Как найти произведение или частное дробей

113. Сумма и разность дробей. Произведение и частное дробей. Возведение дроби в степень.

При сложении обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями складывают их числители, а знаменатель оставляют прежним. Например:

27+37=2+37=57.

Таким же образом складывают любые рациональные дроби с одинаковыми знаменателями:

ac+bc=a+bc,

где а, b и с — многочлены, причем с — ненулевой многочлен.

Это равенство выражает правило сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями:

Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

Вычитание рациональных дробей выполняется аналогично сложению:

ac-bc=a-bc.

Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.

Пример 1. Сложим дроби:

3a-7b15ab+2a+2b15ab=3a-7b+2a+2b15ab=5a-5b15ab=5(a-b)15ab=a-b3ab.

Пример 2. Вычтем дроби:

a2+95a-15-6a5a-15=a2+9-6a5a-15=a-325a-3=a-35.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями сводится к сложению и вычитанию рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого данные дроби приводят к общему знаменателю.

Пример 3. Сложим дроби x4a3b+56ab4.

Знаменатели дробей представляют собой одночлены. Наиболее простым общим знаменателем является одночлен 12а³b⁴. Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей дробей, а каждая переменная взята с наибольшим показателем, с которым она входит в знаменатели дробей. Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны 3b³и 2a².

Имеем

x4a3b+56ab4=x∙3b3+5∙2a212a3b4=3b3x+10a212a3b4.

Пример 4. Преобразуем разность a+3a2+ab-b-3ab+b2.

Чтобы найти общий знаменатель, разложим знаменатель каждой дроби на множители:

a+3a2+ab-b-3ab+b2=a+3a(a+b)-b-3b(a+b).

Простейшим общим знаменателем служит выражение ab(a+b). Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны b и а.

Имеем:

a+3a(a+b)-b-3ba+b=a+3b-b-3aaba+b=ab+3b-ab+3aaba+b=3a+baba+b=3ab.

Преобразование рационального выражения, которое является суммой или разностью целого выражения и дроби, сводится к преобразованию суммы или разности дробей.

Пример 5. Упростим выражение a-1-a2-3a+1

Представим выражение a-1 в виде дроби со знаменателем 1 и выполним вычитание дробей:

a-1-a2-3a+1=a-11-a2-3a+1=a-1a+1-a2-3a+1=a2-1-a2+3a+1=2a+1.

Умножение и деление дробей. Возведение дроби в степень.

При умножении обыкновенных дробей перемножают отдельно их числители и их знаменатели и первое произведение записывают в числителе, а второе — в знаменателе дроби. Например: 23∙45=2∙43∙5=815.

Таким же образом перемножают любые рациональные дроби:

ab∙cd=acbd,

где а, b, с и d — некоторые многочлены, причем b и d — ненулевые многочлены. Это равенство выражает правило умножения рациональных дробей:

чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем дроби.

Пример 6. Умножим дроби a34b2∙6ba2.

Воспользуемся правилом умножения дробей:

a34b2∙6ba2=a3∙6b4b2∙a2=6a3b4a2b2=3a2b.

Правило умножения дробей распространяется на произведение трех и более рациональных дробей. Например:

ab∙cd∙mn=acbd∙mn=acmbdn.

Выясним теперь, как выполняется возведение рациональной дроби в степень.

Рассмотрим выражение abn, являющейся n-й степенью рациональной дроби ab и докажем, что

abn=anbn.

По определению степени имеем

abn=ab·ab∙…∙ab (n раз).

Применяя правило умножения рациональных дробей и определение степени, получим

ab·ab∙…∙ab=a∙a∙…∙ab∙b∙…∙b=anbn.

Следовательно, abn=anbn.

Из доказанного тождества следует правило возведения рациональной дроби в степень:

чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй — в знаменателе дроби.

Пример 7. Возведем дробь 2a2b4 в третью степень.

Воспользуемся правилом возведения в степень:

2a2b43=(2a2)3(b4)3=8a6b12.

Деление дробей

При делении обыкновенных дробей первую дробь умножают на дробь, обратную второй. Например: 38:25=38∙52=1516.

Так же поступают при делении любых рациональных дробей:

ab:cd=ab∙dc=adbc,

где а, b, с и d — некоторые многочлены, причем b, c и d — ненулевые многочлены.

Это равенство выражает правило деления рациональных дробей:

чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Пример 8. Разделим дроби 7a2b3:14ab.

Воспользуемся правилом деления дробей:

7a2b3:14ab=7a2b3·b14a=7a2b14ab3=a2b2.

