Как найти производную имея график


Download Article

Find the derivative with or without an equation


Download Article

  • Estimate without an Equation
  • |

  • Finding the Derivative Equation
  • |

  • Finding the Tangent Slope at a Single Point
  • |

  • Tips

Estimate the derivative at a point by drawing a tangent line and calculating its slope. If you have the function, you can find the equation for a derivative by using the formal definition of a derivative. This wikiHow guide will show you how to estimate or find the derivative from a graph and get the equation for the tangent slope at a specific point.

Things You Should Know

  • To estimate the tangent slope at a point, draw a tangent line at the point. Then, choose two points on the tangent line.
  • Use the formula slope = (y2 — y1) / (x2 — x1) to find the tangent slope.
  • To find the derivative, use the equation f’(x) = [f(x + dx) – f(x)] / dx, replacing f(x + dx) and f(x) with your given function.
  • Simplify the equation and solve for dx→0. Replace dx in the equation with 0. This will give you the final derivative equation.
  1. Image titled Find the Derivative from a Graph Step 1

    1

    Draw a tangent line. Use a straightedge to draw a tangent line at the point on the graph that you want to estimate the derivative for. The derivative describes how the slope of a curve changes as x, the horizontal value, changes. Drawing a tangent line allows you to estimate the derivative (the tangent slope) at a given point.

    • A tangent line is a straight line that touches a curve at a single point.
    • The tangent slope is the slope of the tangent line.
    • Make sure your curve and tangent line are drawn on a graph with grid lines. This will make it easier to calculate the tangent slope.
    • Since this is a hand-drawn method, this calculation will only be an estimate, not the exact derivative at a point.
  2. Image titled Find the Derivative from a Graph Step 2

    2

    Find the slope of the tangent line. Choose two points that the tangent line passes through. Use the grid to find two simple points, preferably integers. The equation to find the slope with two points is

    • slope = (y2 — y1) / (x2 — x1)
    • using the points (x1, y1) and (x2, y2)
      • for example, if you have the points (1, 3) and (3, 7),
      • slope = (7 — 3) / (3 — 1)
      • slope = 4 / 2
      • slope = 2
  3. Advertisement

  1. Image titled Find the Derivative from a Graph Step 3

    1

    Review the formal definition of a derivative. The derivative can be defined as the equation:[1]

    • (df / dx)(x) = [f(x + dx) – f(x)] / dx
    • which can be written as f’(x) = [f(x + dx) – f(x)] / dx
    • where
      • f(x) is the function f of x (sometimes written as “y”), i.e. how the value of y changes as the value of x changes
      • f’(x) is the derivative of f(x), as indicated by the prime symbol (’)
      • dx is a small change in x that approaches 0
      • f(x + dx) is the value of y at the horizontal value x + dx
  2. Image titled Find the Derivative from a Graph Step 4

    2

  3. Image titled Find the Derivative from a Graph Step 5

    3

    Write the formal definition using the given function. Replace the terms f(x + dx) and f(x) with your given function. For example, if you were given f(x) = x^2, you would write the formal definition as

    • f’(x) = [(x + dx)^2 – (x)^2] / dx
  4. Image titled Find the Derivative from a Graph Step 6

    4

    Simplify the equation. For simple functions, you can simplify the function algebraically. Here’s a step by step example for f’(x) = [(x + dx)^2 – (x)^2] / dx

    • Our starting equation:
      • f’(x) = [(x + dx)^2 – (x)^2] / dx
    • Writing out the expanded polynomial term:
      • f’(x) = [x^2 + 2xdx + dx^2 – x^2] / dx
    • The terms x^2 and – x^2 equal zero, resulting in:
      • f’(x) = [2xdx + dx^2] / dx
    • Both terms in the numerator have a dx, which can cancel out with the dx in the denominator, giving the simplified equation:
      • f’(x) = 2x + dx
  5. Image titled Find the Derivative from a Graph Step 7

    5

    Resolve the equation for dx→0. Replace every instance of dx with a 0. For our example, this would yield the equation:

    • f’(x) = 2x + 0
    • which simplifies to:
      • f’(x) = 2x
    • So, the derivative of f(x) = x^2 is f’(x) = 2x
  6. Advertisement

  1. Image titled Find the Derivative from a Graph Step 8

    1

    Find the derivative of the curve. Follow the previous method, Finding the Derivative Equation, to get the derivative equation for the given function f(x).

  2. Image titled Find the Derivative from a Graph Step 9

    2

    Insert the x value of the point. Replace x in the derivative function f’(x). Using our previous example:

    • Find the slope of the tangent line at x = 5 for the function f(x) = x^2.
      • f’(x) = 2x
      • f’(5) = 2(5)
      • f’(5) = 10
    • The slope of the tangent line at x = 5 is 10.
  3. Advertisement

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Advertisement

References

About This Article

Thanks to all authors for creating a page that has been read 7,435 times.

Did this article help you?

Производная функции. Геометрический смысл производной



Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Запомним определение:

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

производная функции в точке

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Определение.

Производная – это скорость изменения функции.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается f.

Покажем, как найти f с помощью графика.

угол наклона касательной

Нарисован график некоторой функции y=f{left( x right)}. Возьмем на нем точку А с абсциссой x_0. Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Производная функции f{left( x right)} в точке x_0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

f

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси ОХ.

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем k=tg mkern 3mu alpha. Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника AMN:

f

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике.

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

y=kx+b.

Величина k в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси X.

k=tg mkern 3mu alpha.

Мы получаем, что

f

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке x_0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции y=f{left( x_0 right)}. Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

точки максимума и минимума функции

В точке A функция f{left( x_0 right)} возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке A, образует острый угол alpha с положительным направлением оси X. Значит, в точке A производная положительна.

В точке B наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол beta с положительным направлением оси X. Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке B производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция y=fleft( x right) возрастает, ее производная положительна.

Если fleft( x right) убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках C (точка максимума) и D (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка С — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке С с «плюса» на «минус».

В точке D — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная f положительна, то функция fleft( x right) возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

1. Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:

точка перегиба

В точке E касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки E функция возрастала — и после точки E продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

2. Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется таблица производных. В ней вы найдете производные всех элементарных функций и правила взятия производных, то есть дифференцирования.

Геометрический смысл производной, задачи

Покажем, что такое геометрический смысл производной, на примере нескольких задач из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. На рисунке изображен график функции y=f(x). Найдите количество решений уравнения f)=0 на отрезке [-2,5; 9,5].

Решение:

Производная функции f равна нулю в точках максимума и минимума функции f(x). Таких точек на графике 5.

Ответ: 5.

Задача 2. На рисунке изображен график функции y= f) — производной функции y=f(x). Сколько точек максимума имеет функция y=f(x) на отрезке  [-1; 5]? В ответе запишите это число.

Решение:

Обратите внимание, что на этом рисунке изображен не график функции, а график ее производной.

В вариантах ЕГЭ по математике таких задач много. Пользуясь графиком производной, надо ответить на вопрос о поведении функции.

В точке максимума функции производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Такая точка на отрезке [-1; 5] на графике одна.

Ответ: 1.

Задача 3. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

Решение:

Вспомним определение.

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке (то есть угловому коэффициенту касательной).

Это геометрический смысл производной.

f

В точке x_0 функция y = f(x) убывает. Касательная, проведенная к ее графику в этой точке, образует тупой угол beta с положительным направлением оси Х. Найдем тангенс острого угла alpha , смежного с углом beta .

alpha +beta =180{}^circ.

tgbeta =-tgalpha = -0,5.

Ответ: -0,5.

Задача 4. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [-3; 7]. В какой точке отрезка [1; 5] f(x) принимает наименьшее значение?

Решение:

На рисунке изображен график производной. Если функция возрастает — ее производная положительна. Если функция убывает — ее производная отрицательна. В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

На рисунке есть такая точка, и это x = 1,5.

Слева от этой точки, на отрезке [1; 1,5] производная отрицательна, и функция убывает. Справа от этой точки, на интервале [1,5; 5), производная положительна, и функция возрастает.

Значит, x=1,5 — точка минимума функции f(x).

Поэтому и свое наименьшее значение функция y = f(x) принимает в точке 1,5.

Ответ: 1,5.

Задача 5. На рисунке изображен график {y=f} — производной функции y = f(x). В какой точке отрезка [1; 5] функция y = f(x) принимает наименьшее значение?

Решение:

На рисунке изображен график производной. Если функция возрастает — ее производная положительна. Если функция убывает — ее производная отрицательна. В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

На рисунке есть такая точка, и это x = 3.

Слева от этой точки производная отрицательна, и функция убывает. Справа от точки x = 3 производная положительна, и функция возрастает.

Значит, x=3 — точка минимума функции f(x).

Кстати, вид графика функции f(x) определить нетрудно. Это квадратичная парабола с ветвями вверх.

Ответ: 3.

Задача 6. На рисунке изображен график {y=f} производной непрерывной функции y=f(x). В какой точке отрезка [-4; - 1] функция y=f(x) принимает наибольшее значение?

Решение:

На отрезке left[-4;1right] расположена точка x=-2,5, в которой производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-».

Это значит, что x=-2,5 — точка максимума функции f(x) на отрезке left[-4;1right] и наибольшее значение функция f(x) принимает именно в этой точке.

Ответ: — 2,5.

Задача 7. На рисунке изображен график производной функции y=f(x) определенной на интервале (-3;7). В какой точке отрезка [-2; 4] функция y=f(x) принимает наименьшее значение?

Решение:

Точка минимума функции f(x) — это x = 0. В этой точке производная равна 0 и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Слева от точки 0 производная отрицательна, функция убывает. Справа от этой точки производная положительна, функция возрастает.

Наименьшее значение на отрезке достигается при x = 0.

Ответ: 0.

Задача 8. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

Решение:

Производная функции f(x) в точке x_0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции f(x) в этой точке.

f

y=kx+b — касательная к f(x).

В точке x_0 производная отрицательная, f т.к. функция f(x) — убывает в этой точке.

alpha — угол, который образует касательная с положительным направлением оси Х.

Угол alpha — тупой, а смежный с ним угол varphi — острый.

tgalpha =-tgvarphi =-displaystyle frac{3}{8}=-0,375.

Ответ: -0,375.

Задача 9. На рисунке изображен график непрерывной функции f(x) и касательные CD и MN, проведенные к ее графику в точках А и В. Найдите отношение значений производной функции f(x) в точках А и В.

Решение:

Найдём значения производных в точках А и В с помощью графика.

f где alpha — угол наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой x_0.

Для точки А: f

Для точки В: f

Отношение производных: f

Ответ: 0,15.

Условия касания

Пусть прямая y=kx+b касается графика функции y=f(x) в точке x_0. Тогда для точки x_0 выполняются условия касания:

left{ begin{array}{c}f(x)=kx+b \f

Первое уравнение показывает, что значения функций y=f(x) и y=kx+b в точке x_0 равны друг другу. Это верно, поскольку эта точка лежит и на одном, и на другом графике.

Второе условие показывает, что производная функции f(x) в точке x_0 равна угловому коэффициенту касательной, то есть k.

Задача 10. Прямая y=7x+b касается графика функции f(x)=2x^3-x^2+3x-4, причем абсцисса точки касания положительна. Найдите b.

Решение:

Запишем условие касания:

left{ begin{array}{c}f(x)=kx+b \f

left{ begin{array}{c}2x^3-x^2+3x-4=7x+b \6x^2-2x+3=7 end{array}right. .

Начнем со второго уравнения:

6x^2-2x-4=0;

D=b^2-4ac=4+4cdot 6cdot 4=4cdot 25={10}^2;

x_{1,2}=displaystyle frac{-bpm sqrt{D}}{2a}=displaystyle frac{2pm 10}{12};

x_1=1;  x_2=-displaystyle frac{2}{3}.

Т.к. x_0textgreater 0, то x_0=1.

Найдем b, подставив x_0 в первое уравнение:

2x^3-x^2+3x-4=7x+b, отсюда

b=-7.

Ответ: -7.

Условия касания встречаются нам не только в заданиях 1 части ЕГЭ по математике, но и в задачах с параметрами. Более того, это один из приемов решения уравнений и неравенств с параметрами.

Физический смысл производной

Мы узнали, что такое геометрический смысл производной. Научились находить производную с помощью графика функции и решать задачи ЕГЭ. Производная помогает нам исследовать функции, находить их точки максимума и минимума, строить графики функций.

И оказывается, что с производной вы познакомились намного раньше — в школьном курсе физики. Вы уже пользовались этим математическим понятием, но не называли его словом «производная».

Вспомним тему «Кинематика» в физике. Это раздел физики, описывающий механическое движение. Величины, которыми описывается движение какого-либо тела, — это скорость v, время t, координата х, если тело движется вдоль прямой. Или координаты x и y, если оно движется по плоскости.

Вспомним формулу для равномерного прямолинейного движения: x = v cdot t, где x — координата.

Пусть 3 материальных точки — например, три автомобиля — одновременно выезжают с постоянными скоростями из точки А и едут по прямолинейному шоссе. На графике показано, как меняется их координата x с течением времени. У какого из автомобилей скорость больше?

Очевидно, у третьего. Считая, что x = vt, для первого автомобиля найдем v_1 = 20 км/ч. Возможно, это машина, которая поливает или чистит дорогу, и поэтому так медленно едет. Для второго автомобиля v_2 = 40 км/ч, для третьего v_3 = 75 км/ч.

Но если пройденный путь, то есть изменение координаты тела, мы разделим на время, то найдем тангенс угла наклона для каждой из этих прямых. Так и есть.

Скорость тела — это производная от его координаты по времени.

А теперь пусть тело, например, автомобиль, движется вдоль оси x, причем его скорость не является постоянной. Зависимость его координаты от времени x(t) показана на графике.

Возьмем на графике точку, соответствующую моменту времени t_0, и проведем в этой точке касательную к графику функции.

Тангенс угла наклона этой касательной численно равен мгновенной скорости тела в момент t_0.

v_{x }(t_0) = tg alpha .

Мы получили, что мгновенная скорость — это производная от координаты по времени.

Это физический смысл производной.

Но не только скорость в физике является производной от другой физической величины, координаты.

Ускорение — это производная от скорости по времени. Сила тока — производная от заряда по времени.

Изучая курс физики в школе и в вузе, вы увидите множество уравнений, связывающих одни физические величины с производными других физических величин. Такие уравнения называются дифференциальными. А само действие взятия производной называется дифференцированием.

Вот задача из вариантов ЕГЭ по математике, где используется физический смысл производной.

Задача 11. Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s.

Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

Решение:

Производная — это скорость изменения функции. Мгновенная скорость движущегося тела (материальной точки) является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной.

Найдем на графике s(t) точки, в которых производная функции s(t) равна нулю. Таких точек 6. Это точки максимума и минимума функции s(t).

Ответ: 6.

Изучая высшую математику в вузе, вы узнаете еще одно определение производной.

Производной функции f(x) в точке x_0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента, стремящемся к нулю.

Это определение есть в вашем школьном учебнике алгебры. Но намного важнее не механически его запомнить, а понять его смысл. Первые шаги к этому мы сделали, определив производную как скорость изменения функции. Мы также узнали, что такое геометрический смысл производной и физический смысл производной.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Производная функции. Геометрический смысл производной» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Производная положительна только тогда, когда функция возрастает. То есть, нам необходимо найти точки, в которых функция растет. Смотрим на график нашей функции: функция растет на промежутках: от (x=-7) до (x=0) и от (x = 6) до (x=12).

Так как по условию нам нужны только ЦЕЛЫЕ точки, в которых производная положительна, то это будут: (x=—6); (x=-5), (x=-4), (x=-3), (x=-2), (x=-1), (x=7), (x=8), (x=9), (x=10), (x=11). Всего точек получилось (11). Я отметил их зеленым цветом.

Обратите внимание, что точки (x=-7), (x=0), (x=6), (x=12) мы не считаем, так как в этих точках у нас будут минимумы и максимумы функции, а в них производная равна нулю, то есть не положительна.

Ответ: (11.)

Пример 2
На рисунке 6 изображен график функции, определенной на промежутке ((-10;12)). Найдите количество точек, в которых производная функции равна нулю.

На этой странице вы узнаете

  • Где проходит граница между теплом и холодом? 
  • Почему успех фильма не всегда зависит от наличия экшн-сцен?
  • Чем кофе похож на функцию, ее первообразную и производную?  

Многие из нас чем-то похожи на родителей. Не являясь их точной копией, мы перенимаем определенные черты. То же самое происходит и с графиками. О том, какие особенности “наследуют” друг у друга графики функции, производной и первообразной, поговорим в статье. 

Связь графика функции и производной

Подготовим карандаши и линейки, мы начинаем погружение в мир графиков. Почему графики — это круто? Они дают нам наглядное представление о функции. Мы можем проанализировать ее, не прибегая к сложным формулам и трудоемким вычислениям. 

Воспринимать визуальную информацию всегда легче. А графики — это как раз визуальное описание функции. 

Возьмем график произвольной функции. 

Прежде чем приступать к дальнейшему изучению материала, рекомендуем ознакомиться с «Определением и графиком функции», а также «Производной».

Мы точно видим, на каких промежутках график будет возрастать, а на каких убывать. Если представить, что мы пойдем по направлению оси х, то график будет возрастать на подъемах в горку и убывать на спусках с нее. Отметим промежутки возрастания зеленым фоном, а промежутки убывания красным. 

В зеленых промежутках производная будет положительна, а в красных отрицательна. Пока что просто запомним этот факт. 

Обратим внимание на границы между зелеными и красными зонами. В этих точках функция будет менять свой знак с положительного на отрицательный или обратно. Такие точки называются точками экстремума. 

Экстремум — это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции на заданном отрезке. 

Точки экстремума — точки, в которых достигается экстремум. 

В точках экстремума производная равна 0.

Теперь попробуем построить примерный график производной. Для начала опустим точки экстремума. Где они будут лежать на графике производной? На оси х

Вспомним, что в точках экстремума производная функции будет равна 0. Пусть график будет задан 

y = f'(x), тогда в точках экстремума получаем y = 0. Это и есть ось х

Так мы получили целых 9 точек, через которые пройдет производная. Осталось провести через них примерный график. 

Вспомним, что:

  • производная положительна на промежутках возрастания функции;
  • производная отрицательна на промежутках убывания функции. 

Как понять, что все точки на графике производной будут положительны или отрицательны? Достаточно посмотреть на то, с какой стороны от оси х они располагаются. 

Положительные значения всегда будут лежать выше оси х. Это связано со значением y: значения функции будут положительны при положительных значениях у, и отрицательны при отрицательных значениях у

Где проходит граница между теплом и холодом? 

Можно представить, что ось х — это полюс, который разделяет тропики и льды. Над осью х всегда будет светить солнце, а температура будет положительной. А вот под осью х всегда будут льды и снега, и температура — отрицательной. 

Следовательно, знак производной на ее графике будет совпадать со знаком температуры в тропиках или льдах. 

Итак, как нам нарисовать график производной? На зеленых участках ее график будет лежать над осью х, а на красных участках — под ней. 

Подведем итоги:

  • В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
  • На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
  • На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х

Эти зависимости можно отследить на любых графиках функции и ее производной. 

Если провести обратные рассуждения, то по графику производной можно восстановить примерный график функции. В этом случае:

  • В точках, где график производной пересекает ось х, будут лежать точки экстремума. При этом если в точке производная меняет значение с положительного на отрицательное, то это точка максимума, а если с отрицательного на положительное, то это точка минимума
  • На промежутках, где график производной будет лежать выше оси х, функция будет возрастать. 
  • На промежутках, где график производной будет лежать ниже оси х, функция будет убывать. 

Разберем несколько примеров, где можно применить эти знания. 

Пример 1. На рисунке изображен график функции f(x) и отмечены пять точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Решение. Производная отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим такие промежутки. 

В точках, которые попали в эти промежутки, производная отрицательная. Всего таких точек 2.

Ответ: 2

Пример 2. На рисунке изображен график функции y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-5; 3). Найдите точку максимума функции f(x).

