Как найти проекцию точки через прямую - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Проекция точки на прямую онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на прямую. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления проекции точки на прямую, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точки и элементы уравнения в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Проекция точки на прямую − теория, примеры и решения

Рассмотрим эту задачу в двухмерном и трехмерном пространствах.

1. Пусть в двухмерном пространстве задана точка M₀(x₀, y₀) и прямая L:

где q=(m,p) направляющий вектор прямой L.

Найдем проекцию точки M₀ на прямую (1)(Рис.1).

Алгоритм нахождения проекции точки на прямую L содержит следующие шаги:

построить прямую L₁, проходящую через точку M₀ и перпендикулярную прямой L,
найти пересечение прямых L и L₁(точка M₁)

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀) имеет следующий вид:

где n=(A,B) нормальный вектор прямой L₁.

Как видно из рисунка Рис.1, для того, чтобы прямая L₁ была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n прямой L₁, поэтому в качестве нормального вектора прямой L₁ достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение прямой L₁, представленной уравнением (2) можно записать так:

Откроем скобки

Для нахождения точки пересечения прямых L и L₁, которая и будет проекцией точки M₀ на прямую L, можно решить систему из двух уравнений (1) и (3) с двумя неизвестными x и y. Выражая неизвестную x из одного уравнения и подставляя в другое уравнение получим координаты точки M₁(x₁, y₁).

Найдем точку пересечения прямых L и L₁ другим методом.

Выведем параметрическое уравнение прямой (1):

Подставим значения x и y в (4):

Мы нашли такое значение t=t’, при котором координаты x и y точки на прямой L удовлетворяют уравнению прямой L₁(4). Следовательно, подставляя значение t’ в (5) получим координаты проекции точки M₀ на прямую L:

где x₁=mt’+x’, y₁=pt’+y’.

Пример 1. Найти проекцию точки M₀(1, 3) на прямую

Решение.

Направляющий вектор прямой (6) имеет вид:

Т.е. m=4, p=5. Из уравнения прямой (6) видно, что она проходит через точку M’ (x’, y’)=(2, −3)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (6) получим тождество 0=0), т.е. x’=2, y’=-3. Подставим значения m, p, x₀, y₀, x’, y’ в (5′):

Подставляя значение t в (5), получим:

Ответ:

Проекцией точки M₀(1, 3) на прямую (6) является точка:

2. Пусть в трехмерном пространстве задана точка M₀(x₀, y₀, z₀) и прямая L:

где q=(m, p, l) направляющий вектор прямой L.

Найдем проекцию точки M₀ на прямую (7)(Рис.2).

Нахождение проекцию точки на прямую L содержит следующие шаги:

построить плоскость α, проходящую через точку M₀ и перпендикулярную прямой L,
найти пересечение плоскости α и прямой L(точка M₁)

Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) имеет следующий вид:

где n=(A,B,C) нормальный вектор плоскости α.

Как видно из рисунка Рис.2, для того, чтобы плоскость α была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n плоскости α, поэтому в качестве нормального вектора плоскости α достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение плоскости α, представленной уравнением (8) можно записать так:

Откроем скобки

Для нахождения точки пересечения плоскости α и прямой L, которая и будет проекцией точки M₀ на прямую L, выведем параметрическое уравнение прямой (7):

Подставим значения x и y в (9):

Мы нашли такое значение t=t’, при котором координаты x,y и z точки на прямой L удовлетворяют уравнению плоскости (9). Следовательно, подставляя значение t’ в (10) получим координаты проекции точки M₀ на прямую L:

где x₁=mt’+x’, y₁=pt’+y’, z₁=lt’+z’.

Пример 2. Найти проекцию точки M₀(3, −1, −2) на прямую

Решение.

Направляющий вектор прямой (11) имеет вид:

Т.е. m=2, p=3, l=−4. Из уравнения прямой (11) видно, что она проходит через точку M’ (x’, y’, z’)=(2, 1, 1)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (11) получим тождество 0=0=0), т.е. x’=2, y’=1, z’=1. Подставим значения m, p, l x₀, y₀, z₀ x’, y’, z’ в (10′):

Подставляя значение t=t’ в (10), получим:

Ответ:

Проекцией точки M₀(3, −1, −2) на прямую (11) является точка:

Источник

Проекция точки на прямую

Пусть
необходимо спроектировать точку

на прямую

Ах+Ву+С=0. проекцией точки на прямую
является основание перпендикуляра,
опущенного из точки на прямую. Нормалью
к данной прямой является вектор
.
Составим уравнение проецирующей прямой.
Она проходит через точку

и параллельна вектору
.
Подставив координаты точки и вектора
в каноническое уравнение прямой
,
получим:.
Теперь необходимо найти координаты
точки пересечения данной прямой и
проектирующей, для чего объединим их в
систему:решение
этой системы есть координаты точки,
являющейся проекцией точки

на прямую

Пример:
Даны вершины треугольника
:
;
;.
Найти:

1)
уравнение высоты, опущенной из вершины
;

2)
точку пересечения высоты

и стороны
;

3)
точку пересечения медиан треугольника
.

Решение:
1) Составим уравнение высоты
,
проходящей через точку
перпендикулярно вектору
:

;

Ответ:
.

2)
Составим уравнение стороны
:

Найдем
точку пересечения высоты

и стороны
.Обозначим
эту точку N,
она является проекцией точки А на
сторону ВС. Для нахождения точки N,
решим следующую систему уравнений:

Ответ:
N.

3)
Найдем середину стороны
:

Составим
уравнение прямой проходящей через точку

и точку М:

Найдем
середину стороны
:

Составим
уравнение прямой проходящей через точку

и точку N:

Найдем точку
О пересечения найденных медиан:

Ответ:
О.

Плоскость Общее уравнение плоскости

Алгебраическое
уравнение первой степени в пространстве
определяет плоскость. Общее уравнение
плоскости можно записать в виде:

Ax+
By+
Cz+
D=0

Любую плоскость
можно представить в виде такого уравнение
единственным способом. с точностью до
коэффициента (т. е. при умножении уравнения
на число, полученное уравнение задает
ту же плоскость ) Плоскость в пространстве
можно задать различными способами,
рассмотрим некоторые из них:

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Опр.:
Нормалью к плоскости называется вектор,
перпендикулярный к данной плоскости.

Пусть
необходимо составить уравнение плоскости,
проходящей через заданную точку
и
перпендикулярной вектору
.

Предположим,
что такая плоскость построена, возьмем
на ней произвольную точку М(x,y,z)
. Составим вектор
.
Вектор

перпендикулярен вектору
,
следовательно, их скалярное произведение
равно нулю:
,
это условие имеет вид::

Данный
способ задания плоскости называется
плоскость по точке М(
и нормали
.
Имея уравнение плоскости в общем виде:
Ax+
By+
Cz+
D=0,
можно выписать нормаль к плоскости
.

Пример:
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку А(1,2,-3), параллельно плоскости
3x-4y+5z-2=0

Решение:
Выпишем нормаль к плоскости, т.е. вектор
перпендикулярный плоскости:
.
Так как необходимо построить плоскость
параллельную данной, то можно использовать
вектор

в качестве нормали к искомой плоскости.
Составляем уравнение плоскости по точке
А и нормали
:

после преобразования получим:
3x-4y+5z+20=0

Ответ:
3x-4y+5z+20=0.

