Как найти производную аналитической функции - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Аналитические функции и их свойства

Определение аналитической функции

В теории и практике применения функций комплексного переменного интерес представляют дифференцируемые функции, причем имеющие производные не в отдельных точках, а на множествах — в областях. Такие функции называют аналитическими.

Имеют место следующие определения.

1. Функция, дифференцируемая в каждой точке области, называется аналитической в области.

2. Функция, аналитическая в окрестности некоторой точки, называется аналитической в этой точке.

3. Функция называется аналитической на замкнутом множестве (overline{D}) , если она является аналитической в некоторой области (B) , содержащей это множество (overline{D}subset B) .

4. Точки, в которых нарушается аналитичность функции, называются её особыми точками.

Дифференцируемость функции в точке, согласно утверждению 2.6, проверяется по правилу 2.1. Но аналитичность функции по определению связана с дифференцируемостью в области, в частности, в окрестности точки. Для исследования дифференцируемости в области (аналитичности) используется следующее обобщенное утверждение.

Утверждение 2.8. Если функция непрерывна в области и в каждой точке области выполняются условия Коши-Римана, то функция является аналитически в области.

Правило 2.2. Для исследования функции на аналитичность требуется выполнить следующие операции.

1. Найти действительную и мнимую части функции f(z)colon, u=operatorname{Re}f(z),~ v=operatorname{Im}f(z) .

2. Найти частные производные функций u=u(x,y) и v=v(x,y) или функций u=u(r,varphi) и v=v(r,varphi) в полярных координатах.

3. Если условия Коши-Римана (2.19) или (2.21) выполняются в каждой точке непрерывности функции, то функция в этой области аналитическая.

Производная аналитической функции может быть найдена с помощью определения, т.е. по формуле (2.1) или по формулам (2.20) или (2.22).

▼ Примеры 2.41-2.43

Пример 2.41. Исследовать на аналитичность функции:
a) $f_1(z)=overline{z},~ f_2(z)=|z|^2$ ;
б) f_1(z)=c,~ f_2(z)=z^n,~ f_3(z)=e^z ;
в) f_1(z)=ln z в плоскости с разрезом по [0;+infty) .

Решение

Пример 2.42. Является ли функция u(x,y) двух действительных переменных аналитической?

Решение

Функция u(x,y) как функция комплексного переменного имеет вид f(z)=u(x,y)+icdot0 и является дифференцируемой на линиях или в точках — решениях системы $begin{cases}u'_x=0,\ u'_y=0,end{cases}$ не образующих область. Поэтому она не является аналитической.

Пример 2.43. Доказать аналитичность функции sin z во всей комплексной плоскости. Найти производную.

Решение

Запишем решение по правилу 2.2.

1. Действительную и мнимую части функции находим, используя формулу

sin(x+iy)= sin xcdot cos iy+ cos xcdotsin iy= sincdot operatorname{ch}y+ icos xcdot operatorname{sh}y.

Получаем u=sin xcdot operatorname{ch}y,~ v=cos xcdot operatorname{sh}y .

2. Находим частные производные:

$frac{partial v}{partial x}=-sin x operatorname{sh}y,quad frac{partial v}{partial y}=cos x operatorname{ch}y;quad frac{partial u}{partial x}=cos x operatorname{ch}y,quad frac{partial u}{partial y}=sin x operatorname{sh}y.$

3. Условия (2.19) выполняются для любой точки (x,y) , поэтому функция w=sin z дифференцируема при любом . Кроме того, по формуле (2.20) получаем производную

$f,'(z)= frac{partial u}{partial x}+i,frac{partial v}{partial x}= cos x operatorname{ch}y-isin x operatorname{sh}y= cos xcos iy- sin xsin iy= cos(x+iy)$ , то есть f,'(z)=cos z .

Здесь использованы формулы cos iy=operatorname{ch}y,~ sin iy=i operatorname{sh}y .

Свойства аналитических функций

Результаты примеров 2.41 и 2.43 не являются случайными. Более того, поскольку понятие аналитичности функции определяется через понятие дифференцируемости, то, учитывая утверждение 2.5 о свойствах функций, дифференцируемых в точке, убеждаемся в справедливости следующего утверждения.

Утверждение 2.9

1. Сумма, произведение функций, аналитических в точке, есть функция, аналитическая в этой точке. Поэтому, в силу аналитичности функции w=c (см.пример 2.41), линейная комбинация функций, аналитических в точке, является аналитической функцией.

2. Частное функций, аналитических в точке, есть функция, аналитическая в этой точке, если знаменатель в ней отличен от нуля.

3. Суперпозиция аналитических функций — функция аналитическая.

4. Если f(z) — аналитическая в точке z_0 и f,'(z_0)ne0 , то обратная функция $f^{-1}(w)$ является аналитической в w_0(f(z_0)=w_0) .

Эти свойства используются в большинстве случаев при исследовании функции на аналитичность. При этом отпадает необходимость проверять условия Коши-Римана. Правила нахождения производной такие же, как в действительном анализе (см. утверждение 2.5). Очевидно, совпадают и табличные производные и нет необходимости использовать формулу (2.20).

▼ Примеры 2.44-2.46

Пример 2.44. Доказать аналитичность во всей комплексной плоскости функций $operatorname{sh}z,~ operatorname{ch}z,~ P_n(z)$ .

Решение

Аналитичность функций $operatorname{sh}z=frac{e^z-e^{-z}}{2}= frac{1}{2}e^z-frac{1}{2}e^{-z}$ и $operatorname{ch}z=frac{e^z+e^{-z}}{2}= frac{1}{2}e^z+frac{1}{2}e^{-z}$ всюду в mathbb{C} следует из аналитичности функции e^z (пример 2.41) и п. 1 утверждения 2.9. Аналитичность многочлена P_n(z) всюду в является следствием аналитичности функции z^n (пример 2.41) и п. 1 утверждения 2.9.

Пример 2.45. Исследовать на аналитичность функции operatorname{tg}z,~ operatorname{ctg}z,~ R(z) — рациональная функция.

Решение

Пример 2.46. Найти особые точки функций комплексного переменного:
а) $f_1(z)= frac{z^2+3}{(z^2+2z+2)(z-1)^2},~ f_2(z)=frac{z-1}{z(z^6+1)}$ ;
б) $f_1(z)= frac{exp frac{1}{z-1}}{(z-i)sin z},~ f_2(z)= frac{e^z}{(cos z+1)sin frac{1}{z}},~ f_3(z)= frac{sin(z+1)}{(e^z+1)z^2}$ .

Решение

а) Особыми точками этих рациональных функций являются только нули знаменателей. Для f_1(z) это, очевидно, точки $z_1=1,~ z_{2,3}=-1pm i$ ; для f_2(z) — корни уравнения z^6+1=0 , то есть $z_k=exp frac{(pi+2kpi)i}{6},~ k=1,2,3,4,5$ , и точка z_0=0 .

б) Особыми точками функции f_1(z) являются нули знаменателя, это точки $z_k=kpi,~ kin mathbb{Z},~z=i$ , и особая точка числителя z=1 .

