Как найти процент вероятности в алгебре

План урока:

Частота и вероятность

Элементарные события

Противоположные события

Сложение вероятностей

Умножение вероятностей

Условная вероятность

Вероятность и геометрия

Частота и вероятность

В мире происходят события, которые можно предсказать. Например, можно предсказать приезд лифта после того, как человек нажмет кнопку его вызова. Астрономы могут заранее предсказывать солнечные и лунные затмения.

Однако нередко нам приходится иметь дело с событиями, результат которых заранее предсказать невозможно. Не получается заранее сказать, упадет ли монетка при подбрасывании орлом вверх, также как нельзя заранее предсказать поломку прибора. Такие события называются случайными.

Случайные события обычно могут произойти только в определенной ситуации. Так, событие «выпадение решки» может произойти только при броске монеты. В математике подбрасывание монетки будет называться испытанием или экспериментом.

Здесь не следует воспринимать термин «эксперимент» как некое научное исследование. Испытанием может оказаться любая жизненная ситуация. Приведем несколько примеров опытов и соответствующих им случайных событий:

• Бросок кубика с 6 гранями – это эксперимент, а выпадение или невыпадение шестерки на нем – это случайное событие.
• Полет самолета – испытание, а отказ двигателя в полете – это случайное событие.
• Ожидание автобуса на остановке в течение 10 минут – эксперимент, а появление или непоявление автобуса в этот промежуток времени – случайное событие.
• Футбольный матч – опыт, а победа в нем команды хозяев или травма одного из игроков – случайное событие.
• Выстрел из винтовки – испытание, а попадание в мишень – случайное событие.
• Изготовление рабочим детали – эксперимент, а получение бракованной детали – случайное событие.

Здесь важно отметить, что для математики не важно, является ли событие по-настоящему случайным. Возможно, что автобус ходит строго по расписанию, и человек, знающий его, точно может определить, через сколько минут он приедет. Но если рядом стоит другой человек, не знающий этой информации, то для него приезд автобуса будет случайным событием.

Предположим, что есть возможность провести какой-то эксперимент множество раз. Например, кубик можно бросить 500 раз. Обозначим это число, количество экспериментов, как n. В ходе серии этих бросков шестерка выпала, например, 85 раз. Обозначим эту величину, количество произошедших случайных событий, как m. Само событие «выпадение шестерки» обозначим как А. Тогда отношение m/n будет называться частотой случайного события А. В данном случае частота события А равна

85/500 = 0,17

Наблюдения показывают, что если условия экспериментов примерно одинаковы, а их число велико, то частота одного и того же события будет примерно одинаковой. Чем больше число испытаний, тем обычно ближе частота события к некоторому постоянному числу. Это число и называют вероятностью случайного события А.

Грубо говоря, частота и вероятность событий – это примерно одно и то же. Частоту определяют на практике, входе эксперимента, а вероятность можно рассчитать аналитически.

Вероятность – это величина, которая характеризует возможность события произойти. Если она близка к единице, то событие, скорее всего, произойдет. Если она близка к нулю, то событие, скорее всего, не случится. Для обозначения вероятности используется буква Р. Если надо указать вероятность конкретного события А, то его записывают как Р(А).

Вероятность – это безразмерная величина, то есть для нее нет никакой единицы измерения. Она может принимать значение от 0 до 1. Иногда на практике ее указывают в процентах. Например, вероятность 0,5 означает 50%. Чтобы перевести вероятность в проценты, ее надо просто умножить на 100.

Элементарные события

Часто одно случайное событие можно представить как результат нескольких случайных событий. Например, событие «выпадение на кубике четного числа» произойдет в том случае, если случится хотя бы одно из следующих событий:

• выпадет двойка;
• выпадет четверка;
• выпадет шестерка.

Если событие нельзя «разбить» на более простые события, то его называют элементарным событием. Считается, что в ходе испытания может произойти только одно элементарное событие. Так, при броске кубика произойдет одно из 6 элементарных событий:

• выпадет единица;
• выпадет двойка;
• выпадет тройка;
• выпадет четверка;
• выпадет пятерка;
• выпадет шестерка.

В большинстве случаев вероятность элементарных событий одинакова. Действительно, нет причин полагать, что при броске кубика шестерка будет выпадать чаще двойки. Если у двух элементарных событий одинаковая вероятность, то их называют равновозможными событиями.

Если в результате эксперимента происходит одно из равновозможных событий, число которых равно n, то вероятность каждого из них принимается равной дроби 1/n.

Например, при броске кубика может произойти 6 равновозможных событий. Значит, вероятность каждого из них равна 1/6. При броске монетки она может выпасть либо орел, либо решка. Этих событий два, и они равновозможны, поэтому их вероятность равна 1/2, то есть 0,5.

Пример. В урне 20 шариков, один из которых окрашен в желтый цвет. Какова вероятность, что человек, вытаскивающий вслепую один из шариков, вынет именно желтый шар?

Решение. Так как шаров 20, то возможны 20 равновозможных событий, одно из которых – вытаскивание желтого шара. Его вероятность равна 1/20 = 0,05

Ответ: 0,05

Пример. Вася составил произвольную последовательность из букв А, Б, В, Г, Д, и записал ее на бумаге. Каждую букву Вася использовал один раз. Аналогично свою последовательность записал и Петя. Какова вероятность, что они оба загадали одну и ту же последовательность.

Решение. Вася записал перестановку 5 букв. Общее количество таких перестановок равно 5! = 1•2•3•4•5 = 120. Все последовательности равновероятны. Значит, вероятность того, что они совпали, равна 1/120.

Ответ: 1/120

Противоположные события

Заметим, что если сложить вероятности всех элементарных событий, которые возможны в ходе эксперимента, то получится единица. Действительно, при броске монеты возможны два события с вероятностью 1/2. Сумма их вероятностей составляет 1/2 + 1/2 = 1.

Это правило действует и в том случае, когда речь идет о не равновозможных событиях. Так, при выстреле по мишени возможны два варианта развития событий – попадание в цель или промах. Пусть вероятность попадания в цель равна 0,3. Это значит, что вероятность промаха составляет 0,7, так как только в этом случае сумма этих вероятностей будет равна единице:

0,7 + 0,3 = 1

Заметим, что при стрельбе стрелок либо попадет в цель, либо промажет. То есть одно из двух этих событий обязательно произойдет, но только оно одно. Подобные события называют противоположными.

Противоположными являются такие события, как:

• падение монеты либо одной стороной вверх (орлом), либо другой (решкой);
• выпадение четного или нечетного числа на шестигранном кубике;
• изготовление рабочим годной или получение бракованной детали.

Стоит отметить, что победа одной и победа другой команды в футбольном матче – это не противоположные события, так как возможен третий исход – ничья. Однако в ряде спортивных состязаний ничья невозможна, и тогда победы команд – это противоположные события.

Очевидно, что сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Пример. Вероятность того, что рабочий изготовит годную деталь, оценивается в 0,97. Чему равна вероятность изготовления бракованной детали?

Решение. Изготовление бракованной детали (обозначим это событие как А) и получение годного изделие (событие Б) – это два противоположных события. Их сумма равна единице

Р(А) + Р(B) = 1

По условию Р(А) = 0,97. Тогда

0,97 + Р(В) = 1

Перенесем в равенстве слагаемое 0,97 в правую часть и получим:

Р(B) = 1 – 0,97

Р(В) = 0,03

Ответ: 0,03

Сложение вероятностей

До этого мы рассматривали элементарные события. Однако значительно чаще нас интересуют более сложные события, которые состоят из элементарных. Как рассчитать их вероятность?

Введем понятие несовместных событий.

Так, при броске кубика не может сразу выпасть пятерка и четное число (потому что 5 – это нечетное число). Хоккейный матч не может одновременно окончиться и ничьей, и победой одной из команд.

Заметим, что любые два элементарных события несовместны, также как и любые два противоположных события.

Для несовместных событий справедлива теорема сложения вероятностей.

Пример. В забеге на 1500 метров участвуют два китайца. Эксперты полагают, что вероятность победы Мао Луня составляет 0,16, а шансы Ван Юнпо оцениваются в 0,14. Если эти оценки справедливы, то каковы шансы того, что чемпионом станет китаец?

Решение. Обозначим победу Мао Луня как событие А, а победу Ван Юнпо – как Б. Очевидно, что события несовместны, так как победитель будет лишь один. По Условию Р(А) = 0,16, а Р(В) = 0,14.

Событие «победа китайца» произойдет, если выиграет хоть один из этих спортсменов, поэтому произведем сложение вероятностей:

Р(А или В) = Р(А) + Р(В) = 0,16 + 0,14 = 0,3

Ответ: 0,3

Заметим, что выполнять сложение вероятностей событий можно и в случае, когда несовместных событий больше двух.

Пример. При стрельбе по мишени стрелок выбьет 10 баллов (максимальный результат) с вероятностью 0,2, 9 баллов с вероятностью 0,25, 8 баллов с вероятностью 0,15. Какова вероятность, что стрелок НЕ наберет даже 8 баллов одним выстрелом?

Решение. Здесь несовместные события – это выбивание 10 (событие А), 9 (В) и 8 (С) баллов. Действительно, в ходе одного выстрела стрелок покажет только один результат. Если одно из этих событий случится, то спортсмен получит не менее 8 баллов. Вероятность этого события равна:

Р(А или В или С) = 0,2 + 0,25 + 0,15 = 0,6

Но нас спрашивают о другом, о вероятности того, что стрелок НЕ наберет 8 очков. Очевидно, что он их либо наберет, либо нет. Значит, это противоположные события, поэтому сумма равняется 1. Мы посчитали, что стрелок наберет 8 баллов с вероятностью 0,6. Значит, он не наберет их с вероятностью

1 – 0,6 = 0,4

Ответ: 0,4

Пример. В урне лежит 500 шариков, из которых 120 являются черными. Человек вслепую вытаскивает из урны один шар. Какова вероятность, что он будет черным.

Решение. Присвоим каждому шару номер от 1 до 500, причем первые 120 номеров получат черные шары. Обозначим вероятность того, что вытащат шар с номером n, как Р(n). Очевидно, что события «выбран шар 1», «выбран шар 2», … «выбран шар 500» – это элементарные и равновозможные события. Их вероятность равна 1/500:

Р(1) = Р(2) = Р(3) =…..=Р(500) = 1/500

Эти события несовместны, как и любые элементарные события. Значит, вероятность того, что вытащат черный шар, равна сумме вероятностей:

Р(выбран черный шар) = Р(1) + Р(2) + … + Р(120)

В этой сумме 120 слагаемых, каждое из которых равно 1/500. Следовательно, вся сумма равна произведению 120 и 500

Р(выбран черный шар) = 120•(1/500) = 120/500 = 0,24

Ответ: 0,24

В этом примере рассматривался особый случай, когда все элементарные события (вытаскивание конкретного шарика) равновозможны, и несколько из них приводили к одному событию (вытаскиванию черного шара). В итоге мы получили, что вероятность этого события равна отношению числа «благоприятных» для него равновозможных событий (120) к общему числу этих событий (500). Такой же результат мы получим при рассмотрении любой схожей задачи.

