Подобные слагаемые
- Свойства сложения и умножения
- Подобные слагаемые
- Приведение подобных слагаемых
Свойства сложения и умножения
В буквенных выражениях числа могут быть обозначены буквами. Поэтому для всех буквенных выражений верны следующие равенства, выражающие свойства сложения и свойства умножения:
| Свойства сложения | Свойства умножения |
|---|---|
| a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a + 0 = a a + (-a) = 0 a — b = a + (-b) |
ab = ba (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac a = 1 · a —a = -1 · a a · 0 = 0 |
С помощью этих свойств можно упрощать буквенные выражения. Например:
5a + 12a — 7a = (5 + 12 — 7)a = 10a.
Слагаемые 5a, 12a и -7a отличаются только числовыми множителями, такие слагаемые называются подобными.
Подобные слагаемые
Подобные слагаемые — это слагаемые, отличающиеся только числовыми множителями и имеющие одинаковую буквенную часть. Пользуясь свойствами сложения и умножения, можно упрощать выражения, содержащие подобные слагаемые. Например, упростим выражение:
10x — 9x = (10 — 9)x = 1 · x = x.
Такое упрощение выражения называется приведением подобных слагаемых. В простых примерах промежуточные вычисления можно опустить:
10x — 9x = x.
Приведение подобных слагаемых
Приведение подобных слагаемых — это упрощение выражения, содержащего подобные слагаемые, путём их сложения.
Пример 1. Приведите подобные слагаемые:
4x — 3y + y — 2x.
Решение: Сначала надо найти в выражении подобные слагаемые:
| 4x | — | 3y | + | y | — | 2x | , |
теперь можно их сгруппировать, вынести общий множитель за скобки и привести подобные слагаемые:
4x — 3y + y — 2x = (4x — 2x) + (-3y + y) = (4 — 2)x + (-3 + 1)y = 2x — 2y.
Пример 2. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:
4(a — 3b) — (a — 2b).
Решение:
4(a — 3b) — (a — 2b) = 4a — 12b — a + 2b = 3a — 10b.
Основные определения и примеры подобных слагаемых
Слагаемые — это все основные составные элементы и значения суммы, которые образуют уравнение. Тем самым они могут присутствовать только в тех выражениях, которые представлены как сумма значений.
Буквенная часть — это произведение буквенных значений в уравнении, которые представлены в виде переменной.
Слагаемое с буквенной частью — это выражение в виде произведения буквенной части и числового значения, чаще всего встречается иное название: числовой коэффициент.
Подобные слагаемые — это слагаемые, которые представлены в буквенном выражении, и имеющие одинаковую заданную часть. Используя свойства сложения и умножения, можно упрощать уравнения, которые содержат подобные слагаемые.
Числовые коэффициенты для подобных слагаемых могут иметь одинаковое значение. В этом случае можно утверждать, что значения подобных слагаемых равные по отношению друг к другу. Числовые коэффициенты различаются друг от друга, в том случае, если в уравнении подобные слагаемые заданы разными значениями. Как правильно решать задачи данного типа, лучше всего рассмотреть на конкретных примерах.
Примеры
Пример 1.
Задано следующее выражение: [boldsymbol{3 cdot a+2 cdot a}]
Данная сумма представлена значениями, которым характерна одна и та же буквенная часть, равная a. Согласно
основному определению подобных слагаемых, два любых числа представленных в примере являются подобными.
Значения 2 и 3 соответственно будут являться числовыми коэффициентами.
Пример 2.
Рассмотрим следующий пример: [boldsymbol{5 cdot x cdot y^{3} cdot z+12 cdot x cdot y^{3} cdot
z+1}].
Подобными слагаемыми в приведенном примере будут выражения: [5 cdot x cdot y^{3} cdot z] и [12 cdot x
cdot y^{3} cdot z], так как они имеют одинаковую буквенную часть [x cdot y^{3} cdot z] и [12 x cdot
y^{3} cdot z]. Необходимо уделить внимание моменту, что в буквенной части выражения присутствует значение
степени [y^{3}]. Присутствие степени никоим образом не влияет на буквенное выражение, так как [y^{3}],
это упрощенное выражение произведения [y cdot y cdot y]. Значение числовых коэффициентов равных 1 и -1 в
случае подобных слагаемых зачастую не записываются, но их при решении задач подразумевают. Например:
заданное уравнение вида [3 cdot z^{5}+z^{5}-z^{5}] состоит из трех подобных слагаемых [3 cdot z^{5},
z^{5},-z^{5}].
