Как найти производную функции используя правила дифференцирования - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Таблица производных в алгебре нужна для решения целого ряда различных прикладных задач. Поскольку смысл производной иначе интерпретируется как “скорость изменения”, то, каждый раз, беря производную, мы находим величину на ступеньку более “быструю”, чем та, от которой мы берем производную. Например, беря производную от y(x) по x, мы фактически находим скорость изменения координаты y в зависимости от изменения координаты x, а беря производную от скорости изменения координаты y в зависимости от координаты x, мы находим ускорение.

Что такое производная функции

Например, при использовании производной в физике, мы знаем, что производная расстояния s по времени – это скорость. Потому что скорость – это величина, характеризующая быстроту изменения расстояния в зависимости от времени. А производная скорости – ничто иное как ускорение, так как ускорение – это величина, характеризующая быстроту изменения скорости.
Поскольку производная находится по формуле: $displaystyle f^prime(x) =lim_{Delta xto0}frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}$ , то бесконечное количество различных функций усложняют задачу дифференцирования, так как удобно функцию, которую можно представить из различных элементарных функций, дифференцировать основываясь на уже выведенных выражениях для производных этих элементарных функций.

Характеристика производной и ее смысл

Производная характеризует быстроту изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Таблица производных

Таким образом, чтобы работать с производными, необходима таблица производных элементарных функций. Руководствуясь этой таблицей, можно взять производную от какой угодно функции. Но прежде чем работать с таблицей – нужно знать как брать производную функции, есть определенные правила дифференцирования, которые представим в таблице.

Правила дифференцирования

№ правила	Название правила	Правило дифференцирования
1	Производная постоянной величины	, С-постоянная
2	Производная суммы	.
3	Производная произведения постоянной на функцию	, С – постоянная
4	Производная переменной x
5	Производная произведения двух функций
6	Производная деления двух функций	$displaystyle (frac{u}{v})' = frac{u'v-v'u}{v^2}$
7	Производная сложной функции	$y{}'_x = y{}'_u cdot u{}'_x$

Таблица производных простых и сложных функций

Теперь таблица производных для элементарных и для сложных функций.

Номер формулы	Название производной	Основные элементарные функции	Сложные функции
1	Производная натурального логарифма по x	$(ln (x))' = frac{1}{x}$	$(ln(u))' = frac{1}{u}u'$
2	Производная логарифмической функции по основанию a	$displaystyle (log(x)_a)' = frac{1}{x cdot ln a}$	$displaystyle (log(u)_a)' = frac{1}{u cdot ln a}u'$
3	Производная по x в степени n	$(x^n)' = n x^{n-1}$	$(u^n)' = n u^{n-1}u'$
4	Производная квадратного корня	$(sqrt {x})' = frac{1}{2 sqrt{x}}$	$(sqrt {u})' = frac{1}{2 sqrt{u}}u'$
5	Производная a в степени x
6	Производная e в степени x
7	Производная синуса
8	Производная косинуса
9	Производная тангенса	$(tan {x})' = frac{1}{cos^2{x}}$	$(tan {u})' = frac{1}{cos^2{u}} cdot u'$
10	Производная котангенса	$(ctg {x})' = -frac{1}{sin^2{x}}$	$(ctg {u})' = -frac{1}{sin^2{u}} cdot u'$
11	Производная арксинуса	$(arcsin {x})' = frac{1}{sqr{1-x^2}}$	$(arcsin {u})' = frac{u'}{sqr{1-u^2}}$
12	Производная арккосинуса	$(arccos {x})' = -frac{1}{sqr{1-x^2}}$	$(arccos {u})' = -frac{u'}{sqr{1-u^2}}$
13	Производная арктангенса	$(arctg {x})' = frac{1}{1+x^2}$	$(arctg {u})' = frac{u'}{1+u^2}$
14	Производная арккотангенса	$(arcctg {x})' = -frac{1}{1+x^2}$	$(arcctg {u})' = -frac{u'}{1+u^2}$

Примеры нахождения производных

Пример 1

Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найти производную функции: .

