Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления производной арксинуса
Формула
$(arcsin x)^{prime}=frac{1}{sqrt{1-x^{2}}}$
Производная арксинуса равна единице, деленной на корень квадратный из разности единицы и аргумента в квадрате.
Если аргумент арксинуса отличен от $x$, то производную ищем как
производную сложной функции, то есть по формуле:
$$(arcsin u)^{prime}=frac{1}{sqrt{1-u^{2}}} cdot u^{prime}$$
то есть производную от арксинуса умножаем еще на производную аргумента.
Примеры вычисления производной арксинуса
Пример
Задание. Найти производную функции
$y(x)=frac{arcsin x}{2}$
Решение. Искомая производная
$$y^{prime}(x)=left(frac{arcsin x}{2}right)^{prime}$$
По правилам дифференцирования выносим константу за знак производной:
$$y^{prime}(x)=frac{1}{2} cdot(arcsin x)^{prime}=frac{1}{2} cdot frac{1}{sqrt{1-x^{2}}}=frac{1}{2 sqrt{1-x^{2}}}$$
Ответ. $y^{prime}(x)=frac{1}{2 sqrt{1-x^{2}}}$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Вычислить производную функции $y(x)=3 arcsin x-2$
Решение. Искомая производная
$$y^{prime}(x)=(3 arcsin x-2)^{prime}$$
Производная разности функций равна разности производных этих функций:
$$y^{prime}(x)=(3 arcsin x)^{prime}-(2)^{prime}$$
В первом слагаемом вынесем 3 за знак производной, а вторая производная равна нулю, так как 2 — константа:
$$y^{prime}(x)=3 cdot(arcsin x)^{prime}-0=3 cdot frac{1}{sqrt{1-x^{2}}}=frac{3}{sqrt{1-x^{2}}}$$
Ответ. $y^{prime}(x)=frac{3}{sqrt{1-x^{2}}}$
Читать дальше: производная арккосинуса (arccosx)’.
Онлайн калькуляторы
На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.
Справочник
Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!
Заказать решение
Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!
Производная арксинуса
![[ left( arcsin x right)' = frac{1}{sqrt{1-x^{2}}} ]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9d00997fe532b56ac54f5b2f1d98b1f0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Функция 
является обратной к функции 
и также является нечетной.
Если аргумент арксинуса есть сложной функцией (то есть там стоит выражение более сложное, чем просто 
), то формула для производной принимает вид:
![[ left( arcsin u(x) right)' = frac{1}{sqrt{1-u^{2}(x)}} cdot left( u(x) right)' ]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c9a628e4578d5bc586f91873e3b9ca0b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Примеры решения задач по теме «Производная арксинуса»
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |
Дифференцирование обратных тригонометрических функций
Щебетун Виктор
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Пусть $y = f(x)$ и $x = varphi (y)$ — взаимно обратные функции. Тогда если функция $y = f(x)$ имеет не равную нулю производную $f'(x)$, то обратная функция имеет производную $varphi ‘(y)$.
$phi ‘(y)=frac{1}{f'(y)} $ или $x’_{y} =frac{1}{y’_{x} } $
Поскольку $y = f(x)$ и $x = $ $varphi (y)$ — взаимно обратные функции, то x = $varphi (f(x))$. Применяя дифференцирование, получаем:
Найдем производную функции y=arcsinx, воспользовавшись правилом дифференцирования обратной функции. Обратной данной является функция $x = siny$.
Поскольку $arcsin x=sqrt{1-x^{2} } $. Таким образом,
Аналогично выводится равенство для:
Полученные формулы справедливы для отрезка $-1
Найдем производную функции $y = arctgx$. Обратной к ней будет функция $x = tgy$.
Условия дифференцируемости выполнены. Значит:
Аналогично выводится равенство для:
Пример 1
Найти производную функции
[y=arcsin xcdot arccos x]
Решение.
- Воспользуемся дифференцированием:
- Упростим выражение
[y’=left(arcsin xcdot arccos xright){{‘} } =arcsin’xcdot arccos x+arcsin xcdot arccos’x]
[y’=frac{1}{sqrt{1-x^{2} } } cdot arccos x-arcsin xcdot frac{1}{sqrt{1-x^{2} } } ]
[y’=frac{arccos x-arcsin x}{sqrt{1-x^{2} } } ]
Пример 2
Найти дифференциал в точке х = 1 при $Delta $х = 0,08 функции
[y=arctg^{3} sqrt{x} ]
Решение.
- Применим правило замены переменных:
- Воспользуемся дифференцированием:
- Упростим выражение
- Выполним замену $х = 1$
- Тогда
[t=sqrt{x} ]
[u=arctgsqrt{t} ]
[y=u^{3} ]
[y’_{x} =y’_{u} cdot u’_{t} cdot t’_{x} =3u^{2} cdot frac{1}{1+t^{2} } cdot frac{1}{2sqrt{x} } ]
[y’_{x} =3arctg^{2} sqrt{x} cdot frac{1}{1+left(sqrt{x} right)^{2} } cdot frac{1}{2sqrt{x} } ]
[y’_{x} =frac{3arctg^{2} sqrt{x} }{2sqrt{x} left(1+xright)} ]
[y’_{x=1} =frac{3arctg^{2} sqrt{1} }{2sqrt{1} left(1+1right)} =frac{3arctg^{2} 1}{4} =frac{3}{4} cdot left(frac{pi }{4} right)^{2} =frac{3pi ^{2} }{64} ]
[dy=y’dx=frac{3pi ^{2} }{64} cdot 0,08=frac{3pi ^{2} }{800} ]
«Дифференцирование обратных тригонометрических функций» 👇
Пример 3
Найти производную функции
[y=arcsin (sin x)]
Решение.
- Запишем производную
- Можно сделать вывод, что если соsx принимает положительные значения — производная равна единице, иначе не существует.
[y’=frac{1}{sqrt{1-sin ^{2} x} } cos x=frac{cos x}{sqrt{cos ^{2} x} } =frac{cos x}{left|cos xright|} ]
График функции «>
Рисунок 1. График функции $y=arcsin (sin x)$
Пример 4
Найти производную функции
[y=arcsin e^{x} ]
Решение.
[y’=left(arcsin e^{x} right){{‘} } =frac{1}{sqrt{1-left(e^{x} right)^{2} } } left(e^{x} right){{‘} } ]
[y’=frac{1}{sqrt{1-left(e^{x} right)^{2} } } left(e^{x} right){{‘} } =frac{e^{x} }{sqrt{1-e^{2x} } } ]
Пример 5
Найти производную функции
[y=left(arcsin frac{1}{x} right)^{2} ]
Решение.
[y’=left(arcsin frac{1}{x} right)^{2} {{‘} } =2arcsin frac{1}{x} frac{1}{sqrt{1-frac{1}{x^{2} } } } left(frac{1}{x} right){{‘} } =-2arcsin frac{1}{x} frac{1}{xsqrt{x^{2} -1} } ]
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата последнего обновления статьи: 11.12.2022