Как найти производную функции по константе - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

$begingroup$

Suppose I have $f(x) = 5x$.

I know that $frac{d f(x)}{dx} = 5$.

But what is $frac{d f(x)}{d 5}$ , the derivative of the function $f$ with respect to the constant 5?

The reason I ask is that I’m implementing software that computes auto-differentiation (a la TensorFlow). I want to know if I can treat a constant like a variable (as above) or if I have to do something else. This Stanford deep learning class webpage is what I’m referring to:

$$
f(x) = c+x \
f_a(x) = ax
$$
Where the functions $f_c$, $f_a$ translate the input by a constant of $c$ and scale the input by a constant of $a$, respectively. These are technically special cases of addition and multiplication, but we introduce them as (new) unary gates here since we do not need the gradients for the constants $c$, $a$.

That above statement implies that you could compute the derivative w.r.t. a constant, but they chose not to.

This post did not answer my question:
derivative with respect to constant.

Thanks.

asked Apr 17, 2021 at 20:17

$endgroup$

$begingroup$

The derivative of a constant with respect to a variable is $0$, but the derivative of a function with respect to a constant, as Fra mentioned in the comments, is ill defined.

EDIT

The question has been updated. The link provided in the question discusses functions

$$f_c(x) = c + x $$
and
$$f_a(x) = ax$$

The link also indicates their derivatives are:

$$frac{df}{dx}=1$$
and
$$frac{df}{dx}=a$$
respectively, as expected.

These derivatives are still with respect to $x$, not constants $c$ or $a$. The confusion might have arisen since letter $c$ in $f_c(x)$ might have given the impression that this is a function with respect to $c$, which is not the case. Same argument applies for $f_a(x)$.

answered Apr 17, 2021 at 20:40

JoshJosh

1,0463 silver badges15 bronze badges

$endgroup$

$begingroup$

It help to know about the Derivation operator that satisfies
$$ D_t[u+v] = D_t[u]+D_t[v],quad D_t[u,v] = D_t[u],v + u,D_t[v].tag{1} $$
For example, use equation $(1)$ to get
$$ D_t[m,x+b] = D_t[m],x + m D_t[x] + D_t[b].tag{2} $$
You asked

I want to know if I can treat a constant like a variable

In the context of symbolic differentiation the answer is yes
with $,D_t,,$ and if you want to assume laterthat some
symbol $,c,$ is a constant, you just set $,D_t[c] = 0.,$

Mathematica has a function Dt which implements the total differential.

answered Apr 17, 2021 at 21:12

SomosSomos

32.4k3 gold badges29 silver badges70 bronze badges

$endgroup$

$begingroup$

A derivative is defined by a limit
begin{equation}
frac{df}{dx}(x_0)=lim_{xrightarrow x_0}frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
end{equation}
and that means how $f$ changes when $x$ changes if $x$ is constant, then $x$ never changes so we can interpret $f$ never changes but this has not sense. Anothe way (matemathecally) that limit does not exist because the limit at the denominator is $0$ $forall x$.

answered Apr 17, 2021 at 20:35

Don P.Don P.

1817 bronze badges

$endgroup$

$begingroup$

In the context of computation graphs used for auto-differentiation (like in TensorFlow) for neural network back-propagation, constants (e.g. 5) can be treated like an input variable.

In the case of the original example,

$$
f(x) = 5x
$$
Then
$$
frac{d f(x)}{d 5} = x
$$

Note that in practice, while $frac{d f(x)}{d 5}$ is computable, you would never need the result because the point of autodifferentiation for backpropagation is to update weight variables.

answered Apr 19, 2021 at 22:24

$endgroup$

You must log in to answer this question.

Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged

.

Источник

Содержание:

Формула
Примеры вычисления производной константы

Формула

Производная константы равна нулю.

Напомним, что константой называется постоянная, неизменяющаяся величина. Примером констант есть, например, число 2, число
$Pi$ и т.д., и т.п.

