника i0R = U, а ток в цепи i0 = U/R.

Включение катушки индуктивности на постоянное напряжение

После включения катушки к источнику постоянного напряжения ток в цепи рис. 25.1 увеличивается, но не мгновенно. Перейдем к более подробному анализу переходного процесса.

График переходного тока

Закон изменения тока в катушке после замыкания рубильника в схеме рис. 25.1 можно выяснить, используя уравнение (25.1) в преобразованном виде:
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
В первый момент переходного периода ток в цепи с R и L равен нулю (i0 = 0).

Поэтому независимо от величины сопротивления R скорость изменения тока в начальный момент переходного периода выражается отношением величины напряжения к индуктивности:
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Из этого выражения следует, что сразу после включения цепи ток начинает увеличиваться по линейному закону с наибольшей в данных условиях скоростью.

Но так происходит лишь в начальный момент переходного периода. Как только в цепи появился ток, хоть и малой величины, одновременно возникло падение напряжения iR [см. уравнение (25.1)], а индуктивное напряжение соответственно уменьшилось. Уменьшение индуктивного напряжения немедленно вызовет снижение скорости изменения тока.

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Рис. 25.3. График переходного тока после включения цепи на постоянное напряжение

Таким образом, рассматриваемый переходный процесс в катушке (при постоянных величинах U, R, L) отличается тем, что с увеличением тока уменьшается скорость его изменения. По этой причине график тока (кривая i на рис. 25.3) с течением времени все более отклоняется от прямой iL, которая соответствует начальной скорости переходного процесса. Прямая iL, как нетрудно заметить, является касательной к кривой переходного тока i реальной цепи, а наклон ее к оси абсцисс характеризует наибольшую скорость изменения тока, возможную при заданных условиях.

Теоретически переходный процесс продолжается бесконечно долго, а ток в цепи асимптотически стремится к установившемуся I = U/R.

Постоянная времени электрической цепи

Если предположить, что при наличии в цепи сопротивления R ток изменялся бы по линейному закону с наибольшей скоростью (прямая iL), то установившейся величины I он достиг бы за наименьшее время t = τ. Этот промежуток времени является важной характеристикой и называется постоянной времени электрической цепи.

Постоянную времени можно определить графически (рис. 25.3). Для этого нужно провести касательную Оа к кривой тока в начале координат; точку Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами пересечения касательной с асимптотой спроектировать на ось времени. Отрезок Оа’ в масштабе времени выражает постоянную времени τ.
Такую же длину имеет отрезок Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами, который можно получить, если провести касательную к кривой тока в любой точке Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами, найти точку Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами пересечения касательной с асимптотой и спроектировать точки Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами на ось времени.
Из рис. 25.3 можно получить аналитическое выражение для определения постоянной времени. Прямая Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами представляет собой график изменения тока (iL) в идеальной катушке без сопротивления.
Это следует из уравнения (25.5): при R = 0
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами  Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Отсюда
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
По графику Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами при t = τ i = I.
Так как U = IR, то постоянная времени
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Постоянная времени, как видно из последней формулы, определяется только параметрами R, L данной цепи.

Уравнение кривой переходного тока

Уравнение кривой переходного тока в катушке после замыкания рубильника в схеме рис. 25.1 можно получить, используя уравнение (25.1) в таком виде:
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Проинтегрируем обе части этого дифференциального уравнения:
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
В результате интегрирования получим
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
или
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
(постоянная интегрирования взята в форме Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами для упрощения окончательного выражения переходного тока). Потенцируя, находим
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Постоянная интегрирования К2 определяется из начальных условий: согласно первому закону коммутации, в начальный момент переходного периода ток в цепи равен нулю, так как он был равен нулю в последний момент до включения рубильника.
Подставив в последнее равенство t = 0 и i = 0, найдем

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Определив К2 из начальных условий, получим окончательно уравнение для переходного тока
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
В этом уравнении τ = L/R — уже известная постоянная времени цепи.
Уравнению (25.8) соответствует график переходного тока (кривая i на рис. 25.3).
Как было отмечено, переходный процесс продолжается бесконечно долго. Это подтверждается уравнением (25.8), согласно которому ток устанавливается при t = ∞. В практике переходный период считается законченным по истечении времени, равном (4 ÷ 5)τ, когда ток отличается от установившегося примерно на 1%.

Принужденная и свободная составляющие переходного тока

Из уравнения (25.8) видно, что переходный ток можно рассматривать как алгебраическую сумму двух составляющих:
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Первая составляющая представляет собой ток, установившийся в цепи по окончании переходного процесса (прямая iпр на рис. 25.3):
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Этот ток определяется непрерывным действием постоянного напряжения U в переходном и установившемся режимах. Его принято называть принужденным током.

Вторая составляющая возникает в начале переходного процесса и постепенно затухает до нуля, после чего переходный процесс считается законченным (кривая iсв на рис. 25.3). Эта составляющая переходного тока называется свободным током. Он изменяется по закону
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Из уравнения (25.10) следует:
постоянная времени электрической цепи равна интервалу времени, в течение которого свободный ток в этой цепи убывает в е раз.

График переходного тока (рис. 25.3) можно получить, сложив графики принужденного и свободного токов. Однако нужно помнить, что физически реальным в течение переходного процесса является общий ток, постепенно нарастающий от начального (i = 0) до установившегося (i = I).
Одновременно с увеличением тока происходит процесс постепенного изменения (в данном случае накопления) энергии Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами в магнитном поле.

Влияние величины напряжения и параметров цепи на переходный процесс

Переходный процесс при включении цепи с R и L на постоянное напряжение U характеризуют три показателя: установившийся ток, начальная скорость изменения тока и постоянная времени цепи [см. формулы (25.2), (25.6), (25.7)].
Используя эти выражения, можно проследить влияние величины напряжения источника и параметров цепи на переходный процесс (имеются в виду изменения напряжения или параметров цепи до начала переходного процесса).
Установившийся ток и начальная скорость изменения тока зависят от напряжения, а постоянная времени цепи, характеризующая продолжительность переходного процесса, не зависит.

Эти заключения отражены на рис. 25.4: графики установившегося тока проведены на разном уровне, а касательные к кривой тока наклонены к оси времени под разными углами. При этом постоянная времени не изменилась (τ2 = τ1).

Продолжительность переходного процесса в обоих случаях одинакова, несмотря на то что скорость изменения тока разная. Это обстоятельство не должно вызывать сомнения: при изменении напряжения ток увеличивается с другой скоростью, но и стремится к другой установившейся величине.

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Рис. 25.4. Графики переходного тока при различных напряжениях на зажимах цепи

При изменении сопротивления R в цепи изменяются установившийся ток и постоянная времени. Начальная скорость изменения тока от сопротивления R не зависит.

В соответствии с этими выводами на рис. 25.5 проведены две асимптоты (I1 и I2) и одна общая касательная к графикам переходного тока в начале координат:
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Касательная пересекает асимптоты в точках с разными координатами не только по оси токов, но и по оси времени, что подтверждает предыдущий вывод о зависимости постоянной времени от сопротивления R.

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Рис. 25.5. Графики переходного тока при различных сопротивлениях цепи

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Рис. 25.6. Графики переходного тока при различных индуктивностях цепи

Из этого нетрудно сделать заключение о том, как влияет сопротивление на продолжительность переходного процесса.
Изменение индуктивности не сказывается на величине установившегося тока, но начальная скорость изменения тока и постоянная времени изменяются. Поэтому на рис. 25.6 проведены одна (общая) асимптота и две касательные в начале координат к графикам переходного тока. Касательные пересекают асимптоту в двух точках и отмечают величины постоянных времени τ1 и τ2, соответствующих двум величинам индуктивности цепи.
В данном случае переходные токи стремятся к одинаковой установившейся величине с разной скоростью, поэтому продолжительность переходного процесса неодинакова.

Отключение катушки индуктивности от источника постоянного напряжения

Отключение приемников электрической энергии от источника или от сети осуществляется в большинстве случаев разрывом цепи в одной или нескольких точках. Встречаются случаи, когда элементы цепи, обладающие большой индуктивностью, при разрыве цепи одновременно замыкаются накоротко или на разрядное сопротивление.

Размыкание электрической цепи с катушкой индуктивности

При размыкании электрической цепи с катушкой индуктивности (рис. 25.7, а) в момент разрыва цепи напряжение между расходящимися контактами выключателя В резко увеличивается от нуля до U + uL. Скорость изменения тока в момент разрыва цепи Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами, поэтому величина Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — может быть весьма большой. Воздушный промежуток между контактами пробивается и образуется искра. Таким образом, ток в цепи сохраняется некоторое время после начала расхождения контактов. При большой мощности источника искровой разряд может перейти в дуговой. Для гашения электрической дуги отключающие аппараты, как правило, снабжаются дугогасительными приспособлениями, конструкция которых зависит от мощности цепи и рабочего напряжения установки.

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Рис. 25.7. Схемы размыкания цепи с индуктивностью

В некоторых случаях (например, при выключении обмоток возбуждения электрических машин) напряжение может достигать величин, опасных для изоляции. Значительного повышения напряжения можно избежать, если одновременно с отключением индуктивной катушки от источника замкнуть ее на разрядное сопротивление (рис. 25.7, б). По подобной схеме работают, например, автоматы гашения поля (АГП) генераторов на электростанциях. При внутренних повреждениях в генераторе необходимо как можно скорее отключить его от сети и «погасить» магнитное поле. Для этого и служит АГП, с помощью которого обмотка возбуждения замыкается на разрядное сопротивление и отключается от возбудителя.

Изменение тока в катушке, замкнутой на разрядное сопротивление

Переходный процесс в замкнутом контуре катушка — разрядное сопротивление отличается от процесса в цепи рис. 25.7, а тем, что скорость изменения тока Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами зависит от параметров цепи Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и L. Соответствующим подбором разрядного сопротивления величина ее может быть ограничена.
При включении катушки на постоянное напряжение по схемам рис. 25.1 или 25.7, б катушка является приемником энергии. Ток i и э. д. с. самоиндукции еL имеют противоположные направления, что соответствует накоплению энергии в магнитном поле катушки за счет энергии источника.
После отключения цепи от источника энергии (рис. 25.7, б) в образовавшемся короткозамкнутом контуре ток не может уменьшиться мгновенно до нуля, а поддерживается в течение переходного периода, пока имеется энергия в магнитном поле катушки.

Запас энергии в магнитном поле непрерывно уменьшается, так как в активном сопротивлении цепи R совершается необратимый процесс превращения электрической энергии в тепловую.

Таким образом, во время переходного процесса катушка является источником электрической энергии с электродвижущей силой самоиндукции еL, которая возникает и поддерживается в связи с уменьшением тока. Это подтверждается и изменением направления э. д. с. самоиндукции, которое теперь совпадает с направлением тока.

Закон изменения тока при выключении катушки (как и при ее включении) определяется параметрами R и L. Еще до подробного анализа уравнения тока, который приведен далее, можно отметить обстоятельства, позволяющие судить о характере уменьшения тока в катушке.

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Рис. 25.8. График переходного тока в катушке индуктивности, замкнутой на сопротивление

В начальный момент переходного периода величина тока Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами в катушке сохраняется в соответствии с первым законом коммутации. В дальнейшем после отключения источника энергии принужденная составляющая переходного тока отсутствует, поэтому переходный ток является свободным током. Возникновение свободного тока связано с изменением запаса энергии в магнитном поле, подобно тому как при увеличении тока в катушке изменением энергии в магнитном поле определяется свободная составляющая тока (см. рис. 25.3). Отличие заключается лишь в том, что при включении катушки энергия в магнитном поле накапливалась, а теперь она расходуется. С этим и связано изменение направления свободного тока, которое всегда совпадает с направлением э. д. с. самоиндукции.

Предположим, что сопротивление Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами короткозамкнутого контура в схеме рис. 25.7, б равно сопротивлению цепи при включении катушки по схеме рис. 25.1 и индуктивности одинаковы. В этом случае график тока в цепи рис. 25.7, б после замыкания ее накоротко можно получить, повернув на 180° вокруг оси времени график i1св свободного тока при включении катушки (ср. рис. 25.3 и 25.8, где показаны также графики установившегося i и переходного i1 токов при включении катушки).

Касательная к графику тока (рис. 25.8) в точке с координатами t = 0, i = I отсечет на оси времени отрезок τ, выражающий постоянную времени цепи, которая и в данном случае аналитически определяется формулой (25.7).

Уравнение переходного тока

Величину переходного тока в короткозамкнутой катушке можно определить из уравнения (25.1), если учесть, что U = 0:
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
После разделения переменных получим
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
а после интегрирования обеих частей уравнения —
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
где К3 — постоянная интегрирования, отсюда
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
В установившемся режиме, предшествующем отключению катушки от источника, и в начальный момент переходного периода (t = 0) ток i0 = I = U/R.
Учитывая это, из начальных условий найдем K3:
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
а
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Таким образом, уравнение тока в переходный период имеет вид
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
где Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — постоянная времени короткозамкнутой цепи.
В короткозамкнутой катушке ток уменьшается по экспоненциальному закону от i0 = I до установившегося iy = 0.
Сравнивая (25.11) с выражением свободного тока в катушке при ее включении на постоянное напряжение (25.10), убеждаемся, что они одинаковы, если не учитывать изменение знака.
Длительность переходного процесса, как и при включении катушки, теоретически равна бесконечности, а практически ток принимается равным нулю при t = (4 ÷ 5)τ.’
Вопрос о влиянии величины начального тока I и параметров цепи на продолжительность переходного процесса можно проанализировать аналогично тому, как это сделано  для случая включения катушки.
Основными характеристиками переходного процесса являются:
начальный ток I = U/R; начальная скорость изменения тока
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
постоянная времени цепи τ = L/R.
Нетрудно заметить, что выражения этих характеристик совпадают соотвественно с формулами (25.2), (25.6) и (25.7). Изменился лишь знак в формуле начальной скорости изменения тока. Но это объясняется просто: ток теперь не увеличивается, а уменьшается, и касательная к кривой тока наклонена к оси времени под утлом, большим 90°.

Изменение сопротивления в цепи с индуктивностью

При включении катушки индуктивности, обладающей параметрами R, L, сопротивление цепи уменьшается скачком от ∞ до R, а при выключении оно увеличивается от R до ∞.

В соответствии с такими изменениями сопротивления ток в цепи за время переходного периода увеличивается от 0 до I или уменьшается от I до 0.
При скачкообразном изменении сопротивления цепи в конечных пределах тоже возникает переходный процесс, который в общих чертах подобен уже рассмотренным процессам.

Некоторые особенности его обусловлены тем, что при уменьшении сопротивления ток увеличивается начиная с некоторой конечной величины, а при увеличении сопротивления ток уменьшается не до нуля.

Уменьшение сопротивления в цепи

При разомкнутом рубильнике Р в цепи с последовательно соединенными сопротивлением R1 и катушкой R2, L (рис. 25.9) установившийся ток
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
После замыкания рубильника сопротивление в цепи внезапно уменьшается до R2, а ток постепенно увеличивается до Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Переходный процесс от первого режима ко второму отличается от рассмотренного  тем, что ток в цепи увеличивается не от нуля, а от величины I1. Однако закон изменения тока от I1 до I2 такой же.
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
25.9. Схема изменения скачком сопротивления в цепи

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Рис. 25.10. График переходного тока после уменьшения сопротивления

Вследствие уменьшения сопротивления в цепи возникает добавочный свободный ток, начальная величина которого определяется в соответствии с первым законом коммутации: Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Если к принужденному току Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами прибавить свободный ток Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами то получим переходный ток, который в начальный момент сохраняет свою предыдущую величину I1:
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Свободный ток уменьшается в течение переходного процесса до нуля по известному закону (рис. 25.10). По аналогии с формулой (25.11) имеем
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
или
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
где Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Увеличение сопротивления в цепи

Обратный переход от второго режима к первому совершается после размыкания рубильника. Сопротивление цепи внезапно увеличивается, а ток от I2 уменьшается по экспоненциальному закону, стремясь к установившейся величине I1 (рис. 25.11).

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Рис. 25.11. График переходного тока после увеличения сопротивления

Принужденная составляющая переходного тока iпр = I1.
Свободная составляющая, по аналогии с формулой (25.11),
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
где
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Уравнение переходного тока
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Зарядка конденсатора

Анализ процесса зарядки конденсатора от источника постоянного напряжения во многом совпадает с анализом переходного процесса после включения катушки на постоянное напряжение, так как исходные уравнения (25.1) и (25.4) по своей структуре аналогичны.

