Как найти производную функции примеры с решениями - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Простое объяснение принципов решения производных и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения производных

Производная функции есть предел отношения приращения этой функции к приращению её аргумента при стремлении последнего к нулю, при условии существования данного предела.

Для вычисления производных вам потребуется таблица производных. Кроме того, существуют формулы для нахождения сложных производных.

Процесс нахождения производный называется дифференцированием.

Таблица простых производных

Формулы сложных производных

– производная суммы (разницы).

– производная произведения.

$(frac{u(x)}{v(x)})' = frac{u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)}{v^2(x)}$ – производная частного.

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Примеры решений производных

Задача

Найти производную функции

Решение

Заданная функция является сложной и её производная равна произведению производной от косинуса на производную от его аргумента:

Ответ

Задание

Найти производную функции

Решение

Обозначим , где . Тогда, согласно правила вычисления производной сложной функции, получим:

Ответ

Задача

Найти производную функции при .

Решение

$y' = x^{frac{1}{2}} = frac{1}{2}x^{frac{1}{2}-1} = frac{1}{2}x^{-frac{1}{2}} = frac{1}{2sqrt{x}}$ .
$y'(4) = frac{1}{2sqrt{4}} = frac{1}{4}$ .

Ответ

$y'(4) = frac{1}{4}$ .

Задача

Найти производную функции .

Решение

.
После приведения подобных членов получаем:
.

Ответ

y’=x^3·cos(x)+6·x·cos(x)-6·cos(x)+6·sin(x).

Задача

Найти производную функции $y = sqrt{{sin}^2 x + 3{cos}^3 4x}$ .

Решение

В этом примере квадратный корень извлекается из суммы ${sin}^2 x + 3{cos}^3 4x$ . Поэтому сначала вычисляем производную от квадратного корня, а затем умножаем ее на производную от подкоренного выражения:
$y' = frac{1}{2sqrt{{sin}^2 x + 3{cos}^3 4x}}[2sin xcos x + 3cdot3{cos}^2 4xcdot(-sin 4x)cdot4]$ .

Ответ

$y' = frac{1}{2sqrt{{sin}^2 x + 3{cos}^3 4x}}[2sin xcos x + 3cdot3{cos}^2 4xcdot(-sin 4x)cdot4]$ .

Задача

Найти производную функции $y = frac{3cosec x - 2sin x}{5{cos}^5 x} - frac{16}{5}ctg{2x}$ .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
$(frac{3cosec x - 2sin x}{5{cos}^5 x})' = frac{1}{5}frac{(3cosec x - 2sin x)'{cos}^5 x - ({cos}^5 x)'(3cosec x - 2sin x)}{{cos}^{10} x} =$
$frac{(-3cosec xctg x - 2cos x)cdot{cos}^5 x - (-5{cos}^4 x)sin x)cdot(3cosec-2sin x)}{{cos}^{10} x}$ .
Применяя правила дифференцирования котангенса, получаем:
$(frac{16}{5}ctg{2x})' = -frac{16}{5}(-frac{1}{{sin}^2 2x}cdot2) = frac{32}{5}frac{1}{{sin}^2 2x}$ .
Учитывая, что $cosec x = frac{1}{sin x}$ и $ctg x = frac{cos x}{sin x}$ , после упрощения получим:
$y' = frac{1}{{sin}^2 xcdot{cos}^6 x}$ .

Ответ

$y' = frac{1}{{sin}^2 xcdot{cos}^6 x}$ .

Задача

Найти производную функции $y = frac{a^2 - x^2}{a^2 + x^2}, a = const$ .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
$y' = frac{(a^2 - x^2)'(a^2 + x^2) - (a^2 + x^2)'(a^2 - x^2)}{(a^2 + x^2)^2} = frac{-2x(a^2 + x^2) - 2x(a^2 - x^2)}{(a^2 + x^2)^2} = -frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2}$ .

Ответ

$y' = -frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2}$ .

Задача

Найти производную функции $y = frac{1}{sqrt{1 + x^2}}$ .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
$y' = frac{x'sqrt{1 + x^2} - (sqrt{1 + x^2})'x}{(sqrt{1 + x^2})^2} = frac{1cdotsqrt{1 + x^2} - frac{1}{2sqrt{1 + x^2}}cdot2xcdot x}{1 + x^2} = frac{1}{sqrt{(1 + x^2)^3}}$ .

