Как найти производную 100 порядка

10.1. Производные
высших порядков

Определение
10.1.

Пусть
функция y=f(x) имеет
в точке x производную y′=f′(x), и
эта производная есть функция,дифференцируемая в
точке x. Производная (y′)′=ddx(dydx)=(f′(x))′ от
производной функции f(x) называется производной
второго порядка (или второй
производной )
функции y=f(x) в
точке xи
обозначается одним из
символов y″,  d2ydx2,  f″(x).

Если
производная второго порядка
функции y=f(x) дифференцируема в
точке x, то
производная от нее есть производная
третьего порядка данной функции в
точке x.

Определение
10.2.

Пусть
функция y=f(x) имеет
в точке x дифференцируемую производную (n−1)− го
порядка, обозначаемую y(n−1)=f(n−1)(x). Тогда
производная от
нее (f(n−1)(x))′ называется производной n− го
порядка (или n− й
производной )
данной функции в точке x и
обозначается одним из
символов dnydxn,  y(n),  f(n)(x).

Например,
если f(x)=x4, то f′(x)=4x3; f″(x)=12x2; f‴(x)=24x; f(4)(x)=24; f(5)(x)=f(6)(x)=…=0.

За
производную нулевого порядка принимается
сама функция, т. е. y(0)=y.

Пусть
функция задана параметрически в
виде x=x(t), y=y(t). Тогда
первая производная y′x=y′tx′t,x=x(t) (см. теорему
8.3).
Используя формулу
(8.2) для
производной сложной функции и формулу
(8.7)для
производной обратной функции,
получим

y″xx=(y′x)′x=(y′tx′t)′t⋅t′x=(y′tx′t)′tx′t,

или,
в других обозначениях,

y″(x)=d2ydx2=ddx(dydx)=ddt(dydx)⋅dtdx=dy′dt:dxdt.

Аналогично
можно получить формулы для производных
более высокого порядка. Так,

y‴(x)=d3ydx3=dy″dx=dy″dt⋅dtdx=dy″dt:dxdt.

Пример
10.1.

Найти
вторую производную y″xx функции,
заданной параметрически: x=αcost, y=αsint.

Р
е ш е н и е.

 Первая
производная данной функции равна

y′x=dydx=y′tx′t=αcost−αsint=−ctg x,    x=αcost.

Тогда

y″xx=d2ydx2=dy′dt:dxdt=(y′tx′t)′tx′t=(−ctg t)′−αsint=−1αsin3t,

x=αcost.

Установим механический
смысл второй производной .
Пусть закон прямолинейного движения
точки Mзаписан
в виде s=s(t), где s − длина
пути, t − время.
Предположим, что точка M в
момент времени tимеет
скорость v, а
в
момент t+Δt − скорость v+Δv. Отношение ΔvΔx=acp(t) называется средним
ускорением прямолинейного движения за
время Δt. За
истинное ускорение a(t) движения
точки M в
момент времени t принимают
предел среднего ускорения acp(t) при Δt→0, т.
е.

a(t)=limΔt→0acp=limΔt→0ΔvΔt=v˙(t).

Так
как v=s˙(t), то a=s¨(t), т.
е. ускорение
прямолинейного движения точки равно
второй производной от пути по времени .

Пример
10.2.

Ракета
движется по закону s(t)=t3 начиная
с момента времени t0=0. Определить:

а)
среднее ускорение движения за первые
4 секунды пути;

б)
ускорение ракеты в момент времени t=4 c.

Р
е ш е н и е.

 а)
Учитывая, что скорость движения
равна v(t)=s˙(t)=3t2, найдем
среднее ускорение acp по
формуле

acp=ΔvΔt=v(t0+Δt)−v(t0)Δt=s˙(t0+Δt)−s˙(t0)Δt=                                                                    =3(t0+Δt)2−3t20Δt=3t20+6t0Δt+3(Δt)2−3t20Δt=6t0+3Δt.

