Как найти произведение векторов правило - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Векторное произведение векторов

Определение

Векторным произведением векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $ является вектор $ overline{c} $, который расположен перпендикулярно к плоскости, образуемой векторами $ overline{a} $ и $ overline{b} $. Само произведение обозначается как $ [overline{a},overline{b}] $, либо $ overline{a} times overline{b} $.

Векторное произведение векторов, формула которого зависит от исходных данных задачи, можно найти двумя способами.

Формула

Формула 1

Если известен синус угла между векторами $ overline{a} $ и $ overline{b} $, то найти векторное произведение векторов можно по формуле:

$$ [overline{a},overline{b}] = |overline{a}| cdot |overline{b}| cdot sin (overline{a},overline{b}) $$

Формула 2

В случае когда векторы $ overline{a} $ и $ overline{b} $ заданы в координатной форме, то их произведение определяется по формуле:

$$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix} $$

где векторы $ overline{i},overline{j},overline{k} $ называются единичными векторами соответствующих осей $ Ox, Oy, Oz $.

Определитель во второй формуле можно раскрыть по первой строке:

$$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix} = overline{i} (a_2 b_3 — a_3 b_2) — overline{j} (a_1 b_3 — a_3 b_1) + overline{k} (a_1 b_2 — a_2 b_1) $$

Итого вторая формула приобретает окончательный короткий вид:

$$ overline{a} times overline{b} = (a_2 b_3 — a_3 b_2; a_3 b_1 — a_1 b_3; a_1 b_2 — a_2 b_1) $$

Свойства

При изменении порядка множителей меняется знак на противоположный: $$ [overline{a},overline{b}] = -[overline{b},overline{a}] $$
Вынос константы за знак произведения: $$ lambda [overline{a},overline{b}] = [lambda overline{a}, overline{b}] = [overline{a}, lambda overline{b}] $$
$$ [overline{a}+overline{b}, overline{c}] = [overline{a},overline{c}] + [overline{b}, overline{c}] $$

Примеры решений

Пример 1

Найти векторное произведение векторов, заданных координатами

$$ overline{a} = (2,1,-3) $$ $$ overline{b} = (1,2,-1) $$

Решение

Составляем определитель, первая строка которого состоит из единичных векторов, а вторая и третья из координат векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $:

$$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ 2&1&-3\1&2&-1 end{vmatrix} = overline{i} (-1+6) — overline{j}(-2+3) + overline{k}(4-1) = 5overline{i} — overline{j} + 3overline{k} $$

Полученный ответ можно записать в удобном виде:

$$ overline{a} times overline{b} = (5, -1, 3) $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ overline{a} times overline{b} = (5, -1, 3) $$

Геометрический смысл

Модуль векторного произведения векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $ в геометрическом смысле равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах: $$ S_{parall} = |overline{a} times overline{b}| $$
Половина этого модуля это площадь треугольника: $$ S_Delta = frac{1}{2} |overline{a} times overline{b} | $$
Если векторное произведение равно нулю $ overline{a} times overline{b} = 0 $, то векторы коллинеарны.

Пример 2

Найти площадь треугольника по заданным векторам $$ overline{a} = (2,1,3) $$ $$ overline{b} = (-1,2,1) $$

Решение

Используя геометрический смысл, в частности вторую формулу находим половину модуля векторного произведения векторов.

Находим определитель:

$$ begin{vmatrix} overline{i}&overline{j}&overline{k}\2&1&3\-1&2&1 end{vmatrix} = overline{i}(1-6) — overline{j}(2+3) + overline{k}(4+1) = -5overline{i} — 5overline{j} + 5overline{k} $$

Вычисляем модуль полученного вектора как корень квадратный из суммы квадратов координат этого вектора:

$$ |overline{a} times overline{b}| = sqrt{(-5)^2 + (-5)^2 + 5^2} = sqrt{25 + 25 + 25} = sqrt{75} $$

По формуле нахождения площади треугольника имеем:

$$ S_Delta = frac{1}{2} |overline{a} times overline{b}| = frac{1}{2} sqrt{75} = 4.33 $$

Ответ

$$ S_Delta = 4.33 $$

Источник

Правило вычисления векторного произведения

Для
заданных в декартовом базисе {i¸j¸k}
векторов

их
векторное произведение может быть
найдено по формуле

Из
определения и свойств следует и

Основные приложения векторного произведения

Если
S_∆
— площадь треугольника построенного
на векторах

и
,
а φ
— угол между ними то

Если
h — высота пирамиды (параллелепипеда
(призмы)), построенного (смотри следующий
ниже рисунок) на векторах
как на ребрах, то она может быть
найдена по формуле

Смешанное произведение векторов.

Смешанным
произведением
трех векторов
называется число, равноескалярному
произведению векторного произведения
первых двух векторов на третий.

