Как найти приращение функции 10 класс

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Алгебра – 10 класс. Приращение аргумента, приращение функции

Урок на тему: «Приращение аргумента, приращение функции»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

---

Скачать:
Приращение аргумента, приращение функции (PDF)

---

Что будем изучать:

1.Определение приращения аргумента, приращения функции.
2. Непрерывная функция и приращение.
3. Примеры.

Определение приращения аргумента и приращения функции

Ребята, мы с вами научились находить пределы функции в точке. Важным остается вопрос, как изменяется значение функции при изменении значения аргумента около этой точки?
Математики ввели такое понятие – приращение аргумента и функции. Давайте запишем определение.

Определение: Пусть функция $y=f(x)$ определена в точках $x_0$ и $x_1$. Разность $x_1-x_0$ называют приращением аргумента, а разность $f(x_1)-f(x_0)$–приращением функции.
Иначе говоря, узнаем прирост точки $x_0$ в точке $x_1$. Приращение аргумента обозначают как $Δx$, читается как дельта x.
Приращение функции обозначают, как $Δy$ или $Δf(x)$.
Из нашего определения следует: $x_1-x_0=Δx$ => $x_1= Δx+x_0$ и $f(x_1)-f(x_0)=Δy$. Тогда получаем важное равенство: $Δy=f(x_0+ Δx)-f(x_0)$.

Приращение функции может быть как положительным, так и отрицательным.

Давайте рассмотрим пример.
Найти приращение функции $y=х^3$ при переходе от $x_0=2$ к точке:
а) $x=2,1$; б) $x=1,9$.

Решение:
Обозначим $f(x)=х^3$.
Имеем: $f(2)=2^3=8$.

а) Воспользуемся формулой $Δy=f(x_0+ Δx)-f(x_0)$.
Нам надо найти значение $f(2,1)$.

$f(2,1)=2,1^3=9,261$.
$Δy= f(2,1)- f(2)= 9,261-8=1,261$.

б) $f(2)=8$.
$f(1,9)=1,9^3=6,859$.
$Δy= f(1,9)- f(2)= 6,859-8=-1,141$.

Ответ: а) $1,261$; б) $-1,141$.

Непрерывная функция и приращение

Ребята, давайте вернемся к определению непрерывной функции, и посмотрим на него с помощью приращений.
Вспомним определение непрерывной функции.
Определение. Функцию $y=f(x)$ называют непрерывной в точке $x=a$, если выполняется тождество:
[lim_{x rightarrow a}f(x)=f(a)]
Обратим внимание: $x →a$, тогда $(x-a) →0$ т.е. $Δx → 0$.

Также заметим: $f(x) → f(a)$ , значит $f(x) — f (a) → 0$ т.е. $Δy → 0$.

Определение непрерывности функции в точке можно записать так.

Функция $y=f(x)$ непрерывна в точке $x=a$, если в этой точке выполняется следующее условие:
если $Δx→0$, то $Δy → 0$.

Примеры

1. Для функции $y=kx+b$ найти:
а) приращение функции при переходе от фиксированной точки $x$ к $x+ Δx$;

б)предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Решение:

а) $f(x)= kx+b$.
$f(x+ Δx)=k(x+Δx)+b$;
$Δy= f(x+ Δx)-f(x)= k(x+Δx)+b-( kx+b)= kx+kΔx+b – kx-b= kΔx$.

б) Найдем требуемый предел: $lim_{Δx rightarrow 0}frac{Δy}{Δx}=lim_{Δx rightarrow 0}frac{kΔx}{Δx}=lim_{Δx rightarrow 0}k=k$.

2. Для функции $y=x^3$ найти:
а) приращение функции при переходе от фиксированной точки $x$ к $x+ Δx$.

б)предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Решение:

а) $f(x)= x^3$.
$f(x+ Δx)=(x+Δx)^3=x^3+3x^2Δx+3xΔx^2+Δx^3$.
$Δy= f(x+Δx)-f(x)= x^3+3x^2Δx+3xΔx^2+Δx^3-x^3=3x^2Δx+3xΔx^2+Δx^3$.

б) Найдем требуемый предел: $lim_{Δx rightarrow 0}frac{Δy}{Δx}=lim_{Δx rightarrow 0}frac{3x^2Δx+3xΔx^2+Δx^3}{Δx}=lim_{Δx rightarrow 0}(3x^2+3xΔx+Δx^2)=3x^2$.

Задачи для самостоятельного решения:

1) Найти приращение функции $y=x^4$ при переходе от $x_0=3$ к точке:
а) $x=3,2$;
б) $x=2,8$.