Уравнение кривых переходного тока и напряжения на конденсаторе

Закон изменения напряжения на конденсаторе и зарядного тока можно найти, решив дифференциальное уравнение (25.4). Путем разделения переменных это уравнение приводится к виду, удобному для интегрирования:
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Интегрирование и последующие преобразования, выполненные в том же порядке, как для цепи с катушкой индуктивности, приводят к решению уравнения в виде
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
где К4 — постоянная интегрирования.
Из начальных условий (t = 0, uC0 — 0) находим Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Уравнение кривой напряжения на конденсаторе принимает вид
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Уравнение зарядного тока легко найти из предыдущего уравнения (25.14), если учесть выражение (25.3):
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
В дальнейшем для анализа переходных процессов при зарядке конденсаторов потребуется выражение скорости изменения напряжения на конденсаторе в начальный момент времени. Это выражение нетрудно получить, используя формулы (25.3) и (25.15):
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Графики зависимости напряжения на конденсаторе uC и зарядного тока i3 от времени изображены на рис. 25.12.
Как видно из этих графиков, скорость увеличения напряжения на конденсаторе и скорость уменьшения зарядного тока непрерывно снижаются.

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Рис. 25.12. Графики переходных тока и напряжения при зарядке конденсатора

Напряжение uC и зарядный ток асимптотически стремятся к своим пределам: uC— к величине напряжения источника U, а ток i — к нулю. Теоретически переходный процесс продолжается бесконечно долго, что подтверждают уравнения (25.14) и (25.15) (uC = U и i = 0 при t = ∞). Однако практически считают, что переходный процесс заканчивается за время, равное (4 ÷ 5)τ. Величина τ в уравнениях (25.14) и (25.15) — постоянная времени цепи:
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Постоянная времени, которая зависит от параметров цепи R, С, как и в цепи с индуктивностью, является показателем продолжительности переходного процесса.
В уравнении (25.14) можно выделить принужденную и свободную составляющие напряжения на конденсаторе:
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Зарядный ток состоит только из свободной составляющей
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
а принужденная составляющая Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Влияние величины напряжения источника и параметров цепи на переходный процесс

Переходный процесс при зарядке конденсатора от источника постоянного напряжения характеризуют три показателя: установившееся напряжение на конденсаторе; начальная скорость изменения напряжения; постоянная времени [см. формулы (25.18), (25.16), (25.17)].

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Рис. 25.13. Графики переходного напряжения на конденсаторе при различных напряжениях источника

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Рис. 25.14. Графики переходного напряжения на конденсаторе при различных сопротивлениях цепи

Используя их выражения, можно проследить влияние величины напряжения заряжающего источника и параметров цепи на переходный процесс (имеется в виду изменение напряжения или параметров цепи до начала переходного процесса).

При изменении напряжения источника изменяются установившееся напряжение на конденсаторе и начальная скорость изменения напряжения, а постоянная времени цепи, характеризующая длительность переходного процесса, от напряжения не зависит. На рис. 25.13 построены соответственно двум различным напряжениям источника U1 и U2 два графика изменения напряжения на конденсаторе 1 и 2 и две касательные к ним в начале координат, имеющие разные углы наклона к оси времени.
Продолжительность переходного периода в обоих случаях одинакова, так как напряжения на конденсаторе изменяются с разными скоростями, стремясь к разным установившимся величинам.

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Рис. 25.15. Графики переходных напряжений и тока конденсатора при различных величинах емкости

Сопротивление входит в выражения начальной скорости изменения напряжения на конденсаторе (25.16) и постоянной времени цепи (25.17), а установившееся напряжение на конденсаторе от сопротивления не зависит. В соответствии с этим на рис. 25.14 проведены одна общая асимптота (U1 = U2) и две касательные в начале координат к графикам переходного напряжения на конденсаторе.

Касательные пересекают асимптоту в двух точках, при этом отмечают две величины постоянной времени: τ1 и τ2. На том же рисунке показаны кривые 1 и 2 изменения напряжения на конденсаторе uC, соответствующие двум величинам сопротивления в цепи. По этим графикам нетрудно сделать заключение о влиянии сопротивления на переходный процесс заряда конденсатора. Изменение емкости влияет на продолжительность переходного процесса так же, как изменение сопротивления (рис. 25.15) К такому заключению можно прийти, применяя для анализа те же выражения (25.16), (25.17), (25.18). Однако имеется разница в энергетической характеристике процесса: при изменении емкости меняется конечный запас энергии в электрическом поле цепи, а при изменении сопротивления — количество электрической энергии, преобразованной в тепло.

Задача 25.13.

Конденсатор емкостью С = 10 мкФ заряжается через резистор, сопротивление которого R = 9 Ом, по схеме рис. 15.16 (переключатель П в положении 1) от источника электрической энергии с э. д. с. Е = 100 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом (на схеме не показано). Через промежуток времени, равный удвоенной величине постоянной времени цепи зарядки, переключатель П переведен в положение 2.
Определить энергию, израсходованную в резисторе за время зарядки конденсатора.
Решение. Закон изменения напряжения на конденсаторе в процессе зарядки
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
К моменту переключения рубильника напряжение uC достигает величины
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Закон изменения тока в процессе зарядки конденсатора
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Энергия, израсходованная в сопротивлении R при зарядке конденсатора,
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Разрядка конденсатора на сопротивление

Переходный процесс при разрядке конденсатора рассмотрим по схеме рис. 25.16, предполагая, что заряженный до напряжения uСУ = U конденсатор емкостью С отключается от источника энергии и его обкладки замыкаются на сопротивление R (переключатель П в положении 2).

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Рис. 25.16. Схема разрядки конденсатора

Переходный процесс при разрядке конденсатора

После переключения по схеме рис. 25.16 конденсатор не может разрядиться мгновенно, т. е. напряжение uC не может уменьшиться скачком до нуля, а поддерживается в течение переходного периода за счет энергии, накопленной в электрическом поле конденсатора.

При этом в активном сопротивлении R совершается необратимый процесс превращения электрической энергии в тепловую. Запас энергии в электрическом поле непрерывно сокращается, а вместе с этим уменьшается и напряжение на конденсаторе. Во время переходного периода конденсатор является источником энергии.

Характер изменения напряжения на конденсаторе при его разрядке можно установить пока без математического анализа несложными рассуждениями, предположив, что конденсатор замкнут на то же сопротивление R, через которое он заряжается.

В начальный момент переходного периода величина напряжения на конденсаторе сохраняется, как и следует из второго закона коммутации. В дальнейшем закон уменьшения напряжения uC будет определяться изменением энергии в электрическом поле конденсатора, подобно тому как при зарядке изменением энергии электрического поля определяется свободная составляющая напряжения на конденсаторе (см. рис. 25.12).

Отличие заключается лишь в том, что при зарядке энергия в электрическом поле накапливалась, а при разрядке она расходуется. Выражением этого отличия служит изменение направления разрядного тока в конденсаторе по сравнению с зарядным током (на рис. 25.16 направления тока, напряжений на конденсаторе и резисторе при разрядке показаны сплошными, а при зарядке — пунктирными стрелками).

График разрядного тока можно получить, повернув график зарядного тока на 180° вокруг оси времени (рис. 25.17).

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Рис. 25.17. Графики переходных напряжений и тока при разрядке конденсатором

Так же можно получить график напряжения на конденсаторе, который по форме повторяет график свободной составляющей напряжения на конденсаторе при зарядке (на рис. 25.17 графики, относящиеся к процессу зарядки, показаны пунктиром, а графики при разрядке — сплошными линиями). Касательная к графику uC в точке с координатами t = 0, uC = U отсечет на оси времени отрезок τ, выражающий постоянную времени цепи, которая и при разрядке алгебраически определяется формулой (25.17).

Уравнение напряжения на конденсаторе и тока в цепи при разрядке конденсатора

Для математического анализа переходного процесса при разрядке конденсатора исходным является уравнение (25.4), в котором для этого случая напряжение источника нужно считать равным нулю:
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
отсюда
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
После разделения переменных получим
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
После интегрирования
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Отсюда
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
где К5 — постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий: при t = 0 и uC0 = U.
Подставляя начальные условия в последнее уравнение, найдем
К5 = U.
Следовательно, напряжение на конденсаторе при разрядке выражается уравнением
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
где τ = RC — постоянная времени цепи при разрядке конденсатора.
Итак, напряжение на конденсаторе при разрядке уменьшается по экспоненциальному закону от uC0 = U до установившегося u = 0.
Сравнивая формулу (25.21) с выражением свободного напряжения на конденсаторе при зарядке [см. формулу (25.19)], убеждаемся в том, что они одинаковы, если не учитывать изменения знака.
Длительность переходного процесса, как и при зарядке, теоретически равна бесконечности, а практически разрядка считается законченной при t = (4 ÷ 5)τ.
Для разрядного тока выражение получается на основе закона Ома:
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Вопрос о влиянии величины начального напряжения и параметров цепи на продолжительность переходного процесса можно проанализировать, используя три основные характеристики переходного процесса: начальное напряжение на емкости Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами начальную скорость изменения uC:
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
постоянную времени Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Эти выражения совпадают соответственно с формулами (25.16), (25.17), (25.18). Только знак в формуле начальной скорости изменился на обратный. Объясняется это тем, что конденсатор теперь разряжается, а не заряжается, и напряжение uC уменьшается, а не увеличивается, поэтому касательная к кривой uC в начальный момент наклонена к оси времени под углом, большим 90°.

Задача 25.15.

Согласно условию задачи 25.13, после периода зарядки конденсатора Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами переключатель П переведен из положения 1 в положение 2.
Определить энергию, израсходованную в цепи за время разрядки конденсатора.
Решение. При разрядке конденсатора энергия, израсходованная в элементе цепи с сопротивлением R, равна убыли энергии электрического поля конденсатора в одно и то же время.
Энергия электрического поля к концу зарядки конденсатора
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Вся эта энергия выделяется в виде тепла в сопротивлении при разрядке конденсатора. Таким образом, общая энергия, выделенная в сопротивлении R при зарядке и разрядке, составляет
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Включение катушки индуктивности на синусоидальное напряжение

Изменение напряжения источника во время переходного процесса влияет на характер переходного тока. При анализе переходного процесса в цепи переменного тока приходится, кроме того, учитывать сдвиг фаз между напряжением и установившимся током, начальную фазу напряжения или, иначе говоря, мгновенное напряжение источника в момент включения цепи.
Однако переходные процессы в цепях постоянного и переменного токов одинаковы: они возникают при переходе от одного установившегося режима к другому при несоответствии запасов энергии в электрическом и магнитном полях цепи условиям нового режима. В течение переходного режима это несоответствие устраняется изменением энергии полей.

Уравнение переходного тока

После включения участка электрической цепи с активным сопротивлением R и индуктивностью L на синусоидальное напряжение (рис. 25.18) начинается переходный период, к концу которого в цепи устанавливается синусоидальный ток.

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Рис. 25.18. Схема катушки индуктивности, включенной на переменное напряжение

Момент включения цепи будем полагать началом отсчета времени (t = 0).
Пусть приложенное напряжение изменяется по закону
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
где ψ — начальная фаза.
В момент включения цепи напряжение имеет величину
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Ток в цепи после ее включения представляется суммой принужденной и свободной составляющих: Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
В установившемся режиме синусоидальный ток в катушке сдвинут по фазе относительно напряжения на угол φ, определяемый соотношением активного и индуктивного сопротивлений катушки. Установившийся ток, как известно, является принужденной составляющей переходного тока:
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
где
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами  Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами  Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Свободная составляющая переходного тока не зависит от формы приложенного напряжения и изменяется по такому же закону [см. формулу (25.10)], что и при включении катушки на постоянное напряжение, равное мгновенному напряжению источника (u0) в момент включения цепи (t = 0):
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
где К6 — постоянная интегрирования, равная свободной составляющей тока при t = 0, т. е. Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — постоянная времени цепи.
Таким образом, переходный ток
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Постоянную К6 находят с помощью первого закона коммутации: в начальный момент (t = 0) ток в цепи равен нулю, так как ранее цепь была разомкнута и ток в катушке скачком измениться не может.

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Рис. 25.19. Графики переходного процесса в катушке индуктивности после включения на переменное напряжение

Поэтому
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
отсюда следует, что Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Bp (25.25)
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Следовательно,
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Уравнение свободной составляющей
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Переходный ток
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Графики переходного тока и его составляющих показаны на рис. 25.19.

Влияние на переходный процесс начальной фазы приложенного напряжения

Рассматривая рис. 25.19, можно заметить, что изменения установившегося и переходного токов носят колебательный характер, причем колебания установившегося тока совершаются около оси ωt, а переходного тока — около кривой iсв(t). Обусловлено это тем, что свободная составляющая переходного тока, внося искажения, как бы смещает график синусоидального тока и искривляет его ось. Степень искажения зависит от того, в какой момент включена цепь, так как в выражение свободной составляющей (25.29) входит начальная фаза приложенного к цепи напряжения.

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Рис. 25.20. Графики переходного процесса после включения катушки индуктивности (при ψ = φ)

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Рис. 25.21. Графики переходного процесса после включения катушки индуктивности (при ψ = φ + 90°)

Если включение катушки произошло в момент, когда принужденная составляющая переходного тока равна нулю [т. е. при ψ = φ, см. формулу (25.27)], то свободная составляющая не возникает: согласно (25.27), при ψ = φ iсв = 0. Иначе говоря, в этом случае переходный период отсутствует и в цепи с первого момента после включения наступает установившийся режим (рис. 25.20).
Наибольшая величина свободного тока в начальный момент времени может быть равна амплитуде установившегося тока. Это имеет место при ψ = φ + 90°, когда в момент включения цепи принужденная составляющая тока равна амплитуде Im (рис. 25.21):
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

В этом случае свободная составляющая переходного тока затухает быстрее или медленнее в зависимости от величины постоянной времени цепи, а переходный ток в соответствии с этим приближается к установившемуся.
В цепях с большой постоянной времени (с большой индуктивностью и малым сопротивлением) свободная составляющая переходного тока затухает медленно, поэтому переходный ток в течение первого полупериода достигает величины, равной почти удвоенной амплитуде установившегося тока: Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Короткое замыкание в цепи переменного тока

При внезапном коротком замыкании скачком уменьшается сопротивление цепи Z. Переходный процесс, возникающий в результате изменения сопротивления, рассмотрим на схеме рис. 25.22, где электрическая нагрузка, представленная сопротивлением Zн, подключена через сопротивление Zл к источнику синусоидального напряжения с постоянной амплитудой и неизменной частотой. Такой схемой замещения можно представить реальную
цепь, в которой к шинам трансформаторной подстанции через линию (Zл) подключена группа потребителей электрической энергии (Zн).

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Рис. 25.22. Схема короткого замыкания в цепи переменного тока

Уравнение кривой переходного тока

Предположим, что сопротивление цепи изменилось в результате короткого замыкания в конце линии, как показано на рис. 25.22. При этом будем считать, что синусоидальное напряжение источника остается неизменным по амплитуде (принятое условие неизменности амплитуды напряжения соответствует короткому замыканию на участке, отделенном от мощных источников питания большим сопротивлением).

До короткого замыкания установившийся режим характеризуется напряжением Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и током:
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Уравнение напряжения, приложенного к цепи,
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
где ψ— фазовый угол, определяющий напряжение в начальный момент короткого замыкания (t = 0).
Установившийся ток до короткого замыкания отстает от напряжения на угол Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами зависящий от параметров линии и нагрузки:
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
В этом случае уравнение тока
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Установившийся режим после короткого замыкания характеризуется тем же напряжением U и током
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Уравнение установившегося тока
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
где φ2 — угол сдвига фаз напряжения и установившегося тока короткого замыкания, определяемый соотношением активного и реактивного сопротивлений короткозамкнутой цепи:
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Переходный ток в короткозамкнутой линии представим суммой принужденной и свободной составляющих: Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
(Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — установившийся ток короткого замыкания).
Свободная составляющая тока изменяется по тому же закону, по которому она изменяется в цепи по схеме рис. 25.9 при уменьшении сопротивления:
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
где τ2 — постоянная времени короткозамкнутой цепи:
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
K7 — постоянная величина, определяемая из начальных условий.
В начальный момент переходного периода, согласно первому закону коммутации, Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами следовательно,
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Отсюда
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Свободная составляющая переходного тока, согласно уравнению (25.34)
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Переходный ток короткого замыкания выражается уравнением
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
На рис. 25.23 показаны графики напряжения и тока в цепи до и после короткого замыкания.

Влияние начальной фазы напряжения на переходный процесс короткого замыкания

Ток короткого замыкания, как уже отмечено, складывается из двух составляющих — принужденной составляющей, равной установившемуся току короткого замыкания, и свободной составляющей, затухающей благодаря наличию в цепи активного сопротивления.

Принужденная составляющая изменяется по синусоидальному закону, и поэтому ее называют периодической составляющей, а свободная составляющая не изменяет знака, и ее называют апериодической составляющей тока короткого замыкания.

Начальную величину свободной составляющей определяют из уравнения (25.36):
Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Она зависит от начальной фазы напряжения ψ, т. е. от момента возникновения короткого замыкания.

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Рис. 25.23. Графики переходного процесса при коротком замыкании в цепи переменного тока (при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами)

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Рис. 25.24. Графики переходного процесса при коротком замыкании в цепи переменного тока (при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами)

Наиболее тяжелым случаем является короткое замыкание в момент, когда мгновенное напряжение на зажимах цепи равно нулю (Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами), а сопротивление цепи короткого замыкания чисто индуктивное (Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами). Соответствующий график тока короткого замыкания показан на рис. 25.24.

