Как найти приведенную высоту - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе

Как и в любом треугольнике прямоугольный треугольник имеет три высоты. Две из них совпадают с катетами, а вот третья высота, проведенная к гипотенузе, постоянно будоражит наши умы.

Поэтому представляю вашему вниманию основные формулы для ее нахождения.

Начну с самой важной.

1. Высота, проведенная к гипотенузе равна корню квадратному из произведения проекций катетов на эту гипотенузу.

2. Высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти, разделив удвоенную площадь прямоугольного треугольника на гипотенузу.

Такая формула получается из классический формулы нахождения площади треугольника: половина произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.

3. Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу.

Эта формула получится из второй если заменить площадь на половину произведения катетов.

Т.к. АВ — гипотенуза, то ее можно выразить через катеты АС и ВС, используя теорему Пифагора. Тогда формула примет другой вид:

4. Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на диаметр описанной вокруг треугольника окружности (или на удвоенный радиус).

Так получается потому, что центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, значит, гипотенуза равна 2R или d.

5. Высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти, используя геометрические определения синуса, тангенса и котангенса.

Надеюсь, что данная статья оказалась полезной!)

Готовься к экзамену вместе с нами! Заходи на нашу страницу в ВК.

Источник

Определяем
приведенную высоту поверхности (длина
трубки) по формуле (11) /1, с.16/:

где
– средняя температура стенки со стороны
пара,.

После
подстановки численных параметров в
формулу (3.1) получим приведенную высоту
поверхности:

Режим
течения плёнки конденсата турбулентный,
поэтому ведем расчет по формуле (12) /1,
с.16/ с учетом того, что:

Определяем
средний по длине коэффициент теплопередачи
из формулы (13) /1, с.16/:

Определяем
при
число
Прандтля для конденсата со стороны
второго теплоносителя /1, с.32/:

Определяем
число Нуссельта по формуле (15) /1, с.16/ с
учетом того, что
,
то есть режим движения воды турбулентный:

Определяем
коэффициент теплоотдачи к воде /1, с.17/:

Определяем
коэффициент теплопередачи от пара к
воде по формуле (9) /1, с.15/:

Определяем
среднюю плотность теплового потока по
формуле (20) /1, с.18/:

Определяем
поверхность теплообмена по формуле
(22) /1, с.18/:

Число
трубок в одном ходе

Число
ходов
и всего трубок

Определяем
высоту трубок во втором приближении по
формуле (24) /1, с.18/:

Определяем
погрешность вычислений высоты трубок:

Определяем
температуру стенок трубок:

Определяем
заданную и вычисленную среднюю температуру
стенки по формуле (21) /1, с.18/:

Определяем
разницу заданного и получившегося
значений температур стенок:

Расчет
температуры стенки можно считать
законченным, полученное значение
величины
отличается от заданного не более чем
на,
таким образом, окончательно принимаеми.

Определяем
внутренний диаметр корпуса теплообменника
по формуле (25) /1, с.18/:

где
– шаг труб, мм;

– коэффициент заполнения трубной
решётки,

В
данном случае выбираем шаг труб
согласно /1, с.19/.

После
подстановки численных параметров в
формулу (3.2) получим внутренний диаметр
корпуса теплообменника:

Определяем
диаметр парового патрубка по формуле
(26) /1, с.19/:

где
– плотность первичного теплоносителя,

Определяем
при
плотность первичного теплоносителя
/1, с.33/:

После
подстановки численных параметров в
формулу (3.3) получим диаметр парового
патрубка:

Определяем
диаметр водяного патрубка по формуле
(27) /1, с.19/:

Полученные
значения диаметров патрубков округляем
до ближайших стандартных размеров
согласно ГОСТ 10704-91 /2, с.6,10/:

4. Гидродинамический расчет

Гидравлическое
сопротивление пароводяных подогревателей
по межтрубному пространству при
конденсации пара на пучке вертикальных
или горизонтальных трубок, как правило,
не определяется. Величина такого
сопротивления
при нормальной эксплуатации теплообменных
аппаратов, работающих с небольшими
скоростями греющего пара – до 10 м/с в
межтрубном пространстве, очень мала
/1, с.26/.

Определяем
общее сопротивление для вторичного
теплоносителя (вода) по формуле (38) /1,
с.26/:

где
– сопротивление трения, Па;

– местные сопротивления, Па.

