Download Article
Download Article
Factorials, denoted by a 
sign, are products of a whole number and all of the whole numbers below it. It is easy to calculate and multiply two factorials using a scientific calculator’s 
function. You can also multiply factorials by hand. The easiest way to do it is to calculate each factorial individually, and then multiply their products together. You can also use certain rules of factorials to pull out common factors, which can simplify the multiplication process.
-
1
Identify a factorial. A factorial, denoted by a whole number with an exclamation point, is the product of a series of sequential whole numbers.[1]
- For example, is a factorial.
- For example,
-
2
Evaluate a factorial using a formula. The formula is
.[2]
This means that you extend the sequence of numbers until you get to 1.- For example,
Advertisement
- For example,
-
3
Advertisement
-
1
Calculate the first factorial. Use a calculator for larger numbers. If calculating by hand, make sure you multiply each sequential number, down to 1. Rewrite the equation with this product in parentheses as the first factor.[5]
-
2
Calculate the second factorial. You can do this by calculator or by hand, beginning on the complexity of the factorial. Rewrite the equation with this product as the second factor.[6]
-
3
Multiply the two factorials’ products. This will give you the product of the two factorials. Since factorials tend to be large numbers, using a calculator will make this calculation easier.[7]
Advertisement
-
1
Use a formula to factor out the largest common factorial. The formula is
.[8]
This means that a smaller factorial is a factor of a larger factorial.[9]
For example,. When you are multiplying two factorials, the largest common factorial is the smaller of the two factorials.
-
2
Rewrite the equation, showing the common factorial as a squared value. Then, calculate the factorial and square its product.[10]
-
3
Multiply the remaining factors. The result will be the product of the two original factorials.[11]
Advertisement
Add New Question
-
Question
How do I multiply two factorials so that the end product is also a factorial? I.e. 3! X 5!
There is no general rule covering this situation. In your example, however, (3!)(5!) = 720 = 6!.
-
Question
What is multiplication of any number by 2 factorial?
Multiplying by 2! means multiplying by 2.
-
Question
How do I answer this one? (k+1)! + (k+1)!
Multiply (k+1)! by two.
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
Video
Thanks for submitting a tip for review!
About This Article
Thanks to all authors for creating a page that has been read 101,305 times.
Did this article help you?
Содержание
- — Каково произведение двух факториалов?
- — Как вы запоминаете факториалы?
- — Что такое факториал 5?
- — Сколько 100 факториалов?
- — Что такое факториал 1?
- — Что такое факторный продукт?
- — Сколько нулей у 99 факториала?
- — Как решить 18 факториал?
Каково произведение двух факториалов?
единственный известный факториал, который является произведением двух факториалов: 10! =6! 7!
Как вы запоминаете факториалы?
Факториал определяется как (n) x (n — 1) x (n — 2) x…..
…
Примеры: (! — факториальная запись):
- = 1,
- = 2 х 1 = 2,
- = 3 х 2 х 1 = 6,
- = 4 х 3 х 2 х 1 = 24,
- = 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120,
- = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 и т. Д.
Что такое факториал 5?
Чтобы найти 5 факториалов или 5 !, просто используйте формулу; то есть умножьте все целые числа от 5 до 1. 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120. Когда мы используем формулу для нахождения 5 !, мы получаем 120. Итак, 5!
Сколько 100 факториалов?
Его можно легко вычислить на любом языке программирования. Но Факториал 100 имеет 158 цифр.
Что такое факториал 1?
Факториал — это величина, определенная для любого целого числа n, большего или равно 0. Факториал — это произведение всех целых чисел, меньших или равных n, но больших или равных 1. Факториал 0 по определению равен 1.
Что такое факторный продукт?
Факториал в математике произведение всех положительных целых чисел, меньших или равных данному положительному целому числу и обозначается этим целым числом и восклицательным знаком. … Факториал ноль определяется как равный 1.
Сколько нулей у 99 факториала?
Количество завершающих нулей в 99! является 22. Количество цифр в факториале 99 — 156.
Как решить 18 факториал?
Что такое факториал 18? 18! знак равно 6402373705728000.
Интересные материалы:
Как вы разбиваетесь в бассейне?