В результате мы получили одну из основных формул теории вероятности.

Пример. Компьютер случайным образом генерирует число от 1 до 200. Вероятность появления каждого числа одинакова. Какова вероятность того, что он сгенерирует число от 51 до 75 (включительно)?

Решение. Задача предполагает 200 равновозможных исходов события. Из них 25 (между 51 и 75 находится 25 чисел) являются «благоприятными». Тогда вероятность описанного события равна отношению 25 к 200:

Р = 25/200 = 1/8 = 0,125

Ответ: 0,125

Ещё раз напомним принципиальный момент. Такой метод решения задач может быть применен только в том случае, когда все элементарные события равновероятны!

Пример. Изготовлено 10 велосипедов, но из них 3 – с дефектом. Необходимо выбрать 4 велосипеда. Каков шанс, что они все будут без дефекта?

Решение. Выбирая 4 велосипеда из 10, мы составляем, с точки зрения комбинаторики сочетание из 10 по 4. Подсчитаем количество возможных сочетаний:

Теперь подсчитаем, сколько можно составить сочетаний, не содержащих дефектный велосипед. Годных велосипедов 10 – 3 = 7, из них надо выбрать 4. Имеем сочетания из 7 по 4:

Вероятность выбора качественных велосипедов равна отношению количества «благоприятных» исходов (их 35) к общему числу возможных исходов:

Р = 35/210 = 1/6

Ответ: 1/6

Пример. В турнире по футболу участвуют команды «Барселона», «Реал», «Атлетико» и «Валенсия». Эксперты полагают, что:

1. шансы «Атлетико» выиграть чемпионат 1,5 раза выше шансов «Валенсии»;
2. шансы «Реала» и «Атлетико» равны;
3. шансы «Барселоны» на победу в 4 раз больше шансов «Реала».

Определите вероятность победы каждой команды в турнире.

Решение.

Обозначим за х вероятность победы «Валенсии». Шансы «Реала» и «Атлетико» в 1,5 раза выше, а потому составляют по 1,5х. Вероятность триумфа «Барселоны» в 4 раза выше, чем у «Реала», а потому составляют 4•1,5х = 6х.

Ясно, что турнир выиграет лишь одна команда, то есть речь идет о несовместных событиях. С другой стороны, какая-то команда обязательно его выиграет, а потому в вероятности побед команд дадут единицу. В результате, используя формулу сложения вероятностей, можно записать уравнение:

х + 1,5х + 1,5х + 6х = 1

10х = 1

х = 0,1

Решив уравнение, мы нашли, что шансы триумфа «Валенсии» составляют всего 0,1. Шансы «Реала» и «Атлетико» равны

1,5х = 1,5•0,1 = 0,15

Вероятность успеха «Барселоны» составляет

6х = 6•0,1 = 0,6

Ответ. «Барселона» – 0,6, «Реал» и «Атлетико» – по 0,15, «Валенсия» – 0,1.

Умножение вероятностей

До этого мы рассматривали сложные события, которые происходили тогда, когда происходило одно из элементарных событий. Например, в забеге, где участвовали два китайца, представитель Поднебесной побеждал, если выигрывал ИЛИ 1-ый китаец, ИЛИ 2-ой. Ключевое слово здесь – ИЛИ.

Однако в некоторых случаях событие происходит лишь тогда, когда происходят одновременно сразу два более простых события. Пусть надо вычислить вероятность того, что при двух подбрасываниях монеты они оба раза упадет на орлом вверх. Возможны 4 случая:

• сначала выпадет орел, потом еще раз орел (назовем этот случай ОО);
• сначала падает орел, а потом решка (ОР);
• первым выпадет решка, а потом орел (РО);
• оба раза выпадет решка (РР).

Все 4 исхода удобно представить в виде таблицы. По вертикали запишем результат 1-ого броска монеты, а по горизонтали – второго:

Видно, что лишь в одном из 4 случаев орел выпадет оба раза. Поэтому вероятность будет равна 1/4, или 0,25.

Этот результат можно было получить иначе. Событие ОО случится, только если случатся два события: Орел выпадет при первом броске,и он же выпадет во второй раз. Вероятность каждого из них равна 1/2, или 0,5. Если перемножить эти две вероятности, то снова получим 0,5•0,5.

Рассмотрим более сложный случай с броском двух шестигранных кубиков. Какова вероятность, что в сумме выпадет ровно 12 очков. Снова построим таблицу, по вертикали укажем результат первого броска, по горизонтали – второго, а в ячейках – выпавшую сумму:

Всего получилась табличка с 36 ячейками. Лишь в одной из них стоит число 12. Эта сумма на кубиках будет лишь тогда, когда на обоих кубиках выпадет по шестерке. Так как ячеек 36, а каждая комбинация равновозможна, то вероятность выпадения 12 равна 1/36. Обратите особое внимание, что, например, семерка записана сразу в 6 ячейках (по диагонали, начиная с нижнего левого угла). Значит, вероятность выпадения семерки за 2 броска равна 6/36 = 1/6. И действительно, на практике 7 очков выпадет у игроков в 6 раз чаще, чем 12. Посчитайте с помощью таблицы самостоятельно, какого вероятность выпадения 10 очков.

Как и в случае с монеткой, число вероятность 1/36 можно получив, перемножив вероятность того, что в первой кости выпадет шестерка (1/6), и того, что на второй кости выпадет она же (1/6):

(1/6)•(1/6) = 1/36

Введем одно важное понятие – независимые события.

Так, какое бы число не выпало на 1-ой кости, вероятность выпадения на второй, например, четверки останется равной 1/6. Как бы ни падала монетка при первом броске, при 2-ом шанс выпадения орла останется равным 1/2.

Для наглядности приведем пример зависимых событий. Пусть А – вероятность победы в забеге одного бегуна, и Р(А) = 0,1. В – вероятность победы второго бегуна, и Р(В) = 0,1. Но очевидно, что победить может лишь один спортсмен. Поэтому, если случится событие А, то вероятность события В изменится – она опустится до нуля.

Таблички, которые мы строили для игры в кости, не всегда удобно использовать, поэтому на практике используют теорему умножения вероятностей.

Ещё раз обратим внимание, что оно действует только для независимых случайных событий.

Пример. Рабочий изготавливает две детали. Вероятность изготовления первой детали с браком составляет 0,05, а второй детали – 0,02. Рабочего оштрафуют, если обе детали будут сделаны с браком. Какова вероятность штрафа для рабочего?

Решение. Штраф выпишут, если одновременно произойдет два независимых события – будет допущен брак при изготовлении И 1-ой, И 2-ой детали. Ключевое слово – И, а не ИЛИ, как в случае со сложением вероятностей. Вероятность такого развития событий найдем, произведя умножение вероятностей:

0,05•0,02 = 0,001

Ответ: 0,001

Умножение вероятностей событий возможно и тогда, когда их больше двух.

Пример. Для победы команды в турнире ей надо выиграть все 4 оставшиеся встречи. Вероятность победы в каждой игре составляет 80%. Какова вероятность победы в турнире?

Решение. Обозначим вероятности победы в отдельных матчах как Р₁, Р₂, Р₃, Р₄. По условию они все равны 0,8. Команда станет чемпионом, только если случатся все события. Вероятность этого можно найти, применив формулу умножения вероятностей:

Р₁ • Р₂ • Р₃ • Р₄ = (0,8)⁴ = 0,4096

Ответ: 0,4096

Пример. В первой партии 4% лампочек бракованы, а во второй – 5%. Из каждой партии берут по лампочке. Какова вероятность того, что обе выбранных лампочки окажутся бракованными? Какова вероятность, что они обе окажутся исправными? Какова вероятность, что ровно одна лампа будет бракованной?

Решение. Обозначим выбор бракованной детали из 1-ой партии как событие «брак-1», а выбор годной детали (годная-1). Эти события противоположны, то есть сумма их вероятностей равна единице.

Р(брак-1) + Р(годная-1) = 1

Р(годная-1) = 1 – Р(брак-1)

По условию Р(брак-1) = 0,04. Следовательно, Р(годная-1) = 1 – 0,04 = 0,96.

Аналогично для второй партии можно записать, что Р(брак-2) = 0,05, Р(годная-2) = 0,95.

Будут выбраны две бракованные детали только в том случае, когда произойдут события Р(брак-1) и Р(брак-2). Вероятность этого, по правилу умножения вероятностей, равна:

0,05•0,04 = 0,002

Две годные детали бут выбраны, если одновременно случатся события Р(годная-1) и Р(годная-2). Это случится с вероятностью

0,95•0,96 = 0,912

Ответ: 0,002; 0,912

Пример. По мишени стреляют из двух орудий. Вероятность попадания из первого орудия составляет 0,3, а из второго – 0,4. С какой вероятностью по мишени попадет ровно одно орудие?

Решение. Пусть событие «попал-1» означает попадание из 1-ого орудия, а «попал-2» – попадание из 2-ого орудия. Казалось бы, нам надо найти вероятность попадания ИЛИ 1-ого, ИЛИ 2-ого орудия. Однако слово ИЛИ здесь не означает, что вероятности можно просто сложить! Вспомним, что закон сложения вероятностей действует только для несовместных событий. Но выстрелы из орудий таковыми не являются, так как возможно одновременное попадание двух снарядов в мишень.

Введем события «промах-1» и «промах-2», означающие промах из 1-ого или второго орудия. Их вероятности составляют

Р(«промах-1») = 1 – Р(«попал-1») = 1 – 0,3 = 0,7

Р(«промах-2») = 1 – Р(«попал-2») = 1 – 0,4 = 0,6

Одно попадание случится в случае, если произойдет одно из двух «сложных» событий:

• событие А – первая пушка стреляет точно, а вторая мажет;
• событие Б – первая пушка мажет, а вторая попадает в цель.

Вероятность события А можно рассчитать так:

Р(А) = Р(«попал-1») •Р(«промах-2») = 0,3•0,6 = 0,18

Аналогично рассчитаем и вероятность Б:

Р(Б) = Р(«попал-2») •Р(«промах-1») = 0,4•0,7 = 0,28

События А и Б несовместны, а потому их вероятности можно сложить

Р(А) + Р(Б) = 0,18 + 0,28 = 0,46

Ответ: 0,46

Условная вероятность

Иногда можно перемножать вероятности событий, не являющихся в полном смысле слова независимыми. Пусть для того, чтобы произошло событие А, необходимо, чтобы последовательно произошли В и С. В зависимости от того, произошло ли В, вероятность С может отличаться. Например, в урне лежат 4 шарика – 2 красных и 2 желтых. Предположим, что произошло событие В – был вытащен красный шар. Его вероятность равна 0,5. Чему тогда равна вероятность события С – вытаскивания желтого шарика? В урне осталось 3 шара, из них 2 желтых, поэтому Р(С) = 2/3.