В реальных электрических сетях индуктивное сопротивление цепи короткого замыкания во многих случаях значительно больше активного, поэтому при расчете токов короткого замыкания активное сопротивление часто не учитывают. При этом условии свободная составляющая переходного тока в момент t = 0 близка к наибольшей возможной величине, равной амплитуде периодической составляющей. Если активное сопротивление цепи короткого замыкания мало, свободная составляющая затухает медленно, поэтому в самом неблагоприятном случае за время, приблизительно равное полупериоду, ток короткого замыкания достигает своей наибольшей величины, близкой к удвоенной амплитуде установившегося тока короткого замыкания.
Наибольший мгновенный ток короткого замыкания называют ударным током (iуд).

Свободная составляющая тока короткого замыкания затухает тем быстрее, чем меньше постоянная времени цепи короткого замыкания τ2, т. е. чем больше активное сопротивление и меньше индуктивность.
Параметры цепей короткого замыкания в реальных электроустановках обычно такие, что свободная составляющая тока короткого замыкания заметно проявляется в течение 0,1—0,2 с.

Методы анализа переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами

Как отмечено ранее, в установившемся режиме токи и напряжения всех ветвей электрической цепи изменяются по периодическому закону или, в частном случае, сохраняют неизменные значения. Всякое изменение как топологии цепи, так и параметров входящих в нее элементов: подключение или отключение отдельных ветвей, изменение параметров пассивных элементов или параметров источников энергии, нарушает периодический характер изменения токов и напряжений ветвей, т. е. приводит к тому, что режим работы цепи становится неустановившимся. Любое скачкообразное изменение в цепи, приводящее к нарушению установившегося режима, будем называть коммутацией. Если внешнее воздействие на цепь и после коммутации имеет периодический характер, то с течением времени (теоретически через бесконечно большой промежуток времени) цепь перейдет в новый установившийся режим. Неустановившиеся процессы, которые имеют место в цепи при переходе от одного установившегося режима к друюму, называются переходными.

При анализе переходных процессов в цепи, как правило, можно пренебречь длительностью процесса коммутации, т. е. считать, что коммутация осуществляется практически мгновенно. Начало отсчета времени переходного процесса обычно совмещают с моментом коммутации, причем через t=0_ обозначают момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, а через Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами или Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — момент времени, следующий непосредственно за коммутацией (начальный момент времени после коммутации).

Переходные процессы, связанные с изменением топологии цепи или различными коммутациями пассивных элементов, присущи в основном устройствам производства, передачи и преобразования электрической энергии. Для радиотехнических устройств более характерен режим, когда топология цепи и параметры пассивных элементов неизменны, а внешнее воздействие на цепь изменяется по произвольному (чаще всего непериодическому) закону. Понятие коммутации в том виде, как оно было сформулировано ранее, по сути дела, теряет смысл, так как изменение параметров источников энергии происходит практически непрерывно. При анализе неустановившихся процессов в радиотехнических цепях начало отсчета времени выбирают исходя из постановки задачи, независимо от того, находилась ли цепь до этого момента времени в установившемся режиме или нет. Для единства терминологии начало отсчета времени неустановившихся процессов, имеющих место в радиотехнических цепях, обычно также называют моментом коммутации.

Законы коммутации

Переход реальной электрической цепи от одного установившегося режима к другому не может происходить мгновенно, скачком. Это объясняется тем, что каждому установившемуся состоянию соответствует определенное значение энергии, запасенной в электрическом и магнитном полях. Скачкообразный переход от одного установившегося режима к другому потребовал бы скачкообразного изменения запасенной энергии,- что, учитывая выражение (1.5), возможно только, если источники энергии обладают бесконечно большой мощностью, т. е. отдаваемые ими токи или напряжения могут принимать бесконечно большие значения. В связи с тем что любой реальный источник энергии может отдавать только конечную мощность, суммарная энергия, запасенная в цепи, может изменяться только плавно, т. е. представляет собой непрерывную функцию времени. Принимая во внимание, что запасенная в цепи энергия определяется суммарными зарядом всех конденсаторов и потокосцеплением всех индуктивных катушек, приходим к выводу, что суммарные потокосцепление и заряд цепи также являются непрерывными функциями времени, в частности после коммутации Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами они равны суммарному потокосцеплению и суммарному заряду цепи в момент времени Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Это положение известно под названием принципа непрерывности во времени суммарного потокосцепления и суммарного электрического заряда цепи. В реальных цепях в момент коммутации возможны коммутационные потери энергии, например потери энергии за счет искры или электрической дуги между контактами переключателей, поэтому суммарная энергия цепи после коммутации может быть несколько меньше суммарной энергии цепи до коммутации.

Если электрическая цепь не содержит энергоемких элементов, то процесс ее перехода от одного установившегося режима к другому должен происходить мгновенно. Такие безреактивные цепи можно рассматривать только в качестве весьма упрощенных моделей реальных цепей.

Если коммутация идеализированной электрической цепи не затрагивает ветвей, содержащих реактивные элементы, т. е. в процессе коммутации не производится подключения или отключения ветвей, содержащих емкости и индуктивности, и не происходит скачкообразного изменения их параметров, то из принципа непрерывности суммарных потокосцепления и заряда цепи следует непрерывность токов индуктивностей и напряжений емкостей. Вывод о непрерывности токов индуктивностей и напряжений емкостей формулируется в виде законов (правил) коммутации.

Первый закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации ток индуктивности сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

а затем плавно изменяется, начиная с этого значения.

Второй закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

а затем плавно изменяется, начиная с этого значения.

Законы коммутации не накладывают ограничений на характер изменения токов емкостей, напряжений индуктивностей и токов или напряжений сопротивлений, которые могут изменяться произвольным образом, в том числе и скачкообразно.

Как известно, в теории цепей рассматриваются процессы, имеющие место в идеализированных цепях при идеализированных внешних воздействиях. Применение чрезмерно упрощенных моделей элементов цепей и внешних воздействий может привести к нарушению предпосылок, использованных при формулировании законов коммутации, и вследствие этого к нарушению самих законов. Так, представляют интерес случаи, когда идеализированные источники энергии в течение бесконечно короткого промежутка времени могут отдавать бесконечно большой ток или напряжение, т. е. развивать бесконечно большую мощность. При таких внешних воздействиях законы коммутации нарушаются и токи индуктивностей или напряжения емкостей изменяются скачкообразно.

Законы коммутации могут не выполняться и при некоторых коммутациях, затрагивающих ветви, содержащие реактивные элементы. Коммутации такого типа называются некорректными. Анализ процессов в цепях при некорректных коммутациях производят с использованием принципа непрерывности суммарных потокосцепления и электрического заряда цепи, который имеет более общий характер, чем законы коммутации.

Следует подчеркнуть, что некорректность коммутации возникает вследствие излишне упрощенного рассмотрения процесса коммутации или в результате применения чрезмерно упрощенных моделей элементов и может быть устранена при более строгом анализе.

Таким образом, термин «некорректная коммутация» является не вполне удачным: правильнее говорить не о некорректной коммутации, а о некорректной постановке задачи коммутации.

Пример 6.1.

Рассмотрим процесс зарядки конденсатора от гальванического элемента. Если использовать последовательные схемы замещения конденсатора и источника энергии (рис. 6.1, а), то переключение ключа S из положения 1 в положение 2 (или наоборот) является корректной коммутацией.

Действительно, пусть в исходном состоянии ключ находится в ,положении 1 и емкость С полностью разряжена, а в момент времени t = 0 ключ перебрасывается в положение 2. Если бы в результате коммутации напряжение та емкости возросло скачком, то в соответствии с компонентным уравнением емкости (1.13) ток цепи достиг бы бесконечно большого значения, что привело бы к .тому, что левая часть уравнения баланса напряжений для цепи, получающейся после коммутации Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами не равнялась бы правой части.

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Таким образом, предположение о том, что в рассматриваемой цепи нарушается второй закон коммутации, приводит к явно неправильному результату. Следовательно, в начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости сохраняет то же значение, что и в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации: Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами а затем плавно увеличивается, стремясь в пределе к новому установившемуся значению, роемому э.д.с. источника напряжения (в установившемся режиме ток через емкость равен нулю, и из уравнения баланса напряжений следует, что Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами= Е).

Если в исходном состоянии ключ находится в положении 2, а емкость С заряжена до напряжения Е, то при перебросе ключа в положение 1 напряжение на емкости в начальный момент времени после коммутации сохраняет значение, которое было в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, напряжение на сопротивлении Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами скачком становится равным — Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (0+) = —Е, а ток сопротивления скачком возрастает до значения Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами(0+)=Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами Затем напряжение и ток емкости плавно уменьшаются, стремясь в пределе к нулю.

Если упростить схему замещения конденсатора и исключить из нее последовательное сопротивление Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (рис. 6.1, б), то перевод ключа из положения 1 в положение 2 будет по-прежнему оставаться корректной коммутацией в то время, как перевод ключа из положения 2 в положение 1 — станет некорректной коммутацией (некорректность коммутации объясняется тем, что рассматриваемая схема замещения цепи не учитывает потерь энергии в конденсаторе и соединительных проводах, а также энергию, выделяющуюся вместе с искрой между контактами ключа. В зависимости от требуемой точности анализа необходимо либо принять, что напряжение на емкости скачком изменилось от одного установившегося значения до другого, либо применить более сложную схему замещения цепи с учетом ключа и соединительных проводников).

Если упрощать и далее схему замещения цепи (исключив из нее внутреннее сопротивление источника Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (рис. 6.1, в), то перевод ключа из одного положения в другое всегда будет представлять собой некорректную коммутацию.

Пример 6.2.

Рассмотрим идеализированную цепь (рис. 6.2). Пусть в исходном состоянии ключ S находится в положении 1, через индуктивность Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами протекает постоянный ток Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами а ток индуктивности Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами равен нулю: Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Если в момент времени t=0 ключ S перебросить из положения 1 в положение 2, то индуктивности Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами окажутся включенными последовательно и их токи должны мгновенно уравняться (для соблюдения уравнения баланса токов). Очевидно, что такая коммутация некорректна, причем начальное значение тока индуктивностей Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами после коммутации может быть определено из принципа непрерывности потокосцепления: Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиПереходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами откуда

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

При анализе такой цепи обычно принимается, что токи индуктивностей Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами скачком изменяются до уровня Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами а затем плавно увеличиваются, начиная с этого уровня, до установившегося значения Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Можно убедиться, что энергия данной цепи непосредственно после коммутации

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

меньше, чем энергия, запасенная в индуктивности Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами до коммутации:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

причем разность между этими величинами равна энергии коммутационных потерь. Рассмотренная коммутация может быть сделана корректной, если при анализе принять во внимание конечное время коммутации, применить более точные модели индуктивных катушек, содержащие не только сопротивления потерь, но и паразитные емкости, и учесть явления, имеющие место в искре или дуге между контактами. Разумеется, учет этих явлений существенно усложняет анализ.

Общий подход к анализу переходных процессов

Задача анализа переходных процессов заключается в общем случае в определении мгновенных значений токов и напряжений всех или части ветвей электрической цепи в произвольный момент времени после коммутации. Для этого необходимо найти общее решение основной системы уравнений электрического равновесия цепи или системы уравнений электрического равновесия, составленной любым другим способом, при t> 0. Исключая из системы уравнений все неизвестные величины, кроме одной, получают дифференциальное уравнение цепи, составленное относительно этой величины. Таким образом, задача анализа переходных процессов может быть сведена к решению дифференциального уравнения цепи при t > 0. В частности, задача анализа переходных процессов в линейной инвариантной во времени цепи с сосредоточенными параметрами Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами-ro порядка сводится к нахождению об

щего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами-ro порядка вида (1.61).

Общее решение такого уравнения содержит v произвольных постоянных, для нахождения которых необходимо задать значения искомой функции у и ее Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — 1 первых производных в начальный момент времени после коммутации, т. е. при t = Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами Эти величины определяют с помощью законов коммутации на основании анализа процессов, имеющих место в рассматриваемой цепи перед коммутацией. В результате анализа цепи до коммутации рассчитывают значения токов всех индуктивностей и напряжения всех емкостей в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации. Далее, используя законы коммутации (в более общем случае — принцип непрерывности потокосцепления и электрического заряда цепи), находят значения токов индуктивностей и напряжений емкостей в начальный момент времени после коммутации. Очевидно, что для определения v начальных условий требуется применить законы коммутации к v независимо включенным реактивным элементам, т. е. к реактивным элементам, включенным таким образом, что их энергетическое состояние может быть задано независимо. Следовательно, порядок сложности цепи, равный порядку дифференциального уравнения цепи Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами определяется числом независимо включенных реактивных элементов. Совокупность начальных значений токов независимо включенных индуктивностей и напряжений независимо включенных емкостей представляет собой независимые начальные условия цепи. Используя независимые начальные условия и уравнения электрического равновесия цепи после коммутации, находят зависимые начальные условия, т. е. значения токов и напряжений любых ветвей и их производных в момент времени t = Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами 

Если энергия, запасенная в цепи в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, равна нулю, то говорят, что цепь анализируется при нулевых начальных условиях. Если начальный запас энергии не равен нулю, то цепь анализируется при ненулевых начальных условиях (в первом случае все независимые начальные условия равны нулю, во втором случае хотя бы одно из них имеет ненулевое значение).

Следует обратить внимание на то, что независимые начальные условия, а следовательно, токи и напряжения ветвей цепи после коммутации определяются исходя из энергетического состояния цепи только в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации (t = 0_), и не зависят от характера процессов, имеющих место в рассматриваемой цепи до коммутации (при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами).

Определение порядка сложности цепи

В некоторых случаях порядок сложности электрической цепи v бывает желательно выяснить еще до составления уравнений электрического равновесия. Очевидно, что значение Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами не может превышать общего числа реактивных элементов цепи Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами В связи с тем что последовательно или параллельно включенные реактивные элементы одного типа не являются энергетически независимыми, при подсчете Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами необходимо объединять такие элементы и заменять их эквивалентным элементом соответствующего типа.

Если в цепи имеется так называемый емкостный контур, т е. контур, образованный только емкостями и, может быть, независимыми источниками напряжения, то напряжение любой из емкостей такого контура выражают через напряжения других емкостей с помощью уравнения баланса напряжений, составленного для данного емкостного контура. Таким образом, наличие в цепи емкостного контура уменьшает на единицу число независимо включенных емкостей и снижает порядок сложности цепи.

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Число независимо включенных индуктивностей снижается при наличии в цепи так называемого индуктивного сечения, т. е. сечения, в которое входят только индуктивности, и, может быть, независимые источники тока. Частным случаем индуктивного сечения является индуктивный узел (узел, к которому подключены только индуктивности и независимые источники тока). Ток, а следовательно, и энергия любой из индуктивностей, входящей в индуктивное сечение, могут быть выражены через токи других индуктивностей на основании уравнений баланса токов, составленного для данного сечения.

Если в состав цепи входит несколько емкостных контуров или индуктивных сечений, то при оценке числа независимо включенных реактивных элементов учитывают только независимые емкостные контуры и независимые индуктивные сечения, т. е. такие контуры и сечения, уравнения баланса напряжений и токов которых независимы.

Таким образом, порядок сложности линейной цепи, составленной только из идеализированных пассивных элементов и независимых источников тока или напряжения:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Где Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — общее число реактивных элементов; Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — число независимых емкостных контуров; Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами— число независимых индуктивных сечений.

Следует иметь в виду, что порядок сложности цепи зависит также от соотношений между параметрами входящих в нее элементов, поэтому выражение (6.4) позволяет оценить только максимально возможное значение порядка сложности цепи (в том числе и цепи с управляемыми источниками).

Пример 6.3.

Определим порядок сложности цепи, схема которой приведена на рис. 6.3, а.

Преобразуя участки цепи, содержащие последовательно и параллельно включенные однотипные реактивные элементы (рис. 6.3, б), определяем общее число реактивных элементов цепи Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами = 6. Рассматриваемая цепь содержит один емкостной контур, образованный емкостями Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и источником напряжения е, и одно индуктивное сечение (индуктивности Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами поэтому порядок сложности данной цепи не может превышать четырех.

Классический метод анализа переходных процессов

Свободные и принужденные составляющие токов и напряжений:

Классический метод анализа переходных процессов в линейных инвариантных во времени цепях с сосредоточенными параметрами основан на классическом методе решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Как известно, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами [см. (1.61)]

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

равно сумме частного решения этого уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

которое получается из (1.61) при f(t) = 0.

Общее решение однородного дифференциального уравнения (6.5) характеризует так называемые свободные процессы в цепи, т. е. процессы в цепи после коммутации в отсутствие внешних источников энергии (напомним, что функция f (t) обращается в нуль при выключении всех независимых источников тока и напряжения).

Таким образом, характер свободных процессов ие зависит от вида внешнего воздействия на цепь, а определяется только параметрами пассивных элементов и линейно управляемых источников, а также топологией цепи после коммутации.

