Как найти производную ф ции - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Источник

урок 3. Математика ЕГЭ

Как найти производную от функции

Как считать производные?

Никто не использует определение производной, чтобы ее вычислить. Как же тогда ее посчитать?

Оказывается, существуют специальные формулы, с помощью которых производная от функции вычисляется достаточно просто.

Формулы производной

Выпишем теперь все формулы производной функции и порешаем примеры.

Производная от константы
Производная от любого числа всегда равна (0):
$$(const)^{/}=0;$$

Пример 1
$$(5)^{/}=0;$$

Производная от (x)
Производная просто от (x) равна (1):
$$x^{/}=1;$$

Производная от степени
$$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$
Пример 2
$$(x^4)^{/}=4*x^{4-1}=4*x^{3};$$
$$(x^{10})^{/}=10*x^{10-1}=10*x^{9};$$
$$(x^{-3})^{/}=-3*x^{-3-1}=-3*x^{-4};$$
$$(x^{frac{1}{3}})^{/}=frac{1}{3}*x^{1-frac{1}{3}}=frac{1}{3}*x^{frac{2}{3}};$$

Производная от квадратного корня
$$(sqrt{x})^{/}=frac{1}{2sqrt{x}};$$
Тут полезно заметить, что формулу производной от квадратного корня можно не учить. Она сводится к формуле производной от степени:
$$(sqrt{x})^{/}=(x^{frac{1}{2}})^{/}=frac{1}{2}*x^{frac{1}{2}-1}=frac{1}{2}*x^{-frac{1}{2}}=frac{1}{2sqrt{x}};$$

Производная от синуса
$$sin(x)^{/}=cos(x);$$

Производная от косинуса
$$cos(x)^{/}=-sin(x);$$

Производная от тангенса
$$tg(x)^{/}=frac{1}{cos^{2}(x)};$$

Производная от котангенса
$$tg(x)^{/}=frac{-1}{sin^{2}(x)};$$

Производная от экспоненты
$$(e^x)^{/}=e^x;$$

Производная от показательной функции
$$(a^x)^{/}=a^x*ln(a);$$
Пример 3
$$(2^x)^{/}=2^{x}*ln(2);$$

Производная от натурального логарифма
$$(ln(x))^{/}=frac{1}{x};$$

Производная от логарифма
$$(log_{a}(x))^{/}=frac{1}{x*ln(a)};$$

Свойства производной

Помимо формул по вычислению производной еще есть свойства производной, их тоже надо выучить.

Вынесение константы за знак производной
$$(alpha*f(x))^{/}=alpha*(f(x))^{/};$$

Пример 4
$$(3*x^5)^{/}=3*(x^5)^{/}=3*5x^4=15x^4;$$
$$(10sin(x))^{/}==10*(sin(x))^{/}=10*cos(x);$$

Производная от суммы и разности двух функций
$$(f(x) pm g(x))^{/}=(f(x))^{/} pm (g(x))^{/};$$

Пример 5
$$(2x^4+x^3)^{/}=?$$
Тут (f(x)=2x^4), а (g(x)=x^3). Тогда по формуле производной от суммы:
$$(2x^4+x^3)^{/}=(2x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*(x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*4x^3+3x^2=8x^3+3x^2;$$

Пример 6
$$(ln(x)+cos(x))^{/}=(ln(x))^{/}+(cos(x))^{/}=frac{1}{x}-sin(x);$$

Пример 7
$$(x^6-e^x)^{/}=(x^6)^{/}-(e^x)^{/}=6x^5-e^x;$$

Производная от произведения двух функций
$$(f(x)*g(x))^{/}=(f(x))^{/}*g(x)+f(x)*(g(x))^{/};$$

Пример 8
$$(x^2*sin(x))^{/}=?$$
$$(x^2*sin(x))^{/}=(x^2)^{/}*sin(x)+x^2*(sin(x))^{/}=2x*sin(x)+x^2*cos(x);$$