С другой стороны, пусть В не произошло, то есть первым был вынут желтый шар. Чему тогда равна вероятность С? В урне снова 3 шарика, но лишь 1 из них желтый. Следовательно, Р(С) = 1/3. Получается, что в зависимости от того, случилось ли В, вероятность Р(С) принимает разные значения. В математике такую вероятность называют условной.

Обозначается она так:

Р(С|B).

Первая буква в скобках соответствует событию, для которого указываем вероятность, а вторая буква – событию, которое является условием для С.

Если событие А произойдет тогда, когда свершится сначала В, а потом С, то вероятность А также можно найти с помощью умножения

Р(А) = Р(В)•Р(С|B)

Пример. В урне находится 52 шара, из них на 4 написана буква Т. Из урны последовательно вынимаются два шара. Какова вероятность, что на обоих вытащенных шарах будет буква Т?

Решение. Так как в урне 52 шара, и лишь на 4 есть буква Т, то шанс на то, что первым вытащат именно шар с буквой Т, равен 4/52 = 1/13. Если это событие произошло, то в урне остался 51 шар, и лишь на трех будет находиться нужный символ. Тогда вероятность появления шара с буквой Т составит 3/51 = 1/17. Общая же вероятность появления 2 таких шаров подряд найдется как произведение этих вероятностей:

Р = (1/13)•(1/17) = 1/221 ≈ 0,004525

Эту вероятность можно рассчитать и иначе, по аналогии с задачей про бракованные велосипеды, которая приведена выше. Подсчитаем, сколькими способами можно выбрать 2 шара из 52:

Но всего 6 способами можно выбрать 2 шара из 4:

Поделив число благоприятных исходов на их общее количество, получим искомую вероятность:

Р = 6/1326 = 1/221.

Ответ: 1/221

Пример. Известно, что вероятность мужчины дожить до 90 лет составляет 5,126%, а до 95 лет – 1,326%. С какой вероятностью мужчина, которому уже сейчас 90 лет, доживет до 95 лет?

Решение. Пусть А – это дожитие до 95 лет, С – дожитие 90-летнего мужчины до 95 лет, В – дожитие до 90 лет. Чтобы отпраздновать 95-летие, человек сначала должен отметить 90-летний юбилей, а потом ещё прожить 5 лет. Другими словами, чтобы случилось А, сначала должно случиться В, а потом событие С при условии В. То есть можно записать

Р(А) = Р(В)•Р(С|B)

По условию Р(А) = 0,01326, а Р(В) = 0,05126. Зная это, легко найдем Р(С|B):

Р(А) = Р(В)•Р(С|B)

0,01326 = 0,05126•Р(С|B)

Р(С|B) = 0,01326/0,05126 ≈ 0,2587

Это и есть вероятность мужчины, отметившего 90-ый день рождения, дожить до 95 лет.

Ответ: 0,2587

Вероятность и геометрия

Теория вероятности затрагивает и геометрию. Пусть есть отрезок АВ, в середине которого располагается точка С.

Теперь мы ставим на отрезке АВ случайную точку D. С какой вероятностью она попадет наАС, а с какой на ВС? Так как эти отрезки ничем не отличаются, то можно предположить, что события «попадание точки на АС» и «попадание точки на ВС» являются равновероятными событиями. Так и есть. Их вероятность обоих событий составляет 0,5.

Теперь предположим, что точка С выбрана так, что отрезок АС вдвое короче, чем ВС, то есть ВС = 2 АС:

Чему в этом случае равны вероятности попадания случайной точки D на отрезки АС и ВС? Для ответа на этот вопрос раздели ВС надвое с помощью ещё одной точки K:

Получили три одинаковых отрезка АС, СК и КВ. Раз они одинаковы, то и вероятности случайной точки оказаться на каждом из этих отрезков равны:

Р(АС) = Р(СК) = Р(КВ) = 1/3

Отсюда вероятность попадания точки на ВС равна 2/3:

Р(ВС) = Р(СК) + Р(КВ) = 1/3 + 1/3 =2/3

Получили, что вероятность попадания точки на ВС вдвое выше, чем на АС. И при этом ВС вдвое длиннее. И это не случайно. В общем случае верно следующее правило:

Данное свойство может пригодиться не только в геометрии, но и при решении задач.

Пример. Прохожий пришел на остановку автобуса в случайный момент времени. Он знает, что автобус ходит с интервалом в 40 минут, но не знает, когда отъехал предыдущий автобус. С какой вероятностью автобус придется ждать менее 10 минут?

Решение. Построим схему. На ней время будем откладывать по горизонтальной оси. Отметим точки, соответствующие приезду автобуса (А₁, А₂, А₃, А₄), и точку, соответствующую приходу прохожего (D):

Ясно, что точка D окажется между какими-то двумя точками, которым соответствуют последовательные прибытия поезда.На рисунке это А₂ и А₃. В каком случае время ожидания составить менее 10 минут? В том случае, если точка D окажется на «расстоянии» менее 10 минут от точки А₃, то есть попадет в отрезок ВА₃:

Отрезок ВА₃ вчетверо короче отрезка А₂А₃, поэтому вероятность точку D попасть на него составляет 1/4. Именно такова вероятность, что прохожему придется ждать автобус менее 10 минут.

Ответ: 1/4

В случае, когда точка случайным образом ставится не на отрезке, а на плоской фигуре, то справедливо следующее правило:

Пример. В треугольнике АВС проведена средняя линия NM. С какой вероятностью случайная точка, отмеченная на треугольнике АВС, попадет и на треугольник ANM?

Решение. Средняя линия NM параллельна стороне ВС (это свойство средней линии), а потому равны углы АNM и АВС (соответственные углы при параллельных прямых). Это значит, что треугольники АВС и ANM подобны по двум равным углам. Коэффициент подобия равен 1/2, так как AN/АВ = 1/2. Известно, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия, поэтому площадь АMN в 4 раза меньше площади АВМ. По условию точка гарантированно попадает в АВС, то есть вероятность этого события равна 1. Тогда вероятность попадания точки в АNM будет в 4 раза меньше и составит 1/4 .

Ответ:1/4.

Задача №10. Первый пример решения

Чтобы определить вероятность события, необходимо подсчитать число благоприятных событий для заданного события, определить общее число исходов и поделить первое число на второе. Вероятность лежит в пределах от нуля до единицы. Чтобы выразить вероятность события в процентах, необходимо умножить ее на 100%. Иногда требуется определить вероятность противоположного события, она равна: единица минус вероятность события.

Рассмотрим характерные задачи.

Решение:

1. Подсчитаем число благоприятных исходов. У нас 6 неисправных фонариков, тогда исправных фонариков будет 80 – 6 = 74 штуки.

2. Подсчитаем общее число исходов. Это общее число фонариков, т.е. 80.

3. Вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен равна 74/80=37/40=0,925.

Ответ: 0,925.

---

Задача №10. Второй пример решения

Решение:

1. Общее число исходов (сколько всего ручек) равно 132.

2. Подсчитаем число благоприятных исходов, это количество зеленых или черных ручек. Зеленых ручек 39. Количество черных найдем из уравнения 132 – 34- 39 – 5 – 2*х =0, 54 = 2*х, х=27. Таким образом, число благоприятных исходов 39 +27=66.

3. Вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет зеленой или черной равна 66 / 132 = 1 /2 = 0,5.

Ответ: 0,5.

---

Задача №10. Третий пример решения

Решение:

1. Подсчитаем количество девочек. Их двое: Оля и Рита. Таким образом, число благоприятных исходов 2.

2. Подсчитаем общее количество исходов. Это общее число ребят, их пятеро.

3. Вероятность того, что начинать игру должна будет девочка, равна: 2/5=0,4.

Ответ: 0,4.

---

Задача №10. Четвертый пример решения

Решение:

В данной задаче рассматриваются противоположные события. А – событие, которое состоит в том, что ручка не пишет (вероятность равна 0,02); В – событие, которое состоит в том, что ручка пишет. Тогда вероятность события В равна 1-0,02=0,98.

Ответ: 0,98.

---

Задача №10. Пятый пример решения

Решение:

1. Подсчитаем число благоприятных исходов. У нас имеется две девочки: пусть это будут Оля и Лена. Они могут сесть рядом в порядке «Оля-Лена» или «Лена-Оля». Таким образом, у нас число благоприятных исходов 2.

2. Общее число исходов определим следующим образом. Пусть первой садится девочка (кстати, вероятность этого события 2/11). Тогда остается 10 свободных стульев для дальнейшего рассаживания.

3. Вероятность того, что две девочки окажутся на соседних местах, равна 2/10=0,2.

Ответ: 0,2.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Остались вопросы?

Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.

Вероятность — очень лёгкая тема, если концентрироваться на смысле задач, а не на формулах. Найти вероятность того что — не просто. И  как решать задачи на вероятность?. Во-первых, что такое вероятность? Это шанс, что какое-то событие произойдёт. Если мы говорим, что вероятность некоторого события 50%, что это значит? Что оно либо произойдет, либо не произойдет — одно из двух. Таким образом подсчитать значение вероятности очень просто — нужно взять количество подходящих нам вариантов и разделить на количество всех возможных вариантов. Например, шанс получить решку при подбрасывании монеты это ½. Как мы получаем ½? Всего у нас два возможных варианта (орёл и решка), из них нам подходит один (решка), так мы и получаем вероятность ½.

Как мы уже с вами увидели, вероятность может быть выражена как в процентах, так и в обычных числах. Важно: на ЕГЭ вам нужно будет записать ответ в числах, не в процентах. Принято, что вероятность изменяется от 0 (никогда не произойдет) до 1 (абсолютно точно произойдет). Также можно сказать, что всегда

Вероятность подходящих событий + вероятность неподходящих событий = 1

Теперь мы точно понимаем, как считать вероятность отдельного события, и даже такие задачи есть в банке ФИПИ, но понятно, что на этом всё не заканчивается. Чтобы жизнь была веселее, в задачах на вероятность обычно происходят как минимум два события, и надо посчитать вероятность с учетом каждого из них.

Вероятность нескольких событий

Подсчитываем вероятность каждого события в отдельности, затем между дробями ставим знаки:

1. Если нужно первое И второе событие, то умножаем.

2. Если нужно первое ИЛИ второе событие, то складываем.

Задачи и решения задач на вероятность

Задача 1. Среди натуральных чисел от 23 до 37 случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что оно не делится на 5.

Решение:

Вероятность, это отношение благоприятных вариантов к общему их количеству.

Всего в этом промежутке 15 чисел. Из них на 5 делится всего 3, значит не делится 12.

Вероятность тогда: 

Ответ: 0,8.

Задача 2. Для дежурства в столовой случайно выбирают двух учащихся класса. Какова вероятность того, что дежурить будут два мальчика, если в классе обучается 7 мальчиков и 8 девочек?

Решение: Вероятность, это отношение благоприятных вариантов к общему их количеству. В классе 7 мальчиков, это благоприятные варианты. А всего 15 учеников.

Вероятность что первый дежурный мальчик:

Вероятность что второй дежурный мальчик:

Раз оба должны быть мальчики, вероятности перемножим:

Ответ: 0,2.