Решение. Точки экстремума на графике производной лежат на оси х. На данном графике таких точки две: x = -2, x = 2. 

Точка максимума — это точка, в которой производная меняет знак с положительного на отрицательный. По графику определяем, что это точка x = -2.

Ответ: -2

Почему успех фильма не всегда зависит от наличия экшн-сцен?

Представим, что мы составили графики “Заинтересованность зрителей фильмом” и “Наличие в фильме экшн-сцен”. Совпадут ли эти графики? Скорее всего, нет. 

Экшн-сцены могут вызывать интерес у зрителей, равно как и романтические сцены или смешные повороты сюжета. Получается, что наличие экшн-сцен и заинтересованность фильмом — это разные величины в кинематографе, хотя и связаны между собой. 

Также и графики производной и функции: они зависят друг от друга, но иллюстрируют совсем разные свойства функции, поэтому сильно отличаются. 

Связь графика функции и первообразной

Мы разобрались, как связаны графики функции и ее производной. Есть ли связь между графиком функции и «Первообразной»?

Вспомним один важный факт: если взять производную от первообразной, то получим функцию. 

F'(x) = f(x)

Похоже на функцию и ее производную, верно? На самом деле, ситуации ничем не отличаются. 

В этом случае изначальной функцией будет первообразная, а ее производной — функция. Для наглядности составим таблицу. 

Было Взяли производную Стало
Функция и производная f(x) f'(x) f'(x)
Функция и первообразная F(x) F'(x) f(x)

Получается, для функции и первообразной будут действовать почти те же правила, что и для функции и ее производной. 

При решении заданий с графиками первообразной достаточно проанализировать уравнение F'(x) = f(x). Рассмотрим несколько примеров. 

Пример 3. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x) и отмечены шесть точек на оси абсцисс x1, x2, x3, x4, x5, x6. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна? 

Решение. Поскольку F'(x) = f(x), то функция f(x) будет отрицательна в тех же точках, в которых будет отрицательна F'(x). 

Поскольку на графике изображена функция y = F(x), то ее производная будет отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим их красным. 

В эти промежутки попадают 3 из 6 точек.  

Ответ: 3. 

Пример 4. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определенной на интервале (-6; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-5; 4]. 

Решение. Вспомним, что F'(x) = f(x). Тогда если f(x) = 0, то и F'(x) = 0. Следовательно, на заданном промежутке нужно найти точки экстремума. 

Отметим заданный промежуток красными линиями. На промежутке всего 9 точек экстремума, значит, в 9 точках f(x) будет равна 0. 

Ответ: 9

Чем кофе похож на функцию, ее первообразную и производную? 

Представим, что в качестве функции у нас выступают кофейные зерна. Тогда производная — то, что мы получаем в результате их переработки — это вкусный напиток. 

Из чего получаются сами кофейные зерна? Их собирают с кофейного дерева. То есть зерна будут производной от кофейного дерева, а кофейное дерево — это первообразная. 

Так мы можем отследить следующую цепочку: кофейное дерево → кофейные зерна → кофе. И эта цепочка наглядно иллюстрирует связь первообразной, функции и ее производной.

Фактчек

  • Графики функции, производной и первообразной связаны между собой. 
  • В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
  • На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
  • На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х
  • Для решения задач с первообразной необходимо вспомнить, что F'(x) = f(x). Любой график можно проанализировать с помощью этого уравнения также, как анализируются графики функции и ее производной. 

Проверь себя

Задание 1. 
На каких промежутках будет производная функции будет положительна?

  1. На промежутках убывания функции.
  2. На промежутках возрастания функции.
  3. В точках экстремума.
  4. Невозможно определить по графику. 

Задание 2. 
На каких промежутках производная функции будет отрицательна?

  1. На промежутках возрастания функции.
  2. На промежутках убывания функции.
  3. В точках экстремума.
  4. Невозможно определить по графику. 

Задание 3. 
На рисунке изображен график производной функции f(x), на котором отмечена точка. Чем будет являться эта точка для функции f(x)? 

  1. Точка максимума функции.
  2. Точка минимума функции.
  3. Любая произвольная точка на функции.
  4. Невозможно определить по графику. 

Задание 4. 
Выберите верный вариант:

  1. F(x) = f'(x)
  2. F(x) = f(x)
  3. F'(x) = f'(x)
  4. F'(x) = f(x)

Ответы: 1. — 2 2. — 2 3. — 1 4. — 4

Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах дифференцирования. 

Содержание:

Производная функции — это скорость изменения функции в данной точке, производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует, производную функцию, имеющую конечную производную {в некоторой точке}, называют дифференцируемой {в данной точке}.

Начнём с изучения основ происхождения производной.

До настоящего времени, используя алгебраические правила, изученные нами, мы могли получать статистические данные, соответствующие реальной жизненной ситуации. Однако, во многих случаях, в производстве, медицине, а также в различных областях науки, возникает необходимость получить более динамическую информацию, другими словами, возникает надобность проследить как изменения одной переменной влияет на скорость изменения другой переменной. Например, рекламный менеджер хочет знать, как изменяется прибыль при изменении затрат, врач — динамику изменения структуры печени при увеличении дозы лекарственного препарата и т. д. Рассмотрим следующий пример определения скорости изменения.

Средняя скорость:

На рисунке показаны графики зависимости расстояния от времен при равномерном движении автомобиля по магистральной дороге и неравномерном движении по городу. При равномерном движении, за равные промежутки времени, длина пройденного пути одинакова и на графике движения угловой коэффициент прямой выражает скорость. При неравномерном движении длина пути на одинаковых временных участках может и не быть одинаковой. В этом случае используется значение средней скорости.

Как найти производную функции примеры с решением

Отношение пройденного телом пути к промежутку времени, за которое

этот путь пройден, называется средней скоростью.

Как найти производную функции примеры с решением

Пример 1.

Частица движется прямолинейно но закону Как найти производную функции примеры с решением Найдите среднюю скорость на промежутке времени: а) [1; 3] , b) [1; 2] ( здесь Как найти производную функции примеры с решением в метрах, Как найти производную функции примеры с решением — в секундах).

Решение: а) Средняя скорость на промежутке времени Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

b) Средняя скорость на промежутке времени Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Средняя скорость изменения:

Для произвольной функции Как найти производную функции примеры с решением на промежутке Как найти производную функции примеры с решением средняя скорость равна Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Это отношение равно углу наклона секущей графика функции, проходящей через точки Как найти производную функции примеры с решением

Мгновенная скорость:

Исследуем понятие мгновенной скорости на следующем примере.

Пример 2.

В таблице представлены результаты вычислений средней скорости частицы, движущейся прямолинейно по закону Как найти производную функции примеры с решением для некоторых малых значений Как найти производную функции примеры с решением за промежуток времени Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

По таблице можно установить, что при Как найти производную функции примеры с решением мгновенная скорость приблизительно равна 2 м/сек. Вообще, средняя скорость на интервале времени Как найти производную функции примеры с решением будет:

Как найти производную функции примеры с решением

Устремляя At к нулю путем сокращения временного интервала Как найти производную функции примеры с решением найдем мгновенную скорость в предельном состоянии в момент

Как найти производную функции примеры с решением

Таким образом, при прямолинейном движении по закону Как найти производную функции примеры с решением мгновенная скорость в любой момент времени Как найти производную функции примеры с решением будет:

Как найти производную функции примеры с решением

По аналогичному правилу, для любой функции мгновенную скорость изменения при Как найти производную функции примеры с решением находят по формуле:

Как найти производную функции примеры с решением или Как найти производную функции примеры с решением

Мгновенная скорость изменения:

Предел Как найти производную функции примеры с решением выражает мгновенное изменение скорости функции Как найти производную функции примеры с решением в точке Как найти производную функции примеры с решением

Теперь пронаблюдаем, как при изменении положения секущей на кривой, средняя скорость превращается в мгновенную скорость. На графике точки Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением показывают изменение положения точки Как найти производную функции примеры с решением в направлении точки Как найти производную функции примеры с решением Здесь, уменьшая значения Как найти производную функции примеры с решением путем приближения к 0, точка Как найти производную функции примеры с решением меняя положение вдоль кривой, приближается к точке Как найти производную функции примеры с решением и, наконец, совпадает с ней.

Как найти производную функции примеры с решением

При приближении точки Как найти производную функции примеры с решением остающейся на кривой, к точке Как найти производную функции примеры с решением предельное положение секущей Как найти производную функции примеры с решением (если оно существует), называется касательной к кривой в точке Как найти производную функции примеры с решением При Как найти производную функции примеры с решением предел углового коэффициента секущей, т. е. мгновенное изменение скорости функции Как найти производную функции примеры с решением в точке Как найти производную функции примеры с решением равен угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Пример 3.

Найдем скорость свободного падения в момент Как найти производную функции примеры с решением сек.

Решение: Зависимость между пройденным путем и временем Как найти производную функции примеры с решением при свободном падении имеет вид: Как найти производную функции примеры с решением. Здесь Как найти производную функции примеры с решением ускорение свободного падения и Как найти производную функции примеры с решением Тогда можно написать Как найти производную функции примеры с решением Через 2 секунды после начала движения в интервале Как найти производную функции примеры с решением средняя скорость будет Как найти производную функции примеры с решением

В момент Как найти производную функции примеры с решением скорость равна значению предела

Как найти производную функции примеры с решением

Пример 4.

Дана функция Как найти производную функции примеры с решением Найдите: а) среднюю скорость изменения при Как найти производную функции примеры с решением b) мгновенную скорость при Как найти производную функции примеры с решением

Решение: а) При Как найти производную функции примеры с решением средняя скорость будет:

Как найти производную функции примеры с решением

b) Найдем мгновенную скорость при Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Что такое производная функции

Необходимость вычисления мгновенной скорости изменения в расчетах Исаака Ньютона( 1642-1727) и Готфрида Лейбница (1646-1716), привело к формированию основного и мощного правила — дифференциального исчисления. Как результат, появилось понятие «производная».

Как найти производную функции примеры с решением

Задачи на нахождение мгновенной скорости и углового коэффициента касательной имеют одинаковую суть и приводят к нахождению мгновенного изменения определенной функции. Теперь обобщим эти понятия.

Производная функции подробно с объяснением:

Пусть функция Как найти производную функции примеры с решением определена на интервале Как найти производную функции примеры с решением Отметим произвольную точку Как найти производную функции примеры с решением и дадим аргументу такое приращение Как найти производную функции примеры с решением что Как найти производную функции примеры с решением

Тогда функция, соответственно, получит приращение Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Определение. Если существует конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, то этот предел называется производной функции Как найти производную функции примеры с решением в точке Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Производную функции Как найти производную функции примеры с решением также можно записать в виде Как найти производную функции примеры с решением (запись по Лейбницу).

Если функция Как найти производную функции примеры с решением имеет производную Как найти производную функции примеры с решением в точке Как найти производную функции примеры с решением то в этом случае говорят, что функция Как найти производную функции примеры с решением дифференцируема в данной точке. Если функция дифференцируема в каждой точке интервала Как найти производную функции примеры с решением то говорят, что она дифференцируема на этом интервале.

Нахождение производной функции называется дифференцированием. Для нахождения производной, согласно определению, необходимо выполнить следующие шаги:

  1. Находят Как найти производную функции примеры с решением
  2. Упрощается разность Как найти производную функции примеры с решением
  3. Записывается и упрощается выражение Как найти производную функции примеры с решением
  4. Находится предел отношения при Как найти производную функции примеры с решением

Пример 1.

Найдите производную Как найти производную функции примеры с решением функции Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Как найти производную функции примеры с решением

В общем случае Как найти производную функции примеры с решением Здесь при Как найти производную функции примеры с решением имеем: Как найти производную функции примеры с решением

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной

Если функция Как найти производную функции примеры с решением дифференцируема в точке Как найти производную функции примеры с решением то в точке Как найти производную функции примеры с решением к графику функции можно провести касательную.

Значение производной функции в точке с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением равно угловому коэффициенту касательной к графику в точке с абциссой Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Уравнение прямой, проходящей через точку Как найти производную функции примеры с решением угловой коэффициент которой равен Как найти производную функции примеры с решением имеет вид Как найти производную функции примеры с решением Учитывая, что абсцисса равна Как найти производную функции примеры с решением ордината равна Как найти производную функции примеры с решением угловой коэффициент равен Как найти производную функции примеры с решением уравнение касательной к графику функции Как найти производную функции примеры с решением в точке с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением имеет вид:

Как найти производную функции примеры с решением

Пример 2.

Для функции Как найти производную функции примеры с решением найдите:

a) производную;

b) значения Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением

c) уравнение касательной в точке с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением

Решение: а) По определению производная в точке Как найти производную функции примеры с решением находится так:

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Для функции Как найти производную функции примеры с решением производной является Как найти производную функции примеры с решением Как видно, производной квадратичной функции является линейная функция: Как найти производную функции примеры с решением

b) Так как Как найти производную функции примеры с решением то Как найти производную функции примеры с решением

с) Уравнение касательной запишем при помощи формулы уравнения прямой Как найти производную функции примеры с решением Так как Как найти производную функции примеры с решением то угловой коэффициент касательной с в точке абсциссой Как найти производную функции примеры с решением равен Как найти производную функции примеры с решением Ордината точки на графике с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением равна Как найти производную функции примеры с решением Запишем данные значения в формулу. Получим уравнение касательной в точке с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Согласно выполненным вычислениям можно сказать, что:

Пример 3.

Для функции Как найти производную функции примеры с решением найдите:

a) производную;

b) Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Значит, производная функции Как найти производную функции примеры с решением является квадратичной функцией: Как найти производную функции примеры с решением

b) Так как Как найти производную функции примеры с решением то Как найти производную функции примеры с решением

Выражение Как найти производную функции примеры с решением называется дифференциалом функции и обозначается Как найти производную функции примеры с решением Как видно, дифференциал функции зависит от Как найти производную функции примеры с решением Так как Как найти производную функции примеры с решением го для функции Как найти производную функции примеры с решением получаем, что Как найти производную функции примеры с решением

Поэтому дифференциал функции Как найти производную функции примеры с решением обозначается как Как найти производную функции примеры с решениемДифференциал является главной (основной) частью приращения функции

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Точки, в которых функция не имеет производной

Если функция дифференцируема в точке Как найти производную функции примеры с решением то при Как найти производную функции примеры с решением имеем Как найти производную функции примеры с решением т. е в этой точке функция непрерывна. Однако, обратное утверждение, вообще, не верно. Непрерывная функция в некоторых точках может не иметь производную.

Графически производная определяется как угловой коэффициент касательной. Кривая, которая имеет касательные в каждой точке, называется гладкой кривой. На графике могут быть точки, в которых, или невозможно провести касательную, или касательная вертикальна. В таких точках производная не существует. Ниже представлены примеры точек, не имеющих производных.

1) Для функций, график которых имеет вид «V» (функция Как найти производную функции примеры с решением некоторые кусочно — заданные функции и т. д. ), в точках «преломления» является касательной, но не имеет производной при соответствующих значениях аргумента.

Как найти производную функции примеры с решением

2) Если касательная вертикальна (совпадает или параллельна с осью Как найти производную функции примеры с решением в точке пересечения касательной с осью абсцисс производная не существует.

Например, касательная к графику функции Как найти производную функции примеры с решением с абсциссой в точке Как найти производную функции примеры с решением является вертикальной прямой, и в этой точке функция не имеет производной.

Как найти производную функции примеры с решением

3) В точках разрыва функция не имеет производную.

Пример №1

На рисунке дан график функции Как найти производную функции примеры с решением При каких значениях аргумента, отмеченных на оси абсцисс, функция не имеет производной?

Как найти производную функции примеры с решением

Решение: функция Как найти производную функции примеры с решением не имеет производную в точках:

* Как найти производную функции примеры с решением — точки разрыва функции;

* Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением— «точки преломления ;

* Как найти производную функции примеры с решением — касательная вертикальная прямая.

Правила дифференцирования

Используя определение производной, мы нашли производные некоторых степенных функций, например, Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением

Для нахождения производных используют следующие правила.

Как найти производную функции примеры с решением

Докажем эти правила, используя определение производной.

1. Если Как найти производную функции примеры с решением то Как найти производную функции примеры с решением т. е. производная постоянной равна нулю.

Доказательство:

Как найти производную функции примеры с решением

Это видно и но графику постоянной функции. В каждой точке графика угловой коэффициент равен нулю.

Как найти производную функции примеры с решением

2. Если Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением то Как найти производную функции примеры с решением Для функции Как найти производную функции примеры с решением для значений Как найти производную функции примеры с решением запишем соответствующие биномиальные разложения.

Как видно, в каждом разложении первый член Как найти производную функции примеры с решением а второй член Как найти производную функции примеры с решением У каждого члена из желтого треугольника присутствует множитель Как найти производную функции примеры с решением В упрощенной форме разложение бинома Как найти производную функции примеры с решением перепишем в виде:

Как найти производную функции примеры с решением

Запишем и упростим отношение, которое показывает изменение мгновенной скорости функции.

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Предел данного выражения при условии Как найти производную функции примеры с решением является производной функции

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Значит, для любого натурального числа Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

В частном случае, при Как найти производную функции примеры с решением получаем

Как найти производную функции примеры с решением

В общем случае, для функции Как найти производную функции примеры с решением с любой действительной степенью верно равенство Как найти производную функции примеры с решением для всех Как найти производную функции примеры с решением для которых правая часть имеет смысл.

В частном случае: Как найти производную функции примеры с решением

Пример №2

Найдите производную функций:

Как найти производную функции примеры с решением

Решение: Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

3. Если Как найти производную функции примеры с решением дифференцируема, то функция Как найти производную функции примеры с решением где Как найти производную функции примеры с решениемпостоянная,тоже дифференцируема и Как найти производную функции примеры с решением

т. е. постоянную можно вынести за знак производной.

Как найти производную функции примеры с решением

4. Если функции Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением дифференцируемы, то их сумма (разность) также дифференцируема и Как найти производную функции примеры с решением

Доказательство: докажем, что формула верна для Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Пример №3

Найдите производную функции Как найти производную функции примеры с решением

Решение: Как найти производную функции примеры с решением

Пример №4

Найдите производную Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Как найти производную функции примеры с решением

Пример №5

а) В каких точках касательные к графику функции Как найти производную функции примеры с решениемпараллельны оси абсцисс?

b) Определите координаты точки, в которой угловой коэффициент касательной к графику равен 9.

Решение: а) Если касательная параллельна оси абсцисс, то угловой коэффициент равен нулю.

Точки, в которых угловой коэффициент равен нулю, являются точками, в которых производная равна 0, т. е. Как найти производную функции примеры с решением Найдем производную функции Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Определим точки, в которых производная равна нулю.

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Находим значения функции в этих точках:

Как найти производную функции примеры с решением

На графике функции, построенном при помощи графкалькулягора, видно, что в точках (0;0) и (4;32) касательная к графику параллельна оси абсцисс.

b) Найдем точки, в которых угловой коэффициент равен 9:

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

По графику также видно, что им соответствуют точки (1; 5) и (3; 27).

