Формулировка задачи: Произведение N идущих подряд чисел разделили на K. Чему может быть равен остаток?
Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20 (Задачи на смекалку).
Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.
Пример задачи:
Произведение десяти идущих подряд чисел разделили на 7. Чему может быть равен остаток?
Решение:
Так как количество чисел, произведение которых берется, больше заданного делителя, остаток от деления будет равен 0. Поскольку среди чисел из произведения обязательно найдется число, которое делится нацело на заданный делитель.
Приведем несколько примеров:
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10 / 7 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10
16 ⋅ 17 ⋅ 18 ⋅ 19 ⋅ 20 ⋅ 21 ⋅ 22 ⋅ 23 ⋅ 24 ⋅ 25 / 7 = 3 ⋅ 16 ⋅ 17 ⋅ 18 ⋅ 19 ⋅ 20 ⋅ 22 ⋅ 23 ⋅ 24 ⋅ 25
Ответ: 0
Поделитесь статьей с одноклассниками «Произведение идущих подряд чисел разделили на число, чему равен остаток – как решать».
При копировании материалов с сайта ссылка на источник обязательна. Уважайте труд людей, которые вам помогают.
Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.
51 — это составное число 17*3. Поэтому, чтобы произведение целых чисел делилось на 51, необходимо и достаточно, чтобы в это произведение входило хотя бы одно число кратное 17 и числа кратные 3. Такая минимальная произвольная последовательность должна состоять из 17 чисел. Первая — 1,2,…,17. И далее последовательности 2,…,18; 3,…,19 и т.д., пока не получим последовательность 18,19,…,34. Поцесс получения последовательностей (и соответсвенно произведение из чисел) можно продолжать до бесконечности. И всегда в последовательность таких чисел будет входить ровно одно число кратное 17 и числа кратные 3. Речь идёт только о последовательностях, произведения чисел которых гарантированно делятся на 51. При меньшем числе гарантии, что произведение разделится, уже нет, хотя произведения чисел некоторых последовательносте и будут делиться на 51, например 50*51*52. Ответ: произведение последовательных чисел всегда делиться на 51, если состоит из 17 чисел.
Прим.: рассуждения для натуральных чисел, но для целых чисел ничего не меняется.
Слайд 2
Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают
n! и называют
«эн факториал»:
n!=1·2·3·…· (n-2)· (n-1)· n
Определение
Слайд 3
Факториал .
Произведение n натуральных чисел от
1 до
n обозначают n!:
Например :
Слайд 4
Теорема 1
n различных элементов можно расставить
по одному на n различных мест ровно n! способами.
Записывают
в виде краткой формулы: Pn=n!
Pn-это число перестановок из
n различных элементов.
Слайд 5
Чтобы найти количество перестановок из трех элементов, можно
не выписывать их, а воспользоваться комбинаторным правилом умножения.
Число
перестановок из n элементов
P3 = 6
Слайд 6
На первое место можно поставить
любой из трех
элементов.
Для каждого выбора первого элемента существует две возможности выбора
второго элемента из оставшихся двух элементов.
Для каждого выбора первых
двух элементов остается единственная
возможность выбора
третьего элемента.
Слайд 7
Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не
повторяются, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3?
Из
цифр 0, 1, 2, 3 можно получить из P4 перестановок.
Надо
исключить те перестановки, которые начинаются с 0, так как натуральное число не может начинаться с цифры нуль.
P4– P3
= 4! – 3! = 18.
Слайд 8
Имеется 9 тарелок, из них 4 – красные.
Сколькими способами можно расставить эти тарелки, чтобы все красные
тарелки стояли рядом?
Будем рассматривать красные тарелки, как одну тарелку.
P6
·
P4
= 6! · 4! = 17280.
Слайд 10
Назовите все пары элементов, составленные
из них:
Размещением
из n элементов
по k называют
любой упорядоченный набор
из k элементов, составленный из
n элементов.
Слайд 12
Пример :
Сколькими способами можно распределить два билета на
разные кинофильмы между семью друзьями?
Слайд 14
число всех выборов двух элементов без учета их
порядка из n данных элементов называют числом сочетаний из
n элементов по 2 и обозначают
(цэ из эн по два)
Определение
Слайд 15
(о выборе двух элементов). Если множество состоит из
n элементов и требуется выбрать два элемента без учета
их порядка, то такой выбор можно произвести
n(n-1)/2 способами.
Теорема 2
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика базового уровня
Математика базового уровня
Сайты, меню, вход, новости
Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Произведение десяти идущих подряд чисел разделили на 7. Чему может быть равен остаток?
Спрятать решение
Решение.
Среди 10 подряд идущих чисел одно из них обязательно будет делиться на 7, поэтому произведение этих чисел кратно семи. Следовательно, остаток от деления на 7 равен нулю.
Ответ: 0.
Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.
Из условия задачи известно, что сумма двух подряд идущих чисел равна 21. Нужно найти произведение этих чисел.
Прежде чем искать произведение нужно найти сами числа.
Решать задачу будем по составленному алгоритму
- введем переменную x — обозначив ею первое число;
- выразим второе число через первое и составим линейное уравнение, исходя из условия, что сумма этих слагаемых равна 21;
- решим линейное уравнение и найдем заданные числа;
- вычислим произведение найденных чисел.
Найдем заданные числа
Обозначим переменной х первое задуманное число. Так как в условии сказано, что числа идут подряд, то второе число можно представить в виде (x + 1). Из условия также известно, что сумма этих чисел равна 21.
С помощью уравнения это можно записать так:
x + (x + 1) = 21;
Решаем полученное линейное уравнение.
x + x + 1 = 21;
Перенесем в правую часть уравнения 1, при переносе слагаемых не забываем менять знак слагаемого на противоположный.
x + x = 21 — 1;
Приводим подобные слагаемые в обеих частях полученного равенства.
x(1 + 1) = 20;
2x = 20;
Ищем переменную как неизвестный множитель, разделив произведение на известный множитель.
x = 20 : 2;
x = 10.
Итак, первое слагаемое найдено и оно равно 10, так как второе слагаемое представлено в виде (x + 1), найдем его (10 + 1) = 11.
Искомые числа найдены и они равны 10 и 11 соответственно.
Найдем произведение найденных чисел
Ответом на вопрос задачи является произведение найденных чисел. Давайте вычислим его.
10 * 11 = 110.
Ответ: произведение заданных чисел равно 110.