Решение:

Мы использовали правило 2 дифференцирования суммы. Теперь найдем производную каждого слагаемого:

По формуле 3 “производная по x в степени n” (у нас в степени 2).

По правилам дифференцирования 3 и 4.

По первому правилу дифференцирования “производная постоянной равна нулю”

Итак, получим: .

Пример 2

Найти производную функции $y=frac{2x}{3x+5}$

Решение:

Находим производную, пользуясь правилам дифференцирования 6.

$[y'=frac{(2x)'(3x+5)-2x(3x+5)'}{(3x+5)^2}]$

$[y'=frac{2(3x+5)-2x cdot 3}{(3x+5)^2}]$

$[y'=frac{6x+10-6x}{(3x+5)^2}]$

$[y'=frac{10}{(3x+5)^2}]$

Ответ:

$[y'=frac{10}{(3x+5)^2}]$

Пример 3

Найти производную функции

Решение: здесь все просто, мы возьмем производную из таблицы производных.

Ответ:

Пример 4

Найдите производную функции

Решение: Здесь мы уже имеем не простую функцию, а сложную функцию и брать производную мы будем по формуле 8 таблицы производных для сложных функций.

Ответ:

Пример 5

Пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, найдите производную функции $y=sqrt{2x^2+5x+4}$

Решение: У нас сложная функция, так как под корнем стоит не просто , а квадратная функция.

То есть мы имеем функцию вида .

Возьмем производную этой функции:

$[y'=frac{(2x^2+5x+4)'}{2 sqrt{2x^2+5x+4}}]$

$[y'=frac{4x+5}{2 sqrt{2x^2+5x+4}}]$

Ответ:

$[y'=frac{4x+5}{2 sqrt{2x^2+5x+4}}]$

Пример 6

Найдите скорость тела, если траектория его движения задана уравнением м

Решение: скорость тела – это первая производная траектории по времени: . м/с.

Находим скорость тела:

Ответ: 3 м/с.

Итак, таблица производных и правила дифференцирования дают возможность легко брать производные и простых, и сложных функций.

Источник

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Источник

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Производная функции

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Производную приходится находить в ряде задач курса математического анализа. Например, при отыскании точек экстремума и перегиба графика функции.

Как найти?

Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования:

Вынос константы за знак производной: $$ (Cu)’ = C(u)’ $$
Производная суммы/разности функций: $$ (u pm v)’ = (u)’ pm (v)’ $$
Производная произведения двух функций: $$ (u cdot v)’ = u’v + uv’ $$
Производная дроби: $$ bigg (frac{u}{v} bigg )’ = frac{u’v — uv’}{v^2} $$
Производная сложной функции: $$ ( f(g(x)) )’ = f'(g(x)) cdot g'(x) $$

Примеры решения

Пример 1

Найти производную функции $ y = x^3 — 2x^2 + 7x — 1 $

Решение

Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных:

$$ y’ = (x^3 — 2x^2 + 7x — 1)’ = (x^3)’ — (2x^2)’ + (7x)’ — (1)’ = $$

Используя правило производной степенной функции $ (x^p)’ = px^{p-1} $ имеем:

$$ y’ = 3x^{3-1} — 2 cdot 2 x^{2-1} + 7 — 0 = 3x^2 — 4x + 7 $$

Так же было учтено, что производная от константы равна нулю.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ y’ = 3x^2 — 4x + 7 $$

