Как найти проекцию поля на плоскость - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

При решении геометрических задач в пространстве часто возникает проблема определения расстояния между плоскостью и точкой. В некоторых случаях это необходимо для комплексного решения. Эту величину можно вычислить, если найти проекцию на плоскость точки. Рассмотрим этот вопрос подробнее в статье.

Уравнение для описания плоскости

Перед тем как перейти к рассмотрению вопроса касательно того, как найти проекцию точки на плоскость, следует познакомиться с видами уравнений, которые задают последнюю в трехмерном пространстве. Подробнее — ниже.

Уравнением общего вида, определяющим все точки, которые принадлежат данной плоскости, является следующее:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Первые три коэффициента — это координаты вектора, который называется направляющим для плоскости. Он совпадает с нормалью для нее, то есть является перпендикулярным. Этот вектор обозначают n¯(A; B; C). Свободный коэффициент D однозначно определяется из знания координат любой точки, принадлежащей плоскости.

Далее в статье будем использовать записанное уравнение. Оно требуется, чтобы найти проекцию точки на плоскость.

Понятие о проекции точки и ее вычисление

Предположим, что задана некоторая точка P(x₁; y₁; z₁) и плоскость. Она определена уравнением в общем виде. Если провести перпендикулярную прямую из P к заданной плоскости, то очевидно, что она пересечет последнюю в одной определенной точке Q (x₂; y₂; z₂). Q называется проекцией P на рассматриваемую плоскость. Длина отрезка PQ называется расстоянием от точки P до плоскости. Таким образом, сам PQ является перпендикулярным плоскости.

Как можно найти координаты проекции точки на плоскость? Сделать это не сложно. Для начала следует составить уравнение прямой, которая будет перпендикулярна плоскости. Ей будет принадлежать точка P. Поскольку вектор нормали n¯(A; B; C) этой прямой должен быть параллелен, то уравнение для нее в соответствующей форме запишется так:

(x; y; z) = (x₁; y₁; z₁) + λ*(A; B; C).

Где λ — действительное число, которое принято называть параметром уравнения. Изменяя его, можно получить любую точку прямой.

После того как записано векторное уравнение для перпендикулярной плоскости линии, необходимо найти общую точку пересечения для рассматриваемых геометрических объектов. Ее координаты и будут проекцией P. Поскольку они должны удовлетворять обоим равенствам (для прямой и для плоскости), то задача сводится к решению соответствующей системы линейных уравнений.

Понятие проекции часто используется при изучении чертежей. На них изображаются боковые и горизонтальные проекции детали на плоскости zy, zx, и xy.

Вычисление расстояния от плоскости до точки

Как выше было отмечено, знание координат проекции на плоскость точки позволяет определить дистанцию между ними. Используя обозначения, введенные в предыдущем пункте, получаем, что искомое расстояние равно длине отрезка PQ. Для его вычисления достаточно найти координаты вектора PQ¯, а затем рассчитать его модуль по известной формуле. Конечное выражение для d расстояния между P точкой и плоскостью принимает вид:

d = |PQ¯| = √((x₂ — x₁)² + (y₂ — y₁)² + (z₂ — z₁)²).

Полученное значение d представлено в единицах, в которых задается текущая декартова координатная система xyz.

Пример задачи

Допустим, имеется точка N(0; -2; 3) и плоскость, которая описывается следующим уравнением:

2*x — y + z + 4 = 0.

Следует найти точки проекцию на плоскость и вычислить между ними расстояние.

В первую очередь составим уравнение прямой, которая пересекает плоскость под углом 90^o. Имеем:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + λ*(2; -1; 1).

Записывая это равенство в явном виде, приходим к следующей системе уравнений:

x = 2*λ;

y = -2 — λ;

z = λ + 3;

2*x — y + z + 4 = 0.

Подставляя значения координат из первых трех равенств в четвертое, получим значение λ, определяющее координаты общей точки прямой и плоскости:

2*(2*λ) — (-2 — λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>

6*λ + 9 = 0 =>

λ = 9/6 = 3/2 = 1,5.

Подставим найденный параметр в уравнение прямой и найдем координаты проекции исходной точки на плоскость:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + 1,5*(2; -1; 1) = (3; -3,5; 4,5).