Ответ

$y' = frac{1}{sqrt{(1 + x^2)^3}}$ .

Задача

Найти производную функции .

Решение

Дифференцирование можно произвести в два этапа: вначале продифференцировать степень функции арксинус, а затем произвести дифференцирование самого арксинуса, перемножив результаты:
$y' = 2arcsin xcdotfrac{1}{sqrt{1 - x^2}}$ .

Ответ

$y' = 2arcsin xcdotfrac{1}{sqrt{1 - x^2}}$ .

Задача

Найти производную функции $y = e^{sqrt{sin x}}$ .

Решение

По правилам дифференцирования показательной функции с основанием , производная этой функции равна произведению самой функции на производную функции, являющейся показателем степени:
$y' = e^{sqrt{sin x}}cdotfrac{1}{2sqrt{sin x}}cdotcos x$ .

Ответ

$y' = e^{sqrt{sin x}}cdotfrac{1}{2sqrt{sin x}}cdotcos x$ .

Источник

Производная функции

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Производную приходится находить в ряде задач курса математического анализа. Например, при отыскании точек экстремума и перегиба графика функции.

Как найти?

Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования:

Вынос константы за знак производной: $$ (Cu)’ = C(u)’ $$
Производная суммы/разности функций: $$ (u pm v)’ = (u)’ pm (v)’ $$
Производная произведения двух функций: $$ (u cdot v)’ = u’v + uv’ $$
Производная дроби: $$ bigg (frac{u}{v} bigg )’ = frac{u’v — uv’}{v^2} $$
Производная сложной функции: $$ ( f(g(x)) )’ = f'(g(x)) cdot g'(x) $$

Примеры решения

Пример 1

Найти производную функции $ y = x^3 — 2x^2 + 7x — 1 $

Решение

Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных:

$$ y’ = (x^3 — 2x^2 + 7x — 1)’ = (x^3)’ — (2x^2)’ + (7x)’ — (1)’ = $$

Используя правило производной степенной функции $ (x^p)’ = px^{p-1} $ имеем:

$$ y’ = 3x^{3-1} — 2 cdot 2 x^{2-1} + 7 — 0 = 3x^2 — 4x + 7 $$

Так же было учтено, что производная от константы равна нулю.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ y’ = 3x^2 — 4x + 7 $$

Пример 2

Найти производную функции $ y = sin x — ln 3x $

Решение

По правилу производной разности:

$$ y’ = (sin x — ln 3x)’ = (sin x)’ — (ln 3x)’ = $$

По таблице интегрирования находим:

$$ (sin x)’ = cos x $$ $$ (ln x)’ = frac{1}{x} $$

С учетом того, что аргумент натурального логарифма отличен от $ x $, то нужно домножить ещё на производную самого аргумента:

$$ y’ = (sin x)’ — (ln 3x)’ = cos x — frac{1}{3x} cdot (3x)’ = $$

После упрощения получаем:

$$ = cos x — frac{1}{3x} cdot 3 = cos x — frac{1}{x} $$

Ответ

$$ y’ = cos x — frac{1}{x} $$

Пример 3

Найти производную функции $ y = (3x-1) cdot 5^x $

Решение

В данном примере стоит произведение двух функций, а производная произведения находится по формуле номер 3: $$ (u cdot v)’ = u’v + uv’ $$

$$ y’ = ( (3x-1) cdot 5^x )’ = (3x-1)’ 5^x + (3x-1) (5^x)’ = $$

Производная первой функции вычисляется как разность фунций:

$$ (3x-1)’ = (3x)’ — (1)’ = 3(x)’ — (1)’ = 3 $$

Вторая функция является показательной, производная которой находится по формуле: $ (a^x)’ = a^x ln a $: $$ (5^x)’ = 5^x ln 5 $$

Продолжаем решение с учетом найденных производных:

$$ y’ = (3x-1)’ 5^x + (3x-1) (5^x)’ = 3 cdot 5^x + (3x-1) 5^x ln 5 $$

Ответ

$$ y’ = 3cdot 5^x + (3x-1) 5^x ln 5 $$

Пример 4

Найти производную функции $ y = frac{ln x}{sqrt{x}} $

Решение

Производную дроби найдем по четвертой формуле. Положим $ u = ln x $ и $ v = sqrt{x} $. Тогда их производные по таблице основных элементарных функций равны:

$$ u’ = (ln x)’ = frac{1}{x} $$ $$ v’ = (sqrt{x})’ = frac{1}{2sqrt{x}} $$

Используя формулу №4 получаем:

$$ y’ = bigg ( frac{ln x}{sqrt{x}} bigg )’ = frac{ frac{1}{x} cdot sqrt{x} — ln x cdot frac{1}{2sqrt{x}} }{x} = $$

