Как найти проекцию точки на сторону треугольника

Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)

ЗАДАЧА№1

Построить проекции равнобедренного прямоугольного треугольника АВС, если известно, что катет ВС принадлежит прямой KL.

Исходными данными задачи является точка А – вершина треугольника и прямая KL, на которой расположен его катет ВС. Прямая KL – линия уровня (параллельна плоскости проекций П₁ или П₂).

РЕШЕНИЕ:

1) По заданным координатам в таблице с вариантами строим проекции точек А, Р и прямой KL, в нашей задаче KL параллельна П₁ – т.е. горизонталь (координаты по оси z равны 30).

2) Из точки А опускаем перпендикуляр на прямую KL (так как искомый треугольник прямоугольный, а вершина А задана).

Отмечаем основание перпендикуляра – точку В (В₁). Фронтальную проекцию точки В (В₂) получаем по линии связи на К₂L₂.

3) Определяем натуральную величину катета АВ треугольника АВС способом прямоугольного треугольника: для этого на фронтальной проекции берем отрезок равный разнице координат проекций точек А и В – дельта z, и под прямым углом к горизонтальной проекции отрезка AB (A₁B₁) откладываем отрезок равный дельта z, получаем точку А₀. В₁А₀ – будет натуральной величиной катета (отрезка) АВ.

4) На прямой KL от точки В в любую сторону откладываем натуральную величину катета АВ (так как в равнобедренном прямоугольном треугольнике оба катета равны). В нашем случае откладываем на горизонтальной проекции K₁L₁ – т.к. KL – горизонталь и проецируется в натуральную величину именно на плоскость П₁. Получаем точку С (сначала проекцию С₁ и по линии связи C₂).

Соединяем точку А с точкой С. Треугольник АВС – искомый.

ЗАДАЧА№3

Определить натуральную величину расстояния от точки Р до плоскости.

РЕШЕНИЕ:

Кратчайшим расстоянием от точки до плоскости является отрезок перпендикуляра.

1) На основании теоремы о перпендикуляре к плоскости горизонтальная проекция перпендикуляра из точки Р проводится перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали h. Независимо от горизонтальной проекции строится его фронтальная проекция. Для этого по плоскости найденного треугольника АВС проведена фронталь ƒ. Фронтальная проекция перпендикуляра должна быть перпендикулярна фронтальной проекции фронтали ƒ.

2) Прямая перпендикуляра из точки Р заключена в горизонтальнопроецирующую плоскость γ₁. Затем определена линия пересечения 2-3 вспомогательной плоскости γ с заданной плоскостью треугольника АВС.

В пересечении линии 2-3 с прямой n найдена искомая точка Q. Сначала определяется фронтальная проекция Q₂, а затем по линии проекционной связи определена ее горизонтальная Q₁ проекция.

3) Натуральная величина перпендикуляра PQ определена способом прямоугольного треугольника, аналогично как в задаче №1 определяли натуральную величину катета АВ.

Эпюра с задачами 1 и 3 — вариант 24

ЗАДАЧА №2.

Построить линию пересечения двух плоскостей заданных треугольниками α(DEF) и β(RMN), координаты вершин которых заданы в таблице исходных данных.

РЕШЕНИЕ:

1) По заданным координатам строим проекции всех точек, получаем проекции треугольников DEF и RMN.

2) Решение задачи можно упростить, если вспомогательные проецирующие плоскости провести через прямые, задающие плоскость.

Так точка K этой линии определена с помощью горизонтальнопроецирущей плоскости δ₁, проведенной через сторону RM треугольника MNR. Именно линия RM является линией пересечения плоскости треугольника β(RMN) с вспомогательной плоскостью δ. Та же плоскость пересекает треугольник α(DEF) по линии 1-2.

Точка K, общая для трех плоскостей (двух заданных α и β и вспомогательной δ), находится в пересечении прямых 1-2 и RM.

Следует отметить, что если вспомогательная плоскость δ горизонтальнопроецирущая, то сначала определяется фронтальная проекция точки K₂, т.е. K₂ = 1₂-2₂∩R₂M₂, а затем по линии проекционной связи находится K₁ – горизонтальная проекция точки K.

3) Аналогично, заключая сторону DE во фронтальнопроецирующую плоскость γ₂, находится точка L. Прямая KL – линия пересечения заданных плоскостей.

4) Для определения видимости этих треугольников достаточно установить относительное расположение одной из сторон одного треугольника относительно стороны другого треугольника. Таким образом, вопрос видимости плоскостей сводится к определению видимости двух скрещивающихся прямых.

Определим видимость стороны DE треугольника DEF относительно стороны MN треугольника RMN на фронтальной плоскости проекции. Для этого проведем луч зрения s перпендикулярно П₂ через точку пересечения фронтальных проекций D₂E₂ и M₂N₂. В пересечении D₂E₂ и M₂N₂ расположены две конкурирующие по видимости точки (5₂ и 4₂). Точка 4 принадлежит стороне MN, а точка 5 – стороне DE. По горизонтальной проекции устанавливаем, что луч зрения сначала встретит D₁E₁ в точке 5₁, а затем M₁N₁ в точке 4₁. Следовательно, фронтальная проекция D₂E₂ – видима.

Аналогично определяется видимость треугольников и на горизонтальной проекции. Луч зрения при этом следует провести перпендикулярно к П₁ через две конкурирующие на П₁ точки скрещивающихся прямых (например, луч s / , проходящий через точки 1 и 6, соответственно принадлежащие прямым MR и ЕF).

Эпюр с задачей №2

ЗАКАЗЫВАЙТЕ ЧЕРТЕЖИ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ МГУПС

тел. (whatsup) 8-950-790-65-90

Способы проецирования

Содержание:

Система обозначений

С целью отделения групп геометрических объектов введены такие символические обозначения:

• – точки обозначаются большими буквами латинского алфавита А, В, С, . или натуральными числами …, в том числе начало отсчёта О,основа перпендикуляра N; точки пересечения линии с линией, плоскостью, поверхностью K, M, N; следы прямой H, F, Р;узловые и вспомогательные точки…;
• – невидимые точки по необходимости обозначаются в круглых скобках: (А), () и т.д.;
• – отрезки прямых и дуги кривых линий складываются из комбинации двух больших букв, которые обозначают начало и конец: АВ, ВС, DE и т.д.;
• – прямые и кривые линии, лучи обозначаются маленькими буквами латинского алфавита a, b,c, …, в том числе прямые уровня h, f, p; проецирующие прямые u, v, w;проецирующие оси вращения i, j, k;прямая, перпендикулярная другой прямой или плоскости,– п; оси прямоугольной системы координат х, у, z; оси вспомогательной системы координат s; оси натурального трёхгранника τ, n, b;
• – углы между прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями обозначаются маленькими греческими буквами α, β, γ, …;
• – плоскости и их отсеки, кривые поверхности и пространственные тела обозначаются большими буквами греческого алфавита Σ, Φ, Ω, …, в том числе плоскости проекций П,плоскости проекций прямоугольной системы координатвспомогательные плоскости проекций, перпендикулярные к одной из основных,плоскости проекций при аксонометрическом и косоугольном проецировании П /;
• – следы плоскости Σ обозначаются
• – проекции геометрического объекта на плоскости проекций обозначаются нижним или верхним индексом: или
• – элемент множества одноимённых геометрических объектов обозначается верхним индексом в круглых скобках:

Символы латинского и греческого алфавитов приведены в приложении А

Проецирование точки, прямой, плоскости

Проекция точки определяется как пересечение плоскости (гиперплоскости), содержащей эту точку и параллельную плоскости, задающей проекцию. В случае, когда плоскость (гиперплоскость), задающая проекцию, ортогональна прямой, мы получаем ортогональную проекцию (это может быть её альтернативным определением).

Способы проецирования

Известны два метода проецирования: центральное и параллельное.

Проецирование (лат. Projicio – бросаю вперёд) – процесс получения изображения предмета (пространственного объекта) на какой-либо поверхности с помощью световых или зрительных лучей (лучей, условно соединяющих глаз наблюдателя с какой-либо точкой пространственного объекта), которые называются проецирующими.

Центральное проецирование

Для изображения геометрических объектов на плоскости применяют процедуру проецирования, которая состоит в проведении через точку А луча l и дальнейшем определении точки A1 его пересечения с плоскостью проецирования П1 (рис. 1.1 а). Полученная точка А1 называется проекцией точки А на плоскость П1.

Центральное проецирование

В центральном проецировании лучи, пронизывающие точки тела, «выходят» из одной точки S – центра проецирования (рис. 1.1 б). Разновидностями центрального проецирования являются угловая (рис. 1.2 а) и фронтальная (рис. 1.2 б) перспективы.

Разновидности перспективы

Центральное проецирование характеризуется положением центра проецирования

Центральная проекция предмета схожа с изображением, которое воспринимает глаз человека, а также с изображением, полученным посредством фотографии. Этот способ проецирования является наиболее наглядным (способствует зрительному восприятию предметов), но наиболее сложным в своей реализации. Он применяется преимущественно в живописи, строительстве и архитектуре.