Задача 3. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Решение: Пассажиру В. удобны 30 мест (12 + 18 = 30), а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна 30/300, т. е. 0,1.

Задача 4. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам.

Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

Решение: Из 25 билетов 15 не содержат вопроса по неравенствам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна 15/25, т. е. 0,6.

Задача 5. В сборнике билетов по химии всего 35 билетов, в 7 из них встречается вопрос по кислотам.

Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам.

Решение: Из 35 билетов 28 не содержат вопроса по кислотам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам, равна 28/35, т. е. 0,8.

Задача 6. В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 2 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение: Если из 500 насосов 2 подтекают, то 498 не подтекают. Следовательно, вероятность выбора хорошего насоса — 498/500, т. е. 0,996.

Задача 7. Вероятность того, что новый пылесос в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,065. В некотором городе из 1000 проданных пылесосов в течение года в гарантийную мастерскую поступило 70 штук.

На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение: Частота события «гарантийный ремонт» равна 70/1000, т. е. 0,07. Она отличается от предсказанной вероятности на 0,005 (0,07 – 0,065 = 0,005).

Задача 8. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 18 из России, 14 из Украины, остальные — из Белоруссии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием.

Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Белоруссии.

Решение: Всего участниц на чемпионате 50, а спортсменок из Белоруссии — 18 (50 – 18 – 14 = 18).

Вероятность того, что первой будет выступать спортсменка из Белоруссии — 18 из 50, т. е. 18/50, или 0,36.

Задача 9. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 80 докладов — первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой.

Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение: За первые три дня будут прочитаны 36 докладов (12 ∙ 3 = 36), на последние два дня планируется 44 доклада. Поэтому на последний день запланировано 22 докладов (44 : 2 = 22). Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 22/80, т. е. 0,275.

Задача 10.

Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шахматистов, среди которых 14 участников из России, в том числе Егор Косов.

Найдите вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России?

Решение: В первом туре Егор Косов может сыграть с 25 шахматистами (26 – 1 = 25), из которых 13 ― из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России, равна 13/25, или 0,52.

Задача 11.

В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение: Вероятность того, что команда России окажется во второй группе, равна отношению количества карточек с номером 2, к общему числу карточек, т. е. 4/16, или 0,25.

Задача 12.  В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?

Решение: Выбирают двоих туристов из пяти. Следовательно, вероятность быть выбранным равна 2/5, т. е. 0,4.

Задача 13. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.

Решение: На первом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда вероятность того, что турист полетит первым рейсом вертолёта, равна 6/30, или 0,2.

Задача 14. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

Решение: Натуральных чисел от 10 до 19 десять, из них на 3 делятся три числа: 12, 15 и 18. Следовательно, искомая вероятность равна 3/10, т. е. 0,3.

Вероятность нескольких событий

Задача 1. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стратор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только вторую игру.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

Нас устроит следующий вариант: «Статор» не начинает первую игру, начинает вторую игру, не начинает третью игру. Вероятность такого развития событий равна произведению вероятностей каждого из этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, следовательно: 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125.

Задача 2. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей ― 1 очко, если проигрывает ― 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

Задачу выполняют несколько вариантов:

Игра №1	Игра №2	Вероятность данного варианта
3	1	0,4 · 0,2 = 0,08
1	3	0,2 · 0,4 = 0,08
3	3	0,4 · 0,4 = 0,16

Вероятность происхождения какого-либо их этих 3-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32.

Задача 3. В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того что Аня и Нина окажутся в одной группе.

Решение: 

Тип вопроса: уменьшение групп.

Вероятность попадания Ани в одну из групп равна 1. Вероятность попадания Нины в ту же группу равна 2 из 20 (2 оставшихся места в группе, а человек осталось 20). 2/20 = 1/10 = 0,1.

Задача 4. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.

Решение:

Способ №1

Тип задачи: уменьшение групп.

Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая однорублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1.

Вероятность, что две двухрублевые монеты попадут в этот же карман = количество оставшихся мест в этом кармане/на количество оставшихся мест в обоих карманах = 2/5 = 0,4.

Способ №2

Тип вопроса: совмещение событий.

Задачу выполняют в несколько вариантов:

Если Петя переложил в другой карман три из четырех рублевых монет (а двухрублевые не перекладывал), или если переложил в другой карман обе двухрублевые монеты и одну рублевую одним из трех способов: 1, 2, 2; 2, 1, 2; 2, 2, 1. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 

Задача 5. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Решение:

Тип задачи: уменьшение групп.

Способ №1

Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая двухрублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1. Вероятность, что вторая монета попадет в другой карман = количество оставшихся мест в другом/ на количество оставшихся мест в обоих карманах = 3/5 = 0,6.

Способ №2

Тип вопроса: совмещение событий.

Задачу выполняют несколько вариантов:

Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя должен взять из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые монеты. Это можно сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 

Задача 6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение: Тип вопроса: нахождение желаемого и действительного совмещение событий Нас устраивают три варианта:

Орёл ― решка ― орёл;

Орёл ― орёл ― решка;

Решка ― орёл ― орёл;

Вероятность каждого случая ― 1/2, а каждого варианта ― 1/8 (1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8)

Нас устроит либо первый, либо второй, либо третий вариант. Следовательно, складываем их вероятности и получаем 3/8 (1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8), т. е. 0,375.

Задача 7. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,34. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

В любом случае А. будет играть как белыми, так и черными, поэтому нас устроит вариант, когда гроссмейстер А. выиграет, играя белыми (вероятность ― 0,5), а также играя чёрными (вероятность ― 0,34). Поэтому надо перемножить вероятности этих двух событий: 0,5 ∙ 0,34 = 0,17.

Задача 8. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,98. Покупателю надо, чтобы и первая, и вторая батарейка были исправны: 0,98 · 0,98 = 0,9604.

Задача 9. На рок-фестивале выступают группы ― по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из США будет выступать после группы из Канады и после группы из Китая? Результат округлите до сотых.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (КИТ — Китай, КАН = Канада):

… США, КАН, КИТ …

… США, КИТ, КАН …

… КИТ, США, КАН …

… КАН, США, КИТ …

… КАН, КИТ, США …

… КИТ, КАН, США …

США находится после Китая и Канады в двух последних случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна:

≈ 0,33.

Дополняющая вероятность

Задача 1. 

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05.

Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована.

Решение: 

Существуют 2 варианта, которые нам подходят:

Вариант А: батарейка забракована, она неисправна;

Вариант Б: батарейка забракована, она исправна.

Вероятность варианта А: 0,02 ∙ 0,97 = 0,0194;

Вероятность варианта Б: 0,05 ∙ 0,98 = 0,049;

Нас устроит либо первый, либо второй вариант: 0,0194 + 0,049 = 0,0684.

Задача 2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стекол, вторая — 40%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 5%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение: 

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,6 · 0,03 = 0,018.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,4 · 0,05 = 0,02.

Вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным, равна 0,018 + 0,02 = 0,038.

Задача 3. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.

Решение: 

Предположим, у нас х тарелок изначально (ведь мы постоянно имеем дело с процентами, поэтому нам ничего не мешает оперировать конкретными величинами).

Тогда 0,1х — дефектные тарелки, а 0,9х — нормальные, которые поступят в магазин сразу. Из дефектных убирается 80%, то есть 0,08х, и остаётся 0,02х, которые тоже пойдут в магазин. Таким образом, общее количество тарелок на полках в магазине окажется: 0,9х + 0,02х = 0,92х. Из них нормальными будет 0,9х. Соответственно, по формуле вероятность будет 0,9х/0,92х ≈ 0,978.

Задача 4. По отзывам покупателей Игорь Игоревич оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,91. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,89. Игорь Игоревич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит товар, равна 1 − 0,91 = 0,09. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар, равна 1 − 0,89 = 0,11. Вероятность происхождения двух этих событий одновременно равна произведению вероятностей каждого из них: 0,09 · 0,11 = 0,0099.

Задача 5. При изготовлении подшипников диаметром 70 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше чем на 0,01 мм, равна 0,961. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 69,99 мм или больше чем 70,01 мм.

Решение: Нам дана вероятность события, при котором диаметр будет в пределах между 69,99 мм и 70,01 мм, и она равна 0,961. Вероятность всех остальных вариантов мы можем найти по принципу дополняющей вероятности: 1 − 0,961 = 0,039.

Задача 6. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся верно решит больше 9 задач, равна 0,68. Вероятность того, что верно решит больше 8 задач, равна 0,78. Найдите вероятность того, что верно решит ровно 9 задач.

Решение: Вероятность того, что Т. верно решит более 8 задач, включает в себя вероятность решения ровно 9 задач. При этом, события, при которых О. решит больше 9 задач, нам не подходят. Следовательно, отняв от вероятности решения более 9 задач вероятность решения более 8 задач, мы и найдём вероятность решения только 9 задач: 0,78 – 0,68 = 0,1.

Задача 7. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 21 пассажира, равна 0,88. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,66. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 20.

Решение. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше 21 пассажира, включает в себя вероятность, что в нём окажутся от 12 до 20 пассажиров. При этом события, при которых пассажиров будет меньше 12, нам не подходят. Следовательно, отняв от первой вероятности (менее 21) вторую вероятность (менее 12), мы и найдём вероятность того, что пассажиров будет от 12 до 20 : 0,88 – 0,66 = 0,22.

Задача 8. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 10 апреля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 13 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

Задачу выполняют несколько вариантов («Х» — хорошая погода, «О» — отличная погода):

11 апреля	12 апреля	13 апреля	Вероятность данного варианта
X – 0,9	X – 0,9	O – 0,1	0,9 ·0,9 ·0,1 = 0,081
X – 0,9	O – 0,1	O – 0,9	0,9 ·0,1 ·0,9 = 0,081
O – 0,1	O – 0,9	O – 0,9	0,1 ·0,9 ·0,9 = 0,081
O – 0,1	X – 0,1	O – 0,1	0,1 ·0,1 ·0,1 = 0,001

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,081 + 0,081 + 0,081 + 0,001 = 0,244.

Задача 9. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

Задачу выполняют несколько вариантов («Х» ― хорошая погода, «О» ― отличная погода):

4 июля	5 июля	6 июля	Вероятность данного варианта
X – 0,8	X – 0,8	O – 0,2	0,8 · 0,8 · 0,2 = 0,128
X – 0,8	O – 0,2	O – 0,8	0,8 · 0,2 · 0,8 = 0,128
O – 0,2	O − 0,8	O − 0,8	0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,128
O – 0,2	X – 0,2	O – 0,2	0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4 ― х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,128 + 0,128 + 0,128 + 0,008 = 0,392.

Глава 1. ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ.

Классическое определение вероятности

Итак, что же такое вероятность события? Думаю, в
повседневной практике вы нередко говорите фразы: «100%, что я приду»,
«Процентов 70%, что меня не будет». Именно в эти моменты вы уже оперируете
понятием «вероятность».

Вероятность принято обозначать латинской буквой «р».
Это безразмерная величина, у нее нет единицы измерения. Как же ее найти? 

