Как найти производную для функции с модулем

Производная

Для начал вспомним что такое модуль (абсолютная величина) от (x). Модуль есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:
[leftvertrightvert = begin
x,& x geqslant 0 \
-x, & x lt 0
end.]
Модуль можно определить через функцию корня:
[vertvert=sqrt.]
Используя такое определение достаточно легко найти производную модуля (продифференцировав (sqrt) по (x), используя правило дифференцирования сложной функции):
[frac|x| = fracsqrt = frac> cdot 2x=frac> = frac, где xneq 0.]

Или можно воспользоваться первым определением модуля и найти производную через ее определение.
[|x|’=lim_frac.]
Если (xgt 0), то:
[lim_frac=lim_frac=1.]
Если (xlt 0), то:
[lim_frac=lim_frac=-1.]
Если x=0, то предел:
[lim_frac]
не существует, так как левый (-1) и правый (1) пределы не равны.

Если рассматривать график модуля, то видно, что в точке (x=0) невозможно провести касательную, это и означает, что в точке (x=0) производная модуля не существует:

Как дифференцировать модуль

Peзyльтaты, пpeдcтaвлeнныe нижe, пoлyчeны мнoй, кoгдa я eщё yчилcя в шкoлe, в 11-м клacce (1998-1999 гг.). Mнe тoгдa пoкaзaлocь cтpaнным, чтo в yчeбникax мaтeмaтики (пo кpaйнeй мepe, в тex, кoтopыe мнe дoвoдилocь видeть) тaкaя фyнкция кaк мoдyль y ( x )=| x | нe coвceм зacлyжeнo oбдeлeнa внимaниeм в тoм cмыcлe, чтo для нeё нe yкaзaны eё пpoизвoднaя и пepвooбpaзнaя, а потому мнoй и былa пpeдпpинятa пoпыткa иcпpaвить cитyaцию.

Пpoизвoднaя мoдyля

Пycть y ( x )=| x |. Пoкaжeм двyмя cпocoбaми, чтo пpи x ≠0 (в тoчкe x =0 фyнкция мoдyля нeдиффepeнциpyeмa)

Пepвый cпocoб:

Paccмoтpим фyнкцию y =| x | ( x ≠0). Дaдим apгyмeнтy x пpиpaщeниe Δ x и coглacнo oпpeдeлeнию пpoизвoднoй нaйдём пpeдeл oтнoшeния пpиpaщeния фyнкции | x +Δ x | – | x | к пpиpaщeнию apгyмeнтa Δ x пpи Δ x 0, вocпoльзoвaвшиcь извecтным тoждecтвoм (| x |) 2 = x 2 :

Bтopoй cпocoб:

Для вычиcлeния пpoизвoднoй мoдyля вocпoльзyeмcя тoждecтвoм

Фyнкцию y ( x )= мoжнo paccмaтpивaть кaк cлoжнyю фyнкцию f ( g ( x )) ( f =, g = x 2 ). Иcxoдя из пpaвилa вычиcлeния пpoизвoднoй cлoжнoй фyнкции мoжнo зaпиcaть:

Интeгpaл мoдyля

Для вычиcлeния пepвooбpaзнoй фyнкции y =| x | дoкaжeм cнaчaлa cпpaвeдливocть cлeдyющeгo paвeнcтвa пpи x ≠0:

Дaлee, coглacнo фopмyлe для интeгpиpoвaния пo чacтям ( u = u ( x ), v = v ( x )):

Пycть u =| x |, v = x , тoгдa иcпoльзyя (1) и (2) пoлyчим:

Пepвooбpaзнaя фyнкции (мoдyля) oкaзaлacь выpaжeннoй чepeз cвoю жe пepвooбpaзнyю. Taк кaк двe пepвooбpaзныe фyнкции oтличaютcя дpyг oт дpyгa нa пpoизвoльнyю пocтoяннyю C , тo (3) cлeдyeт зaпиcaть в тaкoм видe:

И oкoнчaтeльнo ( C – пpoизвoльнaя пocтoяннaя):

В качестве варианта практического применения формулы (4) вычиcлим чepeз интeгpaл плoщaдь S зaштpиxoвaннoй фигypы, изoбpaжённoй нa pиcyнкe. Heтpyднo видeть, чтo из гeoмeтpичecкиx cooбpaжeний oнa дoлжнa cocтaвлять S = 2,5. Coглacнo (4):

Moжнo кoнeчнo cкaзaть, чтo мoдyль нe нacтoлькo чacтo иcпoльзyeмaя фyнкция, чтoбы yдeлять eй тaкoe внимaниe, нo в тoм жe 11-м клacce я oбpaтил внимaниe нa тo, чтo интeгpaл лoгapифмичecкoй фyнкции тoжe пoчeмy-тo нe yкaзaн в тaблицe пepвooбpaзныx, xoтя чтoбы взять интeгpaл oт лoгapифмa дocтaтoчнo вocпoльзoвaтьcя фopмyлoй интeгpиpoвaния пo чacтям. Пycть, в cooтвeтcтвии c (*), u =ln x , v = x , тoгдa

Oкoнчaтeльнo мoжнo зaпиcaть, чтo ( C – пpoизвoльнaя пocтoяннaя, a >0, a ≠1):

Производные элементарных функций. Доказательство теоремы

Все, что нам требуется сделать – это вычислить предел:
(1) ,
где – одна из элементарных функций. Заметим, что функция за знаком предела зависит от двух переменных, x и Δ x :
(2) .
Сама элементарная функция и ее производная зависят только от одной переменной x . Функция , определяемая по формуле (2), зависит от двух переменных. Но при вычислении производной, мы считаем, что переменная x принимает произвольное фиксированное значение, принадлежащее области определения функции. То есть мы считаем, что x является постоянной. Таким образом мы вычисляем предел от функции одной переменной:
(3) , где .

Для вычислений таких пределов нам нужно знать свойства элементарных функций. Они приводятся в разделе «Основные элементарные функции и их свойства». Доказательство свойств приводится в разделе «Непрерывность функций». Также нам нужно уметь вычислять пределы. Применяемые при этом методы изложены в разделе «Методы вычисления пределов функций и раскрытия неопределенностей». И наконец, нужно знать правила вычисления производных. См. «Правила дифференцирования».

1) Производная постоянной функции

Докажем, что производная постоянной функции равна нулю:
, где C – постоянная, .
Пусть – постоянная функция. Ее значения определены для всех x и не зависят от переменной x . Поэтому
, при .
Таким образом, функция определена для всех значений переменной , кроме точки . Она является постоянной, равной нулю, , на всей области определения – то есть в любой проколотой окрестности точки . Тогда согласно теореме о пределе постоянной функции,
.

2) Производная показательной функции

Докажем, что производная показательной функции пропорциональна самой функции:
.

3) Производная экспоненты

Докажем, что производная экспоненты равна самой экспоненте:
.

Для доказательства, подставим в формулу производной показательной функции, значение основания степени, равного числу e . Также воспользуемся тем, что :
.

Среди всех показательных функций (с различными значениями основания a ), производная экспоненты имеет наиболее простой вид. Многие вычисления в математическом анализе оказываются более простыми, если в качестве основания показательной функции использовать число e . Поэтому в математическом анализе, показательную функцию стремятся привести к основанию e , то есть к экспоненте.

4.1) Производная логарифма

Воспользуемся свойствами логарифма:
.
Преобразуем отношение приращения функции к приращению ее аргумента:
.
Сделаем подстановку , и применим следствие второго замечательного предела, согласно которому :

.
Здесь мы также воспользовались арифметическими свойствами предела функции.

4.2) Производная логарифма модуля

Докажем часто используемую формулу:
.

Рассмотрим функцию как сложную, составленную из двух функций:
.
Найдем производную модуля x .
При .
При .
Тогда .
Применяем формулу производной сложной функции:
.

5) Производная натурального логарифма

Натуральный логарифм – это логарифм с основанием, равным числу e . Подставляя в формулы 4.1) и 4.2) a=e , имеем:
;
.

6) Производная степенной функции

Для доказательства, представим степенную функцию как сложную, составленную из экспоненты и натурального логарифма:
;
или .
Применяем правило дифференцирования сложной функции:

.
Здесь мы воспользовались свойствами степенной функции и правилом вынесения постоянной за знак производной, согласно которому .