Для функции f_2(z) особые точки — нули знаменателя и z=0 — особая точка знаменателя. Найдем нули знаменателя, как решения уравнений $sin frac{1}{z}=0$ и cos z+1=0 . Получаем в результате $frac{1}{z}=kpi$ или $z_k=frac{1}{kpi},~ kin mathbb{Z}$ , и $z_m=pi+2mpi,~ min mathbb{Z}$ .

Особыми точками функции f_3(z) являются только нули знаменателя, т.е. z=0 , и точки, для которых e^z=-1 , то есть $e^z= e^{(pi+2kpi)i}$ , или $z_k=(pi+2kpi)i,~ kin mathbb{Z}$ .

Бесконечная дифференцируемость аналитической функции

Отметим одно важное обстоятельство, связанное с определением производной функции комплексного переменного. В определении производной содержится требование, чтобы предел $lim_{zto z_0}frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$ не зависел от способа стремления к z_0 , т.е. если существует производная f,'(z_0) , то отношение $frac{Delta f(z_0)}{Delta z_0}$ имеет один и тот же предел (при Delta zto0 ) по любому пути и, в частности, по любому из бесконечного множества различных лучей, выходящих из точки z_0 . Заметим, что для функции действительной переменной таких направлений только два — производная в точке слева и справа.

Указанное обстоятельство накладывает на дифференцируемую функцию комплексной переменной (а следовательно, и на аналитическую) более сильные ограничения, чем на дифференцируемую функцию действительной переменной, и является причиной появления некоторых дополнительных свойств этих функций.

Важным отличительным свойством аналитической функции комплексного переменного является следующее. Кроме того, что функция, согласно определению, имеет производную первого порядка в точке, она имеет в этой точке и производную любого порядка. А из существования производных любого порядка следует их непрерывность, так как непрерывность функции в точке является необходимым условием дифференцируемости. Так, из существования в точке производной второго порядка от некоторой функции следует непрерывность первой производной от этой функции в указанной точке и так далее.

Утверждение 2.10 (о бесконечной дифференцируемости аналитической функции). Функция, аналитическая в точке, имеет в этой точке производные любого порядка, которые являются непрерывными в этой точке.

Связь аналитических функций с гармоническими

Другая отличительная особенность аналитической функции связана с дифференцируемостью ее действительной и мнимой частей как функций двух действительных переменных. Во-первых, из формулы (2.19) и утверждения 2.10 следует, что эти функции имеют непрерывные частные производные любого порядка в области, где функция является аналитической. Во-вторых, нетрудно убедиться, что функции u(x,y)= operatorname{Re}f(z) и v(x,y)= operatorname{Im}f(z) являются гармоническими в области аналитичности f(z) .

Напомним, что гармонической в области называется функция u(x,y) двух действительных переменных, которая имеет в непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет в уравнению

$frac{partial^2u}{partial x^2}+ frac{partial^2u}{partial y^2}=0.$

(2.23)

Для доказательства справедливости равенства (2.23) для функций u=operatorname{Re}f(z) и v=operatorname{Im}f(z) достаточно продифференцировать одно из равенств (2.19) (условия Коши-Римана) по , другое — по и воспользоваться равенством смешанных производных, которое имеет место в силу непрерывности этих производных.

Уравнение (2.23) называется уравнением Лапласа, его можно записать в виде Delta u=0 , где $Delta= frac{partial^2}{partial x^2}+frac{partial^2}{partial y^2}$ — оператор Лапласа. Уравнение имеет важное значение при решении плоских задач математической физики.

Сопряжённые гармонические функции

Две гармонические функции, связанные между собой условиями Коши-Римана, называются сопряженными гармоническими функциями. Полученное свойство аналитических функций запишем в виде утверждения.

Утверждение 2.11. Действительная и мнимая части любой аналитической в области функции являются в сопряженными гармоническими функциями.

Учитывая, что действительная и мнимая части аналитической функции не являются независимыми друг от друга, а связаны условиями Коши-Римана, следует ожидать, что, используя эти условия, можно, зная одну из них, найти другую, а тем самым и аналитическую функцию, т.е. восстановить аналитическую функцию по заданной ее действительной или мнимой части.

Для функции, заданной в односвязной области, эта задача сводится к интегрированию полного дифференциала. Действительно, если u(x,y) — гармоническая в односвязной области , то условие $frac{partial^2u}{partial x^2}=-frac{partial^2u}{partial y^2}$ (см. (2.23)) будет являться условием полного дифференциала для выражения $-frac{partial u}{partial y},dx+frac{partial u}{partial x},dy$ , т.е. существует однозначная в области функция v(x,y) , такая, что имеет место равенство $dv=-frac{partial u}{partial y},dx+frac{partial u}{partial x},dy$ , и, следовательно,

$v(x,y)= intlimits_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}-frac{partial u}{partial y},dx+frac{partial u}{partial x},dy+c.$

(2.24)

С помощью (2.24) определяется функция v(x,y) по заданной гармонической функции u(x,y) . Кроме того, сравнивая подынтегральное выражение и (2.24) с формулой полного дифференциала для функции , то есть $dv= frac{partial v}{partial x},dx+frac{partial v}{partial y},dy$ , получаем, что для частных производных функций u(x,y) и v(x,y) выполняются условия Коши-Римана, т.е. функция v(x,y) является сопряженной с u(x,y) . Из этого следует, что v(x,y) — мнимая часть f(z),~ v(x,y)=operatorname{Im}f(z) и u+iv=f(z) — аналитическая функция. Полученный результат запишем в виде утверждения.

Утверждение 2.12. Для любой гармонической в односвязной области функции можно найти с точностью до постоянного слагаемого сопряженную с ней гармоническую функцию; задача решается интегрированием полного дифференциала по формуле (2.24). Постоянная определяется из дополнительного условия — задания искомой функции в некоторой точке.

Замечания 2.8

1. Если область многосвязная, то функция v(x,y) , определяемая интегралом (2.24), а также функция f(z)=u+iv могут оказаться многозначными.

2. Интеграл в (2.24) не зависит от вида кривой. Если выбрать в качестве пути интегрирования ломаную, звенья которой параллельны координатным осям, то задачу можно свести к вычислению двух определенных интегралов:

$v= intlimits_{x_0}^{x}-frac{partial u}{partial y}(x,y_0),dx+ intlimits_{y_0}^{y} frac{partial u}{partial x}(x,y),dy+c.$

(2.25)

Точка (x_0,y_0) может быть выбрана любой из области определения функции. Заметим также, что в первом подынтегральном выражении значение переменной у при вычислении интеграла заменяется на $y_0=text{const}$ .

▼ Примеры 2.47-2.49

Пример 2.47. Проверить, что функция $u=frac{1}{2}ln(x^2+y^2)$ является гармонической. Найти сопряженную с ней функцию:

а) в области с разрезом по лучу -infty<xleqslant0 ;

б) в плоскости с выколотой точкой (0;0) .

Решение

Находим частные производные второго порядка от функции u(x,y) и проверяем равенство (2.23):

$frac{partial u}{partial x}= frac{x}{x^2+y^2},quad frac{partial^2u}{partial x^2}= frac{x^2-y^2-xcdot 2x}{(x^2+y^2)^2}= frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2},quad frac{partial^2u}{partial y^2}= frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2},$

поэтому $frac{partial^2u}{partial x^2}+frac{partial^2u}{partial y^2}=0$ для любой точки плоскости, исключая точку (0;0) .

