Как найти приращение числа - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Алгебра – 10 класс. Приращение аргумента, приращение функции

Урок на тему: «Приращение аргумента, приращение функции»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Скачать:
Приращение аргумента, приращение функции (PDF)

Что будем изучать:

1.Определение приращения аргумента, приращения функции.
2. Непрерывная функция и приращение.
3. Примеры.

Определение приращения аргумента и приращения функции

Ребята, мы с вами научились находить пределы функции в точке. Важным остается вопрос, как изменяется значение функции при изменении значения аргумента около этой точки?
Математики ввели такое понятие – приращение аргумента и функции. Давайте запишем определение.

Определение: Пусть функция $y=f(x)$ определена в точках $x_0$ и $x_1$. Разность $x_1-x_0$ называют приращением аргумента, а разность $f(x_1)-f(x_0)$–приращением функции.
Иначе говоря, узнаем прирост точки $x_0$ в точке $x_1$. Приращение аргумента обозначают как $Δx$, читается как дельта x.
Приращение функции обозначают, как $Δy$ или $Δf(x)$.
Из нашего определения следует: $x_1-x_0=Δx$ => $x_1= Δx+x_0$ и $f(x_1)-f(x_0)=Δy$. Тогда получаем важное равенство: $Δy=f(x_0+ Δx)-f(x_0)$.

Приращение функции может быть как положительным, так и отрицательным.

Давайте рассмотрим пример.
Найти приращение функции $y=х^3$ при переходе от $x_0=2$ к точке:
а) $x=2,1$; б) $x=1,9$.

Решение:
Обозначим $f(x)=х^3$.
Имеем: $f(2)=2^3=8$.

а) Воспользуемся формулой $Δy=f(x_0+ Δx)-f(x_0)$.
Нам надо найти значение $f(2,1)$.

$f(2,1)=2,1^3=9,261$.
$Δy= f(2,1)- f(2)= 9,261-8=1,261$.

б) $f(2)=8$.
$f(1,9)=1,9^3=6,859$.
$Δy= f(1,9)- f(2)= 6,859-8=-1,141$.

Ответ: а) $1,261$; б) $-1,141$.

Непрерывная функция и приращение

Ребята, давайте вернемся к определению непрерывной функции, и посмотрим на него с помощью приращений.
Вспомним определение непрерывной функции.
Определение. Функцию $y=f(x)$ называют непрерывной в точке $x=a$, если выполняется тождество:
[lim_{x rightarrow a}f(x)=f(a)]
Обратим внимание: $x →a$, тогда $(x-a) →0$ т.е. $Δx → 0$.

Также заметим: $f(x) → f(a)$ , значит $f(x) — f (a) → 0$ т.е. $Δy → 0$.

Определение непрерывности функции в точке можно записать так.

Функция $y=f(x)$ непрерывна в точке $x=a$, если в этой точке выполняется следующее условие:
если $Δx→0$, то $Δy → 0$.

Примеры

1. Для функции $y=kx+b$ найти:
а) приращение функции при переходе от фиксированной точки $x$ к $x+ Δx$;

б)предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Решение:

а) $f(x)= kx+b$.
$f(x+ Δx)=k(x+Δx)+b$;
$Δy= f(x+ Δx)-f(x)= k(x+Δx)+b-( kx+b)= kx+kΔx+b – kx-b= kΔx$.

б) Найдем требуемый предел: $lim_{Δx rightarrow 0}frac{Δy}{Δx}=lim_{Δx rightarrow 0}frac{kΔx}{Δx}=lim_{Δx rightarrow 0}k=k$.

2. Для функции $y=x^3$ найти:
а) приращение функции при переходе от фиксированной точки $x$ к $x+ Δx$.

Решение:

а) $f(x)= x^3$.
$f(x+ Δx)=(x+Δx)^3=x^3+3x^2Δx+3xΔx^2+Δx^3$.
$Δy= f(x+Δx)-f(x)= x^3+3x^2Δx+3xΔx^2+Δx^3-x^3=3x^2Δx+3xΔx^2+Δx^3$.

б) Найдем требуемый предел: $lim_{Δx rightarrow 0}frac{Δy}{Δx}=lim_{Δx rightarrow 0}frac{3x^2Δx+3xΔx^2+Δx^3}{Δx}=lim_{Δx rightarrow 0}(3x^2+3xΔx+Δx^2)=3x^2$.

Задачи для самостоятельного решения:

1) Найти приращение функции $y=x^4$ при переходе от $x_0=3$ к точке:
а) $x=3,2$;
б) $x=2,8$.

2) Для функции $y=3x+5$ найти приращение функции при переходе от фиксированной точки $x$ к $x+ Δx$.

