Как найти проекцию в равнобокой трапеции

Содержание

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны
параллельны, а две другие не параллельны.

1. Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

2. Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов равен $90^circ$.

1. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

2. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3. Диагонали равнобедренной трапеции, пересекаясь, образуют два равных и два равнобедренных треугольника.

4. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали – полусумме оснований.

Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, $AB=CD$.

Докажем, что $angle A=angle D$.

Проведем из точек $B$ и $C$ высоты $BE$ и $CF$.

Треугольники $triangle ABE$ и $triangle CFD$ равны по катету и гипотенузе ($AB=CD,
BE=CF$).

Следовательно, $angle A=angle D$.

В равнобедренной трапеции $ABCD$ рассмотрим треугольники $triangle ABD$ и $triangle ACD$.

Они равны по первому признаку ($AB=CD$, $AD$ – общая, $angle A=angle D$ по
первому пункту).

Следовательно, $AC=BD$.

Пусть диагонали равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Докажем, что треугольники $triangle AOD$ и $triangle BOC$ – равнобедренные, а треугольники $triangle AOB$ и $triangle COD$ равны.

Действительно, во втором пункте уже было доказано, что $triangle ABD=triangle ACD$.

Следовательно, $angle 1=angle 2$, а так как они накрест лежащие с углами $angle 3$ и $angle 4$ соответственно, то $angle 3=angle 4$, что
и означает, что треугольники $triangle AOD$ и $triangle BOC$ – равнобедренные.

Тогда $AO=OD$ и $BO=OC$, и как следствие, $triangle AOB=triangle COD$ по
третьему признаку равенства треугольников.

Так как $triangle AEB=triangle CFD$ (по катету и
гипотенузе), то $AE=FD$.

Кроме того, $EF=BC$, следовательно, $AE=dfrac{AD-BC}{2}$ и
$AF=dfrac{AD-BC}{2}+BC=dfrac{AD+BC}{2}$.

1. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.

2. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой $angle A=angle D$.

Докажем, что тогда $AB=CD$, то есть трапеция равнобедренная.

Проведем из вершины $C$ отрезок $CE$ параллельный стороне $AB$.

Тогда $angle A=angle CED$, как соответственные углы.

Следовательно, $angle CED=angle D$, а тогда $triangle CED$ – равнобедренный.

А поскольку $AB=CE$ ($ABCE$ – параллелограмм), то $AB=CD$.

Рассмотрим трапецию $ABCD$, у которой $AC=BD$.

Докажем, что тогда $AB=CD$.

Построим из точки $C$ прямую, параллельный диагонали $BD$. Пусть она пересекает прямую $AD$ в точке $F$.

Тогда $BD=CF$, так как $BCFD$ – параллелограмм по определению.

Тогда $triangle ACF$ – равнобедренный, так как $AC=CF$.

Следовательно $angle OAD=angle ODA$, и $triangle AOD$ – равнобедренный.

Тогда $AO=OD$ и $BO=OC$.

Следовательно, $triangle BOA=triangle COD$ по первому признаку ($angle BOA=angle COD$ — как вертикальные).

Следовательно, $AB=CD$.

В равнобедренной трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями
высота равна средней линии.

Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, в которой $ACperp BD$.

Докажем, что в такой трапеции высота $CH$ равна средней линии то есть полусумме оснований.

Действительно, $triangle AOD$ – равнобедренный и прямоугольный, следовательно, $angle OAD = 45^circ$. Тогда $triangle AHC$ – равнобедренный, то есть $AH=CH$.

Но отрезок $AH$ равен полусумме оснований.

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная  окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом   и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка —  и ,  то

Площадь

или где   – средняя линия

Смотрите хорошую подборку  задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Смотрите также площадь трапеции.