Примеры вычисления производной константы

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=e^2$

Решение. Так как выражение функции не зависит от переменой
$x$, то оно является константой, то есть заданная функция
принимает одно и тоже значение при различных значениях переменной, а тогда производная от нее равна нулю:

$$y^{prime}(x)=left(e^{2}right)^{prime}=0$$

Ответ. $y^{prime}(x)=0$

Пример

Задание. Вычислить производную функции $y(x)=x^{2}-ln 2$

Решение. Производная от разности функций равна разности производных:

$$y^{prime}(x)=left(x^{2}-ln 2right)^{prime}=left(x^{2}right)^{prime}-(ln 2)^{prime}$$

Производную от первого слагаемого берем как
производную от степенной функции, а второе слагаемое является константой (не зависит от
переменной $x$ ), а поэтому производная от него равна нулю:

$$y^{prime}(x)=2 cdot x^{2-1}-0=2 x^{1}=2 x$$

Ответ. $y^{prime}(x)=2 x$

Читать дальше: производная икс (x)’.

Источник

урок 3. Математика ЕГЭ

Как найти производную от функции

Как считать производные?

Никто не использует определение производной, чтобы ее вычислить. Как же тогда ее посчитать?

Оказывается, существуют специальные формулы, с помощью которых производная от функции вычисляется достаточно просто.

Формулы производной

Выпишем теперь все формулы производной функции и порешаем примеры.

Производная от константы
Производная от любого числа всегда равна (0):
$$(const)^{/}=0;$$

Пример 1
$$(5)^{/}=0;$$

Производная от (x)
Производная просто от (x) равна (1):
$$x^{/}=1;$$

Производная от степени
$$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$
Пример 2
$$(x^4)^{/}=4*x^{4-1}=4*x^{3};$$
$$(x^{10})^{/}=10*x^{10-1}=10*x^{9};$$
$$(x^{-3})^{/}=-3*x^{-3-1}=-3*x^{-4};$$
$$(x^{frac{1}{3}})^{/}=frac{1}{3}*x^{1-frac{1}{3}}=frac{1}{3}*x^{frac{2}{3}};$$

Производная от квадратного корня
$$(sqrt{x})^{/}=frac{1}{2sqrt{x}};$$
Тут полезно заметить, что формулу производной от квадратного корня можно не учить. Она сводится к формуле производной от степени:
$$(sqrt{x})^{/}=(x^{frac{1}{2}})^{/}=frac{1}{2}*x^{frac{1}{2}-1}=frac{1}{2}*x^{-frac{1}{2}}=frac{1}{2sqrt{x}};$$

Производная от синуса
$$sin(x)^{/}=cos(x);$$

Производная от косинуса
$$cos(x)^{/}=-sin(x);$$

Производная от тангенса
$$tg(x)^{/}=frac{1}{cos^{2}(x)};$$

Производная от котангенса
$$tg(x)^{/}=frac{-1}{sin^{2}(x)};$$

Производная от экспоненты
$$(e^x)^{/}=e^x;$$

Производная от показательной функции
$$(a^x)^{/}=a^x*ln(a);$$
Пример 3
$$(2^x)^{/}=2^{x}*ln(2);$$

Производная от натурального логарифма
$$(ln(x))^{/}=frac{1}{x};$$

Производная от логарифма
$$(log_{a}(x))^{/}=frac{1}{x*ln(a)};$$

Свойства производной

Помимо формул по вычислению производной еще есть свойства производной, их тоже надо выучить.

Вынесение константы за знак производной
$$(alpha*f(x))^{/}=alpha*(f(x))^{/};$$

Пример 4
$$(3*x^5)^{/}=3*(x^5)^{/}=3*5x^4=15x^4;$$
$$(10sin(x))^{/}==10*(sin(x))^{/}=10*cos(x);$$

Производная от суммы и разности двух функций
$$(f(x) pm g(x))^{/}=(f(x))^{/} pm (g(x))^{/};$$

Пример 5
$$(2x^4+x^3)^{/}=?$$
Тут (f(x)=2x^4), а (g(x)=x^3). Тогда по формуле производной от суммы:
$$(2x^4+x^3)^{/}=(2x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*(x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*4x^3+3x^2=8x^3+3x^2;$$