Пример 2

Найти производную функции $ y = sin x — ln 3x $

Решение

По правилу производной разности:

$$ y’ = (sin x — ln 3x)’ = (sin x)’ — (ln 3x)’ = $$

По таблице интегрирования находим:

$$ (sin x)’ = cos x $$ $$ (ln x)’ = frac{1}{x} $$

С учетом того, что аргумент натурального логарифма отличен от $ x $, то нужно домножить ещё на производную самого аргумента:

$$ y’ = (sin x)’ — (ln 3x)’ = cos x — frac{1}{3x} cdot (3x)’ = $$

После упрощения получаем:

$$ = cos x — frac{1}{3x} cdot 3 = cos x — frac{1}{x} $$

Ответ

$$ y’ = cos x — frac{1}{x} $$

Пример 3

Найти производную функции $ y = (3x-1) cdot 5^x $

Решение

В данном примере стоит произведение двух функций, а производная произведения находится по формуле номер 3: $$ (u cdot v)’ = u’v + uv’ $$

$$ y’ = ( (3x-1) cdot 5^x )’ = (3x-1)’ 5^x + (3x-1) (5^x)’ = $$

Производная первой функции вычисляется как разность фунций:

$$ (3x-1)’ = (3x)’ — (1)’ = 3(x)’ — (1)’ = 3 $$

Вторая функция является показательной, производная которой находится по формуле: $ (a^x)’ = a^x ln a $: $$ (5^x)’ = 5^x ln 5 $$

Продолжаем решение с учетом найденных производных:

$$ y’ = (3x-1)’ 5^x + (3x-1) (5^x)’ = 3 cdot 5^x + (3x-1) 5^x ln 5 $$

Ответ

$$ y’ = 3cdot 5^x + (3x-1) 5^x ln 5 $$

Пример 4

Найти производную функции $ y = frac{ln x}{sqrt{x}} $

Решение

Производную дроби найдем по четвертой формуле. Положим $ u = ln x $ и $ v = sqrt{x} $. Тогда их производные по таблице основных элементарных функций равны:

$$ u’ = (ln x)’ = frac{1}{x} $$ $$ v’ = (sqrt{x})’ = frac{1}{2sqrt{x}} $$

Используя формулу №4 получаем:

$$ y’ = bigg ( frac{ln x}{sqrt{x}} bigg )’ = frac{ frac{1}{x} cdot sqrt{x} — ln x cdot frac{1}{2sqrt{x}} }{x} = $$

Выносим множитель $ frac{1}{2sqrt{x}} $ в числителе за скобку:

$$ y’ = frac{2-ln x}{2xsqrt{x}} $$

Ответ

$$ y’ = frac{2-ln x}{2xsqrt{x}} $$

Пример 5

Найти производную функции $ y = ln sin 3x $

Решение

Данная функция является сложной, потому производную будем брать по цепочке. Сначала от внешней функции, затем от внутренней. При этом выполняя их перемножение.

$$ y’ = (ln sin 3x )’ = frac{1}{sin 3x} cdot (sin 3x)’ = $$

Заметим, что аргумент синуса отличен от $ x $, поэтому тоже является сложной функцией:

$$ = frac{1}{sin 3x} cdot cos 3x cdot (3x)’ = frac{1}{sin 3x} cdot cos 3x cdot 3 $$

Учитывая определение котангенса $ ctg x = frac{cos 3x}{sin 3x} $ перепишем полученную производную в удобном компактном виде:

$$ y’ = 3ctg 3x $$

Ответ

$$ y’ = 3ctg 3x $$

Источник

Таблица производных, правила нахождения производных

Таблица производных основных функций
Основные правила нахождения производной
Правило дифференцирования сложной функции
Логарифмическая производная
Производная обратной функции
Производная функции, заданной параметрически
Производная неявной функции

Таблица производных основных функций

Основные правила нахождения производной

Если

– постоянная и

– функции, имеющие производные, то

1) Производная от постоянного числа равна нулю.

2) Производная от переменной равна единице

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

3) Производная суммы равна сумме производных

Пример 1

Найдем производную функции

4) Производная произведения постоянной на
некоторую функцию равна произведению этой постоянной на производную от заданной
функции.