Более подробное объяснение правил дифференцирования производных:

Пусть f(х) и Как найти производную функции примеры с решением — функции, имеющие производные. Тогда справедливы следующие правила дифференцирования:

1. Производная суммы равна сумме производных:

Как найти производную функции примеры с решением (1)

2. Производная разности равна разности производных:

Как найти производную функции примеры с решением

Пример №6

Найдите производную функции:

Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Воспользуемся правилами 1, 2 и 1,3 — пунктами таблицы производных

(см. стр. 27):

Как найти производную функции примеры с решением

Ответ:Как найти производную функции примеры с решением

3. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: Как найти производную функции примеры с решением, c-постоянная (3)

Пример №7

Найдите производную функции:

Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Воспользуемся правилами 1, 2, 3 и 1, 3 — пунктами таблицы производных: Как найти производную функции примеры с решением

Ответ: Как найти производную функции примеры с решением

4. Производная произведения:

Как найти производную функции примеры с решением (4)

Пример №8

Найдите производную функции:

Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Воспользуемся правилами 1, 3, 4 и 1,3- пунктами таблицы производных:

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Ответ:Как найти производную функции примеры с решением

5. Производная отношения:

Как найти производную функции примеры с решениемздесь Как найти производную функции примеры с решением (5)

Пример №9

Найдите производную функции:

Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Воспользуемся правилами 1, 3, 5 и 1,3- пунктами таблицы производных:

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

0твет: Как найти производную функции примеры с решением

Пример №10

Найдите:

Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

1) Для нахождения разностного отношения воспользуемся формулой разности синусов: Как найти производную функции примеры с решением

Можно показать, что при Как найти производную функции примеры с решением

Значит,Как найти производную функции примеры с решением

2)Для нахождения разностного отношения воспользуемся формулой разности косинусов:

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Можно доказать, что при Как найти производную функции примеры с решением

Значит, Как найти производную функции примеры с решением

3)Воспользовавшись правилом 5 дифференцирования, а также результатами, полученными выше, найдём производную:

Как найти производную функции примеры с решением

Ответ: Как найти производную функции примеры с решением

Производная произведения

Для нахождения производной функции в виде Как найти производную функции примеры с решением можно записать функцию в виде многочлена и применить известные нам правила дифференцирования. Однако для функций, заданных в виде произведения, существует более эффективное правило нахождения производной.

Если функции Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением дифференцируемы, то их произведение также дифференцируемо и Как найти производную функции примеры с решением

Доказательство: Пусть Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Прибавив и отняв в числителе дроби член Как найти производную функции примеры с решением для членов Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением дробь можно записать в виде суммы двух дробей.

Как найти производную функции примеры с решением

Пример №11

Найдите производную функции Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Как найти производную функции примеры с решениемкаждый множитель записывается как одна функция

Как найти производную функции примеры с решением для каждой функции находится производная

Как найти производную функции примеры с решением применяется правило дифференцирования произведения

Как найти производную функции примеры с решениемпринимаются во внимание соответствующие выражения

Как найти производную функции примеры с решением упрощается

Как найти производную функции примеры с решением

Решение можно проверить, предварительно упростив выражение функции:

Как найти производную функции примеры с решением

Производная частного

Если функции Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением дифференцируемы и Как найти производную функции примеры с решением то функция Как найти производную функции примеры с решением дифференцируема и имеет место равенство:

Как найти производную функции примеры с решением

Доказательство:

Как найти производную функции примеры с решением

В частном случае, Как найти производную функции примеры с решением

Пример №12

Найдите производную функции Как найти производную функции примеры с решением

Решение: Как найти производную функции примеры с решением числитель и знаменатель записываются как отдельные функции

Как найти производную функции примеры с решением находится производная каждой функции

Как найти производную функции примеры с решением применяется правило дифференцирования частного

Как найти производную функции примеры с решением учитываются соответствующие выражения упрощается

Производная сложной функции

Во многих случаях аргумент заданной функции зависит от другой переменной.

Как найти производную функции примеры с решением

Исследование

1) Для функции Как найти производную функции примеры с решением при Как найти производную функции примеры с решением задайте сложную функцию Как найти производную функции примеры с решением и представьте ее в виде многочлена.

Как найти производную функции примеры с решением

2) Найдите производную этой функции и запишите ее в виде

Как найти производную функции примеры с решением

3) Зная, что Как найти производную функции примеры с решением проверьте справедливость равенства

Как найти производную функции примеры с решением

Цепное правило нахождения производной сложной функции:

Пусть, на определенном интервале задана сложная функция Как найти производную функции примеры с решением и функция Как найти производную функции примеры с решением дифференцируема в точке Как найти производную функции примеры с решением а функция Как найти производную функции примеры с решением дифференцируема в точке Как найти производную функции примеры с решением Тогда сложная функция Как найти производную функции примеры с решением также дифференцируема в точке Как найти производную функции примеры с решением и для ее производной справедлива формула

Как найти производную функции примеры с решением

На самом деле, так как функция Как найти производную функции примеры с решением дифференцируема в точке Как найти производную функции примеры с решением то при Как найти производную функции примеры с решением получим, что Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

учитывается, что Как найти производную функции примеры с решением

Таким образом Как найти производную функции примеры с решением

Учитывая, что Как найти производную функции примеры с решением последнее равенство можно записать при помощи записи Лейбница в виде

Как найти производную функции примеры с решением

В частном случае, если Как найти производную функции примеры с решением то

Как найти производную функции примеры с решением

При Как найти производную функции примеры с решением получим: Как найти производную функции примеры с решением

Пример №13

Найдите производную функции Как найти производную функции примеры с решением

Решение: обозначим Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением Тогда заданная функция является композицией этих функций, т. е. сложной функцией и

Как найти производную функции примеры с решением

Пример №14

Найдите производную функции Как найти производную функции примеры с решением

Решение: обозначим Как найти производную функции примеры с решением тогда Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением

Так как Как найти производную функции примеры с решением то получим Как найти производную функции примеры с решением

Пример №15

Найдите производную функции Как найти производную функции примеры с решением

Решение: как видно, здесь надо применить как правило дифференцирования сложной функции, так и правило дифференцирования произведения

Как найти производную функции примеры с решением

Пример №16

Прибыль от вклада, вложенного в банк под сложный процент на 10 лет с процентной ставкой Как найти производную функции примеры с решением вычисляется ежемесячно. Сумму вклада через 10 лет можно рассчитать по формуле:

Как найти производную функции примеры с решением

a) Запишите функцию Как найти производную функции примеры с решением которая поможет определить увеличении суммы вклада Как найти производную функции примеры с решением в зависимости от процента.

b) Найдите прибыль при Как найти производную функции примеры с решением или Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

a) Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением правило дифференцирования сложной функции

Как найти производную функции примеры с решением упрощаем

b) прибыль (ежемесячная) через 10 лег при Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением манат прибыль (ежемесячная ) через 10 лет при Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением манат

Решение задач при помощи производной

При решении ряда экономических задач используют термин «маржинал», который отражает скорость изменения экономических показателей. При этом приняты следующие обозначения:

Маржинальные затраты на производство — изменение затрат на производство продукции в заданный момент. Другими словами, это дополнительные затраты на производство (выпуск) каждой дополнительной единицы продукции. Обозначим через Как найти производную функции примеры с решением затраты на производство товара в количестве Как найти производную функции примеры с решением единиц, тогда для Как найти производную функции примеры с решением единицы затраты будут Как найти производную функции примеры с решениемРазность Как найти производную функции примеры с решением показывает себестоимость Как найти производную функции примеры с решениемго товара. Эта разность показывает прирост затрат и называется маржинальными затратами на производство.

Как найти производную функции примеры с решением

Объем маржинальных затрат равен угловому коэффициенту касательной к графику в точке Как найти производную функции примеры с решением другими словами, производной функции в точке Как найти производную функции примеры с решением Т .е. значение производной Как найти производную функции примеры с решением функции Как найти производную функции примеры с решением выражает изменение себестоимости Как найти производную функции примеры с решениемго товара. Маржинальные затраты используется для приблизительного определения себестоимости.

Маржинальная выручка. Как найти производную функции примеры с решением изменение выручки в заданный момент в зависимости от количества проданного товара. Другими словами, показывает выручку от продажи каждой дополнительно произведенной (выпущенной) единицы продукции.

Маржинальная прибыль. Как найти производную функции примеры с решением изменение (скорость) полученной прибыли в заданный момент в зависимости от количества проданного товара. Другими словами, прибыль полученную от каждой дополнительно произведенной (выпущенной) единицы продукции.

Пример №17

Фирма по производству радиаторов может смоделировать затраты на производство Как найти производную функции примеры с решением радиаторов функцией Как найти производную функции примеры с решением а выручку, полученную при продаже радиаторов в количестве Как найти производную функции примеры с решением штук функцией Как найти производную функции примеры с решением

а) Чему равна себестоимость каждого следующего радиатора, произведенного после 10? b) Найдите прибыль, полученную от продажи каждого следующего радиатора после 10 штук проданных.

Решение:

Как найти производную функции примеры с решением — функция, моделирующая затраты. Производная Как найти производную функции примеры с решением функции Как найти производную функции примеры с решением дает возможность найти, приблизительно, в любой момент времени (в зависимости от количества произведенной продукции), затраты на производство радиаторов.

a) Как найти производную функции примеры с решением

Т. е. после производства 10 радиаторов, себестоимость каждого следующего радиатора равна 195 ман.

b) Производная Как найти производную функции примеры с решением функции Как найти производную функции примеры с решением позволяет в любой момент (в зависимости от количества) найти выручку от продажи.

Как найти производную функции примеры с решением

Производная второго порядка

Пусть для функции Как найти производную функции примеры с решением на заданном промежутке существует производная Как найти производную функции примеры с решением Если функция Как найти производную функции примеры с решением является дифференцируемой функцией, то ее производная для функции Как найти производную функции примеры с решением называется производной второго порядка и обозначается как Как найти производную функции примеры с решением

Известно, что производная показывает мгновенное изменение. Мгновенное изменение пройденного пути в зависимости от времени является скоростью. Отсюда становится ясным физический смысл производной. При прямолинейном движении по закону Как найти производную функции примеры с решением мгновенная скорость равна производной функции Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Скорость также изменяется в зависимости от времени. Изменение скорости выражается новой величиной, называемой ускорением. Вообще, находя производную функции зависимости пройденного пути от времени, находят функцию скорости. Находя производную от функции скорости получаем ускорение. Т. е. получая два раза подряд производную от функции пройденного пути можно найти ускорение:

Как найти производную функции примеры с решением

Из физики известно, что и скорость, и ускорение являются векторными величинами. Если скорость и ускорение имеют одинаковые знаки, то движение ускоренное, если знаки разные, то движение замедленное. Производная второго порядка используется для решения ряда экономических задач, в том числе задач, моделирующих реальные жизненные ситуации. Умение приблизительно определить является ли скорость изменения положительной или отрицательной имеет важное практическое значение.

Пример №18

Найдите производную второго порядка Как найти производную функции примеры с решением

а) Как найти производную функции примеры с решением b) Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

a) Как найти производную функции примеры с решением находим производную первого порядка

Как найти производную функции примеры с решением находим производную второго порядка

b) Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением находим производную первого порядка, используя правило дифференцирования сложной функции

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением находим производную второго порядка

Пример №19

Для функции пройденного пути Как найти производную функции примеры с решением зависящей от времени Как найти производную функции примеры с решением время в сек., Как найти производную функции примеры с решением расстояние в м, Как найти производную функции примеры с решением исследуйте связь между функциями расстояния, скорости и ускорения.

Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Из графика Как найти производную функции примеры с решением видно, что угловой коэффициент касательной функции в точках Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением равен нулю. Т. е. функция производной в соответствующих точках обнуляется.

В интервалах (0; 2) и (6; 8) угловой коэффициент касательной к графику функции Как найти производную функции примеры с решением положителен и функция Как найти производную функции примеры с решением также положительна (расположена выше оси Как найти производную функции примеры с решением). В интервале (2;6) угловой коэффициент касательной отрицателен и функция Как найти производную функции примеры с решением также отрицательна (расположена ниже оси Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Из графика функции Как найти производную функции примеры с решением видно, что в Как найти производную функции примеры с решением угловой коэффициент касательной равен нулю. Эта точка является точкой пересечения графика функции Как найти производную функции примеры с решением с осью абсцисс.

Как найти производную функции примеры с решением

На интервале [0; 4) угловой коэффициент касательной к графику функции Как найти производную функции примеры с решением отрицателен, а на интервале (4; 8) угловой коэффициент положителен и функция Как найти производную функции примеры с решением на интервале [0; 4) принимает отрицательные значения; а на интервале (4; 8) — положительные значения.

Производная показательной функции

Мы уже знакомы со многими задачами реальных жизненных ситуаций, которые можно смоделировать экспоненциальным возрастанием или убыванием. Например, рост населения, увеличение денежного вклада на счету, радиоактивный распад, рост числа бактерий и т. д. В этих ситуациях важно уметь определять скорость прироста в любой момент. Эту скорость можно найти при помощи производной.

Показательная функция дифференцируема в каждой точке числовой оси

1. Производная функции Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением по определению производной множитель Как найти производную функции примеры с решением выносим за скобку

Как найти производную функции примеры с решением множитель Как найти производную функции примеры с решением не зависит от Как найти производную функции примеры с решением значит его можно вынести за знак предела.

Как найти производную функции примеры с решением учитывая, что Как найти производную функции примеры с решением

2. Производная сложной функции Как найти производную функции примеры с решением

Если функция Как найти производную функции примеры с решением дифференцируема, то Как найти производную функции примеры с решением

В частном случае, Как найти производную функции примеры с решением

3. Производная функции Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением по основному свойству логарифма

Как найти производную функции примеры с решением производная сложной функции

Как найти производную функции примеры с решением по основному свойству логарифма

4. Производная сложной функции Как найти производную функции примеры с решением

Если функция Как найти производную функции примеры с решением дифференцируема, то Как найти производную функции примеры с решением

Пример №20

Найдите производную функции Как найти производную функции примеры с решением

Решение: Как найти производную функции примеры с решением

Пример №21

Найдите производную функции Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Как найти производную функции примеры с решением

Для функции Как найти производную функции примеры с решением производная имеет вид Как найти производную функции примеры с решением Из этого следует, что угловой коэффициент касательной к графику функции Как найти производную функции примеры с решением в 3 раза больше значения функции в точке с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Это показывает, что при экспоненциальном изменении скорость изменения роста пропорциональна величине изменения.

Пример №22

Увеличение денежной суммы при помощи сложного процента.

Пусть в банк вложена сумма в размере Как найти производную функции примеры с решением под сложный процент при процентной ставке 9% в год.

Количество денег в Как найти производную функции примеры с решением год можно найти по формуле Как найти производную функции примеры с решением

a) Какова сумма вклада в конце 3-го года, если первоначально вложили 1000 манат?

b) Какова сумма прироста за 4-ый год, если первоначально вложили 1000 манат?

Решение:

a) При Как найти производную функции примеры с решением найдем значение Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

b) При Как найти производную функции примеры с решением значение производной функции Как найти производную функции примеры с решением соответствует приросту за 4-ый год. Этот прирост равен Как найти производную функции примеры с решением При Как найти производную функции примеры с решением найдем Как найти производную функции примеры с решением

Производная логарифмической функции

Функция Как найти производную функции примеры с решением дифференцируема на интервале Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением выполним эквивалентную замену

Как найти производную функции примеры с решением получим производную

Как найти производную функции примеры с решением производная сложной функции

Как найти производную функции примеры с решением выполним замену

Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением

Производную функции Как найти производную функции примеры с решением можно представить геометрически. Проведите касательную в какой-либо точке, начиная слева. На эту касательную поместите линейку и смоделируйте следующие касательные, двигаясь вправо. Каждая следующая касательная изменяется в горизонтальном направлении и угловой коэффициент стремится к нулю.

Если Как найти производную функции примеры с решением и дифференцируема, то: Как найти производную функции примеры с решением

В частном случае, Как найти производную функции примеры с решением

Пример №23

Найдите производную функции: а) Как найти производную функции примеры с решением b) Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

а) Как найти производную функции примеры с решением

b) Как найти производную функции примеры с решением

Производная функции Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением перейдем к основанию Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением получим производную

Как найти производную функции примеры с решением применим правила дифференцирования

Если Как найти производную функции примеры с решением и дифференцируема, то: Как найти производную функции примеры с решением

Пример №24

Найдите производную функции: а) Как найти производную функции примеры с решением b) Как найти производную функции примеры с решением

Решение: а) Как найти производную функции примеры с решением

b) Как найти производную функции примеры с решением

Исследование. Производная функции Как найти производную функции примеры с решением

1. В тетради изобразите график функции Как найти производную функции примеры с решением Отметьте угловой коэффициент касательной к графику в указанных точках.

Как найти производную функции примеры с решением

2. Изобразите новую систему координат и отметьте точки, соответствующие указанным угловым коэффициентам.

Как найти производную функции примеры с решением

3. Соедините полученные точки. Учитывая, что угловой коэффициент равен производной функции в данных точках, сделайте соответствующие выводы по поводу производной данной функции.

Как найти производную функции примеры с решением

4. Такие же действия выполните для функции Как найти производную функции примеры с решением и сделайте соответствующие выводы.

Как найти производную функции примеры с решением

Производные тригонометрических функций

Тригонометрические функции дифференцируемы в любой точке области определении.

Производная функции Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением по определению производной

Как найти производную функции примеры с решением тригонометрические тождества

Как найти производную функции примеры с решением вынесение общего множителя за скобку

Как найти производную функции примеры с решением свойство дроби

Как найти производную функции примеры с решением так как Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением не зависят от Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением учитывая Как найти производную функции примеры с решением

Производная сложной функции Как найти производную функции примеры с решением

если Как найти производную функции примеры с решением дифференцируемая функция, то Как найти производную функции примеры с решением

В частном случае, Как найти производную функции примеры с решением

Пример №25

Найдите производную функции Как найти производную функции примеры с решением

Решение: здесь Как найти производную функции примеры с решением

Производная функции Как найти производную функции примеры с решением

Найдем производную функции Как найти производную функции примеры с решением используя тождество Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Производная сложной функции Как найти производную функции примеры с решением

если Как найти производную функции примеры с решением дифференцируемая функция, то Как найти производную функции примеры с решением

В частном случае: Как найти производную функции примеры с решением

Пример №26

Найдите производную функции Как найти производную функции примеры с решением

Решение: здесь Как найти производную функции примеры с решением

Производная функции Как найти производную функции примеры с решением

Найдем производную функции Как найти производную функции примеры с решением используя тождество Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Производная сложной функции Как найти производную функции примеры с решением

если Как найти производную функции примеры с решением дифференцируемая функция, то Как найти производную функции примеры с решением

В частном случае: Как найти производную функции примеры с решением

Аналогично можно показать, что

Как найти производную функции примеры с решением

В частном случае: Как найти производную функции примеры с решением

Пример №27

Найдите производную функции Как найти производную функции примеры с решением

Решение: Как найти производную функции примеры с решением

= 3cos2x(2x)’+ 4sin3x(3x)’ = 6cos2x + 12sin3x

Как найти производную функции примеры с решением

Пример №28

Найдите производную функции Как найти производную функции примеры с решением

Решение: Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Подробно о производной функции в высшей математике

Пример №29

Как найти производную функции примеры с решением
 

Р е ш е н и е

По формуле (6.2)
Как найти производную функции примеры с решением
Таким образом, Как найти производную функции примеры с решением Аналогично Как найти производную функции примеры с решением

Пример №30

Как найти производную функции примеры с решением

Р е ш е н и е

Как найти производную функции примеры с решением
Таким образом, Как найти производную функции примеры с решением Аналогично Как найти производную функции примеры с решением
 

Определение 6.2. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке Как найти производную функции примеры с решением, если ее приращение Как найти производную функции примеры с решениемпредставляется в виде Как найти производную функции примеры с решением (6.3)
где А – постоянное число, не зависящее от ∆x; o (∆x) – бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем ∆x, при ∆x→o.
 

Определение 6.3. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке Как найти производную функции примеры с решением.
Дифференциалом Как найти производную функции примеры с решениемфункции y=f(x) в точке Как найти производную функции примеры с решением будем называть линейную относительно ∆x функцию вида
Как найти производную функции примеры с решением
Для функции Как найти производную функции примеры с решением Поэтому формулу (6.6) можно переписать в виде
Как найти производную функции примеры с решением
 

Теорема 6.2. Если функция y=f(x) была дифференцируема в точке Как найти производную функции примеры с решением,то она непрерывна в этой точке.
Доказательство

Рассмотрим цепочку эквивалентных утверждений:
Как найти производную функции примеры с решением
что и требовалось доказать.
 

Теорема 6.3. Пусть функцииКак найти производную функции примеры с решением– дифференцируемы, Как найти производную функции примеры с решением

Тогда:

Как найти производную функции примеры с решением

Доказательство

Докажем, например, формулу (6.9).
Как найти производную функции примеры с решением
что и требовалось доказать.

Из формул (6.8)–(6.10), с учетом (6.7), получим
Как найти производную функции примеры с решением
 

Пример №31

Как найти производную функции примеры с решением
 

Р е ш е н и е

Как найти производную функции примеры с решением
Аналогично Как найти производную функции примеры с решением

Теорема 6.4. Пусть функции Как найти производную функции примеры с решением дифференцируемы. Тогда и сложная функция Как найти производную функции примеры с решениемдифференцируема иКак найти производную функции примеры с решением (6.11)
 

ДоказательствоКак найти производную функции примеры с решением

что и требовалось доказать.

П р и м е р 6.4

Найти производную Как найти производную функции примеры с решением
 

Р е ш е н и е

Данная функция представляется как композиция функций
Как найти производную функции примеры с решением
Тогда по формуле (6.11)
Как найти производную функции примеры с решением

Найдем дифференциал функции Как найти производную функции примеры с решением По формуле (6.7)
Как найти производную функции примеры с решением(6.12)
С другой стороны, с учетом формулы (6.11)
Как найти производную функции примеры с решением
Формулы (6.12) и (6.13) показывают инвариантность (неизменяемость)
формы дифференциала. В формуле (6.12) Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением, в формуле (6.13) d u –
дифференциал функции Как найти производную функции примеры с решением. Например, для функции
Как найти производную функции примеры с решением

Пример №32

Найти производную функции , Как найти производную функции примеры с решением
 

Р е ш е н и е
Как найти производную функции примеры с решением
Таким образом Как найти производную функции примеры с решением(6.14)

Пример №33

Как найти производную функции примеры с решением
 

Р е ш е н и е

По формуле (6.14)

Как найти производную функции примеры с решением

Пример №34

Найти производную функции Как найти производную функции примеры с решением
 

Р е ш е н и е
 Как найти производную функции примеры с решением
Таким образом, Как найти производную функции примеры с решениемв частности: Как найти производную функции примеры с решением

Пример №35

Как найти производную функции примеры с решением
 

Р е ш е н и е

По формуле (6.9) Как найти производную функции примеры с решением
 

Определение 6.4. Пусть функция y=f(x) определена на множестве Х со значениями во множестве Y и такова, что если Как найти производную функции примеры с решением рис. 6.1. Пусть Как найти производную функции примеры с решением– множество значений функции f . Для такой функции можно определить обратную функцию Как найти производную функции примеры с решением, определенную на множестве f(X) со значениями во множестве Х по правилу Как найти производную функции примеры с решением
Как найти производную функции примеры с решением

Если y=f(x) строго монотонна на интервале (a, b), тo f(x) удовлетворяет условиям определения 6.4 и для нее существует обратная Как найти производную функции примеры с решением, причем если f(x) непрерывна, то Как найти производную функции примеры с решением также непрерывна; если f(x) дифференцируема и Как найти производную функции примеры с решением
то Как найти производную функции примеры с решением также дифференцируема в точке Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

Пример №36

Для функции Как найти производную функции примеры с решением, обратная, и тогда по формуле (6.16)
Как найти производную функции примеры с решением
 

Пример №37

Для функции Как найти производную функции примеры с решением функция Как найти производную функции примеры с решением обратная, и тогда по формуле (6.16)

Как найти производную функции примеры с решением

Таким образом,Как найти производную функции примеры с решением Аналогично Как найти производную функции примеры с решением

Сводка формул

Как найти производную функции примеры с решением
 

Таблица производных

Как найти производную функции примеры с решением

Более подробная таблица производных:

Как найти производную функции примеры с решением

Определение 6.5. Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке Как найти производную функции примеры с решениемиКак найти производную функции примеры с решениемтогда f(x ) имеет в точке Как найти производную функции примеры с решениембесконечную производную.

Производная функции, заданной параметрически

Рассмотрим плоскость с фиксированной системой координат (O, x, y).

Пусть точка M (x, y) движется по плоскости, и траектория ее движения
Как найти производную функции примеры с решением(7.1)
где t – время, или Как найти производную функции примеры с решением где r(t) – радиус-вектор точки М.

Предположим, что для функции x= (x)t существует обратная функция
Как найти производную функции примеры с решением (например, когда x= (x)t строго монотонна). Тогда (7.1) задается также в виде Как найти производную функции примеры с решением

Пусть Как найти производную функции примеры с решением – точка на кривой (7.1), где Как найти производную функции примеры с решением
Предположим, что x( t) и y(t ) дифференцируемы и Как найти производную функции примеры с решением
Тогда по формулам (6.11), (6.15)

Как найти производную функции примеры с решением

Таким образом для функции, заданной в виде (7.1), производная
Как найти производную функции примеры с решением                    (7.2)
 

Пример №38

Пример №39

Функция Как найти производную функции примеры с решением монотонно убывает на промежутке Как найти производную функции примеры с решением. Для нее Как найти производную функции примеры с решениемобратная: Как найти производную функции примеры с решением По формуле (7.2)
Как найти производную функции примеры с решением(7.3)

Кривая в примере – параметрическое задание эллипса (верхней части), заданного уравнением Как найти производную функции примеры с решением Если из формулы (7.3) исключить t, то получим
Как найти производную функции примеры с решением

 что совпадает с производной Как найти производную функции примеры с решением

Производная функции, заданной неявно

Пусть функция y=f(x) задана неявно в виде Как найти производную функции примеры с решением (8.1) то есть Как найти производную функции примеры с решением

Дифференцируем уравнение (8.1) по x, при этом считаем, что y – функция от x, получим уравнение, содержащее Как найти производную функции примеры с решением. Из полученного уравнения выражаем Как найти производную функции примеры с решением

Пример №40

Как найти производную функции примеры с решением
 

Р е ш е н и е
Как найти производную функции примеры с решением

Рассмотренное в примере 8.1 уравнение эллипса определяет в неявном виде две функции: Как найти производную функции примеры с решением

Если рассмотреть параметрическое уравнение эллипса Как найти производную функции примеры с решением

то после подстановки x и y в формулу (8.2), получим формулу (7.3)
(см. пример п. 7.1), Как найти производную функции примеры с решением
 

Пример №41

Найдем производную степенно-показательной функции Как найти производную функции примеры с решением где Как найти производную функции примеры с решением
дифференцируемы и Как найти производную функции примеры с решением
 

Р е ш е н и е

Как найти производную функции примеры с решением

Производная, её геометрический и физический смысл

На рисунке 12 изображены кривая, касательная и секущая.

Как найти производную функции примеры с решением

Пусть точка В последовательно принимает положения В1, В2, …., стремясь к точке А по кривой (рисунок 13). Тогда интуитивно ясно, что соответствующие секущие стремятся принять положение касательной к кривой в точке А.

В этом случае очевидно, что угловой коэффициент прямой АВ стремится к угловому коэффициенту касательной.

Пример №42

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(х)=x2 в точке А(1; 1) (рисунок 14).

Решение:

Как найти производную функции примеры с решением

Рассмотрим произвольную точку В(х, х2), принадлежащую графику функи f(х)=х2 (рисунок 15).

Угловой коэффициент прямой АВ равен

Как найти производную функции примеры с решением.

Когда точка В стремится к А по кривой, значение х стремится к 1 при этом Как найти производную функции примеры с решением.

Значит, угловой коэффициент прямой АВ стремится к угловому коэффициенту касательной:

Как найти производную функции примеры с решением.

Поэтому, Как найти производную функции примеры с решением.

Пусть задана функция Как найти производную функции примеры с решением. Рассмотрим точки А(х, f(х)) ва Как найти производную функции примеры с решением — принадлежащие графику функции (рисунок 16).

Угловой коэффициент прямой А В равен разностному отношению

Как найти производную функции примеры с решением.

Когда точка В стремится к А по кривой, значение приращения к стремится к 0. При этом секущая АВ стремится к касательной к графику функции Как найти производную функции примеры с решением, проведённой в точке А.

Вместе с этим, угловой коэффициент секущей АВ стремится к угловому коэффициенту касательной.

Иначе говоря, при стремлении h к 0, угловой коэффициентКак найти производную функции примеры с решением касательной к графику функции, проведённой к произвольной точке равен предельному значению Как найти производную функции примеры с решением.

Как найти производную функции примеры с решением

Отметим, что для каждого х такого, что вышеуказанный предел существует, можно поставить в соответствие единственное значение углового коэффициента касательной, проведённой к графику функции в точке (х, f(х)) (рисунок 17).

Значит, формулаКак найти производную функции примеры с решениемопределяет новую функцию.

Эта функция называется производной функцией (кратко производной) функции Как найти производную функции примеры с решением.

Определение: Производной функции y=f(x) называется предел: Как найти производную функции примеры с решением (1) в случае, когда он существует.

Обычно производную функции y=f(x) обозначают через f (x). Операцию нахождения производной называют дифференцированием.

Иногда вместо обозначения Как найти производную функции примеры с решением используется обозначение Как найти производную функции примеры с решением .

«Дробный» вид этого обозначения можно объяснить следующим образом.

Если мы введём новые обозначения для приращенийКак найти производную функции примеры с решением, тогда выражениеКак найти производную функции примеры с решением

можно написать в виде Как найти производную функции примеры с решением(рисунок 18).

Как найти производную функции примеры с решением

Исходя из вышесказанного, можно прийти к следующему выводу: Значение производной функции y=f(x) в точке х0 равно угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведённой в точке с абсциссой в этой точке.

В этом и заключается геометрический смысл производной.

Пример №43

Материальная точка движется по прямой в соответствии с законом s=s(t) (здесь s измеряется в метрах, а t в секундах). Найдём скорость v(t) материальной точки в момент времени t.

Решение:

Интуитивно ясно, что искомая мгновенная скорость точки на

малом интервале времени приблизительно равна средней скорости

Как найти производную функции примеры с решениемКогда Как найти производную функции примеры с решением стремится к нулю, разность между средней

скоростью и мгновенной скоростью тоже стремится к нулю. Значит, мгновенная скорость материальной точки в момент времени t равна

Как найти производную функции примеры с решением

Таким образом, мгновенная скорость материальной точки в момент времени t равна производной функции s(t).

В этом и заключается физический смысл производной. Вообще говоря, производная определяет скорость изменения функции.

Пример №44

Исходя из определения, найдите производные функции.

Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

1.Так как Как найти производную функции примеры с решением , то

Как найти производную функции примеры с решением

2.Так как Как найти производную функции примеры с решением , то Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением, значит Как найти производную функции примеры с решением

3.Так как Как найти производную функции примеры с решением , то

Как найти производную функции примеры с решением

Ясно, что при Как найти производную функции примеры с решением , тогдаКак найти производную функции примеры с решением

Согласно формулам сокращённого умножения

Как найти производную функции примеры с решением

Значит, Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением то, Как найти производную функции примеры с решением

ОтсюдаКак найти производную функции примеры с решением

ЗначитКак найти производную функции примеры с решением

5.Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Из-за того, что Как найти производную функции примеры с решением следует Как найти производную функции примеры с решением Значит Как найти производную функции примеры с решением

6.Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Упростим:

Как найти производную функции примеры с решением

При Как найти производную функции примеры с решением имеем Как найти производную функции примеры с решениемОтсюда получим Как найти производную функции примеры с решением

7. Составим разностное отношение:

Как найти производную функции примеры с решением

При Как найти производную функции примеры с решением имеем Как найти производную функции примеры с решением Отсюда получимКак найти производную функции примеры с решением

Ответ:Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

Напомним, что когда величина х меняет свои значения в пределах от х до х+h, то средняя скорость изменения величины у=f (х) равна разностному отношению

Как найти производную функции примеры с решением

При этом выражение Как найти производную функции примеры с решением

означает мгновенную скорость изменения величины у=f(х).

Геометрический и физический смысл производной более подробно:

Пусть ( O, x, y) – прямоугольная система координат на плоскости. Рассмотрим график функции y=f(x) (множество точек с координатами Как найти производную функции примеры с решением Пусть
Как найти производную функции примеры с решением – точки на графике (рис. 9.1).
Как найти производную функции примеры с решением
Рассмотрим секущую на графике, проходящую через точки Как найти производную функции примеры с решением, тогда
Как найти производную функции примеры с решением– угловой коэффициент секущей, и Как найти производную функции примеры с решением
 

Определение 9.1. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке Как найти производную функции примеры с решением иКак найти производную функции примеры с решением – ее производная. Касательной к графику функции в точке Как найти производную функции примеры с решением будем называть прямую, заданную уравнением Как найти производную функции примеры с решением(9.2)

Из формулы (9.1) видно, что касательная – предельное положение
секущей Как найти производную функции примеры с решением при Как найти производную функции примеры с решением

Действительно, секущая Как найти производную функции примеры с решением задается уравнением Как найти производную функции примеры с решением(уравнение прямой, проходящей через точку Как найти производную функции примеры с решениемc угловым коэффициентом Как найти производную функции примеры с решением). Так как выполняется (9.1), то уравнение Как найти производную функции примеры с решением в пределе при Как найти производную функции примеры с решением примет вид (9.2).

Таким образом, Как найти производную функции примеры с решением – угловой коэффициент касательной к кривойКак найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Определение 9.2. Пусть функция y=f(x) имеет в точке Как найти производную функции примеры с решением бесконечную
производную (см. определение 6.5). Тогда касательная к графику функции
в точкеКак найти производную функции примеры с решением– вертикальная прямая х=Как найти производную функции примеры с решением
 

Определение 9.3. Нормалью к графику функции y=f(x) в точке Как найти производную функции примеры с решением называется прямая, проходящая через точку Как найти производную функции примеры с решением и перпендикулярная касательной к графику в этой точке.
ЕслиКак найти производную функции примеры с решением, то из (9.2) следует, что уравнение нормали имеет вид
Как найти производную функции примеры с решением. (9.3) (так как угловые коэффициенты Как найти производную функции примеры с решениемперпендикулярных прямых связаны соотношением Как найти производную функции примеры с решением).

Пример №45

Как найти производную функции примеры с решением Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке
Как найти производную функции примеры с решением.
 

Решение:

Как найти производную функции примеры с решением, поэтому точка Как найти производную функции примеры с решением лежит на кривой; Как найти производную функции примеры с решением
Тогда по формуле (9.2) Как найти производную функции примеры с решением – уравнение касательной.

Далее по формуле (9.3)
Как найти производную функции примеры с решением– уравнение нормали.
 

Пример №46

Как найти производную функции примеры с решением Написать уравнения касательных к кривой,
проходящих через точку М.

Решение:

Как найти производную функции примеры с решением, поэтому точка М не лежит на кривой. По формуле (9.2)
Как найти производную функции примеры с решением (9.4)
Так как точка М лежит на касательной, то
Как найти производную функции примеры с решениемпоэтому касательные к кривой в точкахКак найти производную функции примеры с решением проходят через точку М.
Тогда из (9.4)Как найти производную функции примеры с решением – уравнения касательных.
 

Рассмотрим точкиКак найти производную функции примеры с решениемна графике функции y=f(x ). Тогда по формуле (6.6) Как найти производную функции примеры с решениема по формуле (9.2) Как найти производную функции примеры с решениемприращение касательной, когда приращение независимой переменной х равноКак найти производную функции примеры с решением, поэтому значение Как найти производную функции примеры с решениемравно приращению касательной, рис. 9.3.
Как найти производную функции примеры с решением

Приращение Как найти производную функции примеры с решением функции y=f(x) отличается от Как найти производную функции примеры с решением

(см. формулу 6.4), то есть
Как найти производную функции примеры с решением
 

Пример №47

Как найти производную функции примеры с решением. Рассмотрим точки Как найти производную функции примеры с решением
НайтиКак найти производную функции примеры с решением при переходе от Как найти производную функции примеры с решением
 

Решение:

Как найти производную функции примеры с решением

В приближенных вычислениях Как найти производную функции примеры с решением заменяют на Как найти производную функции примеры с решением и получают формулу
Как найти производную функции примеры с решением

Пример №48

Вычислить приближенноКак найти производную функции примеры с решением
 

Решение:

Как найти производную функции примеры с решением

Пусть

Как найти производную функции примеры с решением

Тогда
Как найти производную функции примеры с решением
По формуле (9.6)
Как найти производную функции примеры с решением
Поэтому
Как найти производную функции примеры с решением

Пусть y=f(x) дифференцируема в точке Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением– ее производная. (9.7)
Числитель дроби Как найти производную функции примеры с решением– приращение функции f(x). Сама дробь задает приращение функции на единицу приращения независимой переменной х (скорость приращения функции). Поэтому, согласно (9.7), Как найти производную функции примеры с решением – мгновенная скорость приращения функции. Если тело движется
прямолинейно и х задает время, а f(x) – путь, пройденный телом за время t , то Как найти производную функции примеры с решением – мгновенная скорость в момент времени Как найти производную функции примеры с решением.

Пример №49

Как найти производную функции примеры с решением

– путь, пройденный телом на промежутке времени (1;1,1); Как найти производную функции примеры с решением– средняя скорость движения на этом промежутке; Как найти производную функции примеры с решением – мгновенная скорость в момент времени Как найти производную функции примеры с решением=1.

Пусть точка M(x ,y , z) движется в пространстве, и траектория ее движения
Как найти производную функции примеры с решением(9.8)
где t – время,

или Как найти производную функции примеры с решением (9.9) гдеКак найти производную функции примеры с решением – радиус-вектор точки М.

Концы вектора (9.9) задают траекторию движения (9.8) – годограф
вектор-функции Как найти производную функции примеры с решением.
 

Определение 9.4. Производной векторной функции  Как найти производную функции примеры с решением в точкеКак найти производную функции примеры с решениемназывается векторКак найти производную функции примеры с решением
Вектор Как найти производную функции примеры с решениемзадает мгновенную скорость движения точки при Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением направлен по касательной к кривой (9.8) в точке Как найти производную функции примеры с решением

Пример №50

Как найти производную функции примеры с решением – траектория движения точки,
Как найти производную функции примеры с решениемНайдем Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Как найти производную функции примеры с решением

Дополнительный справочный материал о производной функции

Понятия приращения аргумента и приращения функции в точке Как найти производную функции примеры с решением:

Пусть Как найти производную функции примеры с решением — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки Как найти производную функции примеры с решением из области определения функции Как найти производную функции примеры с решением

Приращение аргумента:

Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Приращение функции:

Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Запись непрерывности функции через приращения аргумента и функции:

Функция Как найти производную функции примеры с решением будет непрерывной в точке Как найти производную функции примеры с решением тогда и только тогда, когда малому изменению аргумента в точке Как найти производную функции примеры с решением отвечают малые изменения значении функции, то есть функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна в точке Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением при Как найти производную функции примеры с решением

Задачи, приводящие к понятию производной:

I. Мгновенная скорость движения точки по прямой

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением — координата Как найти производную функции примеры с решением точки в момент времени Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

II. Касательная к графику функции

Как найти производную функции примеры с решением

Касательной к графику функции в данной точке Как найти производную функции примеры с решением называется предельное положение секущей Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Когда точка Как найти производную функции примеры с решением приближается к точке Как найти производную функции примеры с решением (перемещаясь по графику функции Как найти производную функции примеры с решением), то величина угла Как найти производную функции примеры с решением приближается к величине угла Как найти производную функции примеры с решением наклона касательной Как найти производную функции примеры с решениемк оси Как найти производную функции примеры с решением Поскольку Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Определение производной:

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Производной функции Как найти производную функции примеры с решением в точке Как найти производную функции примеры с решением называется предел отношения приращения функции в точкеКак найти производную функции примеры с решением к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Производные некоторых элементарных функций:

Как найти производную функции примеры с решением(с — постоянная);

Как найти производную функции примеры с решением;

Как найти производную функции примеры с решением;

Как найти производную функции примеры с решением;

Как найти производную функции примеры с решением.

Геометрический смысл производной и уравнение касательной к графику функции Как найти производную функции примеры с решением:

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением— угловой коэффициент касательной, Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением— уравнение касательной к графику функции Как найти производную функции примеры с решением в точке с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением

Значение производной в точке Как найти производную функции примеры с решением равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением и угловому коэффициенту этой касательной.

(Угол отсчитывается от положи тельного направления оси Как найти производную функции примеры с решением против часовой стрелки.)