Соседние файлы в предмете Высшая математика

Источник

Содержание:

Проецирование прямой линии:

Отрезок прямой линии определяется двумя точками. Следовательно, проекции двух точек определяют проекции отрезка прямой (рисунок 2.1). Проекции отрезка прямой в общем случае всегда будут меньше самого отрезка прямой. В общем случае по проекциям отрезка прямой нельзя определить углы наклона отрезка прямой к плоскостям проекций.

Прямые общего и частного положения

Прямые подразделяются на прямые общего и частного положения. Прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения (рисунок 2.1а).

Прямые, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций, называются прямыми частного положения (рисунок 2.16, в). Прямые, параллельные плоскостям проекций, называются по имени плоскости, которой они параллельны: горизонталь h, фронталь f и профильная прямая w.

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими: горизонтально-проецирующая, фронтально-проецирующая и профильно-проецирующая, в зависимости от плоскости, к которой они перпендикулярны.

Прямые, параллельные плоскостям проекций

Особенностью эпюра прямых, параллельных плоскостям проекций, является то, что две проекции прямой параллельны осям, а третья проекция наклонена к осям и является натуральной величиной прямой.

Кроме того, по этой проекции прямой можно определить угол наклона прямой к той или иной плоскости проекций.

Среди упомянутых прямых особое место занимают горизонталь h и фронталь f (рисунок 2.2), которые обладают замечательными свойствами и поэтому часто применяются при решении различных задач.

Важнейшими свойствами горизонтали являются: фронтальная

проекция горизонтали

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций

Особенностью эпюра прямых, перпендикулярных плоскостям проекций, является то, что две проекции этих прямых параллельны осям, а третья проекция «вырождается» в точку на той плоскости проекций, которой эта прямая перпендикулярна. Первые две проекции проецирующих прямых являются их натуральной величиной. На рисунке 2.3 представлены эпюры горизонтально- (а), фронтально- (б) и профильно-проецирующих прямых (в).

Определение натуральной величины прямой

Так как прямая общего положения проецируется на плоскости проекций с искажением, то задача определения натуральной величины (НВ) прямой по её проекциям является важной. С целью определения НВ прямой разработан метод прямоугольного треугольника, сущность которого понятна из пространственного чертежа (рисунок 2.4а).

Для того, чтобы определить натуральную величину прямой по её проекциям, необходимо на одной из её проекций (на любой) построить прямоугольный треугольник, одним катетом которого является сама проекция, а другим катетом — разность недостающих координат концов отрезка прямой. Тогда гипотенуза треугольника будет являться НВ прямой (рисунок 2.46). Недостающей координатой здесь названа та координата, которая не участвует в построении той или иной проекции прямой. Так, например, горизонтальная проекция прямой строится по координатам X и Y её концов.

Координата Z в построениях не участвует и называется недостающей координатой. Таким образом, при построении прямоугольного треугольника на горизонтальной проекции прямой на катете откладывают разность аппликат, а при построении на фронтальной проекции — разность ординат.

При определении НВ прямой методом прямоугольного треугольника одновременно можно определить углы наклона прямой к плоскостям проекций (углы а° и Они определятся как углы между гипотенузой и соответствующей проекцией прямой.

Следы прямой

Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называются следами прямой. В точках следов прямая переходит из одного октанта в другой. Различают горизонтальный, фронтальный и профильный следы прямой и их соответствующие проекции. На рисунке 2.5 показаны пространственные чертежи прямых общего и частного положения и образование их следов. Прямые, параллельные плоскостям проекций, имеют только два следа, а прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, — один след, совпадающий с той проекцией прямой, на которой она проецируется в точку.

Из пространственных чертежей следует методика построения проекций следов прямой на эпюре (рисунок 2.6).

Взаимное положение прямых

Прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися, скрещивающимися и перпендикулярными.

Пространственные чертежи и эпюры параллельных и пересекающихся прямых представлены на рисунке 2.7а, б.

Признаком параллельных прямых на эпюре является параллельность их одноименных проекций.

Пересекающимися прямыми называются прямые, которые имеют общую точку — точку пересечения. Признаком пересекающихся прямых на эпюре является то, что проекции точки пересечения находятся на одной линии связи.

Частным случаем пересекающихся прямых являются перпендикулярные прямые. В соответствии с теоремой о проецировании прямого угла, прямой угол будет проецироваться на плоскость проекций в натуральную величину в том случае, когда одна из его сторон будет параллельна этой плоскости проекций (Рисунок 2.8).

Cкрещивающимися прямыми называются непараллельные прямые, не имеющие общей точки. Скрещивающиеся прямые в пространстве не пересекаются, но на эпюре их одноименные проекции накладываются друг на друга, что создает впечатление пересечения. Признаком скрещивающихся прямых на проекциях является то, что проекции их мнимых точек пересечения не находятся на одной линии связи (рисунок 2.9а). В мнимых точках пересечения конкурируют две точки, принадлежащие разным прямым, или, другими словами, в мнимых точках конкурируют две прямые. Назовем эту область конкурирующим местом.

При рассмотрении скрещивающихся прямых возникает вопрос о видимости проекций прямых в конкурирующих местах. Этот вопрос может быть решен методом конкурирующих точек (конкурирующих прямых).

Сущность метода заключается в следующем:

Отметить конкурирующее место на рассматриваемой проекции;
Обозначить конкурирующие точки или записать, какие прямые конкурируют;
Провести через конкурирующее место линию связи;
Вдоль линии связи сравнить недостающие координаты конкурирующих точек или конкурирующих прямых;
На рассматриваемой проекции будет видна та точка или прямая, которая имеет наибольшую недостающую координату.

Так на рисунке 2.96 на горизонтальной проекции будет видна точка 1, принадлежащая прямой AВ, или, проще говоря, прямая АВ, так как аппликата прямой АВ вдоль линии связи наибольшая. На фронтальной проекции также будет видна прямая AВ. так как у неё в конкурирующем месте наибольшая ордината.

Метод конкурирующих точек (прямых) используется и при определении видимости проекций прямой и плоскости, двух плоскостей, прямой и поверхности, ребер многогранников и т.д. При этом считается, что плоскости и поверхности геометрически непрозрачны, а видимость прямой в точке встречи с плоскостью или в точках встречи с поверхностью меняется.

На рисунке 2.10 представлена пространственная схема определения видимости проекций прямой MN и плоскости ABCD, пересекающихся друг с другом в точке К. На горизонтальной проекции в конкурирующем месте будет видна прямая ВС, так как её аппликата больше, чем у прямой MN. На фронтальной проекции в конкурирующем месте будет видна прямая MN, так как ордината у неё больше, чем у прямой АВ.

Пример: Определить длину растяжек для крепления антенны к крыше здания (рисунок 2.11).

Решение: Длина растяжек АВ и ВС определена методом прямоугольного треугольника на фронтальной проекции. Длину растяжки KD определять не следует, так как прямая KD является фронталью и её фронтальная проекция представляет НВ.

Пример: Построить следы прямой АВ и определить октанты, через которые проходит прямая (рисунок 2.12).

Решение: Задача решена в пространстве и на эпюре. Так как проекции прямой пересекают оси ОХ и 0Y, то в точках пересечения и будут находится проекции горизонтального, фронтального и профильного следов прямой. Далее по знакам координат точек М, К, N, L определяем, что прямая проходит через октанты ll, I, IV и VIII.

Пример: Определить взаимное положение прямых АВ и CD (рисунок 2.13).

Решение: Анализ проекций двух заданных прямых приводит к выводу, что они являются профильными прямыми, так как обе их проекции параллельны осям 0Y и 0Z. Анализ взаимной параллельности одноименных проекций позволяет сделать предварительный вывод о том, что прямые АВ и CD параллельны друг другу. Однако такой вывод неправомерен, так как для профильных прямых следует проверить параллельность на профильной проекции. Построив профильные проекции , видно, что прямые скрещиваются.

