При решении неравенств вы должны свободно владеть понятием числового неравенства, знать, что такое решение неравенства, что значит решить неравенство, помнить свойства неравенств. То же относится и к системам числовых неравенств. Все эти сведения вы можете найти в любом пособии для поступающих в вузы.
Напомним свойства числовых неравенств.
1. Если а > b , то b < а; наоборот, если а < b, то b > а.
2. Если а > b и b > c, то а > c. Точно так же, если а < b и b < c, то а < c.
3. Если а > b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c). Если же а < b, то а + c < b+ c (и а – c < b – c). Т. е. к обеим частям неравенства можно прибавлять (или из них вычесть) одну и ту же величину.
4. Если а > b и c > d, то а + c > b + d; точно так же, если а < b и c < d, то а + c < b + d, т. е. два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать.
Замечание.
Два неравенства одинакового смысла нельзя почленно вычитать друг из друга, так как результат может быть верным, но может быть и неверным. Например, если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 3 > 2, то получим верное неравенство 8 > 7. Если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 7 > 2, то полученное неравенство будет неверным.
5. Если а > b и c < d, то а – c > b – d; если а < b и c > d, то а – c < b – d, т.е. из одного неравенства можно почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла, оставляя знак того неравенства, из которого вычиталось другое.
6. Если а > b и m – положительное число, то m а > m b и 
, т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число ( знак неравенства остаётся тем же ).
Если же а > b и n – отрицательное число, то n а < n b и 
, т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но при этом знак неравенства нужно переменить на противоположный.
7. Если а > b и c > d , где а, b, c, d > 0, то а c > b d и если а < b и c < d, где а, b, c, d > 0, то аc < bd, т.е. неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.
Следствие. Если а > b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а < b, то а2 < b2, т.е. на множестве положительных чисел обе части неравенства можно возводить в квадрат.
8. Если а > b, где а, b > 0, то 
и если а < b , то 
.
Виды неравенств и способы их решения
1. Линейные неравенства и системы неравенств
Пример 1. Решить неравенство 
.
Решение:
.
Ответ: х < – 2.
Пример 2. Решить систему неравенств 
Решение:
.
Ответ: (– 2; 0].
Пример 3. Найти наименьшее целое решение системы неравенств
Решение:
Ответ: 
2. Квадратные неравенства
Пример 4. Решить неравенство х2 > 4.
Решение:
х2 > 4 (х – 2)∙(х + 2) > 0.
Решаем методом интервалов.
Ответ:
3. Неравенства высших степеней
Пример 5. Решить неравенство (х + 3)∙(х2 – 2х + 1) > 0.
Решение:
Ответ: 
.
Пример 6. Найти середину отрезка, который является решением неравенства 4х2 – 24х + 24 < 4у2, где 
.
Решение:
Область определения неравенства: 
.
С учётом области определения 4х2 – 24х + 24 < 4у2 будет равносильно неравенству
Решаем методом интервалов.
Решение неравенства: 
.
Середина отрезка: 
.
Ответ: 
.
4. Рациональные неравенства
Пример 7. Найти все целые решения, удовлетворяющие неравенству 
.
Решение:
Методом интервалов:
Решение неравенства: 
.
Целые числа, принадлежащие полученным полуинтервалам: – 6; – 5; – 4; 1.
Ответ: – 6; – 5; – 4; 1.
5. Иррациональные неравенства
Помните! Начинать решение иррациональных неравенств нужно с нахождения области определения.
Пример 8. Решить неравенство 
.
Решение:
Область определения: 
.
Так как арифметический корень не может быть отрицательным числом, то 
.
Ответ: 
.
Пример 9. Найти все целые решения неравенства 
.
Решение:
Область определения 
.
– быть отрицательным не может, следовательно, чтобы произведение было неотрицательным достаточно потребовать выполнения неравенства 
, при этом учитывая область определения. Т.е. исходное неравенство равносильно системе 
.
Целыми числами из этого отрезка будут 2; 3; 4.