Для вычисления дистанции между заданными в условии задачи геометрическими объектами применим формулу для d:

d = √((3 — 0 )² + (-3,5 + 2 )² + (4,5 — 3 )²) = 3,674.

В данной задаче мы показали, как находить проекцию точки на произвольную плоскость и как вычислять между ними расстояние.

Источник

Проекция точки на плоскость онлайн

Координаты проекции точки

В данном материале мы рассмотрим решение задачи нахождения координат проекции точки на какую либо плоскость в пространстве.

Теории практически не будет и думаю для тех кто интересуется могут понять это все из ниже разобранного примера

Найти проекцию точки M(1,-3,2) на плоскость 2x+5y-3z-19=0

Проекция точки М на данную поверхность — есть точка пересечения с данной плоскостью прямой, проходящей через точку М перпендикулярно к данной плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M(1,-3,2) перпедикулярно к плоскости 2x+5y-3z-19=0 имеет вид

или в виде системы

Добавив сюда исходное уравнение плоскости получим полноценную систему линейных уравнений которая легко решается

В данном примере проекция точки имеет координаты (3,2,-1)

Удачных расчетов!!

Источник

Проекция точки на плоскость — это точка пересечения перпендикуляра из точки на плоскость и плоскости.

Содержание

1 Обозначения
2 Формулы:
- 2.1 Пример
3 Другие формулы:
4 Ссылки

Обозначения[править]

Введём обозначения:

${displaystyle {bar {r}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$ — радиус-вектор проекции точки;

${displaystyle {bar {r}}_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ — радиус-вектор точки;

${displaystyle {bar {n}}_{1}=(A_{1},B_{1},C_{1})}$ — нормаль к плоскости;

${displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0}$ — уравнение плоскости;

${displaystyle p_{01}}$ — отклонение точки от плоскости.

Формулы:[править]

Векторная форма:

${displaystyle {overline {r}}_{1}={overline {r}}_{0}-{frac {left({overline {r}}_{0}cdot {overline {n}}_{1}right)+D_{1}}{left({overline {n}}_{1}cdot {overline {n}}_{1}right)}}{overline {n}}_{1}Leftrightarrow {overline {r}}_{1}={overline {r}}_{0}-{frac {p_{01}}{left|{overline {n}}_{1}right|}}{overline {n}}_{1},}$

где

${displaystyle p_{01}={frac {left({overline {r}}_{0}cdot {overline {n}}_{1}right)+D_{1}}{left|{overline {n}}_{1}right|}}}$

Координатная форма:

Заметим, что формулы проекции точки на плоскость аналогичны формулам основания перпендикуляра из точки к плоскости.

Пример[править]

Даны точка и плоскость:
и
.

Найти проекцию точки на плоскость.

Решение.

Другие формулы:[править]

Проекция вектора на вектор;
Проекция точки на прямую;
Проекция точки на плоскость.

Ссылки[править]

Участник:Logic-samara

Источник

Это очень просто, все, что вам нужно сделать, это найти перпендикуляр (abbr здесь |_) расстояние от точки P до плоскости, а затем перевести P назад на перпендикулярное расстояние в плоскости плоскости. В результате переведенный P находится в плоскости.

Принимая простой пример (который мы можем проверить путем проверки):

Установите n = (0,1,0) и P = (10, 20, -5).

Проецируемая точка должна быть (10,10, -5). Вы можете видеть, проверяя, что Pproj составляет 10 единиц, перпендикулярных плоскости, и если бы он находился в плоскости, он имел бы y = 10.

Итак, как мы находим это аналитически?

Плоское уравнение равно Ax + By + Cz + d = 0. То, что это уравнение означает «, чтобы точка (x, y, z) находилась в плоскости, она должна удовлетворять Ax + By + Cz + d = 0» .

Что такое уравнение Ax + By + Cz + d = 0 для плоскости, нарисованной выше?

Плоскость имеет нормаль n = (0,1,0). D можно найти, просто используя тестовую точку уже в плоскости:

(0)x + (1)y + (0)z + d = 0

Точка (0,10,0) находится в плоскости. Подключаясь выше, находим, d = -10. Плоское уравнение тогда 0x + 1y + 0z — 10 = 0 (если вы упростите, вы получите y = 10).