Одинаковой буквенной частью будет являться значение [z^{5}]. Числовые коэффициенты: 1,-1,5.
Если значения слагаемых в буквенном выражении представлены без буквенной части, то они также будут являться
подобными.
Например, сумма двух выражений [5+7 cdot x-4+2 cdot x+y] представлена подобными слагаемыми, коих
насчитывается четыре. Два слагаемых 5 и -4 не имеют буквенной части.
Буквенная часть в любом выражении может быть представлена следующим образом:
- произведение букв: [a cdot b];
- буквенным выражением произвольного типа: [3 cdot sqrt{5 cdot a}-2 cdot sqrt{5 cdot a}+12 cdot
sqrt{5 cdot a}].
В приведенном примере общей частью подобных буквенных слагаемых будет выражение [sqrt{5 cdot a}].
Используя данную аналогию можно выделить подобные слагаемые в следующем примере, которое представлено как
разность двух выражений.
[4 cdotleft(x^{2}+x-frac{1}{x}right)-0.5 cdotleft(x^{2}+x-frac{1}{x}right)-1]. Слагаемые в примере
представлены с одинаковой буквенной частью [left(x^{2}+x-frac{1}{x}right)].
Приведение подобных слагаемых, правило
Чтобы преобразовать любое заданный пример, которой представлен подобными слагаемыми, необходимо найти сумму имеющихся значений. Для этого необходимо выполнить три основных этапа:
- выполнение перестановки слагаемых в уравнении, таким образом, чтобы подобные оказались рядом друг с другом;
- буквенная часть выносится за скобки;
- необходимо вычислить значение неизвестной, которое расположено в скобках.
Используя основной алгоритм решения данных задач, разберем несколько наглядных примеров.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Примеры решения задач
Примеры
Пример 1.
Дано выражение: [boldsymbol{3 cdot x cdot y+1+5 cdot x cdot y}]
Используя правила, выделим все подобные слагаемые, и переместить их таким образом, чтобы они находились
близко друг от друга. [3 cdot x cdot y+1+5 cdot x cdot y=3 cdot x cdot y+5 cdot x cdot y+1].
Затем нужно вынести за скобки имеющуюся часть, заданную буквами: [x cdot y cdot(3+5)+1].
Определяем значение уравнения, которое расположено в скобках: [x cdot y cdot(3+5)+1=x cdot y cdot
8+1;]
Записываем числовой коэффициент. Обычно его записывают перед частью примера, представленного буквенной
частью.
[x cdot y cdot 8+1=8 cdot x cdot y+1]
Чтобы преобразовать все три шага приведения подобных слагаемых, используется правило приведения. Согласно
которого, чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить все значения коэффициентов. После этого
полученное значение перемножить на буквенную часть, если такая имеет место.
Составим и запишем более короткий вариант решения примера, которое рассматривали выше [3 cdot x cdot y+1+5
cdot x cdot y]. Выделим значения коэффициентов подобных слагаемых [3 cdot x cdot y] и [5 cdot x
cdot y], это будут числовые значения равные 3 и 5. Следовательно, сумма коэффициентов равна восьми.
Определив сумму коэффициентов, можем выполнить следующее вычисление. Для этого перемножим значение 8 на
буквенную часть выражения и получим: [3 cdot x cdot y+1+5 cdot x cdot y=8 cdot x cdot y+1].
Пример 2.
Необходимо выполнить решение приведения подобных слагаемых следующего выражения: [boldsymbol{0.5 cdot
x+frac{1}{2}+3.5 cdot x-frac{1}{4}}].
Для этого необходимо использовать три главных этапа вычисления.
Первым действием выполним приведение подобных слагаемых [0,5 cdot x] и [3,5 cdot x]. Для этого
используем правило и вычисляем сумму их коэффициентов 0,5+3,5=4. Полученный результат нужно перемножить на
буквенную часть [4 cdot x].
Далее приведем подобные слагаемые, но уже не используя буквенную часть. Составим и запишем следующее
выражение: [frac{1}{2}+left(-frac{1}{4}right)=frac{1}{2}-frac{1}{4}=frac{1}{4}].
Определим разность обыкновенного дробного выражения, используя правило сложение чисел со значения, которые
имеют разные знаки.