Пример 9
$$(ln(x)*e^x)^{/}=(ln(x))^{/}*e^x+ln(x)*(e^x)^{/}=frac{1}{x}*e^x+ln(x)*e^x;$$

Производная от частного двух функций
$$left(frac{f(x)}{g(x)}right)^{/}=frac{(f(x))^{/}*g(x)-f(x)*(g(x))^{/}}{(g(x))^2};$$

Пример 10
$$left(frac{x^3}{sin(x)}right)^{/}=frac{(x^3)^{/}*sin(x)-x^3*(sin(x))^{/}}{(sin(x))^2}=frac{3x^2*sin(x)-x^3*cos(x)}{(sin(x))^2};$$

Примеры нахождения производной

Рассмотрим несколько примеров нахождения производной, чтобы разобраться, как применяются свойства и формулы производной на практике.

Пример 11
$$(5x^3+2cos(x))^{/}=(5x^3)^{/}+(2cos(x))^{/}=$$
$$=5*(x^3)^{/}+2*(cos(x))^{/}=5*3*x^2+2*(-sin(x))=15x^2-2sin(x);$$

Пример 12
$$left(-frac{3x^2}{2x^4+5x}right)^{/}=-frac{(3x^2)^{/}*(2x^4+5x)-3x^2*(2x^4+5x)^{/}}{(2x^4+5x)^2}=$$
$$=-frac{6x*(2x^4+5x)-3x^2*(8x+5)}{(2x^4+5x)^2}=-frac{12x^5-24x^3+15x^2}{(2x^4+5x)^2};$$

Пример 13
$$(2xsqrt{x})^{/}=(2x)^{/}*sqrt{x}+2x*(sqrt{x})^{/}=$$
$$=2*sqrt{x}+2x*frac{1}{2sqrt{x}}=2*sqrt{x}+frac{2x}{2sqrt{x}}=2*sqrt{x}+sqrt{x}=3sqrt{x};$$

Производная сложной функции

Сложная функция — это функция не от аргумента (x), а от какой-то другой функции: (f(g(x))). Например, функция (sin(x^2)) будет сложной функцией: «внешняя» функция синуса берется от «внутренней» функции степени ((x^2)). Так как под синусом стоит аргумент не (x), а (x^2), то такая функция будет называться сложной.
Еще примеры сложных функций:

$$ln(3x^4);$$
Внешняя функция: натуральный логарифм; Внутренняя функция: ((3x^4)).
$$cos(ln(x));$$
Внешняя функция: косинус; Внутренняя функция: ((ln(x))).
$$e^{2x^2+3};$$
Внешняя функция: экспонента; Внутренняя функция: ((2x^2+3)).
$$(sin(x))^3;$$
Внешняя функция: возведение в третью степень; Внутренняя функция: (sin(x)).

Чтобы посчитать производную от такой функции, нужно сначала найти производную внешней функции, а затем умножить результат на производную внутренней функции. В общем виде формула выглядит так:
$$f(g(x))^{/}=f^{/}(g(x))*g^{/}(x);$$
Скорее всего, выглядит непонятно, поэтому давайте разберем на примерах.

Пример 14
$$((cos(x))^4)^{/}=?$$
Внешней функцией тут будет возведение в четвертую степень, поэтому сначала считаем производную от степени по формуле ((x^n)^{/}=n*x^{n-1}). А потом умножаем результат на производную внутренней функции, у нас это функция косинуса, по формуле (cos(x)^{/}=-sin(x)):
$$((cos(x))^4)^{/}=underset{text{внешняя производная}}{underbrace{4*(cos(x))^3}}*underset{text{внутренняя производная}}{underbrace{(cos(x))^{/}}}=$$
$$=4*(cos(x))^3*(-sin(x))=-4*(cos(x))^3*sin(x);$$

Пример 15
$$(e^{2x^3+5})^{/}=?$$
Внешняя функция — это экспонента ((e^x)^{/}=e^x), а внутренняя функция — квадратный многочлен ((2x^3+5)):
$$(e^{2x^3+5})^{/}=e^{2x^3+5}*(2x^3+5)^{/}=e^{2x^3+5}*((2x^3)^{/}+5^{/})=e^{2x^3+5}*6x^2.$$