Пример 6
$$(ln(x)+cos(x))^{/}=(ln(x))^{/}+(cos(x))^{/}=frac{1}{x}-sin(x);$$

Пример 7
$$(x^6-e^x)^{/}=(x^6)^{/}-(e^x)^{/}=6x^5-e^x;$$

Производная от произведения двух функций
$$(f(x)*g(x))^{/}=(f(x))^{/}*g(x)+f(x)*(g(x))^{/};$$

Пример 8
$$(x^2*sin(x))^{/}=?$$
$$(x^2*sin(x))^{/}=(x^2)^{/}*sin(x)+x^2*(sin(x))^{/}=2x*sin(x)+x^2*cos(x);$$

Пример 9
$$(ln(x)*e^x)^{/}=(ln(x))^{/}*e^x+ln(x)*(e^x)^{/}=frac{1}{x}*e^x+ln(x)*e^x;$$

Производная от частного двух функций
$$left(frac{f(x)}{g(x)}right)^{/}=frac{(f(x))^{/}*g(x)-f(x)*(g(x))^{/}}{(g(x))^2};$$

Пример 10
$$left(frac{x^3}{sin(x)}right)^{/}=frac{(x^3)^{/}*sin(x)-x^3*(sin(x))^{/}}{(sin(x))^2}=frac{3x^2*sin(x)-x^3*cos(x)}{(sin(x))^2};$$

Примеры нахождения производной

Рассмотрим несколько примеров нахождения производной, чтобы разобраться, как применяются свойства и формулы производной на практике.

Пример 11
$$(5x^3+2cos(x))^{/}=(5x^3)^{/}+(2cos(x))^{/}=$$
$$=5*(x^3)^{/}+2*(cos(x))^{/}=5*3*x^2+2*(-sin(x))=15x^2-2sin(x);$$

Пример 12
$$left(-frac{3x^2}{2x^4+5x}right)^{/}=-frac{(3x^2)^{/}*(2x^4+5x)-3x^2*(2x^4+5x)^{/}}{(2x^4+5x)^2}=$$
$$=-frac{6x*(2x^4+5x)-3x^2*(8x+5)}{(2x^4+5x)^2}=-frac{12x^5-24x^3+15x^2}{(2x^4+5x)^2};$$

Пример 13
$$(2xsqrt{x})^{/}=(2x)^{/}*sqrt{x}+2x*(sqrt{x})^{/}=$$
$$=2*sqrt{x}+2x*frac{1}{2sqrt{x}}=2*sqrt{x}+frac{2x}{2sqrt{x}}=2*sqrt{x}+sqrt{x}=3sqrt{x};$$

Производная сложной функции

Сложная функция — это функция не от аргумента (x), а от какой-то другой функции: (f(g(x))). Например, функция (sin(x^2)) будет сложной функцией: «внешняя» функция синуса берется от «внутренней» функции степени ((x^2)). Так как под синусом стоит аргумент не (x), а (x^2), то такая функция будет называться сложной.
Еще примеры сложных функций:

$$ln(3x^4);$$
Внешняя функция: натуральный логарифм; Внутренняя функция: ((3x^4)).
$$cos(ln(x));$$
Внешняя функция: косинус; Внутренняя функция: ((ln(x))).
$$e^{2x^2+3};$$
Внешняя функция: экспонента; Внутренняя функция: ((2x^2+3)).
$$(sin(x))^3;$$
Внешняя функция: возведение в третью степень; Внутренняя функция: (sin(x)).

Чтобы посчитать производную от такой функции, нужно сначала найти производную внешней функции, а затем умножить результат на производную внутренней функции. В общем виде формула выглядит так:
$$f(g(x))^{/}=f^{/}(g(x))*g^{/}(x);$$
Скорее всего, выглядит непонятно, поэтому давайте разберем на примерах.

