Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут
Производная неявной функции
Формула
Рассмотрим функцию y(x), которая записывается неявным способом в общем виде $ F(x,y(x)) = 0 $. Производная неявной функции находится двумя способами:
- Дифференцированием обеих частей уравнения
- С помощью использования готовой формулы $ y’ = — frac{F’_x}{F’_y} $
Как найти?
Способ 1
Не требуется приводить функцию к явному виду. Нужно сразу приступать к дифференцированию левой и правой части уравнения по $ x $. Стоит обратить внимание, что производная $ y’ $ вычисляется по правилу дифференцирования сложной функции. Например, $ (y^2)’_x = 2yy’ $. После нахождения производной необходимо выразить $ y’ $ из полученного уравнения и разместить $ y’ $ в левой части.
Способ 2
Можно воспользоваться формулой, в которой используются в числителе и знаменателе частные производные неявной функции $ F(x,y(x)) = 0 $. Для нахождения числителя берем производную по $ x $, а для знаменателя производную по $ y $.
Вторую производную неявной функции можно найти с помощью повторного дифференцирования первой производной неявной функции.
Примеры решений
Рассмотрим практические примеры решений на вычисление производной неявно заданной функции.
| Пример 1 |
|
Найти производную неявной функции $ 3x^2y^2 -5x = 3y — 1 $ |
| Решение |
|
Воспользуемся способом №1. А именно продифференцируем левую и правую часть уравнения: $$ (3x^2y^2 -5x)’_x = (3y — 1)’_x $$ Не забываем при дифференцировании использовать формулу производной произведения функций: $$ (3x^2)’_x y^2 + 3x^2 (y^2)’_x — (5x)’_x = (3y)’_x — (1)’_x $$ $$ 6x y^2 + 3x^2 2yy’ — 5 = 3y’ $$ Далее выражаем y’ из уравнения: $$ 6x y^2 — 5 = 3y’ — 6x^2 yy’ $$ $$ 6x y^2 — 5 = y'(3-6x^2 y) $$ $$ y’ = frac{6x y^2 — 5}{3 — 6x^2y } $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y’ = frac{6x y^2 — 5}{3 — 6x^2y } $$ |
| Пример 2 |
|
Функция задана неявно, найти производную $ 3x^4 y^5 + e^{7x-4y} -4x^5 -2y^4 = 0 $ |
| Решение |
|
Воспользуемся способом №2. Находим частные производные функции $ F(x,y) = 0 $ Положим $ y $ постоянной и продифференцируем по $ x $: $$ F’_x = 12x^3 y^5 + e^{7x-4y} cdot 7 — 20x^4 $$ $$ F’_x = 12x^3 y^5 + 7e^{7x-4y} — 20x^4 $$ Считаем теперь $ x $ константой и дифференцируем по $ y $: $$ F’_y = 15x^4 y^4 + e^{7x-4y} cdot (-4) — 8y^3 $$ $$ F’_y = 15x^4 y^4 — 4e^{7x-4y} — 8y^3 $$ Подставляем теперь в формулу $ y’ = -frac{F’_x}{F’_y} $ и получаем: $$ y’ = -frac{12x^3 y^5 + 7e^{7x-4y} — 20x^4}{15x^4 y^4 — 4e^{7x-4y} — 8y^3} $$ |
| Ответ |
| $$ y’ = -frac{12x^3 y^5 + 7e^{7x-4y} — 20x^4}{15x^4 y^4 — 4e^{7x-4y} — 8y^3} $$ |
Дифференцирование функции, заданной неявно
Пусть дано уравнение F(x,y)=0, не разрешенное относительно y. Если существует y=f(x) такая, что F[x,f(x)]=0, то говорят, что уравнение F(x,y)=0 задает y как функцию от x неявно. Обычное задание функции y=f(x) называют явным.
При таком способе задания функции производную находим, дифференцируя уравнение F(x,y)=0, считая y функцией от x (по правилу дифференцирования сложной функции).
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
Правила ввода функции, заданной в неявном виде
Примеры
≡ x^2/(1+y)
cos2(2x+y) ≡ (cos(2*x+y))^2
≡ 1+(x-y)^(2/3)
см. также Производная от параметрической функции
Пример 1. Найти производную y’, не решая уравнения: x3 – x2y – x2y4 + 5 = 0 относительно y.
Решение. Так как в правой части уравнения стоит нуль, а производная постоянной равна нулю, то 
.