Параллельное проецирование

Косоугольное проецирование

Параллельное проецирование можно рассматривать как отдельный случай центрального проецирования, для которого центр S бесконечно удалён от плоскости П1. В этом случае лучи, пронизывающие каждую точку тела, взаимно параллельны (рис. 1.3).

В отличие от центрального, параллельное проецирование характеризуется ориентацией лучей относительно плоскости проекций.

В случае, когда лучи не перпендикулярны к плоскости П1, проецирование называется косоугольным (рис. 1.3).

Косоугольное проецирование

Косоугольное проецирование используется преимущественно для решения специальных задач на определение точек и линий пересечения геометрических фигур. При этом, как правило, плоскость проекции занимает особое положение относительно системы трёх взаимно перпендикулярных плоскостей (см. п. 2.5).

Ортогональное проецирование

Ортогональное проецирование является отдельным случаем параллельного проецирования, в котором лучи перпендикулярны плоскости проекций (рис. 1.4).

Ортогональное проецирование

Метод ортогонального проецирования положенный в основу построения конструкторской документации, а именно сборочных и рабочих чертежей и эскизов в машиностроении.

Основные свойства ортогонального проецирования будут рассмотрены по мере преподавания материала.

Эпюр Монжа

Эпюр Монжа (от франц. epure – чертёж) – чертёж, в котором пространственная фигура изображена с использованием проецирования на систему двух или трёх взаимно перпендикулярных площадей П1, П2, П3 с дальнейшим условным совмещением последних в одну плоскость (рис. 1.5 а). П1, П2, П3 – горизонтальная, фронтальная и профильная плоскости проекций.

Чертёж, построенный методом проекций, называется проецирующим, или комплексным чертежом. На рис. 1.5 б построен комплексный чертёж точки А, который складывается из трёх проекций последней: А1 – горизонтальная проекция; А2 – фронтальная проекция; А3 – профильная проекция точки А.

Построение комплексного чертежа точки

Линии, которые проходят через пары проекций А1А2, А1А3, А2А3, называются линиями проекционной связи. Они перпендикулярны или параллельны координатным осям х, y, z.

На комплексном чертеже ось у дублируется. Это приводит к тому, что одну из проекций точки можно обозначить по двум другим, как это показано стрелками на рис. 1.5 б.

Проецирование точки

Центральное проецирование заключается в проведении через каждую точку ( А, В, С ,…) изображаемого объекта и определённым образом выбранный центр проецирования ( S ) прямой линии ( SA , SB , >… — проецирующего луча ).

Принадлежность точек четвертям и октантам

Пространство условно можно разделить с помощью плоскостей проекций П1, П2 на четыре части – четверти (рис. 1.6 а), а с помощью плоскостей П1, П2, П3 (рис. 1.6 б) – на восемь частей – октантов (от греческого οκτώ – восемь).

Каждая из проекций точки А (рис. 1.5 б) определяется парой координат: А1(x,y), А2(x,z), А3(y,z). Знак «+» или «–» при числовом значении x, y, z позволяет сделать вывод про принадлежность точки А той или другой четверти, октанту (табл. 1.1 – 1.2). Примеры комплексных чертежей точек, которые принадлежат разным четвертям и октантам, приведены на рис. 1.7.

Четверти (а) и октанты (б).

Принадлежность точек четвертям и октантам

Принадлежность точек плоскостям проекций и осям координат

Координаты точки иногда называют так: х – ширина; у – глубина; z – высота. В случае, когда высота z точки равна нулю, точка принадлежит плоскости П1 (рис. 1.8, точка А). Если глубина у точки равна нулю, точка принадлежит плоскости П2 (рис. 1.8, точка В). В случае нулевой ширины х, точка принадлежит плоскости П3 (рис. 1.8, точка С).

Если две координаты точки равны нулю, точка принадлежит оси, которая отвечает за третью (не нулевую) координату. Например, точка, которая имеет координаты (), принадлежит оси у, поскольку у ≠ 0, х = z = 0.

Принадлежность точек плоскостям проекций.

Проецирование прямой

Проецирующие прямые — прямые перпендикулярные одной из плоскостей проекций. Проекцией проецирующей прямой на плоскость проекций, к которой она перпендикулярна, является точка (след прямой).

Прямая общего положения

Прямую l в пространстве можно задать двумя точками А и В, которые ей принадлежат (рис. 1.9 а). Проекцией прямой на любую плоскость проекций является прямая (рис. 1.9) или точка (см. п. 1.4.2, рис. 1.11).

Прямая общего положения

Прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения.

Прямые особого (частного) положения

Прямые, параллельные или перпендикулярные к плоскостям проекций, называются прямыми особого(частного) положения. Их детальное рассмотрение обусловлено тем, что эти линии используются для решения большинства задач начертательной геометрии.

Прямые особого положения подразделяются на два вида:

а) прямая уровня – прямая, параллельная только одной из плоскостей проекций:

1) горизонталь h – прямая, параллельная П1 (рис. 1.10 а);

2) фронталь f – прямая, параллельная П2 (рис. 1.10 б);

3) профильная прямая уровня p – прямая, параллельная П3 (рис. 1.10 в);

б) проецирующая прямая – прямая, перпендикулярная плоскости проекций:

1) горизонтально- проецирующая прямая u – прямая, перпендикулярная П1 (рис. 1.11 а);

2) фронтально-проецирующая пряма v – прямая, перпендикулярная П2 (рис. 1.11 б);

3) профильно-проецирующая пряма w – прямая, перпендикулярная П3 (рис. 1.11 в)

Длина отрезка прямой уровня h, f, p, соответственно на плоскостях проекций П1, П2, П3 является действительной длиной размещённого в пространстве отрезка. Таким образом, прямая уровня проецируется на одну из плоскостей проекций в натуральную величину (аббревиатура НВ).

Углы наклона прямой уровня к плоскостям проекций можно определять как углы наклона его проекций к осям координат (рис. 1.10, табл. 1.3). Например, угол β наклона горизонтали h к П2 обозначается как угол между проекцией h1 и осью х.

Отрезки проецирующих прямых проецируются на одну из плоскостей проекций в точку, а на две другие – в натуральную величину (рис. 1.11).

Прямые уровня

Проецирующие прямые

Следы прямой

Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называются следами. Прямая общего положения имеет три следа – горизонтальный Н, фронтальный F, профильный Р (рис. 1.12).

Следы прямых общего положения

Способы определения следов прямой общего положения:

а) для определения горизонтального следа Н прямой l необходимо продолжить фронтальную проекцию l2 до пересечения с осью х (эта точка является фронтальной проекцией Н2 горизонтального следа) и провести вертикальную линию проекционной связи до пересечения с продолжением горизонтальной проекции l1. Полученная точка является горизонтальным следом Н прямой l и совпадает с его горизонтальной проекцией Н1 (рис. 1.13 а – б);

б) для определения фронтального следа F прямой l необходимо продолжить горизонтальную проекцию l1 до пересечения с осью х (эта точка является горизонтальной проекцией F1 фронтального следа) и провести вертикальную линию проекционной связи до пересечения с продолжением фронтальной проекции l2. Полученная точка является фронтальным следом F прямой l и совпадает с его фронтальной проекцией F2 (рис. 1.13 а);

в) для определения профильного следа Р прямой l необходимо продолжить фронтальную проекцию l2 до пересечения с осью z (эта точка является фронтальной проекцией Р2 профильного следа) и провести горизонтальную линию проекционной связи до пересечения с продолжением профильной проекции l3. Полученная точка является профильным следом Р прямой l и совпадает с его профильной проекцией Р3 (рис. 1.13 б).

Прямая уровня имеет только два следа, которые не принадлежат той плоскости, которой прямая параллельна (рис. 1.14)

. Проецирующая прямая имеет только один след, который совпадает с той проекцией прямой, которая является точкой (рис. 1.15).

Определение следов прямой

Следы прямых уровня

Следы проецирующих прямых

Способ прямоугольного треугольника

Длины проекций А1В1, А2В2, А3В3 отрезка АВ прямой общего положения всегда меньше, чем натуральная величина этого отрезка. Поэтому возникает проблема определения натуральной величины отрезка по известным его проекциям. Эта задача решается с помощью способа прямоугольного треугольника (рис. 1.16), который позволяет определять. в том числе, углы α, β, γ наклона отрезка к плоскостям проекций П1, П2, П3 соответственно.

Способ прямоугольного треугольника

Суть способа прямоугольного треугольника:

а) для определения на плоскости П1 натуральной величины отрезка АВ необходимо определить разность ∆z высот точек А, В и отложить отрезок длиной ∆z перпендикулярно к горизонтальной проекции А1В1. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника является натуральной величиной отрезка АВ. Угол между горизонтальной проекцией А1В1 отрезка и его натуральной величиной равен углу α наклона отрезка АВ к плоскости П1;

б) для определения на плоскости П2 натуральной величины отрезка АВ необходимо определить разность ∆у глубин точек А, В и отложить отрезок длиной ∆у перпендикулярно фронтальной проекции А2В2. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника является натуральной величиной отрезка АВ. Угол между фронтальной проекцией А2В2 отрезка и его натуральной величиной равен углу β наклона отрезка АВ к плоскости П2;

в) для определения на плоскости П3 натуральной величины отрезка АВ необходимо определить разность ∆х ширины точек А, В и отложить отрезок длиной ∆х перпендикулярно профильной проекции А3В3. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника является натуральной величиной отрезка АВ. Угол между профильной проекцией А3В3 отрезка и его натуральной величиной равен углу γ наклона отрезка АВ к плоскости П3.

