Нами были рассмотрены действия сложения, вычитания и умножения матриц на число. Еще одним действием над ними является умножение. Выполняется оно сложнее, а само правило может показаться немного странным. При его выполнении важно уметь определять размер матриц. Это понятие было рассмотрено в теме «Что такое матрица».
Онлайн-калькулятор
Как умножать матрицы
Приступим к рассмотрению умножения матриц.
Нам известно, что складывать и вычитать можно матрицы, которые имеют одинаковый размер. С умножением дела обстоят немного сложнее.
Какие матрицы можно умножать
Матрицу P можно умножить на матрицу K только в том случае, если число столбцов матрицы P равняется числу строк матрицы K. Матрицы, для которых данное условие не выполняется, умножать нельзя.
Пример 1
Определим, можно ли умножить матрицу
K=(15271810)K=begin{pmatrix}15&27\18&10end{pmatrix} на матрицу L=(3516)L=begin{pmatrix}35\16end{pmatrix}.
Матрица KK состоит из 2 строк и 2 столбцов, а матрица LL — из 2 строк и 1 столбца. Число столбцов матрицы KK равно числу строк матрицы LL, значит, матрицу KK можно умножить на матрицу LL.
Пример 2
Переставим матрицы местами и определим, можно ли умножить матрицу
F=(3516)F=begin{pmatrix}35\16end{pmatrix} на матрицу C=(15271810)C=begin{pmatrix}15&27\18&10end{pmatrix}.
Матрица FF состоит из 2 строк и 1 столбца, а матрица CC — из 2 строк и 2 столбцов. Число столбцов матрицы FF не равно числу строк матрицы CC, значит, матрицу FF нельзя умножить на матрицу CC.
Произведение матрицы AA размера m×nmtimes n и матрицы BB размера n×kntimes k — это матрица CC размера m×kmtimes k, в которой элемент cijc_{ij} равен сумме произведений элементов ii строки матрицы AA на соответствующие элементы jj столбца матрицы B:cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnjB: c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+…+a_{in}b_{nj}.
Умножение матриц осуществляется путем умножения строки на столбец. Находятся произведения первого элемента строки и первого элемента столбца, второго элемента строки и второго элемента столбца и т.д. Затем полученные произведения суммируются.
Алгоритм нахождения произведения матриц
- определить размеры матриц;
- если число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то выполнять умножение.
Рассмотрим пример умножения матрицы
A=(a11a12a21a22a31a32a41a42)A=begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\a_{31}&a_{32}\a_{41}&a_{42}end{pmatrix}
на матрицу
B=(b11b12b13b21b22b23)B=begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}end{pmatrix}.
Матрица AA состоит из 4 строк и 2 столбцов, а матрица BB — из 2 строк и 3 столбцов. Число столбцов матрицы AA равно числу строк матрицы BB, значит, можно найти произведение C=A⋅BC=Acdot B. Причем матрица CC будет иметь размер 4×34times 3. Найдем элементы c12c_{12} (выделен красными стрелками) и c33c_{33} (выделен синими стрелками):
Для того чтобы найти элемент c12c_{12} нужно перемножать соответствующие элементы 1 строки матрицы AA и 2 столбца матрицы B:c12=a11⋅b12+a12⋅b22B: c_{12}=a_{11}cdot b_{12}+a_{12}cdot b_{22}. Для того чтобы найти элемент c33c_{33} нужно перемножать соответствующие элементы 3 строки матрицы AA и 3 столбца матрицы BB: c33=a31⋅b13+a32⋅b23c_{33}=a_{31}cdot b_{13}+a_{32}cdot b_{23}. Так находят все элементы.
Таким образом, матрица CC может быть найдена следующим образом:
A⋅B=(a11a12a21a22a31a32a41a42)⋅(b11b12b13b21b22b23)=Acdot B=begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\a_{31}&a_{32}\a_{41}&a_{42}end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}end{pmatrix}=
=(a11⋅b11+a12⋅b21a11⋅b12+a12⋅b22a11⋅b13+a12⋅b23a21⋅b11+a22⋅b21a21⋅b12+a22⋅b22a21⋅b13+a22⋅b23a31⋅b11+a32⋅b21a31⋅b12+a32⋅b22a31⋅b13+a32⋅b23a41⋅b11+a42⋅b21a41⋅b12+a42⋅b22a41⋅b13+a42⋅b23)=begin{pmatrix}a_{11}cdot b_{11}+a_{12}cdot b_{21}&a_{11}cdot b_{12}+a_{12}cdot b_{22}&a_{11}cdot b_{13}+a_{12}cdot b_{23}\a_{21}cdot b_{11}+a_{22}cdot b_{21}&a_{21}cdot b_{12}+a_{22}cdot b_{22}&a_{21}cdot b_{13}+a_{22}cdot b_{23}\a_{31}cdot b_{11}+a_{32}cdot b_{21}&a_{31}cdot b_{12}+a_{32}cdot b_{22}&a_{31}cdot b_{13}+a_{32}cdot b_{23}\a_{41}cdot b_{11}+a_{42}cdot b_{21}&a_{41}cdot b_{12}+a_{42}cdot b_{22}&a_{41}cdot b_{13}+a_{42}cdot b_{23}end{pmatrix}
Произведение B⋅ABcdot A нельзя найти, поскольку число столбцов матрицы BB неравно числу строк матрицы AA.
Найти произведение матрицы C=(15271810)C=begin{pmatrix}15&27\18&10end{pmatrix} на матрицу F=(3516)F=begin{pmatrix}35\16end{pmatrix}.
Матрица CC имеет размер 2×22times 2, матрица FF имеет размер 2×12times 1, значит, размер матрицы произведения будет 2×12times 1.
C⋅F=(15271810)⋅(3516)=(15⋅35+27⋅1618⋅35+10⋅16)=(957790)Ccdot F=begin{pmatrix}15&27\18&10end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}35\16end{pmatrix}=begin{pmatrix}15cdot 35+27cdot 16\18cdot 35+10cdot 16end{pmatrix}=begin{pmatrix}957\790end{pmatrix}.
Как отмечалось выше, произведение матриц F⋅CFcdot C невозможно.
Найти произведение матриц K⋅LKcdot L и L⋅KLcdot K, если K=(12171314)K=begin{pmatrix}12&17\13&14end{pmatrix} на матрицу L=(18111210)L=begin{pmatrix}18&11\12&10end{pmatrix}.
Матрица KK имеет размер 2×22times 2, матрица LL имеет размер 2×22times 2, значит, размер матрицы произведения будет 2×22times 2.
K⋅L=(12171314)⋅(18111210)=(12⋅18+17⋅1212⋅11+17⋅1013⋅18+14⋅1213⋅11+14⋅10)=(420302402283)Kcdot L=begin{pmatrix}12&17\13&14end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}18&11\12&10end{pmatrix}=begin{pmatrix}12cdot 18+17cdot 12&12cdot 11+17cdot 10\13cdot 18+14cdot 12&13cdot 11+14cdot 10end{pmatrix}=begin{pmatrix}420&302\402&283end{pmatrix}
Произведение L⋅KLcdot K существует и его размер — 2×22times 2.
L⋅K=(18111210)⋅(12171314)=(18⋅12+11⋅1318⋅17+11⋅1412⋅12+10⋅1312⋅17+10⋅14)=(359460274344)Lcdot K=begin{pmatrix}18&11\12&10end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}12&17\13&14end{pmatrix}=begin{pmatrix}18cdot 12+11cdot 13&18cdot 17+11cdot 14\12cdot 12+10cdot 13&12cdot 17+10cdot 14end{pmatrix}=begin{pmatrix}359&460\274&344end{pmatrix}
Произведение двух матриц в общем случае зависит от порядка сомножителей, т.е. оно некоммутативно: A⋅B≠B⋅AAcdot Bneq Bcdot A.
Так, для матриц K=(12171314)K=begin{pmatrix}12&17\13&14end{pmatrix} и L=(18111210)L=begin{pmatrix}18&11\12&10end{pmatrix} из рассмотренного примера K⋅L≠L⋅KKcdot L neq Lcdot K.
Перестановочные матрицы
Перестановочные, или коммутирующие, матрицы – матрицы, для которых выполняется равенство A⋅B=B⋅AAcdot B=Bcdot A. Они обязательно квадратные.
Проверить, являются ли перестановочными матрицы CC и DD, если C=(2342)C=begin{pmatrix}2&3\4&2end{pmatrix}, D=(3343)D=begin{pmatrix}3&3\4&3end{pmatrix}.
Найдем произведения этих матриц C⋅DCcdot D и D⋅CDcdot C.
C⋅D=(2342)⋅(3343)=(2⋅3+3⋅42⋅3+3⋅34⋅3+2⋅44⋅3+2⋅3)=(18152018)Ccdot D=begin{pmatrix}2&3\4&2end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}3&3\4&3end{pmatrix}=begin{pmatrix}2cdot 3+3cdot 4&2cdot 3+3cdot 3\4cdot 3+2cdot 4&4cdot 3+2cdot 3end{pmatrix}=begin{pmatrix}18&15\20&18end{pmatrix},
D⋅C=(3343)⋅(2342)=(3⋅2+3⋅43⋅3+3⋅24⋅2+3⋅44⋅3+3⋅2)=(18152018)Dcdot C=begin{pmatrix}3&3\4&3end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}2&3\4&2end{pmatrix}=begin{pmatrix}3cdot 2+3cdot 4&3cdot 3+3cdot 2\4cdot 2+3cdot 4&4cdot 3+3cdot 2end{pmatrix}=begin{pmatrix}18&15\20&18end{pmatrix}.
Таким образом, для заданных матриц выполняется равенство C⋅DCcdot D и D⋅CDcdot C, поэтому они являются перестановочными.
Проверить, являются ли перестановочными матрицы FF и HH, если F=(3421)F=begin{pmatrix}3&4\2&1end{pmatrix}, H=(0593)H=begin{pmatrix}0&5\9&3end{pmatrix}.
Найдем произведения этих матриц F⋅HFcdot H и H⋅FHcdot F.
F⋅H=(3421)⋅(0593)=(3⋅0+4⋅93⋅5+4⋅32⋅0+1⋅92⋅5+1⋅3)=(3627913)Fcdot H=begin{pmatrix}3&4\2&1end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}0&5\9&3end{pmatrix}=begin{pmatrix}3cdot 0+4cdot 9&3cdot 5+4cdot 3\2cdot 0+1cdot 9&2cdot 5+1cdot 3end{pmatrix}=begin{pmatrix}36&27\9&13end{pmatrix},
H⋅F=(0593)⋅(3421)=(0⋅3+5⋅20⋅4+5⋅19⋅3+3⋅29⋅4+3⋅1)=(1053339)Hcdot F=begin{pmatrix}0&5\9&3end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}3&4\2&1end{pmatrix}=begin{pmatrix}0cdot 3+5cdot 2&0cdot 4+5cdot 1\9cdot 3+3cdot 2&9cdot 4+3cdot 1end{pmatrix}=begin{pmatrix}10&5\33&39end{pmatrix}.
Таким образом, для заданных матриц не выполняется равенство F⋅HFcdot H и H⋅FHcdot F, поэтому они не являются перестановочными.
Контрольные работы на заказ онлайн от практикующих исполнителей!
Мы помним, что матрицы – это таблицы взаимосвязанных элементов, которые позволяют упростить математические вычисления и систематизировать определённую информацию. Их можно складывать, вычитать, умножать между собой. В этой статье подробнее остановимся на последнем алгоритме – матричном произведении.
Умножение матриц — определение
Матричное умножение – это одна из основных операций, которая проводится исключительно с согласованными матрицами.
При произведении матриц A и B получается новая матрица C. В математическом виде формула будет выглядеть так:
Но для начала разберёмся, что такое согласованные матрицы.
Согласованные матрицы
Согласованными матрицами называют матрицы вида A = [m ☓ n] и B = [n ☓ k], где количество столбцов А равно количеству строк В.
Индексы показывают координаты равных элементов.
Для того, чтобы умножить А и В, нужно взять строку в первой матрице и столбец во второй, перемножить одинаковые элементы и сложить полученные произведения.
Основные свойства матричного произведения
Размеры, то есть количество строк (m) и столбцов (n), влияют на особенности матричного произведения. Следовательно, для двух главных видов – квадратных и прямоугольных – действуют разные свойства произведения. Однако умножение любого вида всегда некоммуникативное. Это означает, что матрицы нельзя менять местами (АВ ≠ ВА).