Как вы разблокируете истории YouTube?
Как вы раздаете IPA на тестирование?
Как вы разделяете блоки?
Как вы разделяете части видео?
Как вы разделяете персонажей?
Как вы разделяете предметы в инвентаре?
Как вы разделяете предметы в Вестерии?
Как вы разделитесь в Агарио?
Как вы разглаживаете кожу в iMovie?
#статьи
- 19 май 2023
-
0
Что такое факториал и как его вычислить
Статья, после которой вы начнёте щёлкать факториалы как орешки.
Иллюстрация: Катя Павловская для Skillbox Media
Любитель научной фантастики и технологического прогресса. Хорошо сочетает в себе заумного технаря и утончённого гуманитария. Пишет про IT и радуется этому.
Даже если вы уже давно окончили школу, факториалы всё равно могут доставить немало приятных флешбэков — например, если вы обучаетесь программированию и знакомитесь с задачками на рекурсию или комбинаторику. Поэтому мы решили максимально просто объяснить, что такое факториал, как его вычислять и зачем он вообще нужен.
Эта статья будет полезна как опытным программистам, которые хотят освежить знания, так и тем, кто ещё учится: школьникам, студентам и совсем зелёным джунам.
Содержание:
- Что такое факториал
- Для чего он нужен
- Основные свойства и формулы
- Шпаргалка: таблица факториалов
- Решаем задачи на факториалы
- Что запомнить
Факториал числа n — это произведение всех натуральных чисел от единицы до n. Обозначается факториал символом восклицательного знака: !.
Это определение из учебника, и оно пока звучит сложновато — неясно, зачем эти факториалы вообще нужны и как они могут пригодиться в науке и технике. Но об этом чуть позже — для начала давайте посмотрим на примеры факториалов:
Чтобы вычислить их, нам нужно перемножить все числа от единицы до числа, стоящего под знаком факториала — так гласит определение. Получаем выражения:
Ещё в математическом определении сказано, что факториал не может быть отрицательным или дробным — то есть вот такие факториалы вычислить нельзя:
Факториалы незаменимы там, где нужно быстро посчитать количество комбинаций и сочетаний разных предметов. В математике этому посвящён даже целый раздел — комбинаторика. Её методы используют много где: от лингвистики до криптографии и анализа ДНК. И во всех этих сферах факториал помогает упрощать сложные вычисления.
Разберём на примере, как это работает.
Допустим, у вас есть пять шоколадок и вы решили раздать их пяти друзьям — каждому по одной. Задача — выяснить, сколько существует способов раздать эти шоколадки. Начинаем размышлять:
- первую шоколадку можно отдать одному из пяти друзей;
- вторую — одному из четырёх друзей, потому что один уже получил свою шоколадку;
- третью — одному из трёх, потому что двое уже наслаждаются своими шоколадками;
- четвёртую — одному из двух;
- пятую — последнему другу.
Получается, что способов раздать первую шоколадку — 5, вторую — 4, третью — 3, четвёртую — 2, а пятую — всего 1. По правилам математики, чтобы выяснить общее количество всех вариантов, нужно перемножить их между собой. Ну а кто мы такие, чтобы с этими правилами спорить?
Смотрим на выражение выше и понимаем: ведь оно идеально вписывается в определение факториала — произведение натуральных чисел от одного до n (в нашем случае n равно 5). Следовательно, это выражение можно коротко и изящно записать в виде факториала:
Выходит, что всего способов раздать пять шоколадок пяти друзьям существует 120. Вот как может выглядеть один из них:
Конечно, в жизни вам вряд ли придётся считать количество способов раздать друзьям шоколадки. Но, например, в статистике, теории вероятностей, матанализе и программировании факториалы используют сплошь и рядом. Так что, если видите себя в будущем на матмехе или, на худой конец, в IT, то лучше познакомиться с ними хотя бы бегло.
Так как факториалы используются в разных областях математики, свойств у них довольно много — каждая область привносит какие-то свои методы вычислений. Одно из свойств вы уже знаете: факториал — это всегда целое положительное число. Вот ещё несколько, которые стоит запомнить:
- Факториал нуля равен единице — 0! = 1.