Ответ: 2; 3; 4.
Пример 10. Решить неравенство 
.
Решение:
Область определения: 
Преобразуем неравенство: 
. С учётом области определения видим, что обе части неравенства — положительные числа. Возведём обе части в квадрат и получим неравенство, равносильное исходному.
т.е. 
, и этот числовой отрезок включён в область определения.
Ответ: .
Пример 11. Решить неравенство 
.
Решение:
Раскрываем знак модуля.
Объединим решения систем 1) и 2): 
.
Ответ: .
6. Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств
Пример 12. Решите неравенство 
.
Решение:
.
Ответ: 
.
Пример 13. Решите неравенство 
.
Решение:
.
Ответ: 
.
Пример 14. Решите неравенство 
.
Решение:
Ответ: 
.
Пример 15. Решите неравенство 
.
Решение:
Ответ: 
.
Задания для самостоятельного решения
Базовый уровень
Целые неравенства и системы неравенств
1) Решите неравенство 2х – 5 ≤ 3 + х.
2) Решите неравенство – 5х > 0,25.
3) Решите неравенство 
.
4) Решите неравенство 2 – 5х ≥ – 3х.
5) Решите неравенство х + 2 < 5x – 2(x – 3).
6) Решите неравенство 
.
7) Решите неравенство (х – 3) (х + 2) > 0.
Решить систему неравенств 
9) Найдите целочисленные решения системы неравенств 
.
10) Решить систему неравенств 
.
11) Решить систему неравенств 
12) Найти наименьшее целое решение неравенства 
13) Решите неравенство 
.
14) Решите неравенство 
.
15) Решите неравенство 
.
16) Решите неравенство 
.
17) Найдите решение неравенства 
, принадлежащие промежутку 
.
18) Решить систему неравенств 
19) Найти все целые решения системы 
Рациональные неравенства и системы неравенств
20) Решите неравенство 
.
21) Решите неравенство 
.
22) Определите число целых решений неравенства 
.
23) Определите число целых решений неравенства 
.
24) Решите неравенство 
.
25) Решите неравенство 2x<16 .
26) Решите неравенство 
.
27) Решите неравенство 
.
28) Решите неравенство 
.
29) Найдите сумму целых решений неравенства 
на отрезке [– 7, 7].
30) Решите неравенство 
.
31) Решите неравенство 
.
Иррациональные неравенства
32) Решите неравенство 
.
33) Решите неравенство 
34) Решите неравенство 
.
Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств
35) Решите неравенство 
.
36) Решите неравенство 
.
37) Решите неравенство 
.
38) Решите неравенство 
.
39) Решите неравенство 
.
40) Решите неравенство 49∙7х < 73х + 3.
41) Найдите все целые решения неравенства 
.
42) Решите неравенство 
.
43) Решите неравенство 
.
44) Решите неравенство 7x+1-7x<42 .
45) Решите неравенство log3(2x2+x-1)>log32 .
46) Решите неравенство log0,5(2x+3)>0 .
47) Решите неравенство 
.
48) Решите неравенство 
.
49) Решите неравенство 
.
50) Решите неравенство logx+112>logx+12 .
51) Решите неравенство logx9<2.
52) Решите неравенство 
.
Повышенный уровень
53) Решите неравенство |x-3|>2x.
54) Решите неравенство 2│х + 1| > х + 4.
55) Найдите наибольшее целое решение неравенства 
.
56) Решить систему неравенств 
57) Решить систему неравенств 
.
58) Решите неравенство 
.
59) Решите неравенство 25•2x-10x+5x>25 .
60) Решите неравенство 
.
Ответы
1) х ≤ 8; 2) х < – 0,05; 3) х ≥ 5; 4) х ≤ 1; 5) х > –2; 6) х < 11; 7) 
; (-2;0]; 9) – 1; 10) х ≥ 7,5; 11)
; 12) 1; 13)
; 14) х ≤ – 0,9; 15) х < – 1; 16) х < 24; 17)
; 18) 
; 19) 3, 4, 5;
20) (0; 2); 21) (0; 1,5); 22) 3; 23) 6; 24) (–1; 1,5); 25) х < 4; 26)
; 27) (– 3; 17); 28)
; 29) – 10; 30) (0; + ∞); 31)
; 32) [1;17); 33) x > 17; 34) х ≥ 2; 35)
; 36) х < 2; 37) х > 0; 38) х ≤ 3; 39) х > – 3,5; 40) х > – 0,5; 41) 0, 1, 2, 3, 4, 5; 42) х < 3; 43) 
; 44) х < 1; 45) 
; 46) (– 1,5; – 1); 47) х < 0; 48)
; 49) 
; 50) х > 0; 51) 
; 52) 
; 53) х < 1; 54)
; 55) – 1; 56) 
; 57) [3,5; 10]; 58) (0, 1); 59) (0; 2); 60)
.
Задание. Найдите произведение наибольшего целого решения на количество целых решений неравенства.
Теория здесь
Анализ. Будем внимательны, так как неравенство нестрогое и не забудем в ответ указать не только промежутки, на которых функция положительна, но и нули функции.
Решение. Прежде, чем решать неравенство, нужно определить его тип. Данное неравенство — дробно-рациональное (так как максимальная степени у переменной — четвертая). Решать такое неравенство следует методом интервалов, но прежде проверить три условия:
1. В правой части неравенства — ноль (соблюдено)
2. В левой части одна дробь (не характерно для нашего неравенства, так как дроби нет.
3. Левая часть разложена на
линейные
множители. (А вот это условие не соблюдено, так как у нас есть множитель второй степени — последняя скобка. Прежде нужно разложить ее на линейные множители)
Переходим к методу интервалов.
Рассмотрим функцию
Область определения — все числа, нули функции — числа 3√5; 8 и -8. Первая скобка не содержит переменной, а это означает, что при любом значении переменной она принимает всегда один и тот же знак. Так как √5-3 — отрицательное (потому что 3=√9, а √5-√9<0), то первая скобка отрицательная при любом значении переменной.
Отметим на числовой прямой нули функции (тут тоже можно допустить ошибку, не упорядочив нули функции. Число 3√5 находится правее числа 8, так как 3√5=√9•√5=√45, а 8=√64). Найдем знак функции на каждом из полученных интервалов.
Получаем ответ неравенства
В задании необходимо указать произведение наибольшего целого решения на количество целых решений неравенства. Для этого определим, между какими целыми числами находится иррациональное число 3√5. Как уже отмечалось, 3√5=√45, а √36<√45<√49, то есть 6<√45<7. Выпишем все целые решения неравенства: -8; -7; -6; -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8. Тогда количество целых решений: 16, а наибольшее целое решение: 8.
Их произведение 16•8=128.
Ответ. 128
Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Алгебра, анализ. Неравенства с модуле № 1616 
i
Найдите произведение наименьшего целого решения на количество всех целых решений неравенства |x2 + 9x| ≤ 10.
1) 90
2) -54
3) 60
4) -60
5) -90
Спрятать решение
Решение.
Решим неравенство:
Наименьшее целое решение — число −10, всего неравенство имеет 6 целочисленных корней. Произведение 6 и −10 равно –60.
Ответ: 4.
Аналоги к заданию № 1616: 1635 Все
Источник: Централизованное тестирование по математике, 2020
Спрятать решение
·
Помощь
О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе
© Гущин Д. Д., 2011—2023
Найти произведение всех целых решений неравенства ДА уравнение правильно написано!
Тимур Цырцапов
Вопрос задан 9 октября 2019 в
10 — 11 классы,
Алгебра.
-
Комментариев (0)
Добавить
Отмена
найти произведение всех целых решений неравенства
Найдите правильный ответ на вопрос ✅ «найти произведение всех целых решений неравенства …» по предмету 📘 Алгебра, а если вы сомневаетесь в правильности ответов или ответ отсутствует, то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие вопросы.
Смотреть другие ответы