При t0=0, Δt=4 получим acp=6⋅0+3⋅4=12 (м  /с2). б)
Определим ускорение ракеты a(t) в
момент времени t=4  c. Так
как a(t)=s¨(t)=6t, то
при t=4  c имеем a(4)=24 м  /с2.

10.2.
Формула Лейбница

Теорема
10.1. (формула
Лейбница)

Пусть
функции u(x) и v(x) имеют
на некотором промежутке все производные
до n− го
порядка включительно. Тогда в каждой
точке x этого
промежутка справедлива формула

(uv)(n)=uv(n)+n⋅u′v(n−1)+n(n−1)2!⋅u″v(n−2)+…+u(n)v.    (10.1)

Теорема
доказывается методом полной математической
индукции.

Замечание
10.1.

Метод
полной математической индукции используют
для доказательства справедливости
утверждений, зависящих от натурального
аргумента n. При
применении этого метода поступают
следующим образом:

1)
устанавливают справедливость доказываемого
утверждения для некоторого начального
значения n=n0 (как
правило, n0=1 );

2)
в предположении, что утверждение верно
при n=k, доказывают
его справедливость
при n=k+1 (k − произвольное натуральное
число); после этого делают вывод о
справедливости данного утверждения при
любом n∈ℕ.

Пример
10.3.

Используя
метод полной математической индукции,
найти производную n− го
порядка функции f(x)=sinx.

Р
е ш е н и е.

 Докажем,
что производная n− го
порядка данной функции

(sinx)(n)(x)=sin(x+n⋅π2).                                         (10.2)

Первая
производная

(sinx)′=cosx=sin(x+π2).

Следовательно,
при n=1 формула
(10.2) верна. Предположим,
что формула
(10.2)справедлива при n=k, т.
е.

(sinx)(k)(x)=sin(x+kπ2).

Тогда
для n=k+1 находим

(sinx)(k+1)(x)=((sinx)(k)(x))′=(sin(x+kπ2))′=                    =cos(x+kπ2)=sin(x+kπ2+π2)=sin(x+(k+1)⋅π2).

Таким
образом, мы доказали справедливость формулы
(10.2) при n=k+1. Так
как эта формула верна при n=1, то
она справедлива при любом n. Формула
(10.2) доказана.

Пример
10.4.

Найти
с помощью формулы
Лейбница производную n− го
порядка функции f(x)=(2x+1)⋅eαx   (α≠0).

Р
е ш е н и е.

 Полагаем u(x)=2x+1, v(x)=eαx. Очевидно,
что u′(x)=(2x+1)′=2,u(n)=(2x+1)(n)=0 для n≥2. Выведем
формулу для n− й
производной функции v(x), используя
метод полной математической индукции.
Докажем, что

(eαx)(n)=αneαx.                              (10.3)

Найдем (eαx)′=αeαx. Следовательно, формула
(10.3) верна
при n=1. Предположим,
что эта формула справедлива при n=k, т.
е.

(eαx)(k)=αk⋅eαx.

Тогда
для (eαx)(k+1) получим

(eαx)(k+1)=((eαx)(k))′=(αk⋅eαx)′=αk+1⋅eαx.

Отсюда
следует справедливость формулы
(10.3) при n=k+1. Поскольку
эта формула верна при n=1, то
она справедлива при
любом n. Подставляя u(x)=2x+1,u′(x)=2, u(n)(x)=0   (n≥2), v(x)=eαx, v(n)(x)=αneαx   (n≥1) в
формулу Лейбница (10.1),
окончательно найдем

((2x+1)⋅eαx)(n)=(2x+1)⋅(eαx)(n)+n⋅2(eαx)(n−1)+n(n−1)2!⋅0⋅(eαx)(n−2)+…+                                                                           +0⋅eαx=(2x+1)αn⋅eαx+2nαn−1⋅eαx.

Пример
10.5.

Записать
формулу Лейбница для функции y=x2lnx и
вычислить y(5)(1).

Р
е ш е н и е.