Пример 2

Найдем производную функции

5) Производная
произведения функций

Пример 3

Найдем производную функции

6) Производная
частного:

Пример 4

Найдем производную функции

Правило дифференцирования сложной функции

или в других обозначениях:

Пример 5

Найдем производную функции

Пример 6

Найдем производную функции

Логарифмическая производная

Логарифмической производной функции

называется производная от логарифма этой
функции, то есть:

Применение предварительного логарифмирования функции иногда
упрощает нахождение ее производной.

Пример 7

Найдем производную функции

Прологарифмируем заданную
функцию:

Искомая производная:

Производная обратной функции

Если для функции

производная

,
то производная обратной функции

есть

или в других обозначениях:

Пример 8

Найдем производную

,
если

Имеем:

Следовательно:

Производная функции, заданной параметрически

Если зависимость функции

и аргумента

задана посредством параметра

то

или в других обозначениях:

Пример 9

Найдем производную функции

Воспользуемся формулой:

Производная неявной функции

Если зависимость между

задана в неявной форме

(*)

то для нахождения производной

в простейших случаях достаточно:

1) вычислить производную по

от левой части равенства (*), считая

функцией от

;

2) приравнять эту производную к нулю, то есть положить:

3) решить полученное уравнение относительно

Пример 10

Найдем производную функции

Вычисляем производную от
левой части равенства:

Решаем уравнение
относительно

Искомая производная:

Источник

Формулы дифференцирования
Производная суммы двух функций
Производная функции с постоянным множителем
Производная произведения двух функций
Производная частного двух функций
Производная степенной функции
Примеры

п.1. Формулы дифференцирования

Нахождение производной называют дифференцированием.
Функция, которая имеет производную в точке (x_0), называется дифференцируемой в этой точке.
Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на этом промежутке.

В примере 2 §42 данного справочника мы получили формулы производных для простейших функций. Обобщим их в таблице:

begin{gather*} C’=0\ x’=1\ (x^2) ‘=2x\ (x^3) ‘=3x^2\ left(frac1xright) ‘=-frac{1}{x^2}\ (kx+b) ‘=k\ (sqrt{x}) ‘=frac{1}{2sqrt{x}} end{gather*}

Теперь не нужно каждый раз использовать определение производной для поиска её уравнения или значения в данной точке. Достаточно помнить таблицу производных.

Например:
Найдем (f'(1)), если (f(x)=x^2)
По таблице производных (f'(x)=(x^2) ‘=2x). Поэтому (f'(1)=2cdot 1=2)

п.2. Производная суммы двух функций

Рассмотрим функцию (h(x)), которую можно представить в виде суммы двух других функций: (h(x)=f(x)+g(x)). Найдем её производную из общего алгоритма.
Пусть (triangle x) — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции (h(x)): begin{gather*} triangle h=h(x+triangle x)-h(x)=(f(x+triangle x)+g(x+triangle x))-(f(x)+g(x))=\ =(f(x+triangle x)-f(x))+(g(x+triangle x)-g(x))=triangle f+triangle g end{gather*} где (triangle f) и (triangle g) — приращения каждой из функций-слагаемых.
Ищем производную: begin{gather*} h'(x)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle h}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle f+triangle g}{triangle x}= lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle f}{triangle x}+lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle g}{triangle x}=f'(x)+g'(x) end{gather*} Или: (left(f(x)+g(x)right)’=f'(x)+g'(x))

Производная суммы двух функций равна сумме производных: $$ left(f(x)+g(x)right)’=f'(x)+g'(x) $$

Например:
(left(x^2+frac1xright)’=(x^2)’+left(frac1xright)’=2x-frac{1}{x^2})

п.3. Производная функции с постоянным множителем

Рассмотрим функцию (h(x)=kcdot f(x)), где k – некоторый действительный постоянный множитель. Найдем её производную из общего алгоритма.
Пусть (triangle x) — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции (h(x)): begin{gather*} triangle h=h(x+triangle x)-h(x)=kcdot f(x+triangle x)-kcdot f(x)=kcdot (f(x+triangle x)-f(x))=kcdot triangle f end{gather*} где (triangle f) — функции (f(x)).
Ищем производную: begin{gather*} h'(x)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle h}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{kcdot triangle f}{triangle x}=klim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle f}{triangle x}=kf'(x) end{gather*} Или: (left(kcdot f(x)right)’=kcdot f'(x))