3) Для функции $y=x^2$ найти приращение функции при переходе от фиксированной точки $x$ к $x+ Δx$.

4) Для функции $y=2x^3$ найти приращение функции при переходе от фиксированной точки $x$ к $x+ Δx$.

Источник

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Источник

Приращение
функции

Не всегда в жизни нас интересуют точные
значения каких-либо величин. Иногда интересно узнать изменение этой величины,
например, средняя скорость автобуса, отношение величины перемещения к
промежутку времени и т.д. Для сравнения значения функции в некоторой точке со
значениями этой же функции в других точках, удобно использовать такие понятия,
как «приращение функции» и «приращение аргумента».

Понятия «приращение функции» и «приращение
аргумента»

Допустим, х – некоторая
произвольная точка, которая лежит в какой-либо окрестности точки х₀.
Приращением аргумента в точке х₀ называется разность х-х₀.
Обозначается приращение следующим образом: ∆х.

·
∆х=х-х₀.

Иногда эту величину еще
называют приращением независимой переменной в точке х₀. Из формулы
следует: х = х₀+∆х. В таких случаях говорят, что начальное значение
независимой переменной х₀, получило приращение ∆х.

Если мы изменяем аргумент, то
и значение функции тоже будет изменяться.

·
f(x) – f(x₀) = f(x₀ + ∆х) – f(x₀).

Приращением
функции f в точке x₀, соответствующим
приращению ∆х называется разность f(x₀ + ∆х) – f(x₀).
Приращение функции обозначается следующим образом ∆f. Таким образом получаем,
по определению:

·
∆f= f(x₀ +∆x) – f(x₀).

Иногда, ∆f еще называют
приращением зависимой переменной и для обозначения используют ∆у, если функция
была, к примеру, у=f(x).

Геометрический смысл приращения

Посмотрите на следующий
рисунок.

Как видите, приращение
показывает изменение ординаты и абсциссы точки. А отношение приращения функции
к приращению аргумента определяет угол наклона секущей, проходящей через
начальное и конечное положение точки.

Рассмотрим примеры приращения функции и аргумента

Пример
1. Найти приращение аргумента ∆х и приращение функции ∆f в
точке х₀, если f(х) = х², x₀=2 a) x=1.9
b) x =2.1

Воспользуемся формулами,
приведенными выше:

a) ∆х=х-х₀ = 1.9 –
2 = -0.1;

·
∆f=f(1.9) – f(2) = 1.9² – 2² =
-0.39;

b) ∆x=x-x₀=2.1-2=0.1;

·
∆f=f(2.1) – f(2) = 2.1² – 2² =
0.41.

Пример
2. Вычислить приращение ∆f для функции
f(x) = 1/x в точке х₀, если приращение аргумента равняется ∆х.

Опять же, воспользуемся
формулами, полученными выше.

·
∆f = f(x₀ + ∆x) – f(x₀) =1/(x₀-∆x)
– 1/x₀ = (x₀ – (x₀+∆x))/(x₀*(x₀+∆x))
= -∆x/((x₀*(x₀+∆x)).

Пример
3.. Найти приращение функции y=2x² при x0=3 и Δx=0,1

Решение. Подставляя
в формулу, получаем, что приращение функции:

Δy=y(3+0,1)−y(3)=2⋅(3+0,1)²−2⋅3²=1,22

Ответ. Δy=1,22

Источник

Содержание:

Приращение аргумента и функции
Определение производной
Дифференцирование функции

Пусть задана некоторая функция $y=f(x)$. Возьмем какое-нибудь
значение $x_{0}$ из области определения этой функции:
$x_{0} in D[f]$ . Соответствующее значение функции в этой точке
будет равно $y_{0}=fleft(x_{0}right)$ .

Приращение аргумента и функции

Определение

Приращением аргумента называется разность между двумя значениями аргумента: «новым» и «старым».

Обычно обозначается как $Delta x=x_{1}-x_{0}$ .

Пример

Задание. Найти приращение аргумента $x$, если он переходит от значения 3 к значению 3,2.

Решение. Искомое приращение: $Delta x=3,2-3=0,2$ .

Ответ. $Delta x=0,2$

Зададим аргументу $x_{0}$ приращение
$Delta x$. А тогда значение функции в новой точке
$fleft(x_{0}+Delta xright)$.