Если мы рассмотрим выше приведенные примеры, то для
того, чтобы определить вероятность, нам необходимо данные в процентах разделить
на 100%.

 

Соответственно, меньше, чем 0% быть не может, и
больше, чем 100% быть не может. Значит, вероятность находится в пределе . То есть, если вы в примере
получили значение вероятности, выходящей из этой области значений, ищите ошибку
в вычислениях или ходе мыслей.

При этом р=0 в том случае, если событие не может
наступить ни при каких условиях. Например, вероятность  события «Луна через 10
секунд упадет на Землю» равна 0. Потому что даже если рассматривать событие
«Луна упадет на Землю» как потенциально возможное, то ограничение по времени
предполагает, что уже в данные секунды были бы такие значительные катаклизмы,
которые не позволили бы нам спокойно сидеть и читать этот текст.

Р=1, если событие состоится при любых условиях.
Например, если вы в классе с парты уроните ручку, она с вероятностью р=1
упадет, а не взлетит или окажется в состоянии невесомости.

В большинстве задач, которые вы решали ранее, в том
числе, в ГИА, вычисление вероятности сводилось к нахождению значения по
классической формуле вероятности:

бл р  общ

где N_бл – это количество
исходов, благоприятных заданным условиям, а N_общ –
общее количество возможных исходов.

Не удивляйтесь, нам в этой задаче не пришлось искать
вероятность. Да-да, и такие задачи в ЕГЭ встречаются, будьте внимательны!.

В большинстве же случаев необходимо найти именно
вероятность. Посмотрим на примере,  как это делать.

Задания для закрепления 1. В
фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых и 8 зеленых.
По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице.
Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.

2.                 
На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней.
Юля наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с
вишней.

3.                 
В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них
чѐрные с жѐлтыми надписями на бортах, остальные — жѐлтые с чѐрными надписями.
Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жѐлтого цвета с
чѐрными надписями.

Большинство проблем в заданиях на вероятность связано
отнюдь не с незнанием формулы, а с неумением читать. Ну серьезно, ребята, куда
вы спешите, решая первую часть? Не бегите вперед батьки в пекло, ваша
поспешность может дорогого стоить. Так обидно терять баллы из-за коварной
частички «не» (или «на» вместо «из») в вопросе, которую вы «по
невнимательности» пропустили. Не спешите, прошу вас! Поучимся читать ?

Задания для закрепления

5.                 
В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в
продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для
контроля насос не подтекает.

6.                 
В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из
них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно
выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.

7.                 
В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из
них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в
случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по
неравенствам.

8*. Внимание,
коварная задачка! Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100
качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите
вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат
округлите до сотых.

«Порядок определяется жеребьевкой»

ВАЖНО! Если в условии задачи
сказано, что порядок определяется жребием, жеребьевкой, в случайном порядке, то
нам совершенно не важно, каким там по счету должен выступать спортсмен или
профессор. Просто «забываем» эту информацию, как лишнюю, добавленную «чтобы
запутать».

«М. будет выступать шестым» – случайное событие, и оно
равновероятное относительно другого порядка выступлений. Расшифрую последнюю
фразу: вероятность того, что этот конкретный человек окажется шестым по счету
не отличается от вероятности того, что он же будет начинать эту конференцию или
соревнования. А раз вероятности этих событий одинаковые, события называются равновероятными.
А находим вероятность мы по той же классической формуле. Кажется сложным?
Решать проще!  

Задания для закрепления

9. На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3
из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьѐвкой.
Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.

10*. Внимание, коварная
задачка! На семинар приехали 4 ученых из Франции, 2 из Болгарии и 2 из
Франции. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Найдите вероятность
того, что восьмым окажется доклад ученого из Франции.

Иногда попадаются задачи с чуть более сложными
вычислениями, где, опять же, надо внимательно-внимательно читать.  Разберем на
следующем примере:

Задания для закрепления

11.            
Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80
выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений,
остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений
определяется жеребьѐвкой. Какова вероятность, что выступление представителя
России состоится в третий день конкурса?

12.            
На
олимпиаде в вузе участников рассаживают по трѐм аудиториям. В первых двух по
120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При
подсчѐте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того,
что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Частота события

Чтобы найти
вероятность, как мы помним, нужно количество благоприятных исходов разделить на
общее количество исходов. Точно так же находится и частота события,
задания на которую так же есть в прототипах. В чем же отличие? Вероятность –
это прогнозируемая величина, а частота – констатация состоявшегося факта.

Вы научились находить и частоту события. Теперь
научимся находить разницу между частотой и вероятностью одного и того же
события.

Задание для закрепления 13. В
некотором городе из 2000 появившихся на свет младенцев 1237 мальчиков. Найдите
частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

«Спрятанные» и «лишние» условия в заданиях

Вы еще не забыли, что задачи надо внимательно читать?
Бывает так, что в задаче числа прописаны необычно, в виде текста. И с такими
заданиями тоже надо научиться справляться J.

Но бывают и более сложные задания. Из которых труднее
вычленить условия. 

Или еще один пример:

Задания для закрепления 14.
Вика включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время
по четырнадцати каналам из тридцати пяти показывают рекламу. Найдите
вероятность того, что Вика попадет на канал, где реклама не идет.

15.            
Люба
включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по
шести каналам из сорока восьми показывают документальные фильмы. Найдите
вероятность того, что Люба попадет на канал, где документальные фильмы не идут.

16.            
Вася, Петя, Коля и Лѐша бросили жребий — кому начинать игру.
Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

17.            
В кармане у Коли было четыре конфеты — «Грильяж», «Ласточка»,
«Взлѐтная» и «Василѐк», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Коля
случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что
потерялась конфета «Ласточка».

18.            
В группе туристов 30 человек. Их вертолѐтом в несколько
приѐмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в
котором вертолѐт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что
турист П. полетит первым рейсом вертолѐта.

19.            
В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их
нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку
лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4,
4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова
вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Задачи на четность и делимость

Понемножку повышаем сложность заданий, вы еще не
устали? Тогда в путь!. Теперь нам надо вспомнить, что такое четные числа, что
такое «число делится на 2,3,5,9» и т.д. И еще вспомнить, что двузначных чисел
90 (от 10 до 99 включая), а трехзначных 900 (с 100 до 999 включительно). Эта
информация нам нужна в ряде заданий в качестве Nобщ.  Итак, разбираемся в
примерах.

Ответ:

Задания для закрепления

20.            
В 3 подъезде
дома квартиры с 41 по 60 включительно. Гость набрал на домофоне номер одной из
этих квартир. Найдите вероятность того, что он позвонил в квартиру с четным
номером.

21.            
На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность
того, что случайно нажатая цифра будет больше 2, но меньше 7?

22.            
Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное
число от 10 до 19 делится на три?

23.            
Какова вероятность, что случайно выбранное двузначное число
делится на 5? 

Задачи с перебором вариантов Задания с монетами и
матчами.

Оооо, столько нелюбимые
ребятами задачи с монетами, кубиками и прочим! Решать их можно несколькими
способами, но мы выберем самый… наглядный, что ли. Метод перебора вариантов. Но
в данном методе нужно быть предельно внимательным, чтобы не упустить ни одного
варианта! А то расчеты окажутся неверными.

Задания для закрепления 24.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите
вероятность того, что в первый раз выпадает орѐл, а во второй — решка.

25.            
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды.
Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы две решки.

Аналогичным способом решаются и задачи на матчи
(жребий определяет, какая команда будет начинать игру). Нужно тоже перебрать
варианты:

26.            
Перед началом
футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд
начнѐт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами.
Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два
раза.

Задачи на кубики (игральные кости)

Ох, уж эти кубики!
Сколько слез было пролито над этими задачками!.  А все потому, что в условие
каждой из них приходится вникать, понимая, что же в этот раз от нас хотят
составители. 

В этих задачках
встречается редкий вопрос, мы о нем говорили в самом начале: найти не саму
вероятность, а лишь число благоприятных исходов. Но мы так привыкли подставлять
Nбл в формулу, что совершенно не представляем, что именно это значение и может
быть ответом!

Хорошо, с благоприятными исходами разобрались, теперь
можно понемножку усложнять. Опираясь на принцип перебора, который только что
разобрали, решим следующий пример:

Пример 16: Таня и Маша бросают кубик по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если количество очков совпадает, это ничья. Найдите вероятность того, что Маша проиграла, если в сумме у них выпало 8 очков. Решение: Составим таблицу всех возможных исходов (как в примере 15), учитывая, что на кубике никак не может выпасть 7 очков, а поэтому случай 7+1 мы не рассматриваем!                                                                                                           Т       М                                                                                                            2        6                                                                                                            6        2                                                                                                            5        3 3                    5 4                    4

Итак, получилось всего 5 возможных исходов. Это мы нашли Nобщ. Сколько же случаев удовлетворяет условию «Маша проиграла»? Во втором и третьем случае Маша выбросила меньше очков, чем Таня. Так что Nбл равно 2. Отсюда вероятность р= Ответ: 0,4

В рассмотренных примерах мы могли выписать все
возможные исходы, и это было нашим Nобщ. Но так бывает далеко не всегда, тут
надо очень точно понимать, когда перебирать слишком трудоемко. Что же делать с
таким типом задач?

Уф, с двумя кубиками справились! Хотя тут было
непросто. С тремя будет еще интереснее!

Пример 18. Кубик бросили трижды. Найдите вероятность того, что в сумме выпало 12 очков. Решение: Как найти общее количество исходов, мы прописали в примере 1.7: Nобщ=216. А вот что делать с количеством благоприятных исходов? Можно, конечно, составить полную таблицу, как в предыдущем случае. Но тогда потеря одного из исходов влечет за собой неверный ответ. Давайте поступим немножко по-другому, запишем просто все возможные комбинации цифр от 1 до 6, в сумме дающие 12, не переставляя их местами:                 6        5        1

6        4        2                 6        3        3 С цифрой 6 закончили. Теперь внимательно следим за тем, чтобы в дальнейших случаях она случайно не появилась, иначе это будет всего лишь перестановкой уже рассмотренного случая.                 5        5        2                 5        4        3                 4        4        4 Всего получилось 6 комбинаций. Но ведь мы еще можем переставлять цифры местами в каждой из них! Чтобы не вводить понятия комбинаторики, предлагаю запомнить:  Если все 3 цифры разные – они дают 6 комбинаций. Если 2 цифры совпадают, а третья отличается – то 3 комбинации. Если все цифры одинаковые – 1 комбинация. Используя это правило, найдем количество благоприятных исходов:  Nбл=6+6+3+3+6+1=25  Вероятность равна:                                                                                           р=                           После первого округления получаем значение р=0,116. После второго – р=0,12. Ответ: 0,12.

                                                                                                                                          Задания
для закрепления     

27.            
Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов
опыта благоприятствуют событию: «А = сумма очков равна 7»?

28.            
Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов
опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 9»?

