Задачи с процентами часто попадаются в экзаменационных заданиях. Многих они сбивают с толку – как разобраться с условием и как это решить? И совершенно зря, потому что с задачами на проценты каждый часто встречается в обычной жизни.
Пока такие задачки остаются оторванными от реальности строчками в учебнике, их бывает сложно понять и тем более решить. Чтобы стало понятнее, мы вам сейчас покажем примеры из обычной жизни, где вам могут встретиться проценты. А еще просто и доступно объясним, как решать задачи на проценты. И все у вас станет на свои места.
Задачи про проценты вокруг нас
Давайте оглядимся по сторонам: значения в процентах указаны на упаковках с любыми продуктами. Значок процента «%» смотрит на нас с рекламных плакатов скидок и распродаж. В новостях проценты сразу бросаются в глаза, когда речь идет о повышении цен на товары или коммунальные услуги. Разве вы сможете расшифровать все эти послания, если не научитесь решать задачи с процентами? Но вы, конечно, научитесь – мы в вас верим.
А вот такая ситуация: вы купили что-нибудь через интернет и получили извещение от ближайшего почтового отделения. Или сами собираетесь послать подарок другу в другой город. Вам обязательно надо уметь разбираться с процентами, чтобы узнать, сколько денег почта захочет получить за свои услуги по пересылке.
Или возьмем банковские кредиты и ипотеку. Банки в договорах всегда пишут мелкими буквами всякие вещи, которые полезно понимать. Например, какой процент по кредиту придется заплатить банку кроме тех денег, которые вы у него «одолжили» и обязаны вернуть.
А самый близкий школьникам пример связан с ЕГЭ. Каждый год после экзаменов публикуют официальную статистику. В которой немало задействованы и проценты. И эти проценты имеют прямое отношение к будущим выпускникам. Например, процент ребят, сдавших экзамен по математике на «хорошо» и «отлично» косвенно говорит о том, сколько абитуриентов с высокими баллами могли подать документы в вузы на технические специальности. А еще на программирование, прикладную математику и т.п. Чем их больше, тем выше конкурс. Если сравнивать их результаты со своими оценками, можно прикинуть собственные шансы на поступление.
Что такое процент?
Самое очевидное определение: процент – это десятичная дробь. В жизни редко что-то можно сравнивать целиком, чаще приходится сравнивать разные части чего-то целого. Поэтому мы используем такие понятия, как половина (1/2), треть (1/3), четверть (1/4). Ну да, все так привыкли к слову «четверть» в школе, что забывают о его формальном значении – «четвертая часть учебного года». Сравнивать сотые доли удобнее всего – так появился процент (1/100): pro centum – «за сто» на латыни.
Все задачи по математике на проценты вертятся вокруг сравнения частей одного целого, определения, какую долю составляет часть от целого, нахождения целого исходя из величины его части и т.п.
Проценты можно записать со знакомым всем значком процента: 1%. Можно представить в виде десятичной дроби (или натурального числа). Для этого нужно разделить на 100: 0,01. Можно наоборот: выразить число в процентах. Тогда его следует умножить на 100%.
Типы задач на проценты
Раз мы уже договорились, что задачи на проценты – это задачи на дроби, такой тактики будем придерживаться и дальше.
Тип 1: Находим процент (дробь) от числа.
- Задача. За месяц на предприятии изготовили 500 приборов. 20% изготовленных приборов не смогли пройти контроль качества. Сколько приборов не прошло контроль качества?
- Решение. Нужно найти 20% от общего количества изготовленных приборов (500). 20% = 0,2. 500 * 0,2 = 100. 100 из общего количества изготовленных приборов контроль не прошло.
Тип 2: Находим число по его проценту (дроби).
- Задача. Готовясь к экзамену, школьник решил 38 задач из пособия для самоподготовки. Что составляет 23% числа всех задач в пособии. Сколько всего задач собрано в этом пособии для самоподготовки?
- Решение. Мы не знаем, сколько всего задача в пособии. Но зато нам известно, что 38 задач составляют 25% от общего их количества. Запишем 23% в виде дроби: 0,23. Далее нам следует известную нам часть целого разделить на ту долю, которую она составляет от всего целого: 38/0,25 = 38 * 100/25 = 152. Именно 152 задачи включили в этот сборник.
Тип 3: Находим процентное отношение двух чисел (часть от целого числа).
- Задача. В классе 30 учеников. 14 из них – девочки. Сколько процентов девочек в классе?
- Решение. Чтобы узнать, какой процент составляет одно число от другого, нужно то число, которое требуется найти, разделить на общее количество и умножить на 100%. Значит, 14/30*100% = 7/15*100% = 7*100%/15 = 47%.
Тип 4: Увеличиваем число на процент.
- Задача. На прошлогоднем экзамене по математике 140 старшеклассников получили пятерки. В этом году число отличников выросло на 15%. Сколько человек получили пятерки за экзамен по математике в этом году?
- Решение. Если некое число а увеличено на х%, то оно увеличилось в (1 + х /100) раз. Откуда а * (1 + х /100). Подставим в эту формулу данные нам по условию задачи цифры и получим ответ: 140 * (1 + 15/100) = 161.
Тип 5: Уменьшаем число на процент.
- Задача. Год назад школу закончили 100 ребят. А в это году выпускников на 25 меньше. Сколько выпускников в этом году?
- Решение. Если число а уменьшено на х% и при этом 0 ≤ х ≤ 100, то число уменьшено в (1 – х/100) раз. И нужное нам число находим по формуле а * (1 – х/100). Подставляем цифры из условия задачи и получаем ответ: 100 * (1 – 25/100) = 75.
Тип 6: Задачи на простые проценты.
- Задача. Родители взяли в банке кредит 5000 рублей сроком на год под 15% ежемесячно. Сколько денег они заплатят банку через год?
- Решение. Простые проценты называются так, потому что они начисляются многократно, но всякий раз к исходной сумме. Если обозначить исходную сумму как а, сумму, которая наращивается, как S, процентную ставку как х% и количество периодов начисления процента как у, то формулу можно записать так: S = а * (1 + у * х/100). Теперь подставим сюда цифры из условия задачи и узнаем, сколько денег родители заплатят банку: S = 5000 * (1 + 12 * 15/100) = 14000.
Тип 7: Задачи на сложные проценты.
- Задача. На этот раз сумма кредита 25000 рублей, взятых под те же 15% сроком на 3 месяца. Снова надо узнать, сколько денег придется заплатить банку по истечении срока кредита.
- Решение. Сложные проценты отличаются от простых тем, что процент много раз начисляется не к исходной сумме, а к сумме с уже начисленными раньше процентами. Пускай снова S – наращиваемая сумма, а – исходная, х% — процентная ставка, у – количество периодов начисления процента. В этом случае формула принимает вид: S = а * (1 + х/100)у. Подставляем цифры из условия: S = 25000 * (1 + 15/100)3 = 38021,875 – искомая сумма.
Кстати, простые задачи на проценты можно очень легко решать с помощью пропорции. Этот метод наглядный и дает такой же результат, так что выбирать можно каждому тот способ решения, который кажется проще. Давайте решим задачу №3 про класс и процент девочек в нем, составив пропорцию.
- Решение. Обозначим искомый процент девочек в классе как х, общее количество учеников примем за 100%. Пропорция выглядит так:
30 – 100%
14 – х%
Перемножим крест накрест левую и правую части пропорции и получим, что 30* х = 14 * 100 («30 относится к х также, как 14 относится к 100»). Откуда найти х уже совсем несложно: х = 14 * 100/30 = 47%.
Задачи на проценты с решением
Давайте решим несколько задач для подготовки к ЕГЭ. Как вы сами видите, решать их совсем несложно. Сейчас просто закрепим материал.
Задача 1. После открытия торгов на бирже в понедельник акции некой компании выросли в цене на неизвестное количество процентов. А во вторник на то же самое количество процентов упали в цене. В итоге они подешевели на 4% по отношению к своей первоначальной стоимости в понедельник. На какой процент акции этой компании поднимались в цене в понедельник?
Решение. Пускай первоначальная стоимость акций это 1. В понедельник акции дорожают на х * 100%. Их стоимость в это время: 1 + х * 1. Во вторник акции дешевеют на х * 100%. Их стоимость после этого: 1 + х – х * (1 + х). После чего они стали дешевле на 4%, т.е. стали стоить 0,96.
Отсюда 1 + х – х * (1 + х) = 0,96 ↔1 – х2 = 0,96 ↔ х2 = 0,04 ↔ х = 0,2. Т.е. в понедельник акции компании дорожали на 20%.
Задача 2. Четыре пары брюк дешевле одного пальто на 8%. Подсчитайте, на сколько процентов пять пар брюк стоят дороже, чем одно пальто.
Решение. Исходя из условия задачи, стоимость четырех пар брюк – это 92% от стоимости пальто. Легко подсчитать, что стоимость одной пары брюк – это 23% стоимости пальто (92/4 = 23). Теперь умножим стоимость одной пары брюк на пять и узнаем, что пять пар брюк обойдутся в 115% стоимости пальто (23 * 5 = 115). Т.е. пять пар брюк на 15% дороже, чем одно пальто.
Задача 3. Семья состоит из трех человек: муж, жена и дочь-студентка. Если зарплата мужа вырастет в два раза, общий доход семьи возрастет на 67%. Если дочери в три раза урежут стипендию, общий доход этой семьи уменьшится на 4%. Надо вычислить, какой процент в общий доход семьи приносит заработок жены.