Пример 14
$$((cos(x))^4)^{/}=?$$
Внешней функцией тут будет возведение в четвертую степень, поэтому сначала считаем производную от степени по формуле ((x^n)^{/}=n*x^{n-1}). А потом умножаем результат на производную внутренней функции, у нас это функция косинуса, по формуле (cos(x)^{/}=-sin(x)):
$$((cos(x))^4)^{/}=underset{text{внешняя производная}}{underbrace{4*(cos(x))^3}}*underset{text{внутренняя производная}}{underbrace{(cos(x))^{/}}}=$$
$$=4*(cos(x))^3*(-sin(x))=-4*(cos(x))^3*sin(x);$$

Пример 15
$$(e^{2x^3+5})^{/}=?$$
Внешняя функция — это экспонента ((e^x)^{/}=e^x), а внутренняя функция — квадратный многочлен ((2x^3+5)):
$$(e^{2x^3+5})^{/}=e^{2x^3+5}*(2x^3+5)^{/}=e^{2x^3+5}*((2x^3)^{/}+5^{/})=e^{2x^3+5}*6x^2.$$

Пример 16
$$(ln((2x^2+3)^6))^{/}=?$$
Внешняя функция — это натуральной логарифм, берем производную от него по формуле ((ln(x))^{/}=frac{1}{x}), и умножаем на производную внутренней функции, у нас это шестая степень: ((x^n)^{/}=n*x^{n-1}). Но и на этом еще не все: под шестой степенью стоит не просто (x), а квадратный многочлен, значит еще нужно умножить на производную от этого квадратного многочлена:
$$ln((2x^2+3)^6)=frac{1}{(2x^2+3)^6}*((2x^2+3)^6)^{/}*(2x^2+3)^{/}=$$
$$=frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*(4x+0)=frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*4x=$$
$$=frac{6*(2x^2+3)^5*4x}{(2x^2+3)^6}=frac{24x*(2x^2+3)^5}{(2x^2+3)^6}=frac{24x}{(2x^2+3)^6}.$$

Вывод формул производной функции

Выведем некоторые из этих формул, чтобы было понимание, откуда они берутся. Но перед этим познакомимся с новыми обозначениями. Запись (f(x)) означает, что функция берется от аргумента (x). Например:
$$f(x)=x^3+sin(x);$$
На месте аргумента (x) может стоять все что угодно, например выражение (2x+3). Обозначение такой функции будет (f(2x+3)), а сама функция примет вид:
$$f(2x+3)=(2x+3)^3+sin(2x+3);$$
То есть, везде вместо аргумента (x) мы пишем (2x+3).

И несколько важных замечаний про (Delta f(x)) и (Delta x). Напомню, что значок (Delta) означает изменение некоторой величины. (Delta x) — изменения координаты (x) при переходе от одной точки на графике функции к другой; (Delta f(x)) — разница координат (y) между двумя точками на графике. Подробнее про это можно почитать в главе, где мы вводим понятие производной. Распишем (Delta x) для двух близких точек на графике функции (O) и (B):
$$Delta x=x_B-x_O;$$
Отсюда можно выразить (x_B):
$$x_B=x_O+Delta x;$$
Абсцисса (координата точки по оси (x)) точки (B) получается путем сложения абсциссы точки (O) и (Delta x).

Кстати, функцию (f(x)=x^3+sin(x)) от аргумента (x_B=x_O+Delta x) можно расписать:

$$f(x_B)=f(x_O+Delta x)=(x_O+Delta x)^3+sin(x_O+Delta x);$$

Рис.1. График произвольной функции

И распишем (Delta f):
$$Delta f(x)=f(x_B)-f(x_O)=f(x_O+Delta x)-f(x_O);$$
Тогда определение производной можно записать в виде:
$$f^{/}(x)=frac{Delta f(x)}{Delta x}=frac{f(x_O+Delta x)-f(x_O)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$

За (x_O) обычно обозначают точку, в окрестности которой берут производную. То есть, получается (x_O) — это абсцисса начальной точки, а (x_O+Delta x) — абсцисса конечной точки.

Нам это пригодится при выводе формул производной.

Производная квадратичной функции

Выведем теперь формулу производной от (f(x)=x^2), воспользовавшись определением производной:
$$f^{/}(x)=frac{Delta f(x)}{Delta x}=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
Распишем числитель (f(x+Delta x)-f(x)) с учетом, что (f(x)=x^2):
$$f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^2-x^2=x^2+2xDelta x+(Delta x)^2-x^2=2xDelta x+(Delta x)^2;$$
Подставим в определение производной:
$$f^{/}(x)=frac{2xDelta x+(Delta x)^2}{Delta x}=frac{Delta x*(2x+Delta x)}{Delta x}=2x+Delta x;$$
Напоминаю, что (Delta x) это бесконечно малая величина:
$$(Delta x)^2 ll 0;$$
Поэтому этим слагаемым можно пренебречь. Вот мы и получили формулу для производной от квадратной функции:
$$f^{/}(x)=(x^2)^{/}=2x;$$

Производная от третьей степени

Аналогичные рассуждения можно провести для функции третьей степени:
$$f(x)=x^3;$$
Воспользуемся определением производной:
$$f^{/}(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
$$f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^3-x^3=(x+Delta x-x)((x+Delta x)^2+(x+Delta x)*x+x^2)=$$
$$=Delta x*(x^2+2x*Delta x+(Delta x)^2+x^2+x*Delta x+x^2)=Delta x*(3x^2+3xDelta x);$$
$$f^{/}(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}=frac{Delta x*(3x^2+3xDelta x)}{Delta x}=3x^2+3xDelta x;$$
Так как при умножении на бесконечно малую величину получается бесконечно малая величина, то слагаемым (3xDelta x) можно пренебречь:
$$f^{/}(x)=(x^3)^{/}=3x^2;$$
Точно таким же способом можно вывести формулы производных для любых степеней:
$$(x^4)^{/}=4x^3;$$
$$(x^5)^{/}=5x^4;$$
$$…$$
$$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$
Кстати, эта формула справедлива и для дробных степеней.

Вывод остальных формул делается похожим образом, только там может понадобиться знание пределов. Вывод всех формул разбирается в университетском курсе математического анализа.

Что такое производная функции простыми словами? Для чего нужна производная? Определение производной

Как решать задания №7 из ЕГЭ по математике. Анализ графиков при помощи производной. Графики производной и графики функции

Исследуем функцию с помощью производной. Находим точки минимума и максимума, наибольшее и наименьшее значение функции. Точки экстремума. Промежутки возрастания и убывания.

Связь коэффициента наклона и тангенса угла наклона касательной к функции и производной функции в точке касания. Задание №7 в ЕГЭ по математике.

Источник

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Производная функции

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Производную приходится находить в ряде задач курса математического анализа. Например, при отыскании точек экстремума и перегиба графика функции.

Как найти?

Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования:

Вынос константы за знак производной: $$ (Cu)’ = C(u)’ $$
Производная суммы/разности функций: $$ (u pm v)’ = (u)’ pm (v)’ $$
Производная произведения двух функций: $$ (u cdot v)’ = u’v + uv’ $$
Производная дроби: $$ bigg (frac{u}{v} bigg )’ = frac{u’v — uv’}{v^2} $$
Производная сложной функции: $$ ( f(g(x)) )’ = f'(g(x)) cdot g'(x) $$

Примеры решения

Пример 1

Найти производную функции $ y = x^3 — 2x^2 + 7x — 1 $

Решение

Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных:

$$ y’ = (x^3 — 2x^2 + 7x — 1)’ = (x^3)’ — (2x^2)’ + (7x)’ — (1)’ = $$

Используя правило производной степенной функции $ (x^p)’ = px^{p-1} $ имеем:

$$ y’ = 3x^{3-1} — 2 cdot 2 x^{2-1} + 7 — 0 = 3x^2 — 4x + 7 $$

Так же было учтено, что производная от константы равна нулю.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ y’ = 3x^2 — 4x + 7 $$