Определение

Приращением функции $y=f(x)$ в точке
$x_{0}$, соответствующее приращению аргумента
$Delta x=x-x_{0}$, называется величина:

$Delta y=fleft(x_{0}+Delta xright)-fleft(x_{0}right)$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти приращение функции $y=2 x^{2}$
при $x_{0}=3$ и
$Delta x=0,1$

Решение. Подставляя в формулу, получаем, что приращение функции:

$Delta y=y(3+0,1)-y(3)=2 cdot(3+0,1)^{2}-2 cdot 3^{2}=1,22$

Ответ. $Delta y=1,22$

Определение производной

Определение

Производной $y^{prime}(x)$ от функции
$y=f(x)$ в точке
$x_{0}$ называется предел отношения
приращения функции $Delta y$ к приращению аргумента
$Delta x$ :
$frac{Delta y}{Delta x}$ при
$Delta x rightarrow 0$, если он существует, то есть:

$y^{prime}left(x_{0}right)=f^{prime}left(x_{0}right)=lim _{Delta x rightarrow 0} frac{Delta y}{Delta x}=lim _{Delta x rightarrow 0} frac{fleft(x_{0}+Delta xright)-fleft(x_{0}right)}{Delta x}$

или

$y^{prime}left(x_{0}right)=lim _{x rightarrow x_{0}} frac{f(x)-fleft(x_{0}right)}{x-x_{0}}$

Пример

Задание. Найти производную функции $y=x^{2}+3 x$
в точке $x_{0}=0$.

Решение. Найдем приращение заданной функции в точке $x_{0}$ :

$Delta y=y(0+Delta x)-y(0)=y(Delta x)-y(0)=$

$=(Delta x)^{2}+3 Delta x-0=Delta x(Delta x+3)$

Тогда

$y^{prime}(0)=lim _{Delta x rightarrow 0} frac{Delta x(Delta x+3)}{Delta x}=lim _{Delta x rightarrow 0}(Delta x+3)=0+3=3$

Ответ. $y^{prime}(0)=3$

Дифференцирование функции

Определение

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием этой функции.

Функция $y=f(x)$ имеет производную на интервале
$(a ; b)$ или называется дифференцируемой в этом
интервале, если производная $f^{prime}(x)$ существует в каждой точке этого интервала.

Функция $y=f(x)$ имеет в точке
$x$ бесконечную производную, если в этой точке
$f^{prime}(x)=lim _{Delta x rightarrow 0} frac{Delta y}{Delta x}=infty$ .

Теорема

(О непрерывности функции в точке)

Если функция $y=f(x)$ имеет конечную производную в
точке $x_{0}$ , то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Обратное заключение не всегда верно: если функция $y=f(x)$
непрерывна в некоторой точке $x_{0}$ , то она может
и не иметь производной в этой точке.

Определение

Функция $y=f(x)$ называется дифференцируемой
в точке $x$, если приращение функции,
соответствующее приращению аргумента, можно представить в виде:

$Delta y=A cdot Delta x+alpha(Delta x) cdot Delta x$

где $A$ — число, не зависящее от
$Delta x$,
$alpha(Delta x)$ — б.м. функция при
$Delta x rightarrow 0$.

Теорема

(О необходимом и достаточном условии дифференцируемости)

Для того чтобы функция $y=f(x)$ была дифференцируемой
в точке $x$, необходимо и достаточно,
чтобы $y=f(x)$ имела в этой точке конечную производную.

Теорема устанавливает, что для функции $y=f(x)$
дифференцируемость в данной точке $x$ и существование конечной производной в этой точке — понятия равносильные.

Читать дальше: односторонние производные.

Источник

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Определение 1

Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$. Обозначение: $z=f(x,y)$.

В отношении функции $z=f(x,y)$ рассмотрим понятия общего (полного) приращения функции и полного дифференциала.

Пусть дана функция $z=f(x,y)$двух независимых переменных $(x,y)$.

Если аргументу $x$ дать приращение $Delta x$, а аргументу $y$ — приращение $Delta y$, то получается полное приращение заданной функции $z=f(x,y)$. Обозначение:

Пример 1

Записать полное приращение заданной функции

[z=x+y.]

Решение:

По определению полного приращения некоторой функции найдем:

$Delta z=x+Delta x+y+Delta y$ — полное приращение функции $z=f(x,y)$.

Пример 2

Вычислить полное приращение заданной функции $z=xy$ в точке $(1;2)$ при $Delta x=0,1;, , Delta y=0,1$.

Решение:

По определению полного приращения некоторой функции найдем:

$Delta z=(x+Delta x)cdot (y+Delta y)$ — полное приращение функции $z=f(x,y)$.

Следовательно,

[Delta z=(1+0,1)cdot (2+0,1)=1,1cdot 2,1=2,31.]

Определение 2

Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.

Обозначение: $w=f(x,y,z)$.

Определение 3

Если для каждой совокупности $(x,y,z,…,t)$ значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией переменных $(x,y,z,…,t)$ в данной области.