Пример: Разделить отрезок прямой АВ в отношении 2:3 (рисунок 2.14а).

Решение: Так как отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций, то разделить в данном отношении отрезок прямой на эпюре — значит разделить в том же отношении любую его проекцию.

Задача решается исключительно графическим методом. Представленное решение задачи основано на теореме Фалеса: если на одной стороне угла отложить равные или пропорциональные отрезки и провести через засечки любые параллельные прямые, то другая сторона разделится на равные или пропорциональные отрезки. На рисунке 2.14а дано решение задачи в пространственной форме, а на рисунке 2.146 представлен эпюр решения задачи. На горизонтальной проекции вспомогательная прямая m проводится под произвольно углом, и на ней откладывается пять произвольных отрезков равной длины.

На рисунке 2.14в представлены ещё два способа деления отрезка прямой в заданном отношении.

Изготовление любой детали, строительство сооружений, разработка месторождений полезных ископаемых начинается с составления чертежей, планов и схем. Никакие словесные описания не могут заменить чертеж, который позволяет не только определить форму и размеры всех частей предмета, но и получить наглядное представление о нем.

Начертательная геометрия — один из разделов геометрии, в котором свойства пространственных фигур изучают по их изображениям на той или иной поверхности. Чаще всего за такую поверхность принимают плоскость.

Как и любая научная дисциплина, начертательная геометрия имеет терминологию, которую следует хорошо усвоить, чтобы понимать излагаемый материал.

В геометрии вообще и в начертательной геометрии в частности каждое последующее изложение основывается на предыдущем материале. Такая особенность изучаемого предмета требует систематической, последовательной работы над ним.

Потребность в отображении действительности появилась у человека давно. Об этом свидетельствуют многочисленные изображения первобытного человека на стенах пещер и камнях, на предметах и орудиях труда. С развитием человечества совершенствовалась и техника передачи различных символов (письменность, схемы, чертежи). В Древнем Китае, например, была разработана всеобъемлющая знаковая система, где каждому предмету или явлению соответствовал особый знак (иероглиф). В Древнем Египте при возведении сооружений архитекторы использовали чертежи в виде планов и фасадов.

Основные правила и методы построения изображений (планов зданий, земельных угодий, крепостных укреплений) по законам геометрии были разработаны в эпоху античности. В Древней Греции, за 300 лет до нашей эры, сделаны первые шаги к научному обоснованию метода центрального проецирования. В «Оптике» Евклида содержатся 12 аксиом и 61 теорема об условиях «видения» предметов.

Расцвет классической культуры сменился застоем, и только в эпоху Возрождения, благодаря усилиям школ живописи и архитектуры Италии, Нидерландов и Германии, в истории начертательной геометрии начинается новый период развития. К этому времени относится введение целого ряда основных понятий метода проецирования.

С развитием архитектуры, машинного производства, горной промышленности к изображениям предметов стали предъявлять все более высокие требования, что и привело к необходимости обобщения и систематизации знаний по «теории изображений». Работа знаменитого французского геометра и инженера периода Великой французской революции Гаспара Монжа (1746-1818) «Geometrie Descriptive» (1798 г.) представляет собой первое систематическое изложение общего метода изображения пространственных фигур на плоскости, поднявшее начертательную геометрию на уровень самостоятельной научной дисциплины.

Преподавание начертательной геометрии в России началось уже в первые годы XIX в. в Корпусе инженеров путей сообщения и чуть позже в Горном кадетском корпусе. Первый русский профессор начертательной геометрии Я.И. Севастьянов (1796-1849) в 1821 г. составил курс «Основания начертательной геометрии», ставший классическим учебным пособием по этому предмету.

Среди ученых, внесших наиболее значительный вклад в развитие начертательной геометрии, следует отметить академика Е.С. Федорова (1853-1919), преподававшего в Горном институте. На примере решения задач минералогии и кристаллографии он показал применимость методов начертательной геометрии к исследованиям закономерностей материального мира.

В настоящее время начертательная геометрия является базовой общетехнической дисциплиной, составляющей основу инженерного образования. Было бы, однако, большой ошибкой ограничивать значение начертательной геометрии лишь рамками теоретической основы черчения. Ее методы дают возможность решать самые сложные проблемы в различных областях: горно-геологических науках, химии, физике и др.

Образование проекций. Методы проецирования

В начертательной геометрии чертеж — основной инструмент решения различных пространственных задач. К выполняемому чертежу предъявляется ряд особых требований, четыре из которых являются наиболее существенными. Чертеж должен быть: 1) наглядным; 2) обратимым; 3) достаточно простым; 4) точным.

Остановимся более подробно на обратимости чертежа. Под этим свойством понимается возможность точного воспроизведения формы и размеров предмета по его изображению. Действительно, для всех видов технических и горно-геологических чертежей это требование является особенно важным, так как по чертежу в машиностроении изготавливается та или иная деталь, в горном деле осуществляется проходка горных выработок, в геологии — оценка запасов полезного ископаемого и т.д.

Основным методом получения изображений в начертательной геометрии является проецирование. Чтобы понять сущность проецирования, обратимся к рис.1.

Выбираем центр проецирования — произвольную точку пространства — и поверхность проецирования, не проходящую через точку , например плоскость проекций . Чтобы спроецировать некоторую точку пространства на плоскость , необходимо через центр проецирования провести проецирующую прямую до ее пересечения в точке с плоскостью .

При этом точка называется проекцией точки на плоскости . Проекцией фигуры называется совокупность проекций всех ее точек на выбранную поверхность проецирования (например, на рис.1 проекцией треугольника на плоскости является треугольник ). Описанный метод проецирования путем проведения проецирующих прямых через точки заданной фигуры и центр проецирования называется центральным.

Если проецирование осуществляется из бесконечно удаленной точки пространства (рис.2), то все проецирующие прямые окажутся взаимно параллельными. Этот метод проецирования называется параллельным, а направление , по которому оно осуществляется, — направлением проецирования.

Если направление параллельного проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то проецирование называется прямоугольным или ортогональным. Во всех остальных случаях параллельное проецирование называется косоугольным.

Изображения, полученные при помощи центрального проецирования, отличаются хорошей наглядностью, что объясняется устройством зрительного аппарата человеческого глаза. Однако этот метод имеет существенные недостатки. Во-первых, сложно построить изображение предмета. Во-вторых, построенные проекции имеют низкие метрические свойства, поэтому вследствие значительных искажений, возникающих при данном методе проецирования, определить истинные размеры предмета весьма сложно. По этим причинам способ центрального проецирования имеет ограниченное применение в практике и используется, когда от чертежа требуется прежде всего наглядность.

Несмотря на то, что параллельное проецирование, по сравнению с центральным, имеет меньшую наглядность, параллельные проекции, особенно ортогональные, обладают лучшей измеримостью и простотой построения.

Задачи, решаемые методами начертательной геометрии, принято делить на метрические и позиционные.

Метрические задачи имеют целью определение размеров различных предметов по их изображению. К таким задачам относится определение натуральной величины геометрических фигур, расстояний и углов между ними; в горно-геологической практике — это задачи на определение глубины и угла наклона буровых скважин, угла падения пласта полезного ископаемого, углов между осями горных выработок и т.п.

Позиционные задачи позволяют определить взаимное расположение различных объектов: точек, прямых линий, плоскостей, пространственных фигур. К этой категории задач относятся, например, установление точки встречи буровой скважины с плоскостью залежи, построение линии пересечения кровли и подошвы пласта полезного ископаемого с горной выработкой и многие другие.