Применяя почленное дифференцирование, найдем 3x2 – 2xy – x2y’ – 2xy4 – 4x2y3y’ = 0, откуда 
. 
Пример 2. Найти y’ функции, заданной неявно уравнением y*lnx – x2ey + 1 = 0 (x>0).
Решение. 
(производную от ey берем как производную сложной функции). Разрешая уравнение относительно y’ (что не всегда возможно), найдем 
.
Пример 3. Найти производную y’x функции y(x), заданной неявно: x4 + x2y + y3 + 5 = 0.
Решение.
Продифференцируем уравнение по х, рассматривая у как функцию от х, и решим полученное уравнение относительно y’x.
.
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Явные и неявные
В этой статье мы познакомимся с неявными функциями и техникой их дифференцирования. Вспомним для начала, как выглядят функции, заданные явно. Это “обычные” функции вида y=f(x)y=f(x), с которыми вы уже имели дело и умеете вычислять их производные. Запись y=f(x)y=f(x) обозначает, что мы функцию yy смогли выразить (явно представить) через её аргумент xx. З неявными функциями дело обстоит иначе. Здесь мы не можем “перетащить” yy в левую сторону выражения, а все что содержит xx — в правую. Такие функциональные зависимости в общем виде можно записать так:
F(x,y)=0F(x, y)=0
Эта запись означает, что величины xx и yy как-то связанны между собой, но ничего не говорится о том, как yy выражается через xx (и можно ли это вообще сделать). Одну и ту же функцию (но не каждую) можно записать как в явном так и в неявном виде. Например, неявно заданную функцию F(x,y)=3xy+5xF(x, y)=3xy+frac{5}{x} можно записать явно: y(x)=−53x2y(x)=-frac{5}{3x^2}. В этом случае нам удалось выразить yy через xx. Или, если:
F(x,y)=x2+y2−1=0F(x, y)=x^2+y^2-1=0
то
y=±1−x2y=pm sqrt{1-x^2}
Здесь функция получилась многозадачной (именно двузначной, отвечающей двум знакам), но это не страшно. Мы все-равно представили yy как выражение зависящее от xx. В правой стороне у нас присутствует только xx.
Но существуют случаи, когда этого сделать нельзя. Можно навести множество примеров таких функций. Например:
F(x,y)=ylnx+eyy2F(x, y)=yln x+e^yy^2
Ну попробуйте выразить отсюда yy через xx. То есть запишите эту функцию в виде y=f(x)y=f(x). Вот вам и пример неявной заданной функции. Ещё пример:
F(x,y)=xsinx+ysiny−12F(x, y)=xsin x+ysin y-12
Здесь, мы хотя и не можем выразить yy через xx, но мы все-равно можем считать yy функцией от аргумента xx. Так как каждому значению xx будут соответствовать какие-то значения yy.
Естественно, возникает вопрос о дифференцировании подобных функций. Вы уже понимаете, что эта операция очень важна, и было бы тяжело поверить, что математики ничего не придумали на этот счет.
Дифференцирование неявно заданных функций
Оказывается, что для того чтобы посчитать производную от yy по xx нам не обязательно решать уравнение:
F(x,y)=0F(x, y)=0
Теоретически можно доказать (пользуюсь определением производной, производя предельный переход и т. д.), что:
dydx=−∂F(x,y)∂x∂F(x,y)∂yfrac{dy}{dx}=-frac{frac{partial F(x, y)}{partial x}}{frac{partial F(x, y)}{partial y}}
Обозначение ∂partial обозначает частную производную. Мы здесь имеем дело с двумя переменными xx и yy и берем производные от функции F(x,y)F(x, y) по этим величинам. Так, выражение:
∂F(x,y)∂xfrac{partial F(x, y)}{partial x}
говорит, что берется производная от F(x,y)F(x, y) по xx, при этом величина yy считается постоянной. Следует обратить внимание на знак “минус” перед дробью, а также на то, что мы не можем сократить числитель и знаменатель на ∂F(x,y)partial F(x, y), так как производные берутся по разным величинам. Вооружившись этой главной формулой вычисления производных от неявных функций, перейдем к разбору нескольких примеров.
Примеры
F(x,y)=x2+y2−1F(x, y)=x^2+y^2-1
∂F(x,y)∂x=2x, ∂F(x,y)∂y=2yfrac{partial F(x, y)}{partial x}=2x, frac{partial F(x, y)}{partial y}=2y
dydx=−∂F(x,y)∂x∂F(x,y)∂y=−2x2y=−xyfrac{dy}{dx}=-frac{frac{partial F(x, y)}{partial x}}{frac{partial F(x, y)}{partial y}}=-frac{2x}{2y}=-frac{x}{y}
F(x,y)=xsinx+ysiny−12F(x, y)=xsin x+ysin y-12
∂F(x,y)∂x=sinx+xcosx, ∂F(x,y)∂y=siny+ycosyfrac{partial F(x, y)}{partial x}=sin x+x cos x, frac{partial F(x, y)}{partial y}=sin y+y cos y
dydx=−∂F(x,y)∂x∂F(x,y)∂y=−sinx+xcosxsiny+ycosyfrac{dy}{dx}=-frac{frac{partial F(x, y)}{partial x}}{frac{partial F(x, y)}{partial y}}=-frac{sin x+xcos x}{sin y+ycos y}
- F(x,y)=3xy+5xF(x, y)=3xy+frac{5}{x}
∂F(x,y)∂x=3y−5×2, ∂F(x,y)∂y=3xfrac{partial F(x, y)}{partial x}=3y-frac{5}{x^2}, frac{partial F(x, y)}{partial y}=3x
dydx=−∂F(x,y)∂x∂F(x,y)∂y=−3y−5x23x=−3yx2−53x3frac{dy}{dx}=-frac{frac{partial F(x, y)}{partial x}}{frac{partial F(x, y)}{partial y}}=-frac{3y-frac{5}{x^2}}{3x}=-frac{3yx^2-5}{3x^3}
Но здесь мы можем выразить yy через xx явно:
y=−53x2y=-frac{5}{3x^2}
Подставим это выражение в формулу для производной выше:
dydx=103x3frac{dy}{dx}=frac{10}{3x^3}
А теперь поступим так, как будто нам с самого начала была известна явная зависимость y=f(x)y=f(x). То есть продифференцируем функцию y(x)=−53x2y(x)=-frac{5}{3x^2} по xx:
dydx=ddx(−53×2)=−53(−2)1×3=103x3frac{dy}{dx}=frac{d}{dx}Big(-frac{5}{3x^2}Big)=-frac{5}{3}(-2)frac{1}{x^3}=frac{10}{3x^3}
Получили то же самое. Значит мы все сделали правильно.
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Рассмотрим функцию, заданную уравнением
Определение 1
Если каждому $x$ значению независимой переменной из некоторой области ставится в соответствие одно или несколько значений $y$, которые удовлетворяют уравнению $F(x,y)=C$, то говорят, что данное уравнение неявно определяет одну или несколько однозначных функций $y$ от одной переменной $x$ в данной области.
Пусть непрерывная функция $y$ от переменной $x$ задана неявно уравнением вида
[F(x,y)=C,]
где $F(x,y),F’_{x} (x,y),F’_{y} (x,y)$ являются непрерывными функциями в некоторой области D, которая содержит точку $(x,y)$ с координатами, удовлетворяющими уравнению $F(x,y)=C$. Кроме того, $F’_{y} (x,y)ne 0$.
Тогда данная функция $y$ от переменной $x$ имеет производную, которая определяется равенством
[y’_{x} =frac{F’_{x} (x,y)}{F’_{y} (x,y)} .]
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Пример 1
Вычислить производную от функции заданной неявно
[x^{3} +3y^{2} -12=0.]
Решение:
Из уравнения получаем, что
[F(x,y)=x^{3} +3y^{2} -12.]
Вычислим частные производные
$F’_{x} (x,y)=3x^{2} $ и $F’_{y} (x,y)=6y$.
Следовательно,
[y’_{x} =frac{F’_{x} (x,y)}{F’_{y} (x,y)} =frac{3x^{2} }{6y} .]
Пример 2
Вычислить производную от функции заданной неявно
[ln x^{3} +3y+2=0.]
Решение:
Из уравнения получаем, что
[F(x,y)=ln x^{3} +3y+2.]
Вычислим частные производные
$F’_{x} (x,y)=frac{1}{x^{3} } cdot 3x^{2} =frac{3}{x} $ и $F’_{y} (x,y)=3$.
Следовательно,
[y’_{x} =frac{F’_{x} (x,y)}{F’_{y} (x,y)} =frac{frac{3}{x} }{3} =frac{3}{3x} =frac{1}{x} .]