Определяем
сопротивление трения по формуле (39) /1,
с.26/:

где
– коэффициент сопротивления трения.

Определяем
коэффициент сопротивления трения по
формуле (40) /1, с.27/:

После
подстановки численных параметров в
формулу (4.2) получим сопротивление
трения:

Определяем
местные сопротивления по формуле (41)
/1, с.27/:

где
– коэффициент местных сопротивлений.

Определяем
коэффициент местных сопротивлений по
формуле (42) /1, с.27/:

где
– коэффициент местных сопротивлений
при ударе и повороте потока во входной
и выходной камерах;

– коэффициент местных сопротивлений
при входе воды из камер в трубки и выходе
из трубок в камеры;

– коэффициент местных сопротивлений
при повороте воды нав камерах.

Определяем
коэффициент местных сопротивлений при
ударе и повороте потока во входной и
выходной камерах /1, с.36/:

Определяем
коэффициент местных сопротивлений при
входе воды из камер в трубки и выходе
из трубок в камеры /1, с.36/:

Определяем
коэффициент местных сопротивлений при
повороте воды на
в камерах /1, с.36/:

После
подстановки численных параметров в
формулу (4.4) получимкоэффициент
местных сопротивлений:

После
подстановки численных параметров в
формулу (4.3) получим местные сопротивления:

После
подстановки численных параметров в
формулу (4.1) получимобщее
сопротивление для вторичного теплоносителя
(вода):

Определяем
мощность, необходимую для перемещения
теплоносителя, по формуле (37) /1, с.21/:

где
– к.п.д. устройства (насоса) для перемещения
теплоносителя.

Определяем
к.п.д. устройства (насоса) для перемещения
теплоносителя /1, с.21/:

После
подстановки численных параметров в
формулу (4.5) получиммощность,
необходимую для перемещения теплоносителя:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Нахождение высоты треугольника
- Высота в разностороннем треугольнике
- Высота в равнобедренном треугольнике
- Высота в прямоугольном треугольнике
- Высота в равностороннем треугольнике
Примеры задач

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Источник

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, может быть найдена тем или иным способом в зависимости от данных в условии задачи.

Длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, может быть найдена по формуле

или, в другой записи,

$[A{K^2} = BK cdot KC,]$

где BK и KC — проекции катетов на гипотенузу (отрезки, на которые высота делит гипотенузу).

Высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти через площадь прямоугольного треугольника. Если применить формулу для нахождения площади треугольника

$[S = frac{1}{2}a cdot {h_a}]$

(половина произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне) к гипотенузе и высоте, проведенной к гипотенузе, получим:

$[{S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}BC cdot AK.]$

Отсюда можем найти высоту как отношение удвоенной площади треугольника к длине гипотенузы:

$[AK = frac{{2{S_{Delta ABC}}}}{{BC}}.]$

Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$[{S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}AB cdot AC,]$

$[AK = frac{{2 cdot frac{1}{2}AB cdot AC}}{{BC}} = frac{{AB cdot AC}}{{BC}}.]$

То есть длина высоты, проведенной к гипотенузе, равна отношению произведения катетов к гипотенузе. Если обозначить длины катетов через a и b, длину гипотенузы — через с, формулу можно переписать в виде

$[{h_c} = frac{{ab}}{c}.]$

Так как радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, длину высоты можно выразить через катеты и радиус описанной окружности:

$[{h_c} = frac{{ab}}{{2R}}.]$

Поскольку проведенная к гипотенузе высота образует еще два прямоугольных треугольника, ее длину можно найти через соотношения в прямоугольном треугольнике.

Из прямоугольного треугольника ABK

Из прямоугольного треугольника ACK

Длину высоты прямоугольного треугольника можно выразить через длины катетов. Так как

$[{h_c} = frac{{ab}}{c},]$

по теореме Пифагора

$[{c^2} = {a^2} + {b^2}]$

$[{h_c} = frac{{ab}}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.]$

Если возвести в квадрат обе части равенства:

$[{h_c}^2 = frac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}},]$

можно получить еще одну формулу для связи высоты прямоугольного треугольника с катетами:

$[frac{1}{{{h_c}^2}} = frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}{b^2}}} = frac{{{a^2}}}{{{a^2}{b^2}}} + frac{{{b^2}}}{{{a^2}{b^2}}} = frac{1}{{{a^2}}} + frac{1}{{{b^2}}}.]$

Источник

Здесь рассмотрены все возможные способы нахождения высоты треугольников разных типов. Высота
треугольника – отрезок, проведенный из вершины треугольника перпендикулярно к противоположной
стороне. В задачах нахождение высоты часто является промежуточным звеном для поиска других значений.
Она и является катетом в треугольнике, который сама же образует, и участвует во многих формулах,
например, для нахождения площади.