Выносим множитель $ frac{1}{2sqrt{x}} $ в числителе за скобку:

$$ y’ = frac{2-ln x}{2xsqrt{x}} $$

Ответ

$$ y’ = frac{2-ln x}{2xsqrt{x}} $$

Пример 5

Найти производную функции $ y = ln sin 3x $

Решение

Данная функция является сложной, потому производную будем брать по цепочке. Сначала от внешней функции, затем от внутренней. При этом выполняя их перемножение.

$$ y’ = (ln sin 3x )’ = frac{1}{sin 3x} cdot (sin 3x)’ = $$

Заметим, что аргумент синуса отличен от $ x $, поэтому тоже является сложной функцией:

$$ = frac{1}{sin 3x} cdot cos 3x cdot (3x)’ = frac{1}{sin 3x} cdot cos 3x cdot 3 $$

Учитывая определение котангенса $ ctg x = frac{cos 3x}{sin 3x} $ перепишем полученную производную в удобном компактном виде:

$$ y’ = 3ctg 3x $$

Ответ

$$ y’ = 3ctg 3x $$

Источник

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Источник

1. Вычисление производной функции

Правила дифференцирования

Дифференцирование сложной функции

Таблица производных

2. Приложение производной

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке (x₀;f(x₀)):

y=f(x₀)+f ‘(x₀)(x-x₀); f ‘(x₀) – угловой коэффициент касательной (тангенс угла наклона касательной).

Достаточные признаки монотонности функции:

если
f ‘(x)>0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f(x) возрастает на этом интервале.
если
f ‘(x)<0 в каждой точке интервала (a, b), то функция f(x) убывает на этом интервале.

Необходимое условие экстремума: если x₀ – точка экстремума функции f(x) и производная f ’ существует в этой точке, то f ‘(x₀)=0.

Критические точки функции – внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует.

Достаточные условия экстремума:

если производная при переходе через точку
x₀ меняет свой знак с плюса на минус, то
x₀ – точка максимума.
если производная при переходе через точку x₀ меняет свой знак с минуса на плюс, то
x₀ – точка минимума.

3. Первообразная функции

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a, b), если для любого выполняется равенство F ‘(x)=f(x).

Если F(x) – первообразная для f(x) на промежутке (a, b), то любая первообразная может быть записана в виде F(x)+C, где C – некоторое действительное число.

Для вычисления первообразной рекомендуем пользоваться приведенной выше таблицей производных и приведенными ниже правилами.

Правила нахождения первообразных

Пример 1. Найти производную функции .

Решение:

Ответ: .

Пример 2. Найти , если .

Решение:

По правилу дифференцирования дроби имеем: .

Ответ:

Пример 3. Чему равен тангенс угла наклона касательной к графику функции у = х² + 2, в точке х_о = – 1.

Решение:

Тангенс угла наклона касательной к графику функции есть значение производной данной функции в точке х_о.

Ответ: – 2.

Пример 4. Найдите значение 3tg²t , если t – наименьший положительный корень уравнения .

Решение:

Очевидно, что наименьшее положительное решение полученного уравнения . Тогда .

Ответ: 1.

Пример 5. Укажите промежутки возрастания и убывания функции .

Решение:

Область определения функции: x>0.

На области определения найдём критические точки функции :

Критические точки: 0; 1.

На основании достаточного признака возрастания (убывания) функции имеем:

Ответ: на интервале (0; 1) функция убывает; на интервале возрастает.

Пример 6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=e^x+2-ex на промежутке [-2; 0].

Решение:

Функция y=e^x+2-ex на отрезке [-2; 0] непрерывна.

1) найдём критические точки, принадлежащие отрезку [-2; 0]:

2) найдём значения функции в критической точке и на концах данного отрезка:

3) выберем наибольшее и наименьшее из полученных значений:

наименьшее y|_x=-1=2e наибольшее y|_x=0=e².

Ответ:
наименьшее y|_x=-1=2e наибольшее y|_x=0=e².

Пример 7. Записать уравнение касательной к графику функции f(x)=x³, параллельной прямой y=3x+1,5.