Рассмотрим функцию двух переменных, заданную уравнением
Определение 2
Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие одно или несколько значений $z$, которые удовлетворяют уравнению $F(x,y,z)=C$, то говорят, что данное уравнение неявно определяет одну или несколько однозначных функций $z$ от двух переменных $(x,y)$ в данной области.
«Производная от функции, заданной неявно» 👇
Для функции двух переменных находим частные производные $frac{partial z}{partial x} $ и $frac{partial z}{partial y} $, причем при нахождении $frac{partial z}{partial x} $ считаем $y$ постоянным, а при нахождении $frac{partial z}{partial y} $ — $x$ постоянным.
Формулы для определения частных производных имеют вид:
$z’_{x} =-frac{frac{partial F}{partial x} }{frac{partial F}{partial z} } $ и $z’_{y} =-frac{frac{partial F}{partial y} }{frac{partial F}{partial z} } $.
Замечание 1
При определении частных производных считается, что $frac{partial F}{partial z} ne 0$.
Пример 3
Вычислить производную от функции заданной неявно
[x^{3} +3y^{2} +12e^{z} -12=0.]
Решение:
Из уравнения получаем, что
[F(x,y,z)=x^{3} +3y^{2} +12e^{z} -12.]
Вычислим частные производные
$F’_{x} (x,y,z)=3x^{2} $, $F’_{y} (x,y,z)=6y$ и $F’_{z} (x,y,z)=12e^{z} $.
Следовательно,
[z’_{x} =frac{3x^{2} }{12e^{z} } =frac{x^{2} }{4e^{z} } , z’_{y} =frac{6y}{12e^{z} } =frac{y}{2e^{z} } .]
Пример 4
Вычислить производную от функции заданной неявно
[13y+2^{z} -12=0.]
Решение:
Из уравнения получаем, что
[F(x,y,z)=13y+2^{z} -12.]
Вычислим частные производные
$F’_{x} (x,y,z)=0$, $F’_{y} (x,y,z)=13$ и $F’_{z} (x,y,z)=frac{2^{z} }{ln 2} $.
Следовательно,
[z’_{x} =frac{0}{frac{2^{z} }{ln 2} } =0, z’_{y} =frac{13}{frac{2^{z} }{ln 2} } =frac{12ln 2}{2^{z} } .]
Рассмотрим функцию двух переменных, заданную неявно уравнением
Для функции произвольного числа переменных находим частные производные $frac{partial z}{partial x} $, $frac{partial z}{partial y} $, $frac{partial z}{partial z} $,… , причем при нахождении $frac{partial z}{partial x} $ считаем $y$, $z$,…, постоянными при нахождении $frac{partial z}{partial y} $ — $x$, $z$,… постоянным и т.д.
Формулы для определения частных производных имеют вид:
$t’_{x} =-frac{frac{partial F}{partial x} }{frac{partial F}{partial t} } $, $t’_{y} =-frac{frac{partial F}{partial y} }{frac{partial F}{partial t} } $, $t’_{z} =-frac{frac{partial F}{partial z} }{frac{partial F}{partial t} } $, …
Замечание 2
При определении частных производных считается, что $frac{partial F}{partial t} ne 0$.
Пример 5
Вычислить производную от функции заданной неявно
[3x^{3} +3y^{2} +12e^{z} -ln t-2=0.]
Решение:
Из уравнения получаем, что
[F(x,y,z,t)=3x^{3} +3y^{2} +12e^{z} -ln t-2.]
Вычислим частные производные
$F’_{x} (x,y,z,t)=9x^{2} $, $F’_{y} (x,y,z,t)=6y$, $F’_{z} (x,y,z,t)=12e^{z} $ и $F’_{t} (x,y,z,t)=-frac{1}{t} $.
Следовательно,
[z’_{x} =frac{9x^{2} }{-frac{1}{t} } =-9x^{2} t, z’_{y} =frac{6y}{-frac{1}{t} } =-6yt, z’_{z} =frac{12e^{z} }{-frac{1}{t} } =-12e^{z} t.]
Пример 6
Вычислить производную от функции заданной неявно
[x^{4} -3y^{2} +e^{z} =e^{t} +ln 3.]
Решение:
Из уравнения получаем, что
[F(x,y,z,t)=x^{4} -3y^{2} +e^{z} -e^{t} -ln 3.]
Вычислим частные производные
$F’_{x} (x,y,z,t)=4x^{3} $, $F’_{y} (x,y,z,t)=-6y$, $F’_{z} (x,y,z,t)=e^{z} $ и $F’_{t} (x,y,z,t)=-e^{t} $.
