Как найти проекции точек на пирамиде

9 декабря, 2013 Анна Веселова

Понравился материал? Подпишись на обновления!

Вы можете пропустить чтение записи и оставить комментарий. Размещение ссылок запрещено.

Проекции точек на поверхностях геометрических тел

Вы уже знаете, как построить проекции предмета или объекта. Часто при изготовлении изделий необходимо по заданным проекциям определить геометрическую форму предметов и их частей. Предмет можно рассматривать как комбинацию различных геометрических элементов: вершин, ребер, граней и т. д.

Укажите количество вершин, ребер и граней изображенного предмета.

Для точного построения изображений ряда деталей необходимо уметь находить проекции отдельных точек. Чтобы построить проекции точки, принадлежащей поверхности геометрического тела, необходимо понять, на какой поверхности или на каком элементе поверхности (ребре, вершине, грани) находится эта точка. Представив любую деталь как совокупность геометрических тел, можно легко найти проекцию точки.

Рассмотрим проекции точки на геометрических телах. Проецирование точек на поверхности цилиндра  Последовательность проецирования точек Заданы фронтальные проекции а″ и b″ точек А и В, лежащие на боковой поверхности цилиндра. Проекция а″ находится на видимой части поверхности цилиндра (на плоскости V показана без скобок), b″ находится на невидимой части поверхности цилиндра (на плоскости V показана в скобках). 1. Находят горизонтальные проекции точек а′ и b′. Так как горизонтальная проекция боковой проекции цилиндра отображается в виде круга, то проекции точек а′ и b′ будут находиться на нем. Для их нахождения проводят вертикальные линии связи из проекций точек а″ и b″ до пересечения с окружностью. 2. Проекции точек а′″ и b′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

Направление взгляда на плоскости проекций H, W помогает определить видимость проекций точек на горизонтальной и профильной плоскости проекций. Например, проекции а′ и b′ на плоскости H видны. Проекция а′″ на плоскости W не видна (показана в скобках), проекция b′″ видна (показана без скобок).

Определите, какая из горизонтальных проекций на рисунке является проекцией наглядного изображения головки винта. 

Проецирование точек на поверхности призмы  Последовательность проецирования точек Задана фронтальная проекция а″ точки А, лежащая на боковой поверхности шестигранной призмы. 1. Находят горизонтальную проекцию точки а′. Для ее нахождения проводят вертикальную линию связи из проекции точки а″ до пересечения с шестиугольником (горизонтальная проекция призмы). 2. Проекцию точки а′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

Опишите последовательность проецирования точки, находящейся на ребре призмы. Выполните это построение.

Проецирование точек на поверхности пирамиды

Построение проекции точки, лежащей на ребре
Если точка находится на ребре предмета, то сначала необходимо выполнить проекцию ребра, а затем при помощи линий проекционной связи найти проекции точки, лежащей на ребре.

Как вы считаете, можно ли таким способом спроецировать точку, находящуюся не на ребре, а на грани четырехгранной пирамиды? Свои предположения проверьте на практике.

Общий метод определения точки, лежащей на поверхности геометрического тела, заключается в следующем: через точку на поверхности проводят вспомогательную прямую, проекции которой легко определяются на данной поверхности.

Построение проекции точки, лежащей на грани
Задана фронтальная проекция а″ точки А, лежащая на боковой поверхности четырехгранной пирамиды.

Проекции точек можно определить несколькими способами. Рассмотрим каждый из них. 