Высота разностороннего треугольника через площадь и длину
стороны
Высота разностороннего треугольника через длины всех
сторон
Высота разностороннего треугольника через длину прилежащей
стороны и синус угла
Высота разностороннего треугольника через стороны и радиус
описанной окружности
Высота равнобедренного треугольника через основание и
боковые стороны
Высота прямоугольного треугольника через длины отрезков,
образованных на гипотенузе
Высота прямоугольного треугольника через все стороны
треугольника
Высота равностороннего треугольника через сторону
треугольника

Через площадь и длину стороны разностороннего треугольника

Через площадь и длину высота находится по формуле:

h = 2S / a

где S – площадь треугольника, а – сторона треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Согласно этой формуле высота равна удвоенной площади, деленной на длину стороны, к которой она
проведена.

Пример. Найдите высоту разностороннего треугольника, проведенную к стороне а,
площадь которого равна 27 см, а длина стороны а составляет одну треть от площади. Решение: Найдем
сторону а. Так как известно, что она составляет треть от площади, а = 27 / 3 = 9 см.
Теперь воспользуемся формулой для нахождения высоты: h = 2S / a. Подставим
известные значения. h = 2 * 27 / 9 = 6 см. Ответ: 6 см

Через длины всех сторон разностороннего треугольника

Через длины всех сторон высота разностороннего треугольника ищется по формуле:

h = (2 √(p (p-a)(p-b)(p-c))) / 2
p = (a + b + c) / 2

где h – высота, а, b, c – стороны треугольника, p – полупериметр треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Полупериметр треугольника можно найти либо в два этапа через периметр, либо сразу по формуле. Этим
способом удобно пользоваться, когда треугольник разносторонний.

Пример. Периметр разностороннего треугольника равен 18 см. Длины сторон 6 см и 8 см. Найдите
высоту, проведенную к стороне а. Решение: P = a + b + c, значит с = P – a – b , то есть c = 18 – 8 – 6 = 4 см. Для
нахождения h будем использовать формулу h = (2 √(p (p-a)(p-b)(p-c))) / 2.
Сначала найдем полупериметр (p): p = p / 2 = 18 / 2 = 9 см. Подставим,
найденные значения в формулу высоты: h = (2 √(9 (9 — 6)(9 — 8)(9 — 4))) / 2 = √135 / 3 = 2,12 см

Через длину прилежащей стороны и синус угла разностороннего треугольника

Через длину прилежащей стороны и синус угла высота ищется по следующей формуле:

h = a * sin α

где а – длина стороны, sin α – синус прилежащей стороны.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В разностороннем треугольнике высота проведена к стороне AB. Угол ACH равен
30˚, а длина стороны AB 12 см. Найдите длину высоты CH в треугольнике ABC. По теореме о сумме углов
в треугольнике найдем угол САН. ∠САН = 180 – (∠АСН + ∠АНС). ∠САН = 180 – 90 – 30 = 60˚ sin 60º = 1/2. СН = AB * sin ∠САН, СН = 12 * 1/2 = 6 см. Ответ:
6 см

Через стороны и радиус описанной окружности разностороннего треугольника

Через стороны и радиус описанной окружности высоту можно найти по следующей формуле:

h = bc / 2R

где r – радиус описанной около треугольника окружности, b,c – стороны треугольника

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Вокруг разностороннего треугольника описана окружность с радиусом 3 см. Из
вершины между сторонами b и с проведена высота. Стороны b и с соответственно равны 5 см и 6 см.
Найдите высоту. Решение: Найдем высоту, используя формулу h = 5 * 6 / 2 * 3 = 30 / 6 = 5 см. Ответ:
5 см.