Свободные процессы в цепи протекают за счет разности энергий, соответствующих установившимся режимам работы цепей до и после коммутации. В связи с тем что эта разность имеет конечное значение, свободные процессы в цепях с потерями с течением времени затухают (в идеализированных цепях без потерь свободные процессы имеют незатухающий характер).

Частное решение уравнения (1.61) определяет принужденный режим работы цепи, т.е. режим, задаваемый действующими в цепи независимыми источниками энергии.

Если внешнее воздействие иа цепь после коммутации изменяется по периодическому закону (сохраняет неизменное значение), то частное решение уравнения (1.61) характеризует установившийся режим цепи после коммутации.

Итак, при использовании классического метода анализа переходных процессов искомая реакция цепи у (ток или напряжение какойлибо ветви после коммутации) представляется в виде суммы свободной Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и принужденной Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамисоставляющих:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Свободная составляющая реакции цепи с течением времени затухает Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамипоэтому принужденная составляющая реакции представляет собой установившееся значение искомого тока или напряжения после коммутации Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Для определения принужденной составляющей реакции цепи можно воспользоваться рассмотренными ранее методами анализа линейных цепей в установившемся режиме. Если после коммутации токи всех независимых источников тока и напряжения всех независимых источников напряжения не изменяются, то с течением времени в цепи после коммутации установится режим постоянного тока. Очевидно, что принужденная составляющая реакции цепи в этом случае будет являться постоянным током или напряжением.

Если после коммутации цепь находится под гармоническим воздействием определенной частоты, то принужденная составляющая реакции цепи также будет гармонической функцией времени и для определения Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами можно воспользоваться методом комплексных амплитуд.

Если цепь после коммутации находится под воздействием нескольких источников гармонических колебаний различной частоты, то, используя принцип наложения, мгновенное значение Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами можно найти как сумму мгновенных значений частичных токов или напряжений, вызванных в установившемся после коммутации режиме каждым из источников в отдельности. Применяя принцип наложения, можно найти принужденную составляющую реакции цепи и тогда, когда внешнее воздействие на цепь х (t) описывается периодической функцией более сложного вида, удовлетворяющей условиям Дирихле, т. е. имеющей на конечном интервале конечное число максимумов и минимумов и конечное число разрывов первого рода. В этом случае Функция х (t) может быть разложена в ряд Фурье (представлена в виде суммы гармонических колебаний кратных частот), а мгновенное значение Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами может быть найдено как сумма мгновенных значений частичных токов или напряжений, вызванных в установившемся после коммутации режиме каждой из гармонических составляющих внешнего воздействия в отдельности.

Для определения свободной составляющей Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами реакции цепи необходимо найти Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами корней Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами характеристического уравнения

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

соответствующего однородному уравнению (6.5). Когда все корни уравнения (6.6) простые (различные), свободная составляющая реакции имеет вид

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

т. е. каждому простому корню Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами соответствует слагаемое свободной составляющей вида

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

где Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами—постоянная интегрирования.

Если какой-либо корень Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами характеристического уравнения (6.6) имеет кратность n, то этому корню соответствует слагаемое свободной составляющей вида

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Характеристическое уравнение (6.6) может иметь вещественные или комплексные корни, причем все корни Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами характеристического уравнения линейной цепи, составленной из идеализированных пассивных элементов и независимых источников энергии, расположены в левой полуплоскости комплексного переменного р (включая и мнимую ось): Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами так как только в этом случае свободные процессы в цепи имеют затухающий (точнее, ненарастающий) характер.

Общая схема применения классического метода анализа переходных процессов

Наметим основные этапы классического метода анализа переходных процессов в линейных инвариантных во времени цепях с сосредоточенными параметрами.

1. Анализ цепи до коммутации. В результате этого анализа определяют токи индуктивностей и напряжения емкостей в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации (t= 0_).

2. Определение независимых начальных условий. Независимые начальные условия представляют собой токи индуктивностей и напряжения емкостей в момент времени (t = Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами). Независимые начальные условия находят с помощью законов коммутации или принципа непрерывности потокосцепления и электрического заряда цепи.

3. Составление дифференциального уравнения цепи после коммутации (при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиДифференциальное уравнение цепи получают из системы уравнений электрического равновесия цепи, составленной любым методом, путем исключения всех неизвестных величин, кроме одной, представляющей собой Ток или напряжение какой-либо ветви.

4. Анализ установившегося процесса в цепи после коммутации (при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами В результате анализа установившегося процесса в цепи после коммутации находят принужденную составляющую реакции цепи (частное решение дифференциального уравнения цепи).

5. Определение свободной составляющей реакции цепи. На этом этапе составляют характеристическое уравнение цепи, находят его корни и определяют общий вид свободной составляющей реакции цепи (общее решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению цепи после коммутации).

6. Нахождение общего вида реакции цепи. Общий вид реакции цепи (общее решение дифференциального уравнения цепи) находят путем суммирования свободной и принужденных составляющих реакции цепи.

7. Определение постоянных интегрирования. Постоянные интегрирования находят по зависимым начальным условиям (значениям искомых токов или напряжений и их Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — 1 первых производных в начальный момент времени после коммутации). Для определения зависимых начальных условий используют независимые начальные условия и уравнения электрического равновесия цепи после коммутации.

8. Определение реакции цепи, соответствующей заданным начальным условиям. Подставляя постоянные интегрирования в общее решение дифференциального уравнения цепи после коммутации, находят частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям, т. е. искомый ток или напряжение одной из ветвей при t>0.

Переходные процессы в последовательной RС-цепи при скачкообразном изменении э. д. с.

Рассмотрим переходные процессы в последователоной RС-цепи (рис. 6.4, а) при скачкообразном изменении э. д. с. идеализированного источника постоянного напряжения

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Такое изменение э. д. с. источника напряжения происходит наприМеР, когда в цепи, схема которой приведена на рис. 6.4, б, ключ S в момент времени t = 0 перебрасывают из положения 1 в положение 2.

Очевидно, что в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации, напряжение на емкости равнялось напряжению на зажимах источника энергии при t<0 (предполагается, что до коммутации цепь находилась в установившемся режиме). Используя второй закон коммутации, находим единственное независимое начальное условие

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи можно составить относительно любой из неизвестных величин (напряжения на сопротивлении Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами напряжения на емкости Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами тока сопротивления

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами тока емкости Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами однако, учитывая, что для данной цепи известно начальное значение напряжения на емкости, целесообразно составить уравнение относительно этого напряжения.

Исключая из основной системы уравнений электрического равновесия цепи при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

все неизвестные величины, кроме Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами получаем

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Напряжение на емкости при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами представим в виде суммы принужденной и свободной составляющих

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Очевидно, что с течением времени после коммутации в цепи должен установиться режим постоянного тока, причем установившееся значение тока емкости будет равно нулю (сопротивление емкости постоянному току бесконечно велико), а установившееся значение напряжения на емкости — напряжению источника энергии после коммутации. Таким образом, принужденная составляющая напряжения на емкости

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Характеристическое уравнение цепи

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

имеет единственный корень

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

где Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами— постоянная времени последовательной RС-цепи, поэтому свободная составляющая напряжения на емкости Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами содержит один экспоненциальный член

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Используя выражения (6.10), (6.11) и (6.12), находим напряжение на емкости после коммутации при произвольных начальных условиях

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Для определения постоянной интегрирования Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами воспользуемся независимым начальным условием (6.9). Полагая в (6.13) Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиПереходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами получаем Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами откуда Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Таким образом, при заданных начальных условиях напряжение на емкости после коммутации Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами определяется выражением

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Зависимость напряжения на емкости от времени при различных соотношениях между Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами показана на рис. 6.4, в— д. Здесь же показана зависимость от времени тока емкости Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами которая при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами определяется путем дифференцирования выражения (6.14) по времени и умножения результата на С:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Как видно из рисунка, в начальный момент после коммутации напряжение на емкости сохраняет то же значение, что и до коммутации, а затем плавно изменяется, стремясь в пределе к новому установившемуся значению. Ток емкости в начальный момент скачком изменяется от нуля до начального значения:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

а затем плавно уменьшается, стремясь в пределе к нулю. В связи с тем что установившееся значение тока емкости до и после коммутации равно нулю, ток рассматриваемой цепи содержит только свободную составляющую.

Анализ выражения (6.16) показывает, что значение тока емкости Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами численно равно постоянному току, который протекал бы в цепи после коммутации, если бы емкость С была заменена идеальным источником напряжения э. д. с. Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами Следовательно, в начальный момент времени после коммутации емкость ведет себя подобно источнику напряжения, э. д. с. которого равна начальному значению напряжения на емкости. Если начальное значение напряжения на емкости равно нулю, то в начальный момент после коммутации ветвь с емкостью можно считать короткозамкнутой, т. е. сопротивление емкости равно нулю.

Далее (см. пример 6.4) будет показано, что в начальный момент времени после коммутации индуктивность ведет себя подобно источнику тока, ток которого равен начальному значению тока через индуктивность. При Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами ветвь с индуктивностью в начальный момент времени можно считать разомкнутой, т. е. сопротивление индуктивности при t =Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами имеет бесконечно большое значение.

Как видно из выражений (6.12) и (6.15), скорость затухания свободных составляющих тока и напряжения емкости не зависит от значения э. д. с. идеализированного источника напряжения до и после коммутации, а определяется только постоянной времени цепи Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами которая численно равна промежутку времени, в течение которого свободные составляющие тока и напряжения уменьшаются в Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами2,718 раз. Можно показать, что при любом Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Таким образом, постоянная времени рассматриваемой цепи численно равна длине подкасательной к кривой Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами или Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами при любом значении Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами т. е. длине отрезка временной оси, заключенного между какой-либо точкой Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и точкой пересечения временной оси касательной, проведенной к кривой Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами или Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами в точке Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами или Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами Для определения постоянной времени цепи касательную к кривым Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами или Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами наиболее удобно проводить при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами= 0. В этом случае она пересекает ось времени в точке t = Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (рис. 6.4, в—д).

Чем больше постоянная времени цепи, тем медленнее затухают свободные составляющие токов и напряжений и, следовательно, токи и напряжения цепи медленнее приближаются к установившимся значениям.

Теоретически процесс установления нового режима длится бесконечно долго, однако, учитывая, что к моменту времени, равному Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами после коммутации, свободные составляющие уменьшаются до уровня менее 0,02 от начального значения, переходные процессы в цепи можно считать практически закончившимися через промежуток времени Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами после коммутации.

Подключение к последовательной RL-цепи источника гармонического напряжения

Рассмотрим переходные процессы в последовательной RL-цепи, содержащей идеализированный источник, э. д. с. которого е (t) изменяется во времени по закону

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Временная диаграмма е (t) при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами> 0 приведена на рис. 6.5, а. В этом случае ток индуктивности в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами(0_) = 0.

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Дифференциальное уравнение цепи, составленное относительно тока Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами имеет вид

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Принужденная составляющая тока может быть найдена с помощью метода комплексных амплитуд

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

где Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами—модуль и аргумент комплексного входного сопротивления рассматриваемой цепи. Характеристическое уравнение цепи

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

имеет единственный корень Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами = —R/L, поэтому свободная составляющая тока содержит один экспоненциальный член

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

где Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами = L/R — постоянная времени последовательной RL-цепи.

Суммируя свободную и принужденную составляющие, находим общее решение дифференциального уравнения цепи (6.18) после коммутации:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Для определения постоянной интегрирования Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами воспользуемся первым законом коммутации, в соответствии с которым начальное значение тока рассматриваемой цепи должно равняться нулю:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Подставляя (6.20) в выражение (6.19), получаем Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами откуда

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

С учетом (6.21) выражение для тока рассматриваемой цепи после коммутации принимает вид

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Характер переходных процессов зависит от соотношения между начальной фазой Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами э. д. с. идеализированного источника напряжения и аргументом Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами входного сопротивления цепи. Если Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами выбирают таким образом, что начальные значения принужденной Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и свободной Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами составляющих равны нулю Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами то свободная составляющая тока тождественно равна нулю. Переходные процессы в цени в этом случае отсутствуют, т. е. установившийся режим наступает сразу же после коммутации. При Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами или Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами начальные значения свободной и принужденной составляющих максимальны, и отличие в форме кривых Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами выражено наиболее резко (рис. 6.5, б).

Как и для последовательной RC-цепи, скорость затухания свободной составляющей тока рассматриваемой цепи не зависит от характера внешнего воздействия, а определяется только постоянной времени Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами За промежуток времени t =Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами свободная составляющая тока уменьшается в е раз и к моменту времени Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами после коммутации переходные процессы в цепи можно считать практически закончившимися.

Подключение к последовательной RLC-цепи источника постоянного напряжения

Последовательная RLС-цепь содержит два независимо включенных реактивных элемента, поэтому процессы в ней описываются дифференциальным уравнением второго порядка, а для определения постоянных интегрирования необходимо задать два независимых начальных условия. Если э. д. с. идеального источника напряжения изменяется во времени по закону

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

то независимые начальные условия цепи имеют нулевые значения Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Составим уравнение электрического равновесия цепи по методу токов ветвей

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Дифференцируя правую и левую части (6.23), получаем дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи после коммутации

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Для определения единственного решения этого уравнения, соответствующего заданному режиму работы цепи до коммутации, необходимо определить начальные значения тока цепи и его первой производной по времени. Начальное значение тока цепи совпадает с начальным значением тока индуктивности

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

а начальное значение первой производной тока цепи по времени может быть найдено с использованием независимых начальных условий (6.22) и уравнения электрического равновесия цепи (6.23) при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

В связи с тем что установившееся значение тока этой цепи после коммутации равно нулю, ток при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами содержит только свободную составляющую: Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Характеристическое уравнение последовательной RLC-цепи

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

имеет два корня 

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

где Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — коэффициент затухания; Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — резонансная частота цепи. В зависимости от соотношения между величинами Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами или, что то же самое, в зависимости от добротности цепи,

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

корни характеристического уравнения (6.27) могут быть вещественными различными, комплексно-сопряженными или вещественными одинаковыми (кратными). Рассмотри каждый из этих случаев.

Вещественные различные корни. При малой добротности последовательной RLC-цепи (Q<12, т.е. R>2p) характеристическое уравнение (6.27) имеет два различных вещественных отрицательных корня, а выражение для тока цепи после коммутации Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамисодержит два экспоненциальных члена:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Дифференцируя правую и левую части выражения (6.29) 

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиПереходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и используя зависимые начальные условия (6.25), (6.26), составляем уравнения для определения постоянных интегрирования Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиПереходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами откуда 

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

С учетом (6.30) выражение для тока цепи после коммутации принимает вид

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Расположение корней Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного р и зависимость нормированного тока рассматриваемой цепи от времени

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

приведены на рисунке 6.6,а. Переходный процесс в цепи носит апериодический (неколебательный) характер, причем вследствие того, что Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами вторая составляющая нормированного тока цепи Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами затухает быстрее, чем первая Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Комплексно-сопряженные корни добротности последовательной RLС-цепи (Q> 1/2, т. е. R < 2р и Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами характеристическое уравнение (6.27) имеет два комплексно-сопряженных корня

где Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — частота свободных колебаний в цепи (смысл этого понятия будет ясен из последующего изложения). Ток цепи после коммутации, как и в предыдущем случае, определяется выражением 

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

(6.29), которое после нахождения постоянных интегрирования

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиПереходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами может быть с учетом соотношения

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

преобразовано к виду

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

где Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Таким образом, при включении в последовательную RLС-цепь с высокой добротностью идеального источника постоянного напряжения переходные процессы в ней имеют колебательный характер. Ток цепи представляет собой затухающую гармоническую функцию, амплитуда которой экспоненциально уменьшается во времени. Колебательный характер переходного процесса в цепи связан с периодическим обменом энергией между емкостью и индуктивностью, а затухание колебаний объясняется потерями энергии в сопротивлении.

Расположение корней Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного р и зависимость тока цепи от времени показаны на рис. 6.6, б. Корни характеристического уравнения расположены симметрично относительно действительной оси в левой полуплоскости на полуокружности с радиусом, численно равным резонансной частоте последовательного колебательного контура Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Чем меньше коэффициент затухания Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами тем ближе к мнимой оси расположены корни уравнения, меньше различие между Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и медленнее затухание свободных процессов. В пределе, при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами корни характеристического уравнения располагаются на мнимой оси, частота свободных колебаний совпадает с резонансной частотой цепи, а колебательные процессы в цепи носят незатухающий характер (рис. 6.6, в). Таким образом, резонансная частота RLC-upna численно равна частоте свободных колебаний в цепи, когда коэффициент затухания Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами равен нулю.