Хорошая интерпретация d заключается в том, что речь идет о перпендикулярном расстоянии, которое вам нужно было бы перевести плоскость по ее нормали, чтобы плоскость проходила через начало координат.

В любом случае, как только мы имеем d, мы можем найти расстояние от любой точки до плоскости следующим уравнением:

Существует 3 возможных класса результатов для | _ расстояние до плоскости:

0: ON PLANE EXACTLY (почти никогда не происходит с проблемами неточности с плавающей запятой)
+1: > 0: В FRONT плоскости (с нормальной стороны)
-1: < 0: BEHIND plane (ON OPPOSITE SIDE OF NORMAL)

В любом случае,

Который вы можете проверить как правильно, осмотрев на диаграмме выше

Источник

Как найти проекцию вектора на плоскость

Содержание

Числовая проекция вектора на ось
Проекция вектора на прямую
Проекция вектора на плоскость
Свойства проекций векторов

Ось – это направление. Значит, проекция на ось или на направленную прямую считается одним и тем же. Проекция бывает алгебраическая и геометрическая. В геометрическом понимают проекцию вектора на ось как вектор, а алгебраическом – число. То есть применяются понятия проекция вектора на ось и числовая проекция вектора на ось.

Если имеем ось L и ненулевой вектор A B → , то можем построить вектор A 1 B 1 ⇀ , обозначив проекции его точек A 1 и B 1 .

A 1 B → 1 будет являться проекцией вектора A B → на L .

Проекцией вектора на ось называют вектор, начало и конец которого являются проекции начала и конца заданного вектора. n p L A B → → принято обозначать проекцию A B → на L . Для построения проекции на L опускают перпендикуляры на L .

Пример проекции вектора на ось.

На координатной плоскости О х у задается точка M 1 ( x 1 , y 1 ) . Необходимо построить проекции на О х и О у для изображения радиус-вектора точки M 1 . Получим координаты векторов ( x 1 , 0 ) и ( 0 , y 1 ) .

Если идет речь о проекции a → на ненулевой b → или проекции a → на направление b → , то имеется в виду проекция a → на ось, с которой совпадает направление b → . Проекция a → на прямую, определяемая b → , имеет обозначение n p b → a → → . Известно, что когда угол между a → и b → , можно считать n p b → a → → и b → сонаправленными. В случае, когда угол тупой, n p b → a → → и b → противоположно направлены. В ситуации перпендикулярности a → и b → , причем a → — нулевой, проекция a → по направлению b → является нулевым вектором.

Числовая проекция вектора на ось

Числовая характеристика проекции вектора на ось – числовая проекция вектора на заданную ось.

Числовой проекцией вектора на ось называют число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между данным вектором и вектором, который определяет направление оси.

Числовая проекция A B → на L имеет обозначение n p L A B → , а a → на b → — n p b → a → .

Исходя из формулы, получим n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , откуда a → является длиной вектора a → , a ⇀ , b → ^ — угол между векторами a → и b → .

Получим формулу вычисления числовой проекции: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Она применима при известных длинах a → и b → и угле между ними. Формула применима при известных координатах a → и b → , но имеется ее упрощенный вид.

Узнать числовую проекцию a → на прямую по направлению b → при длине a → равной 8 и углом между ними в 60 градусов. По условию имеем a ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° . Значит, подставляем числовые значения в формулу n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Ответ: 4.

При известном cos ( a → , b → ^ ) = a ⇀ , b → a → · b → , имеем a → , b → как скалярное произведение a → и b → . Следуя из формулы n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , мы можем найти числовую проекцию a → направленную по вектору b → и получим n p b → a → = a → , b → b → . Формула эквивалента определению, указанному в начале пункта.

Числовой проекцией вектора a → на ось , совпадающей по направлению с b → , называют отношение скалярного произведения векторов a → и b → к длине b → . Формула n p b → a → = a → , b → b → применима для нахождения числовой проекции a → на прямую, совпадающую по направлению с b → , при известных a → и b → координатах.

Задан b → = ( — 3 , 4 ) . Найти числовую проекцию a → = ( 1 , 7 ) на L .