Механический смысл производной:

Производная характеризует скорость изменения функции при изменении аргумента

В частности, производная по времени является мерой скорости изменения соответствующей функции.

Производную по времени используют для описания различных физических величин.

Например, мгновенная скорость Как найти производную функции примеры с решением неравномерного прямолинейного движения — это производная функции, выражающей зависимость пройденного пути Как найти производную функции примеры с решением от времени Как найти производную функции примеры с решением

Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции:

Если функция Как найти производную функции примеры с решением дифференцируема в точке Как найти производную функции примеры с решением то она непрерывна в этой точке.

Если функция Как найти производную функции примеры с решением дифференцируема на промежутке (то есть в каждой его точке), то она непрерывна на этом промежутке.

Понятия приращения аргумента и приращения функции

Часто пас интересует не значение какой-то величины, а ее приращение. Например, сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины, работа — это изменение энергии и т. д.

Приращение аргумента или функции традиционно обозначают большой буквой греческого алфавита Как найти производную функции примеры с решением(дельта). Дадим определение приращения аргумента и приращения функции.

Пусть Как найти производную функции примеры с решением — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки Как найти производную функции примеры с решением из области определения функцииКак найти производную функции примеры с решением

Разность Как найти производную функции примеры с решением называют приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке Как найти производную функции примеры с решением и обозначают Как найти производную функции примеры с решением (читают: «дельта икс»): Как найти производную функции примеры с решением

Из этого равенства имеем (1)Как найти производную функции примеры с решением то есть первоначальное значение аргумента Как найти производную функции примеры с решением получило приращение Как найти производную функции примеры с решением При Как найти производную функции примеры с решением значение Как найти производную функции примеры с решением больше, чемКак найти производную функции примеры с решением, а приКак найти производную функции примеры с решением значение Как найти производную функции примеры с решением меньше, чемКак найти производную функции примеры с решением (рис. 2.1).

Тогда при переходе аргумента от точки Как найти производную функции примеры с решением к точке Как найти производную функции примеры с решением значение функции изменилось на величину Как найти производную функции примеры с решением Учитывая равенство (1), получаем, что функция изменилась на величину (2)Как найти производную функции примеры с решением (рис. 2.2), которую называют приращением функции Как найти производную функции примеры с решением в точке Как найти производную функции примеры с решениемсоответствующим приращению аргумента Как найти производную функции примеры с решением (символКак найти производную функции примеры с решением читают: «дельта эф»).

Из равенства (2) получаем Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

При фиксированном Как найти производную функции примеры с решением приращение Как найти производную функции примеры с решением является функцией от приращения Как найти производную функции примеры с решением

Если функция задается формулой Как найти производную функции примеры с решением то Как найти производную функции примеры с решением называют также приращением зависимой переменной у и обозначают через Как найти производную функции примеры с решением

Например, если Как найти производную функции примеры с решением то приращение Как найти производную функции примеры с решением соответствующее приращениюКак найти производную функции примеры с решениемравно Как найти производную функции примеры с решением

Запись непрерывности функции через приращения аргумента и функции

Напомним, что функцияКак найти производную функции примеры с решениемявляется непрерывной в точке Как найти производную функции примеры с решением если при Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением Но если Как найти производную функции примеры с решениемто Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением (и наоборот, если Как найти производную функции примеры с решением, тоКак найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением). Следовательно, условие Как найти производную функции примеры с решением эквивалентно условию Как найти производную функции примеры с решением Аналогично утверждениеКак найти производную функции примеры с решением эквивалентно условиюКак найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением Таким образом, функция Как найти производную функции примеры с решением будет непрерывной в точке Как найти производную функции примеры с решением тогда и только тогда, когда при Как найти производную функции примеры с решением то есть если малым изменениям аргумента в точке Как найти производную функции примеры с решениемсоответствуют малые изменения значений функции. Именно вследствие этого свойства графики непрерывных функций изображаются непрерывными (неразрывными) кривыми на каждом из промежутков, которые полностью входят в область определения функции.

Задачи, приводящие к понятию производной

I. Мгновенная скорость движения точки по прямой

Рассмотрим задачу, известную из курса фиизики,— движение материальной точки по прямой. Пусть координата Как найти производную функции примеры с решением точки в момент времениКак найти производную функции примеры с решением равна Как найти производную функции примеры с решением Будем считать, что движение происходит непрерывно (как это мы наблюдаем в реальной жизни). Попробуем по известной зависимости Как найти производную функции примеры с решением определить скорость, с которой точка движется в момент времени Как найти производную функции примеры с решением (так называемую мгновенную скорость). Рассмотрим промежуток времени от Как найти производную функции примеры с решениемдо Как найти производную функции примеры с решением (рис. 2.3). Определим среднюю скорость на промежутке Как найти производную функции примеры с решением как отношение пройденного пути ко времени движения: Как найти производную функции примеры с решением Для определения мгновенной скорости точки в момент времени Как найти производную функции примеры с решением сделаем так, как вы делали па уроках физики: возьмем промежуток времени продолжительностью Как найти производную функции примеры с решением вычислим среднюю скорость на этом промежутке и начнем уменьшать промежуток Как найти производную функции примеры с решением до нуля (то есть уменьшать отрезок Как найти производную функции примеры с решениеми приближатьКак найти производную функции примеры с решениемк Как найти производную функции примеры с решением). Мы заметим, что значение средней скорости при стремлении Как найти производную функции примеры с решением к нулю будет стремиться к некоторому числу, которое и считается значением скорости в момент времени Как найти производную функции примеры с решением Иными словами, мгновенной скоростью в момент времени Как найти производную функции примеры с решением называется предел отношения Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

Например, рассмотрим свободное падение тела. Из курса физики известно, что в этом случае зависимость пути от времени задается формулойКак найти производную функции примеры с решением

1) Найдем сначалаКак найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

2) Найдем среднюю скорость: Как найти производную функции примеры с решением

3) Выясним, к какому числу стремится отношение Как найти производную функции примеры с решением при Как найти производную функции примеры с решением это и будет мгновенная скорость в момент времени Как найти производную функции примеры с решением

Если Как найти производную функции примеры с решением а поскольку Как найти производную функции примеры с решением — величина постоянная, то Как найти производную функции примеры с решением Последнее число и есть значением мгновенной скорости точки в момент времени Как найти производную функции примеры с решением Мы получили известную из физики формулу Как найти производную функции примеры с решением (тогда Как найти производную функции примеры с решением). Используя понятие предела, это можно записать так:Как найти производную функции примеры с решением

II. Касательная к графику функции

Наглядное представление о касательной к кривой можно получить, изготовив кривую из плотного материала (например, из проволоки) и прикладывая к кривой линейку в выбранной точке (рис. 2.4). Если мы изобразим кривую на бумаге, а затем будем вырезать фигуру, ограниченную этой кривой, то ножницы также будут направлены по касательной к кривой.

Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

Попробуем перевести наглядное представление о касательной на более точный язык.

Пусть задана некоторая кривая и точка Как найти производную функции примеры с решением на ней (рис. 2.5). Возьмем на этой кривой другую точку Как найти производную функции примеры с решением и проведем прямую через точки Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением. Эту прямую обычно называют секущей. Начнем приближать точку Как найти производную функции примеры с решением к точкеКак найти производную функции примеры с решением .

Положение секущей Как найти производную функции примеры с решением будет изменяться, но при приближении точки Как найти производную функции примеры с решением к точке Как найти производную функции примеры с решением оно начнет стабилизироваться.

Касательной к кривой в данной точке Как найти производную функции примеры с решением называется предельное положение секущей Как найти производную функции примеры с решением

Чтобы записать это определение с помощью формул, будем считать, что кривая — это график функцииКак найти производную функции примеры с решением а точка Как найти производную функции примеры с решением, находящаяся на графике, задана координатами (Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением). Касательной является некоторая прямая, проходящая через точку Как найти производную функции примеры с решением (рис. 2.6). Чтобы построить эту прямую, достаточно знать угол Как найти производную функции примеры с решением наклона касательной* к оси Как найти производную функции примеры с решением

Пусть точка Как найти производную функции примеры с решением (через которую проходит секущая Как найти производную функции примеры с решением) имеет абсциссу Как найти производную функции примеры с решением Когда точка перемещаясь по графику функции Как найти производную функции примеры с решением приближается к точке Как найти производную функции примеры с решением (это будет при Как найти производную функции примеры с решением), величина угла Как найти производную функции примеры с решением приближается к величине угла Как найти производную функции примеры с решением наклона касательной Как найти производную функции примеры с решением к оси Как найти производную функции примеры с решением

Поскольку Как найти производную функции примеры с решением то при Как найти производную функции примеры с решением значение Как найти производную функции примеры с решениемприближается к Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением

Фактически мы пришли к той же задаче, что и при нахождении мгно венной скорости: найти предел отношения выражения вида Как найти производную функции примеры с решением (где Как найти производную функции примеры с решением — заданная функция) при Как найти производную функции примеры с решением Найденное таким образом число называют производной функции Как найти производную функции примеры с решением в точке Как найти производную функции примеры с решением

Определение производной в высшей математике

Производной функции Как найти производную функции примеры с решением в т очке Как найти производную функции примеры с решением называется предел отношения приращения функции в точке Как найти производную функции примеры с решениемк приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производную функции Как найти производную функции примеры с решением в точке Как найти производную функции примеры с решениемобозначают Как найти производную функции примеры с решением (или Как найти производную функции примеры с решением) и читают: «эф штрих в точке Как найти производную функции примеры с решением». Коротко определение производной функции Как найти производную функции примеры с решением можно записать так:Как найти производную функции примеры с решением

Учитывая определение приращения функцииКак найти производную функции примеры с решением в точкеКак найти производную функции примеры с решением, соответствующего приращению Как найти производную функции примеры с решением определение производной можно записать также следующим образом:Как найти производную функции примеры с решением

*Будем рассматривать невертикальную касательную (то есть Как найти производную функции примеры с решением ).

ФункциюКак найти производную функции примеры с решением, имеющую производную в точке Как найти производную функции примеры с решением, называют дифференцируемой в этой точке. Если функция Как найти производную функции примеры с решением имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что функция дифференцируема на этом промежутке. Операцию нахождения производной называют дифференцированием.

Для нахождения производной функции Как найти производную функции примеры с решением согласно определению можно пользоваться такой схемой:

  1. Найти приращение функции Как найти производную функции примеры с решением соответствующее приращению аргумента Как найти производную функции примеры с решением
  2. Найти отношение Как найти производную функции примеры с решением
  3. Выяснить, к какому пределу стремится отношение — Как найти производную функции примеры с решением

Это и будет производной данной функции.

Производные некоторых элементарных функций

Обоснуем, пользуясь предложенной схемой, формулы:

1. Вычислим производную функции Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением где Как найти производную функции примеры с решением — постоянная.

2. Вычислим производную функции Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением

3. Вычислим производную функции Как найти производную функции примеры с решением то естьКак найти производную функции примеры с решением

Тогда производная функции Как найти производную функции примеры с решением в произвольной точке Как найти производную функции примеры с решением равна Как найти производную функции примеры с решениемТаким образом, Как найти производную функции примеры с решением

4. Вычислим производную функции Как найти производную функции примеры с решением то естьКак найти производную функции примеры с решением

5. Вычислим производную функции Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением

Это означает, что Как найти производную функции примеры с решением (при Как найти производную функции примеры с решением). Тогда производная функции Как найти производную функции примеры с решением в произвольной точке Как найти производную функции примеры с решением из области определения функции, кроме Как найти производную функции примеры с решениемто есть при Как найти производную функции примеры с решением), равна: Как найти производную функции примеры с решением Следовательно, Как найти производную функции примеры с решением

Геометрический смысл производной и уравнение касательной к графику функции y=f(x)

Учитывая определение производной функции Как найти производную функции примеры с решениемзапишем результаты, полученные при рассмотрении касательной к графику функции (с. 24). Как было обосновано выше, тангенс угла Как найти производную функции примеры с решением наклона касательной в точкеКак найти производную функции примеры с решением с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением (рис. 2.7) вычисляется по формуле Как найти производную функции примеры с решением

В то же время Как найти производную функции примеры с решением тогда Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Напомним, что в уравнении прямой Как найти производную функции примеры с решением угловой коэффициент Как найти производную функции примеры с решением равен тангенсу угла Как найти производную функции примеры с решением наклона прямой к оси Как найти производную функции примеры с решением(угол отсчитывается от положительного направления оси Как найти производную функции примеры с решением против часовой стрелки). Значит, если Как найти производную функции примеры с решением — угловой коэффициент касательной, то Как найти производную функции примеры с решением то есть значение производной в точке Как найти производную функции примеры с решением равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением и равно угловому коэффициенту этой касательной (угол отсчитывается от положительного направления оси Как найти производную функции примеры с решением против часовой стрелки).

Таким образом, если Как найти производную функции примеры с решением— уравнение касательной к графику функции Как найти производную функции примеры с решением в точке Как найти производную функции примеры с решением с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением (и ординатой Как найти производную функции примеры с решением), то . Тогда уравнение касательной можно записать так: Как найти производную функции примеры с решением Чтобы найти значениеКак найти производную функции примеры с решением учтем, что эта касательная проходит через точку Как найти производную функции примеры с решением).

Следовательно, координаты точки Как найти производную функции примеры с решением удовлетворяют последнему уравнению, то есть Как найти производную функции примеры с решением Отсюда Как найти производную функции примеры с решением и уравнение касательной имеет вид Как найти производную функции примеры с решением Его удобно записать так:Как найти производную функции примеры с решением

Это уравнение касательной к графику функции Как найти производную функции примеры с решением в точке с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением

Замечание. Угол Как найти производную функции примеры с решением который образует невертикальная касательная к графику функции Как найти производную функции примеры с решением в точке с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением с положительным направлением оси Как найти производную функции примеры с решением, может быть нулевым, острым или тупым.

Учитывая геометрический смысл производной, получаем, что в случае, когда Как найти производную функции примеры с решением (то есть Как найти производную функции примеры с решением), угол Как найти производную функции примеры с решением будет острым, а в случае, когда Как найти производную функции примеры с решением(Как найти производную функции примеры с решением), угол Как найти производную функции примеры с решением будет тупым. Если Как найти производную функции примеры с решением (Как найти производную функции примеры с решением), то Как найти производную функции примеры с решением (то есть касательная параллельна оси Как найти производную функции примеры с решением или совпадает с ней). И наоборот, если касательная к графику функции Как найти производную функции примеры с решением в точке с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением образует с положительным направлением оси Как найти производную функции примеры с решением острый угол Как найти производную функции примеры с решением то Как найти производную функции примеры с решениемесли тупой угол, тоКак найти производную функции примеры с решениема если касательная параллельна оси Как найти производную функции примеры с решением или совпадает с ней Как найти производную функции примеры с решением то Как найти производную функции примеры с решением

Если же касательная образует с осью Как найти производную функции примеры с решением прямой угол (Как найти производную функции примеры с решением = 90°), то функция Как найти производную функции примеры с решениемпроизводной в точке Как найти производную функции примеры с решением не имеет (Как найти производную функции примеры с решением не существует).

Механический смысл производной

Записывая определение производной в точке Как найти производную функции примеры с решением для функции Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением и сопоставляя полученный результат с понятием мгновенной скорости прямолинейного движения:Как найти производную функции примеры с решением можно сделать вывод, что производная характеризует скорость изменения функции при изменении аргумента.

В частности, производная по времени является мерой скорости изменения соответствующей функции, что может применяться к разнообразнейшим физическим величинам. Например, мгновенная скорость Как найти производную функции примеры с решением неравномерного прямолинейного движения является производной функции, выражающей зависимость пройденного пути Как найти производную функции примеры с решением от времени Как найти производную функции примеры с решением ускорение Как найти производную функции примеры с решением неравномерного прямолинейного движения является производной функции, выражающей зависимость скорости о от времениКак найти производную функции примеры с решением

Если

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Если функция Как найти производную функции примеры с решением дифференцируема в точке Как найти производную функции примеры с решением то в этой точке существует ее производная /Как найти производную функции примеры с решением то есть при Как найти производную функции примеры с решением значение Как найти производную функции примеры с решением Для обоснования непрерывности функции Как найти производную функции примеры с решением достаточно обосновать, что при Как найти производную функции примеры с решением значение Как найти производную функции примеры с решением

Действительно, при Как найти производную функции примеры с решением получаемКак найти производную функции примеры с решением Из этого следует, что функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна в точке Как найти производную функции примеры с решением Таким образом, если функция Как найти производную функции примеры с решением дифференцируема в точке Как найти производную функции примеры с решением то она непрерывна в этой точке.

Из этого утверждения можно заключить:

  • если функция Как найти производную функции примеры с решением дифференцируема па промежутке (то есть в каждой его точке), то она непрерывна на этом промежутке.

Отметим, что обратное утверждение неверно. Функция, непрерывная на промежутке, может не иметь производной в некоторых точках этого промежутка.

Например, функция Как найти производную функции примеры с решением(рис. 2.8) непрерывна при всех значениях Как найти производную функции примеры с решением но не имеет производной в точке Как найти производную функции примеры с решением Действительно, если Как найти производную функции примеры с решениеми Как найти производную функции примеры с решением тоКак найти производную функции примеры с решением Поэтому при Как найти производную функции примеры с решением отношение — не имеет предела, а значит, и функцияКак найти производную функции примеры с решениемне имеет производной в точке 0.

Замечание. Тот факт, что непрерывная функцияКак найти производную функции примеры с решением не имеет производной в точке Как найти производную функции примеры с решением , означает, что к графику этой функции в точке с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением нельзя провести касательную (или соответствующая касательная перпендикулярна к оси Как найти производную функции примеры с решением). График в этой точке может иметь излом (рис. 2.8), а может иметь значительно более сложный вид*.

Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

Например, к графику непрерывной функции Как найти производную функции примеры с решением (рис. 2.9) в точке Как найти производную функции примеры с решением с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением нельзя провести касательную (а значит, эта функция не имеет производной в точке 2). Действительно, по определению касательная — это предельное положение секущей. Если точка Как найти производную функции примеры с решением будет приближаться к точке Как найти производную функции примеры с решением по левой части графика, то секущая Как найти производную функции примеры с решением займет предельное положение Как найти производную функции примеры с решением Если же точка Как найти производную функции примеры с решением будет приближаться к точке Как найти производную функции примеры с решением по правой части графика, то секущая Как найти производную функции примеры с решением займет предельное положениеКак найти производную функции примеры с решением Но это две разные прямые, следовательно, в точкеКак найти производную функции примеры с решениемкасательной к графику данной функции не существует.

Примеры решения задач:

Пример №51

Найдите тангенс угла Как найти производную функции примеры с решением наклона касательной, проведенной к графику функции Как найти производную функции примеры с решением в точке с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением к оси Как найти производную функции примеры с решениемесли: Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

*В курсе математического анализа построены примеры функций, которые являются непрерывными, но ни в одной точке не имеют производной.

Решение:

1) По геометрическому смыслу производнойКак найти производную функции примеры с решением Учитывая, чтоКак найти производную функции примеры с решением получаем: Как найти производную функции примеры с решением Следовательно, Как найти производную функции примеры с решением 2) Поскольку Как найти производную функции примеры с решениемто Как найти производную функции примеры с решениемПо геометрическому смыслу производной Как найти производную функции примеры с решением Следовательно, Как найти производную функции примеры с решением

Комментарий:

По геометрическому смыслу производной Как найти производную функции примеры с решением гдеКак найти производную функции примеры с решением— угол наклона касательной, проведенной к графику функции Как найти производную функции примеры с решением в точке с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением к оси Как найти производную функции примеры с решением Для нахождения Как найти производную функции примеры с решением достаточно найти производную функции Как найти производную функции примеры с решением а затем найти значение производной в точке Как найти производную функции примеры с решением Формулы производных для нахождения производных заданных функций приведены в п. 5 (и обоснованы на с. 22, 23). Далее при решении задач мы будем использовать их как табличные значения.

