Как найти произведение чисел формула

Содержание:

  • Определение произведения чисел
  • Свойства произведения чисел

Определение произведения чисел

Произведение $p$ чисел
$a_{1}, a_{2}, dots, a_{n}$ есть результат умножения этих чисел: $p=a_{1} cdot a_{2} cdot ldots cdot a_{n}$ .
В частности, если умножаются два числа $a$ и $b$, то

Пример

Задание. Найти произведение чисел:

1)  1.2$cdot 3$   ;   2)  4$cdot 5 cdot 13$ 

Ответ.  

$1,2 cdot 3=3,6$

$4 cdot 5 cdot 13=260$

Свойства произведения чисел

  1. Коммутативность: $n cdot m=m cdot n$

  2. Ассоциативность: $(n cdot m) cdot k=n cdot(m cdot k)$

    На основании этих свойств можем заключить, что при перестановке множителей значение произведения не меняется.

  3. Дистрибутивность: $(n+m) cdot k=n cdot k+m cdot k$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти произведение чисел удобным способом:

1)  5$cdot 17 cdot 2$   ;   2)  7$cdot 2 cdot 15 cdot 5$ 

Решение. По свойства умножения имеем:

$$5 cdot 17 cdot 2=(5 cdot 2) cdot 17=10 cdot 17=170$$

$$7 cdot 2 cdot 15 cdot 5=(7 cdot(2 cdot 15)) cdot 5=(7 cdot 30) cdot 5=210 cdot 5=1050$$

Ответ.  

$5 cdot 17 cdot 2=170$

$7 cdot 2 cdot 15 cdot 5=1050$

Если устное умножение чисел затруднительно используют умножение в столбик. В столбик можно умножать большие
натуральные числа или
десятичные дроби.

Пример

Задание. Найти произведение чисел

1)  156$cdot 32$   ;   2)  $4,71 cdot 3,1$ 

Решение. Запишем умножаемые числа в столбик. Далее умножим сначала единицы второго числа на первое,
полученное произведение запишем под чертой. Затем аналогично умножим десятки второго числа на первое. Результат запишем
под первым произведением только на один разряд левее. В конце найдем сумму полученных произведений по правилу сложения в
столбик

Умножение десятичных дробей во втором примере производится следующим образом: не обращая внимания на запятые, дроби
перемножаются как целые числа; в получившемся произведении отделяют справа число знаков, равное сумме чисел знаков после
запятой у сомножителей. В нашем случае в первом сомножителе два знака после запятой, во втором — один, значит, в ответе
нужно отделить справа три знака:

Ответ.  

$156 cdot 32=4992$

$4,71 cdot 3,1=14,601$

Читать дальше: что такое простое число.

Источник

Умножить одно целое число на другое значит повторить одно число столько раз, сколько в другом содержится единиц. Повторить число значит взять его слагаемым несколько раз и определить сумму.

Определение умножения

Умножение целых чисел есть такое действие, в котором нужно взять одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц, и найти сумму этих слагаемых.

Умножить 7 на 3 значит взять число 7 слагаемым три раза и найти сумму. Искомая сумма есть 21.

Умножение есть сложение равных слагаемых.

Данные в умножении называются множимым и множителем, а искомое — произведением.

В предложенном примере данными будут множимое 7, множитель 3, а искомым произведением 21.

Множимое. Множимое есть то число, которое умножается или повторяется слагаемым. Множимое выражает величину равных слагаемых.

Множитель. Множитель показывает, сколько раз множимое повторяется слагаемым. Множитель показывает число равных слагаемых.

Произведение. Произведение есть число, которое получается от умножения. Оно есть сумма равных слагаемых.

Множимое и множитель вместе называются производителями.

При умножении целых чисел одно число увеличивается во столько раз, сколько в другом содержится единиц.

Знак умножения. Действие умножения обозначают знаком × (косвенным крестом) или . (точкой). Знак умножения ставится между множимым и множителем.

