Как найти производную функцию с икс нулевым - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В задаче B9 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:

Значение производной в некоторой точке x₀,
Точки максимума или минимума (точки экстремума),
Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).

Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.

Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.

Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.

Вычисление значения производной. Метод двух точек

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x₀, и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x₁; y₁) и B (x₂; y₂). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x₂ − x₁ и приращение функции Δy = y₂ − y₁.
Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
Δx = x₂ − x₁ = −1 − (−3) = 2; Δy = y₂ − y₁ = 6 − 2 = 4.

Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
Δx = x₂ − x₁ = 3 − 0 = 3; Δy = y₂ − y₁ = 0 − 3 = −3.

Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
Δx = x₂ − x₁ = 5 − 0 = 5; Δy = y₂ − y₁ = 2 − 2 = 0.

Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.

Вычисление точек максимума и минимума

Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:

Точка x₀ называется функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x₀) ≥ f(x).
Точка x₀ называется функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x₀) ≤ f(x).

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x₀ известно, что f’(x₀) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x₀) ≥ 0 или f’(x₀) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:

На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.

Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.

Нахождение интервалов возрастания и убывания функции

В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:

Функция f(x) называется [a; b] если для любых двух точек x₁ и x₂ из этого отрезка верно утверждение: x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
Функция f(x) называется [a; b] если для любых двух точек x₁ и x₂ из этого отрезка верно утверждение: x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.

Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:

Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:

Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:
l₁ = − 6 − (−8) = 2;
l₂ = 2 − (−3) = 5.

Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l₂ = 5.

07.06.2019

5 июня Что порешать по физике

30 мая Решения вчерашних ЕГЭ по математике

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−3; 3), B (5; 5), C (5; 3). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу BAC. Поэтому

Производная функции в точке

Как найти производную функции в точке? Из формулировки следуют два очевидных пункта этого задания:

1) Необходимо найти производную.

2) Необходимо вычислить значение производной в заданной точке.

Вычислить производную функции в точке

Справка: Следующие способы обозначения функции эквивалентны: В некоторых заданиях бывает удобно обозначить функцию «игреком», а в некоторых через «эф от икс».

Сначала находим производную:

Надеюсь, многие уже приноровились находить такие производные устно.

На втором шаге вычислим значение производной в точке :

Небольшой разминочный пример для самостоятельного решения:

Вычислить производную функции в точке

Полное решение и ответ в конце урока.

Необходимость находить производную в точке возникает в следующих задачах: построение касательной к графику функции (следующий параграф), исследование функции на экстремум, исследование функции на перегиб графика, полное исследование функции и др.

Но рассматриваемое задание встречается в контрольных работах и само по себе. И, как правило, в таких случаях функцию дают достаточно сложную. В этой связи рассмотрим еще два примера.

Вычислить производную функции в точке . Сначала найдем производную:

Производная, в принципе, найдена, и можно подставлять требуемое значение . Но что-то делать это не сильно хочется. Выражение очень длинное, да и значение «икс» у нас дробное. Поэтому стараемся максимально упростить нашу производную. В данном случае попробуем привести к общему знаменателю три последних слагаемых:

Ну вот, совсем другое дело. Вычислим значение производной в точке :

В том случае, если Вам не понятно, как найдена производная, вернитесь к первым двум урокам темы. Если возникли трудности (недопонимание) с арктангенсом и его значениями, обязательно изучите методический материал Графики и свойства элементарных функций – самый последний параграф. Потому-что арктангенсов на студенческий век ещё хватит.

Вычислить производную функции в точке .

Это пример для самостоятельного решения.

Уравнение касательной к графику функции

Чтобы закрепить предыдущий параграф, рассмотрим задачу нахождения касательной кграфику функции в данной точке. Это задание встречалось нам в школе, и оно же встречается в курсе высшей математики.

Рассмотрим «демонстрационный» простейший пример.

Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой . Я сразу приведу готовое графическое решение задачи (на практике этого делать в большинстве случаев не надо):

Строгое определение касательной даётся с помощью определения производной функции, но пока мы освоим техническую часть вопроса. Наверняка практически всем интуитивно понятно, что такое касательная. Если объяснять «на пальцах», то касательная к графику функции – это прямая, которая касается графика функции в единственнойточке. При этом все близлежащие точки прямой расположены максимально близко к графику функции.

Применительно к нашему случаю: при касательная (стандартное обозначение) касается графика функции в единственной точке .

И наша задача состоит в том, чтобы найти уравнение прямой .

Производная функции в точке

Как найти производную функции в точке? Из формулировки следуют два очевидных пункта этого задания:

1) Необходимо найти производную.

2) Необходимо вычислить значение производной в заданной точке.

Вычислить производную функции в точке

Справка: Следующие способы обозначения функции эквивалентны:

В некоторых заданиях бывает удобно обозначить функцию «игреком», а в некоторых через «эф от икс».

Сначала находим производную:

Надеюсь, многие уже приноровились находить такие производные устно.

На втором шаге вычислим значение производной в точке :

Небольшой разминочный пример для самостоятельного решения:

Вычислить производную функции в точке

Полное решение и ответ в конце урока.

Вычислить производную функции в точке .
Сначала найдем производную:

Ну вот, совсем другое дело. Вычислим значение производной в точке :

Вычислить производную функции в точке .

Это пример для самостоятельного решения.

Как найти значение производной функции F(x) в точке Хо? Как вообще это решать?

Sfash

Если формула задана, то найти производную и вместо Х подставить Х-нулевое. Посчитать
Если речь идет о б-8 ЕГЭ, график, то надо найти тангенс угла (острый или тупой) , который образует касательная с осью Х (с помощью мысленного построения прямоугольного треугольника и определения тангенса угла)

Тимур адильходжаев

Во-первых, надо определиться со знаком. Если точка х0 находится в нижней части координатной плоскости, то знак в ответе будет минус, а если выше, то +.
Во-вторых, надо знать что такое тангес в прямоугольном прямоугольнике. А это соотношение противолежащей стороны (катета) к прилежащей стороне (тоже катета) . На картине обычно есть несколько черных отметок. Из эти отметок составляешь прямоугольный треугольник и находишь тангес.

Как найти значение производной функции f x в точке x0?

Bk.Ru

В общем случае, что бы найти значение производной какой-либо функции по некоторой переменной в какой-либо точке, нужно продифференцировать заданную функцию по этой переменной. В вашем случае по переменной Х. В полученное выражение вместо Х поставить значение икса в той точке, для которой надо найти значение производной, т.е. в Вашем случае подставить нулевой Х и вычислить полученное выражение.

Ну а ваше стремление разобраться в этом вопросе, на мой взгляд, бесспорно заслуживает +, который ставлю с чистой совестью.

Lady v

Такая постановка задачи на нахождение производной часто ставится для закрепления материала на геометрический смысл производной. Предлагается график некоей функции, совершенно произвольной и не заданной уравнением и требуется найти значение производной (не саму производную заметьте!) в указанной точке Х0. Для этого строится касательная к заданной функции и находится точки ее пересечения с осями координат. Потом составляется уравнение этой касательной в виде y=кx+b.

В этом уравнении коэффициент к и будет являться значением производной. остается лишь найти значение коэффициента b. Для этого находим значение у при х=о, пусть оно равно 3 — это и есть значение коэффициента b. Подставляем в исходное уравнение значения Х0 и У0 и находим к — нашу значение производной в этой точке.

Источник

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Источник

Как найти икс нулевое

В качестве «икс нулевое» обозначается координата вершины параболы по оси абсцисс. В этой точке функция принимает наибольшее или наименьшее значение, поэтому x0 − точка экстремума функции.

Инструкция

Если имеется аналитическое задание функции, приведите ее к стандартному виду: A*x²+B*x+C=y(x), где A − старший коэффициент при x², B − средний коэффициент при x, C − свободный член. Обратите внимание, чтобы коэффициент при x² не равнялся нулю, иначе это будет уже не квадратичная функция.

Координата вершины параболы x0 по оси абсцисс находится по формуле: x0=-B/2A. В случае приведенного квадратного уравнения, то есть, когда A=1, формула упрощается: x0=-B/2. Если в уравнении нет «икса» в первой степени, значит, коэффициент B=0, и тогда x0 тоже обращается в нуль.

Чтобы найти координату вершины параболы по оси ординат, подставьте полученное значение для x0 в уравнение. Когда вы упростите выражение, с одной стороны у вас останется «игрек», с другой − некоторое число Q. Оно и показывает ординату вершины параболы: y0=Q.

Итак, исследование аналитически заданной функции дало вам точку на графике с координатами (x0;y0). Если старший коэффициент A > 0, то ветви параболы направлены вверх, и в вершине промежуток убывания будет сменяться промежутком возрастания. Если же A

Т.к. x0 − точка экстремума функции, то ее числовое значение можно найти и при помощи дифференцирования. Найдите первую производную функции. Приравняйте ее нулю и решите полученное уравнение. Ему будет удовлетворять единственное значение x, которое и является координатой вершины параболы.

Если необходимо отметить «икс нулевое» на графике, проведите из вершины параболы пунктирной линией перпендикуляр к оси абсцисс. Точку, в которой перпендикуляр пересечет ось x, обозначьте за x0. Чтобы увидеть на графике «игрек нулевое», проведите из вершины перпендикуляр соответственно к оси ординат.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Дифференцирование функции, заданной неявно

Пусть дано уравнение F(x,y)=0, не разрешенное относительно y. Если существует y=f(x) такая, что F[x,f(x)]=0, то говорят, что уравнение F(x,y)=0 задает y как функцию от x неявно. Обычное задание функции y=f(x) называют явным.

При таком способе задания функции производную находим, дифференцируя уравнение F(x,y)=0, считая y функцией от x (по правилу дифференцирования сложной функции).

Решение онлайн
Видеоинструкция

Правила ввода функции, заданной в неявном виде

Примеры

≡ x^2/(1+y)

cos²(2x+y) ≡ (cos(2*x+y))^2

≡ 1+(x-y)^(2/3)

см. также Производная от параметрической функции

Пример 1. Найти производную y’, не решая уравнения: x³ – x²y – x²y⁴ + 5 = 0 относительно y.

Решение. Так как в правой части уравнения стоит нуль, а производная постоянной равна нулю, то .

Применяя почленное дифференцирование, найдем 3x² – 2xy – x²y’ – 2xy⁴ – 4x²y³y’ = 0, откуда .

Пример 2. Найти y’ функции, заданной неявно уравнением y*lnx – x²e^y + 1 = 0 (x>0).

Решение. (производную от e^y берем как производную сложной функции). Разрешая уравнение относительно y’ (что не всегда возможно), найдем .

Пример 3. Найти производную y’_x функции y(x), заданной неявно: x⁴ + x²y + y³ + 5 = 0.

Решение.

Продифференцируем уравнение по х, рассматривая у как функцию от х, и решим полученное уравнение относительно y’_x.

.

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Источник