Пример 16
$$(ln((2x^2+3)^6))^{/}=?$$
Внешняя функция — это натуральной логарифм, берем производную от него по формуле ((ln(x))^{/}=frac{1}{x}), и умножаем на производную внутренней функции, у нас это шестая степень: ((x^n)^{/}=n*x^{n-1}). Но и на этом еще не все: под шестой степенью стоит не просто (x), а квадратный многочлен, значит еще нужно умножить на производную от этого квадратного многочлена:
$$ln((2x^2+3)^6)=frac{1}{(2x^2+3)^6}*((2x^2+3)^6)^{/}*(2x^2+3)^{/}=$$
$$=frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*(4x+0)=frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*4x=$$
$$=frac{6*(2x^2+3)^5*4x}{(2x^2+3)^6}=frac{24x*(2x^2+3)^5}{(2x^2+3)^6}=frac{24x}{(2x^2+3)^6}.$$

Вывод формул производной функции

Выведем некоторые из этих формул, чтобы было понимание, откуда они берутся. Но перед этим познакомимся с новыми обозначениями. Запись (f(x)) означает, что функция берется от аргумента (x). Например:
$$f(x)=x^3+sin(x);$$
На месте аргумента (x) может стоять все что угодно, например выражение (2x+3). Обозначение такой функции будет (f(2x+3)), а сама функция примет вид:
$$f(2x+3)=(2x+3)^3+sin(2x+3);$$
То есть, везде вместо аргумента (x) мы пишем (2x+3).

И несколько важных замечаний про (Delta f(x)) и (Delta x). Напомню, что значок (Delta) означает изменение некоторой величины. (Delta x) — изменения координаты (x) при переходе от одной точки на графике функции к другой; (Delta f(x)) — разница координат (y) между двумя точками на графике. Подробнее про это можно почитать в главе, где мы вводим понятие производной. Распишем (Delta x) для двух близких точек на графике функции (O) и (B):
$$Delta x=x_B-x_O;$$
Отсюда можно выразить (x_B):
$$x_B=x_O+Delta x;$$
Абсцисса (координата точки по оси (x)) точки (B) получается путем сложения абсциссы точки (O) и (Delta x).

Кстати, функцию (f(x)=x^3+sin(x)) от аргумента (x_B=x_O+Delta x) можно расписать:

$$f(x_B)=f(x_O+Delta x)=(x_O+Delta x)^3+sin(x_O+Delta x);$$

Рис.1. График произвольной функции

И распишем (Delta f):
$$Delta f(x)=f(x_B)-f(x_O)=f(x_O+Delta x)-f(x_O);$$
Тогда определение производной можно записать в виде:
$$f^{/}(x)=frac{Delta f(x)}{Delta x}=frac{f(x_O+Delta x)-f(x_O)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$

За (x_O) обычно обозначают точку, в окрестности которой берут производную. То есть, получается (x_O) — это абсцисса начальной точки, а (x_O+Delta x) — абсцисса конечной точки.

Нам это пригодится при выводе формул производной.

Производная квадратичной функции

Выведем теперь формулу производной от (f(x)=x^2), воспользовавшись определением производной:
$$f^{/}(x)=frac{Delta f(x)}{Delta x}=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
Распишем числитель (f(x+Delta x)-f(x)) с учетом, что (f(x)=x^2):
$$f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^2-x^2=x^2+2xDelta x+(Delta x)^2-x^2=2xDelta x+(Delta x)^2;$$
Подставим в определение производной:
$$f^{/}(x)=frac{2xDelta x+(Delta x)^2}{Delta x}=frac{Delta x*(2x+Delta x)}{Delta x}=2x+Delta x;$$
Напоминаю, что (Delta x) это бесконечно малая величина:
$$(Delta x)^2 ll 0;$$
Поэтому этим слагаемым можно пренебречь. Вот мы и получили формулу для производной от квадратной функции:
$$f^{/}(x)=(x^2)^{/}=2x;$$

Производная от третьей степени

Аналогичные рассуждения можно провести для функции третьей степени:
$$f(x)=x^3;$$
Воспользуемся определением производной:
$$f^{/}(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
$$f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^3-x^3=(x+Delta x-x)((x+Delta x)^2+(x+Delta x)*x+x^2)=$$
$$=Delta x*(x^2+2x*Delta x+(Delta x)^2+x^2+x*Delta x+x^2)=Delta x*(3x^2+3xDelta x);$$
$$f^{/}(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}=frac{Delta x*(3x^2+3xDelta x)}{Delta x}=3x^2+3xDelta x;$$
Так как при умножении на бесконечно малую величину получается бесконечно малая величина, то слагаемым (3xDelta x) можно пренебречь:
$$f^{/}(x)=(x^3)^{/}=3x^2;$$
Точно таким же способом можно вывести формулы производных для любых степеней:
$$(x^4)^{/}=4x^3;$$
$$(x^5)^{/}=5x^4;$$
$$…$$
$$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$
Кстати, эта формула справедлива и для дробных степеней.

Вывод остальных формул делается похожим образом, только там может понадобиться знание пределов. Вывод всех формул разбирается в университетском курсе математического анализа.

Что такое производная функции простыми словами? Для чего нужна производная? Определение производной

Как решать задания №7 из ЕГЭ по математике. Анализ графиков при помощи производной. Графики производной и графики функции

Исследуем функцию с помощью производной. Находим точки минимума и максимума, наибольшее и наименьшее значение функции. Точки экстремума. Промежутки возрастания и убывания.

Связь коэффициента наклона и тангенса угла наклона касательной к функции и производной функции в точке касания. Задание №7 в ЕГЭ по математике.

Источник

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Производная функции

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Производную приходится находить в ряде задач курса математического анализа. Например, при отыскании точек экстремума и перегиба графика функции.

Как найти?

Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования:

Вынос константы за знак производной: $$ (Cu)’ = C(u)’ $$
Производная суммы/разности функций: $$ (u pm v)’ = (u)’ pm (v)’ $$
Производная произведения двух функций: $$ (u cdot v)’ = u’v + uv’ $$
Производная дроби: $$ bigg (frac{u}{v} bigg )’ = frac{u’v — uv’}{v^2} $$
Производная сложной функции: $$ ( f(g(x)) )’ = f'(g(x)) cdot g'(x) $$

Примеры решения

Пример 1

Найти производную функции $ y = x^3 — 2x^2 + 7x — 1 $

Решение

Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных:

$$ y’ = (x^3 — 2x^2 + 7x — 1)’ = (x^3)’ — (2x^2)’ + (7x)’ — (1)’ = $$

Используя правило производной степенной функции $ (x^p)’ = px^{p-1} $ имеем:

$$ y’ = 3x^{3-1} — 2 cdot 2 x^{2-1} + 7 — 0 = 3x^2 — 4x + 7 $$

Так же было учтено, что производная от константы равна нулю.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ y’ = 3x^2 — 4x + 7 $$

Пример 2

Найти производную функции $ y = sin x — ln 3x $

Решение

По правилу производной разности:

$$ y’ = (sin x — ln 3x)’ = (sin x)’ — (ln 3x)’ = $$

По таблице интегрирования находим:

$$ (sin x)’ = cos x $$ $$ (ln x)’ = frac{1}{x} $$

С учетом того, что аргумент натурального логарифма отличен от $ x $, то нужно домножить ещё на производную самого аргумента:

$$ y’ = (sin x)’ — (ln 3x)’ = cos x — frac{1}{3x} cdot (3x)’ = $$

После упрощения получаем:

$$ = cos x — frac{1}{3x} cdot 3 = cos x — frac{1}{x} $$

Ответ

$$ y’ = cos x — frac{1}{x} $$

Пример 3

Найти производную функции $ y = (3x-1) cdot 5^x $

Решение

В данном примере стоит произведение двух функций, а производная произведения находится по формуле номер 3: $$ (u cdot v)’ = u’v + uv’ $$