2) Для функции $y=3x+5$ найти приращение функции при переходе от фиксированной точки $x$ к $x+ Δx$.

3) Для функции $y=x^2$ найти приращение функции при переходе от фиксированной точки $x$ к $x+ Δx$.

4) Для функции $y=2x^3$ найти приращение функции при переходе от фиксированной точки $x$ к $x+ Δx$.

        МБОУ «СОШ № 90» г.Саратова

Учитель:
Манахова Е.А.

Предмет:  математика

Класс:  10

        
Тип урока:
урок получения нового
знания.

     Тема: «
Приращение аргумента, приращение функции».

Цели:

образовательные:
сформировать понятия приращения функции и приращения аргумента, секущей,
геометрического смысла приращения функции; показать применение данных понятий
при решении задач.

развивающие:
развитие вычислительных навыков, умений логически и аргументированно
рассуждать, обобщать и абстрагировать.

воспитательные:
воспитание познавательного интереса к предмету.

.

Оборудование:
учебник; компьютер, проектор и экран.

Ход урока

1.Организационный момент

1)
Взаимное приветствие преподавателя и обучающихся, проверка готовности
обучающихся к уроку.

Обсуждение
темы и целей урока. (Слайд 1 и 2.)

2.Подготовка к восприятию нового материала

 
(устная работа с целью актуализации знаний):

Как
найти значение функции в данной точке?

Пример: (Слайд 3)

 Найти
значение функции f(x) = x² + 2x в точке x₀ = -3.

Решение:
f(x₀) = f(-3) = (-3)²+ 2∙(-3) = 9 — 6 = 3

Ответ:
f(-3) = 3

3)
Итак, мы поработали устно и вспомнили некоторые теоретические сведения, которые
нам будут нужны при изучении нового материала. А теперь мы выясним, что же 
такое приращение аргумента и  приращение  функции.

2. Изучение
нового материала:

1) Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а
ее изменение. Например: как быстро изменяется температура, как быстро
дорожают цены на билеты и так далее…

Давайте рассмотрим с Вами
основные понятия которые относятся к приращению функции.

(работа с раздаточным материалом)

Например:
Дан график функции у = 4 -х²   (Слайд 4)

По
графику найти значение функции в точке х₁= 1 и

х₂
= 2.

Разность
х₂ – х₁ = 2 — 1 = 1; ∆x =1

f
(1) = 3; f(2) = 0; f(2) – f(1) = 0 — 3 = -3

∆f
= -3

2).
В приведенном примере мы не только вычислили значения функции f(x) в некоторых
точках, но и оценили изменения ∆f этой функции при заданных изменениях
аргумента ∆х.

При
сравнении значений функции f в некоторой фиксированной точке х₀ со
значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности х₀,
удобно выражать разность f(x) — f(x₀) через разность х-х₀,
пользуясь понятиями “приращение функции” и “приращение аргумента”.

Рассмотрим
функцию у = f(x). Пусть х – произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности
фиксированной точки х₀. Разность х — х₀ называется
приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке х₀
и обозначается ∆х. Таким образом, ∆х= х -х₀, откуда следует,
что х = х₀+∆х.  (Слайд 5)

Говорят
также, что первоначальное значение аргумента х₀ получило приращение ∆х.
Вследствие этого значение функции f изменится на величину f(x) — f(x₀)
= f(х₀ +х)– f(x₀).

Эта
разность называется приращением функции f в точке х₀, соответствующим
приращению ∆х, и обозначается ∆f, т. е. по определению

∆f
= f (х₀+∆х) – f(x_0), откуда f (х₀ +∆х) = f(x₀)
+∆f.

Обратите
внимание: при фиксированном значении х₀ приращение ∆f есть функция
от ∆х.

2)
Что такое приращение аргумента?

      Что такое
приращение  функции? (Слайд6)

•        
Определение.

 
 Приращением аргумента функции называется величина, равная разности
между конечным и начальным значением аргумента:  ∆ x =x-х₀

•        
Определение.

   Приращением
функции называется величина, равная разности между конечным и начальным
значением функции ∆f =f(x) — f(x₀) = f(х₀ + х)–
f(x₀).