Умножение квадратных матриц
Для квадратных матриц существует единичная матрица Е. В ней элементы по главной диагонали равны единице, а оставшиеся – нулю. Произведение любой квадратной матрицы на неё не влияет на результат.
В математическом виде это выглядит так: ЕА = АЕ = А
Также существует обратная матрица А (-1), при умножении на которую исходная A = [m ☓ n] даёт в результате единичную матрицу E.
Следовательно, формула такова: АА(-1) = Е
Умножение прямоугольных матриц
Существуют четыре основных свойства умножения:
- Сочетательное свойство, или ассоциативность: (AB)C = A(BC)
- Распределительное свойство, или дистрибутивность: А(В+С) = АВ + АС / (А+В)С = АС + ВС
- Умножение на единичную матрицу: ЕА = А
- Умножение на нулевую матрицу: 0А = 0
Напомним, что у нулевой матрицы все элементы равны нулю.
Произведение трех матриц
Произведение АВС можно получить двумя альтернативными способами:
- Найти АВ и умножить на С
- Найти ВС и умножить на А
(АВ) С = А (ВС)
Данное свойство называется ассоциативностью матричного умножения и действует на все виды согласованных матриц. Сами они не переставляются, меняется только порядок их умножения.
Умножение матрицы на число
Для умножения на число необходимо умножить каждый матричный элемент на это число:
Дроби вносить не нужно, поскольку они могут затруднить дальнейшие операции.
Умножение матрицы на вектор
Здесь работает правило «строка на столбец».
При умножении на вектор-столбец важно, чтобы количество столбцов в матрице совпадало с количеством строк в векторе-столбце. Результатом произведения будет вектор-столбец.
При умножении на вектор-строку матрица должна быть только вектором-столбцом. Важно, чтобы количество строк в векторе-столбце совпадало с количеством столбцов в векторе-строке. Результатом произведения будет квадратная матрица.
Примеры задач на умножение матриц
Задача №1: выполнить умножение и найти С, если A = [m ☓ n] и B = [n ☓ k] равны.
Решение:
c11 = a11·b11 + a12·b21 = 4·3 + 2·(-3) = 12 — 6 = 6
c12 = a11·b12 + a12·b22 = 4·1 + 2·4 = 4 + 8 = 12
c21 = a21·b11 + a22·b21 = 9·3 + 0·(-3) = 27 + 0 = 27
c22 = a21·b12 + a22·b22 = 9·1 + 0·4 = 9 + 0 = 9
Ответ:
Задача №2: вычислить С, если А = [m ☓ n] и вектор-столбец В равны.
Решение:
c11 = a11·b11 + a12·b21 = 2·1 + (-1)·2 + 3·(-1) = -3
c21 = a11·b12 + a12·b22 = 4⋅1 + 2⋅2 + 0⋅2 = 8
c31 = a21·b11 + a22·b21 = −1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅(−1) = 0
Ответ:
Изучение матричных операций очень увлекательное, но сложное занятие. Если у вас нет времени на учёбу, ФениксХэлп может помочь в решении контрольных и самостоятельных работ, написании статей и диссертаций.
Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут
Произведение матриц
Для того, чтобы найти произведение матриц нужно строки левой матрицы умножить на столбцы правой матрицы. $$begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \ *&*&* \ *&*&* end{pmatrix} times begin{pmatrix} b_{11}&*&* \ b_{21}&*&* \ b_{31}&*&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} c_{11}&*&* \ *&*&* \ *&*&* end{pmatrix}$$
Умножение строки на столбец производим по правилу скалярного произведения. То есть находим сумму произведений соответствующих элементов. Например, при умножении первой строки на первый столбец получаем $$c_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}.$$
Обязательно перед умножением матриц необходимо убедиться, чтобы число столбцов левой матрицы совпадало с числом строк правой матрицы. Только в этом случае матрицы можно перемножать. В результате получается матрица, у которой число строк равняется количеству строк левой матрицы, а количество столбцов равно числу столбцов правой матрицы. $$ underbrace{A}_{n times p} times underbrace{B}_{p times m} = underbrace{C}_{ntimes m}$$
Важное замечание!