Решение. Из условия следует, что общий доход семьи находится в прямой зависимости от доходов мужа. Не так важно, насколько ему поднимут зарплату. В любом случае общий доход семьи вырастет на 67%. Значит, зарплата мужа составляет как раз эти 67% от общего дохода. Если стипендия дочери уменьшится в три раза (т.е. на 1/3), останется 2/3 – это и есть 4%, на которые уменьшился бы семейных доход. Можно составить простую пропорцию и выяснить, что раз 2/3 стипендии – это 4% дохода, то вся стипендия – это 6%. А теперь отнимем от всего дохода вклад мужа и дочери и узнаем, какой процент составляет заработок жены в общем доходе семьи: 100% – 67% – 6% = 27%.
Задача 4. В емкости находится 5 литров водного раствора с концентраций вещества, равной 12%. В емкость добавили еще 7 литров воды. Раствор какой концентрации (с каким процентным содержанием вещества) получился после этого?
Решение. Опишем концентрацию вещества в растворе такой формулой: С = Vвещества/ Vраствора * 100%. Изначально в растворе содержится 0,12 * 5 = 0,6 литра вещества. Когда были добавлены 7 литров воды, объем раствора в емкости увеличился. Но концентрация вещества понизилась (его объем остался неизменным). Подставим все известные нам цифры в формулу и получим ответ: 0,6/5 + 7 *100% = 0,6 /12 * 100% = 5%.
Задача 5. В свежих абрикосах 90% влаги, а в кураге, которая из них получается, только 5%. Сколько килограммов абрикосов нужно, чтобы получить 20 килограммов кураги?
Решение. Исходя из условия, в абрикосах 10% питательного вещества, а в кураге оно содержится в концентрированном виде – 95%. Поэтому в 20 килограммах кураги 20 * 0,95 = 19 кг питательного вещества. На вопрос задачи мы ответим, если разделим одинаковое количество питательного вещества, которое содержится в разных объемах свежих абрикосов и кураги, на его процентное содержание в абрикосах. Чтобы получить 20 килограммов кураги, нужно взять 19/0,1 = 190 килограммов свежих абрикосов.
Заключение
Сами видите, решать задачи на проценты не так уж сложно. Если усвоить основные правила и подключить воображение, вы сможете щелкать такие задачки как орешки.
Вы даже можете составить задачу на проценты сами по нашим образцам. Кстати, будет очень хорошо, если вы так и поступите. Можете оставить нам свои задачи в комментариях – пускай другие наши читатели решат ваши задачи. А вы сможете решить те, что придумают они. Чтобы задач для подготовки к экзаменам получилось больше, расскажите про эту статью своим друзьям в социальных сетях.
Вот увидите, задачи на проценты вам придется решать еще много раз даже после того, как вы закончите школу. Они встречаются в физике, химии, биологии. Да и в повседневной жизни умение решать их может не раз пригодится. Не бойтесь сложных задач – мы всегда поможем вам найти к ним ключ.
© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
МБОУ
Шахунская СОШ №1
Им.
Д. Комарова.
Задачи на проценты
Шахунья
2017
Авторы –
составители: Феоктистова Валерия, Зимина Марина, Дернова Ксения, Волкова
Александра , ученицы 6а класса МБОУ Шахунской СОШ № 1 им.
Д. Комарова, г.Шахуньи
Нижегородской области.
Учитель –
консультант: Ветюгова Наталия Максимовна, учитель математики.
Пособие
предназначено для школьников 5-х – 11-х классов, учителей математики и для
тех, кому интересна данная тема. Пособие поможет выпускникам основной и
средней школы при подготовке к экзаменам.
Данное пособие содержит основные способы решения задач на проценты, задачи на
проценты, часто встречающиеся в различных жизненных ситуациях, и их решение,
небольшую историческую справку, интересные факты. В каждом разделе
предлагаются задачи для самостоятельного решения, в конце пособия имеются
ответы.
Содержание
|
Введение…………………………………………………… |
4 |
|
История возникновения |
5 |
|
Основные способы на проценты…………………………………………….. |
6 |
|
1. |
12 |
|
2. |
23 |
|
3. Задачи на нахождение процентного отношения двух чисел……………………………………… |
32 |
|
Интересные |
39 |
|
Ответы…………………………………………………… |
41 |
|
Литература……………………………………………… |
42 |
Введение
Проценты – одно из
математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, мы
часто читаем или слышим, что например, в выборах приняли участие 52,5%
избирателей, промышленное производство сократилось на 11,3%, уровень инфляции
составил 8% в год, банк начисляет 12% годовых, молоко содержит 3,2% жира,
материал содержит 60% хлопка и 40% полиэстера и т.д.
В
настоящее время понимание процентов и умение производить процентные расчеты,
необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и
затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, экономическую,
социологическую и другие стороны нашей жизни. Современная жизнь делает задачи
на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов
расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение
покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе.
Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки невозможны без
умения производить несложные процентные вычисления. Любой человек должен уметь
свободно решать задачи, предлагаемые самой жизнью, уметь просчитать различные
предложения магазинов, кредитных отделов и различных банков и выбрать наиболее
выгодные.
История возникновения процентов.
Процент
— имеет латинское происхождение: «pro centum» — это
«на сто». Процентом называется сотая часть числа. Проценты были известны в
Индии ещё в V в. С давних пор счет велся в десятичной системе счисления. Также
проценты были распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами
деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Они брали с
должника лихву (т. е. деньги сверх того, что дали в долг).От римлян проценты
перешли к другим народам в Европе. В средние
века в Европе в связи с развитием торговли особо обращали внимание на умение
вычислять проценты. Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов Симон
Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Это произошло в 1584 году. Употребление термина «процент» в России начинается в конце
XVIII в. Долгое время под процентами понималось исключительно прибыль или
убыток на каждые 100 рублей. Проценты применялись только в торговых и денежных
сделках. До начала 15
символ «%» не использовался. Употреблялся итальянский термин per cento (на
сотню), в том числе, в сокращённом виде: «per 100», «p 100», «p cento».Есть
несколько версий возникновения знака «%». В Италии слово cento (сто), писалось сокращенно cto. Путем дальнейшего
упрощения из буквы t в наклонную черту произошел современный символ для
обозначения процента — /.Есть другая версия возникновения знака «%».
Предполагается, что знак произошёл в результате опечатки, которую совершил
наборщик. В 1685 году в Париже была опубликована книга «Руководство по
коммерческой арифметике», где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.
Основные
способы решения задач на проценты:
Чтобы найти процент от числа, нужно:
1.Перевести проценты в десятичную дробь .
2 Данное число умножить на полученную
дробь .
1)В классе 28 учеников .75%из них
занимаются спортом .Сколько учеников в классе занимаются спортом? 
Решение : Так
как 75 % =0,75 ,то умножая число 28 на дробь 0,75 получаем :0,75*28 =21
Получается ,что 21 человек занимается
спортом .
2)Вода
составляет 76% картофеля. Сколько килограммов воды в 35 кг картофеля? 
Решение.
Вода составляет 76% от 35 кг. По правилу нахождения процентов от данного числа
(чтобы найти проценты от данного числа нужно обратить проценты в десятичную или
обыкновенную дробь, а затем умножить данное число на эту дробь) получаем
0,76∙35=26,6 кг.
Ответ: в 35 кг
картофеля содержится 26,6 кг воды.
3) В классе 20
человек. Контрольную работу по математике 25% учащихся написали на «5», 35 %
написали на «4», 10% всех учащихся получили «2». Сколько пятерок, четверок,
троек и двоек получил класс?
Решение.
Количество пятерок составляет 25% от 20. По правилу нахождения процентов от
данного числа это 0,25∙20=5 учащихся. Четверки получили 35% от 20. Это
0,35∙20=7 учащихся. Двоек 10%. Это 1/10 часть от 20 учащихся, т.е. 2 человека.
Остальные учащиеся получили оценку «3». Их 20-5-7-2=6 человек.
Ответ: оценку «5»
получило 5 учащихся; оценку «4» получили 7 учащихся; оценку «3» получило 6
учащихся и оценку «2» получили 2 ученика.
Чтобы найти число по его процентам,
нужно:
1.
Перевести проценты в десятичную дробь .
2.
Известное число в задаче разделить на эту дробь
1)В школе на
родительском собрании отсутствовало 12 человек, что составляет 7,5% от общего
числа родителей .Сколько всего родителей должно было присутствовать на собрании
? 
Решение : Заменим
7,5 % десятичной дробью .Это будет 0,075 . Значит 12 человек ,отсутствовавших
на собрании , составляют 0,075 от общего числа родителей .Таким образом ,в этой
задаче нужно 12: 0,075 =160 . Следовательно ,на родительском собрании было 160
родителей .
2) В школьной библиотеке 5780
учебников, что составляет 85% всех книг, имеющихся в библиотеке. Сколько всего
книг в школьной библиотеке?
Решение.
Потребуется найти число по его процентам. Применяем правило нахождения числа по
его процентам (чтобы найти число по его процентам нужно обратить проценты в
десятичную дробь, а затем разделить данное число на эту дробь). 1) 85%=0,85; 2)
5780:0,85=578000:85=6800 книг.
Ответ: всего в
библиотеке 6800 книг.
3)Фирма платит
рекламным агентам 5% от стоимости заказа. На какую сумму нужно выполнить заказ,
чтобы заработать 2000 рублей?
Решение.
2000 рублей – это 5% от заказа. Число (все его 100%) по его процентам мы найдем
по правилу нахождения числа по его процентам. Обращаем 5% в десятичную дробь и
делим 2000 на эту дробь. 1) 5%=0,05; 2) 2000:0,05=200000:5=40000.
