Как найти производную функции указанного порядка

1. Производные высших порядков

Пусть
функция

в области D
имеет конечную производную
,
которая в свою очередь также является
функцией от переменной х
в этой же области. Производная
называется
производной
первого порядка.
Если существует производная от производной
первого порядка, то она называется
производной
второго порядка или
второй
производной
от функции
и
обозначается
или
.
Производная от производной второго
порядка называется производной
третьего порядка
или третьей
производной
и обозначается
или
и
т.д. Производные, начиная со второго
порядка и выше, называются производными
высших порядков.

Пример
13.
Найти производную четвёртого порядка
функции
.

Решение.
;

;

;

.

1. Экстремум функции

При
исследовании функции приходится
определять характер её поведения. Для
этого можно использовать средства
дифференциального исчисления.

Пусть
функция

дифференцируема в интервале (a,b).
Тогда справедливы следующие утверждения:

1. если
   производная
   
   в интервале (a,b)
   положительна, то функция
   в
   этом интервале возрастает;

2. если
   производная
   
   в интервале (a,b)
   отрицательна, то функция
   в
   этом интервале убывает.

Эти
утверждения являются достаточными
условиями возрастания и убывания
(монотонности) функции.

Пример
14.
Исследовать функцию

на монотонность.

Решение.
Функция определена на всём множестве
действительных чисел, т.е.
.
Найдём производную:
.
Функция возрастает, если
,
т.е.

или же
.
Решив это неравенство, получим, что
функция возрастает при
.
Функция убывает, если
,
т.е.

или
.
Решив последнее неравенство, получим,
что при

функция убывает. Таким образом, интервалами
монотонности функции являются
.

Особую
роль в исследовании функции играют
такие значения х,
которые отделяют интервалы возрастания
и убывания функции. В этих точках функция
меняет характер своего поведения.

Функция

имеет в точке

максимум,
если

есть наибольшее значение этой функции
в некоторой окрестности данной точки.
Функция

имеет в точке

минимум,
если

есть наименьшее значение этой функции
в некоторой окрестности данной точки.

Точки
максимума и минимума называются точками
экстремума,
а максимум и минимум называются
экстремумами
функции.

Если
в точке

функция

достигает экстремума, то её производная
в этой точке либо равна нулю, либо не
существует. Это утверждение является
необходимым
признаком (условием) экстремума.

Следует
иметь в виду, что необходимый признак
экстремума не является достаточным.
Это означает, что если в какой-то точке
производная функции равна нулю, то эта
точка не обязательно будет точкой
экстремума.

Точки,
в которых производная функции равна
нулю либо не существует, называются
критическими
(стационарными).

Пусть
функция

непрерывна в некоторой окрестности
точки

и всюду в этой окрестности имеет
производную, а в точке

производная либо равна нулю, либо не
существует. Тогда имеет место
первый достаточный признак (первое
достаточное условие) экстремума:

1. если
   при переходе через точку
   
   слева направо производная функции
   меняет знак с «+» на «-», то в точке
   
   функция имеет максимум;

2. если
   при переходе через точку
   
   слева направо производная функции
   меняет знак с «-» на «+», то в точке
   
   функция имеет минимум;

3. если
   при переходе через точку
   
   производная функции не меняет знак, то
   в точке
   
   функция экстремума не имеет.

При
исследовании функции на экстремум имеет
смысл придерживаться следующей схемы:

1. найти
   область определения функции;

2. найти
   производную функции и приравнять её
   нулю;

3. решить
   полученное уравнение
   
   и найти критические точки;

4. в
   области определения функции найти те
   точки, в которых производная
   
   либо равна нулю, либо не существует;

5. все
   полученные точки расположить в порядке
   возрастания и разбить область определения
   этими точками на частичные интервалы,
   в каждом из которых производная сохраняет
   знак. Таким образом, частичные интервалы
   являются интервалами монотонности
   функции;

6. найти
   знак производной в каждом из частичных
   интервалов и по знаку производной
   определить характер изменения функции
   в каждом из этих интервалов: возрастает
   или убывает;

7. по
   изменению знака производной при переходе
   через границы интервалов монотонности
   определить точки экстремума;

8. вычислить
   значения функции в точках экстремума.

Пример
15.
Найти экстремум функции
.

Решение.
Функция определена на всей числовой
прямой, т.е.
.
Найдём производную, приравняем её нулю
и решим полученное уравнение:
,
,
,
,
.
Точки

и

являются критическими. Разобьём область
определения функции критическими
точками на частичные интервалы, которые
являются интервалами монотонности
функции, и по знаку производной определим
характер изменения функции в каждом из
этих интервалов:

;
;

.
По первому достаточному признаку
экстремума в точке х=0
функция имеет максимум, а в точке х=4
– минимум. При этом:
,
.
Таким образом, у=1
и

являются экстремумами функции.

Вопросы
для самоконтроля знаний

1. Что
   называется функцией?

2. Какая
   величина называется аргументом
   (независимой переменной), а какая —
   функцией (зависимой переменной)?

3. Что
   называется областью определения функции
   и областью значений функции?

4. Что
   называется графиком функции?

5. Что
   называется пределом функции
   
   при
   ?

6. Какая
   функция называется бесконечно малой?

7. Как
   формулируются свойства бесконечно
   малых функции?

8. Какая
   функция называется бесконечно большой?

9. Как
   связаны между собой бесконечно малая
   и бесконечно большая функции?

10. Как
    формулируются правила вычисления
    пределов?

11. Что
    такое неопределённость при вычислении
    предела и какие виды неопределённостей
    бывают?

12. Как
    записываются первый и второй замечательные
    пределы?

13. Как
    формулируется определение производной
    данной функции?

14. Какие
    символы употребляются для обозначения
    производной?

15. В
    чём заключается геометрический смысл
    производной?

16. В
    чём заключается механический смысл
    производной?

17. В
    чём заключается экономический смысл
    производной?

18. Чему
    равна производная постоянной величины
    и производная от аргумента
    ?

19. Чему
    равна производная суммы и разности
    двух функций?

20. Чему
    равна производная произведения и
    частного двух функций?

21. Как
    находится производная сложной функции?

22. Чему
    равны производные функций
    ?

23. Чему
    равны производные функций
    ?

24. Чему
    равны производные функций
    ?

25. Что
    называется производной второго порядка?

26. Как
    формулируются признаки возрастания и
    убывания функции в интервале?

27. Какие
    точки (значения аргумента) называются
    точками максимума и минимума функции?

28. Какие
    точки (значения аргумента) называются
    точками экстремума?

29. Как
    формулируется необходимое условие
    существования экстремума функции?

30. Какие
    точки (значения аргумента) называются
    критическими?

31. Как
    находятся критические точки?

32. Как
    формулируется первое достаточное
    условие экстремума?

33. Какова
    схема исследования функции на экстремум
    с помощью первого достаточного условия?

Задания
для самостоятельной работы

1. Найти
   частные значения функции:

а)
,
найти
;

б)
,
найти
;

в)
,
найти
;

г)

найти
.

2.
Найти области определения функций:

а)
;

б)
.

3.
Найти пределы функций:

а)
;
б)
;
в)
;

г)
;
д)
;
е)
.

1. Найти
   производные функций:

а)
;
б)
;
в)
;

г)
;
д)
;
е)
;

ж)
;
з)
;
и)
.

1. Найти
   интервалы монотонности функций:

а)
;
б)
.

6.
Исследовать функции на экстремум:

а)
;
б)
.

20

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Дифференцирование производной первого порядка [F^{prime}(x)] позволит вычислить производную от производной — именуемую производной второго порядка. Далее назовем определение производной.

Производная функции второго порядка обозначается записью [y^{prime prime}] или [F^{prime prime}(x)]. Дифференцировка функции [n] раз приводит к получению производной вида [f n(x)].

Дифференцирование второго порядка

Производные в математике всегда находятся по определенной формуле. Итак, формула дифференцирования второго порядка записывается следующим образом:

[f^{prime prime}(x)=frac{d^{2} y}{d x^{2}}=lim _{x rightarrow x_{0}}=frac{f^{prime}(x)-f^{prime}left(x_{0}right)}{x-x_{0}}=left(f^{prime}(x)right)^{prime}]

В случае, если степень меньше, чем порядок производной, производная n-го порядка будет равна нулю.

Таблица с формулами производных высших порядков

Формулы для нахождения производных высших порядков наиболее удобно представить в виде таблицы формул производных:

Примеры нахождения производных

Содержание:

• Механический смысл второй производной
• Вычисления производной любого порядка, формула Лейбница

Если функция $y=f(x)$ имеет производную в каждой точке
$x$ своей области определения, то ее производная
$f^{prime}(x)$ есть функция от
$x$. Функция
$y=f^{prime}(x)$, в свою очередь, может иметь производную, которую
называют производной второго порядка функции $y=f(x)$ (или второй
производной) и обозначают символом $f^{prime prime}(x)$. Таким образом

$f^{prime prime}(x)=frac{mathrm{d}^{2} y}{mathrm{d} x^{2}}=lim _{x rightarrow x_{0}} frac{f^{prime}(x)-f^{prime}left(x_{0}right)}{x-x_{0}}=left(f^{prime}(x)right)^{prime}$

Производные более высоких порядков определяются аналогично. То есть производная
$n$-го порядка функции
$f(x)$ есть первая производная от производной
$(n-1)$-го порядка этой функции:

$f^{(n)}(x)=frac{mathrm{d}^{n} y}{mathrm{d} x^{n}}=left(f^{(n-1)}(x)right)^{prime}$

Механический смысл второй производной

Вычисления производной любого порядка, формула Лейбница

Для вычисления производной любого порядка от произведения двух функций, минуя последовательное применение
формулы вычисления производной от произведения двух функций, применяется формула Лейбница:

$(u v)^{(n)}=u^{(n)} v+C_{n}^{1} u^{(n-1)} v^{prime}+C_{n}^{2} u^{(n-2)} v^{prime prime}+ldots+C_{n}^{n-1} u^{prime} v^{(n-1)}+u v^{(n)}$

где $C_{n}^{k}=frac{n !}{k !(n-k) !}$,
$n !=1 cdot 2 cdot ldots cdot n$ — факториал
натурального числа
$n$.

Читать дальше: таблица производных высших порядков.

Данный калькулятор вычисляет первую вторую и другие производные заданной функции.
В поле функция введите математическое выражение с переменной x, в выражении используйте стандартные операции + сложение, — вычитание, / деление, * умножение, ^ — возведение в степень, а также математические функции. Полный синтаксис смотрите ниже. Для сложных функций калькулятор может работать довольно долго, так как используется не очень оптимальный алгоритм упрощения.

Калькулятор производных второго и более порядка

Синтаксис описания формул

В описании функции допускается использование одной переменной (обозначается как x), скобок, числа пи (pi), экспоненты (e), математических операций: + — сложение, — — вычитание, * — умножение, / — деление, ^ — возведение в степень.
Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec — экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), log__p — логарифм по основанию p, например log7(x) — логарифм по основанию 7, root__p — корень степени p, например root3(x) — кубический корень.

Пошаговый алгоритм вычисления одной производной, а также правила вычисления производных можно найти тут Производная функции.