Решение:

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке х₀ имеет вид:

Так как касательная параллельна прямой y=3x+1,5, то f ‘(x₀)=3 .

f ‘(x)=3x², следовательно, .

Ответ: .

Пример 8. Найдите какую-либо первообразную функции .

Решение:

Представим функцию в виде . Первообразная данной функции будет . Т.к. нужно найти какую-либо первообразную, то пусть это будет . Чтобы проверить правильность найденной первообразной, нужно от взять производную: .

Ответ: .

Пример 9. Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Решение:

Первообразная данной функции будет F(x)=-3ctgx-7cox-2sinx+C.

Так как график первообразной проходит через точку , то координаты этой точки являются корнями уравнения. Получаем: .

Ответ: F(x)=-3ctgx-7cox-2sinx+11.

Задания для самостоятельного решения

Базовый уровень

Производная функции

1) Найти производную функции f(x)=2e^x+3x² .

2) Вычислите производную функции f(x)x•sinx.

3) Найти производную функции у = (3х – 1)(2 – х).

4) Вычислите производную функции y=9x²-cosx.

5) Найдите производную функции y=e^x-x⁷ .

6) Вычислить производную функции .

7) Найти f ‘(1), если f(x)=3x²-2x+1.

Найдите производную функции у = х²(3х⁵ – 2) в точке х₀ = – 1.

9) Вычислите , если f(x)=(2x-1)cosx.

10) Найдите f ‘(1), если f(x)=(3-x²)(x²+6).

11) Вычислите f ‘(1), если f(x)=(x⁴-3)(x²+2).

12) Найдите значение производной функции в точке х₀ = 0,5.

13) Найдите f ‘(4), если .

14) Найдите значение производной функции f(x)=3tgx+2ctgx при .

15) Найдите значение производной функции f(x)=2sinx при .

16) Найдите значение производной функции f(x)=1-3cosx при .

17) Определите промежутки возрастания и убывания функции .

18) Найдите максимум и минимум функции y=5x⁴-10x²+9.

19) Найти экстремумы функции у = – х³ + 6х² + 15х + 1.

20) Найдите точки экстремума функции у = – х³ – 3х² + 24х – 4 на промежутке .

21) Найдите наибольшее значение выражения 3х⁵ – 5х³ + 6 на отрезке [–2;2].

22) Написать уравнение касательной к параболе у = х² – 6х + 5 в точке пересечения её с осью ординат.

23) Найдите максимум функции .

24) Найдите экстремальные значения функции .

25) Исследуйте на максимум и минимум функцию у = 3х⁴ – 3х² + 2.

26) Найдите тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции в его точке с абсциссой х₀ = – 2.

27) Составьте уравнение касательной к графику функции у = х – 3х² в точке с абсциссой х₀ = 2.

28) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции y=7x-5sinx в точке с абсциссой .

Найдите первообразные функций:

29) .

30) f(x)=-7sinx.

31) .

32) f(x)=1,2cosx.

33) f(x)=-7cosx.

34) f(x)=sinx-cosx.

35) .

36) .

37) .

Вычислите площадь фигур, ограниченных линиями:

38) .

39) .

40) .

41) .

Повышенный уровень

Производная функции

42) Найдите значение , если .

43) Найдите значение , если f(x)=sin⁴x-cos⁴x.

44) Найдите значение , если f(x)=cos²3x .

45) Найдите значение , если f(x)=sin4xcos4x.

46) Найдите значение , если .

47) Найдите значение , если .

48) Найдите значение , если f(x)=(1+sinx)².

49) При каком значении параметра а функция имеет минимум в точке x₀=1?

50) Решите уравнение f ‘(x)=0, если .

51) Найдите наименьшее целое значение функции у = 4^х – 5∙2^х + 3,25.

52) При каких значениях а функция убывает на всей числовой прямой?

53) На кривой у = 4х² – 6х + 3 найдите точку, в которой касательная параллельна прямой у = 2х + 3.

54) Найти значение выражения tg2t, где t – наибольший отрицательный корень уравнения f ‘(x)=0, .

Первообразная

55) Найдите значение первообразной функции , график которой проходит через данную точку .

56) Найдите значение первообразной функции , график которой проходит через данную точку .

57) Найдите значение первообразной функции при , график которой проходит через данную точку .

Задача о площади криволинейной трапеции

58) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .

59) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .

60) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .

Источник