$$ y’ = ( (3x-1) cdot 5^x )’ = (3x-1)’ 5^x + (3x-1) (5^x)’ = $$

Производная первой функции вычисляется как разность фунций:

$$ (3x-1)’ = (3x)’ — (1)’ = 3(x)’ — (1)’ = 3 $$

Вторая функция является показательной, производная которой находится по формуле: $ (a^x)’ = a^x ln a $: $$ (5^x)’ = 5^x ln 5 $$

Продолжаем решение с учетом найденных производных:

$$ y’ = (3x-1)’ 5^x + (3x-1) (5^x)’ = 3 cdot 5^x + (3x-1) 5^x ln 5 $$

Ответ

$$ y’ = 3cdot 5^x + (3x-1) 5^x ln 5 $$

Пример 4

Найти производную функции $ y = frac{ln x}{sqrt{x}} $

Решение

Производную дроби найдем по четвертой формуле. Положим $ u = ln x $ и $ v = sqrt{x} $. Тогда их производные по таблице основных элементарных функций равны:

$$ u’ = (ln x)’ = frac{1}{x} $$ $$ v’ = (sqrt{x})’ = frac{1}{2sqrt{x}} $$

Используя формулу №4 получаем:

$$ y’ = bigg ( frac{ln x}{sqrt{x}} bigg )’ = frac{ frac{1}{x} cdot sqrt{x} — ln x cdot frac{1}{2sqrt{x}} }{x} = $$

Выносим множитель $ frac{1}{2sqrt{x}} $ в числителе за скобку:

$$ y’ = frac{2-ln x}{2xsqrt{x}} $$

Ответ

$$ y’ = frac{2-ln x}{2xsqrt{x}} $$

Пример 5

Найти производную функции $ y = ln sin 3x $

Решение

Данная функция является сложной, потому производную будем брать по цепочке. Сначала от внешней функции, затем от внутренней. При этом выполняя их перемножение.

$$ y’ = (ln sin 3x )’ = frac{1}{sin 3x} cdot (sin 3x)’ = $$

Заметим, что аргумент синуса отличен от $ x $, поэтому тоже является сложной функцией:

$$ = frac{1}{sin 3x} cdot cos 3x cdot (3x)’ = frac{1}{sin 3x} cdot cos 3x cdot 3 $$

Учитывая определение котангенса $ ctg x = frac{cos 3x}{sin 3x} $ перепишем полученную производную в удобном компактном виде:

$$ y’ = 3ctg 3x $$

Ответ

$$ y’ = 3ctg 3x $$

Источник

Таблица производных, правила нахождения производных

Таблица производных основных функций
Основные правила нахождения производной
Правило дифференцирования сложной функции
Логарифмическая производная
Производная обратной функции
Производная функции, заданной параметрически
Производная неявной функции

Таблица производных основных функций

Основные правила нахождения производной

Если

– постоянная и

– функции, имеющие производные, то

1) Производная от постоянного числа равна нулю.

2) Производная от переменной равна единице

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

3) Производная суммы равна сумме производных

Пример 1

Найдем производную функции

4) Производная произведения постоянной на
некоторую функцию равна произведению этой постоянной на производную от заданной
функции.

Пример 2

Найдем производную функции

5) Производная
произведения функций

Пример 3

Найдем производную функции

6) Производная
частного:

Пример 4

Найдем производную функции

Правило дифференцирования сложной функции

или в других обозначениях:

Пример 5

Найдем производную функции

Пример 6

Найдем производную функции

Логарифмическая производная

Логарифмической производной функции

называется производная от логарифма этой
функции, то есть:

Применение предварительного логарифмирования функции иногда
упрощает нахождение ее производной.

Пример 7

Найдем производную функции

Прологарифмируем заданную
функцию:

Искомая производная:

Производная обратной функции

Если для функции

производная

,
то производная обратной функции

есть

или в других обозначениях:

Пример 8

Найдем производную

,
если

Имеем:

Следовательно:

Производная функции, заданной параметрически

Если зависимость функции

и аргумента

задана посредством параметра

то

или в других обозначениях:

Пример 9

Найдем производную функции

Воспользуемся формулой:

Производная неявной функции

Если зависимость между

задана в неявной форме

(*)

то для нахождения производной

в простейших случаях достаточно:

1) вычислить производную по

от левой части равенства (*), считая

функцией от

;

2) приравнять эту производную к нулю, то есть положить:

3) решить полученное уравнение относительно

Пример 10

Найдем производную функции

Вычисляем производную от
левой части равенства:

Решаем уравнение
относительно

Искомая производная:

Источник

Загрузить PDF

Производную функции можно использовать для того, чтобы получить полезную информацию о графике, например, узнать положение максимумов, минимумов, пиков, впадин и характер наклона. Вы даже можете использовать их для построения на графике сложных уравнений без применения графического калькулятора! К сожалению, нахождение производной может быть утомительной задачей, но эта статья поможет вам узнать некоторые приемы и ловкости.

Шаги

1
Ознакомьтесь с формой обозначения производной. Следующие две формы обозначения являются наиболее распространенными, однако на Википедии можно найти огромное количество других here.
- Обозначение Лейбница. Это обозначение является наиболее распространенным в случаях, когда функция включает y и x. dy/dx буквально означает «производная y по отношению к x.» Удобно представить производную в виде отношения бесконечно малых разностей Δy/Δx. Это объяснение является следствием определения производной через предел: lim_h->0 (f(x+h)-f(x))/h. Используя данное обозначение для второй производной, вы должны написать: d²y/dx².
- Обозначение Лагранжа. Производную функции можно также записать как f'(x). Это обозначение читается как «f штрих от x». Это обозначение короче обозначения Лейбница, оно полезно при рассмотрении производной как функции. Чтобы образовать производные высших порядков, просто добавляйте к «f» новые » ‘ «. Так, вторая производная будет иметь вид f»(x).
2

Выясните, что такое производная и зачем она нужна. Во-первых, для нахождения наклона прямой зависимости, берутся две точки на прямой, и их координаты подставляются в уравнение (y₂ — y₁)/(x₂ — x₁). Тем не менее, это может быть использовано только для линейных зависимостей. Для квадратичных зависимостей и выше линия будет кривой, поэтому определение «разности» двух точек не может быть точным. Чтобы найти наклон касательной к криволинейному графику, берутся две точки, которые подставляются в стандартное уравнение определения наклона касательной к кривой: [f(x + dx) — f(x)]/dx. Dx означает «delta x,» являющуюся разностью между двумя x-координатами графика. Обратите внимание, что это выражение аналогично (y₂ — y₁)/(x₂ — x₁), просто в другой форме. Поскольку уже известно, что результат не будет точным, применяется косвенный подход. Чтобы найти наклон касательной в точке (x, f(x)), dx должно стремиться к 0, так что две выбранные точки сольются в одну. Впрочем, мы не можем делить на 0, поэтому, подставив оба значения координат точки, вы должны будете разложить выражение на множители и использовать другие методы для сокращения dx в нижней части выражения. Сделав это, примите dx = 0 и решите уравнение. Это и будет углом наклона в точке (x, f(x)). Производная выражения — это общее выражение для нахождения наклона любой касательной к графику. Это может казаться чрезвычайно сложным, но несколько примеров, приведенных ниже, помогут вам понять процесс нахождения производной.