Постоянный множитель можно вынести за знак производной: $$ left(kcdot f(x)right)’=kcdot f'(x) $$

Например:
((5x^3)’=5cdot (x^3)’=5cdot 3x^2=15x^2)

п.4. Производная произведения двух функций

Рассмотрим функцию (h(x)), которую можно представить в виде произведения двух других функций: (h(x)=f(x)cdot g(x)). Найдем её производную из общего алгоритма.
Пусть (triangle x) — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции (h(x)): begin{gather*} triangle h=h(x+triangle x)-h(x)=(f(x+triangle x)cdot g(x+triangle x))-(f(x)cdot g(x)) end{gather*} Приращения каждого из множителей: begin{gather*} triangle f=f(x+triangle x)-f(x)Rightarrow f(x+triangle x)=triangle f+f(x)\ triangle g=g(x+triangle x)-g(x)Rightarrow g(x+triangle x)=triangle g+g(x) end{gather*} Подставим: begin{gather*} triangle h=(triangle f+f(x))cdot (triangle g+g(x))-f(x)cdot g(x)=\ =triangle fcdot triangle g+triangle fcdot g(x)+f(x)cdot triangle g+f(x)cdot g(x)-f(x)cdot g(x)=\ =triangle fcdot triangle g+triangle fcdot g(x)+f(x)cdot triangle g end{gather*} Ищем производную: begin{gather*} h'(x)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle h}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle fcdot triangle g+triangle fcdot g(x)+f(x)cdottriangle g}{triangle x}=\ =lim_{triangle xrightarrow 0}left(frac{triangle f}{triangle x}cdotfrac{triangle g}{triangle x}right)+lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle f}{triangle x}cdot g(x)+f(x)cdotlim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle g}{triangle x}=\ =f'(x)cdot g'(x)cdot 0+f'(x)cdot g(x)+f(x)cdot g'(x)=f'(x)cdot g(x)+f(x)cdot g'(x) end{gather*} Или: (left(f(x)cdot g(x)right)’=f'(x)cdot g(x)+f(x)cdot g'(x))

Производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых:
производная первой функции на вторую плюс первая функция на производную второй: $$ left(f(x)cdot g(x)right)’=f'(x)cdot g(x)+f(x)cdot g'(x) $$

Например:
( (x^2sqrt{x})’=(x^2)’cdotsqrt{x}+x^2cdot (sqrt{x})’=2xsqrt{x}+frac{x^2}{2sqrt{x}}=xsqrt{x}left(2+frac12right)=frac52xsqrt{x} )

п.5. Производная частного двух функций

Рассмотрим функцию (h(x)), которую можно представить в виде частного двух других функций: (h(x)=frac{f(x)}{g(x)}). Найдем её производную из общего алгоритма.
Пусть (triangle x) — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции (h(x)): begin{gather*} triangle h=h(x+triangle x)-h(x)=frac{f(x+triangle x)}{g(x+triangle x)}-frac{f(x)}{g(x)} end{gather*} Приращения каждого из множителей: begin{gather*} triangle f=f(x+triangle x)-f(x)Rightarrow f(x+triangle x)=triangle f+f(x)\ triangle g=g(x+triangle x)-g(x)Rightarrow g(x+triangle x)=triangle g+g(x) end{gather*} Подставим: begin{gather*} triangle h=frac{triangle f+f(x)}{triangle g+g(x)}-frac{f(x)}{g(x)}=frac{triangle fcdot g(x)+f(x)cdot g(x)-f(x)cdot triangle g-f(x)cdot g(x)}{left(triangle g+g(x)right)cdot g(x)}=\ =frac{triangle fcdot g(x)-f(x)cdot triangle g}{left(triangle g+g(x)right)cdot g(x)}=frac{triangle fcdot g(x)-f(x)cdot triangle g}{g(x+triangle x)cdot g(x)} end{gather*} Ищем производную: begin{gather*} h'(x)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle h}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle fcdot g(x)-f(x)cdot triangle g}{triangle xcdot g(x+triangle x)cdot g(x)}=\ =frac{lim_{triangle xrightarrow 0}left(frac{triangle f}{triangle x}cdot g(x)right)-lim_{triangle xrightarrow 0}left(f(x)cdotfrac{triangle g}{triangle x}right)}{g(x+0)cdot g(x)}=frac{f'(x)cdot g(x)-f(x)cdot g'(x)}{g^2(x)} end{gather*} Или: ( left(frac{f(x)}{g(x)}right)’=frac{f'(x)cdot g(x)-f(x)cdot g'(x)}{g^2(x)} )