Ответ: заказ должен
быть на сумму 40000 рублей.
Чтобы найти процентное отношение двух
чисел ,нужно:
1. Найти
отношение данных чисел.
2.Результат умножить на 100.
1)Завод должен был за месяц изготовить
1200 изделий , а изготовил 2300 изделий. На сколько процентов завод
перевыполнил план ? 
Решение : 1200
изделий –это план завода ,или 100% плана . 2300-1200=1100изделий-на столько
изделий завод перевыполнил план . Найдём 1100 от 1200. 1100 :1200 * 100 = 91
,7%.
2) За 1 час
станок-автомат изготовлял 240 деталей. После реконструкции этого станка он стал
изготовлять в час 288 таких же деталей. На сколько процентов повысилась
производительность станка?
Решение.
Производительность станка повысилась на 288-240=48 деталей в час. Нужно узнать,
сколько процентов от 240 деталей составляют 48 деталей. Для того чтобы узнать,
сколько процентов число 48 составляет от числа 240 нужно число 48 разделить на
240 и результат умножить на 100%.
Ответ:
производительность станка повысилась на 20%.
3) Сколько
процентов число 36 составляет от 48?
Решение.
По соответствующему правилу: чтобы найти, сколько процентов составляет первое
число от второго нужно первое число разделить на второе и результат умножить на
100% — записываем:
Ответ: 75%
составляет число 36 от числа 48.
1. Задачи
на нахождение процентов от числа
1.На приготовление ужина у мамы ушло 2
часа. Для приготовления мясных блюд понадобилось 40% времени, десерт занял 20%,
все остальное время было затрачено на приготовление салатов. Сколько времени
понадобилось маме для приготовления каждого из блюд?
2.Зонт стоил 360
рублей. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре еще на 10%. Какой
стала стоимость зонта в декабре?
3.Согласно российским законам заработок
человека облагается так называемым подоходным налогом, который равен 13%
зарплаты .Какую сумму в качестве подоходного налога должен заплатить человек,
заработавший 12 000 рублей и сколько он получит «на руки»?
4.Шариковая ручка
стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить
на 900 рублей после повышения цены на 10%?
5 .Банк выплачивает
вкладчикам каждый месяц 2% от внесённой суммы. Клиент сделал вклад в размере
500 рублей. Какая сумма
будет на его счёте через полгода?
6.В школе 800 учеников из них 30%
— ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 20%
изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в
начальной школе немецкий язык не изучается?
7.В
банк положили 50000 рублей под 30% (при сложных процентах). Какова величина
вклада через 4 года?
8.Один
купец заказал у портного 1200 кафтанов. Из них 32% кафтана составляют нового
фасона. Сколько кафтанов нового фасона сшил портной?
9..Из
молока получается 10% творога. Сколько творога получают из 40 кг молока?
10.Средняя
продолжительность жизни россиян составляет 66 лет, причём 10% из этих лет мы
проживаем за счёт медицины. На сколько лет врачи продлевают жизнь?
11.Металлический
конструктор состоит из 300 деталей. 12% этих деталей гайки. Сколько гаек в
металлическом конструкторе?
12.В городе N живет
100000 жителей. Среди них 15 % детей и подростков. Среди взрослых 45% не
работает (пенсионеры, домохозяйки, безработные). Сколько взрослых
работает?
13.В
городе 125 тысяч жителей. 40% из них любят биатлон, из них 60% не смогли
посмотреть соревнования по телевизору. Сколько любителей биатлона увидели
соревнования по телевизору? Ответ дайте в тысячах человек.
14.Магазин
закупает цветочные горшки по оптовой цене 140 рублей за штуку и продает с
наценкой 25%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине
на 1300 рублей?
15.Средний вес мальчиков того же возраста,
что и Сергей, равен 48 кг. Вес Сергея составляет 120% среднего веса. Сколько
весит Сергей?
16.Из молока
получается 21% сливок, а из сливок – 24% масла. Сколько нужно взять молока,
чтобы получить 630 кг масла?
17.В
свежих абрикосах 90% влаги, а в кураге, которая из них получается, только 5%.
Сколько килограммов абрикосов нужно, чтобы получить 20 килограммов кураги?
18.Стоимость
проезда в электричке составляет 184 рубля. Детям предоставляется скидка 75%.
Сколько рублей будет стоить проезд в этой электричке для четырёх взрослых и
восьми детей?
19. Тетрадь стоит 24 рубля. Сколько
рублей заплатит покупатель за 60 тетрадей, если при покупке больше 50 тетрадей
магазин делает скидку 10% от стоимости всей покупки?
20.Только 94% из 27 500 выпускников
города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу В1?
21.Оптовая цена учебника 170 рублей.
Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое наибольшее число таких учебников
можно купить по розничной цене на 7000 рублей?
22. Масса сушёных груш составляет
20% массы свежих. Сколько сушёных груш получится из 350 кг свежих? Сколько
процентов массы свежих груш потеряется при сушке?
23. Надо окрасить 60 м2 поверхности
стены. 75% работы уже сделали. Какую площадь осталось окрасить?
24. В школе 400 учащихся, 52% этого
числа составляют девочки. Сколько мальчиков в школе?
25.Туристы выбрали маршрут, который
составляет 300 км. 50% пути они проехали на автобусе и 35% на поезде. Остальную
часть пути они прошли пешком. Сколько км они прошли пешком?
26. Товар стоил 5000 р. Его цена
повысилась на 20%. Какова новая цена товара?
27. В городе N живет 200 000
жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых жите-лей 45% не
работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т. п.). Сколько взрослых жителей
работает?
28. Что больше 30% от 40 или 40% от
30?
2.Задачи
на нахождение числа по значению его процента.
29.В 2012 году
средняя продолжительность жизни россиян 70 лет, что составляет 25% от возможной
продолжительности жизни человека. Сколько лет может прожить человек?
30.Цена
на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько
рублей стоил чайник до повышения цены?
31. В
школе французский язык изучают 124 учащихся, что составляет 25% от числа всех
учащихся школы. Сколько учащихся в школе?
32.Танцевальный кружок при Доме детского
творчества посещают 18 учеников одной из школ города, что составляет 3% всех
учащихся этой школы. Сколько учащихся в этой школе?
33.Налог на доходы составляет 13% от
заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна
получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии
Константиновны?
34. При продаже товара за 693 рубля
получено 10% прибыли. Определите себестоимость товара
35.Студентами технических вузов собираются
стать 27 выпускников школы. Они составляют 30% от числа выпускников. Сколько в
школе выпускников?
36. Сколько учеников в
классе, если 1 ученик составляет 4% всех учащихся класса?
37.Бригада рабочих отремонтировала 131,1 м
дороги, что составило 23 % всего объёма работ. Сколько метров дороги должна
отремонтировать бригада?
38.За
зиму медведь Вини Пух съел 16 горшочков меда. Сколько горшочков меда заготовил
Вини Пух, если у него осталось 20% всех его запасов?
39.Товар на распродаже уценили на 20%, при
этом он стал стоить 680 р. Сколько стоил товар до распродажи?
40.У Лены в аквариуме 8 меченосцев, что
составляет 40% всех ее рыбок. Сколько всего рыбок у Лены в аквариуме?
41.На олимпиаде школьная команда набрала
72 очка. Сколько очков можно набрать на олимпиаде, если набранные командой очки
составляют 80% из всех возможных?
42. В городе Мегионе в 2011 году отделом
здравоохранения уделялось большое внимание здоровью населения и проведению
диспансеризации, охват которой составил 97%. Сколько человек было охвачено
медицинскими услугами, если в городе проживает 55762 человека?
43.Коля истратил в парке аттракционов 120
рублей, что составило 75% всех его карманных денег. Сколько было карманных
денег у Коли до прихода в парк аттракционов?
44.Призерами городской олимпиады по
математике стало 48 учеников, что составило 12% от числа участников. Сколько
человек участвовало в олимпиаде?
45.Какую сумму следует положить в банк, выплачивающий
25% годовых, чтобы по истечении года получить 1000 рублей?
46.В коробке
лежали лампочки, 4 из них разбились. Разбитые лампочки составили 2% от числа
всех лампочек. Сколько всего лампочек в коробке?
47. Трава при сушке теряет
80% своей массы. Сколько тонн травы надо накосить, чтобы насушить 14 тонн сена?
48. Цена альбома была снижена
на 15%. Новая цена альбома 34 рубля. Определите его первоначальную цену.
49.Задачу №1 правильно решили
13230 человек, что составляет 42% от выпускников города. Сколько всего
выпускников в этом городе?
50. 60% класса пошли в кино,
а остальные 12 человек на выставку. Сколько учащихся в классе?
51.Цена
на электрический чайник была повышена на 17% и составила 2340 рублей. Сколько
рублей стоил товар до повышения цены? 2000
3.Задачи на нахождения процентного отношения двух чисел.
52.Мобильный телефон
стоил 5000 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 3000
рублей. На сколько процентов была снижена цена?
53.Мой дядя
хороший кондитер. Для
приготовления шоколадного пирога
он использовал шоколад, муку, сахар, молоко и
яйца. На покупку продуктов для пирога он потратил 135 крон. Когда он его испёк,
то продал его в своём кафе за 160 крон. На сколько процентов закупочная цена
продуктов для пирога меньше продажной цены
пирога?
54. Ширина
дачного участка прямоугольной формы 20 м, а длина 32 м. Сколько % составляет
ширина от длины? (Длина является основой для сравнения)!