29.            
Лена и Саша играют
в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигравает тот, кто выбросил больше
очков. Ничья, если очков поровну. Лена выкинула 3 очка. Затем кубик бросает
Саша. Найдите вероятность того, что Саша выиграет.

30.            
Найдите вероятность того, что при броске игрального кубика
выпадет нечетное число.

31.            
Найдите вероятность того, что при броске двух кубиков на
обоих выпадет число, большее 3 (подсказка: перебирайте только благоприятные
варианты. Nобщ=36).

32.            
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

33.            
В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.

Сложный перебор вариантов

Бывает и так, что в задании с ходу не разобраться, что
нужно перебирать варианты. Да и в принципе не понятно, с какого бока приступать
к ее выполнению! Одна из таких задач, с которой традиционно возникают
сложности, рассмотрена в примере ниже. 

В данном примере перебирать нужно было всего 6
вариантов. Но их бывает ЗНАЧИТЕЛЬНО больше. Например, задача по монеты в
карманах. Она может решаться и другими способами, но перебором нагляднее и
чуточку проще. 

Задания для закрепления 34. В
кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя,
переложил какие-то 3 монеты в другой кар15анн. Найдите
вероятность того, что обе двухрублѐвые монеты лежат в одном кармане.

Глава 2. ЗАКОНЫ ВЕРОЯТНОСТИ

Несовместные события и закон сложения

Для того чтобы перейти к рассмотрению более сложных
заданий, необходимо ввести новые понятия: независимые события и несовместные
события.

События являются несовместными, если появление
одного события исключает появление другого. Предположим, вы подошли к остановке,
от которой только что отъехал автобус, номер которого вы не заметили. Если это
отъехал автобус №1, то это никак не мог быть автобус №2 одновременно. В
применении к прототипам ЕГЭ: если Вы вытянули билет, в котором только 1 вопрос,
касающийся бактерий, то этот же вопрос никак не может коснуться грибов,
например. То есть, события «вытянуть билет с вопросом о грибах» и «вытянуть
билет с вопросом о бактериях» являются несовместными, ибо появление одного из
этих событий исключает появление другого. 

Вот с этими самыми несовместными событиями дело как
раз обстоит очень просто. Если нам надо найти вероятность наступления ИЛИ
одного, ИЛИ другого несовместного события, то мы просто складываем вероятности
данных событий:

р=р1+р2

Несовместные события образуют полную группу событий,
суммарная вероятность которой равна 1.

ВАЖНО! Вероятность НЕ наступления события. Раз
уж мы научились складывать вероятности, необходимо понять, что сумма
вероятностей группы несовместных событий равна 1. Что это значит? Это значит, к
примеру, что если вероятность купить бракованное стекло в примере 1 была 0,03,
то вероятность купить НЕ бракованное стекло равна р=1-0,03=0,97.

Этот случай был достаточно простым. А если в таблицу
придется внести больше данных? Рассмотрим в примере ниже.

Задания для закрепления

35.            
На экзамене по
геометрии школьнику достаѐтся один вопрос из списка экзаменационных вопросов.
Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2.
Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15.
Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите
вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих
двух тем.

36.            
Вероятность того, что в случайный момент времени температура
тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите
вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека
температура окажется 36,8 °С или выше.

37.            
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит
больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет,
равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но
больше года.

38.            
Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно
решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше
10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11
задач.

39.            
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус.
Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров,
равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56.
Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

40.            
При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность
того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм,
равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь
диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

Независимые события и закон умножения

А что же тогда независимые события? Логично, что если
появление одного события не исключает появление другого, но и не повышает
вероятность появления, то эти события независимы. Например, событие А «Катя
дошла до школы» и событие В «Катя купила тетрадь» вполне себе могут иметь
место  в один и тот же день, пусть и в разное время. От того, дошла ли до школы
Катя, не зависит, купит ли она тетрадь. Ну, или нам недостаточно условий, чтобы
эту зависимость провести. Будем считать эти события независимыми. В
применение к прототипам ЕГЭ независимыми событиями можно считать получение
высоких баллов по разным предметам ЕГЭ. Пусть без математики физику, например,
хорошо не напишешь, но в рамках теории вероятности будем считать получение
оценок по разным предметам событиями независимыми.

Здесь можно было бы ввести и формулу для независимых
событий, но, как показала практика, ученики начинают путаться в этих формулах.
Поэтому к обсуждению вероятности наступления одного из двух независимых событий
мы вернемся в главе 6.

Закон умножения (закон и) (для независимых событий)

А что же делать, если нам необходимо найти вероятность
наступления И одного события, И другого? Правильно! Логично их перемножить, раз
уж функцию сложения мы использовали в прошлом разделе.

Следовательно, вероятность наступления И первого, И
второго, И третьего независимых события находится по формуле:

р=р1*р2*р3

Пример 25:
Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы
определить, какая из команд начнѐт игру с мячом. Команда «Ротор» по очереди
играет с командами «Протор», «Стартер» и «Монтѐр». Найдите вероятность того,
что «Ротор» будет начинать только первую и вторую игры.

Задания для закрепления

41.            
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у
гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает
у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во
второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба
раза.

42.            
По
отзывам покупателей Иван Иванович оценил надѐжность двух интернет-магазинов.
Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8.
Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван
Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины
работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один
магазин не доставит товар.

43.            
Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06.
Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких
батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

44.            
В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с
вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все
три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг
от друга).

45.            
Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность
попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что
биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся.
Результат округлите до сотых.

46.            
Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут
честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнѐт игру с мячом. Команда
«Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите
вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

47.            
На рисунке изображѐн лабиринт. Паук заползает в лабиринт в
точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом
разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещѐ не полз. Считая, что
выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук
придѐт к выходу .

Ни один, хотя бы один, ровно 1

О чем пойдет речь в
данном разделе. В теории вероятности части встречаются задачи, касающиеся
событий с определенной вероятностью. И в условиях задачи просят найти: «ровно
1», «ровно 2», «хотя бы 1», «хотя бы 2»,

«ни разу» и т.д. Как же понять, что
нам нужно сделать со всем этим добром?

Рассмотрим на примере
биатлониста, стреляющего по мишеням. Пусть этот спортсмен будет достаточно
опытным, и вероятность попадания в мишень при каждом выстреле составит 0,8. И
пусть выстрелов будет 5.

А теперь рассмотрим все случаи:

Случай 1. Спортсмен попадет 5
раз. 

Решение: Мы уже знаем,
что для того, чтобы найти вероятность наступления И одного, И другого события,
их вероятности необходимо перемножить.

р=0,8*0,8*0,8*0,8*0,8=0,32768

Случай 2. Спортсмен попадет
ровно 4 раза. 

Решение: В данном случае тоже все просто, 4 раза он
попадет и один раз НЕ попадет.

р=0,8*0,8*0,8*0,8*0,2=0,08192

Случай 3. Спортсмен попадет не
менее 3х раз.

Решение: а вот тут
начинается самое интересное. Условию, чтобы спортсмен попал не менее трех раз,
удовлетворяют исходы: «попал 3 раза», «попал 4 раза», «попал 5 раз».
Вероятности последних исходов мы нашли, теперь найдем вероятность попадания
ровно 3 раза:

р=0,8*0,8*0,8*0,2*0,2=0,02048

И что же нам со всем
этим делать? Можно заметить, что если спортсмен попал ровно 3 раза из 5, он
никак вместе с этим не может попасть 5 раз из 5, а значит, события у нас
несовместные. Спортсмен может попасть ИЛИ 3 раза, ИЛИ 4, ИЛИ 5, а значит,
итоговая вероятность равна: р=0,02048+0,08192+0,32768=0,43008. Случай 4:
Биатлонист не попадет ни разу

Решение: Вероятность НЕ попадания равна р=1-0,8=0,2. А
значит, он должен НЕ попасть и первый, и второй, и третий, и четвертый, и пятый
раз.

р=0,2*0,2*0,2*0,2*0,2=0,00032

Случай 5. Спортсмен попадет в
мишень хотя бы один раз.

Решение: вот оно, наше
«хотя бы»! Хотя бы один раз – это все случаи, кроме «не попадет ни разу», а
значит, вероятность равна р=1-0,00032=0,99968

Подведем итоги: р(Хотя бы 1)=1 – р(ни один). 

Примеры на этот раздел будут чуть
ниже, после следующей темы.

Сочетания законов «и» и законов «или»

В новых прототипах
появилось достаточно много подобных заданий, в которых необходимо применить
понимание и одного, и другого закона. Рассмотрим пример в общем виде, чтобы
потом уже закрепить на конкретных прототипах:

Задания для закрепления

48.            
В магазине
стоят два платѐжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с
вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что
хотя бы один автомат исправен.

49.            
Помещение освещается фонарѐм с двумя лампами. Вероятность
перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в
течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

50.            
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных
фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает
3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно
купленное в магазине стекло окажется бракованным.

51.            
Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если
стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного
револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10
револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху,
наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите
вероятность того, что Джон промахнѐтся.

52.            
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность
того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая
батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует
неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке
забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что
случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.

53.            
Всем
пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет
гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных
гепатитом пациентов анализ даѐт положительный результат с вероятностью 0,9.
Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный
результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с
подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того,
что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на
гепатит, будет положительным.

54.            
Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах.
40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства —
20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите
вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого
хозяйства.

Подсказка:
в этой задаче необходимо в таблице сделать дополнительный столбец – общее.
Обозначим за х искомую вероятность купить яйцо из первого хозяйства. Тогда
вероятность купить яйцо из второго равна 1-х. Составим уравнение. 

0,4*х + 0,2*(1-х) =
1*0,35

Когда количество участников уменьшается (условная
вероятность)

Как показала практика,
больше всего затруднений вызывают задания, в которых необходимо учесть, что
количество исходов уменьшилось после какого-либо события. Когда выбирают
дежурных в классе по двое, не можем же мы одного и того же человека учесть
дважды! Как решать подобные задания, показано в примерах:

Пример 29: В классе 9 учащихся, среди них два друга — Михаил и Андрей. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Михаил и Андрей окажутся в одной группе. Решение: Для начала рассмотрим, на сколько групп разбили класс. 9:3=3, то есть, на 3 равные группы. Возьмем, к примеру, первую группу и найдем вероятность попадания друзей именно в нее. Вероятность, что Михаил окажется в первой группе, равна    . Вероятность же, что и Андрей окажется в ней же, будет несколько иная. Во-первых, мест в этой группе уже

осталось не 3, а 2, а во-вторых, и учеников-то в классе теперь не 9, а 8. Значит, вероятность Андрея оказаться в данной группе равна         . А вероятность того, что И Михаил, И Андрей окажутся в первой группе равна произведению вероятностей:                 Р=            .   Так, вероятность появления этих товарищей в первой группе мы нашли. Но ведь групп-то 3! И они все одинаковые. Значит, вероятность попадания друзей ИЛИ в первую, ИЛИ во вторую, ИЛИ в третью группу равна: р=          ВАЖНО! Эту задачу можно решить проще! Пусть Миша уже попал в некую группу. Тогда вероятность того, что Андрей окажется в этой же группе рассчитывается следующим образом: сколько осталось мест в группе? 2. Сколько детей осталось в классе, если Мишу уже распределили? 8. Значит, вероятность равна  р Ответ:0,25

Задания для закрепления

55.            
Перед началом
первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары
случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26
бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан
Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с
каким-либо бадминтонистом из России?