Следовательно,
[z’_{x} =frac{4x^{3} }{-e^{t} } =-frac{4x^{3} }{e^{t} } , z’_{y} =frac{-6y}{-e^{t} } =frac{6y}{e^{t} } , z’_{z} =frac{e^{z} }{-e^{t} } =-frac{e^{z} }{e^{t} } =-e^{z-t} .]
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Определение
Если независимая переменная $x$ и функция
$y$ связаны уравнением вида
$F(x,y)=0$, которое не разрешено относительно
$y$, то функция
$y$ называется неявной функцией переменной
$x$.
Пример
$$x^{2} sin y+x y-1=0$$
Всякую явно заданную функцию $y=f(x)$ можно записать в
неявном виде $y-f(x)=0$. Обратно сделать не всегда возможно.
Несмотря на то, что уравнение $F(x,y)=0$ не разрешимо
относительно $y$, оказывается возможным найти производную
от $y$ по
$x$. В этом случае необходимо
продифференцировать обе
части заданного уравнения, рассматривая функцию $y$ как
функцию от $x$, а затем из полученного уравнения найти
производную $y^{prime}$.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти вторую производную
$y^{prime prime}$ неявной функции
$x^2+xy^2=1$.
Решение. Продифференцируем левую и правую часть заданного равенства, при этом помним, что
$y$ является функцией переменной
$x$, поэтому производную от нее будем брать
как производную от сложной функции. В итоге получаем:
$$left(x^{2}+x y^{2}right)^{prime}=(1)^{prime}$$
$$left(x^{2}right)^{prime}+left(x y^{2}right)^{prime}=0$$
$$2 x+(x)^{prime} cdot y^{2}+x cdotleft(y^{2}right)^{prime}=0$$
$$2 x+1 cdot y^{2}+x cdot 2 y cdot y^{prime}=0 Rightarrow 2 x+y^{2}+2 x y cdot y^{prime}=0$$
Из полученного равенства выражаем $y^{prime}$:
$$2 x y cdot y^{prime}=-left(2 x+y^{2}right) Rightarrow y^{prime}=-frac{2 x+y^{2}}{2 x y}$$
Для нахождения второй производной продифференцируем равенство
$2 x+y^{2}+2 x y cdot y^{prime}=0$ еще раз:
$$begin{array}{c}
left(2 x+y^{2}+2 x y cdot y^{prime}right)^{prime}=(0)^{prime} \
(2 x)^{prime}+left(y^{2}right)^{prime}+left(2 x y cdot y^{prime}right)^{prime}=0 \
2(x)^{prime}+2 y cdot y^{prime}+2left(x y cdot y^{prime}right)^{prime}=0
end{array}$$
Подставив вместо $y^{prime}$ найденное выше выражение, получаем:
$$begin{array}{l}
2 cdot 1+2 yleft(-frac{2 x+y^{2}}{2 x y}right)+2left[(x y)^{prime} cdot y^{prime}+x y cdotleft(y^{prime}right)^{prime}right]=0 \
2-frac{2 x+y^{2}}{x}+2left[left{(x)^{prime} cdot y+x cdot(y)^{prime}right} cdot y^{prime}+x y cdot y^{prime prime}right]=0 \
frac{2 x-2 x-y^{2}}{x}+2left[left{1 cdot y+x cdot y^{prime}right} cdot y^{prime}+x y cdot y^{prime prime}right]=0 \
-frac{y^{2}}{x}+2left[left(y-frac{2 x^{2}+x y^{2}}{2 x y}right) cdotleft(-frac{2 x+y^{2}}{2 x y}right)+x y cdot y^{prime prime}right]=0 \
-frac{y^{2}}{x}+2left[frac{2 x y^{2}-2 x^{2}-x y^{2}}{2 x y} cdotleft(-frac{2 x+y^{2}}{2 x y}right)+x y cdot y^{prime prime}right]=0
end{array}$$
После упрощения получаем:
$$frac{4 x^{2}-3 y^{4}}{2 x y^{2}}+2 x y cdot y^{prime prime}=0$$
Из полученного равенства выражаем вторую производную $$y^{prime prime}(x)$$:
$$y^{prime prime}(x)=frac{3 y^{4}-4 x^{2}}{4 x^{2} y^{3}}$$
Ответ. $y^{prime prime}(x)=frac{3 y^{4}-4 x^{2}}{4 x^{2} y^{3}}$
Читать дальше: производная функции, заданной параметрически.