Принадлежность точки прямой

В начертательной геометрии принадлежность точки А прямой l определяется с помощью проекций этих объектов.

Условие принадлежности точки прямой Точка А принадлежит прямой l, если три её ортогональные проекции A1, A2, A3 принадлежат соответствующим проекциям l1, l2, l3 прямой (рис. 1.17 а).

На рис. 1.17 б показаны три проекции точки А, которая принадлежит прямой l. На рис. 1.18 а точка В не принадлежит прямой , поскольку две её проекции В1, В3 не принадлежат соответствующим проекциям прямой. На рис. 1.18 б точка С не принадлежит прямой р профильного уровня, поскольку одна из её проекций С3 не принадлежит проекции прямой.

Принадлежность точки прямой

Непринадлежность точки прямой

Взаимное расположение двух прямых

Две прямые в пространстве могут пересекаться (рис. 1.19 а), быть параллельными (рис. 1.19 б) или скрещивающимися .

Условие пересечения двух прямых

Две прямые l, m пересекаются в точке А, если три ортогональные проекции А1, А2, А3 являются точками пересечения соответствующих проекций прямых (рис. 1.20 а).

Условие параллельности двух прямых

Две прямые l, m параллельны, если три их ортогональные проекции попарно параллельны (рис. 1.20 б).

Пересекающиеся и параллельные прямые

Условия пересечения и параллельности двух прямых

В случае, когда прямые не параллельны и не пересекаются, они являются скрещивающимися. их взаимное размещение рассмотрено в п. 1.4.7.3.

Особый случай прямых, которые пересекаются под прямым углом, рассмотрен в п. 1.4.8.

Определение видимости точек и линий

Определение видимости — это определение точек предмета, лежащих на одном луче проецирования (называемых конкурирующими), и обозначение на чертеже только тех из них, которые расположены по этому лучу ближе к наблюдателю.

Видимость внешнего контура

При решении задач начертательной геометрии необходимо учитывать видимость геометрических объектов (точек и линий). Среди совокупности всех объектов необходимо выделять такие два вида (рис. 1.21):

а)внешний контур – совокупность линий, которые находятся за границами всех других объектов на данной плоскости проекций;

б) сходящиеся линии– совокупность линий, пересекающихся в одной точке(.рёбра многогранника)

Правило определения видимости внешнего контура

Внешний контур на данной плоскости проекций всегда является видимым (рис. 1.21).

Видимость точек и линий

Видимость сходящихся линий

Сходящиеся линии на разных плоскостях проекций могут иметь разную видимость.

Правило определения видимости сходящихся линий

Видимость сходящихся линий совпадает с видимостью точки их пересечения (рис. 1.22):

а) видимы на П1,если точка пересечения имеет наибольшую высоту;

б) видимы на П2, если точка пересечения имеет наибольшую глубину;

в) видимы на П3, если точка пересечения имеет наибольшую ширину.

Видимость сходящихся линий (рёбер многогранника)

На рис. 1.22 четыре сходящиеся линии на горизонтальной проекции являются видимыми, поскольку высота z точки K их пересечения наибольшая. Три сходящиеся линии на фронтальной и профильной проекциях невидимы, поскольку точки М, N их пересечения являются невидимыми.

Метод конкурирующих точек

Метод конкурирующих точек позволяет определить взаимное расположение точек двух скрещивающихся прямых (рис. 1.23).

Суть метода конкурирующих точек

а) для определения того, какая из двух скрещивающихся прямых l, m глубже, на них выбираются точки 1, 2, размещённые на общей фронтально-проецирующей прямой v. На горизонтальной плоскости проекций находятся глубины у выбранных точек и делается вывод о том, какая линия впереди, какая сзади;

б) для определения того, какая из двух скрещивающихся прямых l, m выше, на них выбираются точки 3, 4, размещённые на общей горизонтально-проецирующей прямой . На фронтальной плоскости проекций находятся высоты z выбранных точек и делается вывод о том, какая линия выше, какая ниже;

в) для определения того ,какая из двух скрещивающихся прямых l, m размещена слева, а какая справа, на них выбираются точки 5, 6 на общей профильно-проецирующей прямой w. На фронтальной плоскости проекций находятся широты х выбранных точек и делается вывод о том, какая линия слева, какая справа.

Метод конкурирующих точек

На рис. 1.23 точка 2 находится глубже, поэтому её фронтальная проекция является невидимой. В дальнейшем невидимые точки будут обозначаться в круглых скобках, например, . Проекция также является невидимой, поскольку точка 4 размещена ниже точки 3. Точка 6 находится слева от точки 5, поэтому проекция является невидимой.

Метод конкурирующих точек применяется, например, для определения видимости рёбер многогранников (рис. 1.24):

а) на горизонтальной проекции из пары скрещивающихся прямых АВ, СD первая является невидимой, поскольку из фронтальной проекции видно, что А2В2 находится ниже, чем C2D2;

б) на фронтальной проекции из пары скрещивающихся прямых АС, BD первая является невидимой, поскольку из горизонтальной проекции видно, что А1С1 находится сзади от В1D1;

в) на профильной проекции из пары скрещивающихся прямых АD, ВС вторая является невидимой, поскольку из фронтальной проекции видно, что В2С2 находится справа от А2D2.

Видимость скрещивающихся прямых

Перпендикулярность прямых

Ортогональные проекции двух прямых общего положения, которые пересекаются под прямым углом, в общем случае не являются перпендикулярными. Другими словами, прямой угол при его проецировании на плоскости проекций П1, П2, П3 искажается (рис. 1.25).

Проецирование прямого угла

Существуют отдельные случаи, когда прямой угол проецируется в натуральную величину. Эти случаи описываются теоремой о проецировании прямого угла.

Теорема о проецировании прямого угла

Прямой угол проецируется в натуральную величину на ту плоскость проекций, которой параллельна одна из его сторон (рис. 1.26 а).

Как следствие теоремы, прямой угол между прямой общего положения l и горизонталью h проецируется в натуральную величину на плоскость проекций П1; между l и фронталью f – на плоскость П2 (рис. 1.26 б).

Теорема проецирования прямого угла

Способ построения прямой общего положения, перпендикулярной заданной, описан в пп. 1.6.1.1 – 1.6.1.2.

Проецирование плоскости

Проецирование — это построение изображения геометрического объекта на плоскости путем проведения через все его точки воображаемых проецирующих лучей до пересечения их с плос—костью, называемой плоскостью проекций.

Способы задания плоскостей

Плоскость Σ в пространстве можно задать шестью способами (рис. 1.27):

а) тремя точками А, В, С, которые не принадлежат одной прямой;

б) прямой l и точкой D, которая её не принадлежит;

в) двумя параллельными прямыми а и b;

г) двумя пересекающимися прямыми c, d;

д) плоской фигурой Ф (треугольник, окружность и т.д.);

е) следами – линиями пересечения плоскости с плоскостями проекций (см. п. 1.5.2).

Способы задания плоскостей

Разнообразие способов задания плоскостей обусловливает существование в начертательной геометрии большого количества способов решения задач.

Следы плоскости

Следами плоскости называются линии её пересечения с плоскостями проекций П1, П2, П3. Каждый след может быть построен по двум точкам – соответствующим следам двух прямых этой плоскости (рис. 1.28).

Следы плоскости общего положения

Правило определения следов плоскости:

а) для определения горизонтального следа плоскости Σ необходимо выбрать на ней две прямые l, m и определить горизонтальные следы этих прямых (см. п. 1.4.3). Горизонтальный след плоскости Σ проводится через точки до пересечения с осями х, у. Полученные точки являются точками пересечения плоскости Σ с осями координат х, у;

б) для определения фронтального следа плоскости Σ достаточно определить фронтальный след F одной из прямых (например, l). Фронтальный след плоскости Σ проводится через точки F до пересечения осью z. Полученная точка является точкой пересечения плоскости Σ с осью z;

в) профильный след плоскости Σ проходит через точки Совокупность параметров называется определителем плоскости.

Свойства следов плоскости:

а) каждая пара следов плоскости общего положения пересекается на оси координат: – на оси х; – на оси z; – на оси у. Это свойство даёт возможность определять один из следов плоскости по двум другим;

б) следы плоскости являются отдельным случаем линий уровня, которые принадлежат плоскостям проекций: горизонтальный след является горизонталью с нулевой высотой; фронтальный след является фронталью с нулевой глубиной; профильный след является прямой профильного уровня с нулевой шириной;

в) проекция следа плоскости на одну из плоскостей проекций является натуральной величиной (НВ), а на две другие – совпадает с осями координат (табл. 1.4); Обозначенные свойства позволяют использовать следы плоскости для быстрого решения задач начертательной геометрии.

