Как найти проекцию меньшего катете на гипотенузу - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Так как высота, проведенная к гипотенузе, представляет собой проведенный к ней перпендикуляр, то катеты — это наклонные, а отрезки гипотенузы, на которые делит ее высота — проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника.

В треугольнике ABC, изображенном на рисунке, AD — проекция катета AC на гипотенузу AB, BD — проекция катета BC на гипотенузу.

Катеты, их проекции на гипотенузу, гипотенуза и высота прямоугольного треугольника связаны между собой формулами.

1) Свойство высоты, проведенной к гипотенузе.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между проекциями катетов на гипотенузу.

или

$[C{D^2} = AD cdot BD.]$

2) Свойства катетов прямоугольного треугольника.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

или

$[A{C^2} = AB cdot AD]$

$[B{C^2} = AB cdot BD.]$

Источник

Как найти проекцию катета на гипотенузу

Две короткие стороны прямоугольного треугольника называют катетами, а длинную — гипотенузой. Проекции коротких сторон на длинную делят гипотенузу на два отрезка разной длины. Если возникает необходимость в вычислении величины одного из этих отрезков, то способы решения задачи целиком зависят от предлагаемого в условиях набора исходных данных.

Инструкция

Если в исходных условиях задачи приведены длины гипотенузы (С) и того катета (А), проекцию которого (Ас) требуется вычислить, то используйте одно из свойств треугольника. Воспользуйтесь тем, что среднее геометрическое длин гипотенузы и искомой проекции равно длине катета: А = √(С*Ас). Так как понятие «среднее геометрическое» эквивалентно «корню из произведения», то для нахождения проекции катета возводите в квадрат длину катета и делите полученное значение на длину гипотенузы: Ас = (А/√С)² = А²/С.

Если длина гипотенузы неизвестна, а даны лишь длины обоих катетов (А и В), то в вычислении длины нужной проекции (Ас) можно задействовать теорему Пифагора. Выразите в соответствии с ней длину гипотенузы через длины катетов √(А²+В²) и подставьте полученное выражение в формулу из предыдущего шага: Ас = А²/√(А²+В²).

Если известна длина проекции одного из катетов (Вс) и длина гипотенузы (С), то способ нахождения длины проекции другого катета (Ас) очевиден — просто отнимите от второй известной величины первую: Ас = С-Вс.

Если длины катетов неизвестны, но дано их соотношение (x/y), а также длина гипотенузы (C), то воспользуйтесь парой формул из первого и третьего шагов. Согласно выражению из первого шага, соотношение проекций катетов (Ас и Вс) будет равно соотношению квадратов их длин: Ас/Вс = x²/y². С другой стороны, согласно формуле из предыдущего шага, Ас+Вс = С. В первом равенстве выразите длину ненужной проекции через нужную и подставьте полученное значение во вторую формулу: Ас + Ас*x²/y² = Ас*(1 + x²/y²) = С. Из этого равенства выведите формулу нахождения нужной проекции катета: Ас = С/(1 + x²/y²).

Если известна длина проекции на гипотенузу одного катета (Вс), а длина самой гипотенузы не приведена в условиях, но дана высота (Н), проведенная из прямого угла треугольника, то этого тоже будет достаточно для вычисления длины проекции другого катета (Ас). Возведите высоту в квадрат и разделите на длину известной проекции: Ас = Н²/Вс.

Источники:

формула катета

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Если провести из прямого угла к гипотенузе высоту, то гипотенуза основанием высоты разделится на два отрезка. Каждый такой отрезок называется проекцией соседнего катета. (См. рисунок).
Гипотенуза АВ=25, катет СВ=20.
Так как высота прямоугольного треугольника делит его на подобные, проекцию катета можно вычислить по т.Пифагора из подобия треугольников.
Для этого сначала находят второй катет.
Но из того же подобия выведено, что:
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. ⇒
ВС²=АВ•ВН
400=25•ВН, откуда проекция катета ВС на гипотенузу
ВН+400:25=16.