7) Производная степенной функции с натуральным показателем степени

В предыдущем пункте мы считали, что показатель степени a является действительным числом, а переменная x больше нуля. Но если a является натуральным ( ), то степенная функция определена для всех действительных x . Докажем, что и в этом случае, производная степенной функции определяется по той же формуле, что и для действительных значений показателя степени:
.
Случай линейной функции с рассмотрен ниже, поскольку при и , приведенная формула приводит к неопределенному значению .

Пусть . Используем формулу бинома Ньютона:
.
Тогда ,
где .

.

Выше мы предполагали, что . Теперь рассмотрим случай .

.

Таким образом и при , и при , производная определяется по одной и той же формуле: .

Производная линейной функции

Докажем, что производная линейной функции равна единице:
.

.
Функция определена для всех значений аргумента, кроме точки . При , , то есть является постоянной. Применяем теорему о пределе постоянной функции:
.

9) Производные синуса и косинуса

Докажем, что производная синуса равна косинусу:
.

Преобразуем приращение функции синус, применяя формулы тригонометрии:
;

.
Выписываем отношение приращения функции синус к приращению ее аргумента и выполняем преобразования:

.
Применяем арифметические свойства предела функции и первый замечательный предел:

.

Аналогичным образом докажем, что производная косинуса равна минус синусу:
.

10) Производные тангенса и котангенса

Докажем формулы производных тангенса и котангенса:
.
Для доказательства выразим эти функции через синус и косинус (см. «Тангенс и котангенс – свойства, графики, формулы»). Далее применим формулу производной дроби.

11) Производные арксинуса и арккосинуса

Докажем формулу производной арксинуса:
.

Арксинус является функцией, обратной к синусу. При и имеют место следующие соотношения (см. «Арксинус, арккосинус – свойства, графики, формулы»):
.
Производную синуса мы знаем:
.
Применяем теорему о производной обратной функции:
.
Используем соотношение: . Отсюда . Поскольку при , , то
. Тогда
.

Аналогичным способом докажем формулу производной арккосинуса:
.

При и имеем:
;
;
.
Поскольку при , , то
. Тогда
.

Заметим, что формулу для арккосинуса можно было доказать, используя формулу:
.

12) Производные арктангенса и арктангенса

Докажем формулу производной арктангенса:
.

Арктангенс является функцией, обратной к тангенсу. При и имеют место следующие соотношения (см. «Арктангенс, арккотангенс – свойства, графики, формулы»):
.
Производную тангенса мы знаем:
.
Применяем теорему о производной обратной функции:
.
Используем соотношение: . Тогда
;
.

Аналогичным способом докажем формулу производной арккотангенса:
.

Формулу для арккотангенса также можно доказать, используя соотношение:
.

13) Производные гиперболического синуса и гиперболического косинуса

Докажем, что производная гиперболического синуса равна гиперболическому косинусу:
.

Аналогичным образом доказываем, что производная гиперболического косинуса равна гиперболическому синусу:
.

14) Производные гиперболического тангенса и гиперболического котангенса

Докажем формулы производных гиперболического тангенса и гиперболического котангенса:
.
Для доказательства выразим эти функции через гиперболические синус и косинус (см. «Определения гиперболических функций»), и применим формулу производной дроби.

15) Производные гиперболического арксинуса и гиперболического арккосинуса

Докажем формулу производной гиперболического арксинуса:
.

Для этого воспользуемся свойствами обратных гиперболических функций. Для действительных x и y имеют место следующие соотношения:
.
Производную гиперболического синуса мы знаем:
.
Применяем теорему о производной обратной функции:
.
Используем соотношение: . Отсюда . Поскольку , то
. Тогда
.

Аналогичным способом докажем формулу производной гиперболического арккосинуса:
.

При и имеем:
;
;
.
Поскольку при , , то
. Тогда
.

16) Производные гиперболического арктангенса и гиперболического арктангенса

Докажем формулу производной гиперболического арктангенса:
.

Гиперболический арктангенс является функцией, обратной к гиперболическому тангенсу. При и имеют место следующие соотношения (см. «Обратные гиперболические функции, их графики и формулы»):
.
Производную гиперболического тангенса мы знаем:
.
Применяем теорему о производной обратной функции:
.
Используем соотношение: . Тогда
;
.

Аналогичным способом докажем формулу производной гиперболического арккотангенса:
.