Для быстрого и удобного решения пространственных задач в начертательной геометрии используют несколько систем изображений, особенности которых приведены в табл.1.

Таблица 1

Основные системы изображения, используемые при проецировании

Область применения той или иной системы изображений зависит, прежде всего, от целей, которые ставятся при построении чертежа. Из представленных в табл.1 систем наиболее широкое применение в техническом проектировании имеет эпюр (ортогональный чертеж). На его основе выполняются рабочие и сборочные чертежи, эскизы деталей, схемы и т.д. Поэтому в дальнейшем изложении курса основное внимание будет уделено именно этому методу построения.

Однако и другие методы проецирования находят применение в горно-геологических работах, поэтому в заключительных разделах будут рассмотрены основные правила изображения предметов при помощи векторных проекций, перспективы, аксонометрической проекции и, более подробно, — проекций с числовыми отметками.

Заказать чертежи

Ортогональный чертеж. Проецирование точки

Любой предмет пространства можно рассматривать как определенную совокупность отдельных точек этого пространства, поэтому для изображения различных предметов необходимо научиться строить изображения отдельной точки пространства.

Представим в пространстве три взаимно перпендикулярные плоскости (рис.3):

Для наглядного изображения плоскостей проекций взята кабинетная проекция, известная из курсов геометрии и черчения средней школы.

Кабинетная проекция относится к числу косоугольных, более подробно она будет рассмотрена в разделе «Аксонометрические проекции».

Плоскости проекций пересекаются по прямым, которые называются осями проекций и обозначаются , и . Точка — точка пересечения всех трех осей проекций — называется началом координат.

Представим себе также в пространстве некоторую точку . Чтобы получить проекцию точки на горизонтальной плоскости проекций, необходимо провести через эту точку проецирующую прямую, перпендикулярную плоскости и найти точку пересечения этой прямой с плоскостью . Точка называется горизонтальной проекцией точки . Путем ортогонального проецирования точки на фронтальную и профильную плоскости проекций образуются ее фронтальная и профильная проекции (соответственно точки и ).

Длины отрезков, измеряемые некоторой установленной единицей длины и равные расстояниям от точки до горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостей проекций, называются прямоугольными (декартовыми) координатами:

Три координаты точки однозначно определяют ее положение в пространстве.

Взаимно перпендикулярные плоскости, изображенные на рис.3, дают нам пространственный чертеж. Для получения трех проекций точки в плоскости чертежа плоскости проекций , и условно совмещают с плоскостью чертежа. Это совмещение выполняется следующим образом.

Фронтальная плоскость проекций принимается за плоскость чертежа, горизонтальная плоскость проекций совмещается с плоскостью чертежа вращением вокруг оси , а профильная плоскость проекций — вращением вокруг оси . Направление вращения на рис.3 показано стрелками.

При совмещении плоскости с плоскостью чертежа положительное направление оси совмещается с отрицательным направлением оси , а отрицательное направление — с положительным направлением оси . На чертеже изображение оси принято обозначать . При совмещении плоскости с плоскостью чертежа положительное направление оси совмещается с отрицательным направлением оси , а отрицательное направление — с положительным направлением оси . На чертеже изображение оси у принято обозначать .

В результате образуется ортогональный чертеж, или эпюр (от франц. epure — чертеж, проект). На эпюре изображают только проекции геометрических объектов, а не сами объекты.

Любые две проекции точки, изображенные на эпюре, связаны между собой линией проекционной связи, перпендикулярной оси проекций (на чертеже ее обозначают штриховой линией):

Вследствие того, что отрезки и являются изображением одной и той же координаты , точки и связывают дугой окружности с центром в начале координат.

Каждая проекция точки определяется двумя координатами: горизонтальная проекция — координатами ; фронтальная проекция — , профильная проекция —.

Положение точки может быть задано как графически, так и аналитически. Пример графического изображения точки рассмотрен нами на рис.3. Аналитическая форма задания точки представляет собой числовое выражение трех координат точки в выбранных единицах длины. Например, запись означает, что .

От аналитической формы задания точки легко перейти к графическому изображению этой точки на ортогональном чертеже.

Пример 1. Построить проекции точки .

1. Выбираем единичный отрезок (рис.4).

2. С учетом знака откладываем на осях проекций координатные отрезки:

3. Отмечаем точки .

4. Из построенных точек — проводим линии проекционной связи, перпендикулярные осям проекций, и на их пересечениях отмечаем проекции точки :

Две проекции точки, построенные на эпюре, однозначно определяют ее положение в пространстве. По двум проекциям заданной точки можно построить третью, и притом только одну.

Пример 2. Построить третью проекцию точки по двум заданным (рис.5).

1. Даны фронтальная и профильная проекции точки : фронтальная проекция определяется координатами ,

профильная проекция определяется координатами

2. Из имеющихся проекций проводим линии проекционной связи, перпендикулярные осям проекций, и определяем координатные отрезки равные соответствующим координатам точки :

3. На пересечении линий проекционной связи с осями проекций отмечаем точки .

4. Строим третью, горизонтальную проекцию точки (рис.6). Горизонтальная проекция определяется координатами

При определении точки по перенос осуществляется с оси на соответствующее по знаку направление оси .

В зависимости от расположения точки относительно плоскостей проекций различают:

1) точки общего положения, не принадлежащие плоскостям проекций (к ним относится, например, точка А на рис.3);

2) точки частного положения, лежащие в плоскостях проекций , на осях проекций или в начале координат.

У точки общего положения все три координаты отличны от нуля.

Если точка лежит в плоскости проекций, то ее координата по оси, перпендикулярной этой плоскости проекций, равна нулю. Если точка лежит на оси проекций, то две другие ее координаты равны нулю. Если все три координаты точки равны нулю, то точка лежит в начале координат.

Рассмотрим некоторые частные случаи положения точки: когда точка лежит в какой-нибудь плоскости проекций или на какой-нибудь оси проекций.

Точка рис.7 принадлежит горизонтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция этой точки совпадает с самой точкой, фронтальная проекция лежит на оси , а профильная проекция — на оси . Координата точки по оси равна нулю, и, следовательно, точка лежит в начале координат.

Точка рис.8 лежит на оси . С самой точкой совпадают ее горизонтальная и профильная проекции, причем на ортогональном чертеже горизонтальная проекция лежит на оси , а профильная — на оси . Фронтальная проекция лежит в начале координат.

Октанты

Плоскости проекций , и являются неограниченными поверхностями и при взаимном пересечении делят пространство на восемь трехгранных углов, или октантов (от лат. octans — восьмая часть).

Нумерация октантов в полупространствах приведена на рис.9. Знаки координат в каждом из октантов указаны в табл.2.

Таблица 2

Знаки прямоугольных координат в различных октантах

Проекции отрезка прямой линии. Точка на прямой

Прямую линию можно рассматривать как совокупность точек. Из школьного курса геометрии известно, что через две точки можно провести прямую и притом только одну.

Пусть нам даны на эпюре точки и . Две проекции каждой из этих точек однозначно определяют их положение в пространстве (рис.10). Если мы соединим одноименные проекции точек, то получим проекции прямой. Точки и ограничивают отрезок прямой и определяют положение этой прямой как бесконечной линии.

Таким образом, прямая линия на эпюре может быть задана двумя проекциями отрезка, принадлежащего этой прямой. По двум проекциям отрезка всегда можно построить его третью проекцию и притом только одну.