Пример
1. Найти приращение функции y=x³
при переходе от х₀=1,2 к точке х=2,5  (Слайд
7)

Решение:
∆ x=2,5-1,2=1,3,
∆f=2,5²-1,2²=6,25-1,44=
4,81

Ответ:
1,3; 4,81

Пример
2. Найти приращение аргумента и приращение функции в точке х₀, если f(x)=
x²,
если х₀= 2, х=1,9.  (Слайд

Решение:
∆ x=1,9-2=-0,1,
∆f=1,9²-2²=3,61-4=
-0,39

Ответ:
-0,1; -0,39

Вывод:
Приращение функции может быть как положительным так и отрицательным.

 
Теперь выясним геометрический смысл приращения аргумента, приращения
функции.                                                                                                    
                          (Слайд 9.)

Рассмотрим
график функции у = f (x). Геометрический смысл приращения функции можно понять,
рассмотрев рисунок. Прямую l, проходящую через любые две точки графика
функции f, называют секущей к графику f. Уравнение прямой на плоскости
имеет вид у = кх + b. Угловой
коэффициент k секущей, проходящей через точки (х₀; f(x₀)
и (х; f(x)), равен tga. ∆ABC – прямоугольный.

   или
k
= tgα =

Пример
3. Найти угловой коэффициент секущей к графику функции f(x)
= , проходящей через точки
с данными абсциссами х₁ и х₂. Какой угол (острый или
тупой) образует секущая с осью Ох, если      f(x)
= x²;
x₁
= 0; x₂
= 1    (Слайд 10)

Решение:
tgα
=

     
Δx
= x – x₀;           Δf = f(x) — f(x₀);

     
Δx = 1 – 0 = 1;     Δf = f(1) — f(0) =  · 1²
—  · 0²
=

     
k = tgα = > 0,  значит
α
– острый

Ответ:
tgα
= ; α
— острый

5)
Итак, мы выяснили что такое приращение аргумента и приращение функции и в чём
состоит их геометрический смысл. Теперь мы научимся применять данные
определения при решении задач.

3.Закрепление изученного материала

1.
Решение задач у доски преподавателем.

а)
Найдите приращение функции f
в точке  х₀, если

    
f(x)
= 3x+1 
x₀
= 5   ∆x
= 0, 01.

Решение:
х=х₀+∆x, х= 5+0,01=5,01

f(х₀)=f(5)=3·5+1=16;      
f
(x)=f(5,01)=
3·5,01+1=16,03

Δf
= f(x)
— f(x₀); 
Δf
= 16,03-16=0,03      Ответ: 0,03          (Слайд 11)

б)
Найти приращение функции y=f(x)
при переходе от точки х к точке х+ ∆x,
если f(x)=
х².

Решение:
Δf
= f(x)
— f(x₀)=f(х+
∆x)-f(x)=
(х+ ∆x)²—x²=x²+2x∆x+∆x²—x²=2x∆x+∆x²

Ответ:
2x∆x+∆x²
                   (Слайд 12)

5. Проверка усвоения материала.

Самостоятельная работа       
(Слайд 13)

1
вариант № 26.20(а), 26.22 (а), 26.24 (а)

2
вариант №26.20(б), 26.22(б), 26.24(б)

(1 вар- №26.20           0,4            №26.22    0,2;        №26.24      3 ∆x

2 вар- №26.20       2,8         
№26.22   —
0,1;  №26.24   -2х
∆x—
(∆x)²   )

6.  Подведение итогов урока.   

 Домашнее
задание: П.26, №26.20-26.21(вг), 26.22(вг),
26.24 (вг)

Вопросы
занятия:

·    
познакомиться
с понятием непрерывной функции;

·    
познакомиться
с понятием предел функции в точке;

·    
рассмотреть
примеры использования данных понятий для решения задач.

Материал
урока.

Прежде
чем приступить к изучению нового материала, давайте выполним упражнение.

Упражнение.

Не всегда нам надо знать точные значения
тех или иных параметров. Иногда нам достаточно знать, как они изменяются.
Например, если мы в течение одного дня выйдем на улицу, то нам не важно, на
сколько именно изменилась температура воздуха, а нам важно похолодало или
потеплело. Или при движении автомобиля нам, не важно, знать точную скорость, а
важно определить разгоняется автомобиль или тормозит.

Причём, если на улице потеплело, то
изменения будут со знаком плюс и наоборот если похолодало, то изменения будут
со знаком минус.

Если автомобиль разгоняется, то изменения
будут со знаком плюс, если тормозит – то со знаком минус.

Для описания таких изменений было введено
понятие приращение.

Определение.

Пусть функция y = f(x) определена в
точках x₀
и x₁.
Разность x₁ –
x₀
называют приращением аргумента, а разность f(x₁) –
f(x₀)
называют приращением функции.