- Факториал единицы тоже равен единице: 1! = 1.
- Рекурсия: n! = (n – 1)! × n. Это основное свойство факториалов, о нём мы чуть подробнее поговорим дальше.
Мы видим, что каждое свойство описывается какой-то формулой — и некоторые из этих формул могут быть весьма полезны. Они позволяют нам находить факториалы проще и быстрее, чем простым перемножением натуральных чисел. Разберём эти формулы тоже.
Чтобы вычислить факториал, не используя так много операций умножения, придумали формулу Стирлинга. Вот как она выглядит:
Выглядит страшно, но на самом деле она очень полезная. Её используют, когда хотят приблизительно узнать факториал большого числа. Обычным способом это будет сделать сложно даже мощному компьютеру — например, попробуйте посчитать в онлайн-калькуляторе факториал числа 10 024 (спойлер: это может занять несколько часов и даже дней).
Скришнот: «Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн» / Skillbox Media
Давайте попробуем вычислить факториал числа 6 по этой формуле:
Число e примерно равно 2,71, а π — 3,14. Подставляем их в выражение и получаем ответ:
Получили приближённое значение настоящего факториала, который равен 720. Но можно сделать ответ и более точным. Для этого нужно добавить больше знаков после запятой всем переменным — например, если взять 20 знаков, то ответ будет таким:
Это уже больше похоже на правду. Хотя погрешность всё равно есть.
Рекуррентная формула позволяет вычислить факториал числа n, основываясь на факториале предыдущего числа — (n – 1). Выглядит она так:
В целом рекуррентная формула не приносит нам большой пользы, так как всё равно приходится вычислять факториал предыдущего числа. Если он равен какому-то большому числу (например, 100), то использование формулы теряет смысл — слишком уж много вычислений это потребует.
Рекуррентная формула основана на главном свойстве факториалов — рекурсии: n! = (n – 1)! × n. Это свойство особенно полезно при решении задач по комбинаторике: так мы можем быстро сокращать факториалы и упрощать выражения.
Однако рекуррентная формула хорошо подходит для алгоритмов — в частности, для программирования. Мы можем задать начальное значение: например, что 0! = 1 или 1! = 1, а затем считать следующие факториалы по формуле:
Получим алгоритм для вычисления факториалов. Не очень эффективный, но простой.
Давайте вычислим по этой формуле факториал числа 4. Сначала распишем рекуррентную формулу до базового значения — факториала числа 1:
Можно записать это и в сокращённом виде:
Теперь последовательно подставляем значение факториала, которое мы уже знаем, и вычисляем результат:
Получили ответ — 24. Ничего сложного, просто перемножаем числа.
Кстати, всю эту формулу можно обернуть в реально работающую функцию на языке Python:
def factorial(n): # Определяем функцию if n == 0 or n == 1: # Базовый случай return 1 else: # Рекуррентный случай return factorial(n-1) * n # Вызываем эту же функцию, но с меньшим аргументом print(factorial(4)) # Печатаем факториал 4 # Вывод: # 24
Можете попробовать запустить её в онлайн-интерпретаторе и посмотреть, как работает. Тут есть один нюанс: Python не даст вам посчитать факториал числа больше 998, так как у него есть ограничение на количество вызовов функции — в программировании это называется глубиной рекурсии.
Чтобы быстро находить, чему равен факториал, можно запомнить или сохранить в заметки вот такую табличку. Она рассчитана всего на 12 чисел, но для большинства учебных задач этого хватит.
| 1! | 1 |
| 2! | 2 |
| 3! | 6 |
| 4! | 24 |
| 5! | 120 |
| 6! | 720 |
| 7! | 5040 |
| 8! | 40 320 |
| 9! | 362 880 |
| 10! | 3 628 800 |
| 11! | 39 916 800 |
| 12! | 479 001 600 |
С теорией вроде разобрались — теперь попробуем решить несколько задач с факториалами, чтобы закрепить знания на практике.
Задача: перемножить два факториала.
Решение:
Сперва нужно вычислить значения факториалов, а затем перемножить полученные значения:
Обратите внимание: во второй строке мы применили рекуррентную формулу, чтобы быстрее вычислить факториал числа 7.
Задача: вычесть из одного факториала другой.
Решение:
Используем тот же подход, что и в предыдущей задаче: сначала вычисляем факториалы, а затем получаем ответ на всё выражение.
Вроде бы ничего сложного, главное — не запутаться в умножении.
Задача: умножить один факториал на другой:
Решение:
Вычисляем факториалы, потом перемножаем их значения:
Во второй строке мы воспользовались таблицей выше и быстро нашли значение факториала от числа 8.
Задача: сократить дробь и вычислить её значение.
Решение:
Здесь мы воспользуемся рекуррентной формулой для вычисления факториала и разложим верхний факториал на множители:
В первой строке мы применили рекуррентную формулу два раза, а во второй — просто сократили одинаковые факториалы в числителе и в знаменателе.
Задача: сократить дробь.
Решение:
Хотя здесь нет конкретных чисел, но принцип решения остаётся таким же: используем рекуррентную формулу и сокращаем одинаковые значения в числителе и знаменателе.
Главное — не запутаться и правильно применить рекуррентную формулу.
- Факториал — это произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа. Например, факториал числа 5 будет равен 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.
- Его используют во многих областях науки — например, комбинаторике, теории вероятностей и математическом анализе.
- Помимо стандартной формулы для вычисления факториала можно использовать формулы Стирлинга и рекуррентную формулу.
- Формула Стирлинга нужна для того, чтобы посчитать факториал без большого числа операций умножения.
- Рекуррентная формула позволяет вычислить факториал на основе предыдущего факториала.
Научитесь: Профессия Data Scientist
Узнать больше
Математическая формула представлена восклицательным знаком «!». Термин был введен в 1800 году, а обозначение появилось только в 1808. В формуле нужно умножить все целые числа от 1 до значения самого числа, стоящего под знаком факториала.
Это очень просто, вот пример:
7! = 1 * … * 7 = 5040.
Факторизация — разложение функции на множители.
Таблица факториалов
Свойства факториалов
Рекуррентная формула
Комбинаторная интерпретация
Функция n может интерпретироваться как количество перестановок. К примеру, для 3-х элементов есть 3! = 6 перестановки.
Формула Стирлинга
Позволяет не перемножать большие числа. Обычно необходим только главный член:
Можно ли вычислить 0,5 или -3,217? Нет, нельзя. Но можно использовать нечто под названием «Гамма-функция», что намного сложнее.
Расчет по предыдущему значению
Функцию легко вычислить из предыдущего значения:
-
3! = 3 × 2! = 6;
-
41160 = 5! +8! + 6!
А как вычислить факториал нуля? Если вернуться к определению, то видно, что применять его в случае «0» нет смысла. Положительных чисел до 0 нет, поэтому 0 x 0 = 0.
Однако было решено, что в случае 0 результат будет равен 1.
Некоторые очень большие значения
Онлайн калькулятор поможет сделать вычисление – всего лишь надо найти знак, похожий на «x!» или «n!». Нужно обратить внимание, что браузеры могут испытывать затруднения при попытке отобразить более крупные числа и может произойти сбой.
Некоторые браузеры могут не позволять копировать, поэтому необходимо будет загрузить большие результаты в виде текстового файла.
Примеры вычисления факториалов больших чисел:
-
70! приблизительно 1 19785716669969869891796072783721 x 10100, что немного больше, чем «гуголь» (1 и 100 нулей);
-
100! это примерно 9 33262154444944152681699238856 x 101576 x 10157;
-
200! это примерно 7 88657867867364479050355236321393 x 103743.
Как найти функцию в Паскаль? Вычисление легко реализуется на разных языках программирования. Можно выбрать два метода: итеративный, то есть он создает цикл, в котором временная переменная умножается на каждое натуральное число от 1 до n, или рекурсивный, в котором функция вызывает себя до достижения базового варианта 0! = 1.
Программа на языке Паскаль:
На языке Си вычисления делаются с помощью рекурсивной функции. Следует заметить, что если начать вычислять факториал отрицательного числа в неаккуратно написанной функции, то это приведет к зацикливанию.
Факториал дроби (½) — это половина квадратного корня pi = (½)√π.
Примеры задач с решениями
Задание 1
Задание 2
Использование факториалов
Математика и многие ее области используют функцию. В комбинаторике функция была введена именно для расчета перестановки. Также понятие тесно связано с биномом ньютона (формула бинома Ньютона необходима для разложения степени (x + y) n в многочлен).
Можно ли умножать Факториалы?
Можно ли умножать Факториалы?
Факториалы обозначаются математическим знаком и представляют собой произведение целого числа на все целые числа, меньшие его. Два факториала легко вычислить с помощью функции научного калькулятора. Однако их также можно умножить вручную.
Что такое Факториал в каком классе?
5-й класс
Как считать факториал?
Факториал натурального числа – это число, умноженное на «себя минус один» , затем на «себя минус два» , и так далее до 1 . Факториал n обозначается как n!
Что такое 5 Факториал?
Таблица факториалов
| 1! | 1 |
|---|---|
| 4! | 24 |
| 5! | 120 |
| 6! | 720 |
| 7! | 5 040 |
Чему равен N 1 Факториал?
Факториал натурального числа n (обозначение – “n! “) равен произведению всех натуральных чисел от 1 до n включительно.
Сколько нулей в конце числа 1000 Факториал?
Каким количеством нулей заканчивается факториал тысячи, то есть число, равное произведению всех натуральных чисел от одного до тысячи? Ответ: Число заканчивется 249 нулями.
Сколько нулей будет при умножении?
При умножении чётного числа на число, кончающееся на 5, получается число, оканчивающееся нулём. Чисел, кончающихся на 5 у нас 3 (, произведения чисел перед ними чётные. Значит, получаем три нуля. Так же у нас есть 3 «круглых числа» (, при умножении на которые добавится ещё ноль.
Сколько нулей в произведении всех натуральных чисел от 12 до 40?
Среди простых множителей от 12 до 40 — 6 чисел делятся на 5 без остатка (30,35,40) — это 6 пятерок, кроме того, среди этих чисел есть число 25, которое делится на 5 дважды, тогда 6+1=7 пятерок, так как четных чисел гораздо больше, то произведение всех натуральных чисел от 12 до 40 заканчивается 7 нулями.
Сколько нулей в конце произведения чисел от 1 до 50?
Пошаговое объяснение: 1 ноль от 50, 2 нуля от 25х4=100, 4 нуля от числа десятков 10, 20, 30, 40, 4 нуля от произведения чётных чисел (кроме 4): 5, 15, 35, 45. Итого 11 нулей.
Сколько нулей в конце произведения всех натуральных чисел от 10 до 25?
Ответ: 5 нулей.
Сколько нулей в конце произведения чисел?
Значит в конце произведения будет 6 нулей.
Сколько нулей в произведении всех натуральных чисел от 18 до 45?
Ответ: Ответ: 7 нулей.
Сколько нулей на конце произведения всех чисел от 1 до 20?
Ответ, проверенный экспертом на конце произведения всех чисел от 1 до 20, 4 нуля.
Сколькими нулями заканчивается произведение всех натуральных чисел от 23 до 42?
Поэтому у нас получается 5 пар двоек и пятёрок, то есть произведение всех натуральных чисел от 23 до 42 включительно оканчивается 5 нулями.
Ответ: 5 нулями.
Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел от 34 до 53?
Ответ, проверенный экспертом Ответ: 5 нулей. От 34 до 53 есть число 35, 40, 45 . Когда умножаем этих чисел на четные числа получим по одной нули а 50 умножая на например 44 получим 2 нуля. В итоге 5 нулей.
Сколькими нулями оканчивается произведение чисел 1 * 2 * 3 * 4 * * 85 * 86?
Ответ: 20 нулями.
Как узнать Сколькими нулями оканчивается Факториал?
Ответ: 502 нулями. eddibear3a и 24 других пользователей посчитали ответ полезным!
Сколькими нулями оканчивается число 25?
В образовании нулей участвуют числа, кратные 2 и 5. А чисел, кратных 5 от 1 до 25 — 5 штук. И еще 1 число, кратное 25. Значит нулей в результате будет 6.
Как быстро вычислить факториал? – Обзоры Вики
Точно так же, как вы объясняете факториалы? факториал, в математике произведение всех положительных целых чисел, меньших или равных данному положительному целому числу и обозначаемое этим целым числом и восклицательным знаком.
Таким образом, факториал семь записывается как 7!, что означает 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7. Факториал ноль определяется как равный 1.
Можно ли умножать факториалы? Факториалы, обозначаемые a. … Вы также можете умножить факториалы вручную. Самый простой способ сделать это — вычислить каждый факториал по отдельности, а затем перемножить их произведения вместе. Вы также можете использовать определенные правила факториалов для извлечения общих множителей, что может упростить процесс умножения.
Что такое факториал числа 9? Ответ: Факториал числа 9 равен 362,880.
Во-вторых, как решить 7 факториалов?
- Чтобы получить 6!, умножьте 120 на 6, чтобы получить 720.
- Чтобы получить 7!, умножьте 720 на 7, чтобы получить 5040.
- И так далее.
Для чего используются факториалы в реальной жизни?
Это очень полезно, когда мы пытаясь подсчитать, сколько различных порядков существует для вещей или сколько различных способов мы можем комбинировать вещи.
Например, сколькими различными способами мы можем расположить n вещей? У нас есть n вариантов для первого действия.
тогда для чего в математике используются факториалы? Факториал — это операция умножения любого натурального числа на все натуральные числа, которые меньше его, что дает нам математическое определение n! … Наконец, факториал используется для вопросы, которые просят вас выяснить, сколькими способами вы можете расположить или заказать определенное количество вещей.
Что такое факторный пример? Факториалы (!) произведения каждого целого числа от 1 до n. Другими словами, возьмите число и умножьте его на 1. Например: если n равно 3, то 3! 3 х 2 х 1 = 6.
Можете ли вы распределить факториалы?
Факторное распределение имеет место, когда набор переменных — независимые события. Другими словами, переменные вообще не взаимодействуют; Учитывая два события x и y, вероятность x не изменится, если вы умножите y. Следовательно, вероятность x при условии, что произошло y — P(x|y) — будет такой же, как P(x).
Чему равно произведение 2 факториалов? единственный известный факториал, который является произведением двух факториалов: 10! =6!
Кто изобрел факториал?
Одним из самых основных понятий перестановок и комбинаций является использование факториальной записи. Используя понятие факториалов, многие сложные вещи упрощаются. Использование! был начат Кристиан Крамп в 1808 году.
Что такое факториал 10? Значение факториала 10 равно 3628800, т.е. 10!
Как найти факториал 18?
Что такое факториал 18? 18! знак равно 6402373705728000.
Как решить 5 факториалов?
Чтобы найти факториал 5 или 5!, просто используйте формулу; то есть перемножьте все целые числа от 5 до 1. Когда мы используем формулу для нахождения 5!, мы получаем 120. Итак, 5! = 120.
Как решить фактор? Процесс решения по факторингу потребует четырех основных шагов:
- Переместите все члены в одну сторону уравнения, обычно влево, с помощью сложения или вычитания.
- Полностью разложите уравнение на множители.
- Установите каждый коэффициент равным нулю и решите.
- Перечислите каждое решение из шага 3 как решение исходного уравнения.
Как вы факториализировали факториалы? Ключевые шаги по упрощению факториалов с использованием переменных
- Сравните факториалы в числителе и знаменателе.
- Расширьте больший факториал так, чтобы он включал меньшие в последовательности.
- Сократите общие множители между числителем и знаменателем.
Умеете ли вы делить факториалы?
Разделение факториалов — это именно то, что он утверждает. Это задача на деление с факториалами в числителе и/или знаменателе. Например, следующее выражение представляет собой деление факториалов: 6🇧🇷 🇧🇷 4!
В каком классе вы изучаете факториалы? ИКЛ | факториалы | 7th класс математика
Всегда ли факториалы четны?
Факториал любого числа, кроме 1 и 0, всегда четно.
Какие приложения используют факториал? отдельные объекты: есть. . В математическом анализе факториалы используются в степенных рядах для экспоненциальной функции и других функций, а также находят применение в алгебра, теория чисел, теория вероятностей и информатика.
Фактиарное сложение или умножение?
да. Я предполагаю, что вы имеете в виду, поскольку факториал равен , аддитивный факториал будет . Число в таком виде называется треугольным числом, а формула проста.
Почему мы используем факториалы в вероятности? Факториалы важны, потому что нет! это количество способов перечислить — по порядку — набор из n объектов, которые различимы. Из-за этого он также появляется в других аранжировках — например, в количестве способов выбрать k элементов из набора n (в порядке или иначе).
Факториал — Math28
Содержание
Что такое функция факториала?
Функция факториала представляет собой математическую формулу, представленную восклицательным знаком «! ».
Дан номер n, « n факториал » (записано n! ). Этот восклицательный знак означает, что все положительные целые числа должны быть умножены от заданного числа до числа один, другими словами, это произведение всех положительных целых чисел, меньших или равных «n».
Как вычислить факториал числа?
Чтобы вычислить факториальную функцию числа, мы должны умножить ряд чисел, которые уходят вниз, или вы также можете интерпретировать ряд чисел от числа 1 до числа, из которого вы хотите узнать факториал.
Вас просят найти факториал числа 4, вы также можете сказать «4 факториал», математическое представление будет: 4!
4! = 1 х 2 х 3 х 4
Можно представить и наоборот
4! = 4 х 3 х 2 х 1
Пока вы понимаете каждое число между единицей и числом, из которого вас просят найти факториал, порядок произведений не меняется.
4! = 24
Примечание : рекомендуется размещать числа от большего к меньшему.
Примеры:
5! = 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120
3! = 3 х 2 х 1 = 6
8! = 8 х 7 х 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 40320
2! = 2 x 1 = 2
Упражнение:
А) 7! знак равно
Б) 9! знак равно
С) 1! знак равно
Д) 6! знак равно
Нулевой факториал
Это любопытный факт, и существует несколько математических проверок того, почему нулевой множитель равен 1 (0! = 1), другими словами, нулевой множитель — это частный случай.
Предположим, вы хотите заказать цветные коробки, но у вас 0 коробок для заказа, поэтому есть только один способ комбинирования, так как невозможность что-то заказать рассматривается как возможность.
0! = 1
Применение функции факториала
При вычислении факториала числа он позволяет узнать комбинации и перестановки, с помощью комбинаций можно вычислить вероятности.
Предположим, что в коробке лежат 3 шара разного цвета (красный, синий и зеленый). Сколько комбинаций существует при извлечении 3 шаров?
3! = 6
Есть 6 комбинаций:
- Красный, синий и зеленый.
- Красный, зеленый и синий.
- Синий, красный и зеленый.
- Синий, зеленый и красный.
- Зеленый, красный и синий
- Зеленый, синий и красный
Факториал большого числа
Поскольку значения факторов возрастают по мере увеличения числа «n», удобно использовать методы, позволяющие получить приближенное число.
Формула Стирлинга дает хорошую оценку факториала числа:
н! ≈ (2Π) 1/2 e (-n) n (n + 1/2)
Где:
Получение факториала
Вы собираетесь получить факториал разных чисел, используя разные процедуры.
2 факториал
Процедура с точным результатом:
2! = 2 х 1 = 2
Формула Стирлинга:
2! ≈ (2Π) 1/2 e (-2) 2 (2 + 1/2) ≈ 1,919
3 факториал
Процедура с точным результатом:
3! = 3 х 2 х 1 = 6
Формула Стирлинга:
3! ≈ (2Π) 1/2 e (-3) 3 (3 + 1/2) ≈ 5,836
4 факториал
Процедура с точным результатом:
4! = 4 х 3 х 2 х 1 = 24
Формула Стирлинга:
4! ≈ (2Π) 1/2 e (-4) 4 (4 + 1/2) ≈ 23,506
5 факториал
Процедура с точным результатом:
5! = 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120
Формула Стирлинга:
5! ≈ (2Π) 1/2 e (-5) 5 (5 + 1/2) ≈ 118,019
6 факториал
Процедура с точным результатом:
6! = 6 х 5! = 720
Формула Стирлинга:
6! ≈ (2Π) 1/2 e (-6) 6 (6 + 1/2) ≈ 710,078
7 факториал
Процедура с точным результатом:
7! = 7 х 6! = 5040
Формула Стирлинга:
7! ≈ (2Π) 1/2 e (-7) 7
(7 + 1/2) ≈ 4980,395
8 факториал
Процедура с точным результатом:
8! = 8 х 7! = 40320
Формула Стирлинга:
8! ≈ (2Π) 1/2 e (-8) 8 (8 + 1/2) ≈ 39902,395
9 факториал
Процедура с точным результатом:
9! = 9 х 8! = 362880
Формула Стирлинга:
9! ≈ (2Π) 1/2 e (-9) 9 (9 + 1/2) ≈ 359536,872
10 факториал
Процедура с точным результатом:
10! = 10 х 9! = 3628800
Формула Стирлинга:
10! ≈ (2Π) 1/2 е (-10) 10 (10 + 1/2) ≈ 3598695,618
11 факториал
Процедура с точным результатом:
11! = 11 х 10! = 39916800
Формула Стирлинга:
11! ≈ (2Π)
1/2 e (-11) 11 (11 + 1/2) ≈ 39615625,05
12 факториал
Процедура с точным результатом:
12! = 12 х 11! = 47
00
Формула Стирлинга:
12! ≈ (2Π) 1/2 e (-12) 12 (12 + 1/2) ≈ 475687486,472
Поди-ка!: Таинственная банка для умножения Анно
Факториал — это слово, которое математики используют для описания особого вида числовых отношений.
Факториалы — очень простые вещи. Это просто продукты, обозначенные символом восклицательного знака. Функция факториала (символ: !) означает умножение ряда убывающих натуральных чисел. Например, «факториал пяти» записывается как «5!» (сокращенный метод) и означает 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Факториалы используются для определения количества комбинаций и перестановок, а также для определения вероятности.
Теперь все это может показаться выше вашего математического ума, но позвольте представить вам книгу Таинственный сосуд для умножения Анно Масаичира и Мицумасы Анно. Это история об одной банке и о том, что в ней. Анно начинается с кувшина, в котором находится один остров, две страны, каждая из которых имеет три горы. История продолжается так до тех пор, пока не будет достигнуто 10. Красочные картинки располагаются в границах страницы столько раз, сколько обсуждаемых объектов. Например, когда вводятся четыре королевства, обнесенные стеной, четыре королевства находятся на странице.
Объяснение 10! в конце книги также очень полезно. Даже если дети не понимают изучаемой концепции, они обязательно оценят подробные цветные рисунки и творческий рассказ! Книга лучше всего подходит для детей, которые познакомились хотя бы с основными фактами умножения, но младшим детям понравится считать и рассматривать картинки, даже если остальная часть у них выше головы; Итак, эта книга помогает с навыками умножения, а также с математической концепцией факториалов.
Вы можете дать учащимся рабочий лист, чтобы отслеживать количество островов, комнат и т. д. Последний вопрос: сколько там банок. Будем надеяться, что найдутся студенты, которые поймут понятие факториала, найдут закономерность и найдут ответ!
Вот пример того, как можно использовать факториалы при решении задачи со словами. Сколько различных сочетаний можно составить из букв слова MOVE? Поскольку есть четыре разных буквы и четыре разных пробела, вы бы решили задачу именно так.
____ ____ ____ ____
Четыре возможных пробела
Все четыре буквы могут быть помещены в первый пробел.
Когда первое место заполнено, во втором остается только три буквы. Как только второе место заполнено буквой, остается написать две буквы в третьем месте. Наконец, остается только одна буква, чтобы занять четвертое и последнее место. Следовательно, ответ представляет собой факториал (4!) = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 аранжировки.
Попробуйте решить несколько задач в классе. Начните с воображаемого персонажа, Кэла К. Лейта, который работает в магазине мороженого под названием Flavors. Голодный клиент заказывает тройной рожок мороженого с мороженым Berry, Vanilla и Bubble Gum. Сколькими способами Кэл К. Лайт может сложить вкусы мороженого друг на друга?
Вы можете ответить на этот вопрос, перечислив сверху вниз все возможные порядки трех вкусов мороженого. (Учащиеся могут взять цветные круги цветной бумаги, чтобы физически переставить их.)