55.Из
25 килограммов свежих яблок получили 4 килограмма сушёных. На
сколько
процентов уменьшилась масса яблок при сушке
56..Представители африканского племени ватузи в
среднем имеют рост 210 см. Россиянин имеет средний рост 170 см. На сколько
процентов рост представителя африканского племени выше роста россиянина?
57.Петр обычно выпивает 1 чашку чая, а
вечером – 4. Сколько процентов от вечернего объема Утром чашек чая он выпивает
утром?
58.В магазинах «Эльдорадо» проводилась
новогодняя распродажа бытовой техники. Так старая цена телевизора была 40
000 рублей, а новая стала 36 000 рублей. На сколько процентов подешевел
товар?
59.В классе 30 человек, из них девочек –
18. Сколько процентов мальчиков в классе?
60.Даша прочитала 120 страниц, ей осталось
прочитать 130 страниц книги. Сколько процентов всех страниц она прочитала?
61.В начале года число абонентов телефонной компании «Север» составляло
200 тыс. чел., а в конце года их стало 210 тыс. чел. На сколько процентов
увеличилось за год число абонентов этой компании?
62.Магазин
делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки.
Пакет кефира стоит в магазине 40 рублей. Пенсионер заплатил за пакет кефира 38
рублей. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?
63.Футболка
стоила 1200 рублей. После снижения цены она стала стоить 972 рубля. На
сколько процентов была снижена цена на футболку?
64. Маша получила 360 смс по телефону. Из них
144 — поздравительные. Сколько процентов поздравительных смс получила Маша?
65.В месяце было 12 пасмурных и 18 солнечных дней. Сколько
процентов месяца составляют солнечные дни? Пасмурные дни?
66. Для приготовления компота купили 2 кг чернослива, 1кг
изюма, 4 кг кураги, 5 кг сушёных яблок, 3 кг сушёных груш. Сколько процентов
всего компота составляют груши?
67. Цена
товара снизилась с 40 рублей до 30 рублей. На сколько процентов снизилась цена?
68.Масса ящика с
товаром 11,5 кг. Масса товара 9,2 кг. Сколько процентов масса пустого ящика
составляет от массы ящика с товаром?
69.В школе 630 учащихся. На олимпиаду по
математике отправили 126 учащихся школы. Сколько процентов учащихся приняло
участие на олимпиаде по математике.
Интересные факты
- Самый
большой прирост населения с начала 2010 года зафиксирован в Индии (1,6%),
самое большое падение — в Японии (-0,088%) - Масса
крови в организме человека составляет около 8% его массы. - Самая
длинная кость в организме человека — бедренная, ее длина составляет
обычно 27,5% от роста человека. - Общий
вес мышц у мужчины составляет около 40% от веса тела, а у женщины — около
30%. - Известно,
что медузы на 98-99% состоят из воды, тем не менее, медуза не растворяется
в море, ее можно взять в руки. - Все
животные и растительные существа состоят из воды: животные – на 75%,
рыбы – на 75%, картофель — на 76%, яблоки — на 85%, помидоры — на
90%, огурцы — на 95%, арбузы — на 96%. Даже человек состоит из воды. 86%
воды содержится в теле у новорожденного и до 50% у пожилых людей. - Если
человек теряет 2% воды от массы своего тела, то у него возникает сильная
жажда. Если проценты потерянной воды увеличатся до 10%, то у человека
начнутся галлюцинации. При потере в 12% человек не сможет восстановиться
без помощи врача. При потере в 20% человек умирает. - Вода
не только дарит жизнь, но может и отнимать ее. 85% всех заболеваний в мире
передается с помощью воды. - В
мире всего 9% левшей (ведущая левая рука). - Человек
пользуется лишь 10-ю процентами собственного мозга. - Организм
человека состоит (в массовом отношении): из воды – на 60%, из белка – на
14%, из жиров – на 10%, из углеводов – на 1%, из золы – на 5% и других
веществ.
- Общая
длина кровеносных сосудов человека — примерно 100000 км. В покое кровь
распределена так: 25% – в мышцах, 25% – в почках, 15% – в сосудах
стенок кишечника, 10% – в печени, 8% – в мозгу, 4% – в венечных сосудах
сердца, 13% – в сосудах легких и других органах. - Страна
с наибольшим количеством языков: Папуа — Новая Гвинея. Хотя английский
язык является в этой стране официальным, на самом деле это чистая
формальность: по-английски здесь говорит не более 2% населения. Жители
Папуа — Новой Гвинеи используют более 820 различных языков, что составляет
12% языков мира. - Самая
образованная страна в мире — Канада. 50% населения этой страны имеют
образование не ниже среднего специального. За Канадой следует
Израиль — 45% и Япония —
44%.
- Страна
— крупнейший производитель кислорода в мире: Россия. В Сибири растёт
примерно 25% мировых лесов, которые охватывают площадь больше, чем
континентальная часть США, что делает Россию самым мощным в мире
переработчиком углекислого газа в ценнейший кислород. - Страна
— крупнейший производитель опиума: Афганистан. Здесь производится невероятные
95% от всего опиума в мире. - Самая
засушливая страна: Ливия. 99% Ливии покрыто пустыней, в некоторых регионах
дождей не бывает десятилетиями. - Страна
с самым большим количеством озёр: Канада. 60% всех озёр мира находятся на
территории Канады, более 3000000 озёр, занимающих 9% канадских земель. - Страна
с самыми толстыми гражданами: Науру. 95% населения этого маленького
островного государства имеют избыточный вес. Причина? Ничего особенного,
они просто слишком много едят и мало двигаются. - Воздух
на 78% состоит из азота.
Ответы
1)48,24,48
2)275,4 3)156,11844 4)20 5)550 6)112 7)142805
384 9)4 10)6,6 11)36 12)46750 13)20 14)7
15)57,6 16)12500 17)200 18)1104 19)1296 20)25850
21)34
22)70,80 23)15 24)192 25)45 26)6000 27)93,5
28)= 29)280 30)3000 31)496 32)600 33)11000 34)630
35)90 36)25 37)570 38)20 39)850 40)20
41)90 42)54089 43)160 44)400 45)800 46)200
47)70 48)40 49)31500 50)30 51)2000 52)40
53)16 54)62,5 55)8456 56)19 57)25 58)10
59)40 60)48 61)5 62)5 63)19 64)40 65)60,40
66)20 67)25 68)20 69)20.
Литература
1. Депман И.Я.,
Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. — М.: Просвещение, 1999.-287c.
2. Виленкин Н.Я.,
Жохов В.И. Математика: учебник для 5-6 кл. – М.: Мнемозина, 2005.-280c.
3. Кузнецова Л.В.,
Бунимович Е.А., Пигарев Б.П., Суворова С.Б. Сборник заданий для проведения
письменного экзамена за курс основной школы. – М.: Дрофа, 2001.-192c.
4. Кузнецова Л.В.,
Суворова С.Б., Булычёв В.А., Бунимович Е.А., Рослова Л.О. Математика: ГИА:
Учебно-справочные материалы для 9 класса. – М.: СПб.: Просвещение, 2012.-279c.
5. Савин А.П.
Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985.-352c.
6. Фридман Л.М.
Изучаем математику: кн.для учащихся 5-6 классов.- М.:Просвещение, 1995.-255c.
7. Ященко И.В.,
Шестаков С.А., Трепалин А.С., Семёнов А.В. ГИА 2014. Математика 9 класс.
Государственная итоговая аттестация. Типовые тестовые задания. – М.:
Издательство «Экзамен», 2014.-78c.
8.Математика: 6
класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций/ А.Г. Мерзляк, В.Б.
Полонский, М.С. Якир.-2-е изд., перераб.-М.: Вентана-Граф, 2016.-304 с.
Интернет
– ресурсы:
1. Большая
энциклопедия Кирилла и Мефодия (CD-диск) www.KM.ru
2. http://school-sector.relarn.ru
3. http://ru.wikipedia.org/wiki/
4. https://sdamgia.ru
5. https://ege.sdamgia.ru
Основные определения
Когда мы сравниваем разные части целого, мы используем такие понятия, как половина (1/2), треть (1/3), четверть (1/4). Это удобно: отрезать половину пирога, пройти треть пути, закончить первую четверть в школе.
Чтобы сравнивать сотые доли, придумали процент (1/100): с латинского языка — «за сто».
Процент — это одна сотая часть от любого числа. Обозначается вот так: %.
Чтобы узнать, как перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить число на 100, как в примере выше.
А если нужно перевести десятичную дробь в проценты — умножаем дробь на 100 и добавляем знак %. Например:
- 0,18 = 0,18 · 100% = 18%.
А вот, как перевести проценты в десятичную дробь — обратным действием:
- 18 : 100 = 0,18.
Выразить дробь в процентах просто. Для перевода сначала превратим её в десятичную дробь, а потом используем предыдущее правило:
Вебинар :Домашнее задание без слёз и скандаловСреда, 24 ноября в 19:00 МСК
Записаться →
Типы задач на проценты
В 5, 6, 7, 8, 9 классах в задачках по математике на проценты сравнивают части одного целого, определяют долю части от целого, ищут целое по части. Давайте рассмотрим все виды задач на проценты.
Тип 1. Нахождение процента от числа
Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на процент.
Задача. За месяц на заводе изготовили 500 стульев. 20% изготовленных стульев не прошли контроль качества. Сколько стульев не прошло контроль качества?
Как решаем: нужно найти 20% от общего количества изготовленных стульев (500).
20% = 0,2
500 * 0,2 = 100
Из общего количества изготовленных стульев контроль не прошли 100 штук.
Тип 2. Нахождение числа по его проценту
Чтобы найти число по его проценту, нужно его известную часть разделить на то, сколько процентов она составляет от числа.