Источник

Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов является прямым. Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, а сторона, лежащая напротив прямого угла, гипотенузой.

Прямоугольный треугольник: основные формулы

Пусть <A = 30°. Катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. CB = AB:2.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. <A + <B = 90°.
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. AB² = AC² + CB²

Прямоугольный треугольник: формулы площади и проекции

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна : h = (ab):c.
Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу: CH² = AH·BH.
Катет прямоугольного треугольника — среднее пропорциональное или среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу: CA² = AB·AH; CB² = AB·BH.
Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна ее половине.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. S = (ab):2.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы и высоты. S = (hc):2.

Прямоугольный треугольник: формулы тригонометрия

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. cosα = AC: AB.
Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. sinα = BC:AB.
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. tgα = BC:AC.
Котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему. ctgα = AC:BC.
Основное тригонометрическое тождество: cos²α + sin²α = 1.
Теорема косинусов: b² = a² + c² – 2ac·cosα.
Теорема синусов: CB :sinA = AC : sinB = AB.

Прямоугольный треугольник: формулы для описанной окружности

Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы : R=AB:2.
Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

Прямоугольный треугольник: формулы для вписанной окружности

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычисляется по формуле: r = (a + b -c):2.

Рассмотрим применение тригонометрических формул прямоугольного треугольника при решении задания 6(вариант 32) из сборника для подготовки к ЕГЭ по математике профиль автора Ященко.

В треугольнике ABC угол С равен 90°, sinA = 11/14, AC =10√3. Найти АВ.

Решение:

Применяя основное тригонометрическое тождество, найдем cosA = 5√3/14.
По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника имеем: cosA = AC : AB, AB = AC : cosA = 10√3·14:5√3 = 28.

Ответ: AB = 28.

ЗАДАНИЕ 12 ЕГЭ МАТЕМАТИКА ПРОФИЛЬ( 20 ВАРИАНТ ЯЩЕНКО 2018)

Источник

Совет 1: Как обнаружить проекцию катета на гипотенузу

Две короткие стороны прямоугольного треугольника называют катетами, а длинную – гипотенузой. Проекции коротких сторон на длинную делят гипотенузу на два отрезка различной длины. Если появляется надобность в вычислении величины одного из этих отрезков, то методы решения задачи целиком зависят от предлагаемого в условиях комплекта начальных данных.

Инструкция

1. Если в начальных условиях задачи приведены длины гипотенузы (С) и того катета (А), проекцию которого (Ас) требуется вычислить, то используйте одно из свойств треугольника. Воспользуйтесь тем, что среднее геометрическое длин гипотенузы и желанной проекции равно длине катета: А = ?(С*Ас). Потому что представление «среднее геометрическое» равнозначно «корню из произведения», то для нахождения проекции катета возводите в квадрат длину катета и разделяете полученное значение на длину гипотенузы: Ас = (А/?С)? = А?/С.

2. Если длина гипотенузы незнакома, а даны лишь длины обоих катетов (А и В), то в вычислении длины требуемой проекции (Ас) дозволено задействовать теорему Пифагора. Выразите в соответствии с ней длину гипотенузы через длины катетов ?(А?+В?) и подставьте полученное выражение в формулу из предыдущего шага: Ас = А?/?(А?+В?).

3. Если вестима длина проекции одного из катетов (Вс) и длина гипотенузы (С), то метод нахождения длины проекции иного катета (Ас) явствен – примитивно отнимите от 2-й вестимой величины первую: Ас = С-Вс.

4. Если длины катетов неведомы, но дано их соотношение (x/y), а также длина гипотенузы (C), то воспользуйтесь парой формул из первого и третьего шагов. Согласно выражению из первого шага, соотношение проекций катетов (Ас и Вс) будет равно соотношению квадратов их длин: Ас/Вс = x?/y?. С иной стороны, согласно формуле из предыдущего шага, Ас+Вс = С. В первом равенстве выразите длину непотребной проекции через необходимую и подставьте полученное значение во вторую формулу: Ас + Ас*x?/y? = Ас*(1 + x?/y?) = С. Из этого равенства выведите формулу нахождения требуемой проекции катета: Ас = С/(1 + x?/y?).

5. Если вестима длина проекции на гипотенузу одного катета (Вс), а длина самой гипотенузы не приведена в условиях, но дана высота (Н), проведенная из прямого угла треугольника, то этого тоже будет довольно для вычисления длины проекции иного катета (Ас). Возведите высоту в квадрат и поделите на длину знаменитой проекции: Ас = Н?/Вс.

Совет 2: Как обнаружить гипотенузу треугольника

Гипотенуза – самая длинная сторона прямоугольного треугольника . Она расположена противоположно прямому углу. Метод нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника зависит от того, какими начальными данными вы владеете.

Инструкция

1. Если вестимы катеты прямоугольного треугольника , то длина гипотенузы прямоугольного треугольника может быть обнаружена с подмогой теоремы Пифагора – квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:с2 = а2 + b2, где а и b – длины катетов прямоугольного треугольника .

2. Если знаменит один из катетов и острый угол, то формула для нахождения гипотенузы будет зависеть от того, какой данный угол по отношению к знаменитому катету – прилежащий (расположенный вблизи катета) либо противолежащий (расположенный наоборот него.В случае прилежащего угла, гипотенуза равна отношению катета на косинус этого угла: с = a/cos?;E угол противолежащий, гипотенуза равна отношению катета на синус угла: с = a/sin?.

Видео по теме

Совет 3: Как обнаружить среднее геометрическое

Среднее геометрическое в совокупности применяется реже, чем арифметическое среднее, впрочем оно может быть благотворно при вычислении среднего значения показателей, изменяющихся с течением времени (заработная плата отдельного работника, динамика показателей успеваемости и т.п.).

Вам понадобится

Инженерный калькулятор

Инструкция

1. Для того дабы обнаружить среднее геометрическое ряда чисел, для начала надобно перемножить все эти числа. Скажем, вам дан комплект из пяти показателей: 12, 3, 6, 9 и 4. Перемножим все эти числа: 12х3х6х9х4=7776.

2. Сейчас из полученного числа надобно извлечь корень степени, равной числу элементов ряда. В нашем случае из числа 7776 необходимо будет извлечь корень пятой степени при помощи инженерного калькулятора. Полученное позже этой операции число – в данном случае число 6 – будет являться средним геометрическим для начальной группы чисел.

3. Если у вас под рукой нет инженерного калькулятора, то вычислить среднее геометрическое ряда чисел дозволено с подмогой функции СРГЕОМ в программе Excel либо при помощи одного из онлайн-калькуляторов, намеренно предуготовленных для вычисления средних геометрических значений.

Обратите внимание!
Если понадобится обнаружить среднее геометрическое каждого для 2-х чисел, то инженерный калькулятор вам не потребуется: извлечь корень 2-й степени (квадратный корень) из всякого числа дозволено при помощи самого обыкновенного калькулятора.

Полезный совет
В различие от среднего арифметического, на геометрическое среднее не так крепко влияют крупные отклонения и колебания между отдельными значениями в исследуемом комплекте показателей.

Совет 4: Как обнаружить проекцию

В прямоугольном треугольнике существует два вида сторон – короткая сторона «катет» и длинная сторона «гипотенуза». Если провести проекцию катета на гипотенузу, та разделится на два отрезка. Дабы определить величину одного из них, надобно прописать комплект начальных данных.

Инструкция

1. В начальных данных задачи может быть прописана длина гипотенузы D и длина катета N, чью проекцию требуется обнаружить. Дабы определить величину проекции Nd, воспользуйтесь свойствами прямоугольного треугольника. Определите длину катета A, применяя тот факт, что среднее геометрическое, взятое от длины гипотенузы и проекции катета, равняется желанной величине катета. То есть N = ?(D*Nd).