Деление и дроби

Не всегда можно одно натуральное число разделить на другое, так, например, 2 нельзя разделить на 3, в таком случае деление можно заменить дробью , т.е. 2 : 3 = .

Пример:

= 3 : 5; = 5 : 3.

В результате деления двух натуральных чисел может получится натуральное число или дробное число.

Пример:

20 : 4 = = 5; 13 : 25 = ; 45 : 4 = .

Всякое натуральное число может быть записано в виде дроби, причем натуральное число можно представить в виде дроби с каким угодно знаменателем.

Пример:

а) 1 = = = . = = . т.к. = 2 : 2 = 1, = 3 : 3 = 1, . = 100 : 100 = 1, .

Получаем, что число 1 можно представить в виде дроби, у которой числитель и знаменатель равны.

б) 7 = = = = . т.к. = 7 : 1 = 7, = 14 : 2 = 7; = 21 : 3 = 7 .

Свойство деления суммы на число

Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные частные.

Пример:

(64 + 72) : 8 = 64 : 8 + 72 : 8 = 8 + 9 = 17.

Дробные выражения

Частное от деления одного выражения на другое можно записать с помощью черты дроби. Например, выражение (3,5 — 1,1) : (7,3 + 2,7) можно записать в виде . А выполнив действия в числителе и в знаменателе полученной дроби, найдем значение данного выражения: .

Частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначен чертой, называют дробным выражением.

К дробным выражениям относятся:

Числитель дробного выражения — выражение, стоящее над чертой.

Знаменатель дробного выражения — выражение, стоящее под чертой.

Обратите внимание, в числителе и в знаменателе дробного выражения могут стоять любые числа (натуральные числа, обыкновенные дроби, десятичные дроби и т.д.), а также числовые или буквенные выражения (смотри примеры выше).

Если числитель и знаменатель дробного выражения разделить или умножить на одно и то же число отличное от нуля, то получим дробное выражение, равное данному. Данное свойство часто используют, когда преобразуют дробное выражение с десятичными дробями в обыкновенную дробь.

Пример:

, обычно запись упрощают, и пишут так: .

То есть, получается, что мы переносим запятую в числителе и знаменателе дробного выражения на одинаковое количество цифр вправо, при этом если в одном числе цифр после запятой больше, чем в другом, то переносим запятую на большее количество цифр, а там где цифр после запятой меньше дописываем нули.

Пример:

.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

—>Сайт учителя математики А.В.Капитановой —>

Умножение дроби на натуральное число

Пример: Найти произведение дроби и натурального числа:

Умножение обыкновенных дробей

• перемножить числители и знаменатели дробей;
• сократить полученную дробь.

3	·	2	=	3 · 2	=	6
7	5	7 · 5	35

Умножение смешанных чисел

• преобразовать смешанные дроби в неправильные;
• перемножить числители и знаменатели дробей;
• сократить полученную дробь;
• Если получилась неправильная дробь преобразовать неправильную дробь в смешанную.

Пример: Найти произведение двух смешанных чисел:

2	1	·	1	2	=	2 · 2 + 1	·	1 · 3 + 2	=	5	·	5	=	5 · 5	=	25	=	6 · 4 + 1	= 4	1
2	3	2	3	2	3	2 · 3	6	6	6

Пример: Найти произведение смешанного числа и целого числа:

4	1	·	6	=	4 · 3 + 1	·	6	=	13 · 6	=	26
3	3	3

Пример: Найти произведение смешанного числа и обыкновенной дроби:

2	1	·	3	=	2 · 7 + 1	·	3	=	15	·	3	=	15 · 3	=	5 · 9	=	9	=	7 + 2	= 1	2
7	5	7	5	7	5	7 · 5	7 · 5	7	7	7

Деление дроби на натуральное число

Пример: Найти частное от деления дроби на натуральное число:

Определение: Чтобы получить дробь, обратную данной, следует поменять местами числитель и знаменатель.

Деление натурального числа на дробь

Пример: Найти частное от деления натурального числа на дробь:

2:	4	=	2·	5	=	2 · 5	=	2 · 5	=	5	=	2 · 2 + 1	= 2	1
5	4	4	2 · 2	2	2	2

Деление обыкновенных дробей

Пример: Найти частное от деления дробей:

3	:	4	=	3	·	5	=	3 · 5	=	15
7	5	7	4	7 · 4	28

Деление смешанных чисел

• преобразовать смешанные дроби в неправильные;
• умножить первую дробь на дробь, обратную второй;
• сократить полученную дробь;
• если получилась неправильная дробь преобразовать неправильную дробь в смешанную.