 Выведем
формулу для производной (lnx)(n), используя
метод полной математической индукции.
Очевидно,
что (lnx)′=1x; (lnx)′​′=−1x2(lnx)′​′​′=(−1)(−2)1x3=1⋅2x3⋅(−1)2; (lnx)(4)=(−1)3⋅1⋅2⋅3x−4. Пусть
при n=k имеет
место формула

(lnx)(k)=(−1)k−1⋅1⋅2⋅…⋅(k−1)xk=(−1)(k−1)⋅(k−1)!xk.

Тогда

(lnx)(k+1)=((lnx)(k))′=(−1)k−1⋅(k−1)!xk+1⋅(−k)=(−1)k⋅k!xk+1.

Следовательно,
при любом n справедлива
формула

(lnx)(n)=(−1)n−1⋅(n−1)!xn.                  (10.4)

Полагаем u(x)=x2, v(x)=lnx. Учитывая,
что u′(x)=2x, u″(x)=2,u(n)(x)=0   (n≥3), по
формуле Лейбница (10.1) получим

y(n)(x)=(x2lnx)(n)=x2⋅(−1)n−1⋅(n−1)!xn+                                                +n⋅2x⋅(−1)n−2⋅(n−2)!xn−1+n(n−1)2!⋅2⋅(−1)n−3⋅(n−3)!xn−2.

При n=5, x=1 найдем

y(5)(1)=1⋅(−1)4⋅4! +5⋅2⋅1⋅(−1)3⋅3! +5⋅4⋅(−1)2⋅2!=24−60+40=4.

10.3. Дифференциалы
высших порядков

Определение
10.3.

Пусть дифференциал dy=y′(x)Δx функции y=f(x) есть дифференцируема функция
в точке x.дифференциал от
дифференциала называется дифференциалом
второго порядка (или вторым
дифференциалом )
функции y=f(x) в
точке x и
обозначается d2y=d(dy).

Используя формулу
(9.4),
запишем

d2y=d(y′(x)Δx)=(y′(x)Δx)′Δx=y″(x)ΔxΔx=y″(x)(Δx)2.

Если x − независимая
переменная, то dx=Δx, и
дифференциал второго порядка принимает
вид

d2y=y″(x)(dx)2=y″(x)dx2.

Определение
10.4.

Если
второй дифференциал d2y функции y=f(x) есть
функция, дифференцируемая в
точке x, то
дифференциал от него есть дифференциал
третьего порядка (или третий дифференциал)
данной функции в точке x и
записывается в виде

d3y=d(d2y)=(d2y)′Δx=(y″(Δx)2)′Δx=y‴(Δx)3.

Так
как Δx=dx для
независимой переменной x, то

d3y=y‴dx3.

Определение
10.5.

Дифференциал
от дифференциала (n−1)− го
порядка функции y=f(x) называетсядифференциалом n− го
порядка (или n− м
дифференциалом )
функции y=f(x) в
точке x и
обозначается dny=d(dn−1y). По формуле
(9.4)получим

dnf(x)=f(n)(x)dxn    или     dny=y(n)dxn            (10.5)

для
независимой переменной x.

Пример
10.6.

Найти дифференциал второго
порядка функции y(x)=sin2x.

Р
е ш е н и е.

 По формуле
(10.5) имеем

d2y=y″dx2=(sin2x)′​′dx2=(2cos2x)′dx2=−4(sin2x)dx2.

Пример
10.7.

Найти
дифференциал dny функции y(x)=lnx.

Р
е ш е н и е.

 По формуле
(10.5) запишем dny=(lnx)(n)dxn. Используя формулу
(10.4) для n− й
производной функции y(x)=lnx, найдем

dn(lnx)=(lnx)(n)dxn=(−1)n−1⋅(n−1)!xn⋅dxn.

Для
дифференциала n− го
порядка справедливы формулы:

dn(u+v)=dnu+dnv,dn(u⋅v)=u⋅dnv+n⋅du⋅dn−1v+…+dnu⋅v.