Решение

На координатной плоскости n p b → a → = a → , b → b → имеет вид n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 , при a → = ( a x , a y ) и b → = b x , b y . Чтобы найти числовую проекцию вектора a → на ось L , нужно: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · ( — 3 ) + 7 · 4 ( — 3 ) 2 + 4 2 = 5 .

Ответ: 5.

Найти проекцию a → на L , совпадающей с направлением b → , где имеются a → = — 2 , 3 , 1 и b → = ( 3 , — 2 , 6 ) . Задано трехмерное пространство.

Решение

По заданным a → = a x , a y , a z и b → = b x , b y , b z вычислим скалярное произведение: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Длину b → найдем по формуле b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Отсюда следует, что формула определения числовой проекции a → будет: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Подставляем числовые значения: n p L a → = n p b → a → = ( — 2 ) · 3 + 3 · ( — 2 ) + 1 · 6 3 2 + ( — 2 ) 2 + 6 2 = — 6 49 = — 6 7 .

Просмотрим связь между a → на L и длиной проекции a → на L . Начертим ось L , добавив a → и b → из точки на L , после чего проведем перпендикулярную прямую с конца a → на L и проведем проекцию на L . Существуют 5 вариаций изображения:

Первый случай при a → = n p b → a → → означает a → = n p b → a → → , отсюда следует n p b → a → = a → · cos ( a , → b → ^ ) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Второй случай подразумевает применение n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , значит, n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ) ^ = n p b → a → → .

Третий случай объясняет, что при n p b → a → → = 0 → получаем n p b ⇀ a → = a → · cos ( a → , b → ^ ) = a → · cos 90 ° = 0 , тогда n p b → a → → = 0 и n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Четвертый случай показывает n p b → a → → = a → · cos ( 180 ° — a → , b → ^ ) = — a → · cos ( a → , b → ^ ) , следует n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^ ) = — n p b → a → → .

Пятый случай показывает a → = n p b → a → → , что означает a → = n p b → a → → , отсюда имеем n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180 ° = — a → = — n p b → a → .

Числовой проекцией вектора a → на ось L , которая направлена как и b → , имеет значение:

длины проекции вектора a → на L при условии, если угол между a → и b → меньше 90 градусов или равен 0: n p b → a → = n p b → a → → с условием 0 ≤ ( a → , b → ) ^ 90 ° ;
ноля при условии перпендикулярности a → и b → : n p b → a → = 0 , когда ( a → , b → ^ ) = 90 ° ;
длины проекции a → на L , умноженной на -1, когда имеется тупой или развернутый угол векторов a → и b → : n p b → a → = — n p b → a → → с условием 90 ° a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Дана длина проекции a → на L , равная 2 . Найти числовую проекцию a → при условии, что угол равен 5 π 6 радиан.

Решение

Из условия видно, что данный угол является тупым: π 2 5 π 6 π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L : n p L a → = — n p L a → → = — 2 .

Дана плоскость О х y z с длиной вектора a → равной 6 3 , b → ( — 2 , 1 , 2 ) с углом в 30 градусов. Найти координаты проекции a → на ось L .

Решение

Для начала вычисляем числовую проекцию вектора a → : n p L a → = n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

По условию угол острый, тогда числовая проекция a → = длине проекции вектора a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Данный случай показывает, что векторы n p L a → → и b → сонаправлены, значит имеется число t , при котором верно равенство: n p L a → → = t · b → . Отсюда видим, что n p L a → → = t · b → , значит можем найти значение параметра t : t = n p L a → → b → = 9 ( — 2 ) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Тогда n p L a → → = 3 · b → с координатами проекции вектора a → на ось L равны b → = ( — 2 , 1 , 2 ) , где необходимо умножить значения на 3. Имеем n p L a → → = ( — 6 , 3 , 6 ) . Ответ: ( — 6 , 3 , 6 ) .

Необходимо повторить ранее изученную информацию об условии коллинеарности векторов.

Задача взята из предлагаемых на сертификации по математике, проводимой порталом “Профи.ру” для репетиторов.

Задача. Чему равны координаты проекции вектора на плоскость, проходящую через точки , , ?