Главные линии плоскости

Главными линиями плоскости (рис. 1.29) являются:

а) прямые уровня: горизонталь h, фронталь f , профильная прямая уровня p. Линиями уровня плоскости можно выбирать её следы

б) линии наибольшего наклона – прямые линии, которые образуют наибольший угол с плоскостями проекций.

Свойства линий наибольшего наклона:

а) линия наибольшего наклона к П1 перпендикулярна любой горизонтали h плоскости; б) линия наибольшего наклона к П2 перпендикулярна любой фронтали f плоскости;

в) линия наибольшего наклона к П3 перпендикулярна любой прямой профильного уровня р плоскости.

Главные линии плоскости

Углы наклона плоскости к плоскостям проекции

Углы α, β, γ наклона плоскости Σ к плоскостям проекций П1, П2, П3 определяются как углы наклона линий наибольшего наклона к соответствующим плоскостям проекций (рис. 1.29). Например, угол β между и П2 является углом наклона плоскости Σ к П2.

Натуральная величина углов наклона плоскости Σ к плоскостям проекций П1, П2, П3 определяется способами преобразования комплексного чертежа (см. раздел 2), кроме случаев, обозначенных в п. 1.5.5.

Плоскости особого(частного) положения

В начертательной геометрии различают такие виды плоскостей:

а) плоскость общего положения – плоскость, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций (рис. 1.27 – 1.29);

б) плоскость уровня – плоскость, параллельная плоскости проекций:

1) горизонтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная П1 (рис. 1.30 а);

2) фронтальная плоскость уровня –плоскость, параллельная П2 (рис. 1.30 б);

3) профильная плоскость уровня–плоскость, параллельная П3 (рис. 1.30 в);

в) проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная только одной плоскости проекций:

1) горизонтально—проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная П1 (рис. 1.31 а);

2) фронтально—проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная П2 (рис. 1.31 б);

3) профильно-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная П3 (рис. 1.31 в).

Плоскости уровня

Свойства плоскостей особого(частного) положения:

а) горизонтальная плоскость уровня не имеет горизонтального следа, а её фронтальный и профильный следы перпендикулярны оси z;

б) фронтальная плоскость уровня не имеет фронтального следа, а её горизонтальный и профильный следы перпендикулярны оси y;

в) профильная плоскость уровня не имеет профильного следа, а её горизонтальный и фронтальный следы перпендикулярны оси х;

г) фронтальный и профильный следы горизонтально-проецирующей плоскости параллельны оси z;

д) горизонтальный и профильный следы фронтально-проецирующей плоскости параллельны оси у;

е) горизонтальный и фронтальный следи профильно-проецирующей плоскости параллельны оси х;

ж) углы α, β, γ наклона проецирующих плоскостей к плоскостям проекций П1, П2, П3 являются углами наклона следов к осям координат (рис. 1.31).

Проецирующие плоскости

Плоскости особого положения широко используются при решении задач на пересечение геометрических объектов (см. п. 1.5.8, рис. 1.42 – 1.44; раздел 4; п. 6.4, рис. 6.18, 6.21 – 6.23).

Принадлежность точки плоскости

Точка А принадлежит плоскости Σ, если она принадлежит любой линии l (например, прямой) этой плоскости (рис. 1.32).

Принадлежность точки плоскости

Для определения неизвестных проекций точки А, принадлежащей плоскости Σ, по одной известной проекции (например, А2) применяются такие способы:

а) способ прямой общего положения: через известную проекцию А2 точки проводится фронтальная проекция l2 прямой общего положения; вводятся вспомогательные точки прямой и определяются их горизонтальные и профильные проекции, с помощью которых строятся проекции l1, l3 прямой l. По условию принадлежности точки А прямой l (см. п. 1.4.5, рис. 1.17) определяются проекции А1, А3 (рис. 1.33);

б) способ прямой особого(частного) положения:

1) способ горизонтали: через известную проекцию А2 точки проводится фронтальная проекция h2 горизонтали (параллельно оси х); вводится вспомогательная точка 1 и определяется её горизонтальная проекция, через которую проводится h1 (параллельно горизонтальному следу плоскости). С помощью вертикальной линии проекционной связи определяется проекция А1. Проекция А3 является точкой пересечения линий проекционной связи, проведенных с А1, А2 (рис. 1.34 а);

2) способ фронтали: через известную проекцию А2 точки проводится фронтальная проекция f2 фронтали (параллельно ). Вводиться вспомогательная точка 2 и определяется её горизонтальная проекция, через которую проводится f1 (параллельно оси х). С помощью вертикальной линии проекционной связи определяется проекция А1; Проекция А3 является точкой пересечения линий проекционной связи, проведенных с А1, А2 (рис. 1.34 б);

3) способ профильной прямой уровня: через известную проекцию А2 точки проводится фронтальная проекция р2 профильной прямой уровня (параллельно оси z). Вводится вспомогательная точка 3 и определяется её профильная проекция, через которую проводится р3 (параллельно ). С помощью горизонтальной линии проекционной связи определяется проекция А3. Проекция А1 является точкой пересечения линий проекционной связи, проведенных из проекций А2, А3 (рис. 1.34 в).

Способ прямой общего положения

Способ прямых особого положения

Взаимное расположение прямой и плоскости

Прямая l в пространстве может принадлежать плоскости Σ, быть параллельною ей или пересекать её (рис. 1.35 а – в).

Взаимное расположение прямой и плоскости

Принадлежность прямой плоскости

Условие принадлежности прямой плоскости

Прямая l принадлежит плоскости Σ, если две ей точки А, В принадлежат этой плоскости (рис. 1.35 а).

Определение неизвестных проекций прямой l, которая принадлежит плоскости Σ, состоит в определении неизвестных проекций двух точек А, В этой прямой способами, описанными в п. 1.5.6. Например (рис. 1.36), если известна фронтальная проекция отрезка АВ, который принадлежит плоскости Σ, заданной параллельными прямыми а, b, проводится фронтальная проекция прямой l общего положения через А2, В2. С помощью двух вспомогательных точек 1, 2, принадлежащих прямым а, b плоскости, и вертикальных линий проекционной связи определяются горизонтальные проекции А1В1 точек прямой l.

На рис. 1.36 оси координат не обозначены, поскольку для решения многих позиционных задач начертательной геометрии необходимости в их построении нет.

Условие параллельности прямой и плоскости

Прямая l параллельна плоскости Σ, если она параллельна любой прямой m этой плоскости (рис. 1.35 б).

Способ построения прямой, параллельной плоскости

Для построения проекций прямой l, проходящей через точку D параллельно плоскости Σ, необходимо построить проекции любой прямой m, принадлежащей плоскости. Проекции прямой l будут проходить через проекции точки D параллельно соответствующим проекциям прямой m, (рис. 1.37). Поскольку существует бесконечное число способов проведения прямой m в плоскости Σ, задача о параллельности прямой и плоскости имеет бесконечное множество решений.

Параллельность прямой и плоскости

Если прямая l не принадлежит и не параллельна плоскости Σ, они пересекаются в точке K (рис. 1.35 в), которая определяется способами вспомогательной секущей плоскости , замены плоскостей проекций (см. п. 2.1.8, 2.2.6), косоугольного проецирования (см. п. 2.5).

Суть способа вспомогательной секущей плоскости при определении точки пересечения прямой и плоскости

Для определения точки K пересечения прямой l и плоскости Σ (заданной, например, треугольником АВС) необходимо провести через прямую l вспомогательную плоскость Ω особого положения (например, горизонтально-проецирующую) и определить линию m пересечения этой плоскости с заданной плоскостью . Искомая точка K является точкой пересечения прямых l, m (рис. 1.38). Задача о нахождении точки пересечения прямой и плоскости дополняется определением видимости частей прямой l методом конкурирующих точек (см. п. 1.4.7.3).

Способ вспомогательной секущей плоскости

В начертательной геометрии вспомогательные секущие плоскости особого положения обозначаются одним из следов (например, плоскость Ω на рис. 1.38 показана горизонтальным следом Ω1).

Взаимное расположение двух плоскостей

Две плоскости в пространстве могут совпадать, быть параллельными или пересекаться по линии (рис. 1.39).

Взаимное расположение двух плоскостей

Условие совпадения двух плоскостей

Плоскость Ω принадлежит плоскости Σ, если они имеют три общие точки А, В, С (рис. 1.39 а). Определение неизвестных проекций плоскости Ω, ,которая принадлежит плоскости Σ, состоит в определении неизвестных проекций трёх точек А, В, С плоскости Ω способами, описанными в п. 1.5.6 – 1.5.7. Например (рис. 1.40), для нахождения неизвестной горизонтальной проекции треугольника АВС, принадлежащего плоскости Σ, применены методы прямой l общего положения и горизонтали h.

Условие параллельности двух плоскостей

Плоскость Ω параллельна плоскости Σ, если пара непараллельных прямых плоскости Ω параллельна паре непараллельных прямых плоскости Σ (рис. 1.39 б).

Способ построения параллельных плоскостей

Для построения проекций плоскости Ω, проходящей через точку D параллельно плоскости Σ (заданной, например, параллельными прямыми a, b), необходимо построить проекции двух непараллельных прямых с, d, принадлежащих плоскости Σ. Искомая плоскость Ω буде задана двумя прямыми l, m, проекции которых проходят через соответствующие проекции точки D параллельно проекциям вспомогательных прямых с, d (рис. 1.41).

Если плоскости Ω, Σ не совпадают и не параллельны, то они пересекаются по прямой линии (рис. 1.39 в).

Совпадение плоскостей

Параллельность плоскостей

Линия пересечения двух плоскостей определяется такими способами:

а) способ вспомогательных секущих плоскостей (рис. 1.42);

б) способ плоскостей-посредников особого(частного) положения (рис. 1.43 – 1.44);

в) способ следов (рис. 1.45);

г) способы преобразования комплексного чертежа (см. п. 2.1.8, 2.3.5);

д) способ косоугольного проецирования (см. п. 2.5).

Суть способа вспомогательных секущих плоскостей при определении линии пересечения двух плоскостей

Линия k пересечения плоскостей Ω, Σ определяется по двум её точкам M, N. Каждая из этих точек является точкой пересечения плоскости Σ с любыми двумя линиями а, b плоскости Ω. Каждая из точек M, N определяется методом вспомогательной секущей плоскости (см. п. 1.5.7, рис. 1.38).

Например, на рис. 1.42 одна из плоскостей задана треугольником АВС, другая – параллельными прямыми a, b. Для определения точки М пересечения плоскостей по прямой а проводится фронтально-проецирующая плоскость Ψ, заданная фронтальным следом Ψ2, м находится линия l пересечения вспомогательной плоскости Ψ с треугольником АВС. Точка М является точкой пересечения прямой l с прямой а. Для определения точки N пересечения плоскостей по прямой b проводится фронтально-проецирующая плоскость Θ, заданная фронтальным следом Θ2, и находится линия m пересечения вспомогательной плоскости Θ с треугольником АВС. Точка N — точка пересечения прямой m с прямой b. Линия k пересечения двух заданных плоскостей проходит через точки M, N. Задача о нахождении линии пересечения двух плоскостей дополняется определением видимости частей прямых a, b и отрезков АВ, ВС, АС. Проекции k1, k2 линии пересечения двух плоскостей всегда видимы.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Суть способа плоскостей-посредников при определении линии пересечения двух плоскостей

Линия k пересечения плоскостей Ω, Σ определяется по двум её точкам M, N. Для определения точки М вводится плоскость Ψ особого положения, которая пересекает заданные плоскости по прямым линиям a, b. Точкой пересечения этих прямых является точка М. Для определения точки N вводится плоскость Θ особого положения, пересекающая заданные плоскости по прямым линиям с, d. Точкой пересечения этих прямых является точка N. Искомая линия k пересечения плоскостей Ω, Σ проходит через найденные точки М, N (рис. 1.43).

Например, на рис. 1.44 две плоскости заданы треугольниками АВС, DEF. Для определения точки М пересечения плоскостей вводится фронтально-проецирующая плоскость Ψ, заданная фронтальным следом Ψ2, и находятся линии a, b её пересечения с треугольниками АВС, DEF. Точка М является точкой пересечения прямых a, b. Для определения точки N пересечения плоскостей вводится горизонтальная плоскость уровня Θ, заданная фронтальным следом Θ2, и находятся линии с, d её пересечения с треугольниками АВС, DEF. Точка N является точкой пересечения прямых c, d.

Способ плоскостей — посредников

Способ плоскостей — посредников особого положения

Суть способа следов при определении линии пересечения двух площадей

Линия k пересечения плоскостей Σ, Ω строится по двум точкам M, N. Строятся следы плоскостей. Точки M, N являются точками пересечения двух пар одноимённых следов плоскостей (рис. 1.45).

Например, на рис. 1.46 плоскость Σ задана параллельными прямыми a, b, плоскость Ω – треугольником АВС. Горизонтальный след плоскости Σ строится по двум следам прямых a, b. Фронтальный след проходит через точку и фронтальный след F прямой а. Горизонтальный след плоскости Ω строится по двум следам прямых АВ, ВС. Фронтальный след проходит через точку и фронтальный след прямой АВ. Точка М, которая совпадает со своей горизонтальной проекцией М1, является точкой пересечения горизонтальных следов Точка N, которая совпадает со своей фронтальной проекцией N2, является точкой пересечения фронтальных следов . Проекции М2, N1 находятся на оси х. Горизонтальная проекция k1 искомой линии k пересечения двух площадей проходит через точки М1, N1, фронтальная k2 – через точки М2, N2.

Способ следов

Определение линии пересечения плоскостей способом следов

Способ следов можно рассматривать как частный случай способа плоскостей-посредников, в котором плоскости-посредники являются двумя плоскостями проекций (на рис. 1.46 – П1, П2).

Перпендикулярность прямой и плоскости и двух плоскостей

Условие перпендикулярности прямой и плоскости

Прямая п перпендикулярна плоскости Σ, если она перпендикулярна двум не параллельным прямым этой плоскости (рис. 1.47).

Как эти прямые удобно выбирать линии уровня плоскости, например, горизонталь h и фронталь f. Только в этом случае прямые углы между п, h и f проецируются в натуральную величину на П1, П2 (см. п. 1.4.8, рис. 1.26).

Перпендикулярность прямой и плоскости

Построение прямой, перпендикулярной плоскости

На рис. 1.48 построены проекции прямой п, которая проходит через точку D перпендикулярно плоскости Σ, заданной параллельными прямыми a, b. В плоскости Σ через произвольно выбранную её точку А проведены горизонталь h и фронталь f. из горизонтальной проекции D1 точки D проведена горизонтальная проекция перпендикулярная проекции h1. из фронтальной проекции D2 проведена фронтальная проекция , перпендикулярная проекции f2.

Условие перпендикулярности двух плоскостей

Две плоскости Ω, Σ перпендикулярны, если любая прямая , которая принадлежит первой плоскости, перпендикулярна второй плоскости (рис. 1.49).

Перпендикулярность плоскостей

Построение взаимно перпендикулярных плоскостей

На рис. 1.50 построены проекции плоскости Ω, которая проходит через точку D перпендикулярно плоскости Σ, заданной параллельными прямыми a, b. Плоскость Ω задана двумя прямыми пересекающимися в точке D. При этом прямая перпендикулярна плоскости Σ (рис. 1.48). Прямая имеет произвольную ориентацию в пространстве, поэтому задача построения двух взаимно перпендикулярных плоскостей имеет бесконечное число решений.

Линия пересечения взаимно перпендикулярных плоскостей по необходимости определяется одним из способов, описанных в п. 1.5.8.

Примеры и образцы решения задач:

Услуги по выполнению чертежей:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Как строить проекцию треугольника

Плоскостью называется поверхность, образуемая движением прямой линии, которая движется параллельно самой себе по неподвижной направляющей прямой .

Проекции плоскости на комплексном чертеже будут различны в зависимости от того, чем она задана. Как известно из геометрии, плоскость может быть задана: а) тремя точками, не лежащими на одной прямой; б) прямой линией и точкой, лежащей вне этой прямой; в) двумя пересекающимися прямыми; г) двумя параллельными прямыми.

На комплексном чертеже (рис. 99) проекции плоскости также задаются проекциями этих элементов, например, на рис 99, а — проекциями трех точек А, , и С, не лежащих на одной прямой; на рис. 99, б — проекциями прямой ВС и точки А у не лежащей на этой прямой; на рис. 99, в — проекциями двух пересекающихся прямых; на рис. 99, г проекциями двух параллельных прямых линий АВ и CD.

На рис. 100 плоскость задана прямыми линиями, по которым эта плоскость пересекает плоскости проекций. Такие линии называются следами плоскости.
Линия пересечения данной плоскости Р с горизонтальной плоскостью проекций Н называется горизонтальным следом плоскости Р и обозначается Р_н.
Линия пересечения плоскости Р с фронтальной плоскостью проекций V называется фронтальным следом этой плоскости и обозначается Р_v.

Линия пересечения плоскости Р с профильной плоскостью проекций W называется профильным следом этой плоскости и обозначается P_w.

Следы плоскости пересекаются на осях проекций. Точки пересечения следов плоскости с осями проекций называются точками схода следов. Эти точки обозначаются Р_x, Р_y и Р_z.

Расположение следов плоскости Р на комплексном чертеже по отношению к осям проекций определяет положение самой плоскости по отношению к плоскостям проекций. Например, если плоскость Р имеет фронтальный и профильный следы P_v и P_w, параллельные осям Ох и Оу то такая плоскость параллельна плоскости Н и называется горизонтальной (рис. 101, и). Плоскость Р со следами Р_н и P_w , параллельными осям проекций Ох и Oz (рис. 101, называется фронтальной, а плоскость Р со следами P_v и P_н параллельными осям проекций Оу и Oz, — профильной (рис. 101, в).

Горизонтальная, фронтальная и профильная плоскости, перпендикулярные к двум плоскостям проекций, называются плоскостями уровня. Если на комплексном чертеже плоскость уровня задана не следами, а какой-нибудь плоской фигурой, например, треугольником или параллелограммом (рис. 101, г, д, е), то на одну из плоскостей проекций эта фигура проецируется без искажения, а на две другие плоскости проекций — в виде отрезков прямых.

ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПЛОСКОСТИ И ПЛОСКОСТЬ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ

Плоскость, перпендикулярная к плоскости Н (рис. 102, а),называется горизонтально-проецирующей плоскостью. Фронтальный след P_v этой плоскости перпендикулярен оси Ох, а горизонтальный след Р_н расположен под углом к оси Ох (комплексный чертеж на рис. 102, а)

Если горизонтально-проецирующая плоскость задана не следами, а какой-либо фигурой, например треугольником АВС (рис. 102, 6), то горизонтальная проекция этой плоскости представляет собой прямую линию, а фронтальная и профильная проекции — искаженный вид треугольника АВС.

Фронтально-проецирующей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций (рис. 102, в).

Горизонтальный след этой плоскости перпендикулярен оси Ох, а фронтальный след расположен под некоторым углом к оси Ох (комплексный чертеж на рис. 102, в).

При задании фронтально-проецирующей плоскости не следами, а, например, параллелограммом ABCD фронтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию (рис. 102, г), а на горизонтальную и профильную плоскости проекций параллелограмм проецируется с искажением.

Профильно-проецирующей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная к плоскости W (рис. 102, д). Следы P_v и Р_н этой плоскости параллельны оси Ох.

При задании профильно-проецирующей плоскости не следами, а, например, треугольником АВС (рис. 102, е) профильная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию. Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций, как было сказано, называются плоскостями уровня.

Если плоскость Р не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций (рис. 102, ж), то такая плоскость называется плоскостью общего положения. Все три

следа P_v, Р_н и P_w плоскости Р наклонены к осям проекций.

Если плоскость общего положения задана не следами, а, например, треугольником АВС (рис. 102, з), то этот треугольник проецируется на плоскости H, V и W в искаженном виде.

ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НА ПЛОСКОСТИ

Если прямая расположена на плоскости, то она должна проходить через две какие-либо точки, принадлежащие этой плоскости. Такие две точки могут быть взяты на следах плоскости — одна на горизонтальном, а другая на фронтальном. Так как следы прямой и плоскости находятся на плоскостях проекций и то следы прямой, принадлежащей плоскости, должны быть расположены на одноименных следах этой плоскости (рис. 103, а);например, горизонтальный след Н прямой — на горизонтальном следе плоскости, фронтальный след V прямой — на фронтальном следе Рv плоскости (рис. 103, б).

Для того чтобы на комплексном чертеже плоскости Р, заданной следами, провести какую-либо прямую общего положения, необходимо наметить на следах плоскости точки v’ или считать их следами искомой прямой (точнее, v’ — фронтальной проекцией горизонтального следа прямой).

Опустив перпендикуляры из v’ и на ось проекций х, находим на ней вторые проекции следов прямой: v — горизонтальную проекцию фронтального следа прямой и h’ — фронтальную проекцию горизонтального следа прямой. Соединив одноименные проекции следов, т. е. v’c h и v c h прямыми, получим две проекции прямой линии, расположенной в плоскости общего положения Р.

Очень часто требуется провести на плоскости горизонталь и фронталь, которые называются главными линиями плоскости или линиями уровня. Главные линии помогают решать многие задачи проекционного черчения.

Горизонталь и фронталь имеют в системе двух плоскостей V и Н только по одному следу (например, горизонталь имеет только фронтальный след). Поэтому, зная один след главной линии, проекцию главной линии проводят по заранее известному направлению. Это направление для горизонтали видно из рис. 104, а, где показана плоскость общего положения и горизонталь, лежащая на ней. Из рисунка видно, что горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.

Таким образом, чтобы на комплексном чертеже плоскости Р провести в этой плоскости какую-либо горизонталь, нужно наметить на следе Р_v плоскости точку v’ (рис. 104, б) и считать ее фронтальной проекцией фронтального следа горизонтали. Затем через точку v’ параллельно оси х проводят прямую, которая будет фронтальной проекцией горизонтали.

Опустив перпендикуляр из точки v’ на ось x , получают точку v, которая будет горизонтальной проекцией фронтального следа горизонтали. Прямая, проведенная из точки v параллельно следу P_H плоскости, представляет собой горизонтальную проекцию искомой горизонтали. Построение проекции фронтали показано на рис. 104, в и г.

11 с редко требуется провести горизонталь и фронталь на проецирующих плоскостях. Рассмотрим, например, построение горизонтали на фронтально-проецирующей плоскости (рис. 105). На следе плоскости Р_v намечаем фронтальную проекцию фронтального следа горизонтали и на оси находим его горизонтальную проекцию v (рис. 105, а). Затем через точку проводим параллельно Р_н горизонтальную проекцию горизонтали; фронтальная проекция горизонтали совпадает с точкой v’.

Если плоскость задана не следами, а пересекающимися или параллельными прямыми, то построение проекций горизонтали или фронтали, расположенных в этой плоскости, выполняется следующим образом.

Пусть плоскость задана двумя параллельными прямыми AВ и СD (рис. 105, 6). Для построения горизонтали, лежащей в этой плоскости, проводим параллельно оси х фронтальную проекцию горизонтали и отмечаем точки е’и f’ пересечения фронтальной проекции горизонтали с фронтальными проекциями параллельных прямых, которыми задана плоскость. Через точки е’и f’ проводим вертикальные линии связи до пересечения с ab и cd в точках е и f. Точки е и f соединяем прямой линией, которая и будет горизонтальной проекцией горизонтали.

Если требуется найти следы плоскости, заданной пересекающимися или параллельными прямыми, надо найти следы этих прямых и через полученные точки провести искомые следы плоскости.

Рассмотрим комплексный чертеж параллелограмма ABCD (рис. 106, a),который задает некоторую плоскость X. Отрезок DC расположен в плоскости H, следовательно, его горизонтальная проекция dc является горизонтальным следом плоскости (точнее — горизонтальной проекцией горизонтального следа плоскости).

Чтобы найти фронтальный след этой плоскости, необходимо продолжить горизонтальную проекцию dc прямой DC до пересечения с осью х в точке Р_х, через которую должен пройти искомый фронтальный след плоскости.

Второй точкой v’, через которую пройдет искомый фронтальный след плоскости, является фронтальный след прямой АВ (фронтальная проекция фронтального следа). Фронтальную проекцию фронтального следа прямой АВ находим, продолжая горизонтальную проекцию ab прямой АВ до пересечения с осью х в точке v, которая будет горизонтальной проекцией искомого фронтального следа прямой АВ. Фронтальная проекция фронтального следа этой прямой находится на перпендикуляре, восставленном из точки v к оси х, в точке v’ его пересечения с продолжением фронтальной проекции а’в’ прямой АB. Соединив точки P_x с v’, находим фронтальный след P_v плоскости.

Пример решения подобной задачи приведен на рис 106, б.

Часто на комплексных чертежах приходится решать такую задачу: по одной из заданных проекций точки, расположенной на заданной плоскости, определить две другие проекции точки. Ход решения задачи следующий.

Через заданную проекцию точки, например фронтальную проекцию n’ точки N, расположенной на плоскости треугольника АВС (рис. 107), проводим одноименную проекцию вспомогательной прямой любого направления, например m’к’.

Горизонталью плоскости называется прямая, принадлежащая этой плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций Н.

Строим другую проекцию mк вспомогательной прямой. Для этого проводим вертикальные линии связи через точки m’ и к’ до пересечения с линиями ас и вс. Из точки n’ проводим линию связи до пересечения с проекцией mк в искомой точке n.

Профильную проекцию n» находим по общим правилам проецирования.

В качестве вспомогательной прямой для упрощения построения чаще используются горизонталь или фронталь.

Чтобы найти какую-либо точку на плоскости Р, например точку А (рис. 108, а и б) надо найти ее проекции а’и а, которые располагаются на одноименных проекциях горизонтали, проходящей через эту точку. Через точку А проведена горизонталь Av’ .

Проводим проекции горизонтали: фронтальную — через v’ параллельно оси х, горизонтальную — через v параллельно следу Р_н плоскости Р. На фронтальной проекции горизонтали намечаем фронтальную проекцию а’ искомой точки и, проводя вертикальную линию связи, определяем горизонтальную проекцию а точки А.

Если точка лежит на проецирующей плоскости, то построение ее проекций упрощается. В этом случае одна из проекций точки всегда расположена на следу плоскости (точнее, на его проекции). Например, горизонтальная проекция а точки А, расположенной на горизонтально-проецирующей плоскости Р, находится на горизонтальной проекции горизонтального следа плоскости (рис. 108, в и г)

При заданной фронтальной проекции a’ точки А, лежащей на горизонтально-проецирующей плоскости , найти вторую проекцию этой точки (горизонтальную) можно без вспомогательной прямой, посредством проведения линии связи через а’ до пересечения со следом Р_Н.

Если точка расположена на фронтально-проецирующей плоскости Р (рис. 108, д и е), то ее фронтальная проекция а’ находится на фронтальном следе Х_v плоскости Р.

ПРОЕКЦИИ ПЛОСКИХ ФИГУР

Зная построение проекций прямых и точек, расположенных на плоскости, можно построить проекции любой плоской фигуры, например, прямоугольника, треугольника, круга.

Как известно, каждая плоская фигура ограничена отрезками прямых или кривых линий, которые могут быть построены по точкам.

Проекции фигуры, ограниченной прямыми линиями (треугольника и многоугольника), строят по точкам (вершинам). Затем одноименные проекции вершин соединяют прямыми линиями и получают проекции фигур.

Проекции круга или другой криволинейной фигуры строят при помощи нескольких точек, которые берут равномерно по контуру фигуры. Одноименные проекции точек соединяют плавной кривой по лекалу.

Проекции плоской фигуры строят различными способами в зависимости от положения фигуры относительно плоскостей проекций и Наиболее просто построить проекции фигуры, расположенной параллельно плоскостям Н и V; сложнее — при расположении фигуры на проецирующей плоскости или на плоскости общего положения.

Рассмотрим несколько примеров.

Если треугольник АВС расположен на плоскости, параллельной плоскости H (рис. 109, a), то горизонтальная проекция этого треугольника будет его действительным видом, а фронтальная проекция — отрезком прямой, параллельным оси х. Комплексный чертеж треугольника АВС показан на рис. 109, 6. Такой треугольник можно видеть на изображении резьбового резца (рис. 109, в),передняя грань которого треугольная.

Трапеция ABCD расположена на фронтально-проецирующей плоскости (рис. 110, а). Фронтальная проекция трапеции представляет собой отрезок прямой линии, а горизонтальная — трапецию (рис. 110, б)

Задняя грань отрезного резца (рис. 110, в) имеет форму трапеции.

Рассматривая плоскость, параллельную горизонтальной, фронтальной или профильной плоскости проекций (плоскость уровня), можно заметить, что любая фигура, лежащая в этой плоскости, имеет одну из проекций, представляющую собой действительный вид этой фигуры; вторая и третья проекции фигуры совпадают со следами этой плоскости.

Рассматривая проецирующую плоскость, заметим, что любая точка, отрезок прямой или кривой линии, а также фигуры, расположенные на проецирующей плоскости, имеют одну проекцию, расположенную на следе этой плоскости. Например, если круг лежит на фронтально-проецирующей плоскости Р (рис. 111), то фронтальная проекция круга совпадает с фронтальным следом Pv плоскости Р. Две другие проекции круга искажены и представляют собой эллипсы. Большие оси эллипсов равны проекциям диаметра круга 37. Малые оси эллипсов равны проекциям диаметра круга 15, перпендикулярного диаметру 37.

На рис. 111,6 показано колено трубы с двумя фланцами. Горизонтальная проекция контура нижнего фланца, который расположен в горизонтальной плоскости, будет действительным видом окружности. Горизонтальная проекция контура верхнего фланца изобразится в виде эллипса.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Две плоскости могут быть взаимно параллельными или пересекающимися.

Из стереометрии известно, что если две параллельные плоскости пересекают какую-либо третью плоскость, то линии пересечения этих плоскостей параллельны между собой. Исходя из этого положения, можно сделать вывод, что одноименные следы двух параллельных плоскостей Р и Q также параллельны между собой.

Если даны две профильно-проецирующие плоскости Р и К (рис. 112, а), то параллельность их фронтальных и горизонтальных следов на комплексном чертеже в системе V и Н недостаточна для того, чтобы определить, параллельны эти плоскости или нет. Для этого необходимо построить их профильные следы в системе V, Н и W (рис. 112, б). Плоскости Р и K будут параллельны только в том случае, если параллельны их профильные следы P_w и K_w.

Одноименные следы пересекающихся плоскостей Р и Q (рис. 112, в) пересекаются в точках V и H, которые принадлежат обеим плоскостям, т. е. линии их пересечения. Так как эти точки расположены на плоскостях проекций, то, следовательно, они являются также следами линии пересечения плоскостей. Чтобы на комплексном чертеже построить проекции линии пересечения двух плоскостей Р и Q, заданных следами P_v, Р_н и Q_v,Q_h, необходимо отметить точки пересечения одноименных следов плоскостей, т. е. точки v’ и h (рис. 112, г); точка v’ — фронтальная проекция фронтального следа искомой линии пересечения плоскостей Р и Q, h — горизонтальная проекция горизонтального следа этой же прямой. Опуская перпендикуляры из точек v’ и h на ось х, находим точки v и h’. Соединив прямыми одноименные проекции следов, т. е. точки v’ и h’, v и h’ получим проекции линии пересечения плоскостей Р и Q.

ПРЯМАЯ, ПРИНАДЛЕЖАЩАЯ ПЛОСКОСТИ

Для этого фронтальную проекцию отрезка m’n’ продолжаем до пересечения с отрезками a’b’ и c’d’ (проекциями сторон треугольника АВС), получаем точки (рис. 113, б).

Из точек е’к’ проводим линии связи на горизонтальную проекцию до пересечения с отрезками ab и ca , получаем точки еk. Продолжим горизонтальную проекцию mn отрезка прямой MN до пересечения с проекциями сторон bа и са, если точки пересечения совпадут с ранее полученными точками e и k то прямая MN принадлежит плоскости треугольника.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ

Если прямая АВ пересекается с плоскостью Р, то на комплексном чертеже точка их пересечения определяется следующим образом.

Через прямую А В проводят любую вспомогательную плоскость Q. Для упрощения построений плоскость Q обычно берется проецирующей (рис. 114, a). В данном случае проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость Q. Через горизонтальную проекцию аb прямой АВ проводят горизонтальный след Q_H плоскости Q и продолжают его до пересечения с осью x в точке Q_x . Из точки Q_x к оси х восставляют перпендикуляр Q_xQ_y , который будет фронтальным следом Q_v вспомогательной плоскости Q.

Вспомогательная плоскость Q пересекает данную плоскость Р по прямой VH, следы которой лежат на пересечении следов плоскостей Р и Q. Заметив точки пересечения следов P_v и Q_v — точку v’ и следов Q_н и P_H — точку h,опускают из этих точек на ось х перпендикуляры, основания которых — точки v’ и h’ — будут вторыми проекциями следов прямой VH. Соединяя точки v’и h’, v и h, получают фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения плоскостей.

Точка пересечения М заданной прямой AB и найденной прямой VH и будет искомой точкой пересечения прямой АВ с плоскостью Р. Фронтальная проекция m’ этой точки расположена на пересечении проекций a’b’ и v’h’. Горизонтальную проекцию m точки М находят, проводя вертикальную линию связи из точки m’ до пересечения с ab.

Если плоскость задана не следами, а плоской фигурой, например, треугольником (рис. 114, 6), то точку пересечения прямой MN с плоскостью треугольника АВС находят следующим образом.

Через прямую МN проводят вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость . Для этого через точки m’ и n’ проводят фронтальный след плоскости Р_у продолжают его до оси x и из точки пересечения следа плоскости Р_у с осью х опускают перпендикуляр Р_н, который будет горизонтальным следом плоскости Р.

Затем находят линию ED пересечения плоскости Р с плоскостью данного треугольника ABC. Фронтальная проекция e’d’ линии ED совпадает с m’n’. Горизонтальную проекцию ed находят, проводя вертикальные линии связи из точек е’и d’ до встречи с проекциями ab и ас сторон треугольника АВС. Точки e и d соединяют прямой. На пересечении горизонтальной проекции ed линии ED с горизонтальной проекцией прямой MN находят горизонтальную проекцию k искомой точки К. Проведя из точки k вертикальную линяю связи, на ходят фронтальную проекцию k’ Точка К — искомая точка пересечения прямой МК с плоскостью треугольника АВС.

В частном случае прямая может быть перпендикулярна плоскости Р.Из условия перпендикулярности прямой к плоскости следует, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим на этой плоскости (в частности, этими прямыми могут быть следы плоскости). Тогда проекции прямой АВ будут перпендикулярны одноименным следам этой плоскости (рис 115, а) Фронтальная проекция а’b’ перпендикулярна фронтальному следу Р_у, а горизонтальная проекция ab перпендикулярна горизонтальному следу Р_н плоскости Р.

Если плоскость задана параллельными или пересекающимися прямыми, то проекции прямой, перпендикулярной этой плоскости, будут перпендикулярны горизонтальной проекции горизонтали и фронтальной проекции фронтали, лежащих на плоскости.

Таким образом, если, например, на плоскость, заданную треугольником АВС необходимо опустить перпендикуляр, то построение выполняется следующим образом (рис. 115, б).

На плоскости проводят горизонталь СЕ и фронталь FA. Затем из заданных проекций d и d’ точки D опускают перпендикуляры соответственно на ce и f’a’. Прямая, проведенная из точки D будет перпендикулярна плоскости треугольника АВС.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Задачи на построение линии пересечения плоскостей, заданных пересекающимися прямыми, можно решать подобно задаче на пересечение плоскости с прямыми линиями. На рис. 116 показано построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками АВС и DEF. Прямая MN построена по найденным точкам пересечения сторон DE и EF треугольника DEF с плоскостью треугольника АВС.

Например, чтобы найти точку M, через прямую DF проводят фронтально-проецирующую плоскость Р, которая пересекается с плоскостью треугольника АВС по прямой 12. Через полученные точки 1′ и 2′ проводят вертикальные линии связи до пересечения их с горизонтальными проекциями ав и ас сторон треугольника АВС в точках 1 и 2. На пересечении горизонтальных проекций df и 12 получают горизонтальную проекцию m искомой точки М, которая будет точкой пересечения прямой DF с плоскостью АВС. Затем находят фронтальную проекцию m’ точки M. Точку N пересечения прямой EF с плоскостью АВС находят так же, как и точку М.

Соединив попарно точки m’ и n’, m и n, получают проекции линий пересечения MN плоскостей АВС и DEF.

Контрольная работа по начертательной геометрии, МГУПС

Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ)

---

ЗАДАЧА№1

Построить проекции равнобедренного прямоугольного треугольника АВС, если известно, что катет ВС принадлежит прямой KL.

Исходными данными задачи является точка А – вершина треугольника и прямая KL, на которой расположен его катет ВС. Прямая KL – линия уровня (параллельна плоскости проекций П₁ или П₂).

---

РЕШЕНИЕ:

1) По заданным координатам в таблице с вариантами строим проекции  точек А, Р и прямой KL, в нашей задаче KL параллельна П₁ – т.е. горизонталь (координаты по оси z равны 30).

2) Из точки А опускаем перпендикуляр на прямую KL (так как искомый треугольник прямоугольный, а вершина А задана).

Отмечаем основание перпендикуляра – точку В (В₁). Фронтальную проекцию точки В (В₂) получаем по линии связи на К₂L₂.

3) Определяем натуральную величину катета АВ треугольника АВС способом прямоугольного треугольника: для этого на фронтальной проекции берем отрезок равный разнице координат проекций точек А и В – дельта z, и под прямым углом к горизонтальной проекции отрезка AB (A₁B₁) откладываем отрезок равный  дельта z, получаем точку А₀. В₁А₀ – будет натуральной величиной катета (отрезка) АВ.

4) На прямой KL от точки В в любую сторону откладываем натуральную величину катета АВ (так как в равнобедренном прямоугольном треугольнике оба катета равны). В нашем случае откладываем на горизонтальной проекции K₁L₁ – т.к. KL – горизонталь и проецируется в натуральную величину именно на плоскость П₁. Получаем точку С (сначала проекцию С₁ и по линии связи C₂).

Соединяем точку А с точкой С. Треугольник АВС – искомый.

---

ЗАДАЧА№3

Определить натуральную величину расстояния от точки Р до плоскости.

---

РЕШЕНИЕ:

Кратчайшим расстоянием от точки до плоскости является отрезок перпендикуляра.

1) На основании теоремы о перпендикуляре к плоскости горизонтальная проекция перпендикуляра из точки Р проводится перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали h. Независимо от горизонтальной проекции строится его фронтальная проекция. Для этого по плоскости найденного треугольника АВС проведена фронталь ƒ. Фронтальная проекция перпендикуляра должна быть перпендикулярна фронтальной проекции фронтали ƒ.

2) Прямая перпендикуляра из точки Р заключена в горизонтальнопроецирующую плоскость γ₁. Затем определена линия пересечения 2-3 вспомогательной плоскости γ с заданной плоскостью треугольника АВС.

В пересечении линии 2-3 с прямой n найдена искомая точка Q. Сначала определяется фронтальная проекция Q₂, а затем по линии проекционной связи определена ее горизонтальная Q₁ проекция.

3) Натуральная величина перпендикуляра PQ определена способом прямоугольного треугольника, аналогично как в задаче №1 определяли натуральную величину катета АВ.

---

---

ЗАДАЧА №2.

Построить линию пересечения двух плоскостей заданных треугольниками α(DEF) и β(RMN), координаты вершин которых заданы в таблице исходных данных.

---

РЕШЕНИЕ:

1) По заданным координатам строим проекции всех точек, получаем проекции треугольников DEF и RMN.

2) Решение задачи можно упростить, если вспомогательные проецирующие плоскости провести через прямые, задающие плоскость.

Так точка K этой линии определена с помощью горизонтальнопроецирущей плоскости δ₁, проведенной через сторону RM треугольника MNR. Именно линия RM является линией пересечения плоскости треугольника β(RMN) с вспомогательной плоскостью δ. Та же плоскость пересекает треугольник α(DEF) по линии 1-2.

Точка K, общая для трех плоскостей (двух заданных α и β и вспомогательной δ), находится в пересечении прямых 1-2 и RM.

Следует отметить, что если вспомогательная плоскость δ горизонтальнопроецирущая, то сначала определяется фронтальная проекция точки K₂, т.е. K₂ = 1₂-2₂∩R₂M₂, а затем по линии проекционной связи находится K₁ – горизонтальная проекция точки K.

3) Аналогично, заключая сторону DE во фронтальнопроецирующую плоскость γ₂, находится точка L. Прямая KL – линия пересечения заданных плоскостей.

4) Для определения видимости этих треугольников достаточно установить относительное расположение одной из сторон одного треугольника относительно стороны другого треугольника. Таким образом, вопрос видимости плоскостей сводится к определению видимости двух скрещивающихся прямых.

Определим видимость стороны DE треугольника DEF относительно стороны MN треугольника RMN на фронтальной плоскости проекции. Для этого проведем луч зрения s перпендикулярно П₂ через точку пересечения фронтальных проекций D₂E₂ и M₂N₂. В пересечении D₂E₂ и M₂N₂ расположены две конкурирующие по видимости точки (5₂ и 4₂). Точка 4 принадлежит стороне MN, а точка 5 – стороне DE. По горизонтальной проекции устанавливаем, что луч зрения сначала встретит D₁E₁ в точке 5₁, а затем M₁N₁ в точке 4₁. Следовательно, фронтальная проекция D₂E₂ – видима.

Аналогично определяется видимость треугольников и на горизонтальной проекции. Луч зрения при этом следует провести перпендикулярно к П₁ через две конкурирующие на П₁ точки скрещивающихся прямых (например, луч s^/, проходящий через точки 1 и 6, соответственно принадлежащие прямым MR и ЕF).

---

---

ЗАКАЗЫВАЙТЕ ЧЕРТЕЖИ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ МГУПС

тел. (whatsup) 8-950-790-65-90

email: stud-help55@ya.ru

---

Раздел: Начертательная геометрия / 

Федеральное
агентство по образованию

Читинский институт
(филиал)

Байкальского
государственного университета экономики
и права

Кафедра математики

Типовое задание

по теме

«Аналитическая
геометрия на плоскости»

для студентов
1-го курса

Типовое задание
для 1 курса

Заданы вершины
треугольника

1. Написать уравнения
   всех сторон треугольника.

2. Задать множество
   внутренних точек треугольника.

3. Написать уравнение
   высоты, проведённой из вершины А.

4. Написать уравнение
   медианы, проведённой из вершины В.

5. Написать уравнение
   биссектрисы, угла С.

6. Найти угол между
   медианой и биссектрисой из п.п.4,5

7. Найти центр и
   радиус описанной окружности.

8. Найти длину высоты,
   опущенной из вершины В.

9. Найти площадь
   треугольника АВС

10. Найти проекцию
    точки А на сторону BС

11. Записать уравнение
    стороны АВ в форме уравнения прямой в
    отрезках.

12. Записать уравнение
    прямой ВС в форме уравнения прямой с
    угловым коэффициентом.

13. Записать уравнение
    прямой АС в форме нормального уравнения

14. Записать уравнение
    прямой, проходящей через т. N(10,10)
    параллельно стороне АВ.

15. Записать уравнение
    прямой, проходящей через т.М (-10,-10)
    перпендикулярно стороне ВС.

№	А	В	С
x1	y1	x2	y2	x3	y3
1	2	3	-1	2	7	-1
2	3	4	-2	1	7	-2
3	3	5	-1	3	7	-3
4	4	3	-2	3	7	-4
5	5	1	-3	2	7	-5
6	2	5	-3	1	7	-6
7	6	1	-1	4	6	-7
8	5	3	-2	4	5	-7
9	6	2	-3	4	4	-7
10	2	6	-4	3	3	-7
11	7	1	-4	2	2	-2
12	7	2	-4	1	1	-7
13	7	3	-4	0	6	-1
14	7	4	-1	5	6	-2
15	7	5	-2	5	6	-3
16	7	6	-3	5	6	-4
17	6	7	-4	5	6	-5
18	5	7	-5	4	8	-7
19	4	7	-5	3	8	-6
20	3	7	-5	2	8	-5
21	2	7	-5	1	8	-4
22	1	7	-1	6	8	-3
23	8	2	-2	6	7	-2
24	8	3	-3	6	7	-1
25	8	4	-4	6	1	-2
26	8	5	-5	6	2	-1
27	8	6	-6	5	3	-1
28	8	7	-6	4	3	-2
29	7	8	-6	3	2	-3
30	6	8	-6	2	2	-1

Соседние файлы в папке Математика

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #