Как найти произведение векторов по координатам точек

Векторное произведение векторов

Определение

Векторное произведение векторов, формула которого зависит от исходных данных задачи, можно найти двумя способами.

Формула

Определитель во второй формуле можно раскрыть по первой строке:

$$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix} = overline{i} (a_2 b_3 — a_3 b_2) — overline{j} (a_1 b_3 — a_3 b_1) + overline{k} (a_1 b_2 — a_2 b_1) $$

Итого вторая формула приобретает окончательный короткий вид:

$$ overline{a} times overline{b} = (a_2 b_3 — a_3 b_2; a_3 b_1 — a_1 b_3; a_1 b_2 — a_2 b_1) $$

Свойства

1. При изменении порядка множителей меняется знак на противоположный: $$ [overline{a},overline{b}] = -[overline{b},overline{a}] $$
2. Вынос константы за знак произведения: $$ lambda [overline{a},overline{b}] = [lambda overline{a}, overline{b}] = [overline{a}, lambda overline{b}] $$
3. $$ [overline{a}+overline{b}, overline{c}] = [overline{a},overline{c}] + [overline{b}, overline{c}] $$

Примеры решений

Геометрический смысл

• Модуль векторного произведения векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $ в геометрическом смысле равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах: $$ S_{parall} = |overline{a} times overline{b}| $$
• Половина этого модуля это площадь треугольника: $$ S_Delta = frac{1}{2} |overline{a} times overline{b} | $$
• Если векторное произведение равно нулю $ overline{a} times overline{b} = 0 $, то векторы коллинеарны.

Угол между векторами

Для того чтобы мы могли ввести понятие векторного произведения двух векторов, нужно сначала разобраться с таким понятие, как угол между этими векторами.

Пусть нам даны два вектора $overline{α}$ и $overline{β}$. Возьмем в пространстве какую-либо точку $O$ и отложим от нее векторы $overline{α}=overline{OA}$ и $overline{β}=overline{OB}$, тогда угол $AOB$ будет называться углом между этими векторами (рис. 1).

Причем мы будем считать, что если векторы $overline{α}$ и $overline{β}$ будут сонаправленными, или один или оба из них нулевой, то угол между этими векторами будет равен $0^circ$.

Обозначение: $∠(overline{α},overline{β})$

Понятие векторного произведения векторов и формула нахождения

Обозначение: $overline{α}хoverline{β}$.

Математически это выглядит следующим образом:

1. $|overline{α}хoverline{β}|=|overline{α}||overline{β}|sin⁡∠(overline{α},overline{β})$
2. $overline{α}хoverline{β}⊥overline{α}$, $overline{α}хoverline{β}⊥overline{β}$
3. $(overline{α}хoverline{β},overline{α},overline{β})$ и $(overline{i},overline{j},overline{k})$ одинаково ориентированы (рис. 2)

Очевидно, что внешнее произведение векторов будет равняться нулевому вектору в двух случаях:

1. Если длина одного или обоих векторов равняется нулю.
2. Если угол между этими векторами будет равняться $180^circ$ или $0^circ$ (так как в этом случае синус равняется нулю).

Чтобы наглядно увидеть, как находится векторное произведение векторов, рассмотрим следующие примеры решения.

Вычисление векторного произведения по координатам векторов

Из определения 1 сразу же вытекает и способ нахождения векторного произведения для двух векторов. Поскольку вектор кроме значения имеет еще и направление, находить его только при помощи скалярной величины невозможно. Но помимо него существует еще способ нахождения с помощью координат данных нам векторов.

Пусть нам даны векторы $overline{α}$ и $overline{β}$, которые будут иметь координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно. Тогда вектор векторного произведения (а именно его координаты) можно найти по следующей формуле:

$overline{α}хoverline{β}=begin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\α_1&α_2&α_3\β_1&β_2&β_3end{vmatrix}$

Иначе, раскрывая определитель, получим следующие координаты

$overline{α}хoverline{β}=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Свойства векторного произведения векторов

Для произвольных смешанных трех векторов $overline{α}$, $overline{β}$ и $overline{γ}$, а также $r∈R$ справедливы следующие свойства:

1. $overline{α}хoverline{β}=-(overline{β}хoverline{α})$

   Верность этого свойства будет следовать из третьего пункта определения 1.

2. $(roverline{α})хoverline{β}=r(overline{α}хoverline{β})$ и $overline{α}х(roverline{β})=r(overline{α}хoverline{β})$

   Из формулы для нахождения векторного произведения будем получать:

   $(roverline{α})overline{β}=begin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\rα_1&rα_2&rα_3\β_1&β_2&β_3end{vmatrix}=rbegin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\α_1&α_2&α_3\β_1&β_2&β_3end{vmatrix}=r(overline{α}хoverline{β})$

   $overline{α}х(roverline{β})=begin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\α_1&α_2&α_3\rβ_1&rβ_2&rβ_3end{vmatrix}=rbegin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\α_1&α_2&α_3\β_1&β_2&β_3end{vmatrix}=r(overline{α}хoverline{β})$

3. $overline{α}х(overline{β}+overline{γ})=overline{α}overline{β}+overline{α}overline{γ}$ и $(overline{α}+overline{β})overline{γ}=overline{α}overline{γ}+overline{β}overline{γ}$.

   Данное свойство векторного произведения векторов также можно проверить с помощью формулы.

   Следующее свойство называют геометрическим смыслом векторного произведения:

4. Длина вектора векторного произведения равняется площади параллелограмма, который нужно было построить между ними (рис. 4)

   

   Рисунок 4. Длина вектора векторного произведения. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Содержание:

• Формула
• Примеры вычисления векторного произведения векторов

Формула

Для того чтобы найти векторное произведение
$[bar{a}, bar{b}]$ двух векторов, заданных своими координатами
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и
$bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$ соответственно, необходимо
вычислить следующий определитель

Обычно такой определитель вычисляют разложением по первой строке. Отметим также, что результатом векторного произведения является вектор.

Примеры вычисления векторного произведения векторов

Читать дальше: как найти смешанное произведение векторов.

Векторное произведение двух векторов a и b  – это  вектор, который перпендикулярен плоскости этих же обоим исходным векторам.