Как найти произведение членов геометрической прогрессии

P_n= (b_1 cdot b_n)^ frac {n}{2},

b₁ — первый член прогрессии,

b_n — n член прогрессии,

n — номер члена

Содержание

q — знаменатель геометрической прогрессии (от лат. qwoti — частное).
$$
b_n = b_{n-1} cdot q\[10pt]
b_n = b_{1} cdot q^{n-1}
$$

Если $ b_{1}>0$ и $ q>1$, прогрессия является возрастающей последовательностью, если $ 0<q<1$, — убывающей последовательностью, а при $q<0$  — знакочередующейся.

Пример 1.

Пример 2.
Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.

Пример 3.

The Quadrature of the Parabola — Wikipedia

Пример 4. Фракталы — Кривая Коха (снежинка Коха)

Берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырёх звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха.

Непрерывна, но нигде не дифференцируема.

Koch snowflake — Wikipedia

Площадь снежинки Коха составляет 8/5 площади оригинального треугольника.

Площадь внутри снежинки Коха можно описать как объединение бесконечного числа равносторонних треугольников (см. рисунок).
Каждая сторона зеленого треугольника = 1/3 длины стороны большого синего треугольника,
и поэтому площадь зеленого = 1/9 площади синего. Аналогично, каждый желтый треугольник имеет площадь = 1/9 площади зеленого треугольника, и так далее.
Возьмем синий треугольник за единицу площади, общая площадь снежинки равна

$ 1,+,3left({frac {1}{9}}right),+,12left({frac {1}{9}}right)^{2},+,48left({frac {1}{9}}right)^{3},+,cdots .$

The first term of this series represents the area of the blue triangle, the second term the total area of the three green triangles, the third term the total area of the twelve yellow triangles, and so forth. Excluding the initial 1, this series is geometric with constant ratio r = 4/9. The first term of the geometric series is a = 3(1/9) = 1/3, so the sum is

$ 1,+,{frac {a}{1-r}};=;1,+,{frac {frac {1}{3}}{1-{frac {4}{9}}}};=;{frac {8}{5}}.$

Характеристическое свойство: числовая последовательность ${b_n}$ является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда любой член этой последовательности, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов.
$$
b_n^2 = b_{n-1} cdot b_{n+1} \[10pt]
|b_n| = sqrt{b_{n-1} cdot b_{n+1}}\[20pt]

b_k cdot b_l = b_m cdot b_n ; text{ если } ; k+l = m + n
$$

Свойство:
Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

$ P_{n}=(b_{1}cdot b_{n})^{frac n 2 }$

$$
S_n = frac {b_{1} (q^n-1)} {q-1}, quad q ne 1
$$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии, в которой |q| < 1, равна первому члену, деленному на 1 — знаменатель прогрессии.
$$ text{при } |q|<1 : quad S = frac {b_1}{1-q}
$$

Равенство это имеет необычный характер, так как в левой его части мы не можем буквально сложить всё «бесконечное множество» слагаемых. Оно выражает лишь то, что чем больше слагаемых левой части мы сложим, тем меньше наша сумма будет отличаться от $frac {b_1}{1-q}$.

В учебнике Виленкина упоминается «Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии выражается формулой…» — это неверно, так как при отрицательных q, |q|<1, получаем знакочередующуюся последовательность, которая не может быть убывающей

Первоначальная формулировка: если $|q|<1$, то при неограниченном возрастании числа $n$ сумма $S_n$ стремится к числу $frac{b_1}{1-q}$. Это число называется суммой бесконечной геометрической прогрессии при |q|<1.

Cумма геометрической прогрессии со знаменателем q, b=1 :

$$S=1 + q +q^2+cdots=1+q(1+q+cdots) = 1+qcdot S$$

Отсюда выразить S.

Эта же техника может быть использована при вычислении любых самоподобных выражений.

Формула суммы сходящейся геометрической прогрессии была известна до Эйлера.

$$ S = frac {b_{n+1}-b_1}{q-1}
$$

Обращение бесконечных периодических дробей в обыкновенные дроби:

$0,(7) = 0,7+0,07+0,007+ldots = 0,7 / (1-0.1) = 7/10 / (9/10) = 7/9$

$0.9999ldots ;=;{frac {9}{9}};=;1.$

см. также 0.999… — Wikipedia

q=1/2, S=1:

q=1/4, S=1/3:

Сходимость геометрической прогрессии при q=1/2, b=1/2:

Шахматы – одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные предания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить.

Об одной из подобных легенд и математической составляющей ее содержания мы сегодня и поведём речь. Чтобы понять ее, не нужно вовсе уметь играть в шахматы: достаточно знать, что игра происходит на доске, разграфленной на 64 клетки.

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.

– Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, – сказал царь.– Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

– Повелитель, – сказал Сета,– прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

– Простое пшеничное зерно? – изумился царь.

– Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, за шестую – 32…

–Довольно, – с раздражением прервал его царь.– Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.

– Повелитель, – был ответ, – приказание твое исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.

Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно.

Вечером, отходя ко сну, царь еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.

– Повелитель, – ответили ему,– математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.

– Почему медлят с этим делом? – гневно воскликнул царь. – Завтра, прежде чем я проснусь, все до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю.

Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение. Царь приказал ввести его.

– Прежде чем скажешь о твоем деле, – объявил Шерам,– я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.

– Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час,– ответил старик.– Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико…

– Как бы велико оно ни было, – надменно перебил царь, житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана…

– Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни. Пусть все пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду. С изумлением внимал царь словам старца.

– Назови же мне это чудовищное число, – сказал он в раздумье.

– Восемнадцать квинтиллионов четыреста сорок шесть квадриллионов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель!

S = 18 446 744 073 709 551 615.

Это количество зерна примерно в 1800 раз превышает мировой урожай пшеницы за год (в 2008 – 2009 аграрном году урожай составил 686 млн тонн), то есть превышает весь урожай пшеницы, собранный за всю историю человечества.

Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но он легко мог бы, будь он силен в математике, освободиться от столь обременительного долга. Для этого нужно было лишь предложить Сете самому отсчитать себе зерно за зерном всю причитавшуюся ему пшеницу.

В самом деле: если бы Сета, принявшись за счет, вел его непрерывно день и ночь, отсчитывая по зерну в секунду, он в первые сутки отсчитал бы всего 86 400 зерен. Чтобы отсчитать миллион зерен, понадобилось бы не менее 10 суток неустанного счета. Один кубический метр пшеницы он отсчитал бы примерно за полгода. И осталось бы отсчитать ещё 1 499 999 999 999 м3. Вы видите, что, посвятив счету даже весь остаток своей жизни, Сета получил бы лишь ничтожную часть потребованной им награды.

Стремительное возрастание значений величины, подобное тому, которое мы наблюдали, в математике называется экспоненциальным ростом.

Экспоненциальный рост – возрастание величины, когда скорость роста пропорциональна значению самой величины. Говорят, что такой рост подчиняется экспоненциальному закону. В случае дискретной области определения с равными интервалами его еще называют геометрическим ростом (значения функции образуют геометрическую прогрессию). 

Для любой экспоненциально растущей величины чем большее значение она принимает, тем быстрее растет. Также это означает, что величина зависимой переменной и скорость ее роста прямо пропорциональны.

Примером экспоненциального роста может быть рост числа бактерий в колонии до наступления ограничения ресурсов.

Экспоненциальный рост противопоставляется более медленным (на достаточно длинном промежутке времени) линейной или степенной зависимостям.

Геометрическая прогрессия бывает убывающей, если знаменатель по модулю меньше единицы.

число $q^n$ при достаточно больших n может стать сколь угодно малым.
И с ростом n сумма n членов геометрической прогрессии $S_n = b_1 (1 – q^n) / (1 – q)$ становится ближе к числу $S = b_1 / (1 – q)$. (Так рассуждал, например, Ф. Виет). Число S называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Тем не менее, долгие века вопрос о том, какой смысл имеет суммирование ВСЕЙ геометрической прогрессии, с ее бесконечным числом членов, не был достаточно ясен математикам.

Убывающую геометрическую прогрессию можно видеть, например, в апориях Зенона «Деление пополам» и «Ахиллес и черепаха». В первом случае наглядно показывается, что вся дорога (предположим, длины 1) является суммой бесконечного числа отрезков 1/2, 1/4, 1/8 и т. д. Так оно, конечно, и есть с точки зрения представлений о конечной сумме бесконечной геометрической прогрессии. И все же – как такое может быть?

Прогрессия с коэффициентом 1/2

В апории про Ахиллеса ситуация чуть более сложная, т. к. здесь знаменатель прогрессии равен не 1/2, а какому-то другому числу. Пусть, например, Ахиллес бежит со скоростью v, черепаха движется со скоростью u, а первоначальное расстояние между ними равно l. Это расстояние Ахиллес пробежит за время l/v, черепаха за это время сдвинется на расстояние lu/v. Когда Ахиллес пробежит и этот отрезок, дистанция между ним и черепахой станет равной $l (u/v)^2$, и т. д. Получается, что догнать черепаху – значит найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом l и знаменателем u/v. Эта сумма – отрезок, который в итоге пробежит Ахиллес до места встречи с черепахой – равен $l / (1 – u/v) = lv / (v – u)$. Но, опять-таки, как надо интерпретировать этот результат и почему он вообще имеет какой-то смысл, долгое время было не очень ясно.

От апорий Зенона один шаг до понятий предела, предельного перехода, производной и интеграла — но на этот шаг человечеству понадобилось 2000 лет. Через 300 лет после того, как это шаг сделан и подробно изложен в учебниках для средней школы, […] смотрят на апории как баран на новые ворота.

Предел складывания бумаги пополам — физический феномен, суть которого состоит в том, что лист обычной бумаги размера А4 можно сложить пополам не более 7 раз. Он происходит из-за быстроты роста показательной функции.

Если бумагу сложили пополам пять раз, то количество слоёв будет два в степени пять, то есть тридцать два.

Если бумагу сложили пополам 7 раз, то количество слоёв будет два в степени 7, то есть 128.

На обычном листе А4 закон подтвердился, тогда исследователи проверили закон на огромном листе бумаги. Лист размером с футбольное поле (51,8×67,1 м) им удалось сложить 8 раз без специальных средств (11 раз с применением катка и погрузчика). По утверждению поклонников телепередачи, калька от упаковки офсетной печатной формы формата 520×380 мм при достаточно небрежном складывании без усилий складывается восемь раз, с усилиями — девять.

Уже в Древнем Египте знали не только арифметическую, но и геометрическую прогрессию. Вот, например, задача из папируса Райнда: «У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»

решение.

Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего 74 = 2401 колосьев, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19 607.

Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.

Найти сумму первых 20 членов:
$$2+22+222+2222+ldots$$

Решение

Учебники:
Кравчук Алгебра 9 класс, раздел 4 (с. 164)
Виленкин Алгебра 9 класс (угл) 2006, с.251 — вводятся понятия предела последовательности и математической индукции

Арифметическая прогрессия

• Общий вид геометрической прогрессии

• Свойства и формулы геометрической прогрессии