Обозначив
смешанное произведение символом (),
по определению, имеем

()
=·

В
декартовом базисе смешанное произведение
векторов

вычисляется
по формуле

()
=

Геометрически
модуль смешанного произведения ()
равен объему параллелепипеда,
построенного на векторахкак на ребрах. Из этого, в частности,
вытекает, что он же равен удвоенному
объему соответствующе призмы и
«ушестеренному» объему пирамиды с
теми же ребрами.

Пример.
В пирамиде (рис. 9), построенной на
векторах
,,

Найти
площадь основания, построенного на
и;
высоту, опущенную из «конца»и проверить «школьную» формулу объема
с помощью смешанного произведения.

Решение:

С другой стороны

Азы аналитической геометрии. Уравнения прямой на плоскости.

рямую
(l), «вложенную
в декартову систему координат (д.с.к)
на плоскости (рис. 10), вполне определяют
лежащая на ней фиксированная точка
М₀
(х₀,у₀,z₀)
и так называемый направляющий вектор

коллинеарный этой прямой. Условием
принадлежности «текущей» (произвольной)
точки М (х,у,z) к этой прямой является
равенство

(t — «коэффициент
коллинеарности»). Переписанное в виде

(1)

оно
именуется как векторно
– параметрическое
уравнение прямой. Из него вырастает
целый букет» уравнений все той же
прямой. Это:

параметрические
уравнения прямой
—

;
(2)

каноническое
уравнение прямой
—

; (3)

уравнение
прямой с нормальным вектором

,
содержащей точку М₀
(х₀,у₀,z₀)
—

А·(x-x₀)+B·(y-y₀)=0

(4)

уравнение
прямой, проходящей через две точки
М₀
(х₀,у₀,z₀)
и М₁
(х₁,у₁,z₁)
—

;
(5)

уравнение
прямой с угловым коэффициентом
k,
содержащей точку М₀
(х₀,у₀,z₀)
—

;
(6)

«школьное»
уравнение прямой —

;
(7)

общее уравнение
прямой

.
(8)

Угол между прямыми.

Угол
θ между прямыми (1) и (2) (рис. 11) с
известными угловыми k₁
и k₂
может быть найден по формуле

Отсюда, если
прямые перпендикулярны, то

k₁·k₂
= -1

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Что такое произведение векторов

Определение

Векторное произведение двух векторов в трёхмерном евклидовом пространстве — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, длина которого равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами.

Это одна из основных операций над векторами в векторной алгебре. Вектор, в отличие от обычного отрезка, имеет не только длину, но и направление в пространстве.

Основные типы перемножения векторов

В математике есть два основных вида умножения векторов: скалярное и векторное. Результатом первого является число, результатом второго — вектор. Оба произведения применяются к двум векторам. Также выделяют смешанное произведение векторов, которое является комбинацией двух вышеописанных. Оно применяется, когда необходимо узнать результат умножения трех векторов.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Скалярное

Определение

Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Длина вектора является его модулем.

Записывается скалярное произведение двумя способами: ( (overline a,;overline b) ) или ( overline acdotoverline b.)

Алгебраические свойства скалярного произведения

Перестановочность. Произведение не меняется от перемены мест множителей: (overline acdotoverline b=overline bcdotoverline a.)
Сочетательность относительно числа. Умножение одного из векторов на число равносильно умножению обоих векторов на это число: ((lambdaoverline a)cdotoverline b=lambda(overline acdotoverline b)(lambdaoverline a)cdot(muoverline b)=(lambdamu)(overline acdotoverline b).)
Распределительный закон. Скалярное произведение суммы двух векторов на третий равносильно сумме скалярных произведений этих векторов на третий вектор: ((overline a+overline b)cdotoverline c=overline acdotoverline c+overline bcdotoverline c.)

Примечание

Таким образом, при выполнении алгебраических действий, связанных со скалярным произведением, с векторами можно обращаться как с числами.

Геометрические свойства скалярного умножения

Скалярное произведение вектора на него же равняется квадрату его модуля: (overline acdotoverline a=overline a^2=overline{left|aright|}cdotoverline{left|aright|}cdotcosleft(0right)=left|overline a^2right|.)
Если угол между векторами острый (меньше (90^circ)), то скалярное произведение этих векторов больше нуля.
Если угол между векторами тупой (больше (90^circ)), то их скалярное произведение меньше нуля.
Если вектора перпендикулярны (угол равен (90^circ)), то их скалярное произведение будет равняться нулю.
Если координаты перемножаемых векторов известны, то их скалярное произведение будет равняться сумме произведений соответствующих координат:( overline acdotoverline b=a_xcdot b_x+a_ycdot b_y+a_zcdot b_z.)

Геометрический смысл

Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию второго вектора на первый.