Через длины отрезков прямоугольного треугольника, образованных на гипотенузе

Через длины отрезков образованных на гипотенузе высоту можно найти по следующей формуле:

h = √(C1 * C2)

где: C1, C2 — отрезки, образованные проведением высоты к гипотенузе.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В прямоугольном треугольнике катеты равны 4 см и 3 см. Угол BAH равен 30˚.
Найдите высоту. По теореме Пифагора найдём сторону BC, которая является гипотенузой в треугольнике
ABC. BC² = AB² = AC², BC² = 4² + 3² = 16+9 = 25 см², BC = √25 = 5 см. Угол
АНВ равен 90˚, так как АН является высотой, то есть, проведена перпендикулярно к стороне ВС.
Следовательно, треугольник АНВ – прямоугольный. Сторона ВН лежит напротив угла 30˚ в прямоугольном
треугольнике, значит, ее длина равна половине длины гипотенузы. Найдем ВН. BH = 1/2 AB. BH = 1/2 × 4 = 2 см. BC = BH + HC,
значит, HC = BC – BH, HC = 5 – 2 = 3 см. По формуле найдем высоту
(АН). АН = √(2 * 3) = √6 = 2,4 см. Ответ: 2,4 см.

Через основание и боковые стороны равнобедренного треугольника

Через основание и боковые стороны высота равнобедренного треугольника находится по формуле:

h = √(b² — a²/4)

где а – основание треугольника, b – боковая сторона. Для равнобедренного треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В равнобедренном треугольнике АВС боковая сторона равна 8 см. Из вершины В к
основанию АС проведена высота ВН. Отрезок АН равен 5 см. Найдите высоту. Решение: Так как по условию
треугольник АВС равнобедренный по условию, то АВ = ВС = 8 см высота ВН,
является и медианой, и биссектрисой. Значит, АН = НС, а АС = НС + АН, АС = 5 + 5 = 10 см. По
формуле найдем высоту ВН = √(АВ² — АС² / 4). ВН = √(8² — 10² / 4) = √(64 — 100 / 4) = √39 = 6 см.
Ответ: 6 см.

Высота прямоугольного треугольника через все стороны треугольника

Если известны все стороны прямоугольного треугольника, то можно найти его высоту по следующей
формуле:

h = ab / c

где a,b,c – стороны треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В прямоугольном треугольнике угол между катетом и гипотенузой равен 45˚.
Длина стороны АС равна 6 см. Найти высоту АН. Решение: По теореме о сумме углов в треугольнике
найдем угол АСВ. ∠АСВ = 180˚ – (45˚ + 90˚) = 45˚. Так как АСВ = АСВ, то
треугольник АВС равнобедренный с основанием ВС. Таким образом, АС = АВ = 6 см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС. BC² = AB² + AC². BC² = 6² + 6² = 36 +36 = 72 см². ВС = √72 = 6√2 см. Найдем
высоту по формуле AH = AB * AC / BC. АН = 6 * 6 / 6√2= см. Домножим
полученное значение на √2: (6 * √2) / √2 * √2 = 6√2 / 2 = 3√2 см. Ответ:
3√2 см

Через сторону равностороннего треугольника

Высота равностороннего треугольника через сторону треугольника ищется по следующей формуле:

h = a√3 / 2

где a – сторона треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример: Найдите высоту в равностороннем треугольнике, если известно, что его сторона
равна 4√3 см. Решение: Для нахождения высоты воспользуемся формулой h = a√3 / 2 = √3 * 4 √3 / 2 = 4 * 3 / 2 = 6 см. Ответ:
6 см

В зависимости от типа треугольника высота может располагаться по-разному:

Например, в треугольнике KGM высота GH, проведённая из вершины G к стороне находится внутри
треугольника, так как треугольник является остроугольным. Кроме того, треугольник в данном
примере равнобедренный, значит, она же является биссектрисой и медианой. Знание этого пригодится
при решении задач, например таким образом можно будет найти основание.
В тупоугольном треугольнике высота будет выходить за его пределы и для того чтобы её провести
понадобится сначала продлить сторону. Например, на рисунке сторона ВС продлена до НС.
В случае, когда треугольник имеет прямой угол – высота совпадёт с одним из катетов, либо будет
внутри треугольника (как в первом рассмотренном варианте) и проведена к гипотенузе.

Источник