56.            
В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и
Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой.
Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

57.            
В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег.
Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того,
что Вадим и Олег окажутся в одной группе.

58.            
В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и
Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти
вероятность того. что Аня и Нина окажутся в одной группе.

Задачи повышенной сложности

Разбор заданий

Пример 30: Чтобы
поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать
на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трѐх предметов — математика, русский
язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно
набрать не менее 70 баллов по каждому из трѐх предметов — математика, русский
язык и обществознание.

Вероятность того, что
абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому
языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.

Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя
бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение: Для того, чтобы
поступить хотя бы на одну из этих двух специальностей, абитуриент должен
набрать баллы И по математике, И по русскому языку, И (ИЛИ по иностранному
языку, ИЛИ по обществознанию). Чтобы не путать вас вычислениями, найдем по
шагам. 

Как
рассчитать вероятность получить нужные баллы по иностранному или
обществознанию? Давайте рассуждать. Что такое получить баллы ХОТЯ БЫ по одному
из этих двух предметов? Мы это уже научились делать.

Напомню:  р(Хотя бы 1)=1 – р(ни
один).

Применим этот принцип и
для нашей задачи:

Вероятность того, что
З. не сдаст иностранный язык равна р1=1-

0,7=0,3. Вероятность
того, что З. не сдаст обществознание р2=1-0,5=0,5. 

Тогда искомая вероятность р3 того, что
З. сдаст хотя бы один из этих двух экзаменов равна: р3=1-р1*р2= 1 – 0,3*0,5 =
1-0,15= 0,85

Значит,
итоговая вероятность равна: р = р(мат)*р(р.язык)*р3=0,6*0,8*0,85=0,408

Ответ: 0,408

Пример 31: На фабрике керамической посуды 10%
произведѐнных тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется
80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите
вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов.
Результат округлите до сотых.

Решение:
В чем коварность этого задания? Обычно неправильно находят Nобщ.
Решим эту задачку не в общем виде, предположим, что фабрика выпустила именно
100 тарелок. Теперь давайте внимательно читать условия по строчкам.  «10%
произведенных тарелок имеют дефект». Значит, в нашем случае, 10 тарелок
оказались бракованными. Но какие именно, этого мы еще не знаем. На контроле
выявятся 80% брака из этих 10 тарелок, соответственно, выяснится, что 8
тарелок – бракованные. Их, конечно, в продажу не пустят. Но 2 тарелки
просочатся в магазины. И тогда, получается, всего в продажу из нашей партии
поступят 100-8=92 тарелки, и из них не будут иметь дефектов

90.
Рассчитаем вероятность по формуле: бл

Ответ: 0,98

Пример 32. В
торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к
концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе
закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу
дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение:
Это задание решается непросто. Действительно, если бы эти события были
независимыми, то вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах была
бы результатом перемножения вероятности того, что кофе закончится в одном из. Но
мы видим, что это не так  (0,3*0,3 ≠ 0,12).  Значит, все то, что мы узнали
выше, нам здесь не поможет, нужен какой-то другой метод. Не буду вас томить
сложными объяснениями и объяснять, почему решается именно так, расскажу просто
механизм решения конкретно этого задания.

Сначала
мы находим вероятность наступления двух совместных событий (это понятие мы не
вводили) «Кофе закончится в обоих автоматах». Эта вероятность равна сумме
вероятностей наступления этих событий без вероятности их совместного наступления:
р1=0,3+0,3-0,12=0,48

А
потом находим искомую вероятность р (кофе останется в обоих автоматах) как
противоположное событие: р=1-р1=1-0,48=0,52

Ответ: 0,52

Пример 33: В Волшебной стране бывает два типа
погоды: хорошая и отличная, причѐм погода, установившись утром, держится
неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет
такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая.
Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение: Составим схему
всех возможных событий и укажем вероятность наступления данного события.
Вероятность того, что произойдет И первое, И второе, И третье – результат
умножения вероятность отдельных событий. Вероятность того, что нас устроит один
из вариантов, равна сумме получившихся вероятностей. 

          3
июля               4 июля               5 июля               6 июля                      

                                                                       
Отл                                    р1=0,8*0,8*0,2

                                                           Хор 
                                                            

                                                                        
Хор                                                

                                       Хор 
                                                                                     +

                                                                                   
Отл                                                р2=0,8*0,2*0,8

                     
                                                Отл                                                   

              Хор                                                               Хор
                                   

                     
                                                                                                       +

                                                                                   
Отл                                                р3=0,2*0,2*0,2

                                                             
Хор                                                                           

                                                                                               Отл 
 Хор                                            +

                                                                                                                               Отл
                      р4=0,2*0,8*0,8

Отл  

 Хор

р=р1+р2+р3+р4=0,392

Ответ: 0, 392

Пример 34: Чтобы пройти в следующий круг
соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх.
Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если
проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в
следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и
проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение: Команда может
получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: 3+1, 1+3, 3+3. Эти
события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое
из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий —
результата в первой и во второй игре. Отсюда имеем:

Ответ: 0,32.

Пример 35: При артиллерийской стрельбе
автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то
система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не
будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле
равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для
того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение: В решении этой
задачи пойдем очевидным путем – «стрелять» будем до тех пор, пока вероятность
попадания не станет удовлетворять условию. 

Вероятность попадания
при первом выстреле равна: р1=0,4 < 0,98

Конечно, нам необходимо делать второй
выстрел. А при каком условии мы стреляем повторно? Если первый раз НЕ попали.
Вероятность НЕ попасть первый раз равна 1-0,4=0,6. Получается, что второй
выстрел попадет в цель, если первый выстрел закончится промахом И второй –
попаданием. р2=0,6*0,6=0,36. Соответственно, вероятность того, что попадание
состоится ИЛИ при первом ИЛИ при втором выстреле равна: р3 = р1+р2 = 0,4+0,36=0,76
< 0,98. Заданная точность не достигнута. Стреляем третий раз. Опять же,
понимаем, что выстрел производится потому, что первые 2 раза был промах. р4 =
0,6*0,4*0,6=0,144. р5=0,4+0,36+0,144=0,904 < 0,98.

Делаем четвертый
выстрел: р6=0,6*0,4*0,4*0,6=0,0576, р7=0,904+0,0576=0,9616 < 0,98. Опять
мало! Стреляем пятый раз! р8=0,6*0,4*0,4*0,4*0,6=0,02304,
р9=0,9616+0,02304=0,98464. Ура! При пятом выстреле достигли нужной точности!
Нам потребовалось 5 выстрелов.

Ответ: 5

Закрепляем материал:

59.            
Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика»,
абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 69 баллов по каждому из трѐх
предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на
специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 69 баллов по каждому из трѐх
предметов — математика, русский язык и обществознание.

60.            
Вероятность того, что абитуриент А. получит не менее 69
баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,6, по иностранному языку
— 0,6 и по обществознанию — 0,9.

Найдите вероятность того, что А. сможет поступить на
одну из двух упомянутых специальностей.

61.            
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе.
Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,35.
Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите
вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

62.            
Чтобы
пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы
7 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 6 очков, в случае
ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что
команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой
игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.

На этой странице вы узнаете

• Как кот может быть одновременно жив и мертв? 
• Можно ли всегда выигрывать спор с монеткой? 
• Если рандомно ответить на вопрос теста, какой шанс угадать ответ?

Какова вероятность выиграть в лотерею? Исследователи подсчитали: один на восемь миллионов. «Или выиграю, или проиграю», — решаю я, покупая лотерейный билет. Так понятие вероятности преследует нас в обычной жизни. И не только в лотерее. Давайте разберемся подробнее.

Вероятность

Выходя утром из дома, мы задумываемся: брать ли с собой зонт? Проверяем прогноз погоды — вероятность выпадения осадков 2%. Зонтик нам сегодня вряд ли понадобится. В пути нас настигает ливень…

Прогноз погоды — самый яркий пример вероятности. Он не всегда бывает точный, не всегда сбывается. Мы не можем с уверенностью сказать, что будет завтра. Зато можем по совокупности факторов определить, на какую погоду стоит ориентироваться. 

Теория вероятности — один из разделов математики, в котором изучаются модели случайных экспериментов. 

Случайными экспериментами называются такие, результаты которых неизвестны заранее. Подбрасывая монетку, мы не знаем, что выпадет — орел или решка. Только поймав монетку, мы узнаем результат. 

Рассмотрим чуть подробнее пример с монеткой. Есть всего два варианта, какое событие может произойти:

• выпадет орел;
• выпадет решка. 

Эти два события образуют множество элементарных событий. 

Множество элементарных событий — множество всех возможных результатов случайного эксперимента. 

В случае выше их всего два. А если мы будем подбрасывать игральную кость, то их будет уже 6. Множество элементарных событий будет менять в зависимости от ситуации. 

Допустим, мы поспорили с друзьями, что выпадет орел. Для нас это событие будет благоприятным, поскольку мы выиграем спор. Второе событие будет неблагоприятным, потому что спор будет проигран. 

Как найти вероятность, что мы выиграем спор? Нужно разделить число благоприятных событий на общее число событий. Таким образом, мы получили классическое определение вероятности. 

Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий. 

Пусть m — количество благоприятных исходов, а n — количество всех событий. Получаем следующую формулу. 

(P = frac{m}{n})

Вероятность можно обозначить, как P(x), где х — некоторое событие. 

Заметим, что количество благоприятных исходов должно быть либо меньше, либо равно количеству всех исходов. Если благоприятных событий больше, чем всех, значит, мы нашли не все множество элементарных событий.

Когда вероятность равна 1, то такое событие точно наступит. Иначе говоря, мы можем быть уверены на 100% — оно произойдет.

Вероятность всегда будет меньше или равна 1. Но ее можно выразить и через проценты. Для этого достаточно умножить полученный результат на 100%. 

Пример 1. На ресепшене одного из отелей стоит ваза с конфетами. В вазе 56 яблочных конфет, 49 апельсиновых и 35 малиновых. Гость отеля наугад тянет конфету. Какова вероятность, что ему попадется апельсиновая конфета?

Решение. Найдем, сколько всего конфет в вазе: 56 + 49 + 35 = 140. Вероятность вытащить апельсиновую конфету будет равна 
(frac{49}{140} = 0,35)

Выразим в процентах:  
0,35 * 100% = 35%

Задача решена. Обычно в ответе пишут значение вероятности через дробное число, а не проценты. Поэтому получаем следующий ответ. 

Ответ: 0,35

Чтобы выразить вероятность через проценты в одно действие, достаточно воспользоваться следующей формулой. 

