Как найти проекции векторов на ось вектора - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В математике существуют два определения:

1) геометрическая проекция вектора — вектор;

2) проекция вектора на ось — число.

Геометрическая проекция вектора — это вектор, который можно получить, если провести перпендикуляры от концов вектора до выбранной оси. Проекция начала вектора соответствует началу геометрической проекции, а проекция конца вектора соответствует концу геометрической проекции.

Ваш браузер не поддерживает HTML5 видео

Для вектора

v→

геометрическая проекция на оси (t) — это вектор

vt→

Для вектора

n→

геометрическая проекция на оси (y) — это вектор

ny→

Проекция вектора на ось — это скалярная величина (число), равная длине геометрической проекции вектора, если направление оси и геометрической проекции совпадают; или число, противоположное длине геометрической проекции вектора, если направления геометрической проекции и оси — противоположные.

ax=4bx=−3

Если длина вектора

a→

равна

a→

— это острый угол, созданный вектором и осью (x), то скалярная проекция вектора вычисляется по формуле:

ax=a→⋅cosα

Знак проекции вектора выбирается в зависимости от направления оси.

На рисунке видно, что эту формулу можно получить из соотношения в прямоугольном треугольнике:

cosα=прилежащий катетгипотенуза=ax→a→

Обрати внимание!

Если вектор и ось проекций параллельны, то скалярная проекция на этой оси — число, которое равно длине вектора, если направления вектора и оси совпадают, или число, противоположное длине вектора, если направления вектора и оси — противоположные.

Если вектор и ось проекций перпендикулярны, то проекция вектора на этой оси равна (0).

at=3bt=−5ct=0dt=0

Источник

Проекция вектора на ось. Проекция вектора на вектор

Навигация по странице:

Определение проекции вектора на ось
Определение проекции вектора на вектор
Формула вычисления проекции вектора на вектор
Примеры задач на проекцию вектора
- плоские задачи
- пространственные задачи

Определение. Проекцией вектора AB на ось l называется число, равное величине отрезка A₁B₁ оси l, где точки A₁ и B₁ являются проекциями точек A и B на ось l. (рис. 1).

рис. 1

Определение. Проекцией вектора a на направление вектора b , называется число, равное величине проэкции вектора a на ось проходящую через вектор b.

Формула вычисления проекции вектора на вектор

Для вычисления проекции вектора a на направление вектора b из определения скалярного произведения получена формула:

Примеры задач на проекцию вектора

Примеры вычисления проекции вектора для плоских задач

Пример 1. Найти проекцию вектора a = {1; 2} на вектор b = {3; 4}.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 3 + 2 · 4 = 3 + 8 = 11

Найдем модуль вектора b

|b| = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Пр _ba =	a · b	=	11	= 2.2
\|b\|	5

Ответ: Пр _ba = 2.2.

Примеры вычисления проекции вектора для пространственных задачи

Пример 2. Найти проекцию вектора a = {1; 4; 0} на вектор b = {4; 2; 4}.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 4 + 4 · 2 + 0 · 4 = 4 + 8 + 0 = 12

Найдем модуль вектора b

|b| = √4² + 2² + 4² = √16 + 4 + 16 = √36 = 6

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Пр _ba =	a · b	=	12	= 2
\|b\|	6

Ответ: Пр _ba = 2.

Источник

Анна Кирпиченкова

Эксперт по предмету «Геометрия»

Задать вопрос автору статьи

Для понятия проекции вектора на ось или какой-либо другой вектор существуют понятия ее геометрической проекции и числовой (или алгебраической) проекции. Результатом геометрической проекции будет вектор, а результатом алгебраической – неотрицательное действительное число. Но перед тем, как перейти к этим понятиям вспомним необходимую информацию.

Предварительные сведения

Основное понятие – непосредственно понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок. Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу — его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $overline{a}$ (рис. 1).

Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.

Определение 3

Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).

«Проекция вектора на ось. Как найти проекцию вектора» 👇

Определение 4

Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:

Эти векторы коллинеарны.
Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).

Обозначение: $overline{a}↑↑overline{b}$

Определение 5

Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:

Эти векторы коллинеарны.
Если они направлены в разные стороны (рис. 4).

Обозначение: $overline{a}↑↓overline{d}$

Определение 6

Длиной вектора $overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

Обозначение: $|overline{a}|$

Перейдем к определению равенства двух векторов

Определение 7

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:

Они сонаправлены;
Их длины равны (рис. 5).

Геометрическая проекция

Как мы уже сказали ранее, результатом геометрической проекции будет вектор.

Определение 8

Геометрической проекцией вектора $overline{AB}$ на ось будем называть такой вектор, который получается следующим образом: Точка начала вектора $A$ проецируется на данную ось. Получаем точку $A’$ — начало искомого вектора. Точка конца вектора $B$ проецируется на данную ось. Получаем точку $B’$ — конец искомого вектора. Вектор $overline{A’B’}$ и будет искомым вектором.

Рассмотрим задачу:

Пример 1

Постройте геометрическую проекцию $overline{AB}$ на ось $l$, изображенные на рисунке 6.

Решение.

Проведем из точки $A$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $A’$. Далее проведем из точки $B$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $B’$ (рис. 7).

Полученный на оси $l$ вектор $overline{A’B’}$ и будет искомой геометрической проекцией.

Замечание 1

Заметим, что если угол между вектором и осью острый, то проекция сонаправлена с осью, а если тупой, то проекция противоположно направлена с осью.

Числовая проекция

Как мы уже знаем, результатом алгебраической проекции будет неотрицательное действительное число.

Определение 9

Числовой (алгебраической) проекцией на ось будем называть неотрицательное число, равное длине вектора геометрической проекции.

Рассмотрим это понятие на примере задачи:

Пример 2

Найти числовую проекцию вектора $overline{F} на сонаправленную ему ось $x$, если угол между ними равняется $α$ (рис. 8). (рис. 8).

Решение.

Введем на рисунке следующие обозначения:

Видим, что длина вектора геометрической проекции, равняется длине $XY$. Из определения косинуса получим, что

$XY=|overline{F}|cosα$

где $|overline{F}|$ — длина вектора $overline{F}$. Это и будет искомая алгебраическая проекция на ось.

Другие случаи можете видеть на рисунке 9.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, что такое проекция вектора на ось или на другой вектор, и приведем формулу, с помощью которой можно найти значение этой проекции. Также разберем примеры решения задач по этой теме.

Нахождение проекции вектора
Примеры задач

Нахождение проекции вектора

Проекция вектора AB на ось l – это число, которое равняется отрезку A₁B₁. Точки A₁ и B₁ при этом являются проекциями точек A и B на ось l.

Проекция вектора a на направление вектора b – это число, которое равно проекции a на ось, проходящую через b.

Формула для нахождения проекции вектора на вектор

Рассчитать проекцию a на направление b можно следующим образом:

Примеры задач

Задание 1
Найдем проекцию вектора a = {3; 5} на b = {2; 8}.

Решение:

1. Сперва посчитаем скалярное произведение заданных векторов:

a · b = 3 · 2 + 5 · 8 = 46

2. Теперь вычислим длину (модуль) b:

3. Остается только воспользоваться формулой выше для нахождения проекции вектора:

Задание 2
Вычислим проекцию вектора a = {4; -7; 5} на b = {11; 3; 6}.

Решение:
Поочередно выполняем те же самые действия, что и в примере, разобранном выше.

a · b = 4 · 11 + (-7) · 3 + 5 · 6 = 53

Источник

Прямая
с заданной на ней точкой и единичным
базисным вектором
называетсяосью.

Ортогональной
проекцией
точки A
на ось называется точка пересечения
оси с перпендикулярной к ней плоскостью,
проходящей через точку А.

Пусть
в пространстве задана направленная
прямая l.
Проекцией точки М
на ось l
называется основание
перпендикуляра,
опущенного из точкиМ
на ось. Если точка М
лежит на оси l,
то проекция точки М
на ось совпадает с М
(рис. IV.4).

Рис.
IV.4

Пусть
– произвольный вектор.Проекцией
вектора

на осьl
называется координата вектора
относительно единичного вектораоси, гдеА₁
и В₁
– проекции точек A
и B
на ось l,
то есть если
,
то число
называется проекцией вектора
на осьl,
в направлении
.
Обозначение для проекции:.

Из правил сложения
векторов и умножения вектора на число,
заданных своими координатами, следует,
что:

,
где
.

Легко
показать, что
,
где
– угол между векторами
и,
отсчитываемый по правилам тригонометрии:
от векторапротив часовой стрелки до вектора.

Следует
помнить: проекция
вектора на ось положительна (отрицательна),
если вектор образует с осью острый
(тупой) угол, и равна нулю, если этот угол
прямой.

Действия над
векторами, заданными проекциями,
выполняются аналогично действиям над
матрицей-строкой (матрицей-столбцом).

Рассмотрим
3-х мерное линейное пространство L
и
(рис.IV.5).
Введем декартову систему координат
Oxyz.
Представим вектор
в виде линейной комбинации базисных
векторов,,:

.
(IV.1)

Проекцией
вектора
на осьOx
называется величина направленного
отрезка
и записывается.

Так
как, по определению,
,
то если

– угол между осью Ox
и вектором
,
то

.
(IV.2)

Аналогично
определяются проекции вектора

на другие оси.

Рис.
IV.5.

Сопоставляя
(IV.1)
и (IV.2)
и учитывая, что проекция есть направленный
отрезок (если
,
то),
то

,
,.

Заметим,
что
,
получаем

,
,.
(IV.3)

называются направляющими косинусами.
Возводя в квадрат и складывая, получим

то есть сумма
квадратов направляемых косинусов равна
1:

.
(IV.4)

Пусть
углы вектора

с осями Ox,
Оу,
Оz
соответственно равны ,
,
.
По свойству проекции вектора на ось
имеем:

или, что то же
самое:

.
(IV.5)

Числа

называются направляющими косинусами
вектора

().

Линейные свойства проекции вектора на ось

Пусть
дана ось Ox
и векторы

и
:

Тогда, как следует
из свойств сложения векторов, имеем

;

Отсюда,
как следует из (IV.2),
получаем

;

Координаты вектора

Найдем
координаты вектора
,
если известны координаты точек

и
.
Имеем:

Следовательно,
координаты
вектора равны разностям соответствующих
координат его конца и начала.

Зададим
в пространстве декартову систему
координат Oxyz
и вектор
,
где координаты точек
,

Проекция
вектора

на ось Ox
(рис. IV.6)
определяется

.
(IV.6)

Рис.
IV.6.

Тригонометрическая
формула (IV.6)
устанавливает связь между геометрическим
образом отрезка и его проекцией на ось
Ox,
которая в алгебраической форме имеет
вид

.
(IV.7)