а) В односвязной области — плоскости с разрезом по действительной отрицательной полуоси в соответствии с утверждением 2.12 существует однозначная сопряженная с данной u(x,y) гармоническая функция. Определим ее по формуле (2.25):

$v(x,y)= intlimits_{x_0}^{y_0} frac{-y_0}{x^2+y^2},dx+ intlimits_{y_0}^{y} frac{x}{x^2+y^2},dy+c.$

Точку (x_0,y_0) можно выбрать произвольной в указанной области, например (1;0) . Поэтому получаем

$v(x,y)= intlimits_{1}^{x}0,dx+ intlimits_{0}^{y}frac{x,dy}{x^2+y^2}+c= left.{xcdot frac{1}{x}operatorname{arctg}frac{y}{x}}right|_{0}^{y}+c= operatorname{arctg} frac{y}{x}+c.$

Нетрудно проверить, что полученная функция v(x,y) — гармоническая. В частности, при задании дополнительного условия v(1;0)=2 , находим значение ccolon, operatorname{arctg}0+c=c , то есть c=2 и, следовательно, определенную гармоническую функцию $v(x,y)= operatorname{arctg}frac{y}{x}+2$ . Запишем функцию f(z) , для которой заданная функция u(x,y) является действительной частью, а найденная v(x,y) — мнимой частью:

$f(z)= u+i,v= frac{1}{2}ln(x^2+y^2)+ icdot operatorname{arctg} frac{y}{x}+ icdot c= ln|z|+ icdotarg z+icdot c,$

или f(z)=ln z+icdot c — функция, аналитическая в плоскости с разрезом по лучу.

б) Область здесь не является односвязной (двусвязная). Находим функцию {v} по ее полному дифференциалу:

$v= intlimits_{M_0}^{M}-frac{partial u}{partial y},dx+ frac{partial u}{partial x},dy+c.$

Если путь интегрирования — произвольная кривая, соединяющая точки M_0 и , не проходящая через начало координат и не совершающая обхода вокруг (0;0) , в частности ломаная M_0M_1M (рис. 2.16), то результат получен в предыдущем пункте $v=operatorname{arctg}frac{y}{x}+c$ .

Путь интегрирования на комплексной плоскости

Выберем теперь в качестве пути интегрирования кривую , которая, выходя из точки M_0 , совершает один раз обход вокруг начала координат по произвольной замкнутой кривой, например по окружности радиуса $R=bigl|overline{OM}_0bigr|$ , и заканчивается в точке (рис. 2.16). Интеграл можно представить в виде двух слагаемых:

$intlimits_{l}-frac{partial u}{partial y},dx+ frac{partial u}{partial x},dy+c= ointlimits_{C}-frac{partial u}{partial y},dx+ frac{partial u}{partial x},dy+ intlimits_{M_0}^{M}-frac{partial u}{partial y},dx+ frac{partial u}{partial x},dy+c$

Второе слагаемое вычислено выше. Найдем интеграл по контуру — по окружности радиуса , для которой запишем параметрические уравнения $begin{cases}x=Rcos{t},\ y=Rsin{t}.end{cases}$ Вычисляем криволинейный интеграл второго рода через определенный для случая параметрического задания кривой:

$ointlimits_{C} frac{-y}{x^2+y^2},dx+ frac{x}{x^2+y^2},dy= intlimits_{0}^{2pi} frac{R^2sin^2t+R^2cos^2t}{R^2},dt= intlimits_{0}^{2pi}dt=2pi.$

Таким образом, получаем результат $intlimits_{l}dv= operatorname{arctg}frac{y}{x}+ 2pi+c$ .

Если совершает обход раз вокруг начала координат по часовой стрелке или против часовой стрелки, то результат, очевидно, принимает вид

$v(x,y)= operatorname{arctg}frac{y}{x}+2kpi+c,quad kinmathbb{Z}.$

При задании дополнительного условия находим значение , например, при условии v(1;0)=0 имеем c=0 . Получена многозначная функция (см. замечание 2.8) $v=operatorname{arctg}frac{y}{x}+2kpi$ , при этом f(z)=u+i,v , очевидно, также многозначная,

f(z)= ln|z|+i(arg z+2kpi) или f(z)=operatorname{Ln}z .

Пример 2.48. Найти аналитическую функцию f(z)=u+i,v по заданной ее действительной части u(x,y)=x^3-3xy^2+2y .

Решение

Находим частные производные данной функции:

$frac{partial u}{partial x}=3x^2-3y^2,quad frac{partial u}{partial y}=-6xy+2,quad frac{partial^2u}{partial x^2}=6x,quad frac{partial^2u}{partial y^2}=-6x.$

Так как равенство $frac{partial^2u}{partial x^2}+frac{partial^2u}{partial y^2}=0$ выполняется для любой точки (x,y) , то u(x,y) — гармоническая в любой области . Находим сопряженную с ней функцию по формуле (2.25):

$begin{aligned}v(x,y)&= intlimits_{x_0}^{x}(6xy_0-2),dx+ intlimits_{y_0}^{y}(3x^2-3y^2),dy+c_1= Bigl.{(3y_0x^2-2x)}Bigr|_{x_0}^{x}+ Bigl.{(3x^2y-y^3)}Bigr|_{y_0}^{y}+c_1=\ &=3y_0x^2-2x-3y_0x_0^2+2x_0+3x^2y-y^3-3x^2y_0+y_0^3+c_1= 3x^2y-y^3-2x+c,\ &(c_1=text{const},~ c=text{const}) end{aligned}$

Этот же результат можно получить, взяв при интегрировании x_0=0,~ y_0=0 , т.е.

$intlimits_{0}^{x}(-2,dx)+ intlimits_{0}^{y}(3x^2-3y^2),dy+c= -2x+3x^2y-y^3+c.$

Записываем функцию f(z)= u+i,v= x^3-3xy^2+2y+i(3x^2y-y^3-2x+c) . В правой части равенства нужно заменить и их выражениями через переменную $zcolon, x=frac{z+overline{z}}{2},~ y=frac{z-overline{z}}{2i}$ ; для удобства можно использовать равенство z^3=(x+i,y)^3= x^3+3x^2y,i-3xy^2-i,y^3 , которое, очевидно, присутствует в выражении для f(z) . Получаем

f(z)= x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)+2y-2ix+ic= z^3-2i(x+iy)+ic= z^3-2iz+ic,

или f(z)= z^3-2iz+ic , где — комплексная константа.

Задачу можно решить иначе, используя непосредственно условия Коши-Римана. А именно из равенства $frac{partial v}{partial x}=-frac{partial u}{partial y}=6xy-2$ находим

$v=int frac{partial v}{partial x},dx+varphi(y)= int(6xy-2),dx+ varphi(y)= 3x^2y-2x+varphi(y).$

Заметим, что здесь интегрируется по одной из переменных (по ) функция двух переменных $frac{partial v}{partial x}$ , поэтому постоянная интегрирования, не зависящая от переменной интегрирования, является функцией параметра, т.е. .