Задачи по поиску процента по числу и числа по его проценту очень похожи. Чтобы не перепутать — внимательно читаем условия, иначе зайдем в тупик или решим неправильно. Если в задании есть слова «который», «что составляет» и «который составляет» — перед нами задача по нахождению числа по его проценту.
Задача. Школьник решил 38 задач из учебника. Что составляет 16% числа всех задач в книге. Сколько всего задач собрано в этом учебнике?
Как решаем: мы не знаем, сколько всего задач в учебнике. Но нам известно, что 38 задач составляют 16% от общего количества. Запишем 16% в виде дроби: 0,16. Далее известную нам часть целого разделим на ту долю, которую она составляет от всего целого.
38/0,16 = 38 * 100/16 = 237,5
Значит 237 задачи включили в этот сборник.
Тип 3. Нахождение процентного отношения двух чисел
Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно ту часть, о которой спрашивается, разделить на общее количество и умножить на 100%.
Задача. В классе учится 25 человек. 10 из них — девочки. Сколько процентов девочек в классе?
Как решаем: возьмем алгоритм из правила выше:
10/25 * 100% = 2/5 * 100% = 2 * 100/5 = 40%
В классе учится 10 девочек — это 40%.
Тип 4. Увеличение числа на процент
Чтобы увеличить число на некоторое количество процентов, нужно найти число, которое выражает нужное количество процентов от данного числа, и сложить его с данным числом.
Формула расчета процента от числа выглядит так:
a = b * ((1 + c) / 100),
где a — число, которое нужно найти,
b — первоначальное значение,
c — проценты.
Задача. В прошлом месяце стикер-пак стоил 110 рублей. А в этом месяце на 12% больше. Сколько стоит стикер-пак?
Как решаем: подставим в формулу данные из условий задачи.
110 * (1 + 12/100) = 110 * 1,12 = 123,2.
Стоимость стикер-пака в этом месяце — 123 рубля 20 копеек.
Тип 5. Уменьшение числа на процент
Чтобы уменьшить число на несколько процентов, нужно найти число, которое выражает нужное количество процентов данного числа, и вычесть его от данного числа.
Формула расчета выглядит так:
a = b * ((1 — c) / 100),
где a — число, которое нужно найти,
b — первоначальное значение,
c — проценты.
Задача. В прошлом году школу закончили 100 ребят. А в это году выпускников на 25 меньше. Сколько выпускников в этом году?
Как решаем: подставим в формулу данные из условий задачи.
100 * (1 – 25/100) = 75
75 выпускников закончат школу в этом году.
Тип 6. Задачи на простые проценты
Простые проценты — метод расчета процентов, при котором начисления происходят на первоначальную сумму вклада или долга.
Формула расчета выглядит так:
S = а * ((1 + у * х)/ 100),
где a — исходная сумма,
S — сумма, которая наращивается,
x — процентная ставка,
y — количество периодов начисления процента.
Задача. Родители взяли в банке кредит 5000 рублей, чтобы купить тебе что-то классное. Кредит на год под 15% ежемесячно. Сколько денег они внесут через год?
Как решаем: подставим в формулу данные из условий задачи.
5000 * (1 + 12 * 15/100) = 14000
Родители через год внесут в банк 14000 рублей.
Тип 7. Задачи на сложные проценты
Сложные проценты — это метод расчета процентов, когда проценты прибыли прибавляют к сумме на остатке каждый месяц. В следующий раз проценты начисляют на эту новую сумму.
Формула расчета выглядит так:
S = а * ((1 + х)/100)y,
где S — наращиваемая сумма,
a — исходная,
x — процентная ставка,
y — количество периодов начисления процента.
Задача. Папа взял в банке кредит 25000 рублей на 3 месяца под 15%. Нам нужно узнать, сколько денег придется заплатить банку по истечении срока кредита.
Как решаем: просто подставим в формулу данные из условий задачи:
25000 * (1 + 15/100)3 = 38021,875 — искомая сумма.
Способы нахождения процента
Универсальная формула для решения задач на проценты:
A * b = C,
где A — исходное число,
b — проценты, переведенные в десятичную дробь,
C — новое число.
Чтобы применить алгоритм, нужно прочитать задачу, отметить, какие два числа нам известны и найти третье.
Есть еще четыре способа поиска процентов. Рассмотрим каждый из них.
Деление числа на 100
При делении на 100 получается 1% от этого числа. Это правило можно использовать по-разному. Например, чтобы узнать процент от суммы, нужно умножить их на размер 1%. А чтобы перевести известное значение, следует разделить его на размер 1%. Этот метод отлично помогает в вопросе, как перевести целое число в проценты.
Представьте, что вы пришли в магазин за шоколадом. Обычно он стоит 250 рублей, но сегодня скидка 15%. Если у вас есть дисконтная карта магазина, шоколад обойдется вам в 225 рублей. Чем будет выгоднее воспользоваться: скидкой или картой?
- Переведем 15% в рубли:
250 : 100 = 2,5 — это 1% от стоимости шоколада,
значит 2,5 * 15 = 37,5 — это 15%. - 250 — 37,5 = 212,5.
- 212,5 < 225.
Ответ: выгоднее воспользоваться скидкой 15%.
Вебинар :Домашнее задание без слёз и скандаловСреда, 24 ноября в 19:00 МСК
Записаться →
Составление пропорции
Пропорция — определенное соотношение частей между собой.
С помощью метода пропорции можно рассчитать любые %. Выглядит это так:
- a : b = c : d.
Читается: a относится к b так, как с относится к d. Также важно помнить, что произведение крайних членов равно произведению средних. Чтобы узнать неизвестное из этого равенства, нужно решить простейшее уравнение.
Рассмотрим пример. На сколько выгодно покупать спортивную футболку за 1390 рублей при условии, что в магазине в честь дня всех влюбленных действует скидка 14%?
- Узнаем сколько стоит футболка сейчас в % соотношении:
100 — 14 = 86,
значит 1390 рублей это 86%. - Составим пропорцию:
1390 : 100 = х : 86,
х = 86 * (1390 : 100),
х = 1195,4. - 1390 — 1195,4 = 194,6.
Ответ: купить спортивную футболку выгоднее на 194,6 рубля.
Соотношения чисел
Есть случаи, при которых можно использовать простые дроби.
- 10% — десятая часть целого. Чтобы найти десять %, понадобится известное разделить на 10.
- 20% — пятая часть целого. Чтобы вычислить двадцать % от известного, его нужно разделить на 5.
- 25% — четверть целого. Чтобы вычислить двадцать пять %, понадобится известное разделить на 4.
- 50% — половина целого. Чтобы вычислить половину, нужно известное разделить на 2.
- 75% — три четверти целого. Чтобы вычислить семьдесят пять %, нужно известное значение разделить на 4 и умножить на 3.
Задача для тренировки. В черную пятницу вы нашли отличный пиджак со скидкой 25%. В обычный день он стоит 8500 рублей, но сейчас с собой есть только 6400 рублей. Хватит ли средств для покупки?
- 100 — 25 = 75,
значит нужно заплатить 75% от первоначальной цены. - Используем правило соотношения чисел:
8500 : 4 * 3 = 6375.
Ответ: средств хватит, так как пиджак стоит 6375 рублей.
Вебинар :Домашнее задание без слёз и скандаловСреда, 24 ноября в 19:00 МСК
Записаться →
Задачи на проценты с решением
Как мы уже убедились, решать задачи на проценты совсем несложно. Для закрепления материала рассмотрим реальные примеры на проценты из учебников и несколько заданий для подготовки к ЕГЭ.
Задача 1. Организм взрослого человека на 70% состоит из воды. Какова масса воды в теле человека, который весит 76 кг?
Как решаем:
76 : 100 = 0,76 — 1% от массы человека
0,76 * 70 = 53,2
Ответ: масса воды 53,2 кг
Задача 2. Цена товара понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной ценой?
Как решаем:
Обозначим первоначальную цену товара через х. После первого понижения цена станет равной.
х — 0,4х = 0,6x
Второе понижение цены составляет 25% от новой цены 0,6х, поэтому после второго понижения получим:
0,6х — 0,25 * 0,6x = 0,45x
После двух понижений изменение цены составит:
х — 0,45x = 0,55х
Так как величина 0,55x составляет 55% от величины x, то цена товара понизилась на 55%.
Ответ: 55%.
Задача 3. Четыре пары брюк дешевле одного пальто на 8%. На сколько процентов пять пар брюк стоят дороже, чем одно пальто?
Как решаем:
По условиям задачи стоимость четырех пар брюк — это 92% от стоимости пальто
100 — 8 = 92
Получается, что стоимость одной пары брюк — это 23% стоимости пальто.
92 : 4 = 23
Теперь умножим стоимость одной пары брюк на пять и узнаем, что пять пар брюк обойдутся в 115% стоимости пальто.
23 * 5 = 115
Ответ: пять пар брюк на 15% дороже, чем одно пальто.
Задача 4. Семья состоит из трех человек: муж, жена и дочь-студентка. Если зарплата мужа вырастет в два раза, общий доход семьи возрастет на 67%. Если дочери в три раза урежут стипендию, общий доход этой семьи уменьшится на 4%. Вычислить, какой процент в общий доход семьи приносит заработок жены.
Как решаем:
По условиям задачи общий доход семьи напрямую зависит от доходов мужа. Благодаря увеличению зарплаты общий доход семьи вырастет на 67%. Значит, зарплата мужа составляет как раз 67% от общего дохода.