После проведенных вычислений составим выражение:
[frac{1}{2}+left(-frac{1}{4}right)=frac{1}{2}-frac{1}{4}=frac{1}{4};]
Следовательно: [0,5 cdot x+frac{1}{2}+3.5 cdot x-frac{1}{4}=4 cdot x+frac{1}{4};]
Составим и запишем выражение краткого решения: [0.5 cdot x+frac{1}{2}+3.5 cdot x-frac{1}{4}=(0,5 cdot
x+3.5 cdot x)+left(frac{1}{2}-frac{1}{4}right)=4 cdot x+frac{1}{4}]
Ответ: [(0,5 cdot x+3.5 cdot x)+left(frac{1}{2}-frac{1}{4}right)=4 cdot x+frac{1}{4}.]
Подобные слагаемые
Рассмотрим распределительное свойство умножения:
(a+b)·c=ac+bc справедливо для любых а,b и с.
Замену выражения (a+b)·c выражением ac+bc, а также выражения
с·(a+b) выражением сa+сb называют раскрытием скобок.
Пример 1. Раскроем скобки в выражении -3·(а-2b).
Умножим -3 на каждое из слагаемых а и -2b.
Получим -3·(а-2b) = -3·a+(-3)·(-2b) = -3a+6b.
Пример 2. Упростим выражение 2m-7m+3m.
В данном выражении все слагаемые имеют общий множитель m. По распределительному свойству умножения 2m-7m+3m = m·(2-7+3).
В скобках записана сумма коэффициентов всех слагаемых. Она равна -2.
Поэтому 2m-7m+3m = m·(2-7+3) = -2m.
В выражении 2m-7m+3m все слагаемые имеют общую буквенную часть и отличаются друг от друга только коэффициентами. Такие слагаемые называют подобными.
Подобные слагаемые – это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть.
Слагаемые могут присутствовать лишь в тех выражениях, которые представляют собой сумму. Буквенная часть – это одна или произведение нескольких букв, которые представляют собой переменные. Слагаемые с буквенной частью – это произведение некоторого числа и буквенной части. Здесь некоторое число также носит название числового коэффициента.
Числовые коэффициенты подобных слагаемых могут быть равны, тогда мы говорим о том, что подобные слагаемые одинаковые. Если же числовые коэффициенты различаются, то подобные слагаемые будут разными.
Подобные слагаемые могут отличаться друг от друга только коэффициентами.
Возьмем для примера выражение 2⋅x⋅y+3⋅y⋅x и проверим, являются ли слагаемые 2⋅x⋅y и 3⋅y⋅x подобными. В задачах этот вопрос может иметь следующую формулировку: одинаково ли буквенное выражение части x⋅y и y⋅x указанных слагаемых? Буквенные множители в приведенном примере имеют различный порядок, что в свете данного выше определения не делает их подобными.
Однако, если использовать переместительное свойство умножения, то можно изменить порядок множителей, не влияя на результат умножения. Это позволяет нам переписать выражение: 2⋅x⋅y+3⋅y⋅x можно переписать в виде 2⋅x⋅y+3⋅x⋅y. Тогда слагаемые будут подобны.
Описанные три шага для экономии времени записывают в виде правила приведения подобных слагаемых. Согласно правилу:
Чтобы сложить (или говорят: привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.
Пример 3. Приведем подобные слагаемые в выражении 5а+а-2а.
В данной сумме все слагаемые подобны, так как у них одинаковая буквенная часть а. Сложим коэффициенты: 5+1-2 = 4. Значит, 5а+а-2а = 4а.
Под преобразованием выражений, которые содержат подобные слагаемые, подразумевается проведение сложения этих слагаемых. Проводится это действие обычно в три этапа:
- перестановка слагаемых таким образом, чтобы подобные слагаемые оказались рядом;
- вынесение за скобки буквенной части;
- вычисление значения числового выражения, которое осталось в скобках.
Пример 4. Преобразуем выражение 3⋅x⋅y+1+5⋅x⋅y.
Выделим подобные слагаемые и переставим их друг к другу:
3⋅x⋅y+1+5⋅x⋅y = 3⋅x⋅y+5⋅x⋅y+1
Теперь вынесем за скобки буквенную часть:
x⋅y⋅(3+5)+1
Нам осталось вычислить значение выражения, которое записано в скобках:
x⋅y⋅(3+5)+1= x⋅y⋅8+1
Обычно числовой коэффициент записывается перед буквенной частью:
x⋅y⋅8+1 = 8⋅x⋅y+1.
Описанные три шага для экономии времени записывают в виде правила приведения подобных слагаемых.