Пример 2

Найти производную функции $ y = sin x — ln 3x $

Решение

По правилу производной разности:

$$ y’ = (sin x — ln 3x)’ = (sin x)’ — (ln 3x)’ = $$

По таблице интегрирования находим:

$$ (sin x)’ = cos x $$ $$ (ln x)’ = frac{1}{x} $$

С учетом того, что аргумент натурального логарифма отличен от $ x $, то нужно домножить ещё на производную самого аргумента:

$$ y’ = (sin x)’ — (ln 3x)’ = cos x — frac{1}{3x} cdot (3x)’ = $$

После упрощения получаем:

$$ = cos x — frac{1}{3x} cdot 3 = cos x — frac{1}{x} $$

Ответ

$$ y’ = cos x — frac{1}{x} $$

Пример 3

Найти производную функции $ y = (3x-1) cdot 5^x $

Решение

В данном примере стоит произведение двух функций, а производная произведения находится по формуле номер 3: $$ (u cdot v)’ = u’v + uv’ $$

$$ y’ = ( (3x-1) cdot 5^x )’ = (3x-1)’ 5^x + (3x-1) (5^x)’ = $$

Производная первой функции вычисляется как разность фунций:

$$ (3x-1)’ = (3x)’ — (1)’ = 3(x)’ — (1)’ = 3 $$

Вторая функция является показательной, производная которой находится по формуле: $ (a^x)’ = a^x ln a $: $$ (5^x)’ = 5^x ln 5 $$

Продолжаем решение с учетом найденных производных:

$$ y’ = (3x-1)’ 5^x + (3x-1) (5^x)’ = 3 cdot 5^x + (3x-1) 5^x ln 5 $$

Ответ

$$ y’ = 3cdot 5^x + (3x-1) 5^x ln 5 $$

Пример 4

Найти производную функции $ y = frac{ln x}{sqrt{x}} $

Решение

Производную дроби найдем по четвертой формуле. Положим $ u = ln x $ и $ v = sqrt{x} $. Тогда их производные по таблице основных элементарных функций равны:

$$ u’ = (ln x)’ = frac{1}{x} $$ $$ v’ = (sqrt{x})’ = frac{1}{2sqrt{x}} $$

Используя формулу №4 получаем:

$$ y’ = bigg ( frac{ln x}{sqrt{x}} bigg )’ = frac{ frac{1}{x} cdot sqrt{x} — ln x cdot frac{1}{2sqrt{x}} }{x} = $$

Выносим множитель $ frac{1}{2sqrt{x}} $ в числителе за скобку:

$$ y’ = frac{2-ln x}{2xsqrt{x}} $$

Ответ

$$ y’ = frac{2-ln x}{2xsqrt{x}} $$

Пример 5

Найти производную функции $ y = ln sin 3x $

Решение

Данная функция является сложной, потому производную будем брать по цепочке. Сначала от внешней функции, затем от внутренней. При этом выполняя их перемножение.

$$ y’ = (ln sin 3x )’ = frac{1}{sin 3x} cdot (sin 3x)’ = $$

Заметим, что аргумент синуса отличен от $ x $, поэтому тоже является сложной функцией:

$$ = frac{1}{sin 3x} cdot cos 3x cdot (3x)’ = frac{1}{sin 3x} cdot cos 3x cdot 3 $$

Учитывая определение котангенса $ ctg x = frac{cos 3x}{sin 3x} $ перепишем полученную производную в удобном компактном виде:

$$ y’ = 3ctg 3x $$

Ответ

$$ y’ = 3ctg 3x $$

Источник

Производная константы всегда равна нулю . Постоянное правило гласит, что если f (x) = c, то f ‘(c) = 0, учитывая, что c является константой. В обозначениях Лейбница мы запишем это правило дифференцирования следующим образом:

d / dx (c) = 0

Постоянная функция — это функция, тогда как ее y не изменяется для переменной x. С точки зрения непрофессионала, постоянные функции — это функции, которые не двигаются. В основном это числа. Считайте константы переменной, возведенной в степень нуля. Например, постоянное число 5 может быть 5×0, а его производная по-прежнему равна нулю.

Производная постоянной функции — одно из самых простых и простых правил дифференциации, которое должны знать студенты. Это правило дифференциации, производное от правила мощности, которое служит кратчайшим путем к нахождению производной любой постоянной функции и обходу пределов решения. Правило дифференцирования постоянных функций и уравнений называется постоянным правилом.

Постоянное правило — это правило дифференцирования, которое имеет дело с постоянными функциями или уравнениями, даже если это π, число Эйлера, функции квадратного корня и многое другое. При построении графика постоянной функции результатом является горизонтальная линия. Горизонтальная линия предполагает постоянный наклон, что означает отсутствие скорости изменения и наклона. Это предполагает, что для любой заданной точки постоянной функции наклон всегда равен нулю.