Способ I. 1. Находят горизонтальную проекцию точки а′: вспомогательной прямой соединяют заданную проекцию точки а″ с проекцией вершины пирамиды s″ и продлевают ее до пересечения с основанием в точке f″. 2. Проводят вертикальную линию связи из проекции f″ до пересечения с основанием на плоскости H в точке f′. 3. Точку f′ соединяют с вершиной пирамиды s′. На нее проводят вертикальную линию связи из проекции а″ до пересечения в точке а′. 4. Проекции точки а′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

Способ II. 1. Через проекцию а″ точки А проводят вспомогательную прямую и получают точки пересечения с ребрами пирамиды 1″ и 2″. 2. Опустив из точки 1″ вертикальную линию связи до пересечения с соответствующим ребром на плоскости H, получают горизонтальную проекцию точки 1′. 3. Для нахождения проекции 2′ проводят из точки 1′ вспомогательную прямую, параллельную основанию до пересечения с ребром. 4. Горизонтальную проекцию а′ определяют, опустив вертикальную линию связи из точки а″ до пересечения со вспомогательной прямой 1′2′. 5. Проекцию точки а′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

На ваш взгляд, изменится ли положение проекции точки, если вспомогательную прямую провести не параллельно, а наклонно к горизонтальной плоскости?

Проецирование точек на поверхности конуса. На поверхности конуса проекции точек можно также определить двумя способами. Способ I заключается в определении проекций точки с помощью вспомогательной линии — образующей, расположенной на поверхности конуса и проведенной через точку А. В способе II через точку А проводят вспомогательную плоскость, которая пересечет конус по окружности, расположенной в плоскости, параллельной основанию конуса.

Построение проекции точек, лежащих на поверхности пирамиды

На рис. 4.63 показан пример построения горизонтальных и профильных проекций точек и . лежащих на поверхности пирамиды и заданных фронтальными проекциями и .

1 Построение горизонтальных проекций точек, лежащих на поверхности пирамиды:

горизонтальная проекция точки , лежащей на ребре пирамиды , определяется на горизонтальной проекции этого ребра;

Для построения горизонтальных проекций точек, лежащих на гранях пирамиды (на примере заданной точки Р(Р»)), рассмотрим графический алгоритм, действия которого определяются теоремами о принадлежности точки и прямой плоскости.

1-е действие. Провести через точку на поверхности пирамиды вспомогательную линию , параллельную основанию пирамиды, которая пересекает ребро по вспомогательной точке .

2-е действие. Построить горизонтальную проекцию точки по ее принадлежности ребру

3-е действие. Через построенную точку провести горизонтальную проекцию вспомогательной линии параллельно стороне основания пирамиды.

4-е действие. Построить по линии связи горизонтальную проекцию точки по ее принадлежности вспомогательной линии .

Повторить действия графического алгоритма и построить аналогично горизонтальные проекции и точек и .

Проекции точек на поверхности пирамиды можно строить также с помощью вспомогательных прямых, проходящих через се вершину (смотри пост-роение проекции точки с помощью вспомогательной прямой (см. рис. 4.63)).

2 Построение профильных проекции точек, лежащих на поверхности пирамиды:

профильные проекции точек и построены по координатам определяется координатой — координатой (на профильной проекции невидима, так как лежит на невидимой грани (взята в скобки).

!!! Запомните характерные признаки очерков пирамиды на чертеже два треугольника и многоугольник основания. Для усечённой пирамиды — две трапеции и многоугольник основания!

Построение проекций призмы и пирамиды со срезами плоскостями частного положения

Любая плоскость пересекает поверхность призмы и пирамиды по замкнутым ломаным линиям, вершины которых лежат в точках пересечения ребер, граней и основании многогранника с плоскостями срезов. Следовательно, построение срезов на проекциях гранных поверхностей сводится к построению проекций точек, лежащих на поверхности призмы или пирамиды.

Построение проекций призмы со срезами плоскостями частного положения

На рис. 4.64 показан пример построения проекций прямой правильной треугольной призмы высотой со срезами, выполненными плоскостями частного положения — фронтально-проецирующей плоскостью и профильной плоскостью . Для упрощения графических описаний взята призма без срезов из предыдущего примера (см. рис 4.62), горизонтальная, фронтальная и профильная проекции которой уже построены

Для построения проекций призмы со срезами следует выполнить предлагаемый графический алгоритм, определяющий порядок действий при решении всех подобных задач:

1-е действие. Построить тонкими линиями на поле чертежа горизонтальную, фронтальную и профильную проекции заданной прямой правильной треугольной призмы без срезов, а затем выполнить на ее фронтальной проекции срезы плоскостями частного положения по заданному условию: фронтально-проецирующей плоскостью и профильной плоскостью .