Если стипендия дочери уменьшится в три раза (т.е. на 1/3), останется 2/3 — это и есть 4%, на которые уменьшился бы семейных доход.
Можно составить простую пропорцию и выяснить, что раз 2/3 стипендии — это 4% дохода, то вся стипендия — это 6%.
А теперь отнимем от всего дохода вклад мужа и дочери и узнаем, какой процент составляет заработок жены в общем доходе семьи: 100 – 67 – 6 = 27.
Ответ: заработок жены составляет 27%.
Задача 5. В свежих абрикосах 90% влаги, а в сухофрукте кураге только 5%. Сколько килограммов абрикосов нужно, чтобы получить 20 килограммов кураги?
Как решаем:
Исходя из условия, в абрикосах 10% питательного вещества, а в кураге в концентрированном виде — 95%.
Поэтому в 20 килограммах кураги 20 * 0,95 = 19 кг питательного вещества.
На вопрос задачи мы ответим, если разделим одинаковое количество питательного вещества, которое содержится в разных объемах свежих абрикосов и кураги, на его процентное содержание в абрикосах.
19 : 0,1 = 190
Ответ: 190 кг свежих абрикосов потребуется для изготовления 20 кг кураги.
Просмотр содержимого документа
«Проценты. Задачи на проценты: нахождение процента от величины и величины по её проценту»
ПРАКТИЧЕСКОЕ пособие
по теме:
«ЗАДАЧИ НА Проценты»
Аннотация
Данное практическое пособие посвящено теме «Проценты». Разработка пособия актуальна тем, что тема «Проценты» изучается непродолжительное время в школьном курсе, но задания по процентам включаются в материалы итоговой аттестации за курс основной школы, в КИМы и ЕГЭ. Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в современной жизни необходимы каждому человеку. В данном пособии дается краткое определение понятия «Процент», рассматриваются основные способы решения типовых задач на проценты, рассматриваются задачи с практическим содержанием, которые связаны с применением процентных вычислений в повседневной жизни. Также дается материал для самостоятельного рассмотрения, предлагаемые задачи различны по уровню сложности.
Содержание
Аннотация
Содержание
Введение
I. Понятие «Процент» и основные способы решения задач на проценты
II. Типовые задачи на проценты
2.1. Задачи на проценты в торговле
2.2. Задачи на концентрацию, смеси и сплавы
2.2.1. Решение задач стандартным способом
2.2.2. Решение задач с помощью «квадрата Пирсона»
2.3. Задачи на проценты в экологии
2.4. Задачи на проценты в банковской сфере
2.4.1. Простые банковские проценты
2.4.2. Сложные банковские проценты III. Задания для самостоятельного рассмотрения
IV. Список использованных источников
Введение
Математика в настоящее время все шире проникая в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в традиционно далекие от нее области. Интенсивная математизация различных областей человеческой деятельности особенно усилилась с внедрением современных информационных технологий, требующих математической грамотности человека буквально на каждом рабочем месте. Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни.
Слово «процент» происходит от латинского pro centum, что буквально означает «на сотню», «со ста» или «за сотню». В популярной литературе возникновение этого термина связывается с внедрением в Европе десятичной системы счисления в XV в. Но идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же величинах, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. По-видимому, процент возник в Европе вместе с ростовщичеством. Есть мнение, что понятие процент ввел бельгийский ученый Симон Стевин. В 1584 г. он опубликовал таблицы процентов. Употребление термина «процент» в России начинается в конце XVIII в. Долгое время под процентами понималось исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Интересно происхождение обозначения процента. Существует версия, что знак % происходит от итальянского pro cento (сто), которое в процентных расчетах часто сокращенно писалось cto. Отсюда путем дальнейшего сокращения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный знак процента. Также есть предположение, что знак % возник в результате опечатки. В Париже в 1685 г. была напечатана книга руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик напечатал знак %.
В настоящее время понимание процентов и умение производить процентные расчеты необходимо каждому человеку, это способствует «вхождению» в современную информационно-экономическую среду и, в конечном счете, облегчает социализацию. Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки невозможны без умения производить несложные процентные вычисления. Любой человек должен уметь свободно решать задачи, предлагаемые самой жизнью, уметь просчитать различные предложения магазинов, кредитных отделов и различных банков и выбрать наиболее выгодные.
Поэтому цель данного практического пособия состоит в практическом изучении темы «Процент».
Для достижения поставленной цели, необходимо решить следующие задачи:
-
Дать определение понятию «Процент».
-
Изучить основные способы решения задач на проценты.
-
Изучить типы задач на проценты.
-
Составить и решить различные задачи по теме исследования
I. Понятие «Процент» и основные способы решения задач на проценты
Что такое проценты в математике? Нужно запомнить – что такое один процент. Это понятие — и есть главный ключ к решению задач на проценты, да и к работе с процентами вообще.
Один процент – это одна сотая часть какого-то числа.
Существует три основных типа задач на проценты:
|
Задача 1. |
Найти указанный процент от заданного числа. |
|
Пример . Решение |
Вклад в банке имеет годовой прирост 21%. Начальная сумма вклада равнялась 60000 руб. На сколько рублей возрастёт сумма вклада в конце года? 60000 : 100∙ 21 = 21600 |
|
Задача 2. |
Найти число по заданному другому числу и его величине в процентах от искомого числа. Заданное число делится на его процентное выражение и результат умножается на 100. |
|
Пример . Решение |
Зарплата в январе равнялась 14600 руб., что составило 36,5% от годовой зарплаты. Какова была годовая зарплата? 14600 : 36,5 ∙ 100 = 40000 рублей |
|
Задача 3. |
Найти процентное выражение одного числа от другого. Меньшее число делится на большее и результат умножается на 100. |
|
Пример . Решение |
Завод произвёл за год 100000 автомобилей, а в следующем году – только 41000 автомобилей. Сколько процентов это составило по отношению к выпуску предыдущего года? 41000 : 100000 ∙ 100 = 41% |
II. Типы задач на проценты
2.1. Задачи на проценты, используемые в торговле
Задача № 1. Цена 1 кг конфет в магазине первоначально составляла 71 рублей. C декабря месяца цена сначала поднялась на 15%, а потом понизилась на 8%, затем снова поднялась на 13%. Какова конечная цена 1 кг конфет?
Решение:
I действие: 71 руб. — 100%
х — 15%
x= (71·15):100 ≈ 10,7 (руб.)
71 + 10,7 = 81,7 (руб.) – цена 1 кг конфет после повышения цены.
II действие: 81,7 – 100%
х — 8%
x= (81,7·8):100 ≈ 6,5 (руб.)
81,7 – 6,5 = 75,2 (руб.) — цена 1 кг конфет после понижения цены.
III действие: 75,2 – 100%
х — 13%
x = (75,2·13):100 ≈ 9,8 (руб.)
75,2 + 9,8 = 85 (руб.) — цена 1 кг конфет после повышения цены.
Ответ: цена 1 кг конфет стала 85 рублей.
Задача № 2. Книга «Математика» стоила 360 рублей. В ноябре цена книги «Математика» была снижена на 15%, а в декабре еще на 10%. Какой стала стоимость книги «Математика» в декабре?
Решение:
1) Стоимость книги «Математики» в ноябре составляла 85 % от 360 руб., т. е. 360·0,85 = 306(руб.).
2) Второе снижение цены происходило по отношению к новой цене книги «Математика»; теперь следует искать 90 % от 306 руб., т. е.
306·0,9 = 275,4 (руб.)
Ответ: 275 рублей 40 копеек.
Задача № 3. Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10%?
Решение: Находим 10% от 40
10:100 ·40 = 0,1·40 = 4 руб.
40+4 = 44 (руб.)
Новая цена тетради составит 44 рубля. 900 : 44≈20,45, т.е. 20 тетрадей.
Ответ: на 900 рублей можно купить 20 тетрадей.
Задача № 4. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?
Решение: Запомним важное правило: за 100% принимается та величина, с которой мы сравниваем.
Цена была повышена на 16% по сравнению с чем? — с прежней ценой. Значит, прежняя цена — это 100%, новая цена — 100%+16% = 116%. Составляем пропорцию:
100% — х руб.
116% — 3480 руб.
Составляем и решаем уравнение 100 ·3480 = 116 · х
х = 100 ·3480:116
х = 3000.
Ответ: 3000 рублей стоил чайник до повышения цены.
Задача № 5. При покупке ребенку новых лыж с ботинками родителям пришлось заплатить на 35 % больше, чем два года назад, причем лыжи подорожали с тех пор на 20 %, а ботинки — на 70 %. Сколько процентов от стоимости лыж с ботинками составляла два года назад стоимость лыж?
|
Стоимость лыж (руб.) |
Стоимость ботинок (руб.) |
Стоимость лыж и ботинок вместе (руб.) |
|
|
Два года назад |
х |
у |
х + у |
|
Сейчас |
х + 0,2х = 1,2х |
у + 0,7у = 1,7у |
(х + у) + 0,35(х + у) |
Уравнение:
1,2х + 1,7у = (х + у) + 0,35(х + у)
1,2х + 1,7у = х + у + 0,35х + 0,35у
1,2х + 1,7у = 1,35х + 1,35у
1,7у – 1,35у = 1,35х – 1,2х
0,35у = 0,15х
х = 0,35у : 0,15
х = 
у
х = 
у
х = 
у
· 100% = у : ( у + у) ·100% = у : 
у · 100% =
=
· 100% = 70%
Ответ: 70% от стоимости лыж с ботинками составляла два года назад стоимость лыж.
Задачи для закрепления материала.
-
Цену на пальто снизили на 30%, затем новую цену повысили на 30%. Как изменилась цена на пальто?
-
Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10% за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?
-
Антикварный магазин приобрел старинный кинжал за 30 тысяч рублей. И выставил его на продажу, повысив цену на 60%. Но этот кинжал был продан лишь через неделю, когда магазин снизил его новую цену на 20%. Какую прибыль получил магазин при продаже старинного кинжала?
2.2. Задачи на концентрацию, смеси и сплавы
2.2.1. Решение задач стандартным способом
Задача № 1. Сколько килограммов сахара в 10 килограммах сиропа, если процентное содержание сахара составляет 15%?
Решение:
10 · 0,15 = 1,5 (кг) соли.
Ответ: 1,5 кг.
Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют процентным раствором, например, 15%-й сиропа.
Задача № 2. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг меди. Каково процентное содержание олова и меди в сплаве?
Решение: Процентное содержание вещества в сплаве – это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.
1) 10 + 15 = 25 (кг) – сплав;
2) 10:25 · 100% = 40% – процентное содержание олова в сплаве;
3) 15:25 · 100% = 60% – процентное содержание меди в сплаве;
Ответ: 40%, 60%.
Задача № 3. К 15 л 10%-ого раствора уксуса добавили 5%-ый раствор уксуса и получили 8%-ый раствор. Какое количество литров 5%-ого раствора добавили?
Решение. Пусть добавили х л 5%-ого уксусного раствора. Тогда нового раствора стало
(15 + х) л, в котором содержится 0,8 . (15 + х) л уксуса. В 15 л 10%-ого раствора содержится 15 . 0,1 = 1,5 (л) уксуса, в х л 5%-ого раствора содержится 0,05х (л) уксуса.
Составим уравнение.
1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х)
1,5+0,05х=1,2+0,08х
— 0,03х= — 0,3
х = 10.
Ответ: добавили 10 л 5%-ого раствора.
Задача № 4. 5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20%-ых сливок и к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какой жирности получилась смесь?
Решение. 0,35·5+0,2·4=р·(5+4+1), откуда р=0,255, что составляет 25,5%
Ответ: 25,5%
Задача № 5. Имеются два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 230 г золота и 20 г меди, а второй слиток – 240 г золота и 60 г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300 г сплава, в котором оказалось 84 % золота. Определить массу (в граммах) куска, взятого от первого слитка.
Решение. Определим процентное содержание золота в обоих слитках.
1) 230+20=250(г) — масса 1 слитка,
2) 230:250=0,92 (92%) — процентное содержание золота в 1 слитке.
3) 240+60=300(г) — масса 2 слитка,
4) 240:300=0,8 (80%)- процентное содержание золота во 2 слитке.
Пусть х масса куска, взятого от 1 слитка, (300-х)- масса куска, взятого от 2 слитка, получим уравнение:
0,92х+0,8(300-х)=0,84·300
0,92х+240-0,8х=252
0,12х=12
х=100
Ответ: 100 г.
2.2.2. Решение задач с помощью «Квадрата Пирсона»
Данный способ решения задач на проценты был предложен английским математиком Карлом Пирсоном, и заключается в следующем: чертится квадрат и проводятся диагонали. В левом верхнем углу ставят больший показатель крепости (А), в левом нижнем углу ставят меньший показатель крепости (В), на пересечении диагоналей ставят требуемый показатель крепости (С). В правом нижнем углу после вычитания из А С ставят У, а в правом верхнем углу после вычитания из С В получают Х
А – С = У
С – В = Х.
Надо взять Х частей с концентрацией А и У частей с концентрацией В, чтобы получить смесь с концентрацией С.
Одним из преимуществ этого способа является то, что он доступен ученикам, которые не умеют решать уравнения. Также квадрат Пирсона очень полезен для домохозяек, чтобы получать нужную концентрацию уксуса или сиропа. Недостатком данного способа можно назвать, что его нельзя применять при решении задач на смешивание трех и более растворов.
Задача 1. Один раствор содержит 20% соли, а второй – 70%. Сколько нужно граммов первого и второго раствора взять, чтобы получить 100г. 50%-го солевого раствора?
Решение.
Решим задачу с помощью квадрата Пирсона.
С
А Х 70 30 3
50
В У
2
20 20
Значит, 100 г. смеси составляет 5 частей.
Одна часть – 100/(3+2) = 20(г),
70%-ый раствор – 20*3=60 (г),
20%-ый раствор – 20*2=40 (г).
Ответ: 20% -го 40 г, 70%-го 60г.
Задачи для закрепления материала.
-
При смешивании 5%-ного раствора кислоты с 40%-ным раствором кислоты получили 140 г 30%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?
-
Смешали 4 литра 15%-ого водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25%-ого водного раствора того же вещества. Сколько процентов составляет концентрация полученного раствора?
-
Хозяйке для засолки огурцов необходимо получить 6%-ый раствор уксусной кислоты, используя 70%-ый раствор уксусной кислоты и воду. Сколько необходимо взять 70%-ого раствора и воды, чтобы получить 700 г раствора необходимой концентрации?
2.3. Задачи на проценты в экологии
Задача № 1. В 1 м2 городского воздуха содержится около 5000 микробов. А в 1 м2 лесного массива — около 500 микробов. Какой процент микробы 1м2 лесного массива составляют от микробов 1м2 городского воздуха?
Решение:
500:5000 = 0,1 = 10%.
Ответ: 10%
Задача № 2. В 2013 году было посажено 250 га кукурузы, а в 2014 году и в 2015 году площадь кукурузы составила 72% от площади, засаженной в 2013 году. Сколько гектаров кукурузы было посажено в 2014 и 2015 году?
Решение:
|
га |
% |
|
|
2013 г. |
250 |
100 |
|
2014-15 гг. |
х |
72 |
(га)
Ответ: по 180 га.
Задача № 3. В городе через канализационную очистительную систему (КОС) в 2014 году поступало 2840 тонн загрязняющих веществ. Из них 23% проходят недостаточную очистку, а 7% остаются без очистки. Какое количество загрязняющих веществ возвращается в природные водоемы практически без очистки?
Решение:
1) 23% +7% = 30 %
2) 
(т)
Ответ: 852 тонны.
Задача № 4. Сколько тонн отходов от автотранспорта было выброшено в 2013 году в атмосферу города, если угарный газ составил 10300 тонн, оксид азота составил 13% от величины угарного газа, оксиды серы составили 3,5% от величины угарного газа?
Решение:
1)10300:100·13 =1339 (т)
2)10300:100·3,5 =360,5 (т)
3)10300+1339+360,5= 11999,5 (т)
Ответ: 11999,5 тонн.
Задача № 5. В 2013 году было вырублено 10 га леса, в 2014 — в два раза больше, в 2015 году — в 7 раз больше, чем в 2014 году. На сколько процентов увеличилась площадь вырубаемого леса?
Решение:
-
10 · 2 = 20(га) – 2014 году
-
20 · 7 = 140(га) – вырублено в 2015 году
-
% -
1400% – 100% = 1300 %
%Ответ: на 1300%.
Задачи для закрепления материала.
-
На острове Мадагаскар из 28 местных видов птиц вымерло 24. Определите этот, самый высокий в мире, процент исчезнувших птиц.
-
Влажность воздуха к полудню по сравнению с утренней снизилась на 12%, а затем повысилась на 5% по сравнению с полуднем. Сколько процентов от утренней влажности составляет влажность воздуха к вечеру и на сколько процентов она снизилась?
-
В мире ежегодно добывается 1600 млн. м3 древесины, около 20% всей древесины идет на топливо. Сколько кубических метров древесины сжигается?
2.4. Задачи на проценты в банковской сфере
2.4.1. Простые банковские проценты
Если проценты начисляют на постоянную сумму, это означает, что начисляют простые проценты.
S = a * (1 + n * P/100) – формула простых процентов,
Где S – искомая сумма, n – период, P – начисляемый процент.
Задача №1. Вкладчик положил в банк 50000 рублей. Банк начисляет ежемесячно 3 % дохода на сумму первоначального вклада. Какая сумма окажется на счете вкладчика через 16 месяцев?
Решение:
S = 50000 *(1 + 16 * 3/100) = 74000.
Ответ: На вкладе через 16 месяцев окажется 74000рублей.
Задача № 2. Каким должен быть начальный вклад, чтобы при ставке 4% в месяц увеличился за 8 месяцев до 33000 рублей?
Решение:
S0 · (1+8 ·
) = 33000,
S0 = 33 000 · 
= 25000 рублей
Ответ: начальный вклад должен быть 25000 рублей.
2.4.2. Сложные банковские проценты
Если процент начисляют на изменяющуюся сумму – это сложные проценты.
S = a * (1 + n * P/100)n – формула сложных процентов.
Задача №1. Вкладчик положил в банк 40 000р. Банк начисляет ежемесячно 5% дохода на сумму вклада, находящуюся на счете вкладчика к началу месяца. Какой доход получит вкладчик за 3 месяца?
Решение:
За первый месяц доход составит 0,05*40000 = 2000 (р), и на вкладе окажется 42000р.
За второй месяц доход составит 0,05*42000 = 2100 (р), и на вкладе окажется 44100р.
За третий месяц доход составит 0,05*44100 = 2205 (р), и на вкладе окажется 46305р.
Тогда доход за 3 месяца составит 46305-40000=6305р.
Ответ: Доход составит 6305р.
Задача № 2. На банковский счет было положено 10 тысяч рублей. После того, как деньги пролежали один год, со счета сняли 1 тысячу рублей. Еще через год на счету стало 11 тысяч рублей. Какой процент годовых начисляет банк?