Обозначение: $w=f(x,y,z,…,t)$.

«Полное приращение и полный дифференциал» 👇

Для функции трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются полное приращение:

Пример 3

Записать полное приращение заданной функции

[w=(x+y)cdot z.]

Решение:

По определению полного приращения некоторой функции найдем:

$Delta w=((x+Delta x)+(y+Delta y))cdot (z+Delta z)$ — полное приращение функции $w=f(x,y,z)$.

Пример 4

Вычислить полное приращение заданной функции $w=xyz$ в точке $(1;2;1)$ при $Delta x=0,1;, , Delta y=0,1;, , Delta z=0,1$.

Решение:

По определению полного приращения некоторой функции найдем:

$Delta w=(x+Delta x)cdot (y+Delta y)cdot (z+Delta z)$ — полное приращение функции $w=f(x,y,z)$.

Следовательно,

[Delta z=(1+0,1)cdot (2+0,1)cdot (1+0,1)=1,1cdot 2,1cdot 1,1=2,541.]

С геометрической точки зрения полное приращение функции $z=f(x,y)$ (по определению $Delta z=f(x+Delta x,y+Delta y)-f(x,y)$) равно приращению аппликаты графика функции $z=f(x,y)$ при переходе от точки $M(x,y)$ к точке $M_{1} (x+Delta x,y+Delta y)$ (рис. 1).

Рисунок 1.

Определение 4

Полный дифференциал заданной функции $z=f(x,y)$ является линейной частью приращения функции и записывается в виде

[dz=f’_{x} (x,y)cdot Delta x+f’_{y} (x,y)cdot Delta y.]

Пример 5

Записать полный дифференциал заданной функции

[z=x+2y.]

Решение:

Определим частные производные заданной функции:

[f’_{x} (x,y)=1,, , f’_{y} (x,y)=2.]

По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:

[dz=1cdot Delta x+2cdot Delta y=Delta x+2cdot Delta y.]

Пример 6

Вычислить полный дифференциал заданной функции $z=xy$ в точке $(1;2)$ при $Delta x=0,1;, , Delta y=0,1$.

Решение:

Определим частные производные заданной функции:

[f’_{x} (x,y)=y,, , f’_{y} (x,y)=x.]

По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:

[dz=ycdot Delta x+xcdot Delta y.]

Следовательно,

[dz|_{(1,2)} =2cdot 0,1+1cdot 0,1=0,2+0,1=0,3.]

Для функции трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются полный дифференциал:

[dw=f’_{x} (x,y,z)cdot Delta x+f’_{y} (x,y,z)cdot Delta y+f’_{z} (x,y,z)cdot Delta z,] [dw=f’_{x} (x,y,z,…,t)cdot Delta x+f’_{y} (x,y,z,…,t)cdot Delta y+…+f’_{t} (x,y,z,…,t)cdot Delta t.]

Пример 7

Записать полный дифференциал заданной функции

[w=(x+y)cdot z.]

Решение:

Определим частные производные заданной функции:

[f’_{x} (x,y,z)=z,, , f’_{y} (x,y,z)=z,, , , f’_{z} (x,y,z)=x+y.]

По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:

[dz=zcdot Delta x+zcdot Delta y+(x+y)cdot Delta z.]

Определение 5

Приращения независимых переменных, а именно, $Delta x,, , Delta y,, , Delta z,…,Delta t$ называют дифференциалами независимых переменных $x,y,z,…,t$. Обозначение: $dx,dy,dz,…,dt$.

В новых обозначениях выражения для полного дифференциала принимает следующий вид:

Замечание 1

Функция, имеющая непрерывные частные производные в заданной точке, является дифференцируемой в данной точке, при этом полный дифференциал функции в данной точке равен сумме произведений частных производных на дифференциалы независимых переменных соответственно.

Пример 8

Записать полный дифференциал заданной функции

[w=xcdot z.]

Решение:

Определим частные производные заданной функции:

[f’_{x} (x,y,z)=z,, , f’_{y} (x,y,z)=0,, , , f’_{z} (x,y,z)=x.]

По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:

[dz=zcdot dx+0cdot dy+xcdot dz=zcdot dx+xcdot dz.]

Пример 9

Записать полный дифференциал заданной функции $z=xy$ в точке $(1;2)$.

Решение:

Определим частные производные заданной функции:

[f’_{x} (x,y)=y,, , f’_{y} (x,y)=x.]

По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:

[dz=ycdot dx+xcdot dy.]

Запишем полный дифференциал в заданной точке:

[dz|_{(1,2)} =2cdot dx+1cdot dy=2dx+dy.]

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник