Как найти проекции векторов на координате оси - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В математике существуют два определения:

1) геометрическая проекция вектора — вектор;

2) проекция вектора на ось — число.

Геометрическая проекция вектора — это вектор, который можно получить, если провести перпендикуляры от концов вектора до выбранной оси. Проекция начала вектора соответствует началу геометрической проекции, а проекция конца вектора соответствует концу геометрической проекции.

Ваш браузер не поддерживает HTML5 видео

Для вектора

v→

геометрическая проекция на оси (t) — это вектор

vt→

Для вектора

n→

геометрическая проекция на оси (y) — это вектор

ny→

Проекция вектора на ось — это скалярная величина (число), равная длине геометрической проекции вектора, если направление оси и геометрической проекции совпадают; или число, противоположное длине геометрической проекции вектора, если направления геометрической проекции и оси — противоположные.

ax=4bx=−3

Если длина вектора

a→

равна

a→

— это острый угол, созданный вектором и осью (x), то скалярная проекция вектора вычисляется по формуле:

ax=a→⋅cosα

Знак проекции вектора выбирается в зависимости от направления оси.

На рисунке видно, что эту формулу можно получить из соотношения в прямоугольном треугольнике:

cosα=прилежащий катетгипотенуза=ax→a→

Обрати внимание!

Если вектор и ось проекций параллельны, то скалярная проекция на этой оси — число, которое равно длине вектора, если направления вектора и оси совпадают, или число, противоположное длине вектора, если направления вектора и оси — противоположные.

Если вектор и ось проекций перпендикулярны, то проекция вектора на этой оси равна (0).

at=3bt=−5ct=0dt=0

Источник

Прямая
с заданной на ней точкой и единичным
базисным вектором
называетсяосью.

Ортогональной
проекцией
точки A
на ось называется точка пересечения
оси с перпендикулярной к ней плоскостью,
проходящей через точку А.

Пусть
в пространстве задана направленная
прямая l.
Проекцией точки М
на ось l
называется основание
перпендикуляра,
опущенного из точкиМ
на ось. Если точка М
лежит на оси l,
то проекция точки М
на ось совпадает с М
(рис. IV.4).

Рис.
IV.4

Пусть
– произвольный вектор.Проекцией
вектора

на осьl
называется координата вектора
относительно единичного вектораоси, гдеА₁
и В₁
– проекции точек A
и B
на ось l,
то есть если
,
то число
называется проекцией вектора
на осьl,
в направлении
.
Обозначение для проекции:.

Из правил сложения
векторов и умножения вектора на число,
заданных своими координатами, следует,
что:

,
где
.

Легко
показать, что
,
где
– угол между векторами
и,
отсчитываемый по правилам тригонометрии:
от векторапротив часовой стрелки до вектора.

Следует
помнить: проекция
вектора на ось положительна (отрицательна),
если вектор образует с осью острый
(тупой) угол, и равна нулю, если этот угол
прямой.

Действия над
векторами, заданными проекциями,
выполняются аналогично действиям над
матрицей-строкой (матрицей-столбцом).

Рассмотрим
3-х мерное линейное пространство L
и
(рис.IV.5).
Введем декартову систему координат
Oxyz.
Представим вектор
в виде линейной комбинации базисных
векторов,,:

.
(IV.1)

Проекцией
вектора
на осьOx
называется величина направленного
отрезка
и записывается.

Так
как, по определению,
,
то если

– угол между осью Ox
и вектором
,
то

.
(IV.2)

Аналогично
определяются проекции вектора

на другие оси.

Рис.
IV.5.

Сопоставляя
(IV.1)
и (IV.2)
и учитывая, что проекция есть направленный
отрезок (если
,
то),
то

,
,.

Заметим,
что
,
получаем

,
,.
(IV.3)

называются направляющими косинусами.
Возводя в квадрат и складывая, получим

то есть сумма
квадратов направляемых косинусов равна
1:

.
(IV.4)

Пусть
углы вектора

с осями Ox,
Оу,
Оz
соответственно равны ,
,
.
По свойству проекции вектора на ось
имеем:

или, что то же
самое:

.
(IV.5)

Числа

называются направляющими косинусами
вектора

().

Линейные свойства проекции вектора на ось

Пусть
дана ось Ox
и векторы

и
:

Тогда, как следует
из свойств сложения векторов, имеем

;

Отсюда,
как следует из (IV.2),
получаем

;

Координаты вектора

Найдем
координаты вектора
,
если известны координаты точек

и
.
Имеем:

Следовательно,
координаты
вектора равны разностям соответствующих
координат его конца и начала.

Зададим
в пространстве декартову систему
координат Oxyz
и вектор
,
где координаты точек
,

Проекция
вектора

на ось Ox
(рис. IV.6)
определяется

.
(IV.6)

Рис.
IV.6.