Приращение аргумента обозначают так:

Приращение функции обозначают
так:

Давайте рассмотрим, что же такое
приращение аргумента и функции на графике.

Рассмотрим пример.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Давайте вспомним определение непрерывной
функции, которое мы формулировали ранее.

Определение непрерывности функции в точке x
= a выглядит так:

Определение непрерывности функции в точке
можно записать так:

Когда мы вводили определение непрерывной
функции, то мы говорили, что функция непрерывна на промежутке X, если
она непрерывна в каждой точке промежутка. Давайте уточним, что означает
непрерывность функции в концевых точках промежутка, например, как понимать
непрерывность функции в точках a
и b отрезка [a;
b].

Рассмотрим пример.

Пример.

Давайте изобразим график линейной функции.
Отметим приращение аргумента и функции. И найдём чему равно отношение
приращения аргумента к приращению функции.

Рассмотрим пример.

Пример.

Цели урока:

1. Формирование понятий приращения функции и приращения аргумента, секущей,
   геометрического смысла приращения функции;
2. Развитие вычислительных навыков;
3. Воспитание познавательного интереса к предмету. (Презентация.
   Слайд 2.)

Тип урока: формирование новых понятий.

Метод обучения: обучающая беседа.

Оборудование: учебник А.Н. Колмогорова “Алгебра и начала анализа”
10-11 кл.; мультимедийный проектор и экран.

Ход урока

I. Организационный момент:

Взаимное приветствие учителя и учащихся, проверка готовности учащихся к
уроку.

II. Анализ контрольной работы по теме:
“Решение тригонометрических уравнений и неравенств”/

Сообщение темы и целей урока. (Слайд 1 и 2.)

III. Актуализация знаний:

1. Формула периметра прямоугольника;
2. Формула площади прямоугольника;
3. Определение функции, определение тангенса угла;
4. Как найти значение функции в данной точке?

Пример: Найти значение функции f(x) =
x² + 2x в
точке x₀ = -3.

Решение: f(x₀) =
f(-3) = (-3)²
+ 2∙(-3) =
9 — 6
= 3

Ответ: f(-3) = 3

IV. Изучение нового материала:

Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее изменение.

Например: Дан график функции у =
4 -х²

По графику найти значение функции  в точке х1 = 1 и х2 = 2. Разность х2 – х1 = 2 — 1 = 1; ∆x =1 f (1) = 3; f(2) = 0; f(2) – f(1) = 0 — 3 = -3 f = -3 (Слайд3.)

---

---

---

В приведенном примере мы не только
вычислили значения функции f(x) в некоторых точках, но и оценили изменения
f этой
функции при заданных изменениях аргумента
х.

При
сравнении значений функции f в некоторой фиксированной точке х₀ со
значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности х₀,
удобно выражать разность f(x) —
f(x₀) через разность х —
х₀, пользуясь понятиями “приращение функции” и “приращение
аргумента”.

Рассмотрим функцию у = f(x). Пусть х – произвольная
точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х₀.
Разность х — х₀
называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента)
в точке х₀ и обозначается
х. Таким
образом, х
= х —
х₀, откуда следует, что х = х₀
+х.

Говорят также, что первоначальное значение аргумента х₀ получило
приращение х.
Вследствие этого значение функции f изменится на величину
f(x) — f(x₀)
= f(х₀ +
х)
– f(x₀).

Эта разность называется приращением функции f в точке х₀,
соответствующим приращению
х, и
обозначается
f, т. е. по
определению

f
= f (х₀+х)
– f(x_0), откуда f (х₀ +
х)
= f(x₀) +
f.

Обратите внимание: при фиксированном значении х₀ приращение
f есть
функция от х.
(Слайд 4.)

Пример 1:

Найти приращение аргумента и приращение функции в точке х₀, если

Решение:

(Слайд 5.)

Рассмотрим график функции у = f (x). Геометрический смысл приращения функции
можно понять, рассмотрев рисунок. (Слайд 6.) Прямую l, проходящую
через любые две точки графика функции f, называют секущей к графику f.
Уравнение прямой на плоскости имеет вид у = кх + в. Угловой коэффициент k
секущей, проходящей через точки (х₀; f(x₀) и (х; f(x)),
равен tga. ABC
– прямоугольный.

(Слайд 7.)

V. Закрепление материала: № 177 (а,1)
– (решение на Cлайде
8), 178(а,в) , 180 (устно)

VI. Домашнее задание: п.12, №177(б), 178(б, г)

VII. Подведение итогов урока.