Решение:
Пусть банк начисляет р% годовых.
1) Сумма в 10000 рублей, положенная на банковский счет под р% годовых, через год возрастет до величины
10000 + 0,01p ·10000 = 10000 + 100р руб.
Когда со счета снимут 1000 руб., там останется 9000 + 100р руб.
2) Еще через год последняя величина за счет начисления процентов возрастет до величины 9000 + 100р + 0,01p(9000 + +100р) = р2 + 190р + 9000 руб.
По условию эта величина равна 11000 руб., поэтому имеем квадратное уравнение.
р 2 + 190р + 9000 = 11000;
р 2 + 190р — 2000 = 0
Решим это квадратное уравнение, используя теорему Виета, p1 = 10, p2 = -200.
Отрицательный корень не подходит.
Ответ: начислялось 10% годовых.
Задания для закрепления материала.
-
Сколько лежал в банке вклад 20000 рублей, если по ставке 20% годовых, он достиг величины 28000 рублей? Какие проценты применяются?
-
В банк положили 50000 рублей под 30% (при сложных процентах). Какова величина вклада через 4 года?
-
Михаил получил в подарок к своему 25-летию 2000 рублей и положил их в банк, который начисляет в качестве базовой ставки 7% в год. Какова будет сумма этого вклада к тому времени, когда Михаил уйдет на пенсию (в 65 лет)?
III. Задания для самостоятельного рассмотрения
-
Садовник для поливки роз смешивает удобрение «Росток» с 30%-ым содержанием калия и удобрение «Розочка» с 10%-ым содержанием калия и получает 600 граммов 15%-ого раствора. Сколько граммов каждого удобрения было взято?
-
На весенней распродаже в одном магазине шарф стоимостью 350 рублей уценили на 40%, а через неделю еще на 5%. В другом магазине шарф такой же стоимости уценили сразу на 45%. В каком магазине выгоднее купить этот шарф?
-
Кусок сплава меди и цинка в 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?
-
В суровую зиму в лесу может погибнуть до 90% птиц. Если в лесу обитало 3400 птиц, то сколько птиц осталось?
-
Гектар лиственного леса вырабатывает 2 килограмма летучих защитных веществ, а гектар хвойного леса — 250% от этой величины. Сколько килограммов летучих защитных веществ вырабатывает гектар хвойного леса?
-
Через 6 лет нам нужны деньги в размере 20000 рублей при процентной ставке 20% (сложные проценты). Какую сумму нужно положить в банк?
-
Для получения 4 тонн нержавеющей стали, содержащей 20% хрома, на ОАО «Мечел» сплавили два сорта стали, содержащие соответственно 30% и 10% хрома. Определить массы каждой марки стали, взятой для сплавления.
-
Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 140 рублей за штуку и продает с наценкой 25%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1300 рублей?
-
Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 рублей на вклад, годовой доход по которому составляет 12%, и решил в течение 6 лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на его счете через 6 лет?
-
В России лесом занято около 1 млрд. га, в том числе 80% всей площади – хвойными. Бором занято около 25%, а еловыми лесами – около 17% всей площади хвойных лесов. Сколько гектаров занимают бор и еловые леса?
-
Два банковских филиала обслуживали в прошлом году одинаковое количество клиентов. В этом году количество клиентов в первом филиале увеличилось на 150%, а во втором – в 2,5 раза. В каком филиале стало больше клиентов?
-
Флакон шампуня стоит 150 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 700 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 35%?
IV. Список использованных источников
-
Денищева Л.О., Бойченко Е.М., Глазков Ю.А., и др. Готовимся к Единому государственному экзамену. Математика. – М.: Дрофа, 2011;
-
Дорофеев Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления. 10-11 классы: учеб.-метод. пособие. – М.: Дрофа, 2003;
-
Никольский С.Н., Потапов М.К., Решетников Н.Н. Алгебра в 7 классе: методические материалы. – М.: Просвещение, 2014;
-
Рязановский А.р. Задачи на части и проценты//Математика в школе. — №1. 1992;
-
Шорина С.П. Обоснование старинного способа решения задач на смеси // Математика в школе. – 1997. — №6.
Рассказываем, как решать задачи на нахождение процента от числа. Приводим алгоритм решения и примеры. Задачи для самостоятельного решения.
Содержание
скрыть
1
Суть задач на нахождение процента от числа
2
Алгоритм решения задач
3
Способы решения задач
3.1
Примеры решения задачи
3.2
Задачи для самостоятельного решения
Суть задач на нахождение процента от числа
Задачи на нахождение процента от числа – это задачи на нахождение процентной части от целого числа.
Алгоритм решения задач
Алгоритм решения задач на нахождение процента от числа:
- Выполняем краткую запись задачи;
- Определяем способ и решаем задачу;
- Выписываем полный ответ.
Определяем способ решения:
Способы решения задач
Примеры решения задачи
Базовые знания:
Задача 1. Найти 16 % от числа 500.
Краткая запись:
Решение:
1-й способ
- (500:100=5).
- (16⋅5=80).
2-й способ
- (16)%(=0,16).
- (0,16⋅500=80).
Ответ: 80.
Задачи для самостоятельного решения
- Найти 23 % от числа 300.
- В 5«А» классе 28 учеников, а в 5«Б» классе — 32 ученика. 10 % учащихся пятых классов — отличники. Сколько отличников среди пятиклассников?
- Найти сумму 56 % от 12 и 44 % от 12.
- Сплав цинка и меди содержит 42 % меди. Сколько меди и цинка содержится в сплаве массой 140 г?
Посмотреть еще в категории: Задачи по математике 5-6 класс
- Задачи на сложение и вычитание
- Задачи на движение навстречу друг другу
- Задачи на движение в одном направлении
- Задачи на движение в противоположных направлениях
- Задачи на движение по реке
- Задачи на нахождение дроби от числа
- Задачи на нахождение числа по его дроби
- Задачи на нахождение числа по его процентам
- Задачи на процентное отношение двух чисел
- Задачи на проценты (с помощью пропорции)
- Задачи на нахождение градусной меры угла
- Задачи на нахождение периметра и площади треугольника
- Задачи с использованием формул площадей прямоугольника и квадрата
- Задачи на нахождение объема прямоугольного параллелепипеда и куба
- Задачи на проценты
- Задачи на нахождение длины окружности и площади круга
Проценты
- Нахождение процентов от числа
- Нахождение числа по его процентам
- Процентное отношение двух чисел
- Перевод процентов в десятичную дробь
Процент — это одна сотая часть числа. Отсюда следует, что два процента — это две сотых, двадцать процентов — двадцать сотых и так далее.
Слово процент
обозначается знаком %
. Так, 43% какого либо числа означает 43 процента, то есть 
этого числа. Однако стоит обратить внимание, что в вычислениях знак %
не пишется, он может быть записан в условии задачи и в окончательном результате.
Величина, от которой вычисляются проценты (например, цена, длина, количество конфет и т. д.), составляет 100 своих сотых долей, то есть 100%.
Чтобы найти один процент от числа, надо разделить это число на 100.
Пример 1. Найти один процент от числа 300.
Решение:
300 : 100 = 3.
Ответ: Один процент от 300 равен 3.
Пример 2. Найти один процент от числа 27,5.
Решение:
27,5 : 100 = 0,275.
Ответ: Один процент от 27,5 равен 0,275.
Нахождение процентов от числа
Чтобы найти некоторое число процентов от данного числа, нужно данное число разделить на 100 и умножить на число процентов.
Задача 1. В том году в магазине к новому году купили 200 ёлок. В этом году количество купленных ёлок увеличилось на 120%. Сколько ёлок купили в этом году?
Решение: Сначала надо найти 120% от 200, для этого 200 надо разделить на 100, так мы найдём 1%, а затем полученный результат умножить на 120:
(200 : 100) · 120 = 240.
Число 240 — это 120% от 200. Значит, в этом году количество проданных ёлок увеличилось на 240 штук. То есть, количество ёлок, проданных в этом году равно:
200 + 240 = 440 (ёлок).
Ответ: В этом году купили 440 ёлок.
Задача 2. В коробке 28 конфет, 25% конфет с клубничной начинкой. Сколько конфет с клубничной начинкой в коробке?
Решение:
Ответ: В коробке 7 конфет с клубничной начинкой.
Нахождение числа по его процентам
Чтобы найти число по данной величине его процентов, нужно эту величину разделить на число процентов и умножить на 100.
Задача. Цена метра сукна снизилась на 24 руб., что составило 15% цены. Сколько стоил метр сукна до снижения?
Решение:
Ответ: Метр сукна стоил 160 рублей.
Процентное отношение двух чисел
Чтобы узнать, сколько процентов первое число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100.
Задача. Завод по годовому плану должен выпустить продукции на сумму 1 250 000 руб. За 1-ый квартал он выпустил её на сумму 450 000 руб. На сколько процентов выполнен заводом годовой план за 1-ый квартал?
Решение:
Ответ: За 1-ый квартал план выполнен на 36%.
Перевод процентов в десятичную дробь
Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо количество процентов разделить на 100.
Пример 1. Представить 25% в виде десятичной дроби.
Решение:
25 : 100 = 0,25.
Ответ: 25% — это 0,25.
Пример 2. Выразить 100% десятичной дробью.
Решение:
100 : 100 = 1.
Ответ: 100% — это 1.
Пример 3. Выразить 230% десятичной дробью.
Решение:
230 : 100 = 2,3.
Ответ: 230% — это 2,3.
Из данных примеров следует, что для перевода процентов в десятичные дроби, надо в числе, стоящем перед знаком %
, перенести запятую на два знака влево.