Запишем более короткий вариант решения выражения, рассмотренного выше. В выражении 3⋅x⋅y+1+5⋅x⋅yкоэффициентами подобных слагаемых 3⋅x⋅y и 5·x·yявляются числа 3 и 5. Сумма коэффициентов равна 8. Умножим ее на буквенную часть и получим: 3⋅x⋅y+1+5⋅x⋅y = 8⋅x⋅y+1.
Решим задачу. В мешок помещается 20 кг картофеля или 14 кг капусты. В столовую привезли картофеля на 3 мешка больше, чем капусты. Всего привезли 1,62 ц картофеля и капусты. Сколько привезли мешков картофеля и сколько капусты?
Количество мешков с капустой, которые привезли в столовую, обозначим х.
Значит, масса капусты 14х кг, масса картофеля 20(х+3) кг, и в сумме овощи имеют массу 1,62 ц = 162 кг. Составим и решим уравнение:
20(х+3)+14х = 162
20х+60+14х = 162
34х+60 = 162
34х = 162-60
34х = 102
х = 102:34 = 3 мешка капусты.
3+3 = 6 мешков картофеля.
Примеры:
-9х+7х-5х+2х = (-9+7-5+2)х = -5х
5а-6а+2а-10а = (5-6+2-10)а = -9а
-8х+5,2а+3х+5а = х(-8+3)+а(5,2+5) = -5х+10,2а
7·(2х-3)+4(3х-2) = 14х-21+12х-8 = х(14+12)+(-21-8) = 26х-29.
Сегодня на уроке мы узнаем, какие слагаемые
называют подобными, а также научимся приводить подобные слагаемые или, проще
говоря, упрощать выражения.
Для изучения нового материала нам понадобятся
понятие «коэффициента» и знание распределительного свойства умножения.
Вспомним их.
Коэффициентом называют числовой
множитель, который записан перед буквенным (одним или несколькими) множителем.
Распределительное свойство умножения
справедливо для любых чисел a,
b и c.
Оно позволяет, как раскрывать скобки, так и
выносить общий множитель за скобки.
Часто при работе с выражениями сначала их
обычно упрощают, т.е. преобразуют в более компактную и удобную для вычислений
форму.
Например
Найти значение выражения 5х + 2х – 3х + 7х при х = 3.
Конечно, можно просто подставить вместо х указанное
значение и посчитать сумму полученных произведений.
Но такой процесс вычислений займёт немало
времени. Вычисления значительно упростятся, если обратить внимание, на то, что
все слагаемые имеют один и тот же буквенный множитель х. И вот тут к нам на помощь приходит распределительное
свойство умножения. Мы знаем, что на основании распределительного
свойства можно выносить общий множитель за скобки. Вынесем в нашем
выражении общий буквенный множитель х за скобки.
Смотрите, как мы себе упростили вычисления.
Такие преобразования можно выполнять только в тех случаях, когда слагаемые
имеют одинаковую буквенную часть.
Такие слагаемые называют подобными,
а сами преобразования называют приведением подобных слагаемых.
Определение
Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть,
называют подобными слагаемыми.
Замену суммы подобных слагаемых одним
слагаемым называют приведением подобных слагаемых.
Подобные слагаемые могут отличаться только
коэффициентами. Кроме того, подобными считают и равные слагаемые, а также
числа.
Заметим, что слагаемые, у которых равны
коэффициенты, а буквенные множители различны, подобными не являются,
хотя и к ним иногда полезно применять распределительное свойство умножения.
Например
Ответим на вопрос: зачем же нужно
приводить подобные слагаемые?
Ответ на этот вопрос прост. Приводят
подобные слагаемые для того, чтобы сделать суммы более короткими, т.е. преобразовывают
их в суммы с меньшим числом слагаемых.
Посмотрите, в нашей начальной сумме было 4 слагаемых, а мы её преобразовали в выражение,
состоящее из двух множителей. С более короткими суммами легче выполнять
вычисления.
Запишем правило, по которому приводят
подобные слагаемые:
Для того чтобы привести подобные
слагаемые, надо:
1) сложить коэффициенты подобных
слагаемых;
2) результат умножить на общую буквенную
часть.
Задание
Упростите выражения.
Итоги
Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть,
называют подобными слагаемыми.
Замену суммы подобных слагаемых одним
слагаемым называют приведением подобных слагаемых.
Для того чтобы привести подобные слагаемые,
надо:
1) сложить коэффициенты подобных слагаемых;
2) результат умножить на общую буквенную
часть.