Как найти приращение аргумента функции в точке

Приращение
функции

Не всегда в жизни нас интересуют точные
значения каких-либо величин. Иногда интересно узнать изменение этой величины,
например, средняя скорость автобуса, отношение величины перемещения к
промежутку времени и т.д. Для сравнения значения функции в некоторой точке со
значениями этой же функции в других точках, удобно использовать такие понятия,
как «приращение функции» и  «приращение аргумента».

Понятия «приращение функции» и «приращение
аргумента»

Допустим, х – некоторая
произвольная точка, которая лежит в какой-либо окрестности точки х₀.
Приращением аргумента в точке х₀ называется разность х-х₀.
Обозначается приращение следующим образом: ∆х.

·        
∆х=х-х₀.

Иногда эту величину еще
называют приращением независимой переменной в точке х₀. Из формулы
следует: х = х₀+∆х. В таких случаях говорят, что начальное значение
независимой переменной х₀, получило приращение ∆х.

Если мы изменяем аргумент, то
и значение функции тоже будет изменяться.

·        
f(x) – f(x₀) = f(x₀ + ∆х) – f(x₀).

Приращением
функции f в точке x₀, соответствующим
приращению ∆х называется разность f(x₀ + ∆х) – f(x₀).
Приращение функции обозначается следующим образом ∆f. Таким образом получаем,
по определению:

·        
∆f= f(x₀ +∆x) – f(x₀).

Иногда, ∆f еще называют
приращением зависимой переменной и для обозначения используют ∆у, если функция
была, к примеру, у=f(x).

Геометрический смысл приращения 

Посмотрите на следующий
рисунок.

Как видите, приращение
показывает изменение ординаты и абсциссы точки. А отношение приращения функции
к приращению аргумента определяет угол наклона  секущей, проходящей через
начальное и конечное положение точки.

Рассмотрим примеры приращения функции и аргумента

Пример
1. Найти приращение аргумента ∆х и приращение функции ∆f в
точке х₀, если f(х) = х², x₀=2  a) x=1.9
b) x =2.1

Воспользуемся формулами,
приведенными выше:

a) ∆х=х-х₀ = 1.9 –
2 = -0.1;

·        
∆f=f(1.9) – f(2) = 1.9² – 2² =
-0.39;

b) ∆x=x-x₀=2.1-2=0.1;

·        
∆f=f(2.1) – f(2) = 2.1² – 2² =
0.41.

Пример
2. Вычислить приращение ∆f для функции
f(x) = 1/x в точке х₀, если приращение аргумента равняется ∆х.

Опять же, воспользуемся
формулами, полученными выше.

·        
∆f = f(x₀ + ∆x) – f(x₀) =1/(x₀-∆x)
– 1/x₀ = (x₀ – (x₀+∆x))/(x₀*(x₀+∆x))
= -∆x/((x₀*(x₀+∆x)).

Пример
3.. Найти приращение функции y=2x² при x0=3 и Δx=0,1

Решение. Подставляя
в формулу, получаем, что приращение функции:

Δy=y(3+0,1)−y(3)=2⋅(3+0,1)²−2⋅3²=1,22

Ответ. Δy=1,22

Приращение функции

Понятие
приращения аргумента и приращения
функции.

Пусть
x – произвольная точка, ледащая в
некоторой окрестности фиксированной
точки x₀.
разность x – x₀ называется приращение
независимой переменной (
или приращением
аргумента)
в точке x₀ и
обозначается Δx. Таким образом, 

Δx = x –x₀,

откуда
следует, что

x = x₀ +
Δx.

Говорят
также, что первоначальное значение
аргумента x₀ получило
приращение Δx. Вследствие этого значение
функции f изменится на величину 

f(x) – f(x₀)
= f (x₀ +Δx)
– f(x₀).

Эта
разность называется приращением
функции f
в точке x₀,
соответствующим приращению Δx, и
обозначается символом Δf (читается
«дельта эф»), т.е. по определению 

Δf = f (x₀ +
Δx) – f (x₀),

откуда 

f (x) = f (x₀ +Δx)
= f (x₀)
+ Δf.

При
фиксированном x0 приращение Δf есть
функция от Δx. Δf называют также приращение
зависимой переменной и обозначают через
Δy для функции y = f(x) .

Определение
непрерывной в точке функции через
приращение.

Функция f(x) называется непрерывной
в точке x₀,
если существует lim_x → x0 f(x) ,
равный значению функции f(x) в
этой точке:

lim x → x0  f(x) = f(x0),

(1)

т.е.

» O( f(x0) )     $ O(x0) :     x О O(x0) Ю f(x) О O( f(x0) ) .

Производная функции одной переменной

Определение
производной функции в точке.

Пусть
в некоторой окрестности точки 
 определена функция 
 Производной
функции 
 в
точке 
 называется предел,
если он существует,

Геометрический
смысл производной и дифференциала.

Если
функция у = f(x) дифференцируема в точке
x₀,
то ее производная в этой точке равна
тангенсу угла наклона касательной к
оси Ох, а дифференциал равен приращению
ординаты касательной

f'(x₀)
= tg a.

Уравнения
касательной и нормали к графику функции.

Уравнение
касательной имеет вид:

У
= f'(x₀)
• (x — x₀)
+ f(x₀)

Если
функция у = f(x) имеет в точке x₀бесконечную
производную, то ее касательной является
вертикальная прямая х = х₀.

Под
нормалью к кривой понимается прямая,
перпендикулярная касательной и проходящая
через точку касания. Если f'(x₀) 
 0,
то уравнение нормали имеет вид:

Понятие
дифференцируемости функции в точке.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в
точке x0,
если ее приращение Δy в
точке x0 может
быть представлено в виде: Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx,
где A — некоторое число, независящее
от Δx,
а α(Δx)—
бесконечно малая функция от переменной Δx,
т.е. limΔx→0α(Δx)=0.

Теорема
о необходимом и достаточном условии
дифференцируемости .

Теорема

Для
того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в
точке x0,
необходимо и достаточно, чтобы она в
этой точке имела конечную
производную.

Доказательство 

Необходимость.
Предположим: функция дифференцируема
в точке x0,
т.е. Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx.
Разделив обе части данного равенства
на Δx,
получим: ΔxΔy=A+α(Δx).

Из
определения производной функции в
точке: y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0(A+α(Δx))=A.

Т.е.
получили, что существует конечная
производная функции в
точке x0 и y/(x0)=A.

Достаточность.
Пусть существует конечная
производная y/(x0)∈R .
Покажем дифференцируемость
функции. y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy.

Если
функция f(x) имеет
конечный предел b при Δx→0 ,
то ее можно представить: f(x)=b+α(x)
(α(x)→0) .
Исходя из этого: ΔxΔy=y/(x0)+α(Δx),
где limΔx→0α(Δx)=0, Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→ A=y/(x0) .
Теорема доказана.

Связь
свойств дифференцируемости и непрерывности
.

Если
функция y=y(x) дифференцируема
в точке x0,
то она и непрерывна в этой
точке.

Справедливость
утверждения следует
из Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx и limΔx→0Δy=0,
а по определению функция непрерывна,
если малому приращению аргумента
соответствует малое приращение
функции. 

Обратное
утверждение не верно.

Например,
функция y=∣x∣  непрерывна
в точкеx=0,
но не дифференцируема в этой точке. 

Таким
образом, не всякая непрерывная функция
дифференцируема, а любая дифференцируемая
функция непрерывна.

Дифференциал
функции. Физический смысл производной.

Дифференциалом функции f(x)
в точке х называется главня линейная
часть приращения функции.

  Обозначается dy или df(x)

Производная
функции пути по времени есть мгновенная
скорость материальной точки в момент
времени х:

v(x)
= f'(x).

Поскольку
dy = f'(x)dx = v(x)dx, то дифференциал функции
пути равен расстоянию, которое прошла
бы точка за бесконечно малый промежуток
времени dx, если бы она двигалась равномерно
со скоростью, равной величине мгновенной
скорости в момент времени х.

Вторая
производная функции пройденного пути
также имеет простой смысл — это мгновенное
ускорение точки в данный момент времени

a(x)=v'(x)
= f»(x).

Производная
суммы, разности, произведения и частного
функций (все с доказательством кроме
последнего).

Производная
суммы (разности) функций

Производная
алгебраической суммы функций выражается
следующей теоремой.

Производная
суммы (разности) двух
дифференцируемых функций равна сумме
(разности) производных этих функций:

Производная
произведения функций.

Пусть u(x) и u(x) —
дифференцируемые функции. Тогда
произведение функций u(x)v(x) также
дифференцируемо и

Производная
произведения двух функций не равана
произведению производных этих функций.

Производная
частного функций.

Пусть u(x) и u(x) —
дифференцируемые функции. Тогда,
если v(x)
≠ 0,
то производная частного этих функций
вычисляется по формуле

Производная
сложной функции .

«Двухслойная»
сложная функция записывается в виде

где u
= g(x) —
внутренняя функция, являющаяся, в свою
очередь, аргументом для внешней
функции f. 

Если f и g —
дифференцируемые функции, то сложная
функция 
 также
дифференцируема по x и
ее производная равна

Данная
формула показывает, что производная
сложной функции равна произведению
производной внешней функции на производную
от внутренней функции. Важно, однако,
что производная внутренней функции
вычисляется в точке x,
а производная внешней функции — в точке u
= g(x)! 

Определение
логарифмической производной функции.

Логарифмической
производной функции y=f(x) называется
производная ее логарифма. 
 тогда
производная функции y=f(x) может
быть найдена так: 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

• Приращение аргумента и функции
• Определение производной
• Дифференцирование функции

Пусть задана некоторая функция $y=f(x)$. Возьмем какое-нибудь
значение $x_{0}$ из области определения этой функции:
$x_{0} in D[f]$ . Соответствующее значение функции в этой точке
будет равно $y_{0}=fleft(x_{0}right)$ .

Приращение аргумента и функции

Зададим аргументу $x_{0}$ приращение
$Delta x$. А тогда значение функции в новой точке
$fleft(x_{0}+Delta xright)$.