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции точки пересечения плоскостей срезов ребрами, гранями и основанием призмы:

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию призмы со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

1. Плоскость среза определяет четырехугольник

1. Плоскость среза определяют совпадающие проекции отрезков и . -отрезок — горизонтальная, вырожденная в линию, видимая проекция профильной плоскости среза (проекция прямоугольника).

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции призмы для определения ее очерка и внутреннего контура:

Горизонтальный очерк определяет треугольник . 2. Внутренний контур определяет видимый отрезок .

5-е действие. Достроить профильную проекцию призмы, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

1. Плоскость среза определяет видимый и искаженный по величине четырехугольник

1. Плоскость среза определяет видимая натуральная проекция прямоугольника :

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции призмы для определения ее очерка и внутреннего контура:

1. Профильный очерк определяют:

слева — профильная проекция ребра , совпадающая с проекцией грани

справа участок ребра и ломаная линия

-снизу — отрезок нижнего основания призмы;

1. Внутренний контур определяют видимые отрезки и .

7-е действие. Оформить чертеж призмы, обведя сплошными толстыми линиями очерки и видимые линии внутреннего контура каждой ее проекции (оставить на чертеже тонкими сплошными линиями очерки проекции призмы без срезов и линии построения ).

Эта теория взята со страницы задач по начертательной геометрии:

• Решение задач по начертательной геометрии

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Построение
фронтальной проекции пирамиды:

1)
Из вершин шестиугольника – точек 1,
2, 3, 4,
5 и
6 (рис. 4.4,
а) –
проводим вверх вертикальные линии связи
и чертим фронтальную проекцию основания
пирамиды –
отрезок 1′–
4′.

2)
Из горизонтальной проекции вершины
пирамиды –
точки s
–
проводим вертикальную линию связи и
от отрезка
1′–
4′
откладываем высоту пирамиды, получаем
точку s‘
–
фронтальную проекцию вершины.

3)
Строим фронталь­ные проекции ребер
пирамиды –
соеди­няем
точку s‘
с точками 1′,
6′(2′), 5(3‘),
4′.

Построение
профильной проекции пирамиды;

1)
Координаты
y
точек 1, 2,
3, 4,
5, 6 (рис.
4.4, а) и вершины – точки
s
– переносим с помощью линий связи с
горизонтальной проекции на профильную
проекцию.

2)
Координаты z
основания и вершины пирамиды —
точки s’
— переносим
с помощью линии связи с фронтальной
проекции на профильную проекцию.

3)
Чертим профильные проекции основания
пирамиды отрезок 2»—
6»
и вершины – точку s».

4)
Строим профильные
проекции ребер пирамиды –
соеди­няем
точку s»
с точками
2»(3»),
1′‘(4»),
6»(5»).

а)

б)

Рисунок
4.4 Комплексный чертеж и изометрия
шестигранной пирамиды

Построение
проекций точек на поверхности пирамиды:

На
рисунке 4.4, а фронтальная проекция
точки А
– точка
а‘–
находится на ребре
s’-1‘, поэтому
для построения горизонтальной проекции
– точки а
– надо опустить линию связи из точки
а‘
на
горизонтальную проекцию этого ребра –
отрезок s-1.
Чтобы
построить профильную проекцию – точку
а»
– надо из точки
а‘
провести
линию связи на профильную проекцию
ребра – отрезок
s‘‘-1‘‘.

Точка
В расположена
не на ребре, поэтому для построения ее
проекций надо сначала провести через
точку в‘
(она задана) отрезок, соединяющий вершину
с основанием (s’-f
‘).
Затем найти горизонтальную проекцию
этого отрезка (s-f
) и, опустив на него из точки а‘
линию
связи, построить точку а..
Профильная
проекция — точка
а»
– строится на пересечении линий связи,
проведенных из точек а
и
а‘.

Построение
изометрии

В

А

пирамиды:

1)
На горизонтальной плоскости строим
изометрию многоугольника основания
пирамиды. На рисунке 4.4, б это шестиугольник.

2)
Из точки О
откладываем вверх высоту пирамиды и
по­лучаем точку s
–
вершину
пирамиды.

3)
Соединяем точку s
с точками 1,
2, 3, 4, 5, 6 и
получаем изометрическую проекцию
пирамиды.

Построение
изометрии точек на поверхности пирамиды:

Изометрию
точек А
и В
строим по их координатам, взятым из
комплексного
чертежа (рис. 4.4, б).

1)
От точки О
отложим на оси х
расстояние n
(координата
y
точки А,
взятая с комплексного чертежа, рис.
3.5), получим точку
а.

2)
От точки
а
отложим
вверх высоту h
(координата z
точки А,
взятая также с комплексного чертежа,
рис. 3.5) и получим
точку А.

3)
От точки О
отложим на оси х
расстояние n₁,
а на оси у
расстояние n₂,
взятые с комплексного чертежа, рис. 3.5,
получим точку
в.

4)
От точки
в
отложим вверх высоту h₁
и получим
точку В.

4.3 Цилиндр

Построение
фронтальной проекции цилиндра:

От
горизонтальной проекции проводим вверх
вертикальные линии связи и чертим
фронтальную проекцию нижнего основания
цилиндра –
горизонтальный отрезок, равный диаметру
D
(рис. 4.5).
От концов этого отрезка откладываем
вверх два вертикальных отрезка, равных
высоте цилиндра и чертим фронтальную
проекцию верхнего основания цилиндра
– еще один отрезок, равный диаметру
D.

Рис.
4.5 Проекции цилиндра Рис. 4.6 Изометрия
окружности Рис. 4.7 Изометрия цилиндра

Построение
профильной проекции цилиндра:

1)
Координаты
y
переносим на профильную проекцию с
помощью линий связи с горизонтальной
проекции.

2)
Координаты z
нижнего и верхнего оснований переносим
с помощью линий связи с фронтальной
проекции. Профильная проекция цилиндра
является повторением его фронтальной
проекции

Построение
проекций точек на поверхности цилиндра:

Горизонталь­ные
проекции точек А
и В
можно найти, проводя из данных точек
а’
и b‘
вертикальные
линии связи до их пересечения с окружностью
в точках а
и b.
Профильная
проекция точки А
— точка
а»
– строится на пересечении линий связи,
проведенных из точек а.
и
а‘.
Профильная проекция точки В
— точка
b»
– строится на пересечении линий связи,
проведенных из точек.
b
и
b‘.

Построение
изометрии

А

окружности:

Изометрическая
проекция окружности заменяется овалом.
У овала две оси – большая и малая. В
плоскости хОz
малой осью овала является ось Оу,
в плоскости
хОу
малой осью овала является ось Оz,
в плоскости
zОу
малой осью
овала является ось Ох.
Большие оси
овалов перпендикулярны малым осям.

1. Проводим
   малую ось овала (рис. 4.6).

2. Проводим
   перпендикулярно малой оси большую ось
   и обозначаем точку пересечения малой
   и большой оси – О₁
   — центр овала.

3. Через
   центр овала О₁
   проводим две осевые штрих-пунктирные
   линии, параллельные осям — Ох
   и Oz
   для плоскости хОz;
   Оz
   и Оу
   для плоскости
   zОу;
   Ох
   и Оу
   для плоскости хОу.

4. Из
   центра О₁
   проводим
   вспомогательную окружность радиусом,
   равным радиусу изображаемой окружности.

5. Из
   точек 1
   и 2 –
   проводим
   большие дуги овала радиусом 1А
   = 1В = 2С = 2D.
   

6. Из
   точек 1
   или 2
   проводим отрезки 1А
   и 1В
   или 2С
   и 2D
   и получаем на большой оси овала точки
   3 и 4. (рис. 4.4, плоскость z
   О у).

7. Из
   точек 3
   и 4
   проводим
   малые дуги радиусом 3А
   = 3C
   = 4В = 4D.

Построение
изометрии цилиндра:

1)
Строим овал — изометрию нижнего основания
в горизонтальной плоскости (рис 4.7).

2)
Из точки О
поднимаем высоту цилиндра и получаем
точку О₁,
относительно которой строим второй
такой же овал – изометрию верхнего
основания.

3)
Соединяем два основания образующими
вертикальными линиями.

Построение
изометрии точек на поверхности цилиндра:

Изометрию
точек А
и В
строим по их координатам, взятым из
комплексного
чертежа (рис. 4.7).

1)
От точки пересечения оси х
с овалом нижнего основания откладываем
вверх расстояние h
(координата z
точки А),
получаем точку А.

2)
Проводим прямую, параллельную оси у
на расстоянии n
от нее, получаем точку 1.

3)
От точки 1 откладываем вверх расстояние
h₁
(координата z
точки В)
получаем точку В.
(Расстояния
n,
h,
h₁
взяты
с комплексного чертежа).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты. Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1250 р./ак.ч.

6.1. Пирамида. Сечение пирамиды плоскостью. Развертка пирамиды

Многогранником называется тело, ограниченное плоскими многоугольниками, которые называется гранями.

Грани, пересекаясь, образуют ребра.
Ребра, пересекаясь, образуют вершины.
Рассмотрим два основных вида многогранников:

Пирамида – многогранник, у которого боковыми гранями являются треугольники, а основанием – многоугольник.

Упражнение

Дана пирамида, основание которой  параллельно π₁. Основание представляет собой некоторый треугольник.

S – вершина пирамиды (Рисунок 6.1).

Рисунок 6.1 – Пересечение поверхности пирамиды прямой

Требуется построить точки пересечения прямой m общего положения с поверхностью пирамиды.

Решение

1.  

1. Вводим через прямую вспомогательную секущую плоскость σ∈m и σ⊥π₂.
2. Строим сечение ∆ (123) поверхности пирамиды с плоскостью σ.

Решение задачи сводится к нахождению линии пересечения плоскостей общего положения (боковые грани пирамиды) и плоскости частного положения (плоскость σ).

Примечание. При наличии круто падающих рёбер (близких к вертикали), построение недостающей проекции точки на ребре по одной данной проекции  необходимо выполнять при помощи пропорционального деления отрезка.

1. В сечении находим точки M и N принадлежащие прямой m.
2. Определяем видимость прямой m.

Развёрткой многогранника называется фигура, полученная в результате последовательного совмещения граней многогранника с плоскостью.

Развёртка всегда строится наружной (лицевой) стороной к наблюдателю.

Для построения развёртки пирамиды нужно определить истинные величины всех рёбер пирамиды и построить грани пирамиды в виде треугольников, последовательно присоединяя их друг к другу.

Основание можно присоединить к любой грани, например, АС (Рисунок 6.2).

Рисунок 6.2 – Построение развёртки пирамиды

В упражнении истинные значения ребер определены способом вращения. Для построения линии сечения на развертке, на истинных величинах рёбер построим точки overline{1},overline{2},overline{3}, проведя горизонтальные линии (траектории перемещения точек 1, 2, 3) до пересечения с соответствующими истинными проекциями ребер.

6.2. Призма. Развертка призмы

Призма – многогранник, у которого боковыми гранями являются параллелограммы, а основания – многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях.

Упражнение

Дана призма, основания которой параллельны плоскости проекций π₁.

Требуется построить точки пересечения прямой m с поверхностью призмы (Рисунок 6.3).

Рисунок 6.3 – Построение «точек встречи» прямой с поверхностью наклонной призмы

Порядок построения:

1. Вводим через прямую вспомогательную секущую плоскость σ∈m и σ⊥π₂.
2. Строим сечение поверхности призмы с плоскостью σ →(∆(123)).
3. В сечении находим точки K и L принадлежащие прямой m.
4. Определяем видимость прямой m. Если грань АВ на π₂ видна, то точка К на π₂ видима, грань ВС невидима, следовательно, точка Lневидима.

Рассмотрим наклонную призму. Пусть основание призмы параллельно π₁, а ребра параллельны π₂.

Построим нормальное сечение, то есть сечение плоскостью σ, перпендикулярной ребрам призмы (Рисунок 6.4).

Это сечение развернется в прямую линию. Боковые ребра перпендикулярны к линии сечения.

Рисунок 6.4 – Построение развёртки призмы
Порядок построения:

1.  

1. Найдем истинную величину сечения – (1₀2₀3₀), для чего повернём сечение (123) вокруг оси n⊥π₂, (можно ввести ДПП π₃//σ).
2. Проведём горизонтальную линию на свободном месте листа. Отложим на ней отрезки:
   /1₀-2₀/; /2₀-3₀/; /3₀-1₀/.

1. Проведём направления рёбер перпендикулярно этой линии через точки: 1₀; 2₀; 3₀ и отмерим вверх и вниз расстояния от нормального сечения (на π₂) до верхнего и нижнего основания, откладывая их на линиях-ребрах.

6.3. Взаимное пересечение многогранников

В результате пересечения многогранников получим ломаную линию.

Возможны два случая пересечения многогранников (Рисунок 6.5):

Рисунок 6.5 – Варианты пересечения многогранников

Вершины ломаной – точки пересечения рёбер одного многогранника с гранями другого.

Звенья ломаной – линии пересечения граней.

Для решения задачи нужно найти вершины ломаной, то есть точки пересечения всех рёбер, участвующих в пересечении.

Построенные точки соединить.

Упражнение

Построить линии пересечения призмы с пирамидой (Рисунок 6.6).

Рисунок 6.6. Построение линии пересечения призмы с пирамидой
Решение

1.  

1. Находим на π₂ проекции точек пересечения ребра пирамиды с проецирующими гранями призмы (точки 1₂ и 2₂). Находим их горизонтальные проекции.
2. Строим точки пересечения ребра призмы с боковыми гранями пирамиды (точки 3₂ и 4₂), для чего используем вспомогательную плоскость τ⊥π₂.
3. Полученные на π₁ точки 3, 2, 4, 1 соединяем отрезками прямых. Причем отрезки 1₁-3₁, 1₁-2₁, 1₁-4₁ невидимы. Получили замкнутую линию пересечения пирамиды с призмой.

Упражнение

остроить три проекции пирамиды с вырезом и развертку (Рисунок 6.7).

1. По двум проекциям построить третью;
2. На всех трех проекциях построить проекции линии пересечения призматического выреза с пирамидой;
3. Невидимые участки линии пересечения и участки рёбер многогранников показывать штриховой линией;
4. Построить развёртку пирамиды с нанесением линии пересечения.

Рисунок 6.7. Построение проекций пирамиды с вырезом и развертки
Решение:

1. Проводим линии рёбер призмы на всех проекциях.
2. Введём плоскость σ⊥π₂, σ//π₁:

• σ//АВС – основанию пирамиды;
• σ пересекает пирамиду ’ сечение подобно ΔА₁В₁С₁.

Это сечение пересекается:

— с ребром D в двух точках 1 и 4;

— с ребром Е в двух точках 2 и 5.

Грань D₂E₂∩S₂B₂ =6₂.

Ребро F₂∩S₂B₂ =7₂.

Соединим найденные точки: 1-2-3-1; 4-6-5-7-4 и определим видимость.

Построение развертки рассмотрено ранее.

6.4. Задачи для самостоятельной работы

1-4. Построить линию пересечения гранных поверхностей. Показать видимость (Рисунки 6.8 – 6.11).

Рисунок 6.8

Рисунок 6.9

Рисунок 6.10

Рисунок 6.11

По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты. Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1250 р./ак.ч.