2. Рассматривая, что корень из произведения обозначает то же самое, что и среднее геометрическое, возведите в квадрат значение N (длину желанного катета), и поделите на длину гипотенузы. То есть Nd = (N/?D)? = N?/D.В начальных данных задачи длина могут быть даны значения только катетов N и T. В этом случае длину проекции Nd находите с поддержкой теоремы Пифагора.

3. Определите длину гипотенузы D, применяя значения катетов ?(N?+T?) и подставьте полученное значение в формулу для нахождения проекции. Для чего Nd = N?/?(N?+T?).

4. Если в начальных данных содержится информация о длине проекции катета Rd и величине гипотенузы D, то длину проекции второго катета Nd вычислите с подмогой примитивной формулы вычитания – Nd = D – Rd.

5. В обстановки, когда знаменито лишь значение длины гипотенузы D и дано примитивное соотношение длин катетов (m/h) обратитесь за поддержкой к формулам из первого шага и третьего шага.

6. Согласно формуле из первого шага примите как факт, что соотношение проекций Nd и Rd приравнивается к соотношению квадратных значений их длин. То есть Nd/Rd = m?/h?. Также сумма проекций катетов Nd и Rd равняется длине гипотенузы.

7. Выразите значение проекции катета Rd через желанный катет Nd и подставьте в формулу суммирования. В итоге вы получите Nd + Nd*m?/h? = Nd*(1 + m?/h?) = D, позже чего выведите формулу нахождения Nd = D/(1 + m?/h?). Значение Nd и укажет величину желанного катета.

Совет 5: Как вычислить длину катета прямоугольного треугольника

Треугольник именуется прямоугольным, если угол одной из его вершин равен 90°. Сторона, которая лежит наоборот этой вершины, именуется гипотенузой, а две другие – катетами. Длины сторон и величины углов в такой фигуре связаны между собой теми же соотношениями, что и в любом ином треугольнике, но потому что синус и косинус прямого угла равны единице и нулю, формулы гораздо упрощаются.

Инструкция

1. Если длины одного из катетов (a) и гипотенузы (с) прямоугольного треугольника знамениты, используйте для вычисления длины третьей стороны (b) теорему Пифагора. Из нее следует, что желанная величина должна быть равна квадратному корню из разности между возведенной в квадрат длиной гипотенузы и квадратом длины знаменитого катета: b = ?(c?-a?).

2. Зная величину угла (?) при вершине треугольника, лежащей наоборот катета знаменитой длины (a), тоже дозволено рассчитать неведомую длину второго катета (b). Для этого примените определение одной из тригонометрических функций – тангенса – для острого угла. Из него вытекает, что желанная длина катета должна быть равна размеру знаменитой стороны, поделенному на тангенс противолежащего угла: b = a/tg(?).

3. Определение котангенса для острого угла используйте для нахождения длины катета (b) в том случае, если в условиях приведена величина угла (?), примыкающего к иному катету вестимой длины (a). Формула в всеобщем виде будет выглядеть примерно так же, как и в предыдущем шаге, замените в ней лишь наименование функции и обозначение угла: b = a/ctg(?).

4. При вестимой длине гипотенузы (c) в вычислениях размеров катета (b) дозволено применять определения основных тригонометрических функций – синуса и косинуса – для острых углов. Если в условиях дана величина угла (?) между этими двумя сторонами, из 2-х функций следует предпочесть косинус. Умножьте длину гипотенузы на косинус знаменитого угла: b = c*cos(?).

5. Определение синуса для острых углов используйте в тех случаях, когда помимо длины гипотенузы (c) дана величина угла (?) в вершине, лежащей наоборот желанного катета (b). Формула расчета в всеобщем виде будет схожа с предыдущей – она должна содержать произведение длины гипотенузы на синус угла заданной величины: b = c*sin(?).

Источник