Далее, для нахождения функции varphi(y) используем другое условие Коши-Римана — $frac{partial v}{partial y}=frac{partial u}{partial x}$ . Находим производную $frac{partial v}{partial y}$ от полученного выше выражения для $v(x,y),~ frac{partial v}{partial y}=3x^2+varphi'(y)$ и приравниваем известной производной $frac{partial u}{partial x},~ frac{partial u}{partial x}=3x^2-3y^2$ . Из полученного равенства -3y^2=varphi'(y) определяем varphi(y)colon

varphi(y)= intvarphi'(y),dy+c= int-3y^2,dy+c= -y^3+c.

Таким образом, найдена функция v(x,y)=3x^2y-2x+(-y^3+c) .

Пример 2.49. Пусть v=v(x,y) — гармоническая в области функция. Найти сопряженную с ней функцию u(x,y) , такую, что u=operatorname{Re}f(z),~ v=operatorname{Im}f(z) , где f(z) — аналитическая в области функция.

Решение

Поставленную задачу можно сформулировать, как задачу восстановления аналитической функции по заданной ее мнимой части. Будем рассматривать случай односвязной области .

Функцию u(x,y) , согласно утверждению 2.12, находим интегрированием полного дифференциала:

$u(x,y)= intlimits_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}du+c= intlimits_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} frac{partial u}{partial x},dx+ frac{partial u}{partial y},dy+c,$

или, используя условия Коши-Римана для пары сопряженных гармонических функций:

$u(x,y)= intlimits_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} frac{partial v}{partial y},dx-frac{partial v}{partial x},dy+c.$

(2.26)

Если, как и выше, в качестве пути интегрирования, соединяющего точки (x_0,y_0) и (x,y) , выбрать ломаную, звенья которой параллельны координатным осям, то из (2.26) получим два определенных интеграла:

$u(x,y)= intlimits_{x_0}^{x} frac{partial v}{partial y}(x,y_0),dx- intlimits_{y_0}^{y} frac{partial v}{partial x}(x,y),dy+c.$

(2.27)

Восстановление аналитической функции по действительной или мнимой части

Обобщая изложенный материал и рассмотренные примеры, можно сформулировать следующее правило нахождения аналитической функции по заданной ее действительной или мнимой части.

Правило 2.3. Для нахождения аналитической функции по заданной ее действительной или мнимой части необходимо выполнить следующие операции.

1. Найти частные производные до второго порядка заданной функции двух переменных u(x,y) или v(x,y) . Проверить, если требуется, что заданная функция гармоническая, т.е. выполняется в некоторой области равенство Delta u=0 или Delta v=0 .

2. Найти по заданной гармонической функции сопряженную с ней функцию, используя формулы (2.24) или (2.25) для нахождения v=operatorname{Im}f(z) или (2.26), (2.27) для нахождения u=operatorname{Re}f(z) . Можно воспользоваться непосредственно условиями Коши-Римана (см. пример 2.48).

3. Записать функцию f(z)=u+iv , где одна из функций ( u(x,y) или v(x,y) ) — заданная гармоническая, другая — гармоническая, сопряженная с ней. В односвязной области функция f(z) — аналитическая (однозначная) и определена с точностью до постоянного слагаемого.

4. Если задано дополнительное условие — значение искомой функции f(z) в некоторой точке из области аналитичности функции, то следует использовать его для определения постоянной , получившейся при нахождении сопряженной функции.

▼ Примеры 2.50-2.53

Пример 2.50. Найти аналитическую функцию f(z) , если

operatorname{Im}f(z)= xcdot operatorname{sh}xcdot sin y+ycdot operatorname{ch}xcdot cos y,quad f(1)=operatorname{ch}1.

Решение

Запишем решение по правилу 2.3.

1. Находим частные производные функции v(x,y)= xcdot operatorname{sh}xcdot sin y+ycdot operatorname{ch}xcdot cos ycolon

$begin{aligned}frac{partial v}{partial x}&= operatorname{sh}xcdot sin y+xcdot operatorname{ch}xcdot sin y+ycdot operatorname{sh}xcdot cos y,\[5pt] frac{partial v}{partial y}&= xcdot operatorname{sh}xcdotcos y+ operatorname{ch}xcdot cos y-ycdot operatorname{ch}xcdotsin y.end{aligned}$

2. Находим функцию u(x,y) по формуле (2.27):

$begin{aligned}u(x,y)&= intlimits_{x_0}^{x}bigl((x operatorname{sh}x+ operatorname{ch}x)cos y_0-y_0sin y_0 operatorname{ch}xbigr)dx- intlimits_{y_0}^{y} (operatorname{sh}x+x operatorname{ch}x)sin y,dy-intlimits_{y_0}^{y} operatorname{sh}xcos ycdot y,dy=\ &=cos y_0 Biggl(Bigl.{xcdot operatorname{ch}x }Bigr|_{x_0}^{x}-intlimits_{x_0}^{x} operatorname{ch}x,dxBiggr)+ Bigl.{cos y_0cdot operatorname{sh}x }Bigr|_{x_0}^{x}-Bigl.{y_0sin y_0cdot operatorname{sh}x}Bigr|_{x_0}^{x}+ \ &phantom{=}+Bigl.{(operatorname{sh}x+x operatorname{ch}x)cos y}Bigr|_{y_0}^{y}-operatorname{sh}x Biggl(Bigl.{ysin y}Bigr|_{y_0}^{y}-intlimits_{y_0}^{y}sin y,dyBiggr)= ldots= xoperatorname{ch}xcos y-yoperatorname{sh}xsin y+c. end{aligned}$

Можно проверить, что полученная функция u(x,y) является гармонической. Заметим, что при интегрировании можно взять x_0=0,~ y_0=0 . Можно, как записано в правиле 2.3, при нахождении функции u(x,y) использовать условия Коши-Римана непосредственно:

$u(x,y)= int frac{partial u}{partial x},dx+varphi(y)= int frac{partial v}{partial y},dx+varphi(y)= psi(x,y)+varphi(y),$

где psi(x,y) — определенная, полученная при интегрировании функция, а функцию varphi(y) требуется определить. Она находится из равенства, получаемого при сравнении выражения для $frac{partial u}{partial y}$ ( известного из условия $frac{partial u}{partial y}=-frac{partial v}{partial x}$ , где v(x,y) — заданная функция) с выражением для $frac{partial u}{partial y}$ , получаемым при дифференцировании по функции psi(x,y)+varphi(y) .

3. Записываем функцию

f(z)=u+i,v= x operatorname{ch}xcos y-y operatorname{sh}xsin y+c+ i(x operatorname{sh}xsin y+y operatorname{ch}xcos y).

Преобразуем полученное выражение к функции переменной , используя формулы Эйлера cos iz=operatorname{ch}z,~ sin iz=i operatorname{sh}z и тригонометрическую формулу для cos(alpha+beta) . Получаем

f(z)= z,(cos ix cos y+sin ixsin y)+c= zcos(ix-y)= zcos[i(x+iy)]+c= zcos iz+c.

или окончательно: f(z)=z operatorname{ch}z+c , где — действительная постоянная.

Пример 2.51. Показать, что функция $operatorname{arctg}frac{y}{x}$ является гармонической в области определения. Найти аналитическую функцию f(z)=u+i,v , для которой $u=operatorname{arctg}frac{y}{x}$ и $f(-i)=frac{3pi}{2}+2i$ .

Решение

1. Находим частные производные функции $operatorname{arctg}frac{y}{x}colon$

$frac{partial u}{partial x}= frac{-y}{x^2+y^2},quad frac{partial u}{partial y}= frac{x}{x^2+y^2}$ при xne0 .

Далее находим производные второго порядка:

$frac{partial^2u}{partial x^2}=frac{ycdot 2x}{(x^2+y^2)^2},,qquad frac{partial^2u}{partial y^2}=frac{-xcdot 2y}{(x^2+y^2)^2},.$

При x=0 и yne0 частные производные $frac{partial u}{partial x}$ и $frac{partial u}{partial x}$ равны нулю, так как при этом $u=pm frac{pi}{2}$ . Тем самым убеждаемся, что функция $u(x,y)= operatorname{arctg}frac{y}{x}$ удовлетворяет уравнению Лапласа $frac{partial^2u}{partial x^2}+frac{partial^2u}{partial y^2}=0$ для любых (x,y) , за исключением точки (0;0) , т.е. всюду в области определения.

Согласно утверждению 2.12, в комплексной плоскости с выколотой точкой z=0 , то есть в 0<|z|<+infty , существует функция f(z) , для которой данная функция является действительной, как в данном случае, или мнимой частью. При этом в любой односвязной области , в частности в плоскости с разрезом по лучу [0;+infty) (см. рис. 2.5), определяется однозначная аналитическая функция.

2. Находим функцию v(x,y) , сопряженную с функцией $u=operatorname{arctg} frac{y}{x}$ . Используем условие Коши-Римана. Получаем:

$v(x,y)= int frac{partial v}{partial x},dx+varphi(y)= int-frac{partial u}{partial y},dx+varphi(y)= int frac{-x,dx}{x^2+y^2}+varphi(y)= -frac{1}{2}ln(x^2+y^2)+ varphi(y).$

Отсюда находим производную $frac{partial v}{partial y}=-frac{y}{x^2+y^2}+varphi'(y)$ и приравниваем ее к $frac{partial u}{partial x}$ . Получаем равенство $frac{-y}{x^2+y^2}+ varphi'(y)=frac{-y}{x^2+y^2}$ , из которого определяем varphi(y)=c .

В результате с точностью до произвольной постоянной с найдена функция $v(x,y)=-frac{1}{2}ln(x^2+y^2)+c$ , сопряженная с данной функцией u(x,y) , причем v(x,y) является мнимой частью аналитической в указанной области функции f(z) , для которой u(x,y)= operatorname{Re}f(z) .

3. Записываем аналитическую функцию

$f(z)=u+i,v= operatorname{arctg}frac{y}{x}-i, frac{1}{2}ln(x^2+y^2)+i,c.$

или, переходя к переменной zcolon, f(z)=arg z-iln|z|+i,c . Можно записать иначе: f(z)=-i bigl(ln|z|+iarg zbigr)+c_1 или окончательно f(z)=-iln z+c_1 , где c_1 — комплексная константа.

4. Используем условие $f(-i)=frac{3pi}{2}+2i$ для нахождения $c_1colon, frac{3pi}{2}+2i=-iln(-i)+c_1$ , или, вычисляя значение ln(-i) , имеем $frac{3pi}{2}+2i=- left(0+i,frac{3pi}{2}right)+c_1$ . Получаем c_1=2i и f(z)=-iln z+2i .

Пример 2.52. Существует ли аналитическая функция f(z)=u+iv , для которой

а) $v=frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$ ; б) $u=cos frac{y}{x}$ ; в) v=ycos{x} ?

В случае положительного ответа найти f(z) .

Решение

а) Ответ на поставленный вопрос сводится к выяснению, является ли гармонической заданная функция двух переменных. Для гармонической функции u(x,y) или v(x,y) находим решение по правилу 2.3.

1. Находим частные производные до второго порядка заданной функции двух переменных v(x,y)

$begin{aligned} frac{partial v}{partial x}= frac{2x(3y^2-x^2)}{ (x^2+y^2)^3},quad frac{partial v}{partial y}= frac{-2y(3x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^3},quad frac{partial^2v}{partial x^2}= frac{6(x^4+y^4-6x^2y^2)}{(x^2+y^2)^4},quad frac{partial^2v}{partial y^2}=frac{-6(x^4+y^4-6x^2y^2)}{(x^2+y^2)^4}. end{aligned}$

Условие Delta v=0 выполняется всюду, кроме точки (0;0) . Следовательно, функция v(x,y) — гармоническая в области определения.

2. Находим сопряженную с v(x,y) функцию:

$u(x,y)= intlimits_{x_0}^{x}left.{frac{partial v}{partial y}}right|_{y=y_0}dx-intlimits_{y_0}^{y}frac{partial v}{partial x},dy= intlimits_{x_0}^{x}-2y_0, frac{3x^2-y_0^2}{(x^2+y_0^2)^3},dx-intlimits_{y_0}^{0}2x, frac{3y^2-x^2}{(x^2+ y^2)^3},dy+c.$

Полагаем y_0=0 , тогда остается одно слагаемое $-2xintlimits_{y_0}^{0} frac{3y^2-x^2}{(x^2+ y^2)^3},dy$ , которое преобразуем следующим образом:

$-2xintlimits_{y_0}^{0} frac{3y^2-x^2}{(x^2+ y^2)^3},dy=-2xintlimits_{y_0}^{0} frac{3y^2+3x^2-4x^2}{(x^2+ y^2)^3},dy=-6xintlimits_{y_0}^{0} frac{dy}{(x^2+ y^2)^2}+ 8x^3 intlimits_{y_0}^{0} frac{dy}{(x^2+ y^2)^2},.$

Для полученных интегралов применяем рекуррентную формулу:

$I_n= int frac{dx}{(x^2+a^2)^{n}}= frac{x}{2(n-1)a^2(x^2+a^2)^{n-1}}+ frac{2n-3}{2(n-1)a^2},I_{n-1}$ при n=2 и n=3 .

В данном случае удобнее переписать выражение, применив эту формулу сначала для второго слагаемого (n=3)colon

$-6x,I_2+ 8x^3 left(frac{y}{4x^2(x^2+y^2)^2}+ frac{3}{4x^2},I_2right)= frac{2xy}{(x^2+y^2)^2},.$

Таким образом, получена функция $u(x,y)= frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}+c$ .

3. Записываем f(z)=u+i,v , преобразуя выражение к переменной zcolon

$begin{aligned}f(z)&= frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}+c+ i,frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}= frac{1}{(zcdot overline{z})^2} bigl(2xy+i(x^2-y^2)bigr)+c=\ &= frac{i}{(zcdot overline{z})^2} bigl(x^2-y^2-i,2xybigr)+c= frac{i, overline{z}^2}{z^2 overline{z}^2}+c= frac{i}{z^2}+c. end{aligned}$

Окончательный ответ: $f(z)=frac{i}{z^2}+c$ — функция аналитическая всюду кроме z=0 (при любом ).

б) Находим производные при xne0colon

$frac{partial u}{partial x}= frac{y}{x^2}sin frac{y}{x},quad frac{partial u}{partial y}=-frac{1}{x}sin frac{y}{x},quad frac{partial^2u}{partial x^2}= -frac{y}{x^4} left(2xsin frac{y}{x}+ ycos frac{y}{x}right)!,quad frac{partial^2u}{partial y^2}= -frac{1}{x^2}cos frac{y}{x},.$

Условие Delta u=0 выполняется на отдельных линиях вида y=alpha x,~ alphainmathbb{R} , следовательно, u(x,y) не является гармонической. Поэтому не существует аналитической функции f(z) , для которой u(x,y) является действительной (и мнимой тоже) частью.

в) Находим производные второго порядка: $frac{partial^2u}{partial x^2}=-ycos{x},~ frac{partial^2u}{partial y^2}=0$ . Условие Delta u=0 выполняется на прямых $y=0,~ x=frac{pi}{2}+kpi$ . Функция v(x,y) не является гармонической. Поэтому не существует аналитической функции f(z) , для которой v(x,y) является мнимой (и действительной тоже) частью.

Пример 2.53. Найти все аналитические функции, для которых действительная часть имеет вид u=varphi(x^2+y^2) .

Решение

Задача нахождения аналитической функции по ее действительной части решается, если operatorname{Re}f(z)=u(x,y) является функцией гармонической. Здесь функция u(x,y) задана, как сложная функция переменных и ycolon, u=varphi(t),~ t=x^2+y^2 . Для решения задачи сначала определим вид гармонической функции из условия Delta u=0 . Найдем частные производные второго порядка. По правилу дифференцирования сложной функции получаем: $frac{partial u}{partial x}= frac{partialvarphi}{partial t}cdot frac{partial t}{partial x}$ , то есть $frac{partial u}{partial x}=varphi'(t)cdot2x$ или $frac{partial u}{partial x}=varphi'(x^2+y^2)cdot2x$ . Далее дифференцируем это произведение по переменной , учитывая, что — сложная функция переменной xcolon

$frac{partial^2u}{partial x^2}= 2xcdot varphi''(x^2+y^2)cdot2x+ varphi'(x^2+ y^2)cdot2= 4x^2cdotvarphi''(x^2+y^2)+ 2cdot varphi'(x^2+y^2).$

В силу симметрии переменных вторая производная по имеет вид

$frac{partial^2u}{partial y^2}= 4y^2cdotvarphi''(x^2+y^2)+ 2cdot varphi'(x^2+y^2).$

Записываем уравнение Лапласа: (x^2+y^2)cdot varphi''(x^2+y^2)+ varphi'(x^2+y^2)=0 . Обозначив x^2+y^2=t , получим для функции varphi(t) дифференциальное уравнение второго порядка tcdotvarphi''(t)+varphi'(t)=0 , которое допускает понижение порядка с помощью замены varphi'(t)=v(t) . Для нахождения вспомогательной функции v(t) получаем простейшее дифференциальное уравнение tcdot v'+v=0 ; разделяя переменные, находим $v(t)= frac{c}{t},~ tne0$ . Далее, интегрируя равенство $varphi'(t)=frac{c}{t}$ , получаем функцию $varphi(t)= c_1ln{t}+c_2$ . Гармонические функции вида записываются в форме

u(x,y)=c_1cdot ln(x^2+y^2)+c_2,quad x^2+y^2ne0.

Далее, обычным образом находим сопряженную с u(x,y) функцию. Можно использовать результат примера 2.47. Получим $v(x,y)=2c_1 operatorname{arctg} frac{y}{x}+c_3$ . В односвязной области — плоскости с разрезом [0;+infty) соответствующая аналитическая функция записывается в виде

$f(z)=c_1ln(x^2+y^2)+c_2+i,2c_1 operatorname{arctg} frac{y}{x}+ i,c_3= 2c_1 left(lnsqrt{x^2+y^2}+ i operatorname{arctg} frac{y}{x}right)+ c_2+i,c_3= 2c_1ln z+c_2+i,c_3.$

Вводя новые обозначения для постоянных, окончательно получаем $f(z)= c_1ln z+c_2,~ c_1in mathbb{R},~ c_2in mathbb{C}$ .

Приложения аналитических функций

Аналитические функции в задачах теории поля

Известные из интегрального исчисления функции многих переменных задачи векторного анализа — вычисления работы, потока векторного поля, нахождения потенциальной функции и потенциала, с физической точки зрения являются важнейшими задачами электростатики и гидродинамики, так называемыми задачами теории потенциала — исследования стационарных полей.

При исследовании плоских векторных полей в таких задачах применяются методы теории аналитических функций, так как задание функции в плоской области есть задание функции комплексного переменного.

Задание векторного поля (например, поля скоростей течения жидкости, газа) $vec{a}= a_xvec{i}+a_yvec{j}$ означает, что в некоторой плоской области каждой точке M_0(x_0,y_0)in D соответствует вектор $vec{a}_{0}= a_{x_0}vec{i}+ a_{y_0}vec{j}$ или пара $(a_{x_0},a_{y_0})$ , т.е. каждому комплексному числу z_0=x_0+i,y_0,~ z_0in D соответствует число $w_0=a_{x_0}+i,a_{y_0}$ .

Следовательно, задание векторного поля $vec{a}= a_xvec{i}+a_yvec{j}$ эквивалентно заданию функции комплексного переменного $f(z),~ operatorname{Re}f(z)=a_x,~ operatorname{Im}f(z)=a_y$ .

При исследовании установившихся стационарных течений идеальной жидкости (газа) рассматриваются поля, безвихревые и без источников и стоков. Если поле vec{a}= Pcdotvec{i}+ Qcdotvec{j} или $vec{a}= a_xvec{i}+a_yvec{j}$ — потенциальное (безвихревое), то по свойству таких полей выполняется условие

$frac{partial P}{partial y}= frac{partial Q}{partial x}quad text{or}quad frac{partial a_x}{partial y}= frac{partial a_y}{partial x},,$

(2.28)

которое является условием потенциальности поля vec{a} . При выполнении условия (2.28) существует функция u(x,y) — потенциальная функция, для которой vec{a}= operatorname{grad}u и выражение P,dx+Q,dy или a_x,dx+a_y,dy является полным дифференциалом, т.е.

$du=P,dx+Q,dyquad text{or}quad du=a_x,dx+a_y,dy.$

(2.29)

Если поле vec{a} к тому же соленоидально (без источников и стоков), то по определению таких полей дивергенция поля равна нулю, operatorname{div}vec{a}=0 , то есть

$frac{partial P}{partial x}+frac{partial Q}{partial y}=0quad text{or}quad frac{partial a_x}{partial x}+frac{partial a_y}{partial y}=0.$

(2.30)

Условие (2.30) — является условием полного дифференциала некоторой функции v(x,y) , для которой справедливо равенство

$dv=-Q,dx+P,dyquad text{or}quad dv=-a_y,dx+a_x,dy.$

(2.31)

Равенства (2.29) и (2.31) определяют для заданного поля vec{a}=P,vec{i}+Q,vec{j} или $vec{a}=a_x,vec{i}+a_y,vec{j}$ две функции u(x,y) и v(x,y) .

Из этих условий следуют равенства $a_x=frac{partial u}{partial x}$ и $a_x= frac{partial v}{partial y}$ , а также $a_y= frac{partial u}{partial y},~ a_y=-frac{partial v}{partial x}$ , и поэтому $frac{partial u}{partial x}=frac{partial v}{partial y}$ и $frac{partial u}{partial y}=-frac{partial v}{partial x}$ . Эти равенства, полученные для функций u(x,y),~ v(x,y) , являются не чем иным, как условиями Коши-Римана некоторой аналитической функции f(z) , для которой u=operatorname{Re}f(z),~ v=operatorname{Im}f(z) .

Рассмотрим физический смысл функций u(x,y) и v(x,y) как характеристик поля vec{a} .

Функция u=u(x,y) — потенциальная функция поля vec{a}= operatorname{grad}u ; линии уровня u=text{const} представляют собой семейство линий равного потенциала или семейство эквипотенциальных линий.

Линии уровня v=text{const} образуют семейство линий, ортогональных линиям семейства u=text{const} , т.е. любая пара пересекающихся линий этих семейств образует в точке пересечения прямой угол, иначе линии уровня функций u(x,y),~ v(x,y) — два семейства u(x,y)=text{const} и v(x,y)=text{const} образуют в плоскости Oxy ортогональную сетку. Это связано с тем, что образами этих линий в плоскости Ouv являются два ортогональных семейства u=text{const} и v=text{const} прямых, параллельных координатным осям и , а отображение с помощью аналитической функции f(z)=u+i,v является конформным отображением, так как при таком отображении сохраняются углы (см. утверждение 2.7).

Вектор поля vec{a} как градиент скалярного поля u,~ vec{a}= operatorname{grad}u , по свойству градиента направлен по нормали к линии уровня u=text{const} и, следовательно, по касательной к линии v= text{const} . Поэтому линии уровня v=text{const} являются векторными линиями поля vec{a} , и если вектор vec{a} с физической точки зрения определяет скорость течения жидкости, то — траектории жидких частиц. Поэтому линии v=c называются линиями тока поля vec{a} .

Сформулируем результат приведенных рассуждений в виде утверждения.

Утверждение 2.13

1. Исследование потенциального и соленоидального поля vec{a}=P,vec{i}+ Q,vec{j} или $vec{a}=a_xvec{i}+a_yvec{j}$ связано с исследованием функций u(x,y),~ v(x,y) , которые определяются для заданного поля vec{a} по формулам (2.29) и (2.31).

2. Линии u(x,y)=text{const} — эквипотенциальные линии, линии v(x,y)=text{const} -линии тока поля vec{a} . Они образуют два ортогональных друг другу семейства.

3. Функции u(x,y) и v(x,y) являются сопряженными гармоническими функциями и определяют некоторую аналитическую функцию f(z)=u+i,v . Тем самым подтверждается, что исследование поля vec{a} связано с исследованием функции f(z) . Функция f(z) , построенная таким образом, называется комплексным потенциалом поля vec{a} .

4. Для исследования потенциально-соленоидальных полей может быть успешно использован хорошо разработанный аппарат аналитических функций, в частности теория конформных отображений.

Аналитические функции в приложениях

Остановимся подробнее на свойстве конформности как геометрическом свойстве отображения.

Учитывая определение аналитической функции, утверждение 2.7 можно сформулировать следующим образом.

Утверждение 2.14 (о геометрическом свойстве конформного отображения). Отображение с помощью аналитической функции является конформным всюду в области аналитичности, где производная функции отлична от нуля, т.е. если f,'(z)ne0 , то отображение w=f(z) обладает свойствами постоянства растяжения и сохранения углов (по величине и направлению отсчета) в бесконечно малой окрестности точки z_0 аналитичности функции. Это означает, в частности, что оно сохраняет бесконечно малые окружности, т.е. окружность gamma , имеющая уравнение |z-z_0|=r , где достаточно мало, при отображении w=f(z) переходит в кривую Gamma , которая с точностью до бесконечно малых величин может быть заменена окружностью |w-w_0|=R , где R=k,r,~ k=|f,'(z_0)|ne0 (рис. 2.17).

Геометрическое свойство конформного отображения

Отображение с помощью аналитической функции можно рассматривать как преобразование подобия в бесконечно малом, так как сохраняется пропорциональность линейных размеров сходственных линий, в частности границ фигур, и имеет место равенство соответствующих углов. Так, треугольник плоскости (z) переходит в подобный ему криволинейный треугольник плоскости (w) .

Теория и практика конформных отображений имеет широкое применение в различных областях: в теории потенциала, при решении краевых задач уравнений математической физики, прежде всего первой краевой задачи для уравнений Лапласа и Пуассона — задачи Дирихле и Неймана, в задачах гидродинамики и электростатики, теории упругости.

Во многих случаях возникает проблема сведения задачи, решаемой в некоторой заданной области, к решению ее в другой области, в частности в простейшей канонической области. Это — проблема нахождения отображения областей.

Для плоских областей такое отображение $begin{cases}u=u(x,y),\ v=v(x,y)end{cases}$ может определяться в виде w=f(z), u=operatorname{Re}f(z),~ v=operatorname{Im}f(z) , т.е. сводится к нахождению соответствующей аналитической функции.

Каноническими областями при этом являются верхняя полуплоскость (operatorname{Im} z>0) и круг единичного радиуса с центром в начале координат (|z|<1) . Принципиальным становится вопрос о самой возможности конформного отображения произвольных областей, а также о практическом осуществлении такого отображения, причем по возможности с помощью сравнительно простых функций.

Хорошо разработанная геометрическая теория функций комплексного переменного — теория конформных отображений дает ответы на эти вопросы. Первый вопрос решает теорема Римана, согласно которой для любой односвязной области, за исключением двух тривиальных случаев — всей плоскости overline{C} и плоскости с одной удаленной точкой, существует конформное отображение ее на единичный круг.

Кроме того, простое дробно-линейное отображение $w=e^{ia},frac{z-z_0}{1-zcdot overline{z}_0}$ переводит круг в себя, т.е. отображает круг |z|<1 на круг |w|<1 , так, что заданная точка круга z_0~ (|z_0|<1) переходит в центр круга w(z_0)=0 . Это позволяет утверждать, что для любых двух односвязных областей (за исключением двух упомянутых случаев) существует конформное отображение, переводящее одну область в другую.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Пусть
однозначная функция

определена в некоторой окрестности
точки z.
Выберем точку

из этой окрестности, вычислим

и найдем приращение функции

в точке z.

где

Определение
1. Если
существует предел

то он называется производной функции

в точке z.
Пишут

(1)

Функция,
имеющая производную в точке z,
называется дифференцируемой в этой
точке.

Теорема
1. Если
функция

дифференцируема в точке z,
то в этой точке справедливы соотношения
Эйлера-Даламбера

(2)

Доказательство.
По условию теоремы существует предел
(1), не зависящий от способа стремления

к нулю. Поэтому положим

и найдем предел (1).

(3)

Полагая

аналогично из (1) получим

(4)

Сравнивая
(3) и (4), получим (2). Теорема доказана.

Следствие.
Если условия (2) не выполняются в некоторой
точке, то функция

недифференцируема в этой точке.
Доказательство от противного.

Теорема2.
Если
функции

дифференцируемые в некоторой точке, а
их частные производные удовлетворяют
условиям (2), то функция

дифференцируемая в этой точке, причем
производную функцию можно найти по
формуле (3) или (4) (без доказательства).

Пример
1. Доказать,
что производная функции

существует в любой точке

Решение.
Проверим условия теоремы 2.

Так
как функции

имеют непрерывные частные производные,
то они дифференцируемые (см. §3
гл.6, ч.1). Найдем частные производные

Как видно, условия (2) выполняются в любой
точке

и согласно теореме 2 производная функции

существует. Воспользуемся (3), получим

Итак,

Можно
убедиться, что

Пример
2.
Найти производные функций

Решение.
Ранее (см.
§5
гл.5, ч.1) мы определяли эти функции
следующим образом:

Поскольку
степенные ряды можно почленно
дифференцировать, то получим

Из
приведенных примеров видно, что если
функция дифференцируемая, то формулы
дифференцирования функции действительной
переменной остаются в силе и для функции
комплексного переменного. Правила
дифференцирования (дифференцирование
суммы, произведения и пр.) также остаются
прежними.

Пример
3.
Найти производную функции

Решение.
Проверим условия (2).

Условия (2) не выполняются ни в одной
точке. Согласно следствию теоремы 1
данная функция не дифференцируемая ни
в одной точке.

Пример
4. Найти
производную функции

Решение.
Проверим
условия (2).

Как видно, условия (2) не выполняются для
всякой точки

При

согласно определению 1, найдем

Таким
образом, данная функция имеет производную
только в точке

Определение
2.
Однозначная
функция, имеющая производную не только
в данной точке, но и в некоторой ее
окрестности, называется аналитической
в данной точке. Функция, аналитическая
в каждой точке области, называется
аналитической в этой области.

Например,
функции

аналитические на всей комплексной
плоскости

а функция

не является аналитической ни в одной
точке, хотя и дифференцируемая в нуле.
Функция, аналитическая во всей комплексной
плоскости

называется целой.

Например,

— целые функции.

Многочлен

называется целой
рациональной функцией.
Отношение двух целых функций называется
мероморфной
функцией, а
отношение двух многочленов называется
дробно-рациональной
функцией.

Формула
Эйлера (см. (6) §2 гл.I
ч.I)
справедлива и для комплексного переменного
z

(5)

В
этом легко убедиться, суммируя сначала
четные, а затем нечетные члены ряда,
определяющего функцию

Заменяя
iz
в формуле
Эйлера (5) на (-iz),
получим

(6)

Складывая
и вычитая (5) и (6), найдем

(7)

Гиперболические
косинус и синус от комплексного
переменного z
определяются
формулами

(8)

Если
в формулах (7) вместо z
подставить
iz,
то получим с учетом (8)

(9)

Аналогично
из (9) найдем

(10)

Используя
правила дифференцирования, из (8) получим
производные гиперболических функций

(11)

Функции

являются целыми аналитическими функциями
во всей комплексной плоскости .

Периодичность,
четность, формулы приведения, формулы
от суммы для синуса и косинуса, справедливые
для действительных переменных, остаются
справедливыми и для комплексных
переменных. Отметим только, что
утверждение, что модули синуса и косинуса
не превосходят единицы, для комплексного
переменного уже неверно. Однако тождество

остается справедливым.

Используя
формулы (9) и (10), любое соотношение между
тригонометрическими функциями можно
перевести в соответствующее соотношение
для гиперболических функций. В частности,
из соотношения

следует соотношение

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Аналитическая функция. Дифференциал

Фундаментальным понятием в теории функций комплексного переменного является понятие аналитической функции.

Однозначная функция называется аналитической (голоморфной) в точке , если она дифференцируема (выполнены условия Эйлера-Даламбера) в некоторой окрестности этой точки. Функция называется аналитической в области , если она дифференцируема в каждой точке .

Как видно из этого определения, условие аналитичности в точке не совпадает с условием дифференцируемости функции в этой же точке (первое условие — более сильное).

Точки плоскости , в которых однозначная функция аналитична, называются правильными точками . Точки, в которых функция не является аналитической, называются особыми точками этой функции.

Пусть функция аналитична в точке . Тогда . Отсюда следует, что , где при . Тогда приращение функции можно записать так: . Если , то первое слагаемое является при бесконечно малой того же порядка, что и ; второе слагаемое ; есть бесконечно малая более высокого порядка, чем . Следовательно, первое слагаемое составляет главную часть приращения функции .

Дифференциалом аналитической функции в точке называется главная часть ее приращения, т. е. , или (так как при будет ). Отсюда следует, что , т. е. производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Замечание. Если функция аналитична в некоторой области , то функции и удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа (, см. п. 72.2).

Действительно, дифференцируя первое из равенств Эйлера-Даламбера по , а второе по , получаем:

откуда .

Функции и являются гармоническими функциями.

Пример №74.3.

Проверить, является ли функция аналитической. Найти ее производную.

Решение:

Находим действительную и мнимую части функции:

Таким образом, . Проверяем условия Эйлера-Даламбера (74.5):

Условия (74.5) выполняются во всех точках комплексной плоскости . Функция дифференцируема, следовательно, аналитична во всех точках этой плоскости. Ее производную найдем по одной из формул (74.6), например по первой:

т. е. .

Заметим, что производную функции можно найти, воспользовавшись определением производной (74.4):

Пример №74.4.

Найти аналитическую функцию по ее заданной действительной части .

Решение:

Отметим, что функция и является гармонической функцией (, следовательно, ).

Для определения мнимой части воспользуемся условиями Эйлера-Даламбера (74.5). Так как ,
то, согласно первому условию, . Отсюда, интегрируя по , находим:

Для определения функции воспользуемся вторым условием Эйлера Даламбера. Так как

то . Отсюда и , где . Поэтому . Находим функцию :

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Решение задач по высшей математике

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Источник

Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке , если существует предел

. (3.1)

Этот предел называется производной функции в точке Z. Для нее употребляются обозначения .

Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке Z, необходимо и достаточно, чтобы функции , были дифференцируемы в этой точке и выполнялись условия Коши-Римана (говорят также Даламбера-Эйлера):

; . (3.2)

Определение 2. Функция называется аналитической (регулярной) в данной точке , если она дифференцируема как в самой точке Z, так и в некоторой ее окрестности.

Определение 3. Функция называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этой области.

Для любой аналитической функции имеем

. (3.3)

Заметим, что формулы дифференцирования ФКП аналогичны соответствующим формулам дифференцирования функций действительной переменной.

Пример 1. Показать, что функция аналитична и найти .

Решение. Имеем , то есть , . Поэтому , , , и, следовательно, условия (3.2) выполняются во всей плоскости; по первой из формул (3.3) имеем .

Пример 2. Является ли функция аналитической хотя бы в одной точке?

Решение. Имеем , так что , . Условия Коши-Римана имеют вид: , и удовлетворяются только в точке (0,0). Следовательно, функция дифференцируема только в точке (0,0) и нигде не аналитична. По определению (3.1) запишем . Таким образом, производная существует и равна нулю.

< Предыдущая		Следующая >

Источник