Пунктирными линиями на рис. 6.6, б показаны кривые Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами которые характеризуют закон изменения амплитуды тока во времени. Эти кривые называются огибающими. Величина, численно равная длине подкасательной к огибающей тока, Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами называется постоянной времени последовательной RLС-цепи. Очевидно, что за промежуток времени t =Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами ордината огибающей тока уменьшается в е раз. Скорость затухания свободных процессов в рассматриваемой цепи может быть охарактеризована также логарифмическим декрементом колебаний Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами который равен натуральному логарифму отношения двух максимальных значений тока, взятых через период свободных колебаний Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиПереходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Находя натуральный логарифм отношения ординат огибающих тока для Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами можно прийти к выводу, что логарифмический декремент колебаний ие зависит от выбора Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами а определяется только добротностью цепи Q:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Анализ выражения (6.31) показывает, что логарифмически^ декремент колебаний равен нулю при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и обращается в бесконечность при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Кратные корни. При Q=12, т.е. при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами характеристическое уравнение последовательной RLС-цепи имеет два одинаковых вещественных корня Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами расположенных на отрицательной вещественной полуоси в плоскости комплексного переменного р (рис. 6.6, г). Как следует из выражения (6.8), общее решение дифференциального уравнения (6.24) при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами в этом случае имеет вид

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Определяя с помощью зависимых начальных условий (6.25) и (6.26) значения постоянных интегрирования Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и подставляя их в выражение (6.32), получаем окончательно

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Как и для вещественных различных корней, переходный процесс в цепи при одинаковых вещественных корнях имеет апериодический характер (рис. 6.6, г), поэтому условие Q = 1/2 является предельным условием существования в цепи апериодических свободных процессов. Режим работы цепи на границе между колебательным и апериодическим характерами переходных процессов называется критическим.

Итак, характер переходных процессов в последовательной RLC-цепи полностью определяется расположением корней характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного.

Зависимость характера переходных процессов от расположения корней характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного присуща не только последовательной RLС-цепи, она является общим свойством линейных электрических цепей любого порядка сложности.

Подключение к последовательной RLС-цепи источника гармонического напряжения

Рассмотрим важный для практики случай включения источника гармонического напряжения в последовательную RLC-цепь с высокой добротностью Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами Свободные процессы в такой цепи, как было установлено ранее, имеют колебательный характер. Пусть идеализированный источник напряжения включен в цепь в момент времени t =0, причем примем, что мгновенное значение э.д.с. этого источника при t = 0 равно нулю Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиУравнение электрического равновесия такой цепи после коммутации, составленное по методу токов ветвей, имеет вид

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

а дифференциальное уравнение цепи

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Для решения уравнения (6.34) необходимо определить начальные значения тока цепи Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и его первой производной по времени Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами Используя независимые начальные условия

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

и уравнение электрического равновесия (6.33), получаем

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Далее, суммируя составляющие тока

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

находим общее решение уравнения (6.34) при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Здесь Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — амплитуда принужденной составляющей тока; Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами— аргумент комплексного входного сопротивления рассматриваемой цепи.

Для определения постоянных интегрирования Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами продифференцируем правую и левую части (6.38)

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

и подставим в выражения (6.38) и (6.39) зависимые начальные условия (6.35). Решая полученную таким образом систему уравнений относительно Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметраминаходим

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

С учетом соотношений (6.40) выражение (6.37) для свободной составляющей тока может быть преобразовано к виду

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Предположим, что частота о> внешнего воздействия близка к частоте Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамисвободных колебаний, а добротность Q настолько велика, что Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами практически совпадает с резонансной частотой цепи Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами С учетом этих допущений, которые незначительно уменьшают общность получаемых результатов, выражение (6.41) существенно упрощается:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Таким образом, в последовательной 7?£С-цепи, удовлетворяющей принятым допущениям, свободная составляющая тока является затухающей гармонической функцией времени. В начальный момент времени амплитуда свободной составляющей тока равна амплитуде принужденной составляющей, а затем уменьшается по экспоненциальному закону. Через промежуток времени, равный Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами после коммутации, амплитуда свободной составляющей становится пренебрежительно малой по сравнению с амплитудой принужденной составляющей, и переходной процесс в цепи можно считать практически закончившимся.

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Ток цепи после коммутации равен сумме свободной и принужденной составляющих:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Если частота внешнего воздействия Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами в точности совпадает с резонансной частотой цепи озо, то входное сопротивление цепи имеет чисто резистивный характер Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и выражение (6.42) принимает вид (рис. 6.7, а)

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Как видно из рисунка, амплитуда тока цепи при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами плавно увеличивается во времени, стремясь в пределе к установившемуся значению Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами Ни при каких значениях t амплитуда тока после коммутации не превышает этого значения.

При включении в последовательную RLС-цепь источника гармонического напряжения, частота которого близка к резонансной, но не равна ей, в цепи наблюдаются биения, заключающиеся в периодическом увеличении амплитуды тока или напряжения до значения, значительно превышающего амплитуду принужденной составляющей (рис. 6.7, б). Если пренебречь затуханием свободной составляющей тока Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами то из выражения (6.42) получаемПереходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Как видно из этого выражения, ток цепи имеет частоту, близкую к резонансной, а амплитуда тока Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами медленно изменяется во времени:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

причем максимальное значение тока в переходном режиме в два раза превышает амплитуду принужденной составляющей.

Возникновение биений при включении источника гармонического напряжения в последовательную RLC-цепь объясняется тем, что вследствие несовпадения частот внешнего воздействия и свободных колебаний фазовые соотношения между свободной и принужденной составляющими тока непрерывно изменяются, а разность мгновенных фаз этих колебаний Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами линейно нарастает во времени. В те моменты времени, когда разность мгновенных фаз будет равна Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами где k = 0,1, 2, …. сумма мгновенных значений Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами будет максимальна, а в те моменты времени, когда разность фаз будет равна Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами— минимальна. Частотой биений называют частоту повторения максимумов огибающей тока (6.45). Угловая частота биений, таким образом, равна абсолютному значению разности угловых частот свободной и принужденной составляющей

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

В реальных колебательных контурах коэффициент затухания Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами имеет малое, но конечное значение. Свободная составляющая тока в таких контурах экспоненциально уменьшается во времени, а биения носят затухающий характер.

Операторный метод анализа переходных процессов

Преобразование Лапласа и его применение к решению дифференциальных уравнений:

Классический метод анализа переходных процессов применяют в основном тогда, когда исследуемая цепь имеет невысокий порядок сложности, а внешнее воздействие на нее после коммутации является гармонической функцией времени либо постоянно. Если внешнее воздействие на цепь после коммутации имеет более сложный характер, то определение принужденной составляющей реакции цепи существенно затруднено, а при повышении порядка цепи усложняется определение постоянных интегрирования. Значительно большие возможности представляет операторный метод анализа переходных процессов, основанный на применении преобразования Лапласа. Подобно ранее рассмотренному методу комплексных амплитуд, операторный метод относится к символическим методам, в которых операции над функциями времени заменяются операциями над их символами (изображениями). Взаимное соответствие между функцией времени a (t) и ее изображением А (р) в операторном методе устанавливается с помощью прямого

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

или обратного 

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

преобразований Лапласа и указывается знаком соответствия

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Функция А (р) называется операторным изображением функции а (t) или изображением функции р (t) по Лапласу. Исходная функция времени a (t) по отношению к своему операторному изображению является оригиналом. Комплексное число р будем называть оператором преобразования Лапласа или комплексной частотой (смысл последнего понятия будет пояснен в следующем параграфе).

Из курса высшей математики известно, что для функций а (t), равных нулю при t < 0, интегрируемых при t > 0 и удовлетворяющих неравенству

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

где К и Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — некоторые постоянные числа, интеграл (6.46) абсолютно сходится при Re (р) > Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами. Изображение А (р) в полуплоскости Re (р) > Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами является аналитической функцией р, которая стремится к нулю при Re(p)Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами На практике к интегрированию по формулам (6.46), (6.47) приходится прибегать сравнительно редко, так как для большинства часто употребляемых функций разработаны таблицы прямого и обратного преобразований Лапласа [6, 7]. Операторные изображения некоторых функций приведены в приложении 1. Следует иметь в виду, что в ряде справочников, в частности в [6], приведены таблицы преобразовании Карсона—Хевисайда

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

которое отличается от преобразования Лапласа только наличием множителя р.

Напомним некоторые свойства преобразования Лапласа. Изображение по Лапласу постоянной величины К равно этой величине, деленной на р:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Умножение функции времени а (t) на постоянное число К соответствует умножению на это же число ее изображения:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Изображение суммы функций времени равно сумме изображений этих функций:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

где Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Если начальное значение функции a (t) равно нулю а Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами = 0, то дифференцированию функции а (y) соответствует умножение изображения этой функции на р (теорема дифференцирования)

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Повторным применением теоремы дифференцирования, можно выражения для производных высших порядков:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Интегрированию функции времени в пределах от 0 до t соответствует деление изображения этой функции на р (теорема интегрирования:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

смещению функции времени на Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами соответствует умножение изображения на Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (теорема запаздывания):

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

а смещению изображения А (р) в комплексной плоскости на комплексное число Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами соответствует умножение оригинала на Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (теорема смещения):

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Значения функции времени при t = 0 и t =Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами могут быть найдены с помощью предельных соотношений

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

предполагается, что соответствующие пределы существуют).

Если изображение А (р) может быть представлено в виде отношения двух полиномов от р, не имеющих общих корней:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

причем степень полинома М (р) выше, чем степень полинома N (р), а уравнение

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

не имеет кратных корней, то для перехода от изображения к оригиналу можно воспользоваться теоремой разложения

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

где Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — корни уравнения (6.56).

Теорема разложения может быть сформулирована также для случая, когда уравнение (6.56) имеет кратные корни, и может быть распространена на случай, когда А (р) является произвольной мероморфной функции р, т. е. функцией, не имеющей иных особых точек, кроме полюсов [7].

Как известно, преобразование Лапласа лежит в основе операторного метода решения линейных дифференциальных уравнений, разработанного в середине прошлого века русским математиком М. Е. Ващенко-Захарченко. Независимо, но значительно позднее известный английский ученый О. Хевисайд применил операторный метод к анализу переходных процессов в электрических цепях с сосредоточенными и распределенными параметрами. Значительный вклад в развитие и обоснование операторного метода внесли советские ученые К. А. Круг, В. С. Игнатовский, А. М. Эфрос, А. М. Данилевский, А. И. Лурье, М.И. Конторович и зарубежные ученые Д. Р. Карсон, Я. Минусинский, Б. ван дер Поль, П. Леви.

При использовании операторного метода решения дифференциальных уравнений неизвестные токи и напряжения ветвей электрической цепи, а также заданные токи и напряжения независимых источников заменяют их операторными изображениями. При этом система интегродифференциальных уравнений электрического равновесия, составленная относительно мгновенных значений токов и напряжений ветвей, преобразуется в систему алгебраических уравнений, составленных относительно операторных изображений соответствующих токов и напряжений. Решая эту систему уравнений, можно найти изображения искомых токов и напряжений ветвей электрической цепи после коммутации. Далее, применяя обратное преобразование Лапласа, можно перейти от изображений искомых токов и напряжений к оригиналам.

Уравнения электрического равновесия цепи в операторной форме. Операторные схемы замещения идеализированных двухполюсных элементов

Итак, используя преобразование Лапласа, каждому уравнению, входящему в систему уравнений электрического равновесия цепи, можно поставить в соответствие уравнение, составленное относительно операторных изображений токов и напряжений. Уравнениям баланса мгновенных значений токов и напряжений соответствуют уравнения баланса операторных изображений токов и напряжений, а компонентным уравнениям, описывающим соотношения между мгновенными значениями токов и напряжений отдельных ветвей, соответствуют уравнения, связывающие операторные изображения токов и напряжений тех же ветвей. Вследствие того что изображение суммы функций времени равно сумме изображений этих функций (6.50), для перехода от уравнений баланса мгновенных значений токов и напряжений ветвей к уравнениям баланса операторных изображений токов и напряжений достаточно в уравнениях (1.37), (1.40) заменить мгновенные значения токов и напряжений их операторными изображениями

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Если уравнения баланса напряжений формировались относительно мгновенных значений напряжений отдельных элементов (1.42), то в операторной форме эти уравнения принимают вид

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Уравнения (6.58) и (6.59) или (6.60) будем называть уравнениями баланса токов и напряжений в операторной форме, а операторные изображения токов и напряжений— операторными токами и напряжениями.

 По аналогии с ранее рассмотренными понятиями комплексного входного сопротивления Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и комплексной входной проводимости Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамивведем понятия операторного входного сопротивления Z (р) и операторной входной проводимости Y (р).

Операторным входным сопротивлением пассивного линейного двухполюсника называется отношение операторного напряжения на входе двухполюсника к операторному току при нулевых начальных условиях

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

где Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — операторные изображения тока и напряжения на входе некоторого пассивного двухполюсника при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и нулевых начальных условиях.

Величина, обратная Z (р), называется операторной входной проводимостью

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Операторное входное сопротивление и операторная входная проводимость пассивного линейного двухполюсника, подобно его комплексному входному сопротивлению и комплексной входной проводимости, не зависят от интенсивности внешнего воздействия и определяются только параметрами входящих в двухполюсник идеализированных пассивных элементов и схемой их соединения.

Как следует из выражений (6 .61), (6.62), каждому пассивному линейному двухполюснику при нулевых начальных условиях может быть поставлена в соответствие операторная схема замещения, на которой рассматриваемый двухполюсник представляется своим операторным входным сопротивлением или операторной входной проводимостью, а токи и напряжения на его зажимах — их операторными изображениями. Если в рамках решаемой задачи двухполюсник не находится при нулевых начальных условиях, то его операторная эквивалентная схема должна содержать независимый источник тока или напряжения, характеризующий начальные запасы энергии в цепи.

Рассмотрим операторные компонентные уравнения и операторные схемы замещения идеализированных пассивных двухполюсников.

Сопротивление. Соотношения между мгновенными значениями тока и напряжения на зажимах сопротивления устанавливаются выражениями (1.9), (1.10): Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиПереходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Учитывая, что умножению функции времени на постоянное число соответствует умножение изображения функции на это же число (6.49), получения компонентных уравнений сопротивления в операторной форме достаточно в выражениях (1.9), (1.10) заменить мгновенные значения токов и напряжений их операторными изображениями

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Подставляя соотношения (6.63), (6.64) в (6.61), (6.62), находим выражения для операторного входного сопротивления и операторной входной проводимости

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Операторная эквивалентная схема сопротивления приведена на рис. 6.8.

Емкость. Напряжение и ток емкости связаны соотношениями (1.13), (1.16):

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Используя теоремы дифференцирования (6.52) и интегрирования (6.53), получаем

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Операторные компонентные уравнения емкости (6.66) и (6.67) являются равносильными и могут быть получены одно из другого. При нулевых начальных условиях Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами они принимают вид

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Таким образом, операторное входное сопротивление Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (p) и операторная входная проводимость емкости Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (р) определяются выражениями

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Операторным компонентным уравнениям (6.66) и (6.67) соответствуют параллельная и последовательная схемы замещения емкости (рис. 6.9, а, б), содержащие независимый источник тока Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами или напряжения Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами. При нулевых начальных условиях независимые источники тока или напряжения, характеризующие начальный запас энергии в емкости, выключаются, и в операторной эквивалентной схеме емкости остается только один элемент — операторное входное сопротивление или операторная входная проводимость емкости (рис. 6.9 в). 

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Индуктивность. Мгновенные значения тока и напряжения индуктивности связаны между собой соотношениями (1.22) и (1.23):

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Применяя к этим выражениям теоремы дифференцирования (6.52) и интегрирования (6.53), получаем компонентные уравнения индуктивности в операторной форме:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Уравнения (6.69), (6.70) равносильные и могут быть получены одно из другого с помощью элементарных преобразований. Используя их, определяем комплексное входное сопротивление и комплексную входную проводимость индуктивности

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

и строим ее последовательную и параллельную схемы замещения (рис. о. 10, а, б). Как и операторные схемы замещения емкости, операторные схемы замещения индуктивности содержат независимый источник напряжения Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами или тока Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами характеризующий начальный запас энергии в индуктивности. Операторная эквивалентная схема индуктивности при нулевых начальных условиях приведена на рис. 6.10, в.

Анализируя полученные результаты, нетрудно установить, что выражения для операторных входных сопротивлений (проводимостей) идеализированных пассивных элементов имеют такую же структуру, как и выражения для комплексных входных сопротивлений (проводимостей) этих же элементов, и могут быть получены одно из другого путем замены Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами на р.

Аналогичным образом может быть получено выражение для операторного входного сопротивления (проводимости) произвольного линейного двухполюсника, составленного из идеализированных пассивных

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

элементов. Поэтому для преобразования операторных схем замещения линейных пассивных двухполюсников при нулевых начальных условиях можно использовать все рассмотренные ранее (см. гл. 2) правила преобразования линейных пассивных цепей при гармоническом воздействии, а для преобразования операторных схем замещения тех же участков цепей при ненулевых начальных условиях — правила преобразования активных двухполюсников. В частности, последовательная и параллельная схемы замещения емкости или индуктивности могут быть преобразованы одна в другую с помощью рассмотренных ранее (см. гл. 2) приемов преобразования активных двухполюсников.

Используя операторные эквивалентные схемы идеализированных пассивных элементов, можно получить операторную эквивалентную схему произвольного участка линейной цепи или всей цепи в целом. С этой целью каждый идеализированный пассивный элемент, изображенный на эквивалентной схеме цепи для мгновенных значений, должен быть заменен операторной эквивалентной схемой, а токи и напряжения идеализированных источников тока или напряжения — представлены операторными изображениями соответствующих функций.

Операторная эквивалентная схема цепи имеет такую же структуру, как и эквивалентная схема цепи для мгновенных значений, но содержит дополнительные независимые источники энергии, определяющие запасы энергии цепи в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации.

Используя операторную схему замещения цепи, можно с помощью любого из известных методов сформировать систему уравнений ее электричесхого равновесия в операторной форме, которая будет равносильна основной системе уравнений электрического равновесия цпи после коммутации.

В связи с тем что операторная схема замещения цепи может быть построена непосредственно по эквивалентной схеме цепи для мгновенью значении, этап формирования дифференциальных уравнений цепи может быть исключен. Метод анализа переходных процессов в линейных цепях, основанный на формировании операаторных уравнений  электрического равновесия цепей по их операторным эквивалентным схемам, получил название операторного метода анализа переходных процессов. Этот метод представляет собой дальнейшее развитие операторного метода решения дифференциальных уравнений и позволяе анализировать процессы в цепи после коммутации, минуя этап формирования уравнений электрического равновесия цепи для мгновенных значений токов и напряжений.

Общая схема применения метода

Наметим основные этапы анализа переходных процессов в линейных цепях с помощью операторного метода.

  1. Анализ цепи до коммутации и определение независимых начальных условий. Выполняются так же, как и при использовании классического метода анализа переходных процессов.
  2. Составление операторной эквивалентной схемы цепи после коммутации. Составление операторной эквивалентной схемы цепи производится непосредственно по эквивалентной схеме цепи для мгновенных значений путем замены каждого идеализированного пассивного элемента его операторной схемой замещения и представления токов и напряжений идеализированных источников тока или напряжения их операторными изображениями.
  3. Составление уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме. Система уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме может быть сформирована любым из рассмотренных в гл.4 методов непосредственно по операторной схеме замещения цепи.
  4. Решение уравнений электрического равновесия цепи относительно изображений искомых токов и напряжений. Может производиться любым методом, в том числе путем использования рассмотренного ранее метода сигнальных графов.
  5. Определение оригиналов искомых токов и напряжений. Как правило, производится путем применения таблиц обратного преобразования Лапласа [6] и использования основных свойств преобразования Лапласа. Если изображение интересующей функции представляет собой отношение двух полиномов р, для выполнения обратного преобразования Лапласа можно воспользоваться теоремой разложения.

Пример 6.4.

Для цепи, схема которой приведена на рис. 6.11, а, найдем зависимость тока и напряжения индуктивности Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиот времени при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами Э.д.с. идеализированного источника постоянного напряжения е (t) при t = 0 скачком изменяется от Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Анализируя процессы в цепи до коммутации, находим начальное значение тока индуктивности

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Для построения операторной эквивалентной схемы цепи после коммутации (рис. 6.11, б) заменяем все идеализированные пассивные элементы их операторными схемами замещения, а э. д. с. идеализированного источника напряжения

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — операторной э.д.с., Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами Используя метод контурных токов, составляем систему уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

где Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Решая эту систему уравнений, находим операторные изображения искомого тока

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

и напряжения

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Преобразуем полученные выражения к такому виду, чтобы для выполнения обратного преобразования Лапласа можно было непосредственно воспользоваться таблицами, приведенными в приложении 1:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Учитывая, что Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами получаем .выражения для искомых тока и напряжения индуктивности при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

где Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — постоянная времени рассматриваемой цепи. Как видно из полученных соотношений, в начальный момент времени ток индуктивности сохраняет то же значение, что и до коммутации Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами а затем плавно изменяется, стремясь в пределе к Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами Напряжение индуктивности в начальный момент времени скачком изменяется от нуля до и Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиПереходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами а затем плавно уменьшается до нуля.

Нетрудно заметить, что в начальный момент времени (t = Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами ток и напряжение индуктивности принимают такие значения, которые они имели бы в случае, если индуктивность была заменена идеализированным источником тока (рис. 6.11, в), ток которого равен

Таким образом, в начальный момент после коммутации индуктивность ведет себя подобно идеализированному источнику тока (при нулевых начальных условиях ток этого источника равен нулю, и, следовательно, ветвь, содержащую индуктивность, в начальный момент времени можно считать разомкнутой).

Операторные характеристики линейных цепей

Реакция цепи на экспоненциальное воздействие:

Выясним, какой физический смысл имеет оператор р, входящий в выражения для операторных сопротивлений и проводимостей. С этой целью найдем реакцию цепи на экспоненциальное внешнее воздействие

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

где Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — некоторые комплексные числа.

Коэффициент Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами имеет размерность внешнего воздействия и называется обобщенной комплексной амплитудой, величина Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами— имеет размерность Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и называется обобщенной (комплексной) частотой.

Заметим, что многие встречающиеся на практике внешние воздействия можно рассматривать как частный случай экспоненциального воздействия или как сумму некоторого их количества. Действительно, при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами выражение (6.72) описывает экспоненциально затухающее Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиэкспоненциально нарастающее Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами или неизменное Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами внешнее воздействие. Сумма экспоненциальных воздействий с комплексно-сопряженными амплитудами и комплексно-сопряженными частотами представляет собой гармоническое колебание

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

амплитуда которого нарастает Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами, затухает Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами или неизменна во времени Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами. Как видно из выражения (6.73), мнимую часть комплексной частоты Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами можно рассматривать как угловую частоту некоторого гармонического колебания, а вещественную часть— как коэффициент, определяющий характер изменения огибающей этого колебания. Вследствие того что интегрирование и дифференцирование экспоненциальной функции не изменяют ее вида, реакция линейной цепи на экспоненциальное внешнее воздействие определенной комплексной частоты Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами является экспоненциальной функцией той же частоты, причем отношение реакции цепи к внешнему воздействию в этом случае не зависит от времени.

Пусть напряжение, приложенное к зажимам идеализированного пассивного элемента изменяется во времени по закону

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

В этом случае ток сопротивления

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

ток емкости

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

и ток индуктивности 

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Входным сопротивлением Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами пассивного линейного двухполюсника при экспоненциальном внешнем воздействии называется отношение мгновенного значения напряжения на зажимах этого двухполюсника к мгновенному значению тока:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Используя выражения (6.74) — (6.78), найдем входные сопротивления идеализированных пассивных элементов при экспоненциальном внешнем воздействии

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Полагая в выражениях (6.79) Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами получаем рассмотренные ранее выражения для операторных входных сопротивлений идеализированных пассивных элементов, а полагая Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — выражения для комплексных входных сопротивлений тех же элементов при гармоническом внешнем воздействии. Таким образом, комплексные сопротивления идеализированных пассивных элементов при гармоническом внешнем воздействии численно равны входным сопротивлениям тех же элементов при экспоненциальном внешнем воздействии Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами а операторные входные сопротивления рассматриваемых элементов — входному сопротивлению этих элементов при экспоненциальном внешнем воздействии

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Следовательно, оператор преобразования Лапласа р, входящий в выражения для операторных входных сопротивлений и проводимостей идеализированных пассивных элементов, можно рассматривать как обобщенную (комплексную) частоту экспоненциального воздействия вида (6.80).

Переходя от идеализированных пассивных элементов к участкам цепей, составленным из таких элементов, и, далее, к произвольным линейным цепям, убеждаемся, что отношение двух любых токов или напряжений этих цепей при экспоненциальном внешнем воздействии вида (6.80) численно равно отношению операторных изображений соответствующих токов или напряжений при нулевых начальных условиях.

Понятие об операторных характеристиках

Рассмотрим идеализированную линейную цепь, не содержащую независимых источников тока и напряжения, у которой выделены пара входных v — v’ и пара выходных k — k’ зажимов.

Операторной, или обобщенной, частотной характеристикой Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами линейной цепи называется отношение операторного изображения реакции цепи Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами к операторному изображению внешнего воздействия Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами при нулевых начальных условиях:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

где Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Учитывая, что отношение двух любых токов и напряжений линейной цепи, находящейся под экспоненциальным воздействием, численно равно отношению операторных изображений соответствующих величин при нулевых начальных условиях, устанавливаем, что операторная характеристика линейной цепи численно равна отношению реакции цепи к внешнему воздействию при внешнем воздействии вида (6.80)

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Для перехода от операторной характеристики цепи к ее комплексной частотной характеристике Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами достаточно в выражении (6.81) заменить р на Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиСледовательно, комплексную частотную характеристику можно рассматривать как частный случай обобщенной частотной характеристики при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Подобно комплексной частотной характеристике, операторная характеристика линейной цепи не зависит от действующих в цепи токов и напряжений, а определяется только топологией цепи и параметрами входящих в нее элементов. В связи с тем что выражения для операторных сопротивлений и проводимостей идеализированных пассивных элементов (6.65), (6.68), (6.71) были получены безотносительно к виду внешнего воздействия, операторные характеристики описывают свойства линейных цепей при произвольных внешних воздействиях. 

Как и комплексные частотные характеристики, операторные характеристики цепи делятся на входные и передаточные, причем каждой комплексной частотной характеристике соответствует операторная. В зависимости оттого, какая величина выступаете качестве внешнего воздействия на цепь, а какая рассматривается в качестве отклика цепи, различают:

операторное входное сопротивление

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

операторную входную проводимость

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

операторные коэффициенты передачи по напряжению 

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

и току

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

операторное передаточное сопротивление 

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

и операторную передаточную проводимость

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Операторные коэффициенты передачи по напряжению и току являются безразмерными величинами, операторные входное и передаточное сопротивления имеют размерность сопротивления, а операторные входная и передаточная проводимости — размерность проводимости.

Определение операторных характеристик

Для определения операторной характеристики цепи с заданной комплексной частотной характеристикой достаточно в соответствующем аналитическом выражении заменить Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами на р. В общем случае выражения для любых операторных характеристик сколь угодно сложной линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, могут быть получены из рассмотрения узловых или контурных уравнений цепи, составленных по ее операторной схеме замещения при нулевых начальных условиях.

Пусть необходимо найти операторные входное сопротивление и входную проводимость цепи со стороны зажимов v — v’. Подключим к этим зажимам идеализированный источник напряжения Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (t) и построим операторную схему замещения цепи при нулевых начальных условиях. Выбирая систему независимых контуров таким образом, чтобы ветвь, содержащая источник Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами явилась главной ветвью v-гo контура, составим систему контурных уравнений цепи в операторной форме. Далее, используя формулы Крамера (4.14), найдем ток v-й ветви, совпадающий с током v-гo контура:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Здесь Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — определитель системы контурных уравнений, составленных в операторной форме; Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — алгебраическое дополнение элемента Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Используя выражение (6.88), находим операторное входное сопротивление Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и операторную входную проводимость цепи Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами со стороны зажимов v — v’:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Аналогичным образом можно найти и передаточные функции цепи. С этой целью, используя (4.14), определяем ток Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

и напряжение

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

ветви, содержащей сопротивление Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и являющейся главной ветвью k-го контура. Далее, подставляя выражения (6.88), (6.89), (6.90) в (6.84) — (6.87), находим операторный коэффициент передачи цепи по напряжению

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

операторный коэффициент передачи по току

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

операторную передаточную проводимость

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

и операторное передаточное сопротивление

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

В связи с тем что определитель Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами представляют собой полиномы от собственных и взаимных операторных сопротивлений независимых контуров цепи, а сопротивления контуров являются рациональными функциями р с вещественными коэффициентами, любая операторная характеристика линейной электрической цепи Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами не содержащей независимых источников энергии, также является рациональной функцией р с вещественными коэффициентами, т. е. может быть представлена в виде отношения двух полиномов

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Здесь Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — вещественные коэффициенты, значения которых опре деляются параметрами идеализированных пассивных элементов и управляемых источников.

Напомним, что значения аргумента Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами при которых N (р) = О, Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами называются нулями, а значения аргумента Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами при которых М (р) = 0, Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиполюсами функции Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами Решая уравнения N (р) = 0; М (р) = 0 и разлагая полиномы N (р) и М (р) на множители, выражение (6.91) можно преобразовать к виду

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Здесь Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — вещественное число, называемое масштабным коэффициентом.

Из выражения (6.92) следует, что нули и полюсы функции Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами определяют значения этой функции с точностью до постоянного коэффициента K. Зная расположение нулей и полюсов операторной характеристики цепи в плоскости комплексной частоты р, можно получить полную информацию о свойствах этой цепи, в частности с точностью до постоянного множителя найти реакцию цепи на заданное воздействие. Графическое изображение расположения нулей и полюсов функции в плоскости комплексной частоты Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами называется диаграммой нулей и полюсов или полюсно-нулевой диаграммой функции. При пoстроении полюсно-нулевых диаграмм мнимую и вещественную оси плоскости р обозначают соответственно Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами нули изображают кружками, а полюсы — крестиками.

Пример 6.5.

Для цепи, схема которой приведена на рис. 3.12, а, найдем операторное входное сопротивление Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами со стороны зажимов 1—1′ и операторный коэффициент передачи по напряжению Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами от зажимов 1—1′ к зажимам 2—2′ в режиме холостого хода на зажимах  2—2′. Построим диаграммы нулей и полюсов функций Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Ранее были получены выражения для комплексного входного сопротивления (3.12) и комплексного коэффициента передачи (3.16) данной цепи

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Заменяя в этих выражениях Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами на р, находим операторное входное сопротивление Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и операторный коэффициент передачи цепи по напряжению:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Можно убедиться, что аналогичные результаты получаются и при рассмотрении операторной схемы замещения цепи (рис. 6.12, а).

Полюсно-нулевые диаграммы функций Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами изображены на рис. 6.12, б,в соответственно. Функция Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами имеет один нуль Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами = —RL, функция Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами имеет один нуль Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами = 0 и один полюс v = — R/L.

Пример 6.6.

Найдем операторное входное сопротивление Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамипоследовательного колебательного контура (см. рис. 3.21, а) в режиме холостого хода на выходе. Построим полюсно-нулевую диаграмму функции Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами.

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Операторное входное сопротивление последовательного колебательного контура равно сумме операторных сопротивлений входящих в контур элементов

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Используя введенные ранее обозначения Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами запишем выражение для операторного входного сопротивления контура в виде

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

В зависимости от соотношения между величинами Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами операторное входное сопротивление может иметь два различных вещественных нуля

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

два одинаковых вещественных нуля

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

или два комплексно-сопряженных нуля

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Во всех случаях функция Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами имеет один полюс Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Диаграммы нулей и полюсов функции Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами для Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиизображены на рис. 6.13, а, б, в соответственно. Очевидно, что нули функции Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами  являются полюсами функции Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами а полюсы Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — нулями Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Из примеров 6.5 и 6.6 видно, что нули операторного входного сопротивления цепи (полюсы операторной входной проводимости) совпадают с корнями характеристического уравнения, определяющего характер свободных процессов в цепи. Этот результат имеет весьма общий характер и позволяет находить корни характеристического уравнения по выражению для входного сопротивления (входной проводимости) цепи, не прибегая к составлению дифференциального уравнения.

Временные характеристики линейных цепей

Единичные функции и их свойства:

Важное место в теории линейных цепей занимает исследование реакции этих цепей на идеализированные внешние воздействия, описываемые так называемыми единичными функциями.

Единичной ступенчатой функцией (функцией Хевисайда) называется функция

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

При Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами= 0 для единичной ступенчатой функции используют обозначение l (t) (рис. 6.14, б). График функции l (t— Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами) имеет вид ступеньки или скачка, высота которого равна l (рис. 6.14, а). Скачок такого типа будем называть единичным. Функцию Хевисайда

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами удобно использовать для аналитического представления различных внешних воздействий на цепь, значение которых скачкообразно изменяется в момент коммутации:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

где f (t) — ограниченная функция времени.

При подключении цепи к источнику постоянного тока или напряжения значение внешнего воздействия на цепь

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

где Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — момент коммутации.

Внешнее воздействие такого вида называется неединичным скачком. Используя функцию Хевисайда, выражение (6.95) можно представить в виде

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Если при t = Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами в цепь включается источник гармонического тока или напряжения

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

то с использованием функции l (t — Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами внешнее воздействие на цепь можно представить в форме

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Если внешнее воздействие на цепь в момент времени t = Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами скачкообразно изменяется от одного фиксированного значения Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами до другого Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами то

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Внешнее воздействие на цепь, имеющее форму прямоугольного импульса высотой X и длительностью Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (рис. 6.15, а), можно представить в виде разности двух одинаковых скачков

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

сдвинутых во времени на Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (рис. 6.15, б, в):

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Рассмотрим прямоугольный импульс длительностью Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и высотой 1/Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (рис. 6.16, а). Очевидно,что площадь этого импульса равна 1 и не зависит от Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами. При уменьшении длительности импульса его высота возрастает, причем при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами она стремится к бесконечности, но площадь остается равной 1. Импульс бесконечно малой длительности, бесконечно большой высоты, площадь которого равна 1 будем называть единичным импульсом. Функция, определяющая единичный импульс, обозначается Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и называется Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамифункцией или функцией Дирака.

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Итак,

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

причем 

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

При Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами= 0 для Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами-функции используется обозначение Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (t). При построении временных диаграмм функции Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами(t) будем изображать в виде вертикальной стрелки со значком оо около острия (рис.6.16, б, в).

Для установления связи между Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами-функцией и единичной ступенчатой функцией воспользуемся выражением (6.96). Полагая X = 1/Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и устремляя Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами к нулю, получаем

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

откуда 

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Таким образом, Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами-функция представляет собой производную от единичной ступенчатой функции, а единичная ступенчатая функция — интеграл от Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами-функции.

Строгое обоснование операций над единичными функциями, в том числе операции дифференцирования единичной ступенчатой функции, дано в теории обобщенных функций. Для качественного обоснования таких операций функции Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и 6 Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами удобно рассматривать в качестве предельных значений некоторых более простых функций, для которых соответствующие операции являются определенными. Рассмотрим, например, функцию Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (t) (рис. 6.17, а), удовлетворяющую условиям

 Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Производная функция Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (t) по времени (рис. 6.17, б) имеет вид прямоугольного импульса длительностью Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и высотой 1/Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

При Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами функция Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (t) вырождается в единичную ступенчатую функцию, а функция Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — в Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами-функцию:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

откуда непосредственно следует, что

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

При выполнении различных операций над единичными функциями момент коммутации Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами удобно расчленять на три различных момента: Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами_ момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами— собственно момент коммутации и Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами—момент времени, следующий непосредственно после коммутации. С учетом этого интеграл (6.98) можно заменить на

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

В общем случае

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Произведение произвольной ограниченной функции времени f(t) на 6  Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

следовательно,

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Из выражений (6.102) и (6.103) следует, что интеграл от произведения произвольной ограниченной функции f (t) на Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами равен либо значению этой функции при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (если точка Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами принадлежит интервалу интегрирования), либо нулю (если Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами не принадлежит интервалу интегрирования):

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Таким образом, с помощью Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами-функции можно выделять значения функции f (t) в произвольные моменты времени Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами Эту особенность Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами— функции обычно называют фильтрующим свойством.

Для определения реакции линейных электрических цепей на внешнее воздействие в виде единичного скачка или единичного импульса необходимо найти изображения единичных функций по Лапласу. Используя рассмотренные свойства единичных функций, получаем

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

При Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами операторные изображения единичных функций имеют простой вид:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходная и импульсная характеристики линейных цепей

Рассмотрим линейную электрическую цепь, не содержащую независимых источников тока и напряжения. Пусть внешнее воздействие на Цепь представляет собой неединичный скачок Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиПереходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами а реакция цепи на это воздействие при нулевых начальных условиях Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходной характеристикой Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие неединичного скачка тока или напряжения к высоте этого скачка при нулевых начальных условиях:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Из выражения (6.107) видно, что Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами если X =1, следовательно, переходная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения. Размерность переходной характеристики равна отношению размерности отклика к размерности внешнего воздействия, поэтому переходная характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимости или быть безразмерной величиной.

Пусть внешнее воздействие на цепь имеет форму бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Реакцию цепи на это воздействие при нулевых начальных условиях обозначим Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Импульсной характеристикой Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами) линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади к площади этого импульса при нулевых начальных условиях:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Как следует из выражения (6.108), импульсная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного импульса Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами = 1), а размерность импульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произведению размерности внешнего воздействия на время.

Подобно комплексной частотной и операторной характеристикам цепи, переходная и импульсная характеристики устанавливают связь между внешним воздействием на цепь и ее реакцией, однако в отличие от первых характеристик аргументом последних является время t, а не угловая Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами или комплексная р частота. Так как характеристики цепи, аргументом которых является время , называются временными, а аргументом которых является частота (в том числе и комплексная) — частотными характеристиками, то переходная и импульсная характеристики относятся к временным характеристикам цепи.

Каждой операторной характеристике цепи Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами можно поставить в соответствие переходную Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и импульсную Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиПереходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами характеристики. Для установления связи между ними найдем операторные изображения переходной и импульсной характеристик. Используя выражения (6.107), (6.108), запишем Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиПереходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Здесь Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — операторные изображения реакции цепи на внешние воздействия Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами соответственно. Выражая Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами через операторные изображения внешних воздействий Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами получаем

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

При Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами = 0 операторные изображения переходной и импульсной характеристик имеют простой вид

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Таким образом, импульсная характеристика цепи Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — это функция, изображение которой, по Лапласу, представляет собой операторную характеристику цепи Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами а переходная характеристика цепи Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — функция, операторное изображение которой равно Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами Выражения (6.109), (6.110) устанавливают связь между частотными и временнйми характеристиками цепи. Зная, например, им. пульсную характеристику Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиможно с помощью прямого преобразования Лапласа найти соответствующую операторную характеристику цепи

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

а по известной операторной характеристике Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами с помощью обратного преобразования Лапласа определить импульсную характеристику цепи

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Используя выражения (6.109) и теорему дифференцирования (6.51), нетрудно установить связь между переходной и импульсной характеристиками

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Следовательно, импульсная характеристика цепи равна первой производной переходной характеристики по времени. В связи с тем что переходная характеристика цепи Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка напряжения или тока, приложенного к цепи с нулевыми начальными условиями, значения функции Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами равны нулю. Поэтому, строго говоря, переходную характеристику цепи следует записывать как Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиПереходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами а не Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами Заменяя в выражении (6.111) Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами на Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и используя соотношение (6.103), получаем

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Выражение (6.112) известно под названием формулы обобщенной производной. Первое слагаемое в этом выражении представляет собой производную переходной характеристики при t>Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами а второе слагаемое содержит произведение Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами-функции на значение переходной характеристики в точке Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами. Если при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами функция Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами изменяется скачкообразно, то импульсная характеристика цепи содержит Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами-функцию, умноженную на высоту скачка переходной характеристики в точке Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами Если функция Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами не претерпевает разрыва при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами т. е. значение переходной характеристики в точке Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами равно нулю, то выражение для обобщенной производной совпадает с выражением для обычной производной.

Определение временных характеристик линейных цепей

Для определения переходных (импульсных) характеристик линейной цепи в общем случае необходимо рассмотреть переходные процессы, имеющие место в данной цепи при воздействии на нее единичного скачка (единичного импульса) тока или напряжения. Это может быть выполнено с помощью классического или операторного методов анализа переходных процессов. На практике для нахождения временных характеристик линейных цепей удобно использовать другой путь, основанный на применении соотношений, устанавливающих связь между частотными и временными характеристиками. Определение временных характеристик в этом случае начинается с составления операторной схемы замещения цепи для нулевых начальных условий. Далее, используя эту схему, находят операторную характеристику Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами соответствующую заданной паре: внешнее воздействие на цепь Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами— реакция цепи Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами Зная операторную характеристику цепи и применяя соотношения (6.109) или (6.110), определяют искомые временные характеристики.

При качественном рассмотрении реакции линейной цепи на воздействие единичного импульса тока или напряжения переходной процесс в цепи разделяют на два этапа. На первом этапе (при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами [цепь находится под воздействием единичного импульса, сообщающего цепи определенную энергию. Токи индуктивностей и напряжения емкостей, при этом скачком изменяются на значение, соответствующее поступившей в цепь энергии. На втором этапе (при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами) действие приложенного к цепи внешнего воздействия закончилось (при этом соответствующие источники энергии выключены, т. е. представлены внутренними сопротивлениями), и в цепи возникают свободные процессы, протекающие за счет энергии, запасенной в реактивных элементах на первой стадии переходного процесса. Таким образом, импульсная характеристика цепи, численно равная реакции на воздействие единичного импульса тока или напряжения, характеризует свободные процессы в рассматриваемой цепи. Следовательно, при переходе цепи от исходного состояния к первой стадии переходного процесса, законы коммутации не выполняются, а при переходе от первой стадии переходного процесса ко второй — выполняются.

Пример 6.7.

Для цепи, схема которой приведена на рис. 3.12, а, найдем переходную и импульсную характеристики в режиме холостого хода на зажимах 2 —2′. Внешнее воздействие на цепь — напряжение на зажимах 1 —1′ х (t)=Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами  реакция цепи — напряжение на зажимах 2—2′ у (t) =Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Операторная характеристика данной цепи, соответствующая указанной паре’ внешнее воздействие на цепь — реакция цепи, была получена в примере 6.5:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Следовательно, операторные изображения переходной и импульсной характеристик цепи имеют вид

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Используя таблицы обратного преобразования Лапласа (см. приложение 1), переходим от изображения искомых временных характеристик к оригиналам (рис. 6.18, а, б):

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Заменяя в полученных выражениях t на t — Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами находим временные характеристики цепи при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Отметим, что выражение для импульсной характеристики рассматриваемой цепи Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (t) могло быть получено и другим путем с помощью формулы (6.112), примененной к выражению для переходной характеристики цепи Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Для качественного объяснения вида переходной и импульсной характеристик цепи в рассматриваемом включении, подсоединим к зажимам Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами независимый источник напряжения е (t) = Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (рис. 6.18, в). Переходная характеристика данной цепи численно равна напряжению на зажимах Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами при воздействии на цепь единичного скачка напряжения е (t) = 1 (t), В, и нулевых начальных условиях.

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

В начальный момент времени после коммутации сопротивление индуктивности бесконечно велико, поэтому при t — Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами = 0 напряжение на выходе цепи равно напряжению на зажимах 1—1′: Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

С течением времени напряжение на индуктивности уменьшается, стремясь к нулю при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами Все это объясняет, почему переходная характеристика начинается от значения Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и стремится к нулю при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Импульсная характеристика цепи численно равна напряжению на зажимах Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами при приложении к входу цепи единичного импульса напряжения

е (t) = Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

При Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами все входное напряжение оказывается приложенным к индуктивности, и ток индуктивности скачком увеличивается от нуля до

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

 При Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами источник напряжения может быть заменен короткозамыкаюшей перемычкой, а ток индуктивности плавно уменьшается от Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами до нуля. Напряжение на индуктивности равно напряжению на сопротивлении R, поэтому при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами выходное напряжение цепи изменяется от                        Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами) — R/L до нуля.

Применение принципа наложения для анализа переходных процессов в линейных цепях

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие:

Наиболее общий подход к анализу переходных процессов в линейных цепях основан на использовании принципа наложения. Внешнее воздействие на цепь х = х (t) в этом случае представляют в виде линейной комбинации однотипных элементарных составляющих Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

а реакцию цепи на такое воздействие ищут в виде линейной комбинации частичных реакций Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (t) на воздействие каждой из элементарных составляющих внешнего воздействия в отдельности:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

В качестве элементарных составляющих Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (t) можно выбирать внешние воздействия, описываемые различными классами функций, реакция цепи на которые может быть найдена с помощью рассмотренных ранее методов. Наиболее широкое распространение получили элементарные (пробные) воздействия в виде гармонической функции времени, единичного скачка или единичного импульса.

Метод анализа переходных процессов в линейных цепях, основанный на представлении внешнего воздействия в виде конечной или бесконечной суммы гармонических функций времени, получил название спектрального.

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике

Рассмотрим произвольную линейную электрическую цепь, не содержащую независимых источников энергии, переходная характеристика которой Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (t) известна. Пусть внешнее воздействие на цепь задается в виде произвольной функции х = х (t), равной нулю при t<Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и непрерывной при всех t, за исключением точки t = Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами где х (t) может иметь конечный разрыв (рис. 6.19). Функцию х (t) можно приближенно представить в виде суммы неединичных скачков или, что то же самое, в виде линейной комбинации единичных скачков, смещенных один относительно другого на Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Здесь Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — высота начального скачка функции х (t); Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — высота скачка, подаваемого в момент времени t =Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (на рис. 6.19 этот скачок заштрихован).

В соответствии с определением переходной характеристики (6.107) реакция цепи на воздействие неединичного скачка, приложенного в момент времени t = Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами, равна произведению высоты скачка на переходную характеристику цепи Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами Следовательно,реакция цепи на воздействие, представляемое суммой неединичных скачков (6.113), равна сумме произведений высот скачков на соответствующие переходные характеристики

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Очевидно, что точность представления входного воздействия в виде суммы неединичных скачков, как и точность представления реакции цепи в видe (6.114), возрастает с уменьшением шага разбиения по времени Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами При Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами суммирование заменяется интегрированием:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Выражение (6.115) известно под названием интеграла Дюамеля (интеграла наложения). Используя это выражение, можно найти точное значение реакции цепи на заданное воздействие х = х (t) в любой момент времени t после коммутации. Интегрирование в (6.115) осуществляется на промежутке Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами причем выражения для Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами получаются из выражений для х (t) и Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (t) путем замены t на Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и t — Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами соответственно.

С помощью интеграла Дюамеля можно найти реакцию цепи на заданное воздействие и тогда, когда внешнее воздействие на цепь описывается кусочно-непрерывной функцией, т. е. функцией, которая имеет конечное число конечных разрывов. В этом случае необходимо разбить интервал интегрирования на несколько промежутков в соответствии с интервалами непрерывности функции х = х (t) и учесть реакцию цепи на конечные скачки функции х = х (t) в точках разрыва.

Пример 6.8.

Найдем реакцию цепи на внешнее воздействие, задаваемое функцией х = х (t) вида (рис. 6.20)

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Разбиваем ось времени на четыре промежутка в соответствии с интервалами непрерывности функции х = х (t).

При t< 0 реакция цепи у = у (t) тождественно равна нулю (реакция цепи не может опережать по времени внешнее воздействие на цепь).

На участке Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами функция х = х (t) непрерывна, поэтому реакция цепи находится непосредственно с помощью выражения (6.115)

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

При Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами интервал интегрирования ]0, t[ содержит одну точку разрыва функции х (t). Разбивая интервал интегрирования на два промежутка Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и учитывая реакцию цепи на воздействие скачка функции х (t) в точке Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиполучаем

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

При Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами интервал интегрирования содерРис. 6.20. д примеру о.б жит две точки разрыва функции х (t). Для определения реакции цепи в этом случае необходимо разбить интервал интегрирования на три промежутка Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и учесть реакцию цепи на скачки функции в точках Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами Принимая во внимание, что при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами= 0, получаем

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Пример 6.9. Найдем на зажимах Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами цепи, схема которой приведена на рис. 3.12, а, если напряжение на зажимах Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами этой цепи изменяется во времени по закону

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходная характеристика данной цепи в рассматриваемом включении была определена в примере 6.7:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

При t < 0 напряжение на зажимах 2—2′ тождественно равно нулю. При Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

При Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее импульсной характеристике

 Пусть внешнее воздействие на линейную электрическую цепь, импульсная характеристика Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами которой известна, описывается произвольной функцией х = х (t), равной нулю при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и непрерывной при всех t, за исключением точки Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами где функция х (t) может иметь конечный разрыв (рис. 6.21). Функция х (t) может быть приближенно представлена в виде суммы импульсов Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (t) длительностью Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами сдвинутых один относительно другого на Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Рассматривая элементарный импульс Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (на рис. 6.21 заштрихован) как разность двух неединичных скачков Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами сдвинутых по времени на Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами выражение (6.116) можно представить в форме

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

где Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами — площадь элементарного импульса Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Точность представления внешнего воздействия на цепь с помощью выражения (6.117) возрастает с уменьшением шага разбиения по времени Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Учитывая, что

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

внешнее воздействие на цепь при достаточно малом шаге разбиения по времени можно представить в виде линейной комбинации единичных импульсов

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

В соответствии с определением импульсной характеристики (6.108) реакция цепи Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами на воздействие одиночного импульса Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиПереходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами равна произведению площади импульса Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами на импульсную характеристику цепи Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Следовательно, реакция цепи на воздействие вида (6.118) равна сумме произведений площадей импульсов Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами на соответствующие импульсные характеристики Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Устремляя Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами к нулю и переходя от суммирования к интегрированию, получаем окончательно

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Выражение (6.119) представляет собой одну из форм записи интеграла Дюамеля и его можно получить непосредственно из (6.115), используя правило интегрирования по частям и учитывая соотношения между переходной и импульсной характеристиками цепи (6.112). Выражение (6.119) можно использовать для определения реакции цепи и в том случае, когда внешнее воздействие на цепь описывается кусочно-непрерывной функцией, при этом интервал интегрирования разбивается на несколько промежутков в соответствии с интервалами непрерывности функции x(t).

Пример 6.10.

Зная импульсную характеристику цепи Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами найдем реакцию цепи на внешнее воздействие, описанное в примере 6.8.

Разбиваем ось времени на четыре промежутка в соответствии с интервалами непрерывности функции х = х (t) и, используя выражение (6.119), определяем реакцию цепи на заданное воздействие на каждом из промежутков:

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Пример 6.11.

Используя данные примеров 6.7 и 6.9, найдем реакцию цепи на заданное внешнее воздействие по ее импульсной характеристике

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Разбиваем ось времени на три интервала в соответствии с интервалами непрерывности функции х = х (t). При t<0 напряжение на зажимах 2—2’ тождественно равно нулю.

На участке Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами функция Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами не имеет разрывов, поэтому напряжение на зажимах 2—2′ находится непосредственно с помощью выражения (6.119):

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

поскольку

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

то, выполняя преобразования, получаем выражение для напряжения на зажимах Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

При Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами интервал интегрирования содержит точку разрыва функции Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиРазбивая интервал интегрирования Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами на два промежутка Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиПереходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамии принимая во внимание, что Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиПереходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрамиполучаем выражение для напряжения на зажимах 2—2′ при Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Как и следовало ожидать, полученные выражения для реакции рассматриваемой цепи на заданное воздействие, найденные с помощью импульсной характеристики цепи, совпадают с соответствующими выражениями, полученными с использованием переходной характеристики цепи (пример 6.9).

Функция f (t), определяемая соотношением

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

называется сверткой функций Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами Используя известное из математики [7] свойство свертки двух функций

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

из выражений (6.115) и (6.119) можно получить еще две формы записи интеграла Дюамеля

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Переходные процессы в электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Все приведенные формы записи интеграла Дюамеля равноценны в смысле получаемых результатов, поэтому выбор того или иного выражения определяется только удобством вычислений и не носит принципиального характера.

  • Переходные процессы в колебательных контурах
  • Расчет переходных процессов
  • Классический метод расчета переходных процессов
  • Анализ переходных и установившихся процессов методом интеграла свертки
  • Нелинейные цепи переменного тока
  • Переходные процессы
  • Переходные процессы в линейных цепях
  • Переходные процессы в нелинейных цепях

переходных колебаний

Классический
метод анализа переходных процессов в
линейных инвариантных по времени цепях
с сосредоточенными параметрами основан
на классическом методе решения
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Как известно, общее решение линейного
неоднородного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами
равно сумме частного решения этого
уравнения и общего решения однородного
дифференциального уравнения при f(t)=0.

Общее решение
однородного дифференциального уравнения
характеризует свободные процессы в
цепи, т.е. процессы в цепи после коммутации
в отсутствие внешних источников энергии.
Таким образом, характер свободных
процессов не зависит от вида внешнего
воздействия на цепь, а определяется
только параметрами пассивных элементов
и линейно управляемых источников, а
также топологией цепи после коммутации.
Свободные процессы в цепи протекают
за счет разности энергий, соответствующим
установившимся режимам работы цепей
до и после коммутации. В связи с тем, что
эта разность имеет конечное значение,
свободные процессы в цепях с потерями
с течением времени затухают.

Частное
решение уравнения определяет принужденный
режим работы цепи, т.е. режим, задаваемый
действующими в цепи независимыми
источниками энергии. Принужденная
составляющая тока или напряжения
физически представляет собой составляющую,
изменяющуюся с той же частотой, что и
действующая в схеме принуждающая ЭДС.

Рассмотрим
это на примере процесса в RL-цепи
первого порядка.

В
цепях первого
порядка переходные процессы описываются
дифференциальными уравнениями первого
порядка:

Пусть
при t=0
RL-цепь
подключается
к источнику
постоянного
напряжения
U
(рис 1.2)

Рис. 1.2

Из
рисунка 1.2 следует, что до коммутации
ключ К
разомкнут, поэтому

iL(0_)
= 0, (1.10)

т.е. цепь имеет нулевые
начальные условия.

После
замыкания ключа (коммутации) в цепи
имеет место переходной процесс. В
качестве переменной дифференциального
уравнения выберем ток в цепи, который
совпадает с током в индуктивности iL,
и составим дифференциальное уравнение
по второму закону Кирхгофа:

(1.11)

Решение
уравнения (1.11)
ищем по формуле

iL
=
iпр+iсв, (1.12)

где
iпр
определяем в режиме, установившемся
после коммутации цепи (рис. 1.3)

Рис. 1.3

iпр=U/R,

а
iсв
определяем как общее решение
дифференциального уравнения первого
порядка:

. (1.13)

В
(1.13)
А
– постоянная интегрирования, которая
определяется с использованием первого
закона коммутации (1.7)
и начального условия цепи (1.10):

iL(0+)
= iпр+A=iL(0)
= 0, откуда

A
=-
iпр
= —U/R;

р
– корень характеристического уравнения:

R+pL
=
0. (1.14)

Решая уравнение (1.14),
получим:

Следовательно,
решение уравнения (1.11)
запишется
так:

В
нем слагаемое есть частное
решение неоднородного уравнения (1.11),
а слагаемое
-общее решение
однородного уравнения

Частное
решение неоднородного дифференциальногоуравнения называется
принужденной составляющей переходного
колебания, а полное решение однородного
уравнения – свободной составляющей.

Принужденная
составляющая тока или напряжения
физически представляет собой составляющую,
изменяющуюся с той же частотой, что и
действующая в схеме принуждающая ЭДС.
Так, если в схеме действует принуждающая
синусоидальная ЭДС частоты ω,
то принужденная составляющая любого
тока и любого напряжения в схеме
представляет собой соответственно
синусоидальный ток или синусоидальное
напряжение частоты ω.

Во
всех линейных электрических цепях
свободные составляющие токов и напряжений
затухают во времени по показательному
закону еpt.Так,
в рассмотренном примере

.

С
увеличением времени t
множитель
быстро
уменьшается. Название «свободная»
составляющая объясняется тем, что эта
составляющая есть решение уравнения,
«свободного» от вынуждающей силы
(однородного уравнения без правой
части).

Обновлено: 29.05.2023

Переходные процессы есть процессы перехода от одного установившегося состояния к другому установившемуся состоянию. Изменения параметров элементов схемы или изменение режима работы самой схемы называются коммутациями .
Непосредственное изменение сигналов тока и напряжения во времени может быть определено классическим методом расчета электрических цепей. Основой этого способа является составление дифференциальных уравнений, описывающих состояние цепи, и их интегрирование, причем количество производных определяется числом элементов-накопителей в заданной цепи.

В соответствии с классическим методом находят частное и общее решения однородных дифференциальных уравнений. Частное решение обусловлено вынужденным воздействием источников e(t) или i(t). Общее решение находят при отсутствии источников. В этом случае токи и напряжения называются свободными и всегда затухают за счет потерь в цепи. В случае комплексных корней процессы в цепи могут быть колебательными за счет собственных колебаний цепи, но также будут убывать во времени при положительной вещественной части.

В природе соблюдается принцип непрерывности во времени потокосцепления индуктивности и электрического заряда емкости.

Потокосцепление скачком измениться не может

Заряд емкости скачком измениться не может

Следовательно, по 1-му закону коммутации в первый момент после коммутации ток в катушке индуктивности скачком измениться не может :

по 2-му закону коммутации в первый момент после коммутации напряжение на емкости скачком измениться не может :

За начало отсчета переходного процесса принимается время, равное нулю, начальные значения тока и напряжения до коммутации определяются из начальных условий.
Анализ переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами сводится к решению линейных неоднородных дифференциальных уравнений на основе законов Кирхгофа.

Включив и отключив источник тока в установке мы увидим, что сила тока со временем изменится и постоянное значение силы тока в контуре с соленоидом установится не мгновенно, а через некоторый промежуток времени. В течение этого промежутка времени в цепи происходит процесс, получивший название переходного . Переходный процесс в цепи с соленоидом происходит за счет явления самоиндукции.
Уравнение цепи имеет вид:

Общее решение уравнения может быть найдено методом наложения принужденного и свободного режимов.

где
— ток принужденного режима при или частное решение неоднородного уравнения,
— ток свободного режима или общее решение однородного уравнения (с нулевой правой частью).

В общем случае . Число слагаемых зависит от порядка уравнения или числа накопителей энергии.
Свободные процессы исследуются для определения устойчивости системы. В устойчивой системе процессы должны затухать.
Принужденный режим определяет новое состояние электрической цепи после окончания переходного процесса.
До коммутации (до включения) ток в цепи отсутствовал . На основании 1-го закона коммутации
ток в индуктивности в первый момент после коммутации равен току до коммутации. В нашем примере ток равен 0.
Ток находим в виде суммы принужденной и свободной составляющих :

Свободную составляющую находим из уравнения :

Решение этого уравнения

где
k — корень характеристического уравнения, называют постоянной времени для цепи, состоящей из соленоида и резистора.

А — постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий при t = 0 с использованием законов коммутации, в частном случае первого закона для индуктивности

Учитывая, что
Решение будет иметь вид:

Вид кривых тока и напряжений на элементах цепи

При размыкании цепи с соленоидом, в которой отсутствует разветвление, изменение силы тока протекает более сложным образом. При отключении контакты рубильника расходятся и в цепь последовательно включается сопротивление воздушного промежутка между удаляющимися друг от друга контактами рубильника. Если предположить, что проводимость воздуха весьма мала, то сила тока в такой цепи должна почти мгновенно уменьшиться до нуля, при этом в контуре возникает большая э. д. с. самоиндукции. Она может оказаться во много раз больше, чем э. д. с. источника тока, на которую рассчитана цепь, и это может привести к аварийной ситуации (лампочки в квартире иногда перегорают после выключения цепи с большой индуктивностью).
При размыкании цепи э. д. с. самоиндукции часто создает между расходящимися контактами рубильника настолько сильное электрическое поле, что происходит ионизация воздуха, возможно даже вырывание свободных электронов с поверхности контактов (явление автоэмиссии); в воздушном промежутке возникает искровой или дуговой разряд, разрушающий контакты рубильника.

Таким образом, газовый промежуток между расходящимися контактами рубильника при отключении цепи обладает проводимостью и сила тока в цепи уменьшается до нуля не мгновенно. Сопротивление газового промежутка между контактами выключающего устройства нелинейно; поэтому детальный анализ переходного процесса в этом случае оказывается достаточно сложным.
При размыкании неразветвленной цепи большой мощности со значительной силой тока (сотни и тысячи ампер и более), содержащей большие индуктивности (электродвигатели, трансформаторы), принимают специальные меры против образования дугового разряда между контактами рубильника.

Для гашения дуги применяют масляные выключатели, в которых контакты находятся в жидком масле, имеющем малую проводимость и гасящем дугу, выключатели нагрузки, вакуумные выключатели.

которое является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Следовательно, определение тока как функции времени сводится к решению этого дифференциального уравнения.

Известно, что общий интеграл линейного дифференциального уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Если действующая в цепи ЭДС постоянна (Е=Const), то частным решением неоднородного уравнения будет E/R.

Однородное уравнение получаем из исходного, приравнивая нулю его правую часть:

Решением однородного уравнения является функция вида Ae pt , где A и p – постоянные числа, не зависящие от t. Для рассматриваемой цепи A=E/R, р=-R/L.

Тогда полным решение исходного уравнения будет

Убедимся, что подстановка этого решения в исходное уравнение обращает его в тождество

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения называют принужденной составляющей переходного тока или напряжения, а общее решение однородного дифференциального уравнения – свободной составляющей.

В рассмотренном нами примере E/R – принужденная составляющая переходного тока, а (-E/R)e -Rt/L его свободная составляющая. Таким образом, полная величина переходного тока

Принужденные составляющие переходных токов и напряжений определяются в цепях постоянного тока любым из известных методов расчета цепи в установившемся режиме после коммутации, а в цепях синусоидального тока символическим методом.

Кроме того, следует помнить, что постоянный ток через конденсатор не проходит, поэтому принужденная составляющая емкостного тока в цепях с постоянной ЭДС равна нулю. Падение напряжения на индуктивности от постоянного тока равно нулю. Следовательно, равна нулю и принужденная составляющая индуктивного напряжения.

В линейных электрических цепях свободные составляющие затухают по показательному закону e pt . Из трех токов (полного, принужденного и свободного) основное значение имеет полный ток. Именно он является тем реальным током, который проходит по тому или иному участку цепи в переходном режиме.

Физический смысл:
ПРИНУЖДЕННОЙ величины: когда в ПОСЛЕ-коммутационной схеме есть кому принуждать ток двигаться.
СВОБОДНОЙ величины: процесс перераспространения накопления энергии между накопителями.

С математической точки зрения:
После срабатывания ключа (или рубильника) схема может быть описана по уравнениям Кирхгофа в дифференциальном виде для мгновенных значений.
Для искомой величины получится дифференциальное уравнение. Его решение есть сумма общего и частного решения. В электротехнике это решение называется соответственно суммой свободной и принужденной составляющих.
Для определения свободной составляющей следует математически имитировать свободный режим, т. е . исключить воздействие, положив правую часть дифференциального уравнения равной нулю.
В общем случае для определения принужденной составляющей нужно рассчитать искомую величину в стационарном режиме, т. е. по прошествии бесконечно большого времени после коммутации.

Физически эта составляющая определяет закон рассеяния энергии, первоначально запасенной в накопителях энергии ( индуктивных и (или) емкостных) в цепи свободной от источников энергии . Именно эта составляющая определяет характер и время переходного процесса.

Рассмотрим сначала некоторые общие вопросы расчета переходных процессов на достаточно простом примере — включении последовательного контура (rLC-цепи) к источнику ЭДС е, которая изменяется во времени непрерывно и задана каким-либо аналитическим выражением.

Запишем второй закон Кирхгофа для произвольного момента времени

где i — ток переходного процесса, который в дальнейшем будем называть переходным током, или просто током;

Когда с переходным процессом можно уже не считаться, наступает принужденный режим. Принужденный режим, создаваемый источником произвольной периодически изменяющейся ЭДС (или тока), называют установившимся. После окончания переходного процесса источник ЭДС, изменяющейся, например, по экспоненциальному закону, создает принужденный режим. Источники постоянной и изменяющейся по гармоническому закону ЭДС (или тока) создают принужденный, или установившийся, режим.

Когда наступит установившийся режим, уравнение (14.1) примет вид

где и — ток и напряжение установившегося режима, или просто установившиеся ток и напряжение.

Вычитая почленно уравнение (14.2) из уравнения (14.1) и обозначая

Разности токов и напряжений переходного процесса и принужденного режимов называются соответственно тока и напряжением свободного процесса, или просто свободными током и напряжением.

Уравнения (14.4) показывают, что при переходе цепи от одного установившегося состояния к другому напряжения на всех элементах, создаваемые свободными составляющими токов, взаимно уравновешиваются, но свободные напряжения зависят, конечно, от ЭДС е источника.

Уравнение (14.3) показывает, что процесс, происходящий в цепи, можно рассматривать состоящим из двух накладывающихся друг на друга процессов — установившегося, который как бы наступил сразу, и свободного, имеющего место только во время переходного процесса. Благодаря свободным составляющим и достигается в переходном процессе непрерывное приближение к установившемуся режиму. Следовательно, во время переходного процесса токи и напряжения могут быть разложены на слагающие в общем случае принужденного, а при постоянных и периодических ЭДС или токах источников установившегося режима и свободного процесса:

Так как принцип наложения применим лишь к линейным цепям, то это разложение допустимо для линейных цепей. Конечно, физически существуют только переходные токи и напряжения, и разложение их на установившиеся и свободные составляющие является удобным математическим приемом, облегчающим расчет переходных процессов в линейных цепях. Разложение переходных токов и напряжений соответствует правилу решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений, согласно которому общее решение таких уравнений равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Действительно, свободный ток представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения (14.4а), и, следовательно, в его выражении должны быть постоянные интегрирования, число которых равно порядку дифференциального уравнения. Установившийся ток представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения (14.1), а именно такое, которое получается из общего решения неоднородного дифференциального уравнения при равных нулю постоянных интегрирования. Иными словами, в составе принужденного тока не должно быть слагающих свободного тока. Поэтому переходный ток и будет общим решением того же самого неоднородного дифференциального уравнения.

Начнем изучение переходных процессов с исследования процессов в простейших цепях так называемым классическим методом. Этот метод заключается в интегрировании дифференциальных уравнений, связывающих токи и напряжения цепи, в результате чего появляются постоянные, и в определении постоянных из начальных условий, вытекающих из законов коммутации.

Начальными условиями назовем значения переходных токов в индуктивных элементах и напряжений на емкостных элементах при t = О, т. е. те значения, которые в момент коммутации не изменяются скачком. Иногда эти условия называются еще независимыми начальными условиями. В отличие от них начальные значения всех остальных токов и напряжений называют зависимыми начальными условиями. Зависимые начальные условия определяются по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Отметим, что основная трудность классического метода исследования переходных процессов в сложных цепях как раз и состоит в определении зависимых начальных условий.

Читайте также:

      

  • 2 вселенский собор кратко
  •   

  • Биография мольера кратко самое главное по датам
  •   

  • Классификация виноградных вин кратко
  •   

  • Средства в расчетах кратко
  •   

  • Ликвидация общественных объединений кратко

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти характеристические числа матрицы
  • Скайрим как найти осколки этерия карта
  • Как составить механизм химической связи
  • Как найти свой стиль полной женщине
  • Как найти производную функции если она дробь