Как найти производную функции от тангенса

Производная тангенса

Определение

Производная тангенса равна единице деленной на квадрат косинуса того же самого аргумента: $$ (tg x)’ = frac{1}{cos^2 x} $$

Данную формулу легко вывести, если знать, что по тригонометрической формуле: $$ tg x = frac{sin x}{cos x} $$

А производные синуса и косинуса:

$$ (sin x)’ = cos x $$ $$ (cos x)’ = -sin x $$

Тогда по правилу производной дроби находим:

$$ (tg x)’ = bigg (frac{sin x}{cos x} bigg )’ = frac{(sin x)’ cdot cos x — sin x cdot (cos x)’}{cos^2 x} = $$

Выполняем упрощение числителя с учетом тождества $ sin^2 x + cos^2 x = 1 $:

$$ = frac{cos x cdot cos x — sin x cdot (-sin x)}{cos^2 x} = frac{cos^2 x + sin^2 x}{cos^2 x} = frac{1}{cos^2 x} $$

Пример 1

Найти производную тангенса сложной функции: $ y = tg 2x $

Решение

Производная тангенса равна отношению единицы и квадрата косинуса одно и того же аргумента. Так как функция сложная, то еще нужно домножить на производную аргумента тангенса: $$ y’ = (tg 2x)’ = frac{1}{cos 2x} cdot (2x)’ = frac{1}{cos 2x} cdot 2 = frac{2}{cos 2x} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ y’ = frac{2}{cos 2x} $$

Пример 2

Чему равна производная от тангенса в квадрате? $ y = tg^2 x $

Решение

Тангенс представлен степенной функцией, поэтому берем производную по правилу $ (x^p)’ = px^{p-1} $, а затем умножаем на производную тангенса: $$ y’ = (tg^2 x)’ = 2tg x cdot (tg x)’ = $$ $$ = 2tg x cdot frac{1}{cos^2 x} = 2frac{tg x}{cos^2 x} = 2 frac{sin x}{cos^3 x} $$

Ответ

$$ y’ = 2frac{sin x}{cos^3 x} $$

Содержание:

• Формула
• Примеры вычисления производной тангенса

Формула

Производная от тангенса равна единице, деленной на косинус в квадрате.

Если под тангенсом находится сложная функция $u=u(x)$,
то производная исходной функции будет равна:

$$(operatorname{tg} u)^{prime}=frac{1}{cos ^{2} u} cdot u^{prime}$$

Примеры вычисления производной тангенса

Читать дальше: производная котангенса (ctgx)’.

Производные тригонометрических функций

1. Производная синуса
2. Производная косинуса
3. Производная тангенса и котангенса
4. Примеры

п.1. Производная синуса

Найдем производную функции (f(x)=sin⁡x) по общему алгоритму.
Пусть (triangle x) — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: begin{gather*} triangle y=f(x+triangle x)-f(x)=sin⁡(x+triangle x)-sin⁡x=\ =2sin⁡frac{x+triangle x-x}{2}cosfrac{x+triangle x+x}{2}=2sinfrac{triangle x}{2}cosfrac{2x+triangle x}{2} end{gather*} Используем первый замечательный предел (см. §39 данного справочника): begin{gather*} lim_{xrightarrow 0}frac{sinx}{x}=1 end{gather*} Ищем производную: begin{gather*} f'(x)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{2sinfrac{triangle x}{2}cosfrac{2x+triangle x}{2}}{triangle x}=underbrace{left(lim_{triangle xrightarrow 0}frac{sinfrac{triangle x}{2}}{frac{triangle x}{2}}right)}_{=1}cdot lim_{triangle xrightarrow 0}cosfrac{2x+triangle x}{2}=\ =1cdot cosfrac{2x+0}{2}=cos x end{gather*} Или: ((sinx)’=cos x)

Для любого действительного x: $$ (sinx)’=cos x $$

Например:
((x^2sinx)’=(x^2)’cdot sinx+x^2cdot (sinx)’=2xsinx+x^2cosx)

п.2. Производная косинуса

Найдем производную функции (f(x)=cos⁡x) по общему алгоритму.
Пусть (triangle x) — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: begin{gather*} triangle y=f(x+triangle x)-f(x)=cos⁡(x+triangle x)-cos⁡x=\ =-2sin⁡frac{x+triangle x-x}{2}sin{x+triangle x+x}{2}=-2sinfrac{triangle x}{2}sinfrac{2x+triangle x}{2} end{gather*} Как и для производной синуса, используем первый замечательный предел. Ищем производную: begin{gather*} f'(x)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{-2sinfrac{triangle x}{2}sinfrac{2x+triangle x}{2}}{triangle x}=underbrace{-left(lim_{triangle xrightarrow 0}frac{sinfrac{triangle x}{2}}{frac{triangle x}{2}}right)}_{=1}cdot lim_{triangle xrightarrow 0}sinfrac{2x+triangle x}{2}=\ =-1cdot sinfrac{2x+0}{2}=-sinx end{gather*} Или: ((cosx)’=-sinx)

Для любого действительного x: $$ (cosx)’=-sinx $$

Например:
((sqrt{x}cosx)’=(sqrt{x})’cdot cosx+sqrt{x}cdot (cosx)’=frac{1}{2sqrt{x}}cosx-sqrt{x}sinx )

п.3. Производная тангенса и котангенса

Производные от тангенса и котангенса найдем с помощью формулы производной частного двух функций (см. §43 данного справочника). begin{gather*} (tgx)’=left(frac{sinx}{cosx}right)’=frac{(sinx)’cosx-sinx(cosx)’}{cos^2x}=\ =frac{cosxcosx-sinx(-sinx)}{cos^2x}=frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}=frac{1}{cos^2x} end{gather*} Аналогично: begin{gather*} (ctgx)’=left(frac{cosx}{sinx}right)’=frac{(cosx)’sinx-cosx(sinx)’}{sin^2x}=\ =frac{sinx(-sinx)-cosxcosx}{sin^2x}=frac{-sin^2x-cos^2x}{sin^2x}=-frac{sin^2x+cos^2x}{sin^2x}=-frac{1}{sin^2x} end{gather*}
Как видно из результатов, производные тангенса и котангенса имеют те же ограничения по ОДЗ, что и сами функции.

begin{gather*} (tgx)’=frac{1}{cos^2x}, xnefracpi 2+pi k\ (ctgx)’=-frac{1}{sin^2x}, xnepi k end{gather*}

Например:
( left(frac{tgx}{x}right)’=frac{(tgx)’cdot x-tgxcdot(x)’}{x^2}=frac{frac{x}{cos^2x}-tgx}{x^2}=frac{x-tgxcdot cos^2x}{x^2cos^2x}=frac{x-sinxcosx}{x^2cos^2x} )

п.4. Примеры

Пример 1. Найдите производную:
a) ( f(x)=2sinx-5x ) begin{gather*} f'(x)=2cdot sin’x-5cdot x’=2cosx-5 end{gather*}

б) ( f(x)=3sqrt{x}ctgx ) begin{gather*} f'(x)=3left((sqrt{x})’cdot ctgx+sqrt{x}(ctgx)’right)=3left(frac{ctgx}{2sqrt{x}}-frac{sqrt{x}}{sin^2x}right) end{gather*}

в) ( f(x)=9cosx-3tgx ) begin{gather*} f'(x)=9cdot cos’x-3cdot tg’x=-9sinx-frac{3}{cos^2x} end{gather*}

г) ( f(x)=frac{2x}{sinx} ) begin{gather*} f'(x)=2frac{(x)’cdot sinx-xcdot sin’x}{sin^2x}=frac{2(sinx-xcosx)}{sin^2x} end{gather*}

Пример 2. Найдите значение производной в данной точке:
a) ( f(x)=sinx+cosx, x_0=fracpi 4 ) begin{gather*} f'(x)=sin’x+cos’x=cosx-sinx\ f'(fracpi 4)=cosfracpi 4-sinfracpi 4=frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2}=0 end{gather*}

б) ( f(x)=tgx-5cosx, x_0=pi ) begin{gather*} f'(x)=tg’x-5cos’x=frac{1}{cos^2x}+5sinx\ f'(pi)=frac{1}{cos^2pi}+5sinpi=1+0=1 end{gather*}

в) ( f(x)=sinxcosx, x_0=frac{pi}{12} ) begin{gather*} f'(x)=sin’xcosx+sinxcos’x=cos^2x-sin^2x=cos2x\ f’left(frac{pi}{12}right)=cosleft(2cdotfrac{pi}{12}right)=cosfracpi 6=frac{sqrt{3}}{2} end{gather*}

г) ( f(x)=frac{x}{cosx}, x_0=pi ) begin{gather*} f'(x)=frac{x’cdot cosx-xcos’x}{cos^2x}=frac{cosx+xsinx}{cos^2x}\ f'(pi)=frac{cospi+pi sinpi}{cos^2pi}=frac{-1+picdot 0}{(-1)^2}=-1 end{gather*}

Пример 3. Решите уравнение:
a) ( y’cdot y+y^2=0), если (y=3cosx)
(y’=3cdot cos’x=-3sinx)
Подставляем: begin{gather*} -3sinxcdot 3cosx+(3cosx)^2=0\ -9sincosx+9cos^2x=0\ 9cosx(cosx-sinx)=0 end{gather*} Уравнение: begin{gather*} left[ begin{array}{l} cosx=0\ cosx-sinx=0 |:cosx end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=fracpi 2+pi k\ 1-tgx=0 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=fracpi 2+pi k\ tgx=1 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=fracpi 2+pi k\ x=fracpi 4+pi k end{array} right. end{gather*} Ответ: (left{fracpi 2+pi k; x=fracpi 4+pi kright})

б) ( (y’)^2+y^2=1), если (y=1-cosx)
(y’=1′-cos’x=0+sinx=sinx)
Подставляем: begin{gather*} sin^2x+(1-cosx)^2=1\ sin^2x+1-2cosx+cos^2x=1\ 1-2cosx=0\ cosx=frac12\ x=pmfracpi 3+2pi k end{gather*} Ответ: (left{pmfracpi 3+2pi kright})

Рейтинг пользователей

Что такое производная тангенса

Производная тангенса рассчитывается, как отношение единицы к квадрату косинуса аналогичного аргумента.

Формула для данного определения будет записана, таким образом:

((tg x)’ = frac{1}{cos^2 x})

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Вывод данной закономерности достаточно просто представить, зная смысл тригонометрического уравнения следующего порядка:

(tg x = frac{sin x}{cos x})

Производные геометрических определений синуса и косинуса соответствуют значениям:

((sin x)’ = cos x)

((cos x)’ = -sin x)

Исходя из правила производной дроби, можно определить, что:

((tg x)’ = bigg (frac{sin x}{cos x} bigg )’ = frac{(sin x)’ cdot cos x — sin x cdot (cos x)’}{cos^2 x})

Следует принять во внимание тождество:

(sin^2 x + cos^2 x = 1)

Далее можно упростить числитель с учетом вышеуказанного уравнения:

(frac{cos x cdot cos x — sin x cdot (-sin x)}{cos^2 x} = frac{cos^2 x + sin^2 x}{cos^2 x} = frac{1}{cos^2 x})

Таким образом, записано доказательство определения.

Производная от тангенса в квадрате

Сформулируем выражение производной тангенса угла, обратного котангенсу:

(tan ^{2}(x))

Выполним замену:

(u=tan (x))

Исходя из составного правила, применим: (u ^{2}) получим (2u) 

Далее, руководствуясь правилами, выполним умножение на выражение:

(frac{d}{dx}tan (x))

Вычислим производную:

(frac{d}{dx}tan (x)=frac{1}{cos^2 (x)})

(frac{2 tan (x)}{cos^2( x)} (sin ^{2}(x)+cos ^{2}(x)))

Можно упростить полученное выражение и записать ответ:

(frac{2 tan (x)}{cos^2( x)})

Производная от тангенса в кубе

Запишем выражение:

(tan ^{3}(x))

Первая производная степени будет записана таким образом:

((3tan ^{2}(x)+3) tan ^{2}(x))

Выполним замену:

(u=tan(x))

Исходя из правила, применим: (u ^{3}) получим (3u^{2})

Действие, обратное возведению числа в степень, является извлечением корня.

Далее, руководствуясь правилами, выполним умножение на выражение:

(frac{d}{dx}tan (x))

Плюс нужно переписать функции, чтобы выполнить дифференцирование:

(tan (x)=frac{sin (x)}{cos(x)})

Согласно правилу производной частного:

(frac{d}{dx}frac{f(x)}{g(x)}=frac{-f(x)frac{d}{dx}g(x)+g(x)frac{d}{dx}f(x)}{g^{2}(x)})

Учитывая, что:

(f(x)= sin (x))

(g(x)= cos(x))

С целью определения (frac{d}{dx} f(x)) необходимо записать, что производная синуса равна косинусу:

(frac{d}{dx} sin (x)= cos(x))

Найти (frac{d}{dx} g(x)) можно, если вспомнить, что производная косинуса является отрицательным синусом:

(frac{d}{dx} cos(x) = -sin (x))

Далее следует использовать правило производной деления:

(frac{sin ^{2}(x)+cos ^{2}(x)}{cos^{2}(x)})

С помощью применения последовательности правил можно записать уравнение:

(frac{3(sin ^{2}(x)+cos ^{2}(x))tan ^{2}(x)}{cos^{2}(x)})

После упрощения получим ответ:

(frac{3tan ^{2}(x)}{cos^{2}(x)})

Примеры решения задач по теме «Производная тангенса»

Необходимо определить производную тангенса этой функции.

Решение:

Учитывая, что по определению производная тангенса представляет собой единицу, деленную на косинус в квадрате одного и того же аргумента. В связи с тем, что в условии записана сложная функция, следует дополнительно выполнить умножение на производную аргумента тангенса. В результате получим выражение:(y’ = (tg 2x)’ = frac{1}{cos 2x} cdot (2x)’ = frac{1}{cos 2x} cdot 2 = frac{2}{cos 2x}

).

Ответ: (y’ = frac{2}{cos 2x})

Решение:

Тангенс в данном случае представляет собой степенную функцию. Исходя из этого условия, следует взять производную по правилу:

((x^p)’ = px^{p-1})

Далее можно умножить выражение на производную тангенса:(y’ = (tg^2 x)’ = 2tg x cdot (tg x)’ =2tg x cdot frac{1}{cos^2 x} = 2frac{tg x}{cos^2 x} = 2 frac{sinx}{cos^3 x}

).

Ответ: (y’ = 2frac{sin x}{cos^3 x})