Повторить число 7 три раза слагаемым и найти сумму значит 7 умножить на 3. Вместо того, чтобы писать

7 + 7 + 7

пишут при помощи знака умножения короче:

7 × 3 или 7 · 3

Умножение есть сокращенное сложение равных слагаемых.

Знак (×) был введен Отредом (1631 г.), а знак . Христианом Вольфом (1752 г.).

Связь между данными и искомым числом выражается в умножении

письменно:

7 × 3 = 21 или 7 · 3 = 21

словесно:

семь, умноженное на три, составляет 21.

Чтобы составить произведение 21, нужно 7 повторить три раза

21 = 7 + 7 + 7

Чтобы составить множитель 3, нужно единицу повторить три раза

3 = 1 + 1 + 1

Отсюда имеем другое определение умножения: Умножение есть такое действие, в котором произведение точно так же составляется из множимого, как множитель составлен из единицы.

Основное свойство произведения

Произведение не изменяется от перемены порядка производителей.

Доказательство. Умножить 7 на 3 значит 7 повторить три раза. Заменив 7 суммою 7 единиц и вложив их в вертикальном порядке, имеем:

Умножение, представленное в виде сложения

Таким образом, при умножении двух чисел мы можем считать множителем любой из двух производителей. На этом основании производители называются сомножителями или просто множителями.

Самый общий прием умножения состоит в сложении равных слагаемых; но, если производители велики, этот прием приводит к длинным вычислениям, поэтому самое вычисление располагают иначе.

Умножение однозначных чисел. Таблица Пифагора

Чтобы умножить два однозначных числа, нужно повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц, и найти их сумму. Так как умножение целых чисел приводится к умножению однозначных чисел, то составляют таблицу произведений всех однозначных чисел попарно. Такая таблица всех произведений однозначных чисел попарно называется таблицей умножения.

Таблица Пифагора. Изобретение ее приписывают греческому философу Пифагору, по имени которого ее называют таблицей Пифагора. (Пифагор родился около 569 года до н. э.).

Чтобы составить эту таблицу, нужно написать первые 9 чисел в горизонтальный ряд:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Затем под этой строкой надо подписать ряд чисел, выражающих произведение этих чисел на 2. Этот ряд чисел получится, когда в первой строке сложим каждое число само с собою. От второй строки чисел последовательно переходим к 3, 4 и т. д. Каждая последующая строка получается из предыдущей через прибавление к ней чисел первой строки.

Продолжая так поступать до 9 строки, мы получим таблицу Пифагора в следующем виде

Таблица Пифагор

Чтобы по этой таблице найти произведение двух однозначных чисел, нужно отыскать одного производителя в первой горизонтальной строке, а другого в первом вертикальном столбце; тогда искомое произведение будет на пересечении соответствующих столбца и строки. Таким образом, произведение 6 × 7 = 42 находится на пересечении 6-й строки и 7-го столбца. Произведение нуля на число и числа на нуль всегда дает нуль.

Так как произведение числа на 1 дает само число и перемена порядка множителей не изменяет произведения, то все различные произведения двух однозначных чисел, на которые следует обратить внимание, заключаются в следующей таблице:

Произведения однозначных чисел

Произведения однозначных чисел, не содержащиеся в этой таблице, получаются по данным, если только изменить в них порядок множителе; таким образом, 9 × 4 = 4 × 9 = 36.

Умножение многозначного числа на однозначное

Умножение числа 8094 на 3 обозначают тем, что подписывают множитель под множимым, ставят слева знак умножения и проводят черту с тем, чтобы отделить произведение.

Запись умножения в столбик

Умножить многозначное число 8094 на 3 значит найти сумму трех равных слагаемых

Замена умножения в столбик сложением

следовательно, для умножения нужно все порядки многозначного числа повторить три раза, то есть умножить на 3 единицы, десятки, сотни, и т. п. Сложение начинают с единицы, следовательно, и умножение нужно начинать с единицы, а затем переходят от правой руки к левой к единицам высшего порядка.