(overline acdotoverline b=left|overline aright|cdot пр_overline aoverline b=overline{left|bright|}cdot пр_overline boverline a)

(пр_overline boverline a=frac{overline acdotoverline b}{left|overline bright|})

Физический смысл

Скалярное произведение применяется для расчета работы, выполняемой при перемещении материальной точки вдоль вектора (overline s) под действием силы (overline F), приложенной под некоторым углом (varphi.)

Физический смысл скалярного произведения

Рисунок 1. Физический смысл скалярного произведения

Силу (overline F) необходимо разложить на ортогональные компоненты (overline{F_1}) и (overline{F_2}.) Тогда (overline{F_1}) будет являться проекцией силы (overline F) на вектор (overline s:)

(left|overline{F_1}right|=left|overline Fright|cdotcosleft(varphiright).)

В свою очередь, работа A вычисляется по формуле:

(A=left|overline{F_1}right|cdotleft|overline Sright|.)

Соединив данные формулы получим:

(A=left|overline Fright|cdotleft|overline Sright|cdotcosleft(varphiright),)

что является скалярным произведением векторов (overline F) и (overline s:)

(A=overline Fcdotoverline S.)

Векторное

Определение

Векторным произведением векторов overline a и overline b называют перпендикулярный им вектор overline c из правой тройки, модуль которого равняется произведению модулей векторов overline a и overline b на синус угла между ними.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму совершается против часовой стрелки. В противном случае такая тройка называется левой.

Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Векторное произведение может выражаться в записи двумя способами: (overline atimesoverline b) и (lbrackoverline a,overline brbrack.)

Алгебраические свойства

Антиперестановочность. В отличие от скалярного произведения, в векторном при перемене мест множителей знак меняется на противоположный: (overline atimesoverline b=-(overline btimesoverline a))
Сочетательность относительно числа. Как и в случае со скалярным умножением, произведение числа на один из векторов равняется произведению его на другой или на оба вектора: ((lambdaoverline a)timesoverline b=overline atimes(lambdaoverline b)=lambda(overline atimesoverline b).)
Распределительный закон. Векторное произведение суммы двух векторов на третий равносильно сумме векторных произведений этих векторов на третий вектор: ((overline a+overline b)timesoverline c=overline atimesoverline c+overline btimesoverline c.)

Из этого следует, что при выполнении алгебраических действий, связанных с векторным произведением, скобки можно раскрывать так же, как при работе с числами, с поправкой на правило антиперестановочности.

Геометрические свойства

Если вектора (overline a) и (overline b) параллельны, то их векторное произведение равняется нулю.
Векторное произведение векторов с известными координатами выражается в матричном виде: (overline atimesoverline b=begin{vmatrix}i&j&k\a_x&a_y&a_z\b_x&b_y&b_zend{vmatrix}=left(begin{vmatrix}a_y&a_z\b_y&b_zend{vmatrix};;-begin{vmatrix}a_x&a_z\b_x&b_zend{vmatrix};;begin{vmatrix}a_x&a_y\b_x&b_yend{vmatrix}right).)

Геометрический смысл

Модуль векторного произведения двух векторов равняется площади параллелограмма, сторонами которого являются эти вектора.

Геометрический смысл векторного произведения

Рисунок 2. Геометрический смысл векторного произведения

Из определения векторного умножения следует, что модуль полученного вектора равняется произведению модулей исходных векторов на синус угла между ними:

Площадь параллелограмма вычисляется так:

(S=left|overline aright|cdot h, где h=left|overline bright|cdotsinleft(varphiright).)

Таким образом, получаем:

Отсюда следует формула для площади треугольника:

(S_bigtriangleup=frac12left|overline atimesoverline bright|)

Физический смысл

В физике векторное произведение применяется для расчета момента силы, приложенной к одной точке относительно другой:

(overline M=overline{AB}timesoverline F)

Смешанное умножение векторов

Фактически, смешанное произведение векторов представляется как скалярное умножение одного вектора на векторное произведение двух других. Результатом смешанного произведения является число.

Свойства смешанного умножения

((overline atimesoverline b)cdotoverline c=overline acdot(overline btimesoverline c)=overline acdotoverline bcdotoverline c.)
Если (overline acdotoverline bcdotoverline c) больше нуля, тройка векторов — правая.
Если( overline acdotoverline bcdotoverline c) меньше нуля, тройка векторов — левая.
Если вектора (overline a, overline b) и (overline c) компланарны, то их смешанное произведение равняется нулю.

Геометрический смысл

Если вектора overline a, overline b и overline c не компланарны, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Число будет положительным, если тройка векторов правая, и отрицательным, если тройка левая.

(V_{пар.}=overline acdotoverline bcdotoverline c)

Следствием этого является формула нахождения объема пирамиды:

(V_{пир.}=frac16left(overline acdotoverline bcdotoverline cright))

Произведение векторов, примеры и решения

Задача №1

Даны вектора (overline a=(-1,;0,;3) и overline b=(2,;-3,;1).)

Найти их скалярное произведение.

Решение

Возьмем формулу скалярного произведения для векторов с известными координатами:

(overline acdotoverline b=a_xcdot b_x+a_ycdot b_y+a_zcdot b_z) и подставим имеющиеся значения:

(overline acdotoverline b=(-1)cdot2+0cdot(-3)+3cdot1=1)

Задача №2

Найти площадь треугольника с известными координатами угловых точек

Задача №2

Координаты точек: (A(-1,;2,;3), B(0,;-2,;1), C(1,;2,;1))

Решение

Для решения этой простейшей задачи из геометрии воспользуемся следствием геометрического смысла векторного произведения:

(S_bigtriangleup=frac12left|overline atimesoverline bright|)

В данном случае треугольник построен на векторах( overline{AB}) и (overline{AC}). Чтобы рассчитать их координаты, необходимо вычесть из координат конечной точки координаты начальной:

(overline{AB}=(0-(-1),;(-2)-2,;1-3)=(1,;-4,;-2))

(overline{AC}=(1-(-1),;2-2,;1-3)=(2,;0,;-2))

Векторное произведение векторов с известными координатами выполняется в матричном виде:

(overline atimesoverline b=begin{vmatrix}i&j&k\a_x&a_y&a_z\b_x&b_y&b_zend{vmatrix}=left(begin{vmatrix}a_y&a_z\b_y&b_zend{vmatrix};;-begin{vmatrix}a_x&a_z\b_x&b_zend{vmatrix};;begin{vmatrix}a_x&a_y\b_x&b_yend{vmatrix}right))

Подставляем значения векторов( overline{AB}) и (overline{AC}) в матрицу и производим вычисления:

(overline{AB}timesoverline{AC}=begin{vmatrix}i&j&k\1&-4&-2\2&0&-2end{vmatrix}=left(ibegin{vmatrix}-4&-2\0&-2end{vmatrix};;-jbegin{vmatrix}1&-2\2&-2end{vmatrix};;kbegin{vmatrix}1&-4\2&0end{vmatrix}right)=8i-2j+8k)

Подставляем полученное значение в формулу вычисления площади треугольника, учитывая, что в ней фигурирует модуль произведения:

(S_bigtriangleup=frac12left|overline{AB}timesoverline{AC}right|=frac12sqrt{8^2+{(-2)}^2+8^2}=sqrt{132}=11.49)

Источник

Содержание:

Формула
Примеры вычисления векторного произведения векторов

Формула

Для того чтобы найти векторное произведение
$[bar{a}, bar{b}]$ двух векторов, заданных своими координатами
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и
$bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$ соответственно, необходимо
вычислить следующий определитель

$$[bar{a}, bar{b}]=left|begin{array}{ccc}bar{i} & bar{j} & bar{k} \ a_{x} & a_{y} & a_{z} \ b_{x} & b_{y} & b_{z}end{array}right|$$

Обычно такой определитель вычисляют разложением по первой строке. Отметим также, что результатом векторного произведения является вектор.

Примеры вычисления векторного произведения векторов

Пример

Задание. Найти векторное произведение векторов
$bar{a}=(1 ; 0 ; 0)$ и $bar{b}=(0 ; 1 ; 0)$

Решение. Для вычисления векторного произведения заданных векторов воспользуемся формулой

$$[bar{a}, bar{b}]=left|begin{array}{ccc}bar{i} & bar{j} & bar{k} \ a_{x} & a_{y} & a_{z} \ b_{x} & b_{y} & b_{z}end{array}right|$$

Подставляя координаты заданных векторов, получим:

$$[bar{a}, bar{b}]=left|begin{array}{lll}bar{i} & bar{j} & bar{k} \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0end{array}right|$$

Раскладываем определитель по первой строке:

$$[bar{a}, bar{b}]=left|begin{array}{ccc}bar{i} & bar{j} & bar{k} \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0end{array}right|=$$
$$=bar{i} cdotleft|begin{array}{cc}0 & 0 \ 1 & 0end{array}right|-bar{j} cdotleft|begin{array}{cc}1 & 0 \ 0 & 0end{array}right|+bar{k} cdotleft|begin{array}{cc}1 & 0 \ 0 & 1end{array}right|=$$
$$=0 cdot bar{i}-0 cdot bar{j}+1 cdot k$$

Первые два определителя равны нулю, так как они содержат нулевой столбец, а третий определитель вычисляем
как определитель второго порядка: от произведения элементов главной диагонали отнимаем произведение элементов побочной.