Тригонометрическая
формула (IV.6)
устанавливает связь между геометрическим
образом отрезка и его проекцией на ось
Ox,
которая в алгебраической форме имеет
вид

.
(IV.7)

Знак
правой части в (IV.7)
определяется
,
для
.
Таким образом,

,
(IV.8
а)

,
(IV.8
б)

.
(IV.8
в)

Для
нахождения длины отрезка

воспользуемся теоремой Пифагора, получим

.
(IV.9)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Проекция вектора на ось в физике — формулы и определения с примерами

Содержание:

Проекция вектора на ось:

Вы уже знаете, что вектор имеет модуль и направление. При решении задач часто используется понятие проекция вектора на ось. Что такое проекция вектора? Как ее определяют?

Начнем с понятия проекция точки на ось.

Проекция точки — это основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на ось.

На рисунке 24 точка

Как определяют проекцию вектора на ось

Проекция вектора на ось — это длина отрезка между проекциями начала и конца вектора, взятая со знаком «+» или «-». Знак «+» берут, если угол между вектором и осью острый, а знак «-» — если угол тупой.

На рисунке 25 проекция вектора на ось Ох обозначена через а проекция вектора — через

Проекция — число положительное, т. к. угол на рисунке 25, а — острый. Проекция — число отрицательное т. к. угол на рисунке 25, б — тупой.

А если вектор перпендикулярен оси? Тогда его проекция на эту ось равна нулю (рис. 26).

Проекцию вектора можно выразить через его модуль и угол между вектором и осью.

Рассмотрим треугольник на рисунке 25, а. Его гипотенуза катет а угол между ними равен Следовательно,

Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором и осью.

Это правило справедливо при любых углах между вектором и осью. Подтвердите это с помощью рисунков 25 и 26.

Обратим внимание на еще одно важное свойство проекций: проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.

С помощью рисунка 27, а, б убедитесь, что из векторного равенства следует равенство для проекций: Не забывайте о знаках проекций.

Можно ли найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные оси

Рассмотрим вектор лежащий в плоскости (рис. 28). Его проекции на оси определим из рисунка:

Модуль вектора находим по теореме Пифагора из треугольника ACD: Разделив на получим: По значению косинуса находим угол

Таким образом, вектор, лежащий в заданной плоскости, полностью определяется двумя проекциями на оси координат.

Вектор в пространстве определяется тремя проекциями: (рис. 29).

Главные выводы:

Проекция вектора на ось — это длина отрезка, заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком «+» или «-».
Если угол между вектором и осью острый, то его проекция на эту ось положительна, если угол тупой — отрицательна, если прямой — равна нулю.
Проекция вектора на ось равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и осью.
Проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.

Пример №1

1. Определите сумму и разность взаимно перпендикулярных векторов (рис. 30). Найдите модули векторов суммы и разности

Решение

Сумму векторов находим по правилу треугольника (рис. 31, а) или параллелограмма (рис. 31, б). Так как векторы взаимно перпендикулярны, модуль вектора находим по теореме Пифагора: Разность векторов определим по правилам вычитания векторов (рис. 32, а, б).

Модуль вектора находим аналогично:

Ответ:

Заказать решение задач по физике

Пример №2

Выразите вектор через векторы (рис. 33). Как связаны между собой проекции этих векторов на оси Ох и Оу?

Решение

По правилу треугольника находим: Отсюда Определив координаты начальных и конечных точек векторов находим проекции этих векторов:

Вычислением убедимся, что проекции векторов связаны теми же равенствами, что и сами векторы:

Ответ:

Путь и перемещение
Равномерное прямолинейное движение
Прямолинейное неравномерное движение
Прямолинейное равноускоренное движение
Колебательное движение
Физический и математический маятники
Пружинные и математические маятники
Скалярные и векторные величины и действия над ними

Источник

Анна Кирпиченкова

Эксперт по предмету «Геометрия»

Задать вопрос автору статьи

Для понятия проекции вектора на ось или какой-либо другой вектор существуют понятия ее геометрической проекции и числовой (или алгебраической) проекции. Результатом геометрической проекции будет вектор, а результатом алгебраической – неотрицательное действительное число. Но перед тем, как перейти к этим понятиям вспомним необходимую информацию.

Предварительные сведения

Основное понятие – непосредственно понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок. Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу — его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $overline{a}$ (рис. 1).

Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.

Определение 3

Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).

«Проекция вектора на ось. Как найти проекцию вектора» 👇

Определение 4

Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:

Эти векторы коллинеарны.
Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).

Обозначение: $overline{a}↑↑overline{b}$

Определение 5

Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:

Эти векторы коллинеарны.
Если они направлены в разные стороны (рис. 4).

Обозначение: $overline{a}↑↓overline{d}$

Определение 6

Длиной вектора $overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

Обозначение: $|overline{a}|$

Перейдем к определению равенства двух векторов

Определение 7

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:

Они сонаправлены;
Их длины равны (рис. 5).

Геометрическая проекция

Как мы уже сказали ранее, результатом геометрической проекции будет вектор.

Определение 8

Геометрической проекцией вектора $overline{AB}$ на ось будем называть такой вектор, который получается следующим образом: Точка начала вектора $A$ проецируется на данную ось. Получаем точку $A’$ — начало искомого вектора. Точка конца вектора $B$ проецируется на данную ось. Получаем точку $B’$ — конец искомого вектора. Вектор $overline{A’B’}$ и будет искомым вектором.

Рассмотрим задачу:

Пример 1

Постройте геометрическую проекцию $overline{AB}$ на ось $l$, изображенные на рисунке 6.

Решение.

Проведем из точки $A$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $A’$. Далее проведем из точки $B$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $B’$ (рис. 7).

Полученный на оси $l$ вектор $overline{A’B’}$ и будет искомой геометрической проекцией.

Замечание 1

Заметим, что если угол между вектором и осью острый, то проекция сонаправлена с осью, а если тупой, то проекция противоположно направлена с осью.

Числовая проекция

Как мы уже знаем, результатом алгебраической проекции будет неотрицательное действительное число.

Определение 9

Числовой (алгебраической) проекцией на ось будем называть неотрицательное число, равное длине вектора геометрической проекции.

Рассмотрим это понятие на примере задачи:

Пример 2

Найти числовую проекцию вектора $overline{F} на сонаправленную ему ось $x$, если угол между ними равняется $α$ (рис. 8). (рис. 8).

Решение.

Введем на рисунке следующие обозначения:

Видим, что длина вектора геометрической проекции, равняется длине $XY$. Из определения косинуса получим, что

$XY=|overline{F}|cosα$

где $|overline{F}|$ — длина вектора $overline{F}$. Это и будет искомая алгебраическая проекция на ось.

Другие случаи можете видеть на рисунке 9.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Векторное описание движения является полезным, так как на одном чертеже всегда можно изобразить много разнообразных векторов и получить перед глазами наглядную «картину» движения. Однако всякий раз использовать линейку и транспортир, чтобы производить действия с векторами, очень трудоёмко. Поэтому эти действия сводят к действиям с положительными и отрицательными числами – проекциями векторов.

Проекцией вектора на ось называют скалярную величину, равную произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между направлениями вектора и выбранной координатной оси.

_?_

На левом чертеже показан вектор перемещения, модуль которого 50 км, а его направление образует тупой угол 150° с направлением оси X. Пользуясь определением, найдём проекцию перемещения на ось X:

sx = s · cos(α) = 50 км · cos( 150°) = –43 км

Поскольку угол между осями 90°, легко подсчитать, что направление перемещения образует с направлением оси Y острый угол 60°. Пользуясь определением, найдём проекцию перемещения на ось Y:

sy = s · cos(β) = 50 км · cos( 60°) = +25 км

Как видите, если направление вектора образует с направлением оси острый угол, проекция положительна; если направление вектора образует с направлением оси тупой угол, проекция отрицательна.

На правом чертеже показан вектор скорости, модуль которого 5 м/с, а направление образует угол 30° с направлением оси X. Найдём проекции:

υx = υ · cos(α) = 5 м/c · cos( 30°) = +4,3 м/с
υy = υ · cos(β) = 5 м/с · cos( 120°) = –2,5 м/c

Гораздо проще находить проекции векторов на оси, если проецируемые векторы параллельны или перпендикулярны выбранным осям. Обратим внимание, что для случая параллельности возможны два варианта: вектор сонаправлен оси и вектор противонаправлен оси, а для случая перпендикулярности есть только один вариант.

Проекция вектора, перпендикулярного оси, всегда равна нулю (см. sy и ay на левом чертеже, а также sx и υx на правом чертеже). Действительно, для вектора, перпендикулярного оси, угол между ним и осью равен 90°, поэтому косинус равен нулю, значит, и проекция равна нулю.

_?_

Проекция вектора, сонаправленного с осью, положительна и равна его модулю, например, sx = +s (см. левый чертёж). Действительно, для вектора, сонаправленного с осью, угол между ним и осью равен нулю, и его косинус «+1», то есть проекция равна длине вектора: sx = x – xo = +s .

Проекция вектора, противонаправленного оси, отрицательна и равна его модулю, взятому со знаком «минус», например, sy = –s (см. правый чертёж). Действительно, для вектора, противонаправленного оси, угол между ним и осью равен 180°, и его косинус «–1», то есть проекция равна длине вектора, взятой с отрицательным знаком: sy = y – yo = –s .

На правых частях обоих чертежей показаны другие случаи, когда векторы параллельны одной из координатных осей и перпендикулярны другой. Предлагаем вам убедиться самостоятельно, что и в этих случаях тоже выполняются правила, сформулированные в предыдущих абзацах.

Источник