Пример: Найти частное от деления смешанных чисел:

1	1	:	2	2	=	1 · 2 + 1	:	2 · 3 + 2	=	3	:	8	=	3	·	3	=	3 · 3	=	9
2	3	2	3	2	3	2	8	2 · 8	16

Пример: Найти частное от деления смешанного числа на дробь:

Источник

Продолжим изучать действия с обыкновенными дробями . Сейчас в центре внимания умножение обыкновенных дробей. В этой статье мы дадим правило умножения обыкновенных дробей, рассмотрим применение этого правила при решении примеров. Также остановимся на умножении обыкновенной дроби на натуральное число. В заключение рассмотрим, как проводится умножение трех и большего количества дробей.

Навигация по странице.

Умножение обыкновенной дроби на обыкновенную дробь

Начнем с формулировки правила умножения обыкновенных дробей: умножение дроби на дробь дает дробь, числитель которой равен произведению числителей умножаемых дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей.

То есть, умножению обыкновенных дробей a/b и c/d отвечает формула .

Приведем пример, иллюстрирующий правило умножения обыкновенных дробей. Рассмотрим квадрат со стороной 1 ед. , при этом его площадь равна 1 ед 2 . Разделим этот квадрат на равные прямоугольники со сторонами 1/4 ед. и 1/8 ед. , при этом исходный квадрат будет состоять из 4·8=32 прямоугольников, следовательно, площадь каждого прямоугольника составляет 1/32 долю площади исходного квадрата, то есть, она равна 1/32 ед 2 . Теперь закрасим часть исходного квадрата. Все наши действия отражает рисунок ниже.

Стороны закрашенного прямоугольника равны 5/8 ед. и 3/4 ед. , значит, его площадь равна произведению дробей 5/8 и 3/4 , то есть, ед 2 . Но закрашенный прямоугольник состоит из 15 «маленьких» прямоугольников, значит, его площадь равна 15/32 ед 2 . Следовательно, . Так как 5·3=15 и 8·4=32 , то последнее равенство можно переписать как , что подтверждает формулу умножения обыкновенных дробей вида .

Заметим, что с помощью озвученного правила умножения можно умножать и правильные и неправильные дроби, и дроби с одинаковыми знаменателями, и дроби с разными знаменателями.

Рассмотрим примеры умножения обыкновенных дробей.

Выполните умножение обыкновенной дроби 7/11 на обыкновенную дробь 9/8 .

Произведение числителей умножаемых дробей 7 и 9 равно 63 , а произведение знаменателей 11 и 8 равно 88 . Таким образом, умножение обыкновенных дробей 7/11 и 9/8 дает дробь 63/88 .

Вот краткая запись решения: .

.

Не следует забывать про сокращение полученной дроби, если в результате умножения получается сократимая дробь, и про выделение целой части из неправильной дроби.

Выполните умножение дробей 4/15 и 55/6 .

Применим правило умножения обыкновенных дробей: .

Очевидно, полученная дробь сократима (признак делимости на 10 позволяет утверждать, что числитель и знаменатель дроби 220/90 имеют общий множитель 10 ). Выполним сокращение дроби 220/90 : НОД(220, 90)=10 и . Осталось выделить целую часть из полученной неправильной дроби: .

.

Заметим, что сокращение дроби можно проводить до вычисления произведений числителей и произведений знаменателей умножаемых дробей, то есть, когда дробь имеет вид . Для этого числа a , b , c и d заменяются их разложениями на простые множители, после чего сокращаются одинаковые множители числителя и знаменателя.

Для пояснения, вернемся к предыдущему примеру.

Вычислите произведение дробей вида .

По формуле умножения обыкновенных дробей имеем .

Так как 4=2·2 , 55=5·11 , 15=3·5 и 6=2·3 , то . Теперь сокращаем общие простые множители: .

Остается лишь вычислить произведения в числителе и знаменателе, после чего выделить целую часть из неправильной дроби: .

.

Следует отметить, что для умножения дробей характерно переместительное свойство, то есть, умножаемые дроби можно менять местами: .

Умножение обыкновенной дроби на натуральное число

Начнем с формулировки правила умножения обыкновенной дроби на натуральное число: умножение дроби на натуральное число дает дробь, числитель которой равен произведению числителя умножаемой дроби на натуральное число, а знаменатель равен знаменателю умножаемой дроби.

С помощью букв правило умножения дроби a/b на натуральное число n имеет вид .

Формула следует из формулы умножения двух обыкновенных дробей вида . Действительно, представив натуральное число как дробь со знаменателем 1, получим .

Рассмотрим примеры умножения дроби на натуральное число.

Выполните умножение дроби 2/27 на 5 .

Умножение числителя 2 на число 5 дает 10 , поэтому в силу правила умножения дроби на натуральное число, произведение 2/27 на 5 равно дроби 10/27 .

Все решение удобно записывать так: .

.

При умножении дроби на натуральное число полученную дробь часто приходится сокращать, а если она еще и неправильная, то представлять ее в виде смешанного числа.

Умножьте дробь 5/12 на число 8 .

По формуле умножения дроби на натуральное число имеем . Очевидно, полученная дробь сократима (признак делимости на 2 указывает на общий делитель 2 числителя и знаменателя). Выполним сокращение дроби 40/12 : так как НОК(40, 12)=4 , то . Осталось выделить целую часть: .

Вот все решение: .

Отметим, что сокращение можно было провести, заменив числа в числителе и знаменателе их разложениями на простые множители. В этом случае решение выглядело бы так: .

.

В заключение этого пункта заметим, что умножение дроби на натуральное число обладает переместительным свойством, то есть, произведение дроби на натуральное число равно произведению этого натурального числа на дробь: .

Умножение трех и большего количества дробей

То, как мы определили обыкновенные дроби и действие умножение с ними, позволяет утверждать, что все свойства умножения натуральных чисел распространяются и на умножение дробей.

Переместительное и сочетательное свойства умножения позволяют однозначно определить умножение трех и большего количества дробей и натуральных чисел. При этом все происходит по аналогии с умножением трех и большего количества натуральных чисел. В частности, дроби и натуральные числа в произведении можно для удобства вычисления переставлять местами, а при отсутствии скобок, указывающих порядок выполнения действий, мы можем сами расставить скобки любым из допустимых способов.

Рассмотрим примеры умножения нескольких дробей и натуральных чисел.

Выполните умножение трех обыкновенных дробей 1/20 , 12/5 , 3/7 и 5/8 .

Запишем произведение, которое нам нужно вычислить . В силу правила умножения дробей записанное произведение равно дроби, числитель которой равен произведению числителей всех дробей, а знаменатель – произведению знаменателей: .

Прежде чем вычислить произведения в числителе и знаменателе, целесообразно заменить все множители их разложениями на простые множители и провести сокращение (можно, конечно, сократить дробь и после умножения, но во многих случаях это требует больших вычислительных усилий): .

.

Выполните умножение пяти чисел .

В этом произведении удобно сгруппировать дробь 7/8 с числом 8 , а число 12 с дробью 5/36 , это позволит упростить вычисления, так как при такой группировке очевидно сокращение. Имеем
.

.

Чтобы перемножить две дроби надо числитель первой дроби умножить на числитель второй, а знаменатель первой на знаменатель второй. Первое произведение станет числителем, а второе — знаменателем.

Пример: (5/7)*(21/25) = (5*21)/(7/25) = 105/525

Если числитель и знаменатель дроби делится на одно и тоже число дробь может быть сокращена путем деления числителя и знаменателя на это число. В данном примере оба числа делятся на 105. 105/525 = (105:105)/(525:105) = 1/5

Чтобы разделить дробъ на дробь надо числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой на числитель второй. Первое произведение станет числителем, а второе — знаменателем.

Из-за блокировщика рекламы некоторые функции на сайте могут работать некорректно! Пожалуйста, отключите блокировщик рекламы на этом сайте.

Чтобы пройти курс — зарегистрируйтесь, заполнив поля ниже.

Продолжим учиться выполнять действия с рациональными выражениями.
Запиши в тетрадь тему урока

«Произведение и частное дробей».

Правила очень просты:

При умножении — числитель дроби умножаем на числитель другой дроби и их произведение записываем в числитель результата; знаменатель умножаем на знаменатель и записываем их произведение в знаменатель результата.

Полученную в ответе дробь надо попробовать сократить.
Как?
Разложить числитель и знаменатель на множители и разделить (сократить) числитель и знаменатель на одинаковые множители.

Например:
Сэкономим время! Поскольку потом все-равно будет сокращать дробь, так разложим числители и знаменатель на множители сразу:

И сократим дробь на одинаковые множители m и (m+2), получим

Как делить дроби? Деление заменяем умножением на обратную дробь. Ну а умножать мы только что поучились

Например:

Если в этих примерах что-то непонятно, то спроси учителя.
Ну, а если показалось все просто, то вперед!

Упрости выражение

Как?
Перемножь все числители, а потом все знаменатели.

Но не торопись! Воспользуйся, что все они являются множителями.
Подведи все множители под одну дробную черту и попробуй сократить у этой «крупной» дроби числовые множители, а вот буквенные все-таки лучше сначала перемножить, а потом уже сократить.

Если в твоей тетради уже получилось решение, то двигаемся дальше.

Так?

Представь в виде дроби

Алгоритм:
1) Разложить все числители и знаменатели на множители.
2) Записать произведение числителей в числитель,
а произведение знаменателей в знаменатель.
3) Сократить дробь.
ВСЕ! Ответ получен .

Если у тебя цель научиться, то ты пойдешь дальше, только после завершения решения. а если нет, то и проходить этот урок незачем.

Если есть ошибки, то обязательно исправь их!
Поделить — означает умножить на обратную дробь.
: 3 означает х на 1/3, : на 2/5 означает х на 5/2 и так далее.

Выполни деление:

Только сначала реши вопрос — с каким знаком будет результат.

Упростите выражение

Итак повторим:
Разложить на множители.
Деление заменить умножением на .
Сократить .

Если всему научились, то можно переходить к решению теста

Подведение итогов

Поздравляем, вы прошли тест до конца!

Теперь нажмите на кнопку Сдать тест для того, чтобы окончательно сохранить ваши ответы и получить оценку.
Внимание! После нажатия на кнопку вы не сможете внести изменения.

Математика

6 класс

Урок № 42

Деление дробей

Перечень рассматриваемых вопросов:

• деление рациональных чисел, правила знаков при делении.

Тезаурус

Частное двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителя первой дроби и знаменателя второй, а знаменатель – произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

Частным двух дробей с одинаковыми знаками является положительная дробь, модуль которой равен частному модулей делимого и делителя.

Частное дробей с разными знаками есть отрицательная дробь, модуль которой равен частному модулей делимого и делителя.

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина — М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На прошлом уроке мы изучали правила умножения дробей.

Сегодня рассмотрим правила деления.

Аналогично умножению, дроби с любыми знаками делят по тем же правилам, что и положительные дроби.

Частное двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителя первой дроби и знаменателя второй, а знаменатель – произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

Найдём частное от деления двух дробей.

Запишем равенство, которое можно получить на основании правила деления.

Доказательство

Чтобы разделить дробь на целое, не равное нулю число, можно её знаменатель умножить на это число.

Найдём частное

Знак «–» перед дробью, можно записывать и в знаменателе, и в числители дроби, то есть верны равенства:

Используя свойство взаимно обратных дробей, что их произведение равно 1, можем сформулировать следующее утверждение:

Чтобы одну дробь разделить на другую, отличную от нуля, можно делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Найдём частное

Правила знаков, при делении дробей

Правило деления дробей с одинаковыми знаками

Частным двух дробей с одинаковыми знаками является положительная дробь, равная частному модулей делимого и делителя.

Выполним деление

Правило деления дробей с разными знаками

Частное от деления дробей с разными знаками есть отрицательная дробь, модуль которой равен частному модулей делимого и делителя.

Выполним деление

Из правил деления дробей с любыми знаками следует, что их можно делить по тем же правилам, что и целые числа. То есть мы можем сначала определять знак результата, а потом выполнять действия с модулями.

Выполним деление

Дополнительный материал

Решение задачи

Решение

Найдём, сколько автомобиль проехал за второй час. Известно, что в 2 раза меньше, чем за первый, значит, путь за первый час разделим на 2.

Найдём общую часть пути за два часа.

Для этого сложим части пути за первый и за второй час.

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Разместите нужные подписи под изображениями.

Какие действия изображены?

1. 
2. 
3. 

Варианты ответов:

деление дробей с одинаковыми знаками

деление дробей с разными знаками

деление дроби на целое число

Для ответа на вопрос задания, обратимся к теоретическому материалу урока.

Правильный ответ

№ 2. Вставьте в текст нужные слова.

Частное двух дробей есть дробь, … которой равен … числителя первой дроби и … второй, а знаменатель – произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

Варианты слов для вставки:

числитель

произведению

частному

сумме

разности

знаменателя

Для ответа на вопрос задания, обратимся к теоретическому материалу урока.

Правильный ответ:

Частное двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителя первой дроби и знаменателя второй, а знаменатель – произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.