Итак, координаты искомого вектора равны коэффициентам при ортах, то есть

$$[bar{a}, bar{b}]=(0 ; 0 ; 1)$$

Ответ. $[bar{a}, bar{b}]=(0 ; 0 ; 1)$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Даны векторы
$bar{a}=(5 ; 3 ;-4)$ и $bar{b}=(6 ; 7 ;-8)$ . Найти координаты векторного произведения
$[bar{a}, bar{b}]$

Решение. Координаты векторного произведения
$[bar{a}, bar{b}]$ вычисляются по формуле

$$[bar{a}, bar{b}]=left|begin{array}{ccc}bar{i} & bar{j} & bar{k} \ a_{x} & a_{y} & a_{z} \ b_{x} & b_{y} & b_{z}end{array}right|$$

Подставляя координаты заданных векторов, получим:

$$[bar{a}, bar{b}]=left|begin{array}{ccc}bar{i} & bar{j} & bar{k} \ 5 & 3 & -4 \ 6 & 7 & -8end{array}right|$$

Раскладываем полученный определитель по первой строке:

$$=bar{i} cdotleft|begin{array}{cc}3 & -4 \ 7 & -8end{array}right|-bar{j} cdotleft|begin{array}{cc}5 & -4 \ 6 & -8end{array}right|+bar{k} cdotleft|begin{array}{cc}5 & 3 \ 6 & 7end{array}right|=$$
$$=[3 cdot(-8)-7 cdot(-4)] cdot bar{i}-[5 cdot(-8)-6 cdot(-4)] cdot bar{j}+$$
$$+[5 cdot 7-6 cdot 3] cdot bar{k}=(-24+28) bar{i}-(-40+24) bar{j}+(35-18) bar{k}=$$
$$=4 cdot bar{i}+16 cdot bar{j}+17 cdot bar{k}$$

Тогда

$$[bar{a}, bar{b}]=(4 ; 16 ; 17)$$

Ответ. $[bar{a}, bar{b}]=(4 ; 16 ; 17)$

Читать дальше: как найти смешанное произведение векторов.

Источник

Векторное произведение векторов и его свойства

Геометрическая интерпретация векторного произведения векторов

Вектор vec{c} называется векторным произведением неколлинеарных векторов vec{a} и vec{b} , если:

1) его длина равна произведению длин векторов vec{a} и vec{b} на синус угла между ними: |vec{c}|=|vec{a}|cdot|vec{b}|cdotsinvarphi (рис.1.42);

2) вектор vec{c} ортогонален векторам vec{a} и vec{b} ;

3) векторы vec{a} , vec{b} , vec{c} (в указанном порядке) образуют правую тройку.

Векторное произведение коллинеарных векторов (в частности, если хотя бы один из множителей — нулевой вектор) считается равным нулевому вектору.

Векторное произведение обозначается $mathop{vec{c}=bigl[vec{a},vec{b}bigr]}limits_{{.}}$ (или vec{a}timesvec{b} ).

Алгебраические свойства векторного произведения

Для любых векторов vec{a} , vec{b} , vec{c} и любого действительного числа lambda :

1. bigl[vec{a},vec{b}bigr]=-bigl[vec{b},vec{a}bigr] ;

2. bigl[vec{a}+vec{b},vec{c}bigr]=bigl[vec{a},vec{c}bigr]+bigl[vec{b},vec{c}bigr] ;

3. bigl[lambdacdotvec{a},vec{b}bigr]=lambdacdotbigl[vec{a},vec{b}bigr] .

Первое свойство определяет антисимметричность векторного произведения, второе и третье — аддитивность и однородность по первому множителю. Эти свойства аналогичны свойствам произведения чисел: первое свойство «противоположно» закону коммутативности умножения чисел (закон антикоммутативности), второе свойство соответствует закону дистрибутивности умножения чисел по отношению к сложению, третье — закону ассоциативности умножения. Поэтому рассматриваемая операция и называется произведением векторов. Поскольку ее результатом является вектор, то такое произведение векторов называется векторным.

Поворот вектора к вектору

Докажем первое свойство, предполагая, что векторы vec{a} и vec{b} не коллинеарны (в противном случае обе части доказываемого равенства равны нулевому вектору). По определению векторы vec{c}=[vec{a},vec{b}] и vec{c}=[vec{b},vec{a}] имеют равные длины left(|vec{c}|=|vec{a}|cdot|vec{b}|cdotsinvarphi=|vec{d}|right) и коллинеарны (так как оба вектора перпендикулярны одной плоскости). По определению тройки векторов vec{a},vec{b},vec{c} и vec{b},vec{a},vec{d} — правые, т.е. вектор vec{c} направлен так, что кратчайший поворот от vec{a} к vec{b} происходит в положительном направлении (против часовой стрелки), если смотреть из конца вектора vec{c} , а вектор vec{d} направлен так, что кратчайший поворот от vec{b} к vec{a} происходит в положительном направлении, если смотреть из конца вектора vec{d} (рис. 1.43). Это означает, что векторы vec{c} и vec{d} противоположно направлены. Следовательно, vec{c}=-vec{d} , что и требовалось доказать. Доказательство остальных свойств приведено ниже (см. пункт 1 замечаний 1.13).

Замечания 1.12

1. Свойства аддитивности и однородности векторного произведения означают линейность векторного произведения по первому множителю:

bigl[alphacdotvec{a}+betacdotvec{b},,vec{c}bigr],=alphacdot[vec{a},vec{c}]+betacdot[vec{b},vec{c}]

для любых векторов vec{a},vec{b},vec{c} и любых действительных чисел alpha и beta .

2. В силу антисимметричности векторное произведение линейно и по второму множителю, т.е. линейно по любому множителю.

Геометрические свойства векторного произведения

1. Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на множителях (рис. 1.42,6).

2. Векторное произведение равняется нулевому вектору тогда и только тогда, когда множители коллинеарны, т.е.

[vec{a},vec{b}]=vec{o}~Leftrightarrow~vec{a}parallelvec{b} , в частности, [vec{a},vec{a}]=vec{o} .

Первое свойство следует из определения. Докажем второе свойство. Равенство |vec{a}|cdot|vec{b}|cdotsinvarphi=0 возможно в трех случаях: vec{a}=vec{o} , или vec{b}=vec{o} , или . В каждом из этих случаев векторы vec{a} и vec{b} коллинеарны (см. разд. 1.1).

Треугольник, построенный на векторах

Пример 1.19. Вычислить площади параллелограмма и треугольника, построенных на векторах vec{p}=vec{m}+2vec{n},~vec{q}=vec{m}-3vec{n} , где |vec{m}|=3,~|vec{n}|=2 , угол между векторами vec{m} и vec{n} равен pi/6 (рис. 1.44).

Решение. Используя алгебраические свойства, найдем сначала векторное произведение

$begin{aligned}{[vec{p},vec{q}]}&=[vec{m}+2vec{n},vec{m}-3vec{n}]=[vec{m},vec{m}-3vec{n}]+[2vec{n},vec{m}-3vec{n}]=\[3pt]&=[vec{m},vec{m}-3vec{n}]+2[n,vec{m}-3vec{n}]=[vec{m},vec{m}]-3[vec{m},vec{n}]+2left({[vec{n},vec{m}]-3[vec{n},vec{n}]}right)=\[3pt] &=underbrace{[vec{m}, vec{m}]}_{vec{o}}-3[vec{m},vec{n}]+2underbrace{[vec{n},vec{m}]}_{-[vec{m},vec{n}]}-6underbrace{[vec{n},vec{n}]}_{vec{o}}=-5[vec{m},vec{n}],end{aligned}$

а затем его модуль $bigl|[vec{p},vec{q}]bigl|= |-5|cdot bigl|vec{m}, vec{n}bigl|=5cdot|vec{m}|cdot|vec{n}|cdotsinfrac{pi}{6}=5cdot3cdot2cdotfrac{1}{2}=15$ .

По первому геометрическому свойству векторного произведения искомая площадь параллелограмма равна $S_{*}=15$ , а площадь треугольника в 2 раза меньше: $S_{triangle}=frac{1}{2}cdot S_{*}=frac{15}{2}$ .

Выражение векторного произведения через координаты векторов

Пусть в пространстве задан ортонормированный (стандартный) базис vec{i},vec{j},vec{k} . Векторные произведения базисных векторов находятся по определению:

Ортонормированный базис в пространстве

$begin{aligned}&[vec{i},vec{j}]=vec{k};qquad phantom{-}[vec{j},vec{k}]=vec{i};qquad phantom{-}[vec{k}, vec{i}]= vec{j};\[2pt]&[vec{j},vec{i}]=-vec{k};qquad [vec{k},vec{j}]=-vec{i};qquad [vec{i},vec{k}]=-vec{j};\[2pt]&[vec{i},vec{i}]=[vec{j},vec{j}]=[vec{k},vec{k}]=vec{o}.end{aligned}$

(1.14)

Формулы (1.14) можно получить, используя диаграмму (рис. 1.45): если на этой схеме кратчайший поворот от первого множителя ко второму совершается в положительном направлении (указанном стрелкой), то произведение равно третьему вектору, а если — в отрицательном направлении, то произведение равно третьему вектору, взятому со знаком минус (противоположному вектору).

Найдем выражение векторного произведения через координаты множителей. Пусть в стандартном базисе vec{i},vec{j},vec{k} векторы vec{a} и vec{b} имеют координаты x_a,y_a,z_a и x_b,y_b,z_b соответственно. Тогда, используя линейность векторного произведения по любому множителю (см. пункт 2 замечаний 1.12) и формулы (1.14), получаем

$begin{aligned}bigl[vec{a},vec{b}bigr],=,&bigl[x_a{cdot}vec{i},+,y_a{cdot}vec{j},+z_a{cdot}vec{k},,x_b{cdot}vec{i},+,y_b{cdot}vec{j},+z_b{cdot}vec{k}bigr],=\[3pt] =,&x_ax_b{cdot}bigl[vec{i},vec{i}bigr],+,x_ay_b{cdot}bigl[vec{i},vec{j}bigr],+,x_az_b{cdot}bigl[vec{i},vec{k}bigr],+,y_ax_b{cdot}bigl[vec{j},vec{i}bigr],+,y_ay_b{cdot}bigl[vec{j},vec{j}bigr]+\[3pt] &phantom{=x_ax_b},+,y_az_b{cdot}bigl[vec{j},vec{k}bigr],+,z_ax_b{cdot}bigl[vec{k},vec{i}bigr],+,z_ay_b{cdot}bigl[vec{k},vec{j}bigr],+,z_az_b{cdot}bigl[vec{k},vec{k}bigr],=\[3pt] =,&bigl(y_az_b-y_bz_abigl)cdotvec{i}-bigl(x_az_b-x_bz_abigl)cdotvec{j}+bigl(x_ay_b-x_by_abigl)cdotvec{k}.end{aligned}$

Запишем это равенство при помощи определителей второго порядка:

$bigl[vec{a}, vec{b}bigr],= ,vec{i}cdot begin{vmatrix} y_a&z_a\y_b&z_bend{vmatrix},-,vec{j}cdot begin{vmatrix} x_a&z_a\x_b&z_b end{vmatrix}+ vec{k}cdot begin{vmatrix} x_a&y_a\x_b&y_bend{vmatrix}.$

(1.15)

Правую часть (1.15) можно представить как результат разложения символического определителя третьего порядка по первой строке

$vec{i}cdotbegin{vmatrix}y_a&z_a\y_b&z_bend{vmatrix},-,vec{j}cdotbegin{vmatrix}x_a&z_a\x_b&z_bend{vmatrix},+,vec{k}cdotbegin{vmatrix}x_a&y_a\x_b&y_bend{vmatrix}=begin{vmatrix}vec{i}&vec{j}&vec{k}\x_a&y_a&z_a\x_b&y_b&z_bend{vmatrix}.$

Формула вычисления векторного произведения

Теорема 1.8 (формула вычисления векторного произведения). Если векторы vec{a} и vec{b} в правом ортонормированием базисе vec{i},vec{j},vec{k} имеют координаты x_a,y_a,z_a и x_b,y_b,z_b соответственно, то векторное произведение этих векторов находится по формуле (1.15), которую принято записывать в виде

$bigl[vec{a}, vec{b}bigr],= begin{vmatrix} vec{i}& vec{j}&vec{k}\x_a&y_a&z_a\x_b&y_b&z_bend{vmatrix}.$

(1.16)

Если $a=begin{pmatrix}x_a&y_a&z_aend{pmatrix}^T$ и $b=begin{pmatrix}x_b&y_b&z_bend{pmatrix}^T$ — координатные столбцы векторов vec{a} и vec{b} в стандартном базисе, то координатный столбец $c=begin{pmatrix}x_c&y_c&z_cend{pmatrix}^T$ векторного произведения vec{c}=[vec{a},vec{b}] находится по формуле

Параллелограмм построен на векторах

$begin{pmatrix} x_c\y_c\z_c end{pmatrix}= begin{pmatrix}0&-z_a&y_a\z_a&0&-x_a\-y_a&x_a&0 end{pmatrix}!cdot !begin{pmatrix} x_b\y_b\z_bend{pmatrix}.$

В самом деле, выполняя умножение матрицы на столбец, получаем

$begin{pmatrix}x_c\y_c\z_cend{pmatrix}=begin{pmatrix}y_acdot z_b-y_bcdot z_a\x_bcdot z_a-x_acdot z_b\x_acdot y_b-x_bcdot y_aend{pmatrix}.$

Тогда $vec{c}=[vec{a},vec{b}]=(y_az_b-y_bz_a){cdot}vec{i}+(x_bz_a-x_az_b){cdot}vec{j}+(x_ay_a-x_by_a){cdot}vec{k}$ , что совпадает с (1.15).

Пример 1.20. Параллелограмм ABCD построен на векторах overrightarrow{AB}=vec{i}+2vec{j}+2vec{k},~overrightarrow{AD}=3vec{i}-2vec{j}+vec{k} (рис. 1.46). Найти:

а) векторные произведения bigl[overrightarrow{AB}, overrightarrow{AD}bigr] и bigl[overrightarrow{AC}, overrightarrow{BD}bigr] ;
б) площадь параллелограмма ABCD ;
в) направляющие косинусы такого вектора vec{n} , перпендикулярного плоскости параллелограмма ABCD ,

для которого тройка overrightarrow{AB} , overrightarrow{AD} , vec{n} — левая.

Решение. а) Векторное произведение bigl[overrightarrow{AB},overrightarrow{AD}bigr] находим по формуле (1.16):

$bigl[overrightarrow{AB},overrightarrow{AD}bigr]=begin{vmatrix},vec{i}&vec{j}&vec{k}\1&2&2\3&-2&1,end{vmatrix}=vec{i}begin{vmatrix}2&2\-2&1end{vmatrix}-vec{j}begin{vmatrix}1&2\3&1end{vmatrix}+vec{k}begin{vmatrix}1&2\3&-2end{vmatrix}=6,vec{i}+5,vec{j}-8,vec{k}.$

Для нахождения векторного произведения можно использовать матричную запись формулы (1.15) (см. теорему 1.8). Векторам vec{a}=overrightarrow{AB} и vec{b}=overrightarrow{AD} соответствуют координатные столбцы $a=begin{pmatrix} 1&2&2 end{pmatrix}^T,~~ b=begin{pmatrix} 3&-2&1 end{pmatrix}^T$ .

По указанной формуле получаем координатный столбец вектора vec{c}=[vec{a},vec{b}] :

$begin{pmatrix}x_c\[2pt]y_c\[2pt]z_cend{pmatrix}=begin{pmatrix}0&-2&2\[2pt]2&0&-1\[2pt]-2&1&0end{pmatrix}!!cdot!!begin{pmatrix}3\[2pt]-2\[2pt]1end{pmatrix}=begin{pmatrix}0cdot3+(-2)cdot(-2)+2cdot1\[2pt]2cdot3+0cdot(-2)+(-1)cdot1\[2pt](-2)cdot3+1cdot(-2)+0cdot1end{pmatrix}=begin{pmatrix}6\[2pt]5\[2pt]-8end{pmatrix}!.$

то есть vec{c}=[vec{a},vec{b}]= 6,vec{i}+ 5vec{j}- 8,vec{k} . Результаты совпадают.

Векторное произведение bigl[overrightarrow{AC}, overrightarrow{BD}bigr] находим, используя алгебраические свойства:

$bigl[overrightarrow{AC},overrightarrow{BD}bigr],=!bigl[overrightarrow{AB}+overrightarrow{AD},overrightarrow{AD}-overrightarrow{AB}bigr],=!bigl[overrightarrow{AB},overrightarrow{AD}bigr]-underbrace{bigl[overrightarrow{AB},overrightarrow{AB}bigr]}_{vec{o}}+underbrace{bigl[overrightarrow{AD},overrightarrow{AD}bigr]}_{vec{o}}-underbrace{bigl[overrightarrow{AD},overrightarrow{AB}bigr]}_{-[overrightarrow{AB},overrightarrow{AD}]}=2bigl[overrightarrow{AB},overrightarrow{AD}bigr]$

Следовательно, bigl[overrightarrow{AC},overrightarrow{BD}bigr]=2bigl(6,vec{i}+5,vec{j}-8,vec{k}bigl),=12,vec{i}+10,vec{j}-16,vec{k} .

б) Площадь параллелограмма ABCD находим как модуль векторного произведения bigl[overrightarrow{AB},overrightarrow{AD}bigr] :

$S_{*}=Bigl|bigl[overrightarrow{AB},overrightarrow{AD}bigr]Bigl|,=Bigl|6,vec{i}+5,vec{j}-8,vec{k}Bigl|,=sqrt{6^2+5^2+(-8)^2}=sqrt{125}=5sqrt{5}.$

в) Вектор, противоположный вектору bigl[overrightarrow{AB},overrightarrow{AD}bigr] , удовлетворяет перечисленным в условии требованиям, поэтому

vec{n}=-[overrightarrow{AB},overrightarrow{AD}]=-(6,vec{i}+5,vec{j}-8,vec{k})=-6,vec{i}-5,vec{j}+8,vec{k}.

Разделив этот вектор на его длину |vec{n}|=Bigl|[overrightarrow{AB},overrightarrow{AD}]Bigl|,=5sqrt{5} , получим единичныи вектор:

$frac{vec{n}}{|vec{n}|}=frac{-6,vec{i}-5,vec{j}+8,vec{k}}{5sqrt{5}}=-frac{6}{5sqrt{5}},vec{i}-frac{1}{sqrt{5}},vec{j}+frac{8}{5sqrt{5}},vec{k}.$

Согласно его координатами служат направляющие косинусы

$cosalpha=-frac{6}{5sqrt{5}},qquad cosbeta=-frac{1}{sqrt{5}},qquad cosgamma=frac{8}{5sqrt{5}}$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник