Как найти признаки делимости на 11

Существует и другие признаки делимости кроме перечисленных,
но они на порядок сложнее. Для тех, кому интересно,
приводим пример признака делимости на 11.

Признак делимости на 11

В самом деле признак делимости на 11 очень интересен, попробуем разобраться на примере:

• Проверим, делится ли 671 на 11.
  

Итак, цифры которые стоят на нечетных местах — это 6 (стоит на первом месте) и 1
(стоит на третьем месте). Цифра, которая стоит на четном месте,
это 7 (стоит на втором месте).
6 + 1 = 7.
Сумма цифр стоящих на нечетном месте равна сумме цифр на четном месте, значит
671 делится на
11.

• Проверим делится ли 3905 на
  11 .

Цифры которые стоят на нечетных местах — это
3 (стоит на первом месте) и
0 (стоит на третьем месте).
Цифры, которые стоят на четном месте это
9 (стоит на втором месте) и
5 (стоит на четвертом месте).

3 + 0 ≠ 9 + 5
3 ≠ 14

Сумма цифр, стоящих на нечетном месте, не равна сумме цифр на четном месте, но
суммы цифр отличаются ровно на 11, т.к.
14 − 3 = 11. Значит
3905 делится на
11.

Уточнение для признака делимости на
11

На самом деле, правило, описанное выше — это упрощенная версия полного признака делимости на 11.
В большинстве случаев при решении задач школьного курса математики его достаточно.

Но если быть точным, признак делимости звучит следующим образом.

Разберемся на примере.

• Проверим, делится ли число
  90 904 на
  11 без остатка.

1. Вычислим сумму цифр на нечетных местах:

   9 + 9 + 4 = 22

2. Сумма цифр на четных местах:

   0 + 0 = 0

3. Вычислим разницу между суммами цифр, которые стоят на нечетных и четных местах.

   22 − 0 = 22

4. Проверим, делится ли число 22 на 11 без остатка.

   22 : 11 = 2

5. Значит число 90 904 делится на 11 без остатка.

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

Признак делимости на (11)

Число делится на (11), если разность всех цифр в нечетных местах и цифр в четных местах, делится на (11).

1. ((9+0+4+2)-(3+7+5)=15-15=0-)  делится на 11.
2. ((8+6+6+3)-(4+5+1+1)=23-11=12-) не делится на 11

Признак делимости на (12)

Число делится на 12, если оно кратно (3) и (4.)

1.   Сумма цифр ​(9012) ​делится на (3:)  (9+0+1+2=frac{12}{3}=4) и последние две цифры делятся на (4:frac{12}{4}=3).
2.   (23988)  сумма цифр делится на (3:2+3+9+8+8=frac{30}{3}=10) и последние две цифры делятся на (4:frac{88}{4}=22.). Вывод: числа (9012) и (23988)делятся на 12.

Признак делимости на ​(13)​
 

Число делится на (13), если число его десятков умножить на (4) и сложить с оставшимися цифрами, кратно (13).

1. (84+(4*5)=104 -)делится на (13).
2. (67+(4*6)=67+24=91-) делится на 13.

Ответ: числа (845,676) делятся на 13.

Признак делимости на (14)

Число делится на (14) тогда и только тогда, когда оно делится на (2) и на (7).

Рассмотрим число (994:) запись числа заканчивается чётной цифрой, следовательно признак делимости на (2) выполнен.

Проверяем делимость на (7:) (99-2*4=99-8=91.)

Повторяем действия:  (9-2*1=7-) делится на (7). (994) делится (14).

Число делится на (15), если оно делится на (3) и на (5).

Рассмотрим число (6375.) Число (6375) делится на (3) так как  сумма его цифр  кратна (3). Также данное число делится на (5), потому что на последнем месте стоит пятерка. Число (6375) делится на (15).

Признак делимости на (17)

Решение.

(2905+36=2941)→(294+12=306)→(30+72=102)→(10+24=34).

(29053) делится на (17).

Пример: (28842-288+(3*42)=414).Повторяем действия: (4+(3*14)=46), (46) делится на (23), значит и (28842) кратно (23).

Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.
 

В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.

Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.

Примеры:

• 4, 32, 50, 112, 2174 – последние цифры этих чисел четные, значит они делятся на 2.
• 5, 11, 37, 53, 123, 1071 – не делятся на 2, т.к. их последние цифры являются нечетными.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.

Примеры:

• 18 – делится на 3, т.к. 1+8=9, а число 9 делится на 3 (9:3=3).
• 132 – делится на 3, т.к. 1+3+2=6, а 6:3=2.
• 614 – не кратно 3, т.к. 6+1+4=11, а 11 не делится без остатка на 3 (11:3=3²/₃).

Признак делимости на 4

Двузначное число

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.

Примеры:

• 64 – делится на 4, т.к. 6⋅2+4=16, а 16:4=4.
• 35 – не делится на 4, т.к. 3⋅2+5=11, а 11:4=2³/₄.

Число разрядов больше 2

Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.

Примеры:

• 344 – делится на 4, т.к. 44 кратно 4 (по алгоритму выше: 4⋅2+4=12, 12:4=3).
• 5219 – не кратно 4, т.к. 19 не делится нацело на 4.

Примечание:

Число делится на 4 без остатка, если:

• в его последнем разряде стоят цифры 0, 4 или 8, а предпоследний разряд при этом является четным;
• в последнем разряде – 2 или 6, а в предпоследнем – нечетные цифры.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.

Примеры:

• 10, 65, 125, 300, 3480 – делятся на 5, т.к. оканчиваются на 0 или 5.
• 13, 67, 108, 649, 16793 – не делятся на 5, т.к. их последние цифры – не 0 или 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).

Примеры:

• 486 – делится на 6, т.к. делится на 2 (последняя цифра 6 – четная) и на 3 (4+8+6=18, 18:3=6).
• 712 – не делится на 6, т.к. оно кратно только 2.
• 1345 – не делится на 6, т.к. не является кратным ни 2, ни 3.

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.

Примеры:

• 91 – делится на 7, т.к. 9⋅3+1=28, а 28:7=4.
• 105 – делится на 7, т.к. 10⋅3+5=35, а 35:7=5 (в числе 105 – десять десятков).
• 812 – делится на 7. Здесь следующая цепочка: 81⋅3+2=245, 24⋅3+5=77, 7⋅3+7=28, а 28:7=4.
• 302 – не делится на 7, т.к. 30⋅3+2=92, 9⋅3+2=29, а число 29 на 7 не делится.

Признак делимости на 8

Трехзначное число

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.

Примеры:

• 264 – делится 8, т.к. 2⋅4+6⋅2+4=24, а 24:8=3.
• 716 – не делится 8, т.к. 7⋅4+1⋅2+6=36, а 36:8=4¹/₂.

Число разрядов больше 3

Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.

Примеры:

• 2336 – делится на 8, т.к. 336 кратно 8.
• 12547 – не кратно 8, т.к. 547 не делится без остатка на восемь.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.

Примеры:

• 324 – делится на 9, т.к. 3+2+4=9, а 9:9=1.
• 921 – не делится на 9, т.к. 9+2+1=12, а 12:9=1¹/₃.

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Примеры:

• 10, 110, 1500, 12760 – кратные 10 числа, последняя цифра – 0.
• 53, 117, 1254, 2763 – не делятся на 10.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.

Примеры:

• 737 – делится на 11, т.к. |(7+7)-3|=11, 11:11=1.
• 1364 – делится на 11, т.к. |(1+6)-(3+4)|=0.
• 24587 – не делится на 11, т.к |(2+5+7)-(4+8)|=2, а 2 не делится на 11.