(P = frac{m}{n} * 100%)

Но что, если нам нужно найти вероятность для более сложных экспериментов? Первым делом нужно определить, какие события перед нами.

Равновозможные и противоположные события

Когда мы бросаем игральную кость, вероятность выпадения любого из чисел равна 16. То есть вероятности выпадения чисел равны между собой. Такие события называются равновозможными. 

Равновозможные события — такие события, что по условиям опыта ни одно из них не является более возможным, чем другие. 

Вероятности появления событий равны. 

Для игрального кубика существует всего шесть событий, которые могут произойти: выпадет число 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Все эти события образуют полную группу событий. 

Полная группа событий — такая группа событий, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. 

В результате подбрасывания монеты выпадет либо орел, либо решка. То есть полная группа событий состоит из двух событий. 

Мы подбросили монету и выпал орел. Следовательно, не выпала решка. 

А если не выпадет орел? Обязательно выпадет решка. Эти события будут называться противоположными. 

Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе. 

Обозначим событие “выпала решка” как A. Противоположное ему событие “выпал орел” обозначим как (overline{A}). 

Заметим, что вероятность события A равняется 12, как и вероятность события (overline{A}). Чему равна их сумма?

)frac{1}{2} + frac{1}{2} = 1) 

Так мы вывели связь между противоположными событиями. Поскольку они всегда образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей будет равна 1. 

(P(A) + P(overline{A}) = 1)

Какие еще примеры противоположных событий можно назвать? Ясная и дождливая погода. Если наступает одно из этих событий, то второе уже не может наступить. 

Объединение и пересечение событий 

Допустим, у нас есть два события: сегодня пойдет снег и сегодня пойдет дождь. Что будет, если мы их объединим? 

Объединение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий. 

В этом случае мы получим событие, которое будет выполняться при любом из исходов: и если пойдет снег, и если не пойдет снег. 

Объединение событий обозначается знаком (cup). Объединение событий А и В можно записать как (A cup B). 

Рассмотрим немного другой пример. В первое событие входит, что Илья получит пятерку по физике, а второе событие — Антон получит пятерку по физике. А как можно назвать событие, если оба мальчика получат пятерку по физике?

Пересечение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям. 

Пересечение событий обозначается знаком (cap). Пересечение событий А и В можно записать как (A cap B). 

Несовместные и совместные события

Рассмотрим два события: “чайник исправно работает” и “чайник сломался”. Могут ли эти события существовать одновременно? Нет, поскольку появление одного из них исключает появление другого.

Такие события называются несовместными. Название само говорит, что события не могут существовать одновременно. 

Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого. 

Решим небольшую задачу. На экзамене есть несколько билетов. С вероятностью 0,5 попадется билет по планиметрии. С вероятностью 0,3 попадется билет по экономике. При этом не существует билетов, которые включают обе эти темы. С какой вероятностью на контрольной попадется билет по одной из этих тем?

Представим билеты в виде схемы. Заметим, что нам нужно объединить два из трех кругов, то есть сложить их вероятности. 

Следовательно, вероятность будет равна 0,5 + 0,3 = 0,8.

Сформулируем определение суммы вероятностей двух несовместных событий. 

Если существуют несовместные события, то существуют и совместные. 

Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого. 

В магазине работают два консультанта. Один из них занят общением с клиентом. Означает ли это, что второй консультант тоже занят?  Нет, поскольку они работают независимо друг от друга. Если занят первый консультант, второй может быть как занят, так и нет. 

Подбросим игральный кубик и рассмотрим два вида событий. Пусть событие А — это “выпадет число 2”, событие В — “выпадет четное число”. 

Найдем вероятность события А: (frac{1}{6}). 

Для события В всего три благоприятных исхода из шести: выпадет число 2, 4 или 6. Тогда вероятность наступления события В равна (frac{3}{6} = frac{1}{2})

Исключают ли события А и В друг друга? Нет, поскольку если произойдет событие А, произойдет и событие В. Когда произойдет событие В, есть вероятность, что произойдет и событие А. 

Найдем объединение совместных событий на примере кругов. Если мы наложим их друг на друга, то в середине получится как бы два слоя. Проверить это можно, если наложить друг на друга два листа бумаги. 

А нужно получить вот такую картину:

Поэтому для объединения двух кругов нам нужно будет исключить одну из серединок. 

В каких случаях нужно пользоваться формулой со сложением? Достаточно, чтобы задачу можно было сформулировать с помощью “или”. Например, нужно, чтобы выпали темы по планиметрии или по экономике. 

Независимые и зависимые события 

Прогуляемся в магазин за булочками. В упаковке две булочки, а сама упаковка непрозрачная, то есть увидеть булочки до вскрытия упаковки мы не можем. 

Известно, что на заводе, где изготавливаются булочки, 5 из 100 булочек подгорают. Значит, 95 из 100 булочек не подгорают. По классическому определению вероятности находим, что вероятность каждой булочки не подгореть равна (frac{95}{100} = 0,95). 

Какова вероятность, что в упаковке попадутся только не подгорелые булочки? Как найти вероятность сразу для двух булочек?

Ответим на вопрос: зависят ли булочки друг от друга? 

Если подгорит одна из булочек в упаковке, не обязательно подгорит другая. Следовательно, булочки не зависят друг от друга. Такие события называются независимыми. 

Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события. 

Определим вероятность независимых событий. 

Пусть вероятность, что подгорела первая булочка, будет равна Р(А) = 0,95, а вероятность для второй булочки будет равна Р(В) = 0,95. 

А чтобы найти вероятность независимых событий, нужно воспользоваться следующей формулой:

(P(A cap B) = P(A) * P(B))

Тогда вероятность, что булочки в одной упаковке не подгорят, равняется P = 0,95 * 0,95 = 0,9025. 

В каком случае нужно пользоваться этой формулой? Нужно подставить союз “и”. 

Мы хотим, чтобы в упаковке первая булочка была не подгорелой и вторая булочка была не подгорелой. 

Приведем еще один пример. В здании два автомата с кофе на разных этажах. Даже если сломается один из них, работа второго не будет зависеть от первого. 

Но если автоматы стоят  рядом и включены в одну розетку, то при поломке одного из них есть вероятность выхода из строя розетки, а значит, и второй автомат тоже сломается. Такие события будут зависимыми: появление одного из них зависит от появления другого. 

Предположим, что в мешке лежит семь кубиков: два из них оранжевые, а пять — фиолетовые. Из мешка дважды вытаскивают кубики. Какова вероятность, достать во второй раз именно фиолетовый кубик?

Нужная последовательность может быть в двух случаях:

• сначала вытащат фиолетовый кубик и потом снова фиолетовый;
• сначала вытащат оранжевый кубик, а потом фиолетовый. 

Разберем первый случай. Вероятность в первый раз вытащить фиолетовый кубик равна (frac{5}{7}). После этого в мешке останется шесть кубиков, четыре из которых будут фиолетовые. 

Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик равна (frac{5}{7} * frac{4}{6} = frac{20}{42} = frac{10}{21}). 

Теперь рассмотрим второй случай. Вероятность в первый раз достать оранжевый кубик равна (frac{2}{7}). В мешке останется шесть кубиков, пять из которых будут фиолетовыми. 

Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик будет уже равна (frac{2}{7} * frac{5}{6} = frac{10}{42} = frac{5}{21}). 

В этом примере очень наглядно видно, что вероятность напрямую зависит от того, какой кубик попался первым. Следовательно, эти события зависимы. 

Как отличить зависимые и независимые события? Если после наступления первого события меняется количество благоприятных и всех исходов, то такие события — зависимые. Если количество благоприятных и всех исходов не меняется, то события независимые.

Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А. 

Условная вероятность обозначается P(B|A). В нашем примере условной вероятностью будет вычисление, что во второй раз попадется именно фиолетовый кубик.   

Найдем вероятность двух зависимых событий. Формула похожа на ту, что используется для независимых событий. Но в этот раз нам нужно применить условную вероятность. 

Формула Бернулли

Рассмотрим случаи, когда испытание повторяется многократно. Для этого еще раз обратимся к игральному кубику. Подбросим кубик 8 раз. Какова вероятность, что цифра 5 выпала ровно три раза?

Пусть p — вероятность, что выпадет цифра 5. Тогда (p = frac{1}{6}). 

Теперь возьмем q — противоположное р событие — вероятность, что цифра 5 не выпадет. (q = frac{5}{6}). 

Обозначим количество всех бросков за n, а количество выпадения цифры 5 за k. 

Чтобы решить задачу, нужно воспользоваться формулой Бернулли. 

(P_n(k) = C_n^k * p^k * q^{n — k}) 

Множитель (C_n^k) — это число сочетаний. Подробнее узнать про сочетания можно в статье «Основы комбинаторики». 

Решим задачу, подставив значения в формулу:

(P_8(3) = C_8^3 * (frac{1}{6})^3 * (frac{5}{6})^5 = frac{8!}{5!3!} * frac{1}{6^3} * frac{5^5}{6^5} = frac{6 * 7 * 8}{1 * 2 * 3} * frac{5^5}{6^8} approx 0,1) 

Фактчек

• Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий. 
• События могут быть противоположными. Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе. 
• События можно разделить на совместные и несовместные. Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого. Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей: P(A (cup) B) = P(A) + P(B). Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого. Если события А и В совместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения: P(A cup B) = P(A) + P(B) — P(A cap B).
• События также можно разделить на независимые и зависимые. Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события. Вероятность независимых событий можно найти по формуле P(A cap B) = P(A) * P(B). Зависимые события — это события, появление одного из которых зависит от появления другого. Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже наступило. P(A cap B) = P(A) * P(B | A). 
• Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А. 

Проверь себя

Задание 1. 
Какие события являются несовместными?

1. Подбрасывание монетки.
2. Брак батареек в одной упаковке.
3. “Миша идет” и “Миша стоит”.
4. Случайное вытаскивание конфет из вазы. 

Задание 2. 
Алена делает ошибку при решении задач по математике с вероятностью 0,17. С какой вероятностью она не сделает ошибку при решении задачи?

1. 0,17
2. 1
3. 0,83
4. 1,17 

Задание 3. 
Артем решал задачи на вероятность. Ниже приведены его ответы. В какой из задач он точно совершил ошибку?

1. 1
2. 0,216
3. 0,45
4. 1,5 

Задание 4. 
В упаковке три шариковые ручки. С вероятностью 0,1 такая ручка не будет писать. Найдите вероятность, что все три ручки в упаковке пишут. 

1. 0,3
2. 0,001
3. 2,7
4. 0,729 

Задание 5. 
Перед Дашей лежит несколько карточек. Она случайно переворачивает одну из них. С вероятностью 0,5 на карточке окажется рисунок природы. С вероятностью 0,27 на карточке окажется мотивационная цитата. Карточек и с рисунком, и с цитатой нет. Найдите вероятность, что Дана перевернет карточку или с рисунком, или с цитатой. 

1. 0,77
2. 0,135
3. 0,23
4. -0,23

Ответы: 1. — 3 2. — 3 3. — 4 4. — 4 5. — 1