Если прямая не параллельна ни одной из плоскостей проекций, то она пересекает все плоскости проекций и не проецируется ни на одну из них в натуральную величину. Такую прямую называют прямой общего положения. Ни одна из ее проекций не параллельна осям. Прямая на рис.10 — это прямая общего положения.

Точка принадлежит прямой линии, если ее проекции лежат на одноименных проекциях этой линии.

Если на прямой мы выберем какую-либо точку , то проекции этой точки будут лежать на одноименных проекциях прямой (рис.11).

Таким образом, если точка принадлежит заданной прямой, то для построения проекций этой точки на эпюре необходимо и достаточно знать положение хотя бы одной проекции точки, поскольку недостающие проекции легко найти в пересечении линий проекционной связи с соответствующими проекциями прямой.

Прямые частного положения

Прямая, параллельная одной или двум плоскостям проекций, называется прямой частного положения.

Рассмотрим пример, когда прямая параллельна одной плоскости проекций. В этом случае прямая проецируется на эту плоскость в натуральную величину, а две другие проекции -параллельны осям проекций.

Горизонтальная прямая — прямая, параллельная плоскости (рис.12). Горизонтальная проекция отрезка горизонтальной прямой равна его натуральной величине. Фронтальная проекция горизонтальной прямой всегда параллельна оси . Угол между горизонтальной проекцией горизонтальной прямой и осью является углом между этой прямой и фронтальной плоскостью проекций.

Фронтальная прямая — прямая, параллельная плоскости . Фронтальная проекция отрезка (рис.13) фронтальной прямой равна его натуральной величине; горизонтальная проекция фронтальной прямой всегда параллельна оси . Угол между фронтальной проекцией фронтальной прямой и осью является углом между фронтальной прямой и горизонтальной плоскостью проекций.

Профильная прямая — прямая, параллельная плоскости . Профильная проекция отрезка (рис.14) профильной прямой равна его натуральной величине; горизонтальная проекция профильной прямой всегда параллельна оси , а фронтальная — оси . Угол между профильной проекцией профильной прямой и осью является углом между прямой и горизонтальной плоскостью проекций; угол между профильной проекцией прямой и осью — углом между прямой и фронтальной плоскостью проекций.

Если прямая параллельна двум плоскостям проекций, т.е. перпендикулярна третьей плоскости проекций, то на эти две плоскости проекции прямая проецируется в натуральную величину, а третья проекция представляет собой точку. Такие прямые называют проецирующими.

Горизонтально-проецирующая прямая — прямая, перпендикулярная плоскости (прямая на рис.15). Фронтальная и профильная проекции отрезка горизонтально-проецирующей прямой равны его натуральной величине, а ее горизонтальная проекция представляет собой точку.

Фронтально-проецирующая прямая -прямая, перпендикулярная плоскости (прямая на рис.15). Горизонтальная и профильная проекции отрезка фронтально-проецирующей прямой равны его натуральной величине, а ее фронтальная проекция представляет собой точку.

Профильно-проецирующая прямая — прямая, перпендикулярная плоскости (рис.16). Горизонтальная и фронтальная проекции отрезка профильно-проецирующей прямой равны его натуральной величине, профильная проекция профильно-проецирующей прямой представляет собой точку.

Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения методом прямоугольного треугольника

Ортогональная проекция отрезка прямой общего положения на любую плоскость проекций всегда меньше длины самого отрезка. Рассмотрим правила определения натуральной величины отрезка прямой методом прямоугольного треугольника.

Предположим, что точки и лежат в I октанте (рис.17). Соединим эти точки и получим отрезок некоторой прямой . Построим горизонтальную и фронтальную проекции этой прямой. Из точки проведем линию, параллельную , которая в пересечении с линией проекционной связи даст точку .

Рассмотрим стороны прямоугольного треугольника :

На ортогональном чертеже оказывается достаточно данных для построения треугольника, равного рассмотренному (рис.17). Для этого к горизонтальной проекции «пристроен» второй катет — разность координат . Гипотенуза построенного треугольника — натуральная величина отрезка .

Истинную величину отрезка можно определить, построив прямоугольный треугольник, катетом которого является и фронтальная проекция отрезка (рис.18): при этом второй катет окажется равным разности координат . Для треугольника, построенного на профильной проекции отрезка, вторым катетом будет разность координат .

На рис.18 истинная величина отрезка определена три раза: гипотенузы построенных прямоугольных треугольников имеют равную длину и все они определяют истинную величину отрезка .

В общем случае, натуральная величина отрезка прямой общего положения равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция отрезка прямой, а вторым — разность «третьих» координат (табл.3).

Под термином «третья координата» подразумевается координата, которая отсутствует в проекции, выбранной в качестве катета прямоугольного треугольника. Так, горизонтальная проекция отрезка строится по координатам и , следовательно, «третьей» координатой в этом случае будет координата . Аналогично у фронтальной проекции отрезка «третьей» координатой будем считать координату , а у профильной — координату .

Таблица 3

Геометрические элементы при определении истинной величины отрезка примой методом прямоугольного треугольника

Координаты концов отрезка могут иметь разные знаки. Тогда разность координат определяется с учетом знака. Например, если координата точки положительная, а точки отрицательная, то разность координат

Угол наклона прямой к плоскости проекций — это угол между прямой и ее проекцией. Следовательно, определяя истинную величину отрезка прямой методом прямоугольного треугольника, одновременно можно найти и угол ее наклона к плоскости проекций. Угол между гипотенузой и соответствующей проекцией отрезка равен углу наклона этой прямой к данной плоскости проекций.

Пример 3. Определить истинную величину отрезка и угол наклона прямой к плоскости (рис.19).

1. По табл.3 определяем, что для нахождения угла наклона к плоскости надо построить прямоугольный треугольник, в котором одним катетом будет горизонтальная проекция отрезка , а вторым — разность координат по оси .

2. Определяем координаты по оси точек и и их разность:

3. Строим прямоугольный треугольник, в котором за катет принимаем горизонтальную проекцию . В качестве второго катета откладываем расстояние, равное .

4. Гипотенуза построенного треугольника есть истинная величина отрезка , а угол при вершине (угол ) — угол наклона прямой к плоскости .

Следы прямой

Следом прямой называется точка пересечения прямой линии с плоскостью проекций. Прямая общего положения пересекает все три плоскости проекций и, следовательно, имеет три следа. Прямая линия частного положения не имеет следа на плоскости проекций, если она параллельна этой плоскости.

Выберем две точки, точку , лежащую в плоскости проекций и точку — в плоскости проекций (рис.20). Через эти точки проведем прямую.

Точка пересечения прямой линии с горизонтальной плоскостью проекций называется горизонтальным следом прямой; точка пересечения прямой линии с фронтальной плоскостью проекций — фронтальным следом прямой; точка пересечения прямой линии с профильной плоскостью проекций — профильным следом прямой.

Следы прямой совпадают с проекциями этих следов в той плоскости, где они расположены: .

Поскольку точка лежит в плоскости , ее фронтальная проекция располагается на оси , а профильная — на оси . Горизонтальная проекция точки также располагается на оси , а профильная проекция лежит на оси . Горизонтальная проекция профильного следа лежит на оси , а фронтальная проекция — на оси .

Охарактеризуем особенности построения каждой проекции каждого из трех следов на ортогональном чертеже (рис.20).

Горизонтальный след :

Фронтальный след :

Профильный след :

Необходимо отметить, что построение профильных проекций следов может проводиться по двум уже построенным проекциям (горизонтальной и фронтальной), как было показано в разделе 1.2.

Пример 4. Построить проекции следов прямой (рис.21).

1. Находим фронтальную проекцию горизонтального следа , продолжив до пересечения с осью .

2. Из точки проводим линию проекционной связи до ее пересечения с продолжением Здесь расположена точка .

3. По двум проекциям и строим третью — , которая может быть также построена как точка пересечения профильной проекции прямой с осью .

4. Находим горизонтальную проекцию фронтального следа в пересечении с осью .

5. Из точки проводим линию проекционной связи до ее пересечения с фронтальной проекцией прямой и получаем точку .

6. По двум проекциям фронтального следа и строим третью его проекцию — , которая лежит в пересечении профильной проекции прямой с осью .

7. В пересечении с осью строим точку (горизонтальную проекцию профильного следа).

8. В пересечении с осью получаем фронтальную проекцию профильного следа — точку .

9. По двум проекциям и строим профильную проекцию профильного следа .

Взаимное положение двух прямых

Две прямые могут пересекаться, быть параллельными друг другу и скрещиваться.

Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку. Если прямые линии пересекаются, то одноименные проекции этих прямых тоже пересекаются (рис.22, а), причем проекции точки пересечения лежат на одной линии проекционной связи.

Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Одноименные проекции двух параллельных прямых параллельны между собой (рис.22, б).

Скрещивающиеся прямые, в отличие от пересекающихся и параллельных прямых, не лежат в одной плоскости. Хотя одноименные проекции двух скрещивающихся прямых и могут пересекаться, но точки их пересечения не лежат на одной линии проекционной связи (рис.22, в).

Две точки, лежащие на скрещивающихся прямых и на одном перпендикуляре к плоскости проекций, называются конкурирующими. Проекции конкурирующих точек лежат в точке пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых (точки / и 2 на фронтальной плоскости проекций, точки 3 и 4 на горизонтальной плоскости проекций — см. рис.22, в).

При помощи конкурирующих точек определяется взаимная видимость прямых и плоскостей относительно друг друга.

Проецирование плоских углов

Плоский угол проецируется на плоскость проекций без искажения, если плоскость угла параллельна плоскости проекций. Это справедливо в отношении любого угла — острого или тупого. Исключение составляет только прямой угол, который проецируется на плоскость проекций без искажения, если хотя бы одна его сторона параллельна плоскости проекций (рис.23).

Проецирование плоскости
Плоскость на эпюре Монжа
Позиционные задачи
Методы преобразования эпюра Монжа
Взаимное положение плоскостей, прямой линии и плоскости
Взаимное расположение точки, прямых и плоскостей
Перпендикулярность геометрических объектов
Метод замены плоскостей проекций

Источник

Проекция точки на прямую, координаты проекции точки на прямую

Данная статья рассматривает понятие проекции точки на прямую (ось). Мы дадим ему определение с использованием поясняющего рисунка; изучим способ определения координат проекции точки на прямую (на плоскости или в трехмерном пространстве); разберем примеры.

Проекция точки на прямую, определение

В статье «Проекция точки на плоскость, координаты» мы упоминали, что проецирование фигуры является обобщенным понятием перпендикулярного или ортогонального проецирования.

Все геометрические фигуры состоят из точек, соответственно проекция этой фигуры есть множество проекций всех ее точек. Поэтому, чтобы иметь возможность спроецировать фигуру на прямую, необходимо получить навык проецирования точки на прямую.

Проекция точки на прямую – это или сама точка, если она принадлежит заданной прямой, или основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на заданную прямую.

Рассмотрим рисунок ниже: точка H 1 служит проекцией точки М 1 на прямую a , а точка М 2 , принадлежащая прямой, является проекцией сама себя.

Данное определение верно для случая на плоскости и в трехмерном пространстве.

Чтобы на плоскости получить проекцию точки М 1 на прямую a , проводится прямая b , проходящая через заданную точку M 1 и перпендикулярная прямой a . Таким образом, точка пересечения прямых a и b будет проекцией точки М 1 на прямую a .

В трехмерном пространстве проекцией точки на прямую будет служить точка пересечения прямой a и плоскости α , проходящей через точку М 1 и перпендикулярной прямой a .

Нахождение координат проекции точки на прямую

Рассмотрим данный вопрос в случаях проецирования на плоскости и в трехмерном пространстве.

Пусть нам заданы прямоугольная система координат O x y , точка М 1 ( x 1 , y 1 ) и прямая a . Необходимо найти координаты проекции точки М 1 на прямую a .

Проложим через заданную точку М 1 ( x 1 , y 1 ) прямую b перпендикулярно прямой a . Точку пересечения маркируем как H 1 . Точка Н 1 будет являться точкой проекции точки М 1 на прямую a .

Из описанного построения можно сформулировать алгоритм, который позволяет находить координаты проекции точки М 1 ( x 1 , y 1 ) на прямую a :

— составляем уравнение прямой (если оно не задано). Для совершения этого действия необходим навык составления основных уравнений на плоскости;

— записываем уравнение прямой b (проходящей через точку М 1 и перпендикулярной прямой a ). Здесь поможет статья об уравнении прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой;

— определяем искомые координаты проекции как координаты точки пересечения прямых a и b . Для этого решаем систему уравнений, составляющие которой – уравнения прямых a и b .

На плоскости O x y заданы точки М 1 ( 1 , 0 ) и прямая a (общее уравнение – 3 x + y + 7 = 0 ). Необходимо определить координаты проекции точки М 1 на прямую a .

Решение

Уравнение заданной прямой известно, поэтому, согласно алгоритму, переходим к шагу записи уравнения прямой b . Прямая b перпендикулярна прямой a , а значит нормальный вектор прямой a служит направляющим вектором прямой b . Тогда направляющий вектор прямой b запишем как b → = ( 3 , 1 ) . Запишем и каноническое уравнение прямой b , поскольку нам также заданы координаты точки М 1 , через которую проходит прямая b :

Заключительным шагом определяем координаты точки пересечения прямых a и b . Перейдем от канонических уравнений прямой b к общему ее уравнению:

x — 1 3 = y 1 ⇔ 1 · ( x — 1 ) = 3 · y ⇔ x — 3 y — 1 = 0

Составим систему уравнений из общих уравнений прямых a и b и решим ее:

3 x + y + 7 = 0 x — 3 y — 1 = 0 ⇔ y = — 3 x — 7 x — 3 y — 1 = 0 ⇔ y = — 3 x — 7 x — 3 · ( — 3 x — 7 ) — 1 = 0 ⇔ ⇔ y = — 3 x — 7 x = — 2 ⇔ y = — 3 · ( — 2 ) — 7 x = — 2 ⇔ y = — 1 x = — 2

В конечном итоге мы получили координаты проекции точки М 1 ( 1 , 0 ) на прямую 3 x + y + 7 = 0 : ( — 2 , — 1 ) .

Ответ: ( — 2 , — 1 ) .

Подробнее рассмотрим случай, когда необходимо определить координаты проекции заданной точки на координатные прямые и параллельные им прямые.

Пусть заданы координатные прямые O x и O y , а также точка М 1 ( x 1 , y 1 ) . Понятно, что проекцией заданной точки на координатную прямую O x вида y = 0 будет точка с координатами ( x 1 , 0 ) . Так и проекция заданной точки на координатную прямую O y будет иметь координаты 0 , y 1 .

Любую произвольную прямую, параллельную оси абсцисс, возможно задать неполным общим уравнением B y + C = 0 ⇔ y = — C B , а прямую, параллельную оси ординат — A x + C = 0 ⇔ x = — C A.

Тогда проекциями точки М 1 ( x 1 , y 1 ) на прямые y = — C B и x = — C A станут точки с координатами x 1 , — C B и — C A , y 1 .

Определите координаты проекции точки М 1 ( 7 , — 5 ) на координатную прямую O y , а также на прямую, параллельную прямой O y 2 y — 3 = 0 .

Решение

Запишем координаты проекции заданной точки на прямую O y : ( 0 , — 5 ) .

Запишем уравнение прямой 2 y — 3 = 0 в виде y = 3 2 . Становится видно, что проекция заданной точки на прямую y = 3 2 будет иметь координаты 7 , 3 2 .

Ответ: ( 0 , — 5 ) и 7 , 3 2 .

Пусть в трехмерном пространстве заданы прямоугольная система координат O x y z , точка М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и прямая a . Найдем координаты проекции точки М 1 на прямую a .

Построим плоскость α , проходящую через точку М 1 и перпендикулярную прямой a . Проекцией заданной точки на прямую a станет точка пересечения прямой a и плоскости α . Исходя из этого, приведем алгоритм для нахождения координат проекции точки М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) на прямую a :

— запишем уравнение прямой а (если оно не задано). Для решения этой задачи необходимо ознакомиться со статьей об уравнениях прямой в пространстве;

— составим уравнение плоскости α , проходящей через точку М 1 и перпендикулярной прямой a (см. статью «Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой»);

— найдем искомые координаты проекции точки М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) на прямую a – это будут координаты точки пересечения прямой α и плоскости α (в помощь – статья «Координаты точки пересечения прямой и плоскости»).

Задана прямоугольная система координат O x y z , и в ней – точка М 1 ( 0 , 1 , — 1 ) и прямая a . Прямой a соответствуют канонические уравнения вида: x + 2 3 = y — 6 — 4 = z + 1 1 . Определите координаты проекции точки М 1 на прямую a .

Решение

Используем указанный выше алгоритм. Уравнения прямой a известны, поэтому первый шаг алгоритма пропускаем. Запишем уравнение плоскости α . Для этого определим координаты нормального вектора плоскости α . Из заданных канонических уравнений прямой a выделим координаты направляющего вектора этой прямой: ( 3 , — 4 , 1 ) , который будет являться нормальным вектором плоскости α , перпендикулярной прямой a . Тогда n → = ( 3 , — 4 , 1 ) – нормальный вектор плоскости α . Таким образом, уравнение плоскости α будет иметь вид:

3 · ( x — 0 ) — 4 · ( y — 1 ) + 1 · ( z — ( — 1 ) ) = 0 ⇔ 3 x — 4 y + z + 5 = 0

Теперь найдем координаты точки пересечения прямой а и плоскости α, для этого используем два способа:

Заданные канонические уравнения позволяют получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих прямую a :

x + 2 3 = y — 6 — 4 = z + 1 1 ⇔ — 4 · ( x + 2 ) = 3 · ( y — 6 ) 1 · ( x + 2 ) = 3 · ( z + 1 ) 1 · ( y — 6 ) = — 4 · ( z + 1 ) ⇔ 4 x + 3 y — 10 = 0 x — 3 z — 1 = 0

Чтобы найти точки пересечения прямой 4 x + 3 y — 10 = 0 x — 3 z — 1 = 0 и плоскости 3 x — 4 y + z + 5 = 0 , решим систему уравнений:

4 x + 3 y — 10 = 0 x — 3 z — 1 = 0 3 x — 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x — 3 z = 1 3 x — 4 y + z = — 5

В данном случае используем метод Крамера, но возможно применить любой удобный:

∆ = 4 3 0 1 0 — 3 3 — 4 1 = — 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 — 3 — 5 — 4 1 = — 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = — 78 — 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 — 3 3 — 5 1 = — 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = — 156 — 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 — 4 — 5 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 — 78 = 0

Таким образом, проекцией заданной точки на прямую a является точка c координатами ( 1 , 2 , 0 )

На основе заданных канонических уравнений легко записать параметрические уравнения прямой в пространстве:

x + 2 3 = y — 6 — 4 = z + 1 1 ⇔ x = — 2 + 3 · λ y = 6 — 4 · λ z = — 1 + λ

Подставим в уравнение плоскости, имеющее вид 3 x — 4 y + z + 5 = 0 , вместо x , y и z их выражения через параметр:

3 · ( — 2 + 3 · λ ) — 4 · ( 6 — 4 · λ ) + ( — 1 + λ ) + 5 = 0 ⇔ 26 · λ = 0 ⇔ λ = 1

Вычислим искомые координаты точки пересечения прямой a и плоскости α по параметрическим уравнениям прямой a при λ = 1 :

x = — 2 + 3 · 1 y = 6 — 4 · 1 z = — 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Таким образом, проекция заданной точки на прямую a имеет координаты ( 1 , 2 , 0 )

Ответ: ( 1 , 2 , 0 )

Напоследок отметим, что проекциями точки М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) на координатные прямые O x , O y и O z буду являться точки с координатами ( x 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , y 1 , 0 ) и ( 0 , 0 , z 1 ) соответственно.

Проекция точки на прямую онлайн

Предупреждение

Проекция точки на прямую − теория, примеры и решения

Рассмотрим эту задачу в двухмерном и трехмерном пространствах.

1. Пусть в двухмерном пространстве задана точка M₀(x₀, y₀) и прямая L:

(1)

где q=(m,p) направляющий вектор прямой L.

Найдем проекцию точки M₀ на прямую (1)(Рис.1).

Алгоритм нахождения проекции точки на прямую L содержит следующие шаги:

построить прямую L₁, проходящую через точку M₀ и перпендикулярную прямой L,
найти пересечение прямых L и L₁(точка M₁)

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀) имеет следующий вид:

Найдем точку пересечения прямых L и L₁ другим методом.

Выведем параметрическое уравнение прямой (1):

(5)

Подставим значения x и y в (4):

m(mt+x’)+p(pt+y’)−mx₀−py₀=0

m 2 t+mx’+p 2 t+py’−mx₀−py₀=0

(5′)

Пример 1. Найти проекцию точки M₀(1, 3) на прямую

(6)

Направляющий вектор прямой (6) имеет вид:

Подставляя значение t в (5), получим:

Проекцией точки M₀(1, 3) на прямую (6) является точка:

(7)

где q=(m, p, l) направляющий вектор прямой L.

Найдем проекцию точки M₀ на прямую (7)(Рис.2).

Нахождение проекцию точки на прямую L содержит следующие шаги:

построить плоскость α, проходящую через точку M₀ и перпендикулярную прямой L,
найти пересечение плоскости α и прямой L(точка M₁)

A(x−x₀)+B(y−y₀)+C(z−z₀)=0

(8)

где n=(A,B,C) нормальный вектор плоскости α.

m(x−x₀)+p(y−y₀)+l(z−z₀)=0

mx+py+lz−mx₀−py₀−lz₀=0

(9)

(10)

Подставим значения x и y в (9):

m(mt+x’)+p(pt+y’)+l(lt+z’)−mx₀−py₀−lz₀=0

m 2 t+mx’+p 2 t+py’+l 2 t+ly’−mx₀−py₀−lz₀=0

(10′)

Пример 2. Найти проекцию точки M₀(3, −1, −2) на прямую

(11)

Направляющий вектор прямой (11) имеет вид:

Подставляя значение t=t’ в (10), получим:

Проекцией точки M₀(3, −1, −2) на прямую (11) является точка:

Как найти проекцию точки на плоскость: методика определения и пример решения задачи

При решении геометрических задач в пространстве часто возникает проблема определения расстояния между плоскостью и точкой. В некоторых случаях это необходимо для комплексного решения. Эту величину можно вычислить, если найти проекцию на плоскость точки. Рассмотрим этот вопрос подробнее в статье.

Уравнение для описания плоскости

Перед тем как перейти к рассмотрению вопроса касательно того, как найти проекцию точки на плоскость, следует познакомиться с видами уравнений, которые задают последнюю в трехмерном пространстве. Подробнее — ниже.

Уравнением общего вида, определяющим все точки, которые принадлежат данной плоскости, является следующее:

Первые три коэффициента — это координаты вектора, который называется направляющим для плоскости. Он совпадает с нормалью для нее, то есть является перпендикулярным. Этот вектор обозначают n¯(A; B; C). Свободный коэффициент D однозначно определяется из знания координат любой точки, принадлежащей плоскости.

Далее в статье будем использовать записанное уравнение. Оно требуется, чтобы найти проекцию точки на плоскость.

Понятие о проекции точки и ее вычисление

Предположим, что задана некоторая точка P(x₁; y₁; z₁) и плоскость. Она определена уравнением в общем виде. Если провести перпендикулярную прямую из P к заданной плоскости, то очевидно, что она пересечет последнюю в одной определенной точке Q (x₂; y₂; z₂). Q называется проекцией P на рассматриваемую плоскость. Длина отрезка PQ называется расстоянием от точки P до плоскости. Таким образом, сам PQ является перпендикулярным плоскости.

Как можно найти координаты проекции точки на плоскость? Сделать это не сложно. Для начала следует составить уравнение прямой, которая будет перпендикулярна плоскости. Ей будет принадлежать точка P. Поскольку вектор нормали n¯(A; B; C) этой прямой должен быть параллелен, то уравнение для нее в соответствующей форме запишется так:

Где λ — действительное число, которое принято называть параметром уравнения. Изменяя его, можно получить любую точку прямой.

После того как записано векторное уравнение для перпендикулярной плоскости линии, необходимо найти общую точку пересечения для рассматриваемых геометрических объектов. Ее координаты и будут проекцией P. Поскольку они должны удовлетворять обоим равенствам (для прямой и для плоскости), то задача сводится к решению соответствующей системы линейных уравнений.

Понятие проекции часто используется при изучении чертежей. На них изображаются боковые и горизонтальные проекции детали на плоскости zy, zx, и xy.

Вычисление расстояния от плоскости до точки

Как выше было отмечено, знание координат проекции на плоскость точки позволяет определить дистанцию между ними. Используя обозначения, введенные в предыдущем пункте, получаем, что искомое расстояние равно длине отрезка PQ. Для его вычисления достаточно найти координаты вектора PQ¯, а затем рассчитать его модуль по известной формуле. Конечное выражение для d расстояния между P точкой и плоскостью принимает вид:

Полученное значение d представлено в единицах, в которых задается текущая декартова координатная система xyz.

Пример задачи

Допустим, имеется точка N(0; -2; 3) и плоскость, которая описывается следующим уравнением:

Следует найти точки проекцию на плоскость и вычислить между ними расстояние.

В первую очередь составим уравнение прямой, которая пересекает плоскость под углом 90 o . Имеем:

Записывая это равенство в явном виде, приходим к следующей системе уравнений:

Подставляя значения координат из первых трех равенств в четвертое, получим значение λ, определяющее координаты общей точки прямой и плоскости:

Подставим найденный параметр в уравнение прямой и найдем координаты проекции исходной точки на плоскость:

Для вычисления дистанции между заданными в условии задачи геометрическими объектами применим формулу для d:

d = √((3 — 0 ) 2 + (-3,5 + 2 ) 2 + (4,5 — 3 ) 2 ) = 3,674.

В данной задаче мы показали, как находить проекцию точки на произвольную плоскость и как вычислять между ними расстояние.

источники:

http://matworld.ru/analytic-geometry/proekcija-tochki-na-prjamuju.php

http://fb.ru/article/440688/kak-nayti-proektsiyu-tochki-na-ploskost-metodika-opredeleniya-i-primer-resheniya-zadachi

Источник

Решать можно в зависимости от уровня знаний и проходимого материала.

Изначально понимаем, что проекция точки, это точка, лежащая в плоскости и прямая проходящая через точку и проекцию точки будет перпендикулярна любой прямой (достаточно двум пресекающимся) из этой плоскости.

А дальше:

Решение 1

Пусть проекция точки P₀ (x₀;y₀;z₀)

Берем любые 2 точки плоскости (удовлетворяют уравнению): Например (0;0;7) и (0;-7;0)

Они образуют вектор a (0-0; 0-(-7); 7-0) = a (0;7;7)

Тогда вектор p = PP₀ (x₀-2;y₀-2;z₀+5) будет перпендикулярен вектору a

А значит скалярное произведение ap = 0

то есть 0•(x₀-2) + 7•(y₀-2) + 7•(z₀+5) = 0

или y₀ + z₀ + 3 = 0

Точно так же нужна вторая прямая, то есть другой вектор плоскости, но неколлинеарный. возьмем еще точку плоскости, например (-4;-1;0) и получим вектор b (0-(-4); -7-(-1); 0-0) = b (4;-6;0) — не коллинеарный a

Так же, скалярное произведение bp = 0

то есть 4•(x₀-2) — 6•(y₀-2) + 0•(z₀+5) = 0

или 2x₀ — 3y₀ + 2 = 0

При этом точка P₀ (x₀;y₀;z₀) лежит в плоскости, а значит удовлетворяет уравнению

3x₀ + 2y₀ — 2z₀ + 14 = 0

Получаем систему из 3 уравнений:

{0x₀ + 1y₀ + 1z₀ = -3

{2x₀ — 3y₀ + 0z₀ = -2

{3x₀ + 2y₀ — 2z₀ = -14

Можно составить матрицу и решить методом Крамера или методом Гаусса. Если эти темы не знаем, то тут простая система в первом уравнении выражаем z₀ = -y₀-3; во втором уравнении выражаем х₀ = 3y₀/2 — 1

И подставив в 3-е

9y₀/2 — 3 + 2y₀ + 2y₀ + 6 = -14

17y₀ = -34

y₀ = -2

тогда х₀ = -2•3/2 — 1 = -4

z₀ = 2 — 3 = -1

Ответ: точка P₀ (-4; -2; -1)

Если нигде арифметически не ошибся. (Все же ошибся (знак перед 14 вначале потерял), но уже исправил)

Решение 2

Состоит в том, что сразу знаем координаты ортогонального (нормаль) вектора к плоскости с уравнением 3x+2y-2z+14=0. Это вектор p (3;2;-2)

Тогда уравнение прямой проходящей через точку P в направлении вектора p:

(x-2)/3 = (y-2)/2 = (z+5)/-2

Отсюда получим несколько равенств

2(x-2) = 3(y-2)

-2(y-2) = 2(z+5)

-2(x-2) = 3(z+5)

Пересечение этой прямой с плоскостью и будет искомой точкой. Значит она удовлетворяет уравнению. 3x+2y-2z+14=0

Можно снова составить систему уравнений и решить её каким либо методом.

Я снова выражу х из (1): 2х-4 = 3y-6 или х = 3y/2 — 1

И выражу z из (2): -2y + 4 = 2z + 10 или z = -y — 3

И теперь это можно подставить в уравнение плоскости.

Но все это я проделал в решении 1 (повторятся не буду)

Ответ: точка P₀ (-4; -2; -1)

Источник