Реклама

1

Используйте дифференцирование явных функций, когда ваше выражение уже имеет y, расположенный в одной его части.
2

Подставьте выражение в выражение [f(x + dx) — f(x)]/dx. Например, если ваше уравнение имеет вид y = x², производная будет иметь вид [(x + dx)² — x²]/dx.
3

Раскройте скобки, а затем вынесите dx за скобки, получив уравнение [dx(2x + dx)]/dx. Теперь вы можете сократить два dx в верхней и нижней частях дроби. В результате вы получите 2x + dx, и когда dx стремится к 0, то производная равна 2x. Это означает, что наклон любой касательной к графику y = x² равен 2x. Просто подставьте значение x точки, в которой вы хотите найти наклон.
4
Изучите схемы нахождения производной функций подобного типа. Ниже приведены несколько из них.
- Производная степенной функции равна произведению показателя степени и основания в степени на единицу меньше. Например, производная x⁵ равна 5x⁴, а производная x^3.5 равна 3.5x^2.5. Если перед x уже есть число, просто умножьте его на степень. Например, производная 3x⁴ равна 12x³.
- Производная любого числа равна 0. Иначе говоря, производная 8 равна 0.
- Производная суммы — это сумма отдельных производных. Например, производная x³ + 3x² равна 3x² + 6x.
- Производная произведения — это произведение первого множителя на производную второго плюс произведение второго множителя на производную первого. Например, производная x³(2x + 1) равна x³(2) + (2x + 1)3x², что равно 8x³ + 3x².
- Производная дроби (скажем, f/g) — это [g(производная f) — f(производная g)]/g². Например, производная (x² + 2x — 21)/(x — 3) равна (x² — 6x + 15)/(x — 3)².
Реклама

1

Используйте дифференцирование неявно выраженных функций, когда в вашем выражении нельзя выделить y на одной из сторон. Даже если вы смогли записать его с y в одной части, вычисление dy/dx будет громоздким. Ниже приведены примеры нахождения производной для выражений такого типа.
2

В этом примере: x²y + 2y³ = 3x + 2y, замените y на f(x), чтобы запомнить, что y на самом деле — функция. Выражение примет вид x²f(x) + 2[f(x)]³ = 3x + 2f(x).
3

Чтобы найти производную этого выражения, продифференцируйте (умное слово, означающее найти производную) обе стороны уравнение по x. Выражение станет x²f'(x) + 2xf(x) + 6[f(x)]²f'(x) = 3 + 2f'(x).
4

Снова замените f(x) на y. Будьте внимательны и не сделайте того же для f'(x), отличающегося от f(x).
5

Найдите f'(x). Ответ на этот пример принимает вид (3 — 2xy)/(x² + 6y² — 2).

Реклама

1

Взять производную высшего порядка функции означает взять производную производной (в случае порядка, равного 2). Например, если вас просят взять производную третьего порядка, просто возьмите производную производной производной. Для некоторых выражений, производные высших порядков принимают нулевое значение.

1

Если y — это дифференцируемая функция z, а z — дифференцируемая функция x, y — это сложная функция x, а производная y по x (dy/dx) равна (dy/du)*(du/dx). Правило цепочки также относится к сложным степенным выражениям, например: (2x⁴ — x)³. Чтобы найти производную, просто примените правило произведения. Умножьте выражение на степень и уменьшите степень на единицу. Затем умножьте выражение на производную основания (в нашем случае оно равно 2x^4 — x). Ответ на этот пример выглядит так: 3(2x⁴ — x)²(8x³ — 1).

Реклама

Советы

Когда вы видите, что вам нужно решить просто огромный пример — не волнуйтесь. Разбейте его на как можно больше мельчайших кусков, применяя правила произведения, дроби и т.д. После этого приступайте к дифференцированию отдельных частей.
Потренируйтесь использовать правила произведения, дроби, цепочек и в особенности — дифференцирования функций в неявной форме, поскольку они являются очень сложной частью матанализа.
Умейте пользоваться калькулятором; пробуйте использовать различные функции вашего калькулятора, чтобы узнать его возможности. Особенно полезно знать функции касательной и производной, если они есть в вашем калькуляторе.
Запомните производные основных тригонометрических функций и то, как с ними обращаться.

Предупреждения

Не забудьте, что при использовании правила дроби перед f(производная g) ставится знак минус; это распространенная ошибка и забыв его, вы получите неправильный ответ.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 11 770 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник