Как найти проекцию вектора силы на оси

Часто геометрическое сложение векторов сил требует сложных и громоздких построений. В таких случаях прибегают к другому методу, где геометрическое построе­ние заменено вычислениями скалярных величин. Дости­гается это проектированием заданных сил на оси прямо­угольной системы координат.

Как известнее из математики, осью называют неограни­ченную прямую линию, которой приписано определенное направление. Проекция вектора на ось является скаляр­ной величиной, которая определяется отрезком оси, отсе­каемым перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора на ось.

Проекция вектора считается положительной (+), если направление от начала проекции к ее концу совпадает с положительным направлением оси. Проекция вектора считается отрицательной (—), если направление от на­чала проекции к ее концу противоположно положитель­ному направлению оси.

Рассмотрим ряд случаев проектирования сил на ось.

1. Дана сила Р (рис.а), она лежит в одной пло­скости с осью х. Вектор силы составляет с положительным направлением оси острый угол α.

Чтобы найти величину проекции, из начала и конца вектора силы опускаем перпендикуляры на ось х, полу­чаем

Р_х = ab = Р cos α.

Проекция вектора в данном случае положительна.

2. Дана сила Q (рис. б), которая лежит в одной плоскости с осью х, но ее вектор составляет с положи­тельным направлением оси тупой угол α.

Проекция силы Q на ось х

Q_х = ab = Q cos α,

но

cos a = — cos β.

Так как α > 90°, то cos cos α — отрицательная величина. Выразив cos α через cos β  (β — острый угол), оконча­тельно получим

Q_х = — Q cos β

В этом случае проекция силы отрицательна.

Итак, проекция силы на ось координат равна произве­дению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси.

При определении проекции вектора силы на ось поль­зуются обычно косинусом острого угла, независимо от того, с каким направлением оси — положительным или отрицательным — он образо­ван. Знак проекции легче устанавливать непосредствен­но по чертежу.

Силу, расположенную на плоскости хОу, можно спроек­тировать на две координатные оси Ох и Оу. Рассмотрим рисунок.

На нем изображена сила Р и ее проекции Р_х и Р_у. Ввиду того что проекции образуют между собой прямой угол, из прямоугольного треугольника ABC следует:

Этими формулами можно пользоваться для определения величины и направления силы, когда из­вестны ее проекции на координатные оси. Эти же формулы могут применяться для определения величины и направ­ления любого вектора через его проекции.

Проекцией
силы на ось называется алгебраическая
величина, равная произведению силы на
косинус угла между направлением силы
и положительным направлением оси.

Если проекцию
силы 
 обозначить 
,
то согласно определению

.

В случае,
когда сила и ось расположены в одной
плоскости, для определения проекции
силы 
 на
ось 
 (рис.
3.1) следует из начала 
 и
конца 
 силы 
 опустить
перпендикуляры на ось 
.
Полученный отрезок 
 есть проекция 
.
Знак проекции принимается положительным,
если направление отрезка 
 совпадает
с положительным направлением оси 
 (рис.
3.1), и отрицательным,
если направления противоположны (рис.
3.2).

Рис. 3.1. Определение проекции силы  на ось (направление отрезка совпадает  с положительным направлением оси Х)	Рис. 3.2. Определение проекции  силы на ось (направления отрезка  и оси Х противоположны)

Модуль
проекции 
 или
длина отрезка 
 вычисляется
из прямоугольного треугольника 
: для рис.
3.1 имеем 
;
для рис. 3.2 – 
, 
.

9.
аналитический
способ определения равнодействующей
плоской системы сходящихся силВеличина
равнодействующей равна векторной
(геометрической) сумме векторов системы
сил. Определяем равнодействующую
геоме­трическим способом. Выберем
систему координат, определим про­екции
всех заданных векторов на эти оси (рис.
3.4а). Складываем проекции всех векторов
на оси х и у (рис. 3.46).

FΣч =
Flx + F2x + F3x + F4x; FΣн = Fly + F2y + F3y + F4y;

; 
.

Модуль
(величину) равнодействующей можно найти
по известным проекциям:

 
.Направление
вектора равнодействующей можно определить
по величинам и знакам косинусов углов,
образуемых равнодействую­щей с осями
координат (рис. 3.5).

;

Условия
равновесия плоской системы сходящихся
сил в аналитической форме

Исходя
из того, что равнодействующая равна
нулю, получим:

 FΣ
= 0.

Условия
равновесия в аналитической форме можно
сформулиро­вать следующим образом:
Плоская система сходящихся сил находится
в равновесии, ес­ли алгебраическая
сумма проекций всех сил системы на любую
ось равна нулю.Система уравнений
равновесия плоской сходящейся системы
сил:

.

В
задачах координатные оси выбирают так,
чтобы решение было наиболее простым.
Желательно, чтобы хотя бы одна неизвестная
сила совпадала с осью координат.

10. Момент силы относительно точки

Если
под действием приложенной силы твердое
тело может совершать вращение вокруг
некоторой точки, то для того, чтобы
охарактеризовать вращательный эффект
силы вводится понятие – момент силы
относительно точки (или центра).

Моментом
силы относительно точки (рисунок
1.1) называется векторное произведение
радиус-вектора  точки  приложения
силы на вектор силы. 

             
                   
              M_o(F)
= r ⊗ F

Рисунок
1.1

Вектор
момента направлен перпендикулярно
плоскости, в которой лежат сила и точка,
в ту сторону, откуда поворот от действия
силы виден происходящим против хода
часовой стрелки. Вектор момента
характеризует положение плоскости и
направление вращательного действия
силы, а также дает меру этого действия:

 |M_o(F)|
= F⋅r⋅sinα
= F⋅h,

где
 h –
плечо силы (кратчайшее
расстояние от точки  O –
центра момента – до линии действия
силы). Если сила проходит через точку,
то ее момент относительно этой точки
равен нулю.

Момент
силы относительно точки не меняется от
переноса силы вдоль линии ее действия.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Задачи по динамике.

I и II закон Ньютона.

Ввод и направление осей.

Неколлинеарные силы.

Проецирование сил на оси.

Решение систем уравнений.

Самые типовые задачи по динамике

---

Начнем с I и II законов Ньютона.

Откроем учебник физики и прочтем. I закон Ньютона: существуют такие инерциальные системы отсчета в которых… Закроем такой учебник, я тоже не понимаю. Ладно шучу, понимаю, но объясню проще.

I закон Ньютона: если тело стоит на месте либо движется равномерно (без ускорения), сумма действующих на него сил равна нулю.

Вывод: Если тело движется с постоянной скоростью или стоит на месте векторная сумма сил будет ноль.

II закон Ньютона: если тело движется равноускоренно или равнозамедленно (с ускорением), сумма сил, действующих на него, равна произведению массы на ускорение.

Вывод: Если тело двигается с изменяющейся скоростью, то векторная сумма сил, которые как-то влияют на это тело ( сила тяги, сила трения, сила сопротивления воздуха), равна массе этого тело умножить на ускорение.

При этом одно и то же тело чаще всего движется по-разному (равномерно или с ускорением) в разных осях. Рассмотрим именно такой пример.

Задача 1. Определите коэффициент трения шин автомобиля массой 600 кг, если сила тяги двигателя 4500 Н вызывает ускорение 5 м/с².

Обязательно в таких задачах делать рисунок, и показывать силы, которые дествуют на машину:

На Ось Х: движение с ускорением 

На Ось Y: нет движения (здесь координата, как была ноль так и останется, машина не поднимает в горы или спускается вниз)

Те силы, направление которых совпадает с направлением осей, будут с плюсом, в противоположном случае — с минусом.

По оси X: сила тяги направлена вправо, так же как и ось X, ускорение так же направлено вправо.

Fтр = μN, где N — сила реакции опоры. На оси Y:  N = mg, тогда в данной задаче Fтр = μmg.

Получаем, что: 

Коэффициент трения — безразмерная величина. Следовательно, единиц измерения нет.

Ответ: 0,25

Задача 2. Груз массой 5кг, привязанный к невесомой нерастяжимой нити, поднимают вверх с ускорением 3м/с². Определите силу натяжения нити.

Сделаем рисунок, покажем силы, которые дествуют на груз

T — сила натяжения нити

На ось X: нет сил

Разберемся с направлением сил на ось Y:

Выразим T (силу натяжения) и подставим числительные значения:

Ответ: 65 Н

Самое главное не запутаться с направлением сил (по оси или против), все остальное сделает калькулятор или всеми любимый столбик.

Далеко не всегда все силы, действующие на тело, направлены вдоль осей.

Простой пример: мальчик тянет санки

Если мы так же построим оси X и Y, то сила натяжения (тяги) не будет лежать ни на одной из осей. 

Чтобы спроецировать силу тяги на оси, вспомним прямоугольный треугольник.

Отношение противолежащего катета к гипотенузе — это синус.

Отношение прилежащего катета к гипотенузе — это косинус.

Сила тяги на ось Y — отрезок (вектор) BC.

Сила тяги на ось X — отрезок (вектор) AC.

Если это непонятно, посмотрите задачу №4.

Чем длинее будет верека и, соответсвенно, меньше угол α, тем проще будет тянуть санки. Идеальный вариант, когда веревка параллельна земле, ведь сила, которая действуют на ось X— это Fнcosα. При каком угле косинус максимален? Чем больше будет этот катет, тем сильнее горизонтальная сила.

Задача 3. Брусок подвешен на двух нитях. Сила натяжения первой составляет 34 Н, второй — 21Н, θ1 = 45°, θ2 = 60°. Найдите массу бруска.

Введем оси и спроецируем силы:

Получаем два прямоугольных треугольника. Гипотенузы AB и KL — силы натяжения. LM и BC — проекции на ось X, AC и KM — на ось Y.

Ответ: 4,22 кг

Задача 4. Брусок массой 5 кг (масса в этой задаче не нужна, но, чтобы в уравнениях все было известно, возьмем конкретное значение) соскальзывает с плоскости, которая наклонена под углом 45°, с коэффициентом трения μ = 0,1. Найдите ускорение движения бруска? 

Когда же есть наклонная плоскость, оси (X и Y) лучше всего направить по направлению движения тела. Некоторые силы в данном случае ( здесь это mg) не будут лежать ни на одной из осей. Эту силу нужно спроецировать, чтобы она имела такое же направление, как и взятые оси.
Всегда ΔABC подобен ΔKOM в таких задачах (по прямому углу и углу наклона плоскости).

Рассмотрим поподробнее ΔKOM: 

Получим, что KO лежит на оси Y, и проекция mg на ось Y будет с косинусом. А вектор MK коллинеарен (параллелен) оси X, проекция mg на ось X будет с синусом, и вектор МК направлен против оси X (то есть будет с минусом).

Не забываем, что, если направления оси и силы не совпадают, ее нужно взять с минусом!

Из оси Y выражаем N и подставляем в уравнение оси X, находим ускорение:

Ответ: 6,36 м/с²

Как видно, массу в числителе можно вынести за скобки и сократить со знаменаталем. Тогда знать ее не обязательно, получить ответ реально и без нее.
Да-да, в идеальных условиях (когда нет силы сопротивления воздуха и т.п.), что перо, что гиря скатятся (упадут) за одно и тоже время. 

Задача 5. Автобус съезжает с горки под уклоном 60° с ускорением 8 м/с²  и с силой тяги 8 кН. Коэффициент трения шин об асфальт равен 0,4. Найдите массу автобуса.

Сделаем рисунок с силами:

Введем оси X и Y. Спроецируем mg на оси:

Запишем второй закон Ньютона на X и Y:

Ответ: 6000 кг

Задача 6. Поезд движется по закруглению радиуса 800 м со скоростью 72 км/ч. Определить, на сколько внешний рельс должен быть выше внутреннего. Расстояние между рельсами 1,5 м.

Самое сложное — понять, какие силы куда действуют, и как угол влияет на них.

Вспомни, когда едешь по кругу на машине или в автобусе, куда тебя выталкивает? Для этого и нужен наклон, чтобы поезд не упал набок!

Угол α задает отношение разницы высоты рельсов к расстоянию между ними (если бы рельсы находились горизонтально)

Запишем какие силы действуют на оси:

Ускорение в данной задачи центростремительное!

Поделим одно уравнение на другое:

Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему:

Ответ: 7,5 см

Как мы выяснили, решение подобных задач сводится к расстановке направлений сил, проецированию их на оси и к решению систем уравнений, почти сущий пустяк.

В качестве закрепления материала решите несколько похожих задач с подсказками и ответами. 

Будь в курсе новых статеек, видео и легкого технического юмора.