Производная частного двух функций равна дроби:
в числителе производная первой функции на вторую минус первая функция на производную второй, в знаменателе – квадрат второй функции: $$ left(frac{f(x)}{g(x)}right)’=frac{f'(x)cdot g(x)-f(x)cdot g'(x)}{g^2(x)} $$

Например:
begin{gather*} left(frac{3x+2}{x^2}right)’=frac{(3x+2)’cdot x^2-(3x+2)cdot (x^2)’}{(x^2)^2}=frac{3x^2-(3x+2)cdot 2x}{x^4}=\ =frac{3x^2-6x^2-4x}{x^4}=frac{-3x^2-4x}{x^4}=-frac{x(3x+4)}{x^4}=-frac{3x+4}{x^3} end{gather*}

п.6. Производная степенной функции

Из определения производной мы уже получили производные для квадрата и куба от x: $$ (x^2)’=2x, (x^3)’=3x^2 $$ Пользуясь свойством производной произведения, найдем производные для 4-й и 5-й степени от x: begin{gather*} (x^4)’=(xcdot x^3)’=(x)’cdot x^3+xcdot (x^3)’=1cdot x^3+xcdot 3x^2=4x^3\ (x^5)’=(xcdot x^4)’=(x)’cdot x^4+xcdot (x^4)’=1cdot x^4+xcdot 4x^3=5x^4 end{gather*} Мы видим закономерность, на основании которой можем предположить, что для любой целой степени: $$ (x^n)’=nx^{n-1} $$ Докажем это утверждения с помощью математической индукции (см. §25 справочника для 9 класса).
1) для базы индукции (n=1) производная ((x^1 )’=1cdot x^0=1) – верно
2) допустим, что при некотором n производная ((x^n)’=nx^{n-1}). Найдем ((x^{n+1})’): begin{gather*} (x^{n+1})’=(xcdot x^n)’=(x)’cdot x^n+xcdot (x^n)’=1cdot x^n+xcdot nx^{n-1}=\ =x^n(1+n)=(n+1)x^n end{gather*} т.е. для (x^{n+1}) формула также справедлива. Индуктивный переход выполняется.
Следовательно, по принципу математической индукции производная степенной функции ((x^n)’=nx^{n-1}, forall ninmathbb{N}). Что и требовалось доказать.

Производная степенной функции равна произведению показателя степени на основание в степени на 1 меньше: $$ (x^n)’=nx^{n-1} $$

Например:
begin{gather*} (x^{11})’=11x^{10} end{gather*} В §46 данного справочника будет показано, что выведенная формула справедлива также не только для натуральной, но и для любой действительной степени числа x.