Уравнение плоскости определяется выражением:

Определим уравнение плоскости. Для этого составим систему:

Вычтем из первого уравнения второе:

Подставим это в первое уравнение, получим

Подставляя найденное в третье уравнение, имеем:

Тогда уравнение плоскости будет выглядеть:

Это можно разделить на , и тогда мы получим:

Вектор, его проекция, плоскость и нормаль к ней.

Следовательно, нормаль к плоскости имеет координаты: , что означает, что лежит эта нормаль в плоскости, перпендикулярной оси , а значит, сама плоскость ей параллельна. Это уже означает, что координата проекции заданного вектора на эту плоскость должна иметь вторую координату, равную -1 – координате исходного вектора. Остается найти его первую и третью координаты.

У нас есть уравнение плоскости – то есть координаты вектора нормали, и есть координаты двух точек (начала и конца вектора). Тогда можно записать каноническое уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно нормали. Составим два таких уравнения – для точек начала и конца вектора, тогда, решив такое уравнение совместно с уравнением плоскости, получим координаты точек, где прямые, параллельные нормали и проходящие через конец и начало вектора, «протыкают» плоскость, а это и будут точки конца и начала вектора проекции.

Общий вид уравнения:

Пусть координаты начала вектора проекции , координаты конца .

Для конца заданного вектора это уравнение будет выглядеть так:

Из этого уравнения имеем:

Уравнение плоскости преобразуем к виду:

Решим эти два уравнения совместно:

Подставим в уравнение прямой:

Это нами были найдены координаты конца вектора проекции. Найдем координаты его начала, повторяем все действия, помня, что начало заданного вектора совпадает с началом координат:

Из этого уравнения имеем:

Подставим в уравнение прямой:

Осталось просто вычесть из координат конца координаты начала:

Ответ: вектор проекции на плоскость имеет координаты (9; -1; 6).

Проекция вектора на прямую

Пусть на плоскости задана прямая и пересекающая ее прямая . Проекцией вектора на прямую параллельно прямой (вдоль прямой ) называется вектор , началом которого служит проекция , начала , а концом — проекция конца вектора (рис.1.13,а). Если прямая перпендикулярна прямой , то проекция называется ортогональной.

Пусть в пространстве дана прямая и пересекающая ее плоскость . Проекцией вектора на прямую параллельно плоскости (вдоль плоскости ) называется вектор , началом которого служит проекция , начала , а концом — проекция конца вектора (рис. 1.13,6). Если плоскость перпендикулярна прямой , то проекция называется ортогональной.

Проекция вектора на плоскость

Пусть в пространстве задана плоскость я и пересекающая ее прямая . Проекцией вектора на плоскость параллельно прямой (вдоль прямой ) называется вектор , началом которого служит проекция начала , а концом — проекция конца вектора (рис. 1.14). Если прямая перпендикулярна плоскости , то проекция называется ортогональной.

Свойства проекций векторов

1. Проекции вектора на параллельные прямые (или на параллельные плоскости) равны.

2. Проекции равных векторов равны.

3. Проекция суммы векторов равна сумме их проекций.

4. Проекция произведения вектора на число равна произведению этого числа на проекцию вектора, другими словами, отношение коллинеарных векторов равно отношению их проекций (если оно определено).

5. Проекция линейной комбинации векторов равна линейной комбинации проекций.

Рассмотрим эти свойства для проекций векторов на прямую параллельно прямой . Для проекций векторов на плоскость или на прямую параллельно плоскости доказательства аналогичные.

Докажем первое свойство. Пусть — проекция вектора на прямую вдоль прямой , а — проекция вектора на прямую вдоль той же прямой , причем прямые и параллельные (рис. 1.15). Четырехугольник, образованный пересечением пары параллельных прямых и штриховыми линиями, параллельными прямой , является параллелограммом. Следовательно, , т.е. проекции одного и того же вектора на параллельные прямые равны.

Докажем второе свойство. Пусть на плоскости даны равные векторы и , не параллельные прямой (см. рис. 1.16). Построим равные им векторы и . Из равенства следует, что четырехугольник — параллелограмм, а треугольники и равны по стороне и двум прилежащим углам

как углы с соответственно параллельными сторонами). Следовательно, , т.е. равные векторы, не параллельные прямой , имеют равные проекции. Если же векторы параллельны прямой , то их проекции также равны, как нулевые векторы. Второе свойство доказано.