Последняя
формула, как и формула
(10.1), называется формулой
Лейбница .

Замечание
10.2.

Дифференциалы
высших порядков не обладают свойством
инвариантности формы их записи, в отличие
от дифференциалаа
первого порядка. Покажем это на
примере дифференциалаа
второго порядка.

Найдем d2y(x), используя
определение дифференциала второго
порядка. Если x − независимая
переменная, то dx не
зависит от x    (dx=Δx   ∀x). В
этом случае dx при
нахождении d2y выносится
за знак дифференциала, т. е.

d2y(x)=d(dy(x))=d(y′(x)dx)=(y′(x)dx)′dx=y″(x)dx⋅dx=y″(x)dx2.     (10.6)

Если
же x − зависимая
переменная, то dx зависит
от x (в
общем случае dx≠Δx ),
и при нахождении
дифференциала d2y=d(y′(x)dx) используется
формула для вычисления дифференциала
произведения, т. е.

d2y(x)=d(y′(x)dx)=dy′(x)⋅dx+y′(x)d(dx)=y″(x)dx2+y′(x)d2x.     (10.7)

Сравнивая выражения
(10.6) и (10.7),
заключаем, что d2y не
обладает свойством инвариантности
формы записи. Тем более не обладают этим
свойством дифференциалы более высоких
порядков.

Замечание
10.3.

Если
функция y=f(x) имеет
конечные производные до (n−1)− го
порядка включительно в некоторой
окрестности точки x0 и,
кроме того, имеет конечную производную n− го
порядка в самой точке x0, то
говорят, что функция n раз
дифференцируема в
точке x0. Если
производная n− го
порядка непрерывна в
точке x0, то
говорят, что функция n раз
непрерывно дифференцируема в точке x0.

В
дальнейшем производные и дифференциалы
высших порядков функций будем находить
в произвольной точке x из
области определения функций, если не
указана конкретная точка.

10.4.
Типовые примеры

Задача
1.

Найти y‴ функции y=5x5+3x4−2x2+x.

Р
е ш е н и е.

 Последовательно
дифференцируя,
находим: y′=25x4+12x3−4x+1;y″=100x3+36x2−4; y‴=300x2+72x.

■

Задача
2.

Вычислить y″ функции y=xcosx в
точке x=π.

Р
е ш е н и е.

 Найдем
последовательно y′,  y″: y′=cosx−xsinx; y″=−sinx−sinx−xcosx=−2sinx−xcosx. Тогда

y″(π)=−2sinπ−πcosπ=0−π(−1)=π.

■

Задача
3.

Найти y(100) функции y=xex, используя
формулу Лейбница.

Р
е ш е н и е.

 1)
Полагаем u(x)=x, v(x)=ex. Очевидно,
что u′(x)=1, u(n)(x)=0    (n≥2),v(n)(x)=ex    (n≥1) (см. формулу
(10.3)). 2)
Используя формулу Лейбница, получим

y(n)=x⋅ex+n⋅1⋅ex+n(n−1)2⋅0⋅ex+…+0⋅ex=xex+nex.

3)
Полагая n=100 в
этом равенстве, найдем производную
100-го порядка, не прибегая к последовательному
дифференцированию функции и не вычисляя
все производные до 100-го порядка:

y(100)=xex+100ex.

■

Задача
4.

Вывести
формулу для y(n) функции y=(3x2+2x+1)sinx. Записать y(50).

Р
е ш е н и е.

 1)
Согласно формуле
(10.2) для y(n) функции y=sinx имеем

(sinx)(n)=sin(x+n⋅π2).

2)
Используем формулу Лейбница
при u(x)=3x2+2x−1, v(x)=sinx. Найдем u′(x)=6x+2, u″(x)=6, u(n)(x)=0    (n≥3). Тогда

y(n)=(3x2+2x−1)sin(x+n⋅π2)+n(6x+2)sin(x+(n−1)π2)+                                                                    +n(n−1)2⋅6⋅sin(x+(n−2)π2).

3)
Запишем y(50), полагая n=50:

y(50)=(3x2+2x−1)sin(x+25π)+50(6x+2)sin(x+492π)+50⋅49⋅3sin(x+24π)=                                                              ​   =−(3x2+2x−1)sinx+100(3x+1)cosx+150⋅49⋅sinx=                                                                                 =(7350−3x2−2x+1)sinx+100(3x+1)cosx.

■

Задача
5.

Найти d2ydx2 функции,
заданной параметрически в
виде x=t2+2t, y=ln(t+1).

Р
е ш е н и е.

 Имеем

xt=dxdt=2t+2,                       yt=dydt=1t+1.

Тогда

y′=dydx=ytxt=dydt:dxdt=1t+1:(2t+2)=12(t+1)−2.

Так
как y″=dy′dx=dy′dt:dxdt, то

d2ydx2=y″=ddt(12(t+1)−2):ddt(t2+2t)=−1(t+1)3:2(t+1)=−12(t+1)4,   x=t2+2t.

■

Задача
6.

Функция
задана параметрически в
виде x=1+eat, y=at+e−at. Найти
значение производной d3ydx3 в
точке, соответствующей значению t=0.

Р
е ш е н и е.

 Используя
общие формулы для производных до 3-го
порядка включительно функции, заданной
параметрически, получим

y′=dydx=dydt:dxdt=a−ae−ataeat=e−at−e−2at;y″=d2ydx2=dy′dx=dy′dt:dxdt=2ae−2at−ae−ataeat=2e−3at−e−2at;y‴=d3ydx3=dy″dx=dy″dt:dxdt=2ae−2at−6ae−3ataeat=2e−3at−6e−4at.

Искомое
значение d3ydx3∣∣t=0=2−6=−4.

■

Задача
7.

Для
функции y=x(tg x−1) найти:

а) d2y в
общем виде;

б) d2y в
точке x=0 при
произвольном dx;

в) d2y в
точке x=0 при dx=0,1.

Р
е ш е н и е.

 Найдем
последовательно y′ и y″:

y′=tg x−1+xcos2x;y″=1cos2x+1⋅cos2x−x⋅2cosx(−sinx)cos4x=2(cosx+xsinx)cos3x.

a)
По формуле d2y=y″dx2 получим

d2y=2(cosx+xsinx)cos3xdx2;

б) d2y∣∣x=0=2dx2; в) d2y∣∣x=0,dx=0.1=2(0.1)2=2⋅0.01=0.02.

■

Задача
8.

Найти dy и d2y функции y=x4−3x2+2, если:
1) x − независимая
переменная; 2) x − функция
независимой переменной.

Р
е ш е н и е.

 Дифференциал первого
порядка dy в
силу инвариантности его формы имеет в
обоих случаях один и тот же вид

dy=y′dx=(4x3−6x)dx=2(2x3−3x)dx.

В
первом случае dx есть
приращение Δx независимой
переменной (dx=Δx), во
втором — дифференциал dx есть
функция, и поэтому dx≠Δx. Для
дифференциалов высших порядков свойство
инвариантности формы записи нарушается
(см. замечание
10.2). Следовательно, при нахождении d2y приходится
решать задачу для каждого случая
отдельно. 1)
Пусть x −независимая
переменная. В этом случае дифференциал dx не
зависит от x и
его можно выносить за знак дифференциала.
Получим

d2y=d(dy)=d(2(2x3−3x)dx)=2dx⋅d(2x3−3x)=                                        =2dx⋅(6x2−3)dx=2(6x2−3)dx2=2(6x2−1)dx2.

2)
Пусть x есть
функция некоторой переменной. В этом
случае дифференциал dx зависит
от этой переменной и выносить его за
знак дифференциала, как это было сделано
в первом случае, нельзя. Вычисляя
дифференциал произведения двух функций,
найдем

d2y=d(dy)=d(2(2x3−3x)dx)=2d((2x3−3x)dx)=2(2x3−3x)d(dx)+2dx⋅d(2x3−3x)=                                   =2(2x3−3x)d2x+2dx(6x2−3)dx=2(2x3−3x)d2x+6(2x2−1)dx2.

Дифференциал d2y во
втором случае (x − зависимая
переменная) отличается от d2y в
первом случае (x − независимая
переменная) на слагаемое 2(2x3−3x)d2x.

■

11.1.
Теорема Ролля (теорема о нуле производной)

Теорема
11.1. (теорема
Ролля)

Пусть
функция f(x) непрерывна на
отрезке [a, b] (f(x)∈C[a, b]), дифференцируема
на интервале (a, b) (f(x)∈D(a, b)) и f(a)=f(b). Тогда
существует хотя бы одна точка ξ∈(a, b) такая,
что f′(ξ)=0.

Рис.
11.1

Замечание
11.1.

(геометрический
смысл теоремы Ролля)Если выполнены все
условия теоремы
Ролля,
то в точке (ξ, f(ξ)), где ξ∈(a, b) и f′(ξ)=0, касательная
к кривой y=f(x) параллельна
оси Ox. На
интервале (a, b) может
быть несколько точек ξ таких,
что f′(ξ)=0 На
рис.11.1 функция y=f(x) имеет
две точки ξ1 и ξ2 такие,
что f′(ξ1)=0 и f′(ξ2)=0.

Замечание
11.2.

(следствие
из теоремы
Ролля)Если функция f(x) на
отрезке [a, b] удовлетворяет
условиямтеоремы
Ролля,
причем f(a)=f(b)=0, то
существует точка ξ∈(a, b) такая,
что f′(ξ)=0. Другими
словами, между двумя нулями дифференцируемой
функции лежит по крайней мере один нуль
ее производной.

Пример
11.1.

Проверить
выполнение условий теоремы
Ролля для
функции f(x)=x2−1 на
отрезке [−1, 1] и
найти соответствующие значения ξ.

Р
е ш е н и е.

 Очевидно,
что f(x)∈C[−1, 1], (поскольку
на интервале (−1, 1) существует f′(x)=2x )
(см. замечание
9.1) и f(−1)=f(1)=0. Все
условия теоремы
Роллявыполнены. Следовательно, существует
хотя бы одна точка ξ∈(−1, 1), для
которой f′(ξ)=0. Из
уравнения f′(x)=2x=0 находим
единственную точку x=ξ=0. В
точке (0, −1) касательная
к кривой y=x2−1 параллельна
оси Ox (рис.
11.2).

Рис.
11.2

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

• Механический смысл второй производной
• Вычисления производной любого порядка, формула Лейбница

Если функция $y=f(x)$ имеет производную в каждой точке
$x$ своей области определения, то ее производная
$f^{prime}(x)$ есть функция от
$x$. Функция
$y=f^{prime}(x)$, в свою очередь, может иметь производную, которую
называют производной второго порядка функции $y=f(x)$ (или второй
производной) и обозначают символом $f^{prime prime}(x)$. Таким образом

$f^{prime prime}(x)=frac{mathrm{d}^{2} y}{mathrm{d} x^{2}}=lim _{x rightarrow x_{0}} frac{f^{prime}(x)-f^{prime}left(x_{0}right)}{x-x_{0}}=left(f^{prime}(x)right)^{prime}$

Производные более высоких порядков определяются аналогично. То есть производная
$n$-го порядка функции
$f(x)$ есть первая производная от производной
$(n-1)$-го порядка этой функции:

$f^{(n)}(x)=frac{mathrm{d}^{n} y}{mathrm{d} x^{n}}=left(f^{(n-1)}(x)right)^{prime}$

Механический смысл второй производной

Вычисления производной любого порядка, формула Лейбница

Для вычисления производной любого порядка от произведения двух функций, минуя последовательное применение
формулы вычисления производной от произведения двух функций, применяется формула Лейбница:

$(u v)^{(n)}=u^{(n)} v+C_{n}^{1} u^{(n-1)} v^{prime}+C_{n}^{2} u^{(n-2)} v^{prime prime}+ldots+C_{n}^{n-1} u^{prime} v^{(n-1)}+u v^{(n)}$

где $C_{n}^{k}=frac{n !}{k !(n-k) !}$,
$n !=1 cdot 2 cdot ldots cdot n$ — факториал
натурального числа
$n$.