п.7. Примеры

Пример 1. Найдите производную функции:
a) ( f(x)=3x^3-11 ) begin{gather*} f'(x)=(3x^3-11)’=3(x^3)’-(11)’=3cdot 3x^2-0=9x^2 end{gather*}

б) ( f(x)=x^2(1-x^5) ) begin{gather*} f'(x)=(x^2-x^7)’=(x^2)’-(x^7)’=2x-7x^6=x(2-7x^5) end{gather*}

в) ( f(x)=3x^2+5sqrt{x} ) begin{gather*} f'(x)=(3x^2+5sqrt{x})’=3(x^2)’+5(sqrt{x})’=3cdot 2x+frac{5}{2sqrt{x}}=6x+frac{5}{2sqrt{x}} end{gather*}

г) ( f(x)=frac{x+11}{x^3} ) begin{gather*} f'(x)=left(frac{x+11}{x^3}right)’=frac{(x+11)’cdot x^3-(x+11)cdot (x^3)’}{(x^3)^2}=frac{1cdot x^3-2x^2(x+11)}{x^6}=\ =frac{x^3-2x^3-22x^2}{x^6}=frac{-x^3-22x^2}{x^6}=-frac{x^2(x+22)}{x^6}=-frac{x+22}{x^4} end{gather*}

Пример 2. Найдите значение производной в точке (x_0), если:
a) ( f(x)=frac2x, x_0=4 ) begin{gather*} f'(x)=2cdotleft(frac1xright)’=2cdotleft(-frac{1}{x^2}right)=-frac{2}{x^2}\ f'(4)=-frac{2}{4^2}=-frac18 end{gather*}

б) ( f(x)=frac{x+2}{x}, x_0=1 ) begin{gather*} f'(x)=frac{(x+2)’x-(x+2)cdot x’}{x^2}=frac{1cdot x-(x+2)cdot 1}{x^2}=frac{x-x-2}{x^2}=-frac{2}{x^2}\ f'(x)=-frac{2}{1^2}=-2 end{gather*}

в) ( f(x)=frac{sqrt{x}}{x+1}, x_0=1 ) begin{gather*} f'(x)=frac{(sqrt{x})’cdot (x+1)-(sqrt{x})cdot(x+1)’}{(x+1)^2}=frac{frac{x+1}{2sqrt{x}}-sqrt{x}cdot 1}{(x+1)^2}=frac{x+1-2sqrt{x}cdotsqrt{x}cdot 1}{2sqrt{x}(x+1)^2}=\ =frac{x+1-2x}{2sqrt{x}(x_1)^2}=frac{1-x}{2sqrt{x}(x+1)^2}\ f'(4)=frac{1-1}{2cdot 1cdot 2^2}=0 end{gather*}

г) ( f(x)=frac{x^3}{5-x}, x_0=7 ) begin{gather*} f'(x)=frac{(x^3)’cdot (5-x)-x^3cdot (5-x)’}{(5-x)^2}=frac{3x^2cdot (5-x)-x^3cdot (-1)}{(5-x)^2}=\ =frac{15x^2-3x^3+x^3}{(5-x)^2}=frac{15x^2-2x^3}{(5-x)^2}=frac{x^2(15-2x)}{(5-x)^2}\ f'(7)=frac{7^2(15-2cdot 7)}{(5-7)^2}=frac{49}{4}=12frac14 end{gather*}

Пример 3. Решите уравнение (f'(x)=0), если:
a) ( f(x)=x-12x^3 ) begin{gather*} f'(x)=x’-12(x^3)’=1-12cdot 3x^2=1-36x^2 end{gather*} Уравнение: begin{gather*} 1-36x^2=0Rightarrow x^2=frac{1}{36}Rightarrow x=pmsqrt{frac{1}{36}}=pmfrac16 end{gather*} Ответ: (left{pmfrac16right})

б) ( f(x)=-frac25x^5+frac13x^3+12 ) begin{gather*} f'(x)=-frac25cdot 5x^4+frac13cdot 3x^2+0=-2x^4+x^2=x^2(1-2x^2) end{gather*} Уравнение: begin{gather*} x^2(1-2x^2)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ 1-2x^2=0 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ x^2=frac12 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ x=pmfrac{1}{sqrt{2}} end{array} right. end{gather*} Ответ: (left{0;pmfrac{1}{sqrt{2}}right})

Источник