Доказательство третьего свойства очевидно для векторов и (рис. 1.17): проекция вектора равна сумме проекций и , векторов и , т.е. . Для произвольных векторов и (у которых конец вектора не совпадает с началом вектора ) доказательство сводится к рассмотренному случаю для равных им векторов и , так как равные векторы имеют равные проекции (по второму свойству).

Доказательство четвертого свойства следует из теоремы Фалеса (см. разд. В.2). На рис.1.18 изображены векторы и 0)» png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAEAAAAAWBAMAAACCkIcHAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAvWZBmjHw />, а также их проекции и . По теореме Фалеса , следовательно, , что и требовалось доказать. В случае доказательство аналогичное.

Пятое свойство проекций следует из третьего и четвертого.

Теорема 1.1 (о проекциях вектора на пересекающиеся прямые).

1. Если на плоскости заданы две пересекающиеся прямые и , то любой вектор на плоскости можно однозначно представить в виде суммы своих проекций и на эти прямые (проекции на каждую прямую берутся вдоль другой прямой), т.е. .

2. Если в пространстве заданы три прямые и , пересекающиеся в одной точке и не лежащие в одной плоскости, то любой вектор в пространстве можно однозначно представить в виде суммы своих проекций на эти прямые (проекции на каждую прямую берутся вдоль плоскости, содержащей две другие прямые), т.е. .

В самом деле, пусть прямые и пересекаются в точке (рис.1.19,а). Приложим вектор к точке , т.е. рассмотрим вектор . По правилу параллелограмма сложения векторов (см. разд. 1.2) получаем равенство , которое равносильно доказываемому равенству , так как равные векторы имеют равные проекции (см. свойство 2 проекций). Единственность представления следует из однозначности нахождения проекций вектора.

Если же вектор коллинеарен одной из прямых, например , то соответствующие проекции имеют вид: и равенство , очевидно, выполняется.

Аналогично доказывается второе утверждение.

Справедливы утверждения, обратные к указанным в теореме 1.1.

Если вектор на плоскости равен сумме двух неколлинеарных векторов, т.е. , то слагаемые и являются проекциями вектора на прямые, содержащие векторы и соответственно.

Если вектор в пространстве равен сумме трех некомпланарных векторов, т.е. , то слагаемые и являются проекциями вектора на прямые, содержащие векторы соответственно.

В самом деле, отложим от произвольной точки векторы (рис.1.19,6). Тогда из равенства следует, что , т.е. вектор — является диагональю параллелепипеда, построенного на векторах (отсюда следует правило параллелепипеда сложения трех некомпланарных векторов). Поэтому — проекции вектора на прямые (проекция на каждую прямую берется вдоль плоскости, проходящей через две другие прямые). Так как равные векторы и имеют равные проекции (свойство 2), заключаем, что проекции вектора на прямые равны соответственно. Наконец, проекции на прямые равны проекциям на параллельные им прямые, содержащие векторы соответственно.

Пример 1.5. Если прямая пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках соответственно, то

Решение. Найдем отношения проекций векторов на прямую вдоль прямой (рис. 1.20). Для этого через точку проведем прямую , параллельную прямой . По свойству 4 проекций имеем:

Перемножая эти пропорции, получаем , что равносильно доказываемому равенству.

Заметим, что доказанное утверждение является частью теоремы Менелая.

Пример 1.6. Если на сторонах треугольника взяты соответственно точки так, что прямые пересекаются в одной точке, то

Решение. Пусть прямые пересекаются в точке (рис.1.21). Через точку проведем прямые и параллельно и соответственно. По свойству проекций (свойство 4):

Учитывая эти равенства и свойства отношений коллинеарных векторов (см, разд.1.2.1), преобразуем левую и правую части последнего равенства:

Запишем произведение правых частей этих равенств, учитывая, что произведение левых частей равно единице:

Найдем обратное отношение , что и требовалось доказать.

Заметим, что доказанное утверждение является частью теоремы Чевы.

Источник