Как найти произведение векторов матрицей - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Содержание:

Формула
Примеры вычисления векторного произведения векторов

Формула

Для того чтобы найти векторное произведение
$[bar{a}, bar{b}]$ двух векторов, заданных своими координатами
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и
$bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$ соответственно, необходимо
вычислить следующий определитель

$$[bar{a}, bar{b}]=left|begin{array}{ccc}bar{i} & bar{j} & bar{k} \ a_{x} & a_{y} & a_{z} \ b_{x} & b_{y} & b_{z}end{array}right|$$

Обычно такой определитель вычисляют разложением по первой строке. Отметим также, что результатом векторного произведения является вектор.

Примеры вычисления векторного произведения векторов

Пример

Задание. Найти векторное произведение векторов
$bar{a}=(1 ; 0 ; 0)$ и $bar{b}=(0 ; 1 ; 0)$

Решение. Для вычисления векторного произведения заданных векторов воспользуемся формулой

$$[bar{a}, bar{b}]=left|begin{array}{ccc}bar{i} & bar{j} & bar{k} \ a_{x} & a_{y} & a_{z} \ b_{x} & b_{y} & b_{z}end{array}right|$$

Подставляя координаты заданных векторов, получим:

$$[bar{a}, bar{b}]=left|begin{array}{lll}bar{i} & bar{j} & bar{k} \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0end{array}right|$$

Раскладываем определитель по первой строке:

$$[bar{a}, bar{b}]=left|begin{array}{ccc}bar{i} & bar{j} & bar{k} \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0end{array}right|=$$
$$=bar{i} cdotleft|begin{array}{cc}0 & 0 \ 1 & 0end{array}right|-bar{j} cdotleft|begin{array}{cc}1 & 0 \ 0 & 0end{array}right|+bar{k} cdotleft|begin{array}{cc}1 & 0 \ 0 & 1end{array}right|=$$
$$=0 cdot bar{i}-0 cdot bar{j}+1 cdot k$$

Первые два определителя равны нулю, так как они содержат нулевой столбец, а третий определитель вычисляем
как определитель второго порядка: от произведения элементов главной диагонали отнимаем произведение элементов побочной.

Итак, координаты искомого вектора равны коэффициентам при ортах, то есть

$$[bar{a}, bar{b}]=(0 ; 0 ; 1)$$

Ответ. $[bar{a}, bar{b}]=(0 ; 0 ; 1)$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Даны векторы
$bar{a}=(5 ; 3 ;-4)$ и $bar{b}=(6 ; 7 ;-8)$ . Найти координаты векторного произведения
$[bar{a}, bar{b}]$

Решение. Координаты векторного произведения
$[bar{a}, bar{b}]$ вычисляются по формуле

$$[bar{a}, bar{b}]=left|begin{array}{ccc}bar{i} & bar{j} & bar{k} \ a_{x} & a_{y} & a_{z} \ b_{x} & b_{y} & b_{z}end{array}right|$$

Подставляя координаты заданных векторов, получим:

$$[bar{a}, bar{b}]=left|begin{array}{ccc}bar{i} & bar{j} & bar{k} \ 5 & 3 & -4 \ 6 & 7 & -8end{array}right|$$

Раскладываем полученный определитель по первой строке:

$$=bar{i} cdotleft|begin{array}{cc}3 & -4 \ 7 & -8end{array}right|-bar{j} cdotleft|begin{array}{cc}5 & -4 \ 6 & -8end{array}right|+bar{k} cdotleft|begin{array}{cc}5 & 3 \ 6 & 7end{array}right|=$$
$$=[3 cdot(-8)-7 cdot(-4)] cdot bar{i}-[5 cdot(-8)-6 cdot(-4)] cdot bar{j}+$$
$$+[5 cdot 7-6 cdot 3] cdot bar{k}=(-24+28) bar{i}-(-40+24) bar{j}+(35-18) bar{k}=$$
$$=4 cdot bar{i}+16 cdot bar{j}+17 cdot bar{k}$$

Тогда

$$[bar{a}, bar{b}]=(4 ; 16 ; 17)$$

Ответ. $[bar{a}, bar{b}]=(4 ; 16 ; 17)$

Читать дальше: как найти смешанное произведение векторов.

Источник

Почему умножение матриц такое

Уровень сложности
Простой

Время на прочтение
3 мин

Количество просмотров 54K

Наверное, каждый задавался вопросом, почему умножение матриц такое. В этой статье мы разберём из каких соображений оно вводится именно так.

Маленькое предисловие

В дальнейшем нам понадобится такая структура, как векторное пространство, а точнее его частный случай $mathbb{R}^n$ — пространство столбцов высотынад Кратко напомню, что под этим понимается.

Во-первых, $mathbb{R}^n$ — это следующее множество

$mathbb{R}^n={[x_1,ldots,x_n] ,|,x_iinmathbb{R}},$

где таким образом обозначен вектор-столбец высотыто есть

$[x_1,ldots,x_n]=left(begin{array}{c} x_1 \ vdots \ x_n end{array}right).$

Во-вторых, для любых векторов $x,y in mathbb{R}^n$ определено сложение

и для любого вектора $x in mathbb{R}^n$ определено умножение на скаляр

В-третьих, каждый вектор $x in mathbb{R}^n$ единственным образом представим в следующем виде

где — скаляры, а — следующая система векторов

Такая система векторов называется базис, а скаляры, участвующие в разложение вектора, называются координатами этого вектора в данном базисе. Стоит отметить, что в $mathbb{R}^n$ это не единственный базис, но везде далее под «зафиксируем базис» можно понимать именно эту систему векторов.

Умножение матрицы на вектор

Прежде чем переходить к умножению матриц, посмотрим, из каких соображений вводится умножение матрицы на вектор. Для этого рассмотрим линейное отображение

$mathcal{A}:mathbb{R}^n rightarrow mathbb{R}^m.$

То, что— линейное отображение, означает, что для любых векторов $x,y in mathbb{R}^n$ и любого скаляравыполняются следующие два условия:

$begin{array}{l} mathcal{A}(x+y)=mathcal{A}x + mathcal{A}y.\ mathcal{A}(lambda x)=lambdamathcal{A}x. end{array}$

Или их можно объединить в одно

$mathcal{A}(lambda_1 x + lambda_2 y)=lambda_1mathcal{A} x + lambda_2 mathcal{A}y.$

Нас интересует, как линейное отображениедействует на произвольный вектор $x in mathbb{R}^n.$ Для этого зафиксируем в $mathbb{R}^n$ базис а в $mathbb{R}^m$ базис Теперь мы можем разложить векторпо базису

и представитьв следующем виде

$mathcal{A}x=mathcal{A}(x_1e_1+ldots+x_ne_n)=x_1mathcal{A}e_1+ldots+x_nmathcal{A}e_n.$

Заметим, что $mathcal{A}e_1,ldots,mathcal{A}e_n in mathbb{R}^m,$ а поскольку в $mathbb{R}^m$ зафиксирован базис, то эти векторы также можно разложить по базису

$mathcal{A}e_1 = a_{11}f_1+a_{21}f_2+ldots+a_{m1}f_m, \ mathcal{A}e_2 = a_{12}f_1+a_{22}f_2+ldots+a_{m2}f_m, \ ldots \ mathcal{A}e_n = a_{1n}f_1+a_{2n}f_2+ldots+a_{mn}f_m.$

или тоже самое в векторной записи

$begin{array}{cccc} mathcal{A}e_1 = left( begin{array}{c} a_{11}\ vdots \ a_{m1} end{array} right), & mathcal{A}e_2 = left( begin{array}{c} a_{12}\ vdots \ a_{m2} end{array} right), & ldots &, & mathcal{A}e_n = left( begin{array}{c} a_{1n}\ vdots \ a_{mn} end{array} right) end{array}.$

Подставляем в равенство выше и получаем

$x_1mathcal{A}e_1+ldots+x_nmathcal{A}e_n= x_1 left( begin{array}{c} a_{11}\ vdots \ a_{m1} end{array} right) + ldots + x_n left( begin{array}{c} a_{1n}\ vdots \ a_{mn} end{array} right) = left( begin{array}{c} x_1a_{11} + ldots + x_na_{1n}\ vdots \ x_1a_{m1} + ldots + x_na_{mn} end{array} right)$

Но правая часть равенства есть не что иное, как формула умножения матрицы на вектор-столбец

$left( begin{array}{ccc} a_{11} & ldots & a_{1n} \ vdots & ddots & vdots \ a_{m1} & ldots & a_{mn} end{array} right) left( begin{array}{c} x_{1} \ vdots \ x_n end{array} right),$

где столбцы матрицы есть векторы $mathcal{A}e_1,ldots,mathcal{A}e_n$

Получается, можно ввести умножение матрицы на вектор по следующему правилу

$small left( begin{array}{ccc} a_{11} & ldots & a_{1n} \ vdots & ddots & vdots \ a_{m1} & ldots & a_{mn} end{array} right) left( begin{array}{c} x_{1} \ vdots \ x_n end{array} right) = x_1 left( begin{array}{c} a_{11}\ vdots \ a_{m1} end{array} right) + ldots + x_n left( begin{array}{c} a_{1n}\ vdots \ a_{mn} end{array} right) = left( begin{array}{c} x_1a_{11} + ldots + x_na_{1n}\ vdots \ x_1a_{m1} + ldots + x_na_{mn} end{array} right).$

И такое определение умножения будет согласовано с тем, как линейное отображениедействует на вектор

Если теперь обозначить то координаты вектора выражаются через координаты вектора следующим образом

$y_i = sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_j,quad i = 1,ldots,m,$

Кроме того, мы получили и другой важный результат, вернёмся к выражению для

$mathcal{A}x=mathcal{A}(x_1e_1+ldots+x_ne_n)=x_1mathcal{A}e_1+ldots+x_nmathcal{A}e_n.$

Из него следует, что линейное отображениеполностью определяется своими значениями на базисных векторах, то есть, если нужно найтито достаточно знать $mathcal{A}e_1,ldots,mathcal{A}e_n.$

Далее, мы поместили эти векторы в матрицу и определили умножение так, чтоесть произведение соответствующей матрицынаПолучается, что линейному отображению можно поставить в соответствие матрицу, которая полностью его определяет

$forall x in mathbb{R}^n: mathcal{A}x = Ax.$

Такая матрица называется матрицей линейного отображенияв выбранных базисах пространств $mathbb{R}^n$ и $mathbb{R}^m.$

Если говорить более строго, то существует взаимно однозначное соответствие между линейными отображениями из $mathbb{R}^n$ в $mathbb{R}^m$ и матрицами размера

Теперь мы можем перейти к умножению матрицы на матрицу.

Умножение матрицы на матрицу

Рассмотрим линейные отображенияи

$mathcal{A} : mathbb{R}^m rightarrow mathbb{R}^s, quad mathcal{B} : mathbb{R}^n rightarrow mathbb{R}^m,$

и их композицию

Легко проверяется, что будет линейным отображением

$mathcal{C}(lambda_1x+lambda_2y)= (mathcal{A} circ mathcal{B})(lambda_1x+lambda_2y)= mathcal{A}(mathcal{B}(lambda_1x)+mathcal{B}(lambda_2y))=mathcal{A}(lambda_1mathcal{B}x+lambda_2mathcal{B}y)= \ = lambda_1mathcal{A}(mathcal{B}x)+lambda_2mathcal{A}(mathcal{B}y)=lambda_1mathcal{C}x+lambda_2mathcal{C}y.$

Поэтому, если зафиксировать в $mathbb{R}^n, mathbb{R}^m$ и $mathbb{R}^s$ базисы, то каждому линейному отображению можно поставить в соответствие его матрицу

Нас теперь интересует, как между собой они связаны. Для этого рассмотрим следующее равенство

и найдём координаты вектора через координаты вектора

Так както

$z_i=sum_{k=1}^{m}a_{ik}y_k, quad i =1,ldots,s.$

Но из равенстваследует, что

$y_k=sum_{j=1}^{n}b_{kj}x_j, quad k = 1,ldots,m.$

Подставляем в равенство выше и получаем

$z_i=sum_{k=1}^{m}a_{ik}y_k= sum_{k=1}^{m}a_{ik}sum_{j=1}^{n}b_{kj}x_j=sum_{j=1}^{n}(sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj})x_j, quad i =1,ldots,s.$

С другой стороны,то есть

$z_i= sum_{j=1}^{n}c_{ij}x_j, quad i = 1,ldots,s.$

Сравнивая первое и второе равенство для координатполучаем такое соотношение

$c_{ij}=sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj} quad (i=1,ldots,s;,j=1,ldots,n),$

которое является формулой умножения матрицы на матрицу.

Таким образом, умножение матрицы на матрицу вводится исходя из того, как действует композиция линейных отображений.

Другими словами, если линейным отображениямипоставить в соответствие их матрицыито композиции этих отображенийставится в соответствие матрица, которая является произведением матриц

Отсюда, кстати, следует, что матрицыиможно умножить только тогда, когда число столбцов матрицыравно числу строк матрицы

Пусть — матрица размера а — матрица размера Тогда, если в пространствах $mathbb{R}^n,mathbb{R}^m,mathbb{R}^k$ и $mathbb{R}^s$ зафиксировать базисы, то этим матрицам ставятся в соответствие линейные отображенияи

$mathcal{A}:mathbb{R}^n rightarrow mathbb{R}^m,quad mathcal{B}: mathbb{R}^k rightarrow mathbb{R}^{s}.$

Но композиция определена только тогда, когда то есть число столбцов матрицыравно числу строк матрицы

Заключение

Таким образом, умножение матриц вводится исходя из того, как действуют линейные отображения. И это намекает на некую связь между ними.

Ниже оставлю различные учебники по алгебре, где можно про всё это прочитать более подробно, и другие различные источники.

Ссылки на литературу и различные источники

Основное:

[1] Введение в алгебру. В 3 частях. Часть 1. Основы алгебры. Кострикин А.И.

Дополнительное:

[1] Введение в алгебру. В 3 частях. Часть 2. Линейная алгебра. Кострикин А.И.

[2] Линейная алгебра и геометрия, Кострикин А.И., Манин Ю.И.

Прочее:

Для создания графики использовался manimCE: https://github.com/manimCommunity/manim

Кому интересно, то вот видео к статье:

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти смешанное произведение трех векторов через вычисление определителя соответствующей матрицы, перечислим свойства этой операции, а также разберем пример решения задачи.

Нахождение смешанного произведения векторов
Свойства смешанного произведения векторов
Пример задачи

Нахождение смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов равняется определителю матрицы, которая составлена из координат этих векторов.

Алгоритм действий следующей:

Допустим, у нас есть три вектора: a = {a_x; a_y; a_z}, b = {b_x; b_y; b_z} и с = {с_x; с_y; с_z}. Чтобы найти их смешанное произведение (в декартовой системе) мы составляем матрицу с элементами, как показано ниже, и затем просто вычисляем ее определитель.

Свойства смешанного произведения векторов

1. Модуль смешанного произведения трех векторов равняется объему параллелепипеда, который образован этими векторами.

V_{паралл.} = |a · [b × c]|

2. Объем пирамиды, которая образована тремя векторами, равняется 1/6 от модуля смешанного произведения данных векторов.

V_{паралл.} = 1/6 · |a · [b × c]|

3. Смешанное произведение трех ненулевых компланарных векторов равняется нулю.

4. a · [b × c] = b · (a · c) – c · (a · b)

5. a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = –a · [c ×b] = –b · [a ×c] = –c · [b ×a]

6. a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 (тождество Якоби)

Пример задачи

Найдем смешанное произведение векторов a = {3; 8; 4}, b = {1; -10; 12} и с = {11; 5; 9}.

Решение:

a · [b × c] = 3 · (-10) · 9 + 11 · 8 · 12 + 1 · 5 · 4 – 11 · (-10) · 4 – 3 · 5 · 12 – 1 · 8 · 9 = -270 + 1056 + 20 + 440 – 180 – 72 = 994

Источник