Умножение матриц не коммутативно, т.е. $AB neq BA$.
| Пример 1 |
| Найти произведение матриц $Atimes B$ $$A=begin{pmatrix} 2&1 \ -3&4 end{pmatrix}, B = begin{pmatrix} 1&-3 \ 2&0 end{pmatrix}.$$ |
| Решение |
|
Проверяем, что число столбцов матрицы $A$ равно числу строк матрицы $B$. Далее берем первую строчку левой матрицы и умножаем её на первый столбец второй матрицы. $$A times B = begin{pmatrix} 2&1 \*&* end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&* \ 2&* end{pmatrix}= begin{pmatrix} 2cdot1+1cdot2 &* \*&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} 4&* \*&* end{pmatrix}$$ Теперь умножаем первую строку левой матрицы на второй столбец правой матрицы. $$A times B = begin{pmatrix} 2&1 \*&* end{pmatrix} times begin{pmatrix} *&-3 \ *&0 end{pmatrix}= begin{pmatrix} *&2cdot(-3)+1cdot0 \*&* end{pmatrix}=begin{pmatrix} *&-6 \*&* end{pmatrix}$$ Далее вторую строчку левой матрицы и умножаем на первый столбец второй матрицы. $$A times B = begin{pmatrix} *&* \-3&4 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&* \ 2&* end{pmatrix}= begin{pmatrix} *&* \(-3)cdot1+4cdot2&* end{pmatrix}=begin{pmatrix} *&* \5&* end{pmatrix}$$ И осталось умножить первую строку левой матрицы на второй столбец правой матрицы. $$A times B = begin{pmatrix} *&* \-3&4 end{pmatrix} times begin{pmatrix} *&-3 \ *&0 end{pmatrix}= begin{pmatrix} *&* \ *&(-3)cdot(-3)+4cdot0 end{pmatrix}=begin{pmatrix} *&* \*&9 end{pmatrix}$$ Вот теперь можно составить полный ответ. $$Atimes B=begin{pmatrix} 2&1 \ -3&4 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&-3 \ 2&0 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 4&-6 \ 5&9 end{pmatrix}$$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$A times B = begin{pmatrix} 4&-6 \ 5&9 end{pmatrix}$$ |
| Пример 2 |
| Умножить матрицы $Atimes B$ $$A = begin{pmatrix} 2&3&0 \ 1&-1&2 end{pmatrix}, B = begin{pmatrix} 1&0 \ 2&-1 \ 1&-2 end{pmatrix}.$$ |
| Решение |
|
Убеждаемся, что число столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$ для того, чтобы можно было выполнить умножение. Так как количество строк в $A$ равно двум, а количество столбцов в $B$ равно 2, то в результате должна получиться матрица с размерностью два на два. $$A times B = begin{pmatrix} 2&3&0 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0 \ 2&-1 \ 1&-2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} *&* \ *&* end{pmatrix}$$ Умножаем первую строку левой матрицы на второй столбец правой матрицы. $$begin{pmatrix} 2&3&0 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0 \ 2&-1 \ 1&-2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 2cdot1+3cdot2+0cdot1&* \ *&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&* \*&* end{pmatrix}$$ Умножим первую строку левой матрицы на второй столбец правой матрицы. $$begin{pmatrix} 2&3&0 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0 \ 2&-1 \ 1&-2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&2cdot0+3cdot(-1)+0cdot(-2) \ *&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3 \*&* end{pmatrix}$$ Аналогично поступаем теперь со второй строкой левой матрицы. Умножаем её на первый столбец правой матрицы. $$begin{pmatrix} 2&3&0 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0 \ 2&-1 \ 1&-2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3 \ 1cdot1+(-1)cdot2+2cdot1&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3 \1&* end{pmatrix}$$ Умножим вторую строку левой матрицы на второй столбец правой матрицы.$$begin{pmatrix} 2&3&0 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0 \ 2&-1 \ 1&-2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3 \ 1&1cdot0+(-1)cdot(-1)+2cdot(-2) end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3 \1&-3 end{pmatrix}$$ Вот таким образом можно перемножить матрицы разной размерности. |
| Ответ |
| $$Atimes B = begin{pmatrix} 8&-3 \1&-3 end{pmatrix}$$ |
| Пример 3 |
| Найти произведение матриц $Atimes B$ $$A = begin{pmatrix} 2&3&0 \ -1&2&3 \ 1&-1&2 end{pmatrix}, B = begin{pmatrix} 1&0&2 \ 2&-1&-2 \ 1&-2&4 end{pmatrix}.$$ |
| Решение |
|
Умножаем первую строку левой матрицы на первый столбец правой матрицы. $$begin{pmatrix} 2&3&0 \ -1&2&3 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0&2 \ 2&-1&-2 \ 1&-2&4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 2cdot1+3cdot2+0cdot1 &*&* \*&*&* \ *&*&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&*&* \ *&*&* \ *&*&* end{pmatrix}$$ Перемножим первую строку матрицы $A$ со вторым столбцом матрицы $B$. $$begin{pmatrix} 2&3&0 \ -1&2&3 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0&2 \ 2&-1&-2 \ 1&-2&4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&2cdot0+3cdot(-1)+0cdot(-2)&* \*&*&* \ *&*&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&* \ *&*&* \ *&*&* end{pmatrix}$$ Найдем произведение первой строки матрицы $A$ на третий столбец матрицы $B$. $$begin{pmatrix} 2&3&0 \ -1&2&3 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0&2 \ 2&-1&-2 \ 1&-2&4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&2cdot2+3cdot(-2)+0cdot4 \*&*&* \ *&*&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ *&*&* \ *&*&* end{pmatrix}$$ Возьмем вторую строку левой матрицы и умножим на первый столбец правой матрицы. $$begin{pmatrix} 2&3&0 \ -1&2&3 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0&2 \ 2&-1&-2 \ 1&-2&4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \(-1)cdot1+2cdot2+3cdot1&*&* \ *&*&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ 6&*&* \ *&*&* end{pmatrix}$$ Аналогично умножим вторую строчку на второй столбец. $$begin{pmatrix} 2&3&0 \ -1&2&3 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0&2 \ 2&-1&-2 \ 1&-2&4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ 6&(-1)cdot0+2cdot(-1)+3cdot(-2)&* \ *&*&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ 6&-8&* \ *&*&* end{pmatrix}$$ Таким же образом перемножим вторую строчку с третьим столбцом. $$begin{pmatrix} 2&3&0 \ -1&2&3 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0&2 \ 2&-1&-2 \ 1&-2&4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ 6&-8&(-1)cdot2+2cdot(-2)+3cdot4 \ *&*&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ 6&-8&6 \ *&*&* end{pmatrix}$$ Аналогично поступаем с третьей строкой левой матрицы, умножая её на три столбца правой матрицы. $$begin{pmatrix} 2&3&0 \ -1&2&3 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0&2 \ 2&-1&-2 \ 1&-2&4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ 6&-8&6 \ 1cdot1+(-1)cdot2+2cdot1&*&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ 6&-8&6 \ 1&*&* end{pmatrix}$$ $$begin{pmatrix} 2&3&0 \ -1&2&3 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0&2 \ 2&-1&-2 \ 1&-2&4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ 6&-8&6 \ 1&1cdot0+(-1)cdot(-1)+2cdot(-2)&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ 6&-8&6 \ 1&-3&* end{pmatrix}$$ $$begin{pmatrix} 2&3&0 \ -1&2&3 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0&2 \ 2&-1&-2 \ 1&-2&4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ 6&-8&6 \ 1&-3&1cdot2+(-1)cdot(-2)+2cdot4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ 6&-8&6 \ 1&-3&12 end{pmatrix}$$ |
| Ответ |
| $$Atimes B = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ 6&-8&6 \ 1&-3&12 end{pmatrix}$$ |
| Пример 4 |
| Найти произведение матриц $Atimes B$ $$A = begin{pmatrix} 2&3&0 \ -1&2&3 \ 1&-1&2 end{pmatrix}, B = begin{pmatrix} 1&0&2 \ 1&-2&4 end{pmatrix}.$$ |
| Решение |
| Количество столбцов в матрице $A$ равно трём и не совпадает с числом строк в матрице $B$, поэтому нельзя выполнить произведение $A times B$, но вот наоборот произведение $B times A$ можно сделать, так как количество столбцов в матрице $B$ равно количеству строк в $A$. Но так как в условии требуется вариант $Atimes B$, то ответ прост: нельзя выполнить умножение. |
| Ответ |
| Матрицы нельзя перемножить |
Умножение матриц наряду со сложением и вычитанием матриц относится к основным операциям и используется, в частности, при решении востребованных в логистике и производственной сфере систем линейных уравнений. Умножать можно только в случае согласованности двух матриц, то есть при равенстве количества столбцов в первой матрице с числом строк во второй.
Операция умножения матриц предполагает задействование в процессе вычисления всех вектор-строк одной матрицы и вектор-столбцов другой. Произведение предполагает выполнение вычисления произведения двух матриц A и B по определенному правилу. Каждые пересечения в произведении AB должны быть в соответствии с данными строк матрицы А и данных столбцов B.
Так при заполнении матрицы АВ в результате умножения A на B при заполнении клетки X12 будут учитываться значения строки матрицы A с значениями a11, a12 и столбцы матрицы B с значениями b12, b22. Для вычисления содержимого клетки матрицы AB X12 нужно a11 х b12 + a12 х b22.
-
Произведение матриц.
Произведением
матриц называется матрица, элементы
которой могут быть вычислены по следующим
формулам: AB
= C;
Из
приведенного определения видно, что
операция умножения матриц определена
только для матриц, число
столбцов первой из которых равно числу
строк второй.
-
Матричная запись линейного преобразования и системы линейных уравнений.
Матрица
линейного преобразования A:
в базисе e=||e1…en||
называется матрица, столбцы которой –
координатные столбцы векторов A(e1),…,
A(en)
в базисе e.
Системы линейных уравнений (основной
случай).
мы будем называть системой m
линейных уравнений с n
неизвестными x1,…,
xn.
Коэффициенты этих уравнений мы будем
записывать в виде матрицы
называемой матрицей системы. Числа,
стоящие в правых частях уравнений,
образуют столбец b,
называемый столбцом свободных членов.
-
Ассоциативность умножения матриц, транспонирование произведения матриц, умножение на единичную матрицу.
Операция
перемножения матриц ассоциативна,
т.е. если определены произведения АВ и
(АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется
равенство: (АВ)С=А(ВС).
Если
определено произведение АВ , то определено
произведение ВТАТ
и выполняется равенство: (АВ)Т
=
ВТАТ,
где индексом Т обозначается транспонированная
матрица.
Матрицу
В называют транспонированной
матрицей
А, а переход от А к В транспонированием,
если элементы каждой строки матрицы А
записать в том же порядке в столбцы
матрицы В.
А
=
;
В = АТ=
;
другими словами, bji
= aij.
В
качестве следствия из предыдущего
свойства (5) можно записать, что: (ABC)T
= CTBTAT,
при условии, что определено произведение
матриц АВС.
ATB
=
=
=
;
-
Сложение, вычитание матриц, произведение матрицы на число.
Матрицей
размера mn,
где m
– число строк, n
– число столбцов, называется таблица
чисел, расположенных в определенном
порядке. Эти числа называются элементами
матрицы. Место каждого элемента однозначно
определяется номером строки и столбца,
на пересечении которых он находится.
Элементы матрицы обозначаются aij,
где i-
номер строки, а j-
номер столбца.
А
=
Основные
действия над матрицами.
Матрица
может состоять как из одной строки, так
и из одного столбца. Вообще говоря,
матрица может состоять даже из одного
элемента. Если число столбцов матрицы
равно числу строк (m=n), то матрица
называется квадратной.
Единичная
матрица
– матрица, у которой на главной диагонали
стоят единицы, а остальные элементы =
0.
Если
amn
= anm
,
то матрица называется симметрической:
— симметрическая матрица.
Квадратная
матрица диагональ которой любые числа,
а остальные элементы = 0 называется
диагональной
матрицей.
-
Сложение матриц.
Определение
3.4. Суммой
матриц
А и В одинаковой размерности m
n
называется матрица С той же размерности,
каждый элемент которой равен сумме
элементов матриц А и В, стоящих на тех
же местах:
Свойства
сложения: 1. коммунитативность сложения:
А + В = В + А.
2.
Ассоциативность сложения: (А + В) + С = А
+ (В + С) .
3.
Если О – нулевая матрица, то А + О = О + А
= А
Замечание
1. Справедливость этих свойств следует
из определения операции сложения матриц.
Замечание
2. Отметим еще раз, что складывать можно
только матрицы одинаковой
размерности.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #