На чтение 3 мин. Просмотров 17.4k.
Равенство двух отношений называют пропорцией.
Тема: «Отношение» рассмотрена на предыдущем занятии («6.1. Отношение»).
a:b=c:d. Это пропорция. Читают: а так относится к b, как c относится к d. Числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и c – средними членами пропорции.
Пример пропорции: 12 : 3 = 16 : 4. Это равенство двух отношений: 12:3=4 и 16:4=4. Читают: двенадцать так относится к трем, как шестнадцать относится к четырем. Здесь 12 и 4 -крайние члены пропорции, а 3 и 16 — средние члены пропорции.
Основное свойство пропорции
Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.
Для пропорции a:b=c:d или a/b=c/d основное свойство записывается так: a·d=b·c.
Для нашей пропорции 12 : 3 = 16 : 4 основное свойство запишется так: 12·4=3·16. Получается верное равенство: 48=48.
Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение средних членов пропорции разделить на известный крайний член.
Примеры. Найти неизвестный крайний член пропорции.
1) х : 20 = 2 : 5. У нас х и 5 — крайние члены пропорции, а 20 и 2 — средние.
Решение.
х = (20·2):5 — нужно перемножить средние члены (20 и 2) и результат разделить на известный крайний член (число 5);
х = 40 : 5 — произведение средних членов (40) разделим на известный крайний член (5);
х = 8. Получили искомый крайний член пропорции.
Удобнее записывать нахождение неизвестного члена пропорции с помощью обыкновенной дроби. Вот как тогда запишется рассмотренный нами пример:
Искомый крайний член пропорции (х) будет равен произведению средних членов (20 и 2), деленному на известный крайний член (5).
Сокращаем дробь на 5 (делим на 5 и числитель и знаменатель дроби). Находим значение х.
Если забыли, как сокращать обыкновенные дроби, то повторите тему: «5.4.2. Примеры сокращения обыкновенных дробей»
Еще такие примеры на нахождение неизвестного крайнего члена пропорции.
Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение крайних членов пропорции разделить на известный средний член.
Примеры. Найти неизвестный средний член пропорции.
5) 9 : х = 3 : 14. Число 3 — известный средний член данной пропорции, числа 9 и 14 — крайние члены пропорции.
Решение.
х = (9·14):3 — перемножим крайние члены пропорции и результат разделим на известный средний член пропорции;
х= 136:3;
х=42.
Решение этого примера можно записать иначе:
Искомый средний член пропорции (х) будет равен произведению крайних членов (9 и 14), деленному на известный средний член (3).
Сокращаем дробь на 3 (делим на 3 и числитель и знаменатель дроби). Находим значение х.
Если забыли, как сокращать обыкновенные дроби, то повторите тему: «5.4.2. Примеры сокращения обыкновенных дробей»
Еще такие примеры на нахождение неизвестного среднего члена пропорции.
Пропорции
- Члены пропорции: крайние и средние
- Главное свойство пропорции
- Нахождение неизвестного члена пропорции
Равенство двух отношений называется пропорцией.
Пример.
10 : 5 = 6 : 3
или
Пропорцию
a : b = c : d
или
можно прочитать так: отношение a к b равно отношению c к d
, или a относится к b, как c относится к d
.
Члены пропорции: крайние и средние
Члены отношений, составляющих пропорцию, называются членами пропорции. Числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и c — средними членами пропорции:
Эти названия условны, так как достаточно написать пропорцию в обратном порядке (переставить отношения местами):
c : d = a : b
или
и крайние члены станут средними, а средние — крайними.
Главное свойство пропорции
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
Пример. Рассмотрим пропорцию
Если воспользоваться вторым свойством равенства и умножить обе её части на произведение bd (для приведения обеих частей равенства от дробного вида к целому), то получим:
Сокращаем дроби и получаем:
ad = cb.
Из главного свойства пропорции следует:
- Крайний член равен произведению средних, разделённому на другой крайний. То есть для пропорции
:
- Средний член равен произведению крайних, разделённому на другой средний. То есть для пропорции :
:
Нахождение неизвестного члена пропорции
Свойства пропорции позволяют найти любой из членов пропорции, если он неизвестен. Рассмотрим пропорцию:
x : 8 = 6 : 3.
Тут неизвестен крайний член. Так как крайний член равен произведению средних, разделённому на другой крайний, то
x = (8 · 6) : 3 = 16.
Чтобы узнать название темы урока, обратите внимание на картинку.
Попробуйте отгадать ребус.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
На этом уроке вы узнаете, что называют пропорцией, выведете основное свойство пропорции и с помощью него научитесь решать задачи и уравнения.
Слово «пропорция» (proportio) в переводе с латинского — соразмерность, отношение частей (соотношение).
В IV веке до н.э. древнегреческий математик Евдокс Книдский дал определение пропорции, состоящей из величин любой природы, а не только из натуральных величин.
Пропорции применяли с древности при решении различных задач.
Древние греки использовали пропорцию и ее свойство для строительства сооружений, при создании произведений искусства (скульптуры, статуи), в ремесленническом деле и др.
Соблюдение пропорций, определенных соотношений, активно используется и в настоящее время в архитектуре, искусстве, музыке, при решении физических задач.
В географии и моделировании пропорциональные зависимости применяют при создании уменьшенной копии реального объекта.
В швейных технологиях — для изменения размеров выкройки изделия до нужного размера.
В химии для проведения успешной реакции рассчитывают пропорциональное отношение химических веществ.
В медицине и фармацевтике используют пропорции при изготовлении лекарственных препаратов.
В кулинарии, например, с помощью пропорции можно рассчитать рецепт одного и того же блюда для разного количества гостей.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Разберем, что же такое пропорция в математическом понимании.
Возьмем два отношения: (mathbf{frac{36}{9}}) и (mathbf{frac{12}{3}}) и эти отношения равны, так как (mathbf{36div9=4}) и (mathbf{12div3=4}), значит (mathbf{frac{36}{9}= frac{12}{3}})
Равенство двух отношений называют пропорцией.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
С помощью букв запишем пропорцию из двух отношений так: (mathbf{adiv b= cdiv d }) или (mathbf{frac{a}{b}= frac{c}{d}}).
Эту математическую запись читают так: «Отношение a к b равно отношению c к d» или «a так относится к b, как c относится к d».
Все члены пропорции не равны нулю: (mathbf{aneq 0, bneq 0, cneq 0, dneq 0}).
Если внимательно посмотреть на пропорцию (mathbf{{a}div{b}= {c}div{d}}), то можно заметить будто величины a и d стоят по краям равенства, а величины b и c в середине пропорции, в связи с этим легко запомнить, что:
Числа a и d называют крайними членами пропорции.
Числа b и c называют средними членами пропорции.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Теория отношений и пропорции изложена в «Началах» древнегреческого математика Эвклида (3 век до н.э.), в этом же труде было подробно описано и доказано основное свойство пропорции.
Давайте рассмотрим, какими же свойствами обладает пропорция и каким правилам подчиняется.
Пропорция, в которой произведение крайних членов равно произведению средних членов, является верной пропорцией.
Обратное утверждение так же является истинным.
Если произведение крайних членов равно произведению средних членов, то пропорция верна.
Данное свойство пропорции — это основное свойство пропорции.
Найдем произведение крайних членов пропорции (mathbf{adiv b= cdiv d }) и произведение средних членов этой пропорции, получим: (mathbf{acdot d= ccdot b }).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Пример
Дана пропорция (mathbf{frac{3}{5}= frac{6}{10}}), где числа 3, 10 — это крайние члены этой пропорции, 5, 6 — это средние члены пропорции.
По основному свойству пропорции
(mathbf{3cdot 10= 5cdot 6 = 30 }), значит пропорция (mathbf{frac{3}{5}= frac{6}{10}}) верная.
Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получатся новые верные пропорции.
Дополнительный материал
Пропорция обладает рядом других интересных свойств.
Так как члены пропорции отличны от нуля, то справедливо следующее: если в пропорции перевернуть отношения, то в результате получится тоже верная пропорция.
(mathbf{frac{a}{b}= frac{c}{d}})перевернем отношения и получим (mathbf{frac{b}{a}= frac{d}{c}})
Пример
(mathbf{frac{12}{2}= frac{6}{1}}) перевернем отношения и получим (mathbf{frac{2}{12}= frac{1}{6}}) , проверим полученное равенство.
По основному свойству пропорции (mathbf{2cdot 6= 12cdot 1 = 12 })
Новая пропорция (mathbf{frac{2}{12}= frac{1}{6}}) является верной.
При решении задач иногда используют правило увеличения и уменьшения пропорции.
Если есть пропорция (mathbf{frac{a}{b}= frac{c}{d}}), то равенство сохранится в следующих случаях:
Увеличение пропорции: (mathbf{frac{a + b}{b}= frac{c + d}{d}}),
Уменьшение пропорции: (mathbf{frac{a — b}{b}= frac{c — d}{d}}).
Пропорция обладает еще одним свойством: нахождение пропорции сложением или вычитанием членов пропорции.
Если есть пропорция (mathbf{frac{a}{b}= frac{c}{d}}), то справедливо
составление пропорции сложением (mathbf{frac{a + c}{b + d}= frac{a}{b} = frac{c}{d}})
составление пропорции вычитанием (mathbf{frac{a — c}{b — d}= frac{a}{b} = frac{c}{d}})
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Применяя основное свойство пропорции, можно найти неизвестный член этой пропорции.
Решить пропорцию — это значит найти средний или крайний член пропорции.
Для решения пропорции с неизвестным крайним членом, при условии, что все остальные члены пропорции определены, необходимо умножить средние члены пропорции и полученный результат разделить на известный крайний член пропорции.
Пример 1
(mathbf{frac{a}{2}= frac{6}{1}})
решите пропорцию, найдя значение крайнего члена пропорции (a).
(mathbf{a = frac{2 cdot 6}{1}= 12})
Подставьте значение крайнего члена (а) в пропорцию
(mathbf{frac{12}{2} = frac{6}{1}= 6}) получили верную пропорцию.
Для решения пропорции с неизвестным средним членом, при условии, что все остальные члены пропорции определены, необходимо умножить крайние члены пропорции и полученный результат разделить на известный средний член пропорции.
Пример 2
(mathbf{frac{12}{b}= frac{6}{1}}) решим пропорцию, найдем значение среднего члена пропорции (b)
(mathbf{b = frac{12 cdot 1}{6}= 2})
Подставим значение среднего члена (b) в пропорцию
(mathbf{frac{12}{2} = frac{6}{1}= 6}) получили верную пропорцию.
Часто для решения пропорции используют способ «крест-накрест».
Чтобы вычислить неизвестный член пропорции, нужно перемножить известные члены пропорции, находящиеся на диагональной линии, а затем разделить результат на оставшееся известное число, находящееся на диагональной линии с неизвестным членом пропорции.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Пример 3
(mathbf{frac{8}{2}= frac{x}{8}}) , где x— неизвестный член пропорции,
(mathbf{8 cdot 8 = 64}) перемножили известные значения членов пропорции, находящиеся по диагонали в этой пропорции.
Полученный результат делим на известный член, находящийся по диагонали с неизвестным.
(mathbf{x = 64 div 2 = 32})
Получили пропорцию (mathbf{frac{8}{2} = frac{32}{8}= 4}), пропорция верна
К решению пропорции сводятся многие математические задачи и уравнения.
Рассмотрим некоторые из них.
Задача 1
Решите уравнение (mathbf{frac{y}{1,5}= frac{4}{3}})
Решение:
Найдем неизвестный член пропорции y, применив основное свойство пропорции.
Составим уравнение и решим его
(mathbf{3 cdot y = 1,5 cdot 4})
(mathbf{y = frac{1,5 cdot 4}{3}})
(mathbf{y = frac{6}{3}})
(mathbf{y = 2})
Ответ: (mathbf{y = 2})
Задача 2
На товар была сделана скидка 150 рублей, что составляет 15% от первоначальной цены товара.
Чему равна первоначальная цена товара?
Решение:
В задачах на проценты целое принимают за 100% или 1.
Неизвестную величину обозначают буквой (чаще всего x или y).
Величины в задаче должны быть приведены в одинаковые единицы измерения.
Модель решения задач с процентами при помощи пропорции можно представить в виде таблицы:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Или с помощью логической схемы
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
В результате пропорция получается такого вида:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Исходя из вышеизложенного, решение задачи будет выглядеть так:
Пусть x (рублей) — первоначальная цена товара, она составляет 100%.
Часть от целого (первоначальной цены) = 15%
Составим условную запись задачи:
x (руб.) — 100%
150 (руб.) — 15%
Составим пропорцию:(mathbf{frac{x}{150}= frac{100}{15}})
По основному свойству пропорции решим уравнение.
(mathbf{x = frac{150 cdot 100}{15}})
(mathbf{x = 1000 (руб.)}) первоначальная цена товара.
Ответ: (mathbf{x = 1000 (руб.)})
Задача 3
За 5 кг Муки заплатили 195 рублей. Какова стоимость 3 кг этой муки?
Решение:
Пусть x (рублей)- стоимость 3 кг муки.
Составим условную запись задачи.
5 (кг)- 195 (руб)
3 (кг)- x (руб)
Составим пропорцию: (mathbf{frac{5}{3}= frac{195}{x}})
По основному свойству пропорции решим уравнение:
(mathbf{x = frac{3 cdot 195}{5}})
(mathbf{x = 117 (руб.)}) стоят 3 кг муки.
Ответ: (mathbf{x = 117 (руб)})
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Что такое пропорция: определение
– это равенство, утверждающее, что два отношения равны. Пропорциональный — значит находящийся в определенном отношении к какой-либо величине. Четыре величины (4, 2, 8 ) и (4) находятся в отношении, если (frac{4}{2}=frac{8}{4}).
Свойство пропорции
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
Пропорция всегда включает равные коэффициенты. Когда соотношение остается постоянным, это соотношение называется пропорциональным.
Если (frac{A}{B} = frac{C}{D}), то
- (AB=CD)
- (AD=BC)
Правило пропорции в том, что пропорция состоит из двух равных отношений. Однако если (frac{A}{B}) не равно (frac{C}{D}), то (A, B, C, D ) не называются пропорцией.
Три величины считаются пропорциональными, если отношение первого ко второму равно соотношению второго и третьего.
(A, B , C) находятся в постоянной пропорции, если (frac{A}{B} =frac{C}{D})
Если (A, B ,C ) находятся в постоянном отношении, то (B) называется средней в пропорции.
В косвенной пропорции как одно значение увеличивается, так и другое значение уменьшается.
. За (5) дней и (12) человек построили забор. Сколько дней это займет у (6) людей?
Решение.
- (12) человек → (5) дней
- (6) человек → (x) дней
- (frac{12}{6} = frac{x}{5})
- умножаем крест на крест члены пропорции и сокращаем на (6):
(12*5=6x)
(60=6x)
(x=10)
(6) людей будут работать (10) дней, чтобы закончить работу.
. Найдите значение (x), если (frac{2}{5}=frac{x}{15})
Решение:
- (2*15=5x)
- (30 =5x)
- Делим на 5 обе части равенства: (frac{30}{5}=x), откуда находим
Что должно быть добавлено к каждому из четырех чисел 10, 18, 22, 38, чтобы сделать их пропорцией?
- ((10+x)(18+x)=(22+x)(38+x))
- (380+48x+2x=396+40x+2x)
- (8x=16)
- (x=2)
. Найти четвертый член пропорции (6,10) и (12)
Решение:
(frac{6}{10}=frac{12}{x})
6×х = 120
x = 120/6
x = 20
Часто задаваемые вопросы:
✅ Что такое пропорция в математике?
↪ Пропорция — это равенство двух отношений, в которых те же самые величины сравниваются между собой.
✅ Как записать пропорцию в математике?
↪ Пропорция записывается в виде a:b = c:d или в виде a/b = c/d, где a, b, c и d — числа, называемые пропорциональными величинами.
✅ Как решать задачи на пропорциональное распределение?
↪ Чтобы решить задачу на пропорциональное распределение, необходимо использовать правило трех пропорций. Это правило устанавливает связь между тремя пропорциональными величинами и позволяет найти неизвестную величину.
Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
56. Пропорции. Прямая и обратная пропорциональная зависимости.
Рассмотрим отношения 3,6:1,2=3 и 6,3:2,1=3.
Эти отношения равны. 3,6:1,2=6,3:2,1 или 3,61,2=6,32,1.
Равенство двух отношений называют пропорцией.
С помощью букв пропорцию записывают так:
a:b=c:d или аb=cd.
Эти записи читают так: «Отношение a к b равно отношению с к d» или «а так относится к b, как с относится к d».
Числа а и d называют крайними, а числа b и c – средними членами пропорции.
В пропорции 3,61,2=6,32,1 найдем произведение ее крайних членов и произведение ее средних членов: 3,6·2,1=7,56 и 1,2·6,3=7,56.
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. Если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорция верна.
ad=bc.
Это свойство называют основным свойством пропорции.
Пропорция 20:16=5:4 верна, так как 20·4=16·5=80.
Поменяем местами в этой пропорции средние члены, т.е. 20:5 = 16:4. Получилось верное равенство. Таким образом, при перестановке произведение крайних и произведение средних членов не меняется.
Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получившиеся новые пропорции тоже верны.
Используя основное свойство пропорции, можно найти ее неизвестный член, если все остальные члены известны.
Пример 1. Найдем в пропорции у:
у:51,6=11,2:34,4.
Используя основное свойство пропорции, получим: у·34,4=51,6·11,2. Значит,
у=51,6·11,234,4=16,8.
Пример 2. Решим уравнение 67,8а=7,626,35.
Используя основное свойство пропорции, получим: 7,62·а =6,35·67,8. Значит,
а=6,35·67,87,62=56,5.
Пример 3. Решим уравнение 0,2:x-2=12:212.
Используя основное свойство пропорции, получим:
x-2∙12=0,2∙212
x-2∙12=12
x-2=1
x=3.
Если станок с программным управлением за 2 ч изготовляет 28 деталей, то за 4 ч он изготовит 56 таких деталей. Во сколько раз больше времени будет работать станок, во столько же раз больше деталей он изготовит. Значит, равны отношения 4:2 = 56:28. Такие величины, как время работы станка и число изготовленных деталей, называют прямо пропорциональными величинами.
Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
Если величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.
Пример 4. Автомобиль за 2 ч проехал 180 км. За какое время автомобиль проедет вдвое большее расстояние, если будет двигаться с той же скоростью?
Найдем вдвое большее расстояние: 180·2=360 км.
Найдем скорость автомобиля: 180:2=90 км/ч.
Найдем время, требующееся на 360 км:360:90=4 ч.
Значит, автомобилю потребуется вдвое большее времядля прохождения вдвое большего расстояния.
Говорят: «Время прямо пропорционально расстоянию«. Во сколько раз увеличится расстояние, при постоянной скорости, во столько же раз увеличится время.
Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
Пример 5. Автомобилю, двигающемуся со скоростью 60 км/ч, потребовалось 6 часов на прохождение пути. За какое время автомобиль проедет это же расстояние, если будет двигаться с вдвое большей скоростью?
Найдем вдвое большую скорость: 60·2=120 км/ч.
Найдем расстояние: 60·6=360 км.
Найдем время при скорости 120 км/ч:360:120=3 ч.
Значит, автомобилю потребуется вдвое меньшее время для прохождения расстояния с вдвое большей скоростью.
Говорят: «Время обратно пропорционально скорости». Во сколько раз увеличится скорость, при том же расстоянии, во столько же раз уменьшится время.
Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.