Производная от константы

Джон Рэй Куэвас

Почему производная от постоянного нуля?

Вы когда-нибудь задумывались, почему производная константы равна 0?

Мы знаем, что dy / dx является производной функцией, и это также означает, что значения y меняются для значений x. Следовательно, y зависит от значений x. Производная означает предел отношения изменения в функции к соответствующему изменению в ее независимой переменной, когда последнее изменение приближается к нулю.

Константа остается постоянной независимо от любого изменения любой переменной в функции. Константа всегда является константой, и она не зависит от любых других значений, существующих в конкретном уравнении.

Производная константы происходит из определения производной.

f ′ (x) = lim h → 0 / h

f ′ (x) = lim h → 0 (c − c) / h

Какая производная 2 ^x ?

Ответ

Перепишите 2 в формат, содержащий число Эйлера e.

2 ^x = ( e ln (2)) ^x ln (2)

2 _х = 2 ^х ln (2)

Следовательно, производная 2 ^x равна 2 ^x ln (2).

Пример 12: Производная константы в степени X

Джон Рэй Куэвас

Пример 13: Производная функции квадратного корня

Найдите производную y = √81.

Ответ

Данное уравнение является функцией квадратного корня √81. Помните, что квадратный корень — это число, умноженное на него, чтобы получить результат. В данном случае √81 равно 9. Полученное число 9 называется квадратом квадратного корня.

Согласно правилу констант, производная целого числа равна нулю. Следовательно, f ‘(√81) равно 0.

Пример 13: Производная функции квадратного корня

Джон Рэй Куэвас

Пример 14: Производная тригонометрической функции

Извлеките производную тригонометрического уравнения y = sin (75 °).

Ответ

Тригонометрическое уравнение sin (75 °) представляет собой форму sin (x), где x — это любая величина угла в градусах или радианах. Если получить числовое значение sin (75 °), получится 0,969. Учитывая, что sin (75 °) равен 0,969. Следовательно, его производная равна нулю.

Пример 14: Производная тригонометрической функции

Джон Рэй Куэвас

Пример 15: Производная суммирования

Учитывая суммирование ∑ _{x = 1} ¹⁰ (x ²)

Ответ

Данное суммирование имеет числовое значение, равное 385. Таким образом, данное уравнение суммирования является константой. Поскольку это константа, y ‘= 0.

Пример 15: Производная суммирования

Джон Рэй Куэвас

Изучите другие статьи по исчислению

Решение проблем связанных ставок в исчислении
Научитесь решать различные виды задач связанных ставок в исчислении. Эта статья представляет собой полное руководство, которое показывает пошаговую процедуру решения проблем, связанных со связанными / связанными ставками.
Предельные законы и оценка пределов
Эта статья поможет вам научиться оценивать пределы, решая различные задачи в исчислении, которые требуют применения предельных законов.

Источник

You must log in to answer this question.

Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged .

Формула

Примеры вычисления производной константы

Как найти производную от функции

Как считать производные?

Формулы производной

Свойства производной

Примеры нахождения производной

Производная сложной функции

Вывод формул производной функции

Производная квадратичной функции

Производная от третьей степени

Производная функции

Как найти?

Примеры решения

Почему производная от постоянного нуля?

Пример 1: Производная постоянного уравнения

Пример 2: Производная постоянного уравнения F (X)

Пример 3: Производная постоянной функции T (X)

Пример 4: Производная постоянной функции G (X)

Пример 5: Производная от нуля

Пример 6: Производная от Пи

Пример 7: Производная дроби с постоянным числом Пи

Пример 8: Производная числа Эйлера «e»

Пример 9: Производная дроби

Пример 10: Производная отрицательной константы

Пример 11: производная от константы до степени

Пример 12: Производная константы в степени X

Пример 13: Производная функции квадратного корня

Пример 14: Производная тригонометрической функции

Пример 15: Производная суммирования

Изучите другие статьи по исчислению

Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged

.