При этом ход вычислений выражают словесно:

  1. Начинаем умножение с единиц: 3 × 4 составляют 12, подписываем под единицами 2, а единицу (1 десяток) прикладываем к произведению следующего порядка на множитель (или запоминаем ее в уме).

  2. Умножаем десятки: 3 × 9 составляет 27, да 1 в уме составят 28; подписываем под десятками 8 и 2 в уме.

  3. Умножаем сотни: Нуль, умноженный на 3, дает нуль, да 2 в уме составит 2, подписываем под сотнями 2.

  4. Умножаем тысячи: 3 × 8 = 24, подписываем вполне 24, ибо не имеем следующих порядков.

Это действие выразится письменно:

Алгоритм умножения в столбик на однозначное число

Из предыдущего примера выводим следующее правило. Чтобы умножить многозначное число на однозначное, нужно:

  1. Подписать множитель под единицами множимого, поставить слева знак умножения и провести черту.

  2. Умножение начинать с простых единиц, затем, переходя от правой руки к левой, последовательно умножают десятки, сотни, тысячи и т. д.

  3. Если при умножении произведение выражается однозначным числом, то его подписывают под умножаемой цифрой множимого.

  4. Если же произведение выражается двухзначным числом, то цифру единиц подписывают под тем же столбцом, а цифру десятков прибавляют к произведению следующего порядка на множитель.

  5. Умножение продолжается до тех пор, пока не получат полного произведения.

Умножение чисел на 10, 100, 1000 …

Умножить числа на 10 значит простые единицы превратить в десятки, десятки в сотни и т. д., то есть повысить порядок всех цифр на единицу. Этого достигают, прибавляя справа один нуль. Умножить на 100 значит повысить все порядки множимого двумя единицами, то есть превратить единицы в сотни, десятки в тысячи и т. д.

Этого достигают, приписывая к числу два нуля.

Отсюда заключаем:

Для умножения целого числа на 10, 100, 1000 и вообще на 1 с нулями нужно приписать справа столько нулей, сколько их находится во множителе.

Умножение числа 6035 на 1000 выразится письменно:

Умножение на 1000

Когда множитель есть число, оканчивающееся нулями, подписывают под множимым только значащие цифры, а нули множителя приписывают справа.

Умножение на число с нулями в конце

Чтобы умножить 2039 на 300 нужно взять число 2029 слагаемым 300 раз. Взять 300 слагаемых все-равно, что взять три раза по 100 слагаемых или 100 раз по три слагаемых. Для этого умножаем число на 3, а потом на 100, или умножаем сначала на 3, а потом приписываем справа два нуля.

Ход вычисления выразится письменно:

Умножение на число, заканчивающееся нулями

Правило. Чтобы умножить одно число на другое, изображаемое цифрой с нулями, нужно сначала помножить множимое на число, выражаемое значащей цифрой, и затем приписать столько нулей, сколько их находится в множителе.

Умножение многозначного числа на многозначное

Чтобы умножить многозначное число 3029 на многозначное 429, или найти произведение 3029 * 429, нужно повторить 3029 слагаемым 429 раз и найти сумму. Повторить 3029 слагаемым 429 раз значит повторить его слагаемым сначала 9, потом 20 и, наконец, 400 раз. Следовательно, чтобы умножить 3029 на 429, нужно 3029 умножить сначала на 9, потом на 20 и, наконец, на 400 и найти сумму этих трех произведений.

Три произведения

Частные произведения

называются частными произведениями.

Полное произведение 3029 × 429 равно сумме трех частных:

3029 × 429 = 3029 × 9 + 3029 × 20 + 3029 × 400.

Найдем величины этих трех частных произведений.

  1. Умножая 3029 на 9, находим:

     3029
×   9 
27261 первое частное произведение

  2. Умножая 3029 на 20, находим:

     3029
×   20 
 60580 второе частное произведение

  3. Умножая 3026 на 400, находим:

     3029
×   400 
1211600 третье частно произведение

Сложив эти частные произведения, получим произведение 3029 × 429:

Полное произведение

Не трудно заметить, что все эти частные произведения есть произведения числа 3029 на однозначные числа 9, 2, 4, причем ко второму произведению, происходящему от умножения на десятки, приписывается один нуль, к третьему два нуля.

Нули, приписываемые к частным произведениям, опускают при умножении и ход вычисления выражают письменно:

Умножение в столбик многозначных чисел

В таком случае, при умножении на 2 (цифру десятков множителя) подписывают 8 под десятками, или отступают влево на одну цифру; при умножении на цифру сотен 4, подписывают 6 в третьем столбце, или отступают влево на 2 цифры. Вообще каждое частное произведение начинают подписывать от правой руки к левой под тем порядком, к которому принадлежит цифра множителя.

Отыскивая произведение 3247 на 209, имеем:

Пример умножения в столбик

Здесь второе частное произведение начинаем подписывать под третьим столбцом, ибо оно выражает произведение 3247 на 2, третью цифру множителя.

Мы здесь опустили только два нуля, которые должны были явиться во втором частном произведении, как как оно выражает произведение числа на 2 сотни или на 200.

Из всего сказанного выводим правило. Чтобы умножить многозначное число на многозначное,

  1. нужно множителя подписать под множимым так, чтобы цифры одинаковых порядков находились в одном вертикальном столбце, поставить слева знак умножения и провести черту.

  2. Умножение начинают с простых единиц, затем переходят от правой руки к левой, умножают последовательное множимое на цифру десятков, сотен и т. д. и составляют столько частных произведений, сколько значащих цифр во множителе.

  3. Единицы каждого частного произведения подписывают под тем столбцом, к которому принадлежит цифра множителя.

  4. Все частные произведения, найденные таким образом, складывают вместе и получают в сумме произведение.

Чтобы умножить многозначное число на множитель, оканчивающейся нулями, нужно отбросить нули во множителе, умножить на оставшееся число и потом приписать к произведению столько нулей, сколько их находится во множителе.

Пример. Найти произведение 342 на 2700.

Умножение на число с нулями в конце

Если множимое и множитель оба оканчиваются нулями, при умножении отбрасывают их и затем к произведению приписывают столько нулей, сколько их содержится в обоих производителях.

Пример. Вычисляя произведение 2700 на 35000, умножаем 27 на 35

Отбрасывание нулей у множителей

Приписывая к 945 пять нулей, получаем искомое произведение:

2700 × 35000 = 94500000.

Число цифр произведения. Число цифр произведения 3728 × 496 можно определить следующим образом. Это произведение более 3728 × 100 и меньше 3728 × 1000. Число цифр первого произведения 6 равно числу цифр в множимом 3728 и во множителе 496 без единицы. Число цифр второго произведения 7 равно числу цифр во множимом и во множителе. Данное произведение 3728 × 496 не может иметь цифр менее 6 (числа цифр произведения 3728 × 100, и более 7 (числа цифр произведения 3728 × 1000).

Откуда заключаем: число цифр всякого произведения или равно числу цифр во множимом и во множителе, или равно этому числу без единицы.

В нашем произведении может содержаться или 7 или 6 цифр.

Степени

Между различными произведениями заслуживают особого внимания такие, в которых производители равны. Так, например:

2 × 2 = 4,    3 × 3 = 9.

Квадраты. Произведение двух равных множителей называется квадратом числа.

В наших примерах 4 есть квадрат 2, 9 есть квадрат 3.

Кубы. Произведение трех равных множителей называется кубом числа.

Так, в примерах 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, число 8 есть куб 2, 27 есть куб 3.

Вообще произведение нескольких равных множителей называется степенью числа. Степени получают свои названия от числа равных множителей.

Произведения двух равных множителей или квадраты называются вторыми степенями.

Произведения трех равных множителей или кубы называются третьими степенями, и т. д.

Источник

Определение

Произведением чисел в математике называется результат их умножения.

Пример: Найдите произведение чисел.

14×15=210

Здесь 14 и 15 называются — множители.