Определение производной

Дифференцирование функции

Теорема устанавливает, что для функции $y=f(x)$
дифференцируемость в данной точке $x$ и существование конечной производной в этой точке — понятия равносильные.

Читать дальше: односторонние производные.

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Алгебра – 10 класс. Приращение аргумента, приращение функции

Урок на тему: «Приращение аргумента, приращение функции»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

---

Скачать:
Приращение аргумента, приращение функции (PDF)

---

Что будем изучать:

1.Определение приращения аргумента, приращения функции.
2. Непрерывная функция и приращение.
3. Примеры.

Определение приращения аргумента и приращения функции

Ребята, мы с вами научились находить пределы функции в точке. Важным остается вопрос, как изменяется значение функции при изменении значения аргумента около этой точки?
Математики ввели такое понятие – приращение аргумента и функции. Давайте запишем определение.

Определение: Пусть функция $y=f(x)$ определена в точках $x_0$ и $x_1$. Разность $x_1-x_0$ называют приращением аргумента, а разность $f(x_1)-f(x_0)$–приращением функции.
Иначе говоря, узнаем прирост точки $x_0$ в точке $x_1$. Приращение аргумента обозначают как $Δx$, читается как дельта x.
Приращение функции обозначают, как $Δy$ или $Δf(x)$.
Из нашего определения следует: $x_1-x_0=Δx$ => $x_1= Δx+x_0$ и $f(x_1)-f(x_0)=Δy$. Тогда получаем важное равенство: $Δy=f(x_0+ Δx)-f(x_0)$.

Приращение функции может быть как положительным, так и отрицательным.

Давайте рассмотрим пример.
Найти приращение функции $y=х^3$ при переходе от $x_0=2$ к точке:
а) $x=2,1$; б) $x=1,9$.

Решение:
Обозначим $f(x)=х^3$.
Имеем: $f(2)=2^3=8$.

а) Воспользуемся формулой $Δy=f(x_0+ Δx)-f(x_0)$.
Нам надо найти значение $f(2,1)$.

$f(2,1)=2,1^3=9,261$.
$Δy= f(2,1)- f(2)= 9,261-8=1,261$.

б) $f(2)=8$.
$f(1,9)=1,9^3=6,859$.
$Δy= f(1,9)- f(2)= 6,859-8=-1,141$.

Ответ: а) $1,261$; б) $-1,141$.

Непрерывная функция и приращение

Ребята, давайте вернемся к определению непрерывной функции, и посмотрим на него с помощью приращений.
Вспомним определение непрерывной функции.
Определение. Функцию $y=f(x)$ называют непрерывной в точке $x=a$, если выполняется тождество:
[lim_{x rightarrow a}f(x)=f(a)]
Обратим внимание: $x →a$, тогда $(x-a) →0$ т.е. $Δx → 0$.

Также заметим: $f(x) → f(a)$ , значит $f(x) — f (a) → 0$ т.е. $Δy → 0$.

Определение непрерывности функции в точке можно записать так.

Функция $y=f(x)$ непрерывна в точке $x=a$, если в этой точке выполняется следующее условие:
если $Δx→0$, то $Δy → 0$.

Примеры

1. Для функции $y=kx+b$ найти:
а) приращение функции при переходе от фиксированной точки $x$ к $x+ Δx$;

б)предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Решение:

а) $f(x)= kx+b$.
$f(x+ Δx)=k(x+Δx)+b$;
$Δy= f(x+ Δx)-f(x)= k(x+Δx)+b-( kx+b)= kx+kΔx+b – kx-b= kΔx$.

б) Найдем требуемый предел: $lim_{Δx rightarrow 0}frac{Δy}{Δx}=lim_{Δx rightarrow 0}frac{kΔx}{Δx}=lim_{Δx rightarrow 0}k=k$.

2. Для функции $y=x^3$ найти:
а) приращение функции при переходе от фиксированной точки $x$ к $x+ Δx$.

б)предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Решение:

а) $f(x)= x^3$.
$f(x+ Δx)=(x+Δx)^3=x^3+3x^2Δx+3xΔx^2+Δx^3$.
$Δy= f(x+Δx)-f(x)= x^3+3x^2Δx+3xΔx^2+Δx^3-x^3=3x^2Δx+3xΔx^2+Δx^3$.

б) Найдем требуемый предел: $lim_{Δx rightarrow 0}frac{Δy}{Δx}=lim_{Δx rightarrow 0}frac{3x^2Δx+3xΔx^2+Δx^3}{Δx}=lim_{Δx rightarrow 0}(3x^2+3xΔx+Δx^2)=3x^2$.

Задачи для самостоятельного решения:

1) Найти приращение функции $y=x^4$ при переходе от $x_0=3$ к точке:
а) $x=3,2$;
б) $x=2,8$.

2) Для функции $y=3x+5$ найти приращение функции при переходе от фиксированной точки $x$ к $x+ Δx$.

3) Для функции $y=x^2$ найти приращение функции при переходе от фиксированной точки $x$ к $x+ Δx$.

4) Для функции $y=2x^3$ найти приращение функции при переходе от фиксированной точки $x$ к $x+ Δx$.