Читать дальше: таблица производных высших порядков.

Сообщения без ответов | Активные темы

Похожие темы	Автор	Ответы	Просмотры	Последнее сообщение
Найти сотую производную в форуме Дифференциальное исчисление	mishaptaxan	3	747	28 янв 2014, 20:43
Вычислить производную функции в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление	Lenok060393	1	328	14 ноя 2014, 13:01
Вычислить производную функции в форуме Дифференциальное исчисление	Ingrosso	1	254	11 дек 2018, 19:44
Вычислить производную функции в форуме Дифференциальное исчисление	hidife	3	130	05 дек 2020, 12:44
Вычислить производную функции в форуме Дифференциальное исчисление	lena666999	1	210	03 янв 2016, 20:06
Вычислить производную функции в форуме Дифференциальное исчисление	NoMath	2	318	10 янв 2014, 19:56
Вычислить производную заданной функции в форуме Дифференциальное исчисление	Derebas1337	3	171	09 мар 2019, 10:25
Вычислить производную заданной функции в форуме Дифференциальное исчисление	Derebas1337	1	138	09 мар 2019, 10:21
Вычислить производную заданной функции в форуме Дифференциальное исчисление	Derebas1337	1	133	09 мар 2019, 10:23
Вычислить вторую производную функции в форуме Дифференциальное исчисление	Mariha	1	251	10 ноя 2013, 11:07

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Производные высших порядков

Евгений Николаевич Беляев

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Дифференцируя производную первого порядка $f'(x)$, мы получим производную от производной — производную второго порядка. Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка, а производная $n$-го порядка называется производной от производной $n-1$-го порядка.

Производная второго порядка обозначается $y»$ или $f»(x)$. Таким образом, дифференцируя функцию $n$-раз, мы получим производную вида $f n(x)$.

Формула дифференцирования второго порядка имеет вид:

Производная n-го порядка равна нулю, если степень меньше порядка производной. Например, пятая производная функции $y = 5x^2$ равна нулю.

Пример 1

Найти вторую производную функции:

[y=xln (2x+1)]

Решение.

1. Найдем производную первого порядка сложной функции по формуле произведения:

[left[f(x)cdot g(x)right]{{‘} } =f(x)’cdot g(x)+f(x)cdot g(x)’]

[y’=left[xcdot ln (2x+1)right]{{‘} } =x’cdot ln (2x+1)+xcdot left(ln (2x+1)right){{‘} } =1cdot ln (2x+1)+xcdot left(ln (2x+1)right){{‘} } =]

[y’=ln (2x+1)+xcdot left(ln (2x+1)right){{‘} } =ln (2x+1)+xcdot frac{1}{2x+1} cdot (2x+1)’=]

[=ln (2x+1)+2xcdot frac{1}{2x+1} =ln (2x+1)+frac{2x}{2x+1} ]

2. Найдем производную второго порядка для выражения

[y»=left(ln (2x+1)+frac{2x}{2x+1} right){{‘} } =ln (2x+1)’+left(frac{2x}{2x+1} right){{‘} } =frac{1}{2x+1} cdot (2x+1)’+frac{2x’cdot (2x+1)-2xcdot (2x+1)’}{left(2x+1right)^{2} } =]

[y»=frac{2}{2x+1} +frac{2(2x+1)-2xcdot 2}{left(2x+1right)^{2} } =frac{2}{2x+1} +frac{2((2x+1)-2x)}{left(2x+1right)^{2} } =frac{2}{2x+1} +frac{2}{left(2x+1right)^{2} } =]

3. Упростим выражение

[y»=frac{2left(2x+1right)}{left(2x+1right)^{2} } +frac{2}{left(2x+1right)^{2} } =frac{2left(2x+1right)+2}{left(2x+1right)^{2} } =frac{4x+4}{left(2x+1right)^{2} } ]

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Пример 2

Найти производную четвертого порядка

[y=x^{5} -x^{4} +3x^{3} ]

Решение.

1. Найдем производную первого порядка

[y’=left(x^{5} -x^{4} +3x^{3} right){{‘} } =5x^{4} -4x^{3} +3cdot 3x^{2} =5x^{4} -4x^{3} +9x^{2} ]

2. Найдем производную второго порядка

[y»=left(5x^{4} -4x^{3} +9x^{2} right){{‘} } =20x^{3} -12x^{2} +18x]

3. Найдем производную третьего порядка

[y»’=left(20x^{3} -12x^{2} +18xright){{‘} } =60x^{2} -24x+18]

4. Найдем производную четвертого порядка

[y»»=left(60x^{2} -24x+18right){{‘} } =120x-24]

Пример 3

Найти производную четвертого порядка функции

[y=frac{x^{2} +5x^{3} }{18} ]

Решение: Самая большая степень составного неизвестного равна 3, что меньше степени производной, а значит, производная четвертого порядка равна 0.

Пример 4

Найти производную 13-го порядка функции

[y=sin x]

Решение.

1. Найдем производную первого порядка

[y’=sin’x=cos x=sin (x+frac{pi }{2} )]

2. Найдем производную второго порядка

[y»=cos’x=-sin x=sin (x+2frac{pi }{2} )]

3. Найдем производную третьего порядка

[y»’=-sin’x=-cos x=sin (x+3frac{pi }{2} )]

4. Найдем производную четвертого порядка

[y^{(4)} =-cos x’=sin x=sin (x+4frac{pi }{2} )]

Таким образом:

[y^{(n)} =sin (x+frac{ncdot pi }{2} ),nin N]

5. Найдем производную 13-го порядка:

[y^{(13)} =sin (x+frac{13cdot pi }{2} )=cos x]

«Производные высших порядков» 👇

Пример 5

Найти производную n-порядка функции

[y=frac{x}{1-x} ]

Решение.

1. Найдем производную первого порядка

[y’=left(frac{x}{1-x} right){{‘} } =frac{x'(1-x)-x(1-x)’}{(1-x)^{2} } =frac{1-x+x}{(1-x)^{2} } =frac{1}{(1-x)^{2} } =frac{1!}{(1-x)^{1+1} } ]

2. Найдем производную второго порядка

[y»=left(frac{1}{(1-x)^{2} } right){{‘} } =left((1-x)^{-2} right){{‘} } =-2(1-x)^{-3} (1-x)’=-2(1-x)^{-3} cdot (-1)=frac{2}{(1-x)^{3} } =frac{2!}{(1-x)^{2+1} } ]

3. Найдем производную 3 порядка

[y»’=left(frac{2}{(1-x)^{3} } right){{‘} } =2left((1-x)^{-3} right){{‘} } =2cdot left(-3right)(1-x)^{-4} (1-x)’=-6cdot (1-x)^{-4} cdot (-1)=frac{1cdot 2cdot 3}{(1-x)^{4} } =frac{3!}{(1-x)^{3+1} } ]

Выведем формулу производной $n$-порядка

[y^{(n)} =frac{n!}{(1-x)^{n+1} } ]

Пример 6

Найти значение второй производной в точке 1

[y=e^{2x-1} ]

Решение.

1. Найдем производную первого порядка

[y’=left(e^{2x-1} right){{‘} } =e^{2x-1} cdot 2]

2. Найдем производную второго порядка

[y»=left(2cdot e^{2x-1} right){{‘} } =2cdot e^{2x-1} cdot 2=4e^{2x-1} ]

3. Найдем производную в точке 1

[y»=4e^{2x-1} =4e^{2cdot 1-1} =4e]

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 11.12.2022