Свойства

1. Коммутативность.

Пример: Вычислить произведение чисел.

17×12=204 и 12×17=204

Переместительный закон: При перестановке множителей результат не меняется.

2. Ассоциативность.

Пример: 

11×19×32=6688

(11×19)×32=6688

11×(19×32)=6688

Сочетательный закон: Если группу множителей заменить их произведением, результат не изменится.

3. Дистрибутивность.

Пример:

(15+12)×9=243 и 15×9+12×9=243

Распределительный закон: Умножая сумму на число, можно на это число каждое слагаемое умножить и результаты сложить. 

Большие числа, а также десятичные дроби умножают в столбик.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Произведение цифр числа

Пример: найти произведение цифр числа 428

4×2×8=64

Произведение суммы и разности чисел

(23+14)×(23-14)=37×9=333

Наименьшее произведение чисел

При умножении любого числа на 0, получится ноль. Наименьшее произведение чисел равно нулю.

Сумма двух произведений чисел

(7×8)+(9×3)=56+27=83

Ответ: 83

Пример: Найди сумму и произведение чисел 14 и 72

Решение:

14+72=86 — сумма

14×72=1008 — произведение

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, a product is the result of multiplication, or an expression that identifies objects (numbers or variables) to be multiplied, called factors. For example, 21 is the product of 3 and 7 (the result of multiplication), and xcdot (2+x) is the product of x and (2+x) (indicating that the two factors should be multiplied together).

The order in which real or complex numbers are multiplied has no bearing on the product; this is known as the commutative law of multiplication. When matrices or members of various other associative algebras are multiplied, the product usually depends on the order of the factors. Matrix multiplication, for example, is non-commutative, and so is multiplication in other algebras in general as well.

There are many different kinds of products in mathematics: besides being able to multiply just numbers, polynomials or matrices, one can also define products on many different algebraic structures.

Product of two numbers[edit]

The product of two numbers or the multiplication between two numbers can be defined for common special cases: integers, natural numbers, fractions, real numbers, complex numbers, and quaternions.

Product of a sequence[edit]

The product operator for the product of a sequence is denoted by the capital Greek letter pi Π (in analogy to the use of the capital Sigma Σ as summation symbol).[1] For example, the expression {displaystyle textstyle prod _{i=1}^{6}i^{2}}is another way of writing {displaystyle 1cdot 4cdot 9cdot 16cdot 25cdot 36}.[2]

The product of a sequence consisting of only one number is just that number itself; the product of no factors at all is known as the empty product, and is equal to 1.

Commutative rings[edit]

Commutative rings have a product operation.

Residue classes of integers[edit]

Residue classes in the rings Z/NZ can be added:

{displaystyle (a+Nmathbb {Z} )+(b+Nmathbb {Z} )=a+b+Nmathbb {Z} }

and multiplied:

{displaystyle (a+Nmathbb {Z} )cdot (b+Nmathbb {Z} )=acdot b+Nmathbb {Z} }

Convolution[edit]

The convolution of the square wave with itself gives the triangular function

Two functions from the reals to itself can be multiplied in another way, called the convolution.

If

{displaystyle int limits _{-infty }^{infty }|f(t)|,mathrm {d} t<infty qquad {mbox{and}}qquad int limits _{-infty }^{infty }|g(t)|,mathrm {d} t<infty ,}

then the integral

{displaystyle (f*g)(t);:=int limits _{-infty }^{infty }f(tau )cdot g(t-tau ),mathrm {d} tau }

is well defined and is called the convolution.

Under the Fourier transform, convolution becomes point-wise function multiplication.

Polynomial rings[edit]

The product of two polynomials is given by the following:

{displaystyle left(sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}right)cdot left(sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}right)=sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}}

with

c_k = sum_{i+j=k} a_i cdot b_j

Products in linear algebra[edit]

There are many different kinds of products in linear algebra. Some of these have confusingly similar names (outer product, exterior product) with very different meanings, while others have very different names (outer product, tensor product, Kronecker product) and yet convey essentially the same idea. A brief overview of these is given in the following sections.

Scalar multiplication[edit]

By the very definition of a vector space, one can form the product of any scalar with any vector, giving a map {displaystyle mathbb {R} times Vrightarrow V}.

Scalar product[edit]

A scalar product is a bi-linear map:

{displaystyle cdot :Vtimes Vrightarrow mathbb {R} }

with the following conditions, that {displaystyle vcdot v>0} for all {displaystyle 0not =vin V}.

From the scalar product, one can define a norm by letting {displaystyle |v|:={sqrt {vcdot v}}}.

The scalar product also allows one to define an angle between two vectors:

{displaystyle cos angle (v,w)={frac {vcdot w}{|v|cdot |w|}}}

In n-dimensional Euclidean space, the standard scalar product (called the dot product) is given by:

{displaystyle left(sum _{i=1}^{n}alpha _{i}e_{i}right)cdot left(sum _{i=1}^{n}beta _{i}e_{i}right)=sum _{i=1}^{n}alpha _{i},beta _{i}}

Cross product in 3-dimensional space[edit]

The cross product of two vectors in 3-dimensions is a vector perpendicular to the two factors, with length equal to the area of the parallelogram spanned by the two factors.

The cross product can also be expressed as the formal[a] determinant:

{displaystyle mathbf {utimes v} ={begin{vmatrix}mathbf {i} &mathbf {j} &mathbf {k} \u_{1}&u_{2}&u_{3}\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}}

Composition of linear mappings[edit]

A linear mapping can be defined as a function f between two vector spaces V and W with underlying field F, satisfying[3]

{displaystyle f(t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2})=t_{1}f(x_{1})+t_{2}f(x_{2}),forall x_{1},x_{2}in V,forall t_{1},t_{2}in mathbb {F} .}

If one only considers finite dimensional vector spaces, then

{displaystyle f(mathbf {v} )=fleft(v_{i}mathbf {b_{V}} ^{i}right)=v_{i}fleft(mathbf {b_{V}} ^{i}right)={f^{i}}_{j}v_{i}mathbf {b_{W}} ^{j},}

in which bV and bW denote the bases of V and W, and vi denotes the component of v on bVi, and Einstein summation convention is applied.

Now we consider the composition of two linear mappings between finite dimensional vector spaces. Let the linear mapping f map V to W, and let the linear mapping g map W to U. Then one can get

{displaystyle gcirc f(mathbf {v} )=gleft({f^{i}}_{j}v_{i}mathbf {b_{W}} ^{j}right)={g^{j}}_{k}{f^{i}}_{j}v_{i}mathbf {b_{U}} ^{k}.}

Or in matrix form:

g circ f(mathbf{v}) = mathbf{G} mathbf{F} mathbf{v},

in which the i-row, j-column element of F, denoted by Fij, is fji, and Gij=gji.

The composition of more than two linear mappings can be similarly represented by a chain of matrix multiplication.

Product of two matrices[edit]

Given two matrices

{displaystyle A=(a_{i,j})_{i=1ldots s;j=1ldots r}in mathbb {R} ^{stimes r}} and {displaystyle B=(b_{j,k})_{j=1ldots r;k=1ldots t}in mathbb {R} ^{rtimes t}}

their product is given by

{displaystyle Bcdot A=left(sum _{j=1}^{r}a_{i,j}cdot b_{j,k}right)_{i=1ldots s;k=1ldots t};in mathbb {R} ^{stimes t}}

Composition of linear functions as matrix product[edit]

There is a relationship between the composition of linear functions and the product of two matrices. To see this, let r = dim(U), s = dim(V) and t = dim(W) be the (finite) dimensions of vector spaces U, V and W. Let
{displaystyle {mathcal {U}}={u_{1},ldots ,u_{r}}} be a basis of U,
{displaystyle {mathcal {V}}={v_{1},ldots ,v_{s}}} be a basis of V and
{displaystyle {mathcal {W}}={w_{1},ldots ,w_{t}}} be a basis of W. In terms of this basis, let
{displaystyle A=M_{mathcal {V}}^{mathcal {U}}(f)in mathbb {R} ^{stimes r}}
be the matrix representing f : U → V and
{displaystyle B=M_{mathcal {W}}^{mathcal {V}}(g)in mathbb {R} ^{rtimes t}}
be the matrix representing g : V → W. Then

{displaystyle Bcdot A=M_{mathcal {W}}^{mathcal {U}}(gcirc f)in mathbb {R} ^{stimes t}}

is the matrix representing {displaystyle gcirc f:Urightarrow W}.

In other words: the matrix product is the description in coordinates of the composition of linear functions.

Tensor product of vector spaces[edit]

Given two finite dimensional vector spaces V and W, the tensor product of them can be defined as a (2,0)-tensor satisfying:

{displaystyle Votimes W(v,m)=V(v)W(w),forall vin V^{*},forall win W^{*},}

where V* and W* denote the dual spaces of V and W.[4]

For infinite-dimensional vector spaces, one also has the:

  • Tensor product of Hilbert spaces
  • Topological tensor product.

The tensor product, outer product and Kronecker product all convey the same general idea. The differences between these are that the Kronecker product is just a tensor product of matrices, with respect to a previously-fixed basis, whereas the tensor product is usually given in its intrinsic definition. The outer product is simply the Kronecker product, limited to vectors (instead of matrices).

The class of all objects with a tensor product[edit]

In general, whenever one has two mathematical objects that can be combined in a way that behaves like a linear algebra tensor product, then this can be most generally understood as the internal product of a monoidal category. That is, the monoidal category captures precisely the meaning of a tensor product; it captures exactly the notion of why it is that tensor products behave the way they do. More precisely, a monoidal category is the class of all things (of a given type) that have a tensor product.

Other products in linear algebra[edit]

Other kinds of products in linear algebra include:

  • Hadamard product
  • Kronecker product
  • The product of tensors:
    • Wedge product or exterior product
    • Interior product
    • Outer product
    • Tensor product

Cartesian product[edit]

In set theory, a Cartesian product is a mathematical operation which returns a set (or product set) from multiple sets. That is, for sets A and B, the Cartesian product A × B is the set of all ordered pairs (a, b)—where a ∈ A and b ∈ B.[5]

The class of all things (of a given type) that have Cartesian products is called a Cartesian category. Many of these are Cartesian closed categories. Sets are an example of such objects.

Empty product[edit]

The empty product on numbers and most algebraic structures has the value of 1 (the identity element of multiplication), just like the empty sum has the value of 0 (the identity element of addition). However, the concept of the empty product is more general, and requires special treatment in logic, set theory, computer programming and category theory.

Products over other algebraic structures[edit]

Products over other kinds of algebraic structures include:

  • the Cartesian product of sets
  • the direct product of groups, and also the semidirect product, knit product and wreath product
  • the free product of groups
  • the product of rings
  • the product of ideals
  • the product of topological spaces[1]
  • the Wick product of random variables
  • the cap, cup, Massey and slant product in algebraic topology
  • the smash product and wedge sum (sometimes called the wedge product) in homotopy

A few of the above products are examples of the general notion of an internal product in a monoidal category; the rest are describable by the general notion of a product in category theory.

Products in category theory[edit]

All of the previous examples are special cases or examples of the general notion of a product. For the general treatment of the concept of a product, see product (category theory), which describes how to combine two objects of some kind to create an object, possibly of a different kind. But also, in category theory, one has:

  • the fiber product or pullback,
  • the product category, a category that is the product of categories.
  • the ultraproduct, in model theory.
  • the internal product of a monoidal category, which captures the essence of a tensor product.

Other products[edit]

  • A function’s product integral (as a continuous equivalent to the product of a sequence or as the multiplicative version of the normal/standard/additive integral. The product integral is also known as «continuous product» or «multiplical».
  • Complex multiplication, a theory of elliptic curves.

See also[edit]

  • Deligne tensor product of abelian categories – Belgian mathematician
  • Indefinite product
  • Infinite product
  • Iterated binary operation – Repeated application of an operation to a sequence
  • Multiplication – Arithmetical operation

Notes[edit]

  1. ^ Here, «formal» means that this notation has the form of a determinant, but does not strictly adhere to the definition; it is a mnemonic used to remember the expansion of the cross product.

References[edit]

  1. ^ a b Weisstein, Eric W. «Product». mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-16.
  2. ^ «Summation and Product Notation». math.illinoisstate.edu. Retrieved 2020-08-16.
  3. ^ Clarke, Francis (2013). Functional analysis, calculus of variations and optimal control. Dordrecht: Springer. pp. 9–10. ISBN 978-1447148203.
  4. ^ Boothby, William M. (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry (2nd ed.). Orlando: Academic Press. p. 200. ISBN 0080874398.
  5. ^ Moschovakis, Yiannis (2006). Notes on set theory (2nd ed.). New York: Springer. p. 13. ISBN 0387316094.

Bibliography[edit]

  • Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
Источник

Умножение натуральных чисел

  • Множимое, множитель и произведение
  • Проверка умножения

Умножение — это арифметическое действие, с помощью которого находят сумму одинаковых слагаемых.

Пример. Во дворе посадили  3  ряда ёлок, по  4  ёлки в каждом ряду. Сколько ёлок посадили во дворе?

Чтобы ответить на этот вопрос, надо найти сумму  3  слагаемых, каждое из которых равно  4.

4 + 4 + 4 = 12.

Складывая  3  раза по  4  ёлки, мы получим общее количество ёлок во всех трёх рядах.

Умножить – значит повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц.

Для записи умножения используется знак  х  (косой крест)  или  ·  (точка),  который ставится между числами. Например:

4 х 3   или   4 · 3

Эта запись означает, что  4  надо умножить на  3.  Справа от записи умножения ставится знак  =  (равно),  после которого записывается полученный результат:

4 · 3 = 12.

Умножение – это краткая запись сложения одинаковых слагаемых.

Пример. Умножить  6  на  5  — это значит найти сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно шести:

6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30.

Сократим запись, заменив сложение на умножение:

6 · 5 = 30.

Оба выражения равны:

6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 · 5 = 30,

но для краткости записей лучше всегда использовать умножение, когда число одинаковых слагаемых больше двух.

Множимое, множитель и произведение

Множимое — это число, которое умножают. Множитель — это число, на которое умножают. Например, в записи:

4 · 3,

4  — это множимое,  3  — множитель. Множимое является числом, которое выступает в качестве слагаемого. Множитель — это число, которое указывает количество одинаковых слагаемых.

Произведение — это число, которое получается в результате умножения. Например, в записи:

4 · 3 = 12,

12  — это произведение. При этом сама запись  4 · 3  тоже называется произведением.

множимое, множитель и произведение

Эту запись можно прочитать так:  произведение четырёх и трёх равно двенадцати,  четыре умножить на три равно двенадцати,  по четыре взять три раза, получится двенадцать.

Множимое и множитель иначе называются множителями или сомножителями.

Проверка умножения

Рассмотрим выражение:

4 · 3 = 12,

где  4  — это множимое,  3  — это множитель, а  12  — произведение. Чтобы узнать правильно ли было выполнено умножение, можно:

  1. Разделить произведение на множитель, если получится число, равное множимому, то умножение было выполнено верно:

    12 : 3 = 4.

  2. Разделить произведение на множимое, если получится число, равное множителю, то умножение выполнено верно:

    12 : 4 = 3.

Умножение двух чисел можно проверить делением, для этого произведение делят на один из сомножителей, если частное окажется равно другому сомножителю, то умножение выполнено верно.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как исправить помятый лист бумаги
  • Как найти пересечение прямых на координатной плоскости
  • Как составить чат бот
  • Как найти одинаковые фамилии в excel
  • Как найти площадь ромба через окружность