Как найти признаки разбиения

Ваш вопрос — наш ответ

I. Актуализация знаний

1) На доске записи:

3 + 5     6 – 2     1 + 6    4 – 1

Учитель: Как назвать записи на доске?

Ученик: Математические выражения.

Учитель: Найти значения выражений и составить математические предложения.

Ученик: Сумма трех и пяти равна восьми.

Учитель выставляет под выражением карточку с числом 8.

Ученик: Разность шести и двух равна четырем.

Учитель выставляет под выражением карточку с числом 4.

Появляются карточки 8, 4, 7, 3.

Учитель сдвигает карточки и предлагает продолжить ряд чисел.

Ученик: 6, 2, 5, 1, 4, 0.

На доске числа 8, 4, 7, 3, 6, 2, 5, 1, 4, 0.

Учитель: Придумать выражения с числами 6, 2, 0.

Учитель: Какие числа остались?

Ученик: 5, 1, 4.

Учитель предлагает составить с этими числами задачу.

Ученики придумывают задачи, «одевают» схемы, обосновывают выбор арифметического действия и решают их устно.

2) Работа с геометрическими фигурами.

Игра «Угадай признаки разбиения фигур».

Учитель показывает равенства, дети читают их и называют признаки разбиения.

2 + 5 = 7 – по форме

4 + 3 = 7 – по цвету

1 + 6 = 7 – по размеру.

Учитель: Разложите фигуры в мешки по форме

У детей на карточках аналогичный рисунок. Возможна работа в группах.

Учитель просит придумать задание для ребят.

Ученик: Сравнить число треугольников с числом кружков.

Один ученик выполняет задание у доски, остальные – на карточках: определяет количество фигур в каждом мешке, устанавливают взаимно однозначное соответствие между фигурами в большем по численности мешке, выделяют часть фигур, вошедших в пару.

Учитель: Какие выводы можно сделать?

Ученик: Две меньше пяти

И другие: Пять больше двух, пять больше двух на три, две меньше пяти на три.

II. Постановка учебной задачи.

Учитель предлагает выполнить аналогичное задание по другой иллюстрации, где в каждом мешке фигур очень много.

Проблема: Задание выполнить сложно, нужен новый способ сравнения.

III. Решение учебной задачи.

1) Учитель предлагает вернуться к первой иллюстрации, где предметов немного.

Учитель: Что можно сказать об оставшихся без пары фигурах?

Ученик: Их три. Они составляют часть.

Учитель: Загляните во второй мешок и составьте равенство, которое показывает, как найти эту часть.

Ученик: 5 – 2 = 3.

Учитель: Что показывает 5?

Ученик: Число кружков.

Учитель: Что показывает 2?

Ученик: Число треугольников.

Учитель: Что показывает 3?

Ученик: Это разность (разница) чисел 5 и 2. 3 показывает, на сколько 5 больше 2.

Учитель: По какому правилу определяем, на сколько 5 больше 2?

Ученик: Из большего числа 5 вычитаем меньшее число 2.

2) Сравнение чисел с помощью полосок.

У каждого ребенка на столе по 2 полоски разной длины.

Учитель: Возьмите красную полоску. Какое число она может обозначать?

Ученик: Большее число.

Учитель: Почему?

Ученик: Она длиннее.

Учитель: Что обозначает зеленая полоска?

Ученик: Она будет обозначать меньшее число.

Учитель просит на красной полоске поставить букву «Б», а на зеленой – «М».

Учитель: Как сравнить полоски?

Ученик: Наложить одну полоску на другую.

Учитель: Отметьте на большей полоске часть, равную меньшей. Как называется вторая часть?

Ученик: Разность (разница).

Появляется схема.

Учитель: Как найти разность?

Ученик: Б – М = Р

Учитель: Какие еще равенства можно составить?

Ученик: М + Р = Б, Б – Р = М.

На доске появляются карточки.

Дети проговаривают правила: чтобы узнать, насколько одно число больше или меньше другого, надо из большего числа вычесть меньшее.

3) Составление и решение обратных задач на сравнение по иллюстрации: красных шаров 6, синих – 4. На сколько красных шаров больше, чем синих?

IV. Подведение итогов.

Какой новый способ сравнения чисел узнали? Рассказать или повторить правило.

Привет, Вы узнаете про разбиение числа, Разберем основные ее виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое
разбиение числа, разбиением числа, диаграммы юнга, диаграмма юнга, пентагональная теорема , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика..

разбиение числа — это представление в виде суммы положительных целых чисел, называемых частями. При этом порядок следования частей не учитывается (в отличие от композиций), то есть разбиения, отличающиеся только порядком частей, считаются равными. В канонической записи разбиения части перечисляются в невозрастающем порядке.

Число разбиений натурального числа является одним из фундаментальных объектов изучения в теории чисел.

Примеры

Например, {3, 1, 1} или {3, 2} — разбиения числа 5, поскольку 5 = 3 + 1 + 1 = 3 + 2. Всего существует разбиений числа 5:

{1, 1, 1, 1, 1},

{2, 1, 1, 1},

{2, 2, 1},

{3, 1, 1},

{3, 2},

{4, 1},

{5}.

Некоторые значения числа разбиений приведены в следующей таблице :

Число разбиений

Производящая функция

Последовательность числа разбиений имеет следующую производящую функцию:

Эта формула была открыта Эйлером в 1740 году.

пентагональная теорема Эйлера

Изучая производящую функцию последовательности , Эйлер сосредоточил внимание на ее знаменателе, то есть, на произведении . Это бесконечное произведение при раскрытии скобок приобретает следующий вид:

Показатели степеней в правой части — числа вида где — целое число, а знак при } равен . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Для натуральных : — это пятиугольные числа.[2]

Согласно этому наблюдению, Эйлер предположил, что должна быть верна Пентагональная теорема:

.

Впоследствии эта теорема была доказана Эйлером. Она позволяет вычислять числа разбиений при помощи деления формальных степенны́х рядов.

Асимптотические формулы

Асимптотическое выражение для количества разбиений было получено Харди и Рамануджаном в 1918 году и независимо от них российским математиком Успенским в 1920 году

при

Это выражение дает, например, .

Впоследствии Харди и Рамануджан нашли более точное выражение в виде суммы, и, наконец, Радемахер нашел для асимптотического представления числа разбиений сходящийся ряд.

где

Здесь суммирование ведется по , взаимно простым с , а — сумма Дедекинда. Ряд сходится очень быстро.

Рекуррентные формулы

Количество разбиений числа на слагаемые, не превышающие , удовлетворяет рекуррентной формуле:

с начальными значениями:

для всех

При этом количество всевозможных разбиений числа равно .

диаграммы юнга

диаграмма юнга разбиения 10 = 5 + 4 + 1.

Разбиения удобно представлять в виде наглядных геометрических объектов, называемых диаграммами Юнга, в честь английского математика Альфреда Юнга[en]. Диаграмма Юнга разбиения — подмножество первого квадранта плоскости, разбитое на ячейки, каждая из которых представляет собой единичный квадрат. Ячейки размещаются в строки, первая строка имеет длину , над ней расположена строка длиной , и т. д. до -й строки длины . Строки выровнены по левому краю.

Более формально, диаграмма Юнга — это замыкание множества точек таких, что

и

где обозначает целую часть .

В англоязычной литературе диаграммы Юнга часто изображают отраженными относительно оси абсцисс.

Схожий объект, называемый диаграммой Феррерса, отличается тем, что

• вместо ячеек изображаются точки;
• диаграмма транспонируется: ряды и столбцы меняются местами.

Применение

Разбиения естественным образом возникают в ряде математических задач. Наиболее значимой из них является теория представлений симметрической группы, где разбиения естественно параметризуют все неприводимые представления. Суммы по всем разбиениям часто встречаются в математическом анализе.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Композиция
• Биномиальный коэффициент
• Теорема Хаусдорфа

В общем, мой друг ты одолел чтение этой статьи об разбиение числа. Работы в переди у тебя будет много. Смело пишикоментарии, развивайся и счастье окажется в ваших руках.
Надеюсь, что теперь ты понял что такое разбиение числа, разбиением числа, диаграммы юнга, диаграмма юнга, пентагональная теорема
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.

Из статьи мы узнали кратко, но емко про разбиение числа