Пример №52

Используя формулу Как найти производную функции примеры с решением запишите уравнение касательной к графику функции Как найти производную функции примеры с решением в точке с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Если Как найти производную функции примеры с решениемто Как найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решением Подставляя эти значения в уравнение касательной Как найти производную функции примеры с решениемполучаем: Как найти производную функции примеры с решением То есть Как найти производную функции примеры с решением — искомое уравнение касательной.

Комментарий:

Уравнение касательной к графику функции Как найти производную функции примеры с решением в точке с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением в общем виде таково: Как найти производную функции примеры с решением Чтобы записать это уравнение для заданной функции, необходимо найти значение Как найти производную функции примеры с решением производную Как найти производную функции примеры с решением и значениеКак найти производную функции примеры с решением Для выполнения соответствующих вычислений удобно обозначить заданную функцию черезКак найти производную функции примеры с решениеми использовать табличное значение производной Как найти производную функции примеры с решением

Правила вычисления производных

Производные некоторых элементарных функций:

Как найти производную функции примеры с решением(с — постоянная) Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Правила дифференцирования:

Правило: Как найти производную функции примеры с решением Постоянный множитель можно выносить за знак производной

Пример: Как найти производную функции примеры с решением

Правило: Как найти производную функции примеры с решениемПроизводная суммы дифференцируемых функций равна сумме их производных

Пример:

Как найти производную функции примеры с решением

Правило: Как найти производную функции примеры с решением

Пример:

Как найти производную функции примеры с решением

Правило:

Как найти производную функции примеры с решением

Пример:

Как найти производную функции примеры с решением

Производная сложной функции (функции от функции):

Правило:

Если Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решениемто Как найти производную функции примеры с решением

Коротко это можно записать так*:Как найти производную функции примеры с решением

Пример:

Как найти производную функции примеры с решением

Правила дифференцирования

С учетом определения производной были найдены производные некоторых элементарных функций: Как найти производную функции примеры с решением(с — постоянная),Как найти производную функции примеры с решением

Для нахождения производных в более сложных случаях целесообразно помнить правила дифференцирования — специальные правила нахождения производной от суммы, произведения и частного тех функций, для которых мы уже знаем значения производных, и правило нахождения производной сложной функции (функции от функции).

Обоснуем эти правила. Для сокращения записей будем использовать такие обозначения функций и их производных в точке Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Правило 1.

Если функции и и и дифференцируемы в точке Как найти производную функции примеры с решением то их сумма дифференцируема в этой точке, иКак найти производную функции примеры с решением

Коротко говорят:

  • производная суммы равна сумме производных.

Для доказательства обозначим Как найти производную функции примеры с решением и используем план нахождения Как найти производную функции примеры с решением по определению производной в точке Как найти производную функции примеры с решением (с. 22).

1) Приращение функции в точке Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

2)Как найти производную функции примеры с решением

*В обозначениях Как найти производную функции примеры с решением нижний индекс указывает, по какому аргументу берется производная.

3) Выясним, к какому пределу стремится отношениеКак найти производную функции примеры с решением при Как найти производную функции примеры с решениемПоскольку функции и и и дифференцируемы в точке Как найти производную функции примеры с решением то при Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решениемТак как предел суммы равен сумме пределов слагаемых, получаем, что при Как найти производную функции примеры с решением Из этого следует, что Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением Таким образом, Как найти производную функции примеры с решением

Правило 1 можно расширить на любое конечное количество слагаемых*Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Правило 2.

Если функции Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением дифференцируемы в точке Как найти производную функции примеры с решением то их произведение дифференцируемо в этой точке Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

1) Обозначим Как найти производную функции примеры с решением Сначала запишем приращения функций Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением в точке Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением Из этих равенств получаем: Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением Учитывая равенства (1), (2), имеем Как найти производную функции примеры с решением

2)Как найти производную функции примеры с решением

3) Поскольку функции Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением дифференцируемы в точке Как найти производную функции примеры с решением то при Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением а Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением — Так как функция Как найти производную функции примеры с решением дифференцируема в точке Как найти производную функции примеры с решением а значит, и непрерывна в этой точке, то при Как найти производную функции примеры с решением значение Как найти производную функции примеры с решением

Учитывая, что предел суммы равен сумме пределов слагаемых (и постоянные множители и и и можно выносить за знак предела), получаем, что при Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

*Для обоснования того, что эта формула верна для любого натурального Как найти производную функции примеры с решениемнеобходимо применить метод математической индукции.

Это означает, что Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением Таким образом, Как найти производную функции примеры с решением

Следствие (Правило 3).

Если функция и дифференцируема в точке Как найти производную функции примеры с решением а Как найти производную функции примеры с решением — постоянная, то функция си дифференцируема в этой точке Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Коротко говорят:

  • постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Для доказательства используем правило 2 и известный из факт, что Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Правило 4.

Если функции Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением дифференцируемы в точке Как найти производную функции примеры с решением и функция Как найти производную функции примеры с решением не равна, нулю в этой точке, то их частное Как найти производную функции примеры с решением также дифференцируемо в точке Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением

Эту формулу можно получить аналогично производной произведения. Но можно использовать более простые рассуждения, если принять без доказательства, что производная данного частного существует. Обозначим функцию Как найти производную функции примеры с решением через Как найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решением Найдем производную функции и по правилу дифференцирования произведения: Как найти производную функции примеры с решением Выразим из этого равенства Как найти производную функции примеры с решением а вместо Как найти производную функции примеры с решением подставим его значение Как найти производную функции примеры с решением Получим:Как найти производную функции примеры с решениемСледовательно, Как найти производную функции примеры с решением

Используя правило нахождения производной произведения и формулу Как найти производную функции примеры с решениемобоснуем, что производную функции Как найти производную функции примеры с решениемпри натуральном Как найти производную функции примеры с решением вычисляют по формуле Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

При Как найти производную функции примеры с решениемполучаем: Как найти производную функции примеры с решением Тот же результат дает и применение формулы (3): Как найти производную функции примеры с решением

При Как найти производную функции примеры с решением получаем: Как найти производную функции примеры с решением Тот же результат дает и применение формулы (3): Как найти производную функции примеры с решением

Приведенные соображения позволяют, опираясь на предыдущий результат, обосновать формулу для следующего значения Как найти производную функции примеры с решением Допустим, что формула (3) выполняется для Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением

Покажем, что тогда формула (3) верна и для следующего значенияКак найти производную функции примеры с решениемДействительно, Как найти производную функции примеры с решением

Итак, если формула (3) выполняется при Как найти производную функции примеры с решением то она выполняется и для следующего значения Как найти производную функции примеры с решением Но тогда формула (3) выполняется и для следующего значения Как найти производную функции примеры с решением а значит, и для Как найти производную функции примеры с решением и т. д. для любого* натурального Как найти производную функции примеры с решением

Можно обосновать, что формула (Как найти производную функции примеры с решением верна для любого действительного показателя степени Как найти производную функции примеры с решением (но только при тех значениях Как найти производную функции примеры с решением при которых определена ее правая часть).

Например, если Как найти производную функции примеры с решением или Как найти производную функции примеры с решением то при Как найти производную функции примеры с решением эта формула также верна. Действительно, если Как найти производную функции примеры с решением, то по формуле (3): Как найти производную функции примеры с решением что совпадает со значениями производных функций Как найти производную функции примеры с решением и 1.

Если Как найти производную функции примеры с решением — целое отрицательное число, тоКак найти производную функции примеры с решением где Как найти производную функции примеры с решением — натуральное число. Тогда при Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

Следовательно, формула (3) выполняется и для любого целого показателя степени.

Если Как найти производную функции примеры с решениемто при Как найти производную функции примеры с решением имеем Как найти производную функции примеры с решением Как известно Как найти производную функции примеры с решением(при Как найти производную функции примеры с решением) Но по формуле (3)Как найти производную функции примеры с решениемто есть формула (3) верна и при Как найти производную функции примеры с решением

*В приведенном обосновании фактически неявно использован метод математической индукции, который позволяет аргументированно сделать вывод, что рассмотренное утверждение выполняется для любого натурального Как найти производную функции примеры с решением (в данном случае Как найти производную функции примеры с решением).

Производная сложной функции

Сложной функцией обычно называют функцию от функции. Если переменная Как найти производную функции примеры с решением является функцией от Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением а Как найти производную функции примеры с решением в свою очередь, функцией от Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решениемто Как найти производную функции примеры с решением является сложной функцией от Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением В таком случае говорят, что у является сложной функцией независимого аргумента Как найти производную функции примеры с решением а Как найти производную функции примеры с решением называют промежуточным аргументом.

Например, если Как найти производную функции примеры с решением — сложная функция, определенная только при тех значениях Как найти производную функции примеры с решением для которых Как найти производную функции примеры с решением то есть при Как найти производную функции примеры с решением (промежуточный аргумент Как найти производную функции примеры с решением).

Правило 5 (производная сложной функции).

Если функция Как найти производную функции примеры с решением имеет производную в точке Как найти производную функции примеры с решением а функция Как найти производную функции примеры с решением — производную в точкеКак найти производную функции примеры с решениемто сложная функция Как найти производную функции примеры с решением также имеет производную в точке Как найти производную функции примеры с решением причем Как найти производную функции примеры с решением

Поскольку по условию функция Как найти производную функции примеры с решением имеет производную в точке Как найти производную функции примеры с решением то она является непрерывной в этой точке (с. 17), и тогда малому изменению аргумента в точке Как найти производную функции примеры с решением соответствуют малые изменения значений функции, то есть приКак найти производную функции примеры с решением (с. 15).

Из равенства Как найти производную функции примеры с решением имеем Как найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решением

Дальнейшее доказательство проведем только для функций Как найти производную функции примеры с решением, в которых Как найти производную функции примеры с решением в некоторой окрестности точки Как найти производную функции примеры с решением При Как найти производную функции примеры с решением представим Как найти производную функции примеры с решением следующим образом: Как найти производную функции примеры с решением Учитывая, что при Как найти производную функции примеры с решением а при Как найти производную функции примеры с решением получаем, что при Как найти производную функции примеры с решением (и соответственно Как найти производную функции примеры с решением)Как найти производную функции примеры с решением Это означает, что Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением

Следовательно, производная сложной функции Как найти производную функции примеры с решением равна произведению производной данной функции Как найти производную функции примеры с решениемпо промежуточному аргументу Как найти производную функции примеры с решением(обозначаетсяКак найти производную функции примеры с решением) на производную промежуточного аргумента Как найти производную функции примеры с решением по независимому аргументу Как найти производную функции примеры с решением (обозначается Как найти производную функции примеры с решением).

Примеры решения задач:

Пример №53

Найдите производную функции: Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

1)Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением 2) Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением Учитывая, что Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением имеем Как найти производную функции примеры с решением 3)Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением Учитывая, что Как найти производную функции примеры с решениемимеемКак найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

Комментарий:

Напомним, что алгебраическое выражение (формулу, задающую функцию) называют по результату последнего действия, которое необходимо выполнить при нахождении значения заданного выражения. Следовательно, в задании 1 сначала необходимо найти производную суммы: Как найти производную функции примеры с решением

в задании 2 — производную произведения: Как найти производную функции примеры с решением

в задании 3 — производную частного: Как найти производную функции примеры с решением

Также в заданиях 1 и 2 нужно использовать формулу Как найти производную функции примеры с решением а в задании 2 учесть, что при вычислении производной Как найти производную функции примеры с решением постоянный множитель 2 можно вынести за знак производной. Можно заметно упростить решение задания 2, если сначала раскрыть скобки, а затем взять производную суммы.

Пример №54

Вычислите значение производной функцииКак найти производную функции примеры с решениемв точках:Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением Ответ: Как найти производную функции примеры с решением

Комментарий:

Для нахождения значения производной в указанных точках достаточно найти производную данной функции и в полученное выражение подставить заданные значения аргумента. При вычислении производной необходимо учесть, что заданную разность можно рассматривать как алгебраическую сумму выражений Как найти производную функции примеры с решениемиКак найти производную функции примеры с решением а при нахождении производной Как найти производную функции примеры с решением за знак производной вынести постоянный множитель Как найти производную функции примеры с решением В результате мы получаем разность производных функций Как найти производную функции примеры с решениемиКак найти производную функции примеры с решением

Пример №55

Найдите значения Как найти производную функции примеры с решением при которых производная функции Как найти производную функции примеры с решениемравна нулю.

Решение:

Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Ответ: 2.

Комментарий:

Чтобы найти соответствующие значения Как найти производную функции примеры с решением достаточно найти производную данной функции, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение.

Пример №56

Найдите производную функции Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

1) Как найти производную функции примеры с решением Учитывая, что Как найти производную функции примеры с решением получаем Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

2)Как найти производную функции примеры с решением Учитывая, что Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением Получаем Как найти производную функции примеры с решением

Комментарий:

В заданиях 1 и 2 необходимо найти соответственно степени и корня, но степени и под знаком не аргумент Как найти производную функции примеры с решением, а выражения с этим аргументом (тоже функции от Как найти производную функции примеры с решением). Следовательно, необходимо найти производные сложных функций. Обозначая (в черновике или мысленно) промежуточный аргумент через Как найти производную функции примеры с решением (для задания 1: Как найти производную функции примеры с решением для задания 2: Как найти производную функции примеры с решением), по формуле Как найти производную функции примеры с решениемзаписываем производные заданных функций с учетом формул Как найти производную функции примеры с решением иКак найти производную функции примеры с решением

Производные элементарных функций

  1. Как найти производную функции примеры с решением(с — постоянная)
  2. Как найти производную функции примеры с решением
  3. Как найти производную функции примеры с решением
  4. Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением
  5. Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением
  6. Как найти производную функции примеры с решением
  7. Как найти производную функции примеры с решением
  8. Как найти производную функции примеры с решением
  9. Как найти производную функции примеры с решением

Объяснение и обоснование:

Формулы Как найти производную функции примеры с решением (с — постоянная), Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением .

Для обоснования формулы Как найти производную функции примеры с решением используем то, что при малых значениях Как найти производную функции примеры с решением значенияКак найти производную функции примеры с решением (например, Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением). Тогда при Как найти производную функции примеры с решениемотношение Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

Если Как найти производную функции примеры с решением то, применяя формулу преобразования разности синусов в произведение и схему нахождения производной по определению (с. 22), имеем:

  1. Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением
  2. Как найти производную функции примеры с решением
  3. При Как найти производную функции примеры с решением тогда Как найти производную функции примеры с решением а учитывая (1) Как найти производную функции примеры с решением

Следовательно, при Как найти производную функции примеры с решениемто есть Как найти производную функции примеры с решением

Тогда производная функцииКак найти производную функции примеры с решением в произвольной точке Как найти производную функции примеры с решением равна Как найти производную функции примеры с решением Таким образом,Как найти производную функции примеры с решением

*Справедливость этой формулы обоснована на с. 109.

Учитывая, что по формулам приведения Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением и используя правило нахождения производной сложной функции, получаем: Как найти производную функции примеры с решением

Следовательно, Как найти производную функции примеры с решением

Для нахождения производных Как найти производную функции примеры с решением используем формулы Как найти производную функции примеры с решением и правило нахождения производной частного: Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

Следовательно, Как найти производную функции примеры с решением

Формулу Как найти производную функции примеры с решением докажите самостоятельно.

Примеры решения задач:

Пример №57

Найдите производную функции: Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

1)Как найти производную функции примеры с решением

2)Как найти производную функции примеры с решением

Комментарий:

Последовательно определим, от какого выражения надо взять производную (ориентируясь на результат последнего действия).

В задании 1 сначала берут производную суммы: Как найти производную функции примеры с решением Затем для каждого из слагаемых используют правило вычисления производной сложной функции: берут производную от Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением и умножают на Как найти производную функции примеры с решением Полученный результат желательно упростить по формуле Как найти производную функции примеры с решением

В задании 2 сначала берут производную частного:Как найти производную функции примеры с решением а для производной знаменателя используют правило вычисления производной сложной функции (производная Как найти производную функции примеры с решением умножается на Как найти производную функции примеры с решением).

Пример №58

Найдите значения Как найти производную функции примеры с решением при которых значение производной функцииКак найти производную функции примеры с решением

1) равно нулю; 2) положительно; 3) отрицательно.

Решение:

Область определения данной функции: Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Область определения функции Как найти производную функции примеры с решением то есть производная Как найти производную функции примеры с решением существует на всей области определения данной функции Как найти производную функции примеры с решением кроме точки Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением(не входит в область определенияКак найти производную функции примеры с решением). На области определенияКак найти производную функции примеры с решением решим неравенства Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением методом интервалов (рис. 4.1):

Как найти производную функции примеры с решением

Ответ: 1) значений Как найти производную функции примеры с решением при которых Как найти производную функции примеры с решением нет; 2) Как найти производную функции примеры с решением при Как найти производную функции примеры с решением 3) Как найти производную функции примеры с решением при Как найти производную функции примеры с решением

Комментарий:

Поскольку производная данной функции может существовать только в точках, входящих в область определения функции, то сначала целесообразно найти область определения данной функции.

Производная функции сама является функцией от Как найти производную функции примеры с решением поэтому для решения неравенств Как найти производную функции примеры с решением можно использовать метод интервалов. После нахождения ОДЗ соответствующего неравенства необходимо сопоставить ее с областью определения функции Как найти производную функции примеры с решением и продолжать решение неравенства на их общей части.

Следовательно, неравенства Как найти производную функции примеры с решением всегда решаются на общей части областей определения функций Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением Для решения соответствующих неравенств достаточно на общей области определения функций Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением отметить нулиКак найти производную функции примеры с решением и найти знак Как найти производную функции примеры с решением в каждом из промежутков, на которые разбивается общая область определения.

Пример №59

Найдите уравнение касательной к графику функции Как найти производную функции примеры с решениемв точке Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Если Как найти производную функции примеры с решением тоКак найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решением Подставляя эти значения в уравнение касательной Как найти производную функции примеры с решениемполучаем Как найти производную функции примеры с решениемто естьКак найти производную функции примеры с решениемискомое уравнение касательной.

Комментарий:

Уравнение касательной к графику функции Как найти производную функции примеры с решением в точке с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением в общем виде записывается так: Как найти производную функции примеры с решением

Чтобы записать это уравнение для данной функции, необходимо найти Как найти производную функции примеры с решениемпроизводную Как найти производную функции примеры с решением и значение Как найти производную функции примеры с решением Для выполнения соответствующих вычислений удобно обозначить заданную функцию через Как найти производную функции примеры с решением а для нахождения ее производной использовать формулу производной произведенияКак найти производную функции примеры с решением

Применение производной к исследованию функций

Применение производной к нахождению промежутков возрастания и убывания функции и экстремумов функции

Монотонность и постоянство функции:

Достаточное условие возрастания:

Как найти производную функции примеры с решением

Если в каждой точке интервала (Как найти производную функции примеры с решением)Как найти производную функции примеры с решением то функция Как найти производную функции примеры с решениемвозрастает на этом интервале.

Достаточное условие убывания:

Как найти производную функции примеры с решением

Если в каждой точке интервала (Как найти производную функции примеры с решением)Как найти производную функции примеры с решением то функция Как найти производную функции примеры с решениемубывает на этом интервале.

Необходимое и достаточное условие постоянства функции:

Как найти производную функции примеры с решением

Функция Как найти производную функции примеры с решением постоянна на интервале Как найти производную функции примеры с решением тогда и только тогда, когдаКак найти производную функции примеры с решением во всех точках этого интервала.

Экстремумы (максимумы и минимумы) функции:

Точки максимума:

Точка Как найти производную функции примеры с решением из области определения функции Как найти производную функции примеры с решением называется точкой максимума той функции, если найдется такая Как найти производную функции примеры с решением(Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением) точки Как найти производную функции примеры с решением что для всех Как найти производную функции примеры с решением из этой окрестности выполняется неравенство Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Точки минимума:

Точка Как найти производную функции примеры с решением из области определения функции Как найти производную функции примеры с решением называется точкой минимума той функции, если найдется такая Как найти производную функции примеры с решением(Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением) точки Как найти производную функции примеры с решением что для всех Как найти производную функции примеры с решением из этой окрестности выполняется неравенство Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Точки максимума и минимума называю точками экстремума. Значения функции в точках максимума и минимума называют экстремумами (максимумом и минимумом) функции.

Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

Критические точки:

Определение:

Критическими точками функции называют внутренние точки ее области определения, в которых производная равна нулю* или не существует.

Пример:

Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением— существует на всей области определения. Как найти производную функции примеры с решениемпри Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением— критические точки.

*Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю, называют еще стационарными точками.

Необходимое и достаточное условия экстремума:

Необходимое условие экстремума:

В точках экстремума производная функции Как найти производную функции примеры с решением равна нулю или не существует.

Как найти производную функции примеры с решением

(но не в каждой точке Как найти производную функции примеры с решением где Как найти производную функции примеры с решением или Как найти производную функции примеры с решением не существует, будет экстремум)

Достаточное условие экстремума:

Если функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна в точке Как найти производную функции примеры с решением и производная Как найти производную функции примеры с решением меняет знак при переходе* через точку Как найти производную функции примеры с решением то Как найти производную функции примеры с решением — точка экстремума функции Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Пример графика функции Как найти производную функции примеры с решением имеющей экстремумы (Как найти производную функции примеры с решением — критические точки):

Как найти производную функции примеры с решением

*Имеется в виду переход через точку х0 при движении слева направо. **ЗнакомКак найти производную функции примеры с решениемобозначено возрастание функции, а знаком Как найти производную функции примеры с решением — ее убывание на соответствующем промежутке.

Исследование функции Как найти производную функции примеры с решением на монотонность и экстремумы:

Схема:

1. Найти область определения функции.

Пример: Как найти производную функции примеры с решением

Область определения: Как найти производную функции примеры с решением

Схема:

2. Найти производную Как найти производную функции примеры с решением

Пример: Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Схема:

3. Найти критические точки, то есть внутренние точки области определения, в которых Как найти производную функции примеры с решением равна нулю или не существует.

Пример: Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением существует на всей области определения. Как найти производную функции примеры с решением при Как найти производную функции примеры с решением

Схема:

4. Отметить критические точки на области определения, найти знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения.

5. Определить относительно каждой критической точки, является ли она точкой максимума либо минимума или не является точкой экстремума.

Пример: Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Схема:

6. Записать результат исследования (промежутки монотонности и экстремумы).

Пример: Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением возрастает на промежутках Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением убывает на Как найти производную функции примеры с решением Точки экстремума: Как найти производную функции примеры с решением Экстремумы: Как найти производную функции примеры с решением

Монотонность и постоянство функции

Производная является важным инструментом исследования функции. В частности, с помощью производной удобно исследовать функцию на монотонность, то есть па возрастание и убывание.

*Как отмечается на с. 54, поскольку функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна (например, вследствие того что она дифференцируема на всей области определения), то точки -1 и 1 можно включить в промежутки возрастания и убывания функции.

Напомним, что функция Как найти производную функции примеры с решением называется возрастающей на множестве Как найти производную функции примеры с решением если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции, то есть для любых Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением из этого множества из условия Как найти производную функции примеры с решением следует, чтоКак найти производную функции примеры с решением

Функция Как найти производную функции примеры с решениемназывается убывающей на множестве Как найти производную функции примеры с решением если большему значению аргумента из этого множества, соответствует меньшее значение функции, то есть для любых Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением из этого множества из условия Как найти производную функции примеры с решениемвытекает, что Как найти производную функции примеры с решением

Как видно из рис. 5.1, а, в каждой точке графика возрастающей функции касательная образует с положительным направлением оси Как найти производную функции примеры с решением или острый угол Как найти производную функции примеры с решением (тогда Как найти производную функции примеры с решением), или угол, равный нулю (тогда Как найти производную функции примеры с решением). А в каждой точке графика убывающей функции (рис. 5.1, б) касательная образует с положительным направлением оси Как найти производную функции примеры с решением или тупой угол Как найти производную функции примеры с решением (тогда Как найти производную функции примеры с решением), или угол, равный нулю (тогда Как найти производную функции примеры с решением).

Как найти производную функции примеры с решением

Следовательно, если на каком-нибудь интервале функция Как найти производную функции примеры с решением дифференцируема и возрастает, то Как найти производную функции примеры с решением на этом интервале; если на каком-нибудь интервале функция Как найти производную функции примеры с решением дифференцируема и убывает, то Как найти производную функции примеры с решением на этом интервале.

Но для решения задач на исследование свойств функций важными являются обратные утверждения, которые позволяют по знаку производной выяснить характер монотонности функции.

Для обоснования соответствующих утверждений воспользуемся так называемой формулой Лагранжа, строгое доказательство которой приводится в курсе математического анализа. Здесь мы ограничимся только ее геометрической иллюстрацией и формулировкой.

Пусть функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна на отрезке Как найти производную функции примеры с решением и дифференцируема во всех точках интервала Как найти производную функции примеры с решением Тогда на этом интервале найдется такая точка Как найти производную функции примеры с решением в которой касательная Как найти производную функции примеры с решением к графику функции Как найти производную функции примеры с решением в точке с абсциссой с будет параллельна секущей Как найти производную функции примеры с решением проходящей через точки Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением (рис. 5.2).

Действительно, рассмотрим все возможные прямые, параллельные секущей Как найти производную функции примеры с решением и имеющие с графиком функции Как найти производную функции примеры с решением на интервале Как найти производную функции примеры с решением хотя бы одну общую точку. Прямая, которая находится на наибольшем расстоянии от секущей Как найти производную функции примеры с решением и будет касательной к графику функции Как найти производную функции примеры с решением (это предельное положение секущей, параллельной Как найти производную функции примеры с решением).

Если обозначить абсциссу точки касания через Как найти производную функции примеры с решением то, учитывая геометрический смысл производной, получаем Как найти производную функции примеры с решением где Как найти производную функции примеры с решением — угол между прямой Как найти производную функции примеры с решением и положительным направлением оси Как найти производную функции примеры с решением. Но Как найти производную функции примеры с решением поэтому угол Как найти производную функции примеры с решением равен углу наклона секущей Как найти производную функции примеры с решением к оси Как найти производную функции примеры с решением, который, в свою очередь, равен углу Как найти производную функции примеры с решением прямоугольного треугольника Как найти производную функции примеры с решением с катетами AКак найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решением

Таким образом, можно сделать вывод: если функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна на отрезке Как найти производную функции примеры с решением и дифференцируема во всех точках интервалаКак найти производную функции примеры с решением, то на интервале Как найти производную функции примеры с решением найдется такая точка Как найти производную функции примеры с решением в которой Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Эта формула называется формулой Лагранжа.

Применим ее для обоснования достаточных условий возрастания и убывания функции.

  1. Если Как найти производную функции примеры с решением в каждой т очке интервала Как найти производную функции примеры с решением то функция Как найти производную функции примеры с решением возрастает на этом интервале.
  2. Если Как найти производную функции примеры с решением в каждой т очке интервала Как найти производную функции примеры с решением то функция Как найти производную функции примеры с решением убывает на этом интервале.

Возьмем две произвольные точки Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением из заданного интервала. По формуле Лагранжа существует число Как найти производную функции примеры с решением такое, что

Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

Число с принадлежит заданному интервалу, поскольку ему принадлежат числа Как найти производную функции примеры с решением иКак найти производную функции примеры с решением. Пусть Как найти производную функции примеры с решением и тогда Как найти производную функции примеры с решением

Если Как найти производную функции примеры с решением в каждой точке заданного интервала, то Как найти производную функции примеры с решением и из равенства (1) получаем, что Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением Из этого следует, что функцияКак найти производную функции примеры с решением возрастает на заданном интервале.

ЕслиКак найти производную функции примеры с решением в каждой точке заданного интервала, тоКак найти производную функции примеры с решением и из равенства (1) получаем, что Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением Это означает, что функцияКак найти производную функции примеры с решением убывает на заданном интервале.

Пример:

Функция Как найти производную функции примеры с решениемопределена на всем множестве действительных чисел (Как найти производную функции примеры с решением) и имеет производную Как найти производную функции примеры с решением при всех значениях Как найти производную функции примеры с решениемСледовательно, эта функция возрастает на всей области определения.

Пример:

Функция Как найти производную функции примеры с решением определена на всем множестве действительных чисел (Как найти производную функции примеры с решением) и имеет производную Как найти производную функции примеры с решением Поскольку Как найти производную функции примеры с решением то Как найти производную функции примеры с решением при всех значениях Как найти производную функции примеры с решением Следовательно, эта функция убывает на всей области определения.

Рассматривая степенную функцию в курсе 10 класса, мы без доказательства приняли, что при Как найти производную функции примеры с решением функция Как найти производную функции примеры с решением где Как найти производную функции примеры с решением — дробное число, возрастает при Как найти производную функции примеры с решением и убывает при Как найти производную функции примеры с решением Обоснуем это. Действительно, Как найти производную функции примеры с решением Тогда при Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением значение Как найти производную функции примеры с решением следовательно, функция Как найти производную функции примеры с решением возрастает, а при Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением значение Как найти производную функции примеры с решением следовательно, функция Как найти производную функции примеры с решением убывает.

Достаточные условия возрастания и убывания функции имеют наглядную физическую иллюстрацию. Пусть по оси ординат движется точка, которая в момент времени Как найти производную функции примеры с решением имеет ординату Как найти производную функции примеры с решением Учитывая физический смысл производной, получаем, что скорость этой точки в момент времени Как найти производную функции примеры с решением равна Как найти производную функции примеры с решениемЕсли Как найти производную функции примеры с решением то точка движется в положительном направлении оси ординат и с увеличением времени ордината точки увеличивается, то есть функция возрастает. Если же Как найти производную функции примеры с решением то точка движется в отрицательном направлении оси ординат и с увеличением времени ее ордината уменьшается, то есть функция убывает.

Отметим, что в случае, когдаКак найти производную функции примеры с решением скорость точки равна нулю, то есть точка не движется, поэтому ее ордината остается постоянной. Получаем условие постоянства функции.

Функция Как найти производную функции примеры с решением является постоянной на интервале Как найти производную функции примеры с решением тогда и только тогда, когда Как найти производную функции примеры с решением во всех точках этого интервала.

Действительно, если Как найти производную функции примеры с решением (где Как найти производную функции примеры с решением — постоянная), то Как найти производную функции примеры с решением Наоборот, если Как найти производную функции примеры с решением во всех точках интервала Как найти производную функции примеры с решением то зафиксируем некоторое число Как найти производную функции примеры с решением из этого интервала и найдем значение функции в точке Как найти производную функции примеры с решением (пусть Как найти производную функции примеры с решением). Для любого числа Как найти производную функции примеры с решением из заданного интервала по формуле Лагранж а можно найти такое число Как найти производную функции примеры с решением которое содержится между Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением чтоКак найти производную функции примеры с решением

Тогда Как найти производную функции примеры с решением

Поскольку Как найти производную функции примеры с решением то по условию Как найти производную функции примеры с решением Следовательно, Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решениемТаким образом, для всех Как найти производную функции примеры с решением из заданного интервала Как найти производную функции примеры с решением то есть функция Как найти производную функции примеры с решением является постоянной.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо решить неравенства Как найти производную функции примеры с решением на области определения функции Как найти производную функции примеры с решением Поскольку Как найти производную функции примеры с решением является функцией переменной Как найти производную функции примеры с решением то для решения этих неравенств можно использовать метод интервалов, точнее, его обобщение, которое основывается на утверждении, называемом в курсе математического анализа теоремой Дарбу*: точки, в которых производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции Как найти производную функции примеры с решениемна промежутки, в каждом из которых Как найти производную функции примеры с решением сохраняет постоянный знак.

Внутренние** точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называют критическими точками этой функции.

Согласно плану решения неравенств методом интервалов (с. 7), промежутки возрастания и убывания функции Как найти производную функции примеры с решением можно находить по схеме:

  1. Найти область определения функции Как найти производную функции примеры с решением.
  2. Найти производную Как найти производную функции примеры с решением
  3. Выяснить, в каких внутренних точках области определения функции производная Как найти производную функции примеры с решением равна нулю или не существует (то есть найти критические точки этой функции).
  4. Отметить найденные точки на области определения функции Как найти производную функции примеры с решением и найти знак Как найти производную функции примеры с решением в каждом из промежутков, на которые разбивается область определения функции (знак можно определить, вычислив значение Как найти производную функции примеры с решением в любой точке промежутка).

Пример №60

Исследуем функцию Как найти производную функции примеры с решением на возрастание и убывание.

Решение:

1. Область определения данной функции — все действительные числа: Как найти производную функции примеры с решением 2. Производная Как найти производную функции примеры с решением 3. Производная существует па всей области определения функции; Как найти производную функции примеры с решением если Рис. 5.3 Как найти производную функции примеры с решением то есть при Как найти производную функции примеры с решением или Как найти производную функции примеры с решением . 4. Решаем неравенства Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением на области определения функции Как найти производную функции примеры с решением методом интервалов. Для этого отмечаем точки 1 и (-1) па области определения функции Как найти производную функции примеры с решением и находим знак Как найти производную функции примеры с решением в каждом из полученных промежутков (рис. 5.3).

Как найти производную функции примеры с решением

Учитывая достаточные условия возрастания и убывания функции, получаем, что на тех интервалах, где производная положительна, функция Как найти производную функции примеры с решением возрастает, а па тех интервалах, где производная отрицательна, — убывает.

*Жан Гастон Дарбу (1842-1917) — французский математик, внесший значительный вклад в развитие дифференциальной геометрии, интегрального исчисления и механики.

**Внутренней точкой множества называется точка, которая принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрестностью.

Следовательно, функция Как найти производную функции примеры с решением возрастает на интервалах Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением и убывает на интервале Как найти производную функции примеры с решением

График функции Как найти производную функции примеры с решением изображен на рис. 5.4. При построении графика учтено, что Как найти производную функции примеры с решением Из графика видно, что функция Как найти производную функции примеры с решениемвозрастает не только на интервалах Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением, но и на промежутках Как найти производную функции примеры с решением и убывает не только на интервале Как найти производную функции примеры с решением но и на отрезке Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Всегда, когда функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна в любом из концов промежутка возрастания (убывания), его можно присоединить к этому промежутку (как точки -1 и 1 в предыдущей задаче). Примем это утверждение без доказательства.

Экстремумы (максимумы и минимумы) функции

Рассмотрим окрестность точки Как найти производную функции примеры с решением на графике функции Как найти производную функции примеры с решением то есть произвольный интервал, содержащий точку -1 (например, Как найти производную функции примеры с решением этой точки). Как видно из рис. 5.4, существует такая окрестность точки Как найти производную функции примеры с решением что наибольшее значение для точек из этой окрестности функция Как найти производную функции примеры с решениемпринимает в точке Как найти производную функции примеры с решением Например, на интервале (-2; 0) наибольшее значение, равное 2, функция принимает в точке Как найти производную функции примеры с решением Точку Как найти производную функции примеры с решением называют точкой максимума этой функции и обозначают Как найти производную функции примеры с решением а значение функции в этой точкеКак найти производную функции примеры с решением называют максимумом функции (от латинского слова maximum — максимум, что означает «наибольшее»).

Аналогично точку Как найти производную функции примеры с решением называют точкой минимума функции Как найти производную функции примеры с решениемпоскольку значение функции в этой точке меньше, чем ее значение в любой точке некоторой окрестности точки 1, например окрестности Как найти производную функции примеры с решениемОбозначают точку минимума Как найти производную функции примеры с решением а значение функции в этой точке Как найти производную функции примеры с решениемназывают минимумом функции (minimum — минимум, в переводе с латинского «наименьшее»).

Точки максимума и минимума функции еще называют точками экстремума, а значения функции в этих точках — экстремумами функции (от латинского слова extremum — экстремум, что означает «крайний»).

Точку Как найти производную функции примеры с решением из области определения функции Как найти производную функции примеры с решением называют точкой максимума этой функции, если найдется Как найти производную функции примеры с решением точки Как найти производную функции примеры с решением такая, что для всех Как найти производную функции примеры с решением из этой окрестности выполняется неравенство Как найти производную функции примеры с решением

Точку Как найти производную функции примеры с решением из области определения функции f (х) называют точкой минимума этой функции, если найдется Как найти производную функции примеры с решением точки Как найти производную функции примеры с решением такая, что для всех Как найти производную функции примеры с решением из этой окрестности вы полняется неравенство Как найти производную функции примеры с решением

По определению значение функции Как найти производную функции примеры с решением в точке максимума Как найти производную функции примеры с решением является наибольшим среди значений функции из некоторой окрестности этой точки, поэтому график функции Как найти производную функции примеры с решением в окрестности точки Как найти производную функции примеры с решением чаще всего имеет вид гладкого «холма» (рис. 5.5, а), но может иметь и вид заостренного «пика» (рис. 5.5, б). В точке максимума также может быть изолированная точка графика (понятно, что в этом случае функция не будет непрерывной в точке Как найти производную функции примеры с решением), в которой достигается наибольшее значение функции для некоторой окрестности точки Как найти производную функции примеры с решением (рис. 5.5, в).

Как найти производную функции примеры с решением

Аналогично значение функцииКак найти производную функции примеры с решением в точке минимума Как найти производную функции примеры с решением является наименьшим среди значений функции из некоторой окрестности этой точки, поэтому график функции Как найти производную функции примеры с решением в окрестности точки Как найти производную функции примеры с решением обычно имеет вид «впадины» — гладкой (рис. 5.6, а) или заостренной (рис. 5.6, б). В точке минимума также может быть изолированная точка графика, в которой достигается наименьшее значение функции для некоторой окрестности точки Как найти производную функции примеры с решением (рис. 5.6, в).

Как найти производную функции примеры с решением

Замечание. По определению точки экстремума — это такие точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение по сравнению со значениями этой функции в точках некоторой окрестности экстремальной точки. Такой экстремум обычно называют локальным (от латинского lokalis — «местный»). Например, на рис. 5.4 изображен график функции Как найти производную функции примеры с решением которая имеет локальный максимум в точке Как найти производную функции примеры с решением и локальный минимум в точке Как найти производную функции примеры с решениемно, как видно из графика, на всей области определения эта функция не имеет пи наибольшего, ни наименьшего значения.

Необходимое и достаточное условия экстремума

При исследовании функции и построении ее графика важное значение имеет нахождение точек экстремумов функции. Покажем, что точками экстремума могут быть только критические точки функции, то есть внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует.

Теорема Ферма (необходимое условие экстремума).

Если Как найти производную функции примеры с решением является точкой экстремума функции Как найти производную функции примеры с решением и в этой точке существует производная Как найти производную функции примеры с решением то она равна нулю: Как найти производную функции примеры с решением

Докажем это утверждение методом от противного. Пусть Как найти производную функции примеры с решением является точкой экстремума функции Как найти производную функции примеры с решением и в этой точке существует производная Как найти производную функции примеры с решением

Допустим, что Как найти производную функции примеры с решением

Рассмотрим случай, когда Как найти производную функции примеры с решением По определению производной при Как найти производную функции примеры с решением(то есть при Как найти производную функции примеры с решением) отношение Как найти производную функции примеры с решением стремится к положительному числу Как найти производную функции примеры с решением следовательно, и само будет положительным при всех Как найти производную функции примеры с решением, достаточно близких к Как найти производную функции примеры с решением Для таких Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Тогда при Как найти производную функции примеры с решением получаем, что Как найти производную функции примеры с решением и, значит, точка Как найти производную функции примеры с решением не может быть точкой максимума.

При Как найти производную функции примеры с решением получаем, что Как найти производную функции примеры с решением следовательно, точка Как найти производную функции примеры с решением не может быть точкой минимума, то есть Как найти производную функции примеры с решением не может быть точкой экстремума, что противоречит условию.

Аналогично рассматривается и случай, когда Как найти производную функции примеры с решением

Отметим, что теорема Ферма дает только необходимое условие экстремума: из того, что Как найти производную функции примеры с решением не обязательно следует, что в точке Как найти производную функции примеры с решением функция имеет экстремум. Например, если Как найти производную функции примеры с решением то Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением Но точка Как найти производную функции примеры с решением не является точкой экстремума, поскольку функция Как найти производную функции примеры с решением возрастает на всей числовой прямой (рис. 5.7).

Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: касательная к графику функции Как найти производную функции примеры с решением в точке с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением (где Как найти производную функции примеры с решением — точка экстремума функции) параллельна оси абсцисс (или совпадает с ней), поэтому ее угловой коэффициент Как найти производную функции примеры с решением равен нулю (рис. 5.8).

В точке с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением к графику функции Как найти производную функции примеры с решением также можно провести касательную: поскольку Как найти производную функции примеры с решением то этой касательной является ось Как найти производную функции примеры с решением Но графики функций (рис. 5.7, 5.8) по-разному расположены относительно касательных. На рис. 5.8, где Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением — точки экстремума, можно указать окрестности этих точек, для которых соответствующие точки графика располагаются по одну сторону от касательной, а на рис. 5.7 график функции Как найти производную функции примеры с решением при переходе аргумента через точку Как найти производную функции примеры с решением (в которой производная равна нулю, но которая не является точкой экстремума) переходит с одной стороны касательной на другую. В этом случае точку Как найти производную функции примеры с решением называют точкой перегиба* функции.

Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

Функция может иметь экстремум и в той критической точке, в которой не существует производная данной функции. Например, как было показано на с. 26, функция Как найти производную функции примеры с решением не имеет производной в точке Как найти производную функции примеры с решением но, как следует из ее определения и как видно из графика (рис. 5.9), именно в этой точке функция имеет минимум.

Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

Отметим, что не каждая критическая точка, в которой не существует производная данной функции, будет точкой экстремума этой функции. Например, функция Как найти производную функции примеры с решением не имеет производной в точке Как найти производную функции примеры с решением: график имеет излом при Как найти производную функции примеры с решением (рис. 5.10). Действительно, если допустить, что функция Как найти производную функции примеры с решением имеет производную в точке 0, то функция f (х) — Зх также должна иметь производную в точке 0. Так как Как найти производную функции примеры с решением а функцияКак найти производную функции примеры с решениемне имеет производной в точке 0, значит, функция Как найти производную функции примеры с решением не имеет производной в точке 0, то есть мы пришли к противоречию.

*Более детально о точках перегиба см. на с. 133. Отметим, что в точке перегиба производная не обязательно должна быть равна нулю.

Следовательно, функция Как найти производную функции примеры с решением в точке 0 производной не имеет. Но, как видно из рис. 5.10, функция Как найти производную функции примеры с решением возрастает на всей числовой прямой и экстремума не имеет.

Приведенные соображения и примеры показывают, что для нахождения точек экстремума функции необходимо прежде всего найти ее критические точки. Для выяснения того, является ли соответствующая критическая точка точкой экстремума, необходимо провести дополнительное исследование. Этому часто помогают достаточные условия существования экстремума в точке.

Теорема 1 (признак максимума функции):

Если функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна в точке Как найти производную функции примеры с решением и при переходе через точку Как найти производную функции примеры с решением ее производная меняет знак с плюса на минус (то есть в некоторой Как найти производную функции примеры с решением точки Как найти производную функции примеры с решением при Как найти производную функции примеры с решениемзначение Как найти производную функции примеры с решением а при Как найти производную функции примеры с решением значение Как найти производную функции примеры с решением то точка Как найти производную функции примеры с решением является точкой максим ум а функции Как найти производную функции примеры с решением.

Рассмотрим заданную Как найти производную функции примеры с решением точки Как найти производную функции примеры с решением то есть интервал (Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением). По условию производная Как найти производную функции примеры с решением на интервале (Как найти производную функции примеры с решением) (приКак найти производную функции примеры с решением). Таким образом, функция Как найти производную функции примеры с решением возрастает на этом интервале, а учитывая непрерывностьКак найти производную функции примеры с решением в точке Как найти производную функции примеры с решением функция Как найти производную функции примеры с решением возрастает и на промежутке Как найти производную функции примеры с решением Тогда для всех Как найти производную функции примеры с решением из интервала Как найти производную функции примеры с решением имеем Как найти производную функции примеры с решениемследовательно, Как найти производную функции примеры с решением

Аналогично по условию производная Как найти производную функции примеры с решением на интервале Как найти производную функции примеры с решением (при Как найти производную функции примеры с решением). Таким образом, функция Как найти производную функции примеры с решением убывает на этом интервале, а с учетом непрерывности Как найти производную функции примеры с решением в точке Как найти производную функции примеры с решением функцияКак найти производную функции примеры с решением убывает и на промежутке Как найти производную функции примеры с решением Тогда для всех Как найти производную функции примеры с решением из интервала Как найти производную функции примеры с решением имеем Как найти производную функции примеры с решениемследовательно, Как найти производную функции примеры с решением

И так, Как найти производную функции примеры с решением для всех Как найти производную функции примеры с решением из некоторой Как найти производную функции примеры с решением точки Как найти производную функции примеры с решением, а значит, точка Как найти производную функции примеры с решением является точкой максимума функции Как найти производную функции примеры с решением.

Теорема 2 (признак минимума функции):

Если функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна в точке Как найти производную функции примеры с решением и при переходе через точку Как найти производную функции примеры с решением ее производная меняет знак с минуса на плюс (то есть в некоторой Как найти производную функции примеры с решением точки Как найти производную функции примеры с решением при Как найти производную функции примеры с решением значение Как найти производную функции примеры с решением а при Как найти производную функции примеры с решением значение Как найти производную функции примеры с решением то точка Как найти производную функции примеры с решением является точкой минимума функции Как найти производную функции примеры с решением.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1 (предлагаем провести его самостоятельно).

Теоремы 1 и 2 дают возможность сделать такой вывод: если функция Как найти производную функции примеры с решениемнепрерывна в точке Как найти производную функции примеры с решением и производная Как найти производную функции примеры с решением меняет знак при переходе через точку Как найти производную функции примеры с решением, то Как найти производную функции примеры с решением — точка экстремума функции /* (х).

Если же функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна в точке Как найти производную функции примеры с решением и ее производная Как найти производную функции примеры с решением не меняет знак при переходе через точку Как найти производную функции примеры с решением, то точка Как найти производную функции примеры с решением не может быть точкой экстремума функции.

Действительно, если, например, Как найти производную функции примеры с решением на интервалах Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением то функция возрастает на каждом из этих интервалов. Учитывая ее непрерывность в точке Как найти производную функции примеры с решением (см. доказательство теоремы 1), получаем, что для всех Как найти производную функции примеры с решением выполняется неравенство Как найти производную функции примеры с решением и для всех Как найти производную функции примеры с решением выполняется неравенство Как найти производную функции примеры с решением Это означает, что на всем промежутке Как найти производную функции примеры с решением функция Как найти производную функции примеры с решением возрастает и точка Как найти производную функции примеры с решением не является точкой экстремума.

Аналогично рассматривается случай, когда на этих же интервалах Как найти производную функции примеры с решением

Замечание. Приведенное обоснование позволяет уточнить условия возрастания и убывания функции.

Если Как найти производную функции примеры с решением в каждой точке интервала Как найти производную функции примеры с решением причем уравнение Как найти производную функции примеры с решением имеет только конечное (или счетное*) множество корней, то функция f (х) возрастает на этом интервале.

Если Как найти производную функции примеры с решением в каждой точке интервала Как найти производную функции примеры с решением причем уравнение Как найти производную функции примеры с решением имеет только конечное (или счетное) множество корней, то функция Как найти производную функции примеры с решением убывает на этом интервале.

Для практического исследования функции на экстремумы можно использовать уточненный вариант схемы:

  1. Найти область определения функции.
  2. Найти производную Как найти производную функции примеры с решением
  3. Найти критические точки (то есть внутренние точки области определения, в которых Как найти производную функции примеры с решением равна нулю или не существует).
  4. Отметить критические точки на области определения, найти знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения.
  5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума или минимума или не является точкой экстремума .

*Счётность множества означает, что мы можем установить взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и натуральными числами, то есть можем указать, как занумеровать все элементы множества.

Примеры решения задач:

Пример №61

Функция Как найти производную функции примеры с решением определена на промежутке (-7; 8). На рис. 5.11 изображен график ее производной.

  1. Укажите промежутки возрастания и убывания функции Как найти производную функции примеры с решением
  2. Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, какие — точками минимума, а какие не являются точками экстремума.

Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

1) Из графика имеем, что Как найти производную функции примеры с решением на промежутках (-4; 2) и (6; 8), следовательно, Как найти производную функции примеры с решением возрастает на этих промежутках. Аналогично Как найти производную функции примеры с решением на промежутках (-7 ; -4 ) и (2; 6), а значит, Как найти производную функции примеры с решением убывает на этих промежутках.

Поскольку в точках -4 , 2 и 6 существует производная Как найти производную функции примеры с решением то функция Как найти производную функции примеры с решениемнепрерывна в этих точках и их можно включить в промежутки возрастания и убывания.

Ответ: Как найти производную функции примеры с решением возрастает на промежутках [-4 ; 2] и [6; 8) и убывает на промеж утках (-7 ; -4] и [2; 6].

2) Производная Как найти производную функции примеры с решением существует на всей области определения функции Как найти производную функции примеры с решением и равна нулю в точках -4 , 2 и 6. Это внутренние точки области определения, следовательно, критическими точками будут только точки -4 , 2 и 6.

Поскольку производная существует па всей области определения, то функция непрерывна в каждой точке области определения.

В точках -4 и 6 производная меняет знак с «-» на « + », следовательно, это точки минимума.

В точке 2 производная меняет знак с « + » на «-», следовательно, это точка максимума. Ответ: Как найти производную функции примеры с решением

Комментарий:

1) Как известно, на тех промежутках, где производная функции положительная, функция возрастает, а на тех промеж утках, где производная отрицательная, — убывает, Поэтому по графику выясняем промежутки, в которых производная положительна и в которых — отрицательна. Это и будут промежутки возрастания и убывания функции.

2) Критические точки — это внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Из графика видно, что производная Как найти производную функции примеры с решениемсуществует на всей заданной области определения.

Следовательно, критическими точками будут только те значения Как найти производную функции примеры с решением при которых производная равна нулю.

Для определения того, является ли критическая точка точкой экстремума, используем достаточные условия экстремума: если в критической точке функция непрерывна и ее производная меняет знак с «+» на «-», то это точка максимума, а если с «-» на « + » — точка минимума.

Пример №62

Для функцииКак найти производную функции примеры с решением найдите промежутки монотонности, точки экстремума и значения функции в точках экстремума.

Решение:

1. Область определения, Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением 2.Как найти производную функции примеры с решением 3. Производная существует на всей области определения функцииКак найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решением следовательно, Как найти производную функции примеры с решениемто есть Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением — критические точки. 4. Отмечаем критические точки па области определения функции Как найти производную функции примеры с решением и находим знак Как найти производную функции примеры с решением в каждом из полученных промежутков (рис. 5.12).

Как найти производную функции примеры с решением

Получаем, что функция Как найти производную функции примеры с решением возрастает на промежутках (-оо; -5 ] и [5; +оо) и убывает на промежутках [-5 ; 0) и (0; 5]. В точке -5 производная меняет знак с « + » на «-», следовательно, это точка максимума; в точке 5 производная меняет знак с «-» на « + », то есть это точка минимума, а значит,

Как найти производную функции примеры с решением

Комментарий

Исследовать функцию на монотонность и экстремум можно по схеме:

  1. Найти область определения функции.
  2. Найти производную Как найти производную функции примеры с решением
  3. Найти критические точки (то есть внутренние точки области определения, в которых Как найти производную функции примеры с решением равна нулю или не существует).
  4. Отметить критические точки на области определения, найти знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения.
  5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума или минимума или не является точкой экстремума.

Функция непрерывна (и дифференцируема) в каждой точке области определения, поэтому, записывая промежутки возрастания и убывания функции, критические точки можно включить в эти промежутки. Для выяснения того, является ли критическая точка точкой экстремума, используем достаточные условия экстремума.

Замечание. Результаты исследования функции на монотонность и экстремумы удобно фиксировать не только в виде схемы, изображенной на рис. 5.12, но и в виде специальной таблицы:

Как найти производную функции примеры с решением

Пример №63

Найдите промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции: Как найти производную функции примеры с решением

Комментарий:

Для исследования заданных функций используем схему, приведенную на с. 59. В задании 1, используя определение модуля, отдельно найдем производную при Как найти производную функции примеры с решением Чтобы выяснить, существует ли производная Как найти производную функции примеры с решением попытаемся найти значения Как найти производную функции примеры с решениемпо формулам (1) и (2), приведенным далее в решении, и сравнить их . Чтобы найти точки, в которых Как найти производную функции примеры с решением приравняем к нулю значения производной Как найти производную функции примеры с решением и учтем соответствующие ограничения для Как найти производную функции примеры с решением В задании 2 учтем, чтоКак найти производную функции примеры с решением — это тригонометрическое уравнение, имеющее бесконечное множество корней, то есть функция Как найти производную функции примеры с решением имеет бесконечное количество критических точек, поэтому отметить их все на области определения функции (как это предлагается в схеме исследования функции) мы не в состоянии. В таком случае можно попытаться непосредственно использовать достаточные признаки возрастания и убывания функции (то есть решить неравенства Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением или в случае, когда функция Как найти производную функции примеры с решениемявляется периодической, провести исследование поведения Как найти производную функции примеры с решением на одном периоде, а затем результат повторить через период. вторить через период. В случае, когда Как найти производную функции примеры с решениемопределена на всем периоде и мы знаем промежутки, где выполняется неравенство Как найти производную функции примеры с решением и точки, где выполняется равенство Как найти производную функции примеры с решениемдля всех остальных точек периода обязательно будет выполняться неравенство Как найти производную функции примеры с решением

*Фактически мы будем сравнивать значения так называемых односторонних производных функции f (х) в точке (-1). Эти производные определяются аналогично односторонним пределам функции (см. с. 102).

Решение:

1) Область определения: Как найти производную функции примеры с решением Запишем заданную функцию так:

Как найти производную функции примеры с решением

Тогда

Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

Производная Как найти производную функции примеры с решением не существует в точке Как найти производную функции примеры с решением поскольку значения Как найти производную функции примеры с решениемвычисленные по формулам (1) и (2), разные Как найти производную функции примеры с решением следовательно, Как найти производную функции примеры с решением — критическая точка функции Как найти производную функции примеры с решением. Значение Как найти производную функции примеры с решением, вычисленное по формуле (2), не может равняться нулю Как найти производную функции примеры с решением Для формулы (1) имеем Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением но, учитывая условие Как найти производную функции примеры с решением получаем, что только Как найти производную функции примеры с решениемявляется критической точкой. Это означает, что функция Как найти производную функции примеры с решением имеет две критические точки: 2 и (-1).

Отмечаем критические точки на области определения функции Как найти производную функции примеры с решениеми находим знак Как найти производную функции примеры с решением на каждом из промежутков (рис. 5.13). Получаем, что функция Как найти производную функции примеры с решением возрастает на промежутках Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением и убывает на промежутке Как найти производную функции примеры с решением

В точке (-1 ) производная меняет знак с « + » на « -» , следовательно, это точка максимума. В точке 2 производная меняет знак с «-» на « + », а значит, это точка минимума. Тогда Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

2) Область определения: Как найти производную функции примеры с решением Производная Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Критические точки: поскольку производная Как найти производную функции примеры с решением существует на всей области определения функции Как найти производную функции примеры с решением критическими точками будут все значения Как найти производную функции примеры с решениемдля которых Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решением или Как найти производную функции примеры с решением Следовательно,Как найти производную функции примеры с решением (Значение Как найти производную функции примеры с решением дает и формула Как найти производную функции примеры с решением при Как найти производную функции примеры с решением поэтому все критические точки можно задать формулой Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решениемФункция Как найти производную функции примеры с решением возрастает в тех точках ее области определения, где Как найти производную функции примеры с решением

Имеем: Как найти производную функции примеры с решением

Первая система не имеет решений (Как найти производную функции примеры с решением не может быть больше 1), а вторая система имеет решение (рис. 5.14): Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Производная Как найти производную функции примеры с решением является периодической функцией (относительно переменной Как найти производную функции примеры с решением) с периодом Как найти производную функции примеры с решением (это общий период для функций Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением). На периоде Как найти производную функции примеры с решением неравенство Как найти производную функции примеры с решением выполняется на промежутке Как найти производную функции примеры с решением а равенство Как найти производную функции примеры с решением в точках Как найти производную функции примеры с решением то есть в точках 0, Как найти производную функции примеры с решением Тогда неравенство Как найти производную функции примеры с решением выполняется на промежутке Как найти производную функции примеры с решением а учитывая период, и на всех промежутках Как найти производную функции примеры с решением Принимая во внимание условия возрастания и убывания функции и то, что функция Как найти производную функции примеры с решениемнепрерывна на всей числовой прямой (она дифференцируема во всех точках), получаем, что функция Как найти производную функции примеры с решением возрастает на каждом из промежутков Как найти производную функции примеры с решением и убывает на каждом из промежутковКак найти производную функции примеры с решением

Поскольку производная Как найти производную функции примеры с решением является периодической функцией с периодом Как найти производную функции примеры с решением то через промежуток длиной Как найти производную функции примеры с решением знаки производной Как найти производную функции примеры с решением повторяются (рис. 5.15). В точке 0 производная Как найти производную функции примеры с решением меняет знак с «4-» на « -» , следовательно, Как найти производную функции примеры с решением — точка максимума, а учитывая, что поведение Как найти производную функции примеры с решением повторяется через Как найти производную функции примеры с решением, имеем Как найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решением В точке Как найти производную функции примеры с решением производная Как найти производную функции примеры с решением меняет знак с «-» на «+», следовательно, Как найти производную функции примеры с решением — точка минимума, а учитывая, что поведение Как найти производную функции примеры с решением повторяется через Как найти производную функции примеры с решением, имеем Как найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Схема исследования функции для построения ее графика

Схема исследования функции

1. Найти область определения функции.

Пример:

Постройте график функции Как найти производную функции примеры с решением 1. Область определения:Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Схема исследования функции

2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной (или периодической*).

Пример:

2. Функция Как найти производную функции примеры с решением ни четная, ни нечетная, поскольку Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением

Схема исследования функции

3. Найти точки пересечения графика с осями координат (если это возможно).

Пример:

3. График не пересекает ось Как найти производную функции примеры с решением На оси Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением— абсцисса точки пересечения графика с осью Как найти производную функции примеры с решением

Схема исследования функции:

4. Найти производную и критические точки функции.

Пример:

Как найти производную функции примеры с решением Производная существует па всей области определения функции Как найти производную функции примеры с решением (значит, функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна в каждой точке своей области определения).

Как найти производную функции примеры с решением При Как найти производную функции примеры с решением имеем:

Как найти производную функции примеры с решением — критическая точка.

*Периодичность чаще всего устанавливают для тригонометрических функций.

Схема исследования функции:

5. Найти промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума (и значение функции в этих точках).

Пример:

5. Отметим критические точки на области определения, определим знак производной и характер поведения функции на каждом из промежутков, на которые разбивается область определения.

Как найти производную функции примеры с решением

Итак, функция возрастает на промежутках Как найти производную функции примеры с решением и убывает на промежутке Как найти производную функции примеры с решением Поскольку в критической точке 2 производная меняет знак с «-» на « + », то Как найти производную функции примеры с решением — точка минимума: Как найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решением

Схема исследования функции:

6. Исследовать поведение функции на концах промежутков области определения (этот этап не входит в минимальную схему исследования функции).

Пример:

6. Как найти производную функции примеры с решением

При Как найти производную функции примеры с решением справа (и при Как найти производную функции примеры с решением слева) Как найти производную функции примеры с решением При Как найти производную функции примеры с решением (и при Как найти производную функции примеры с решением) значение Как найти производную функции примеры с решением тогда** Как найти производную функции примеры с решением (то есть при Как найти производную функции примеры с решением и при Как найти производную функции примеры с решением

Схема исследования функции:

7. Если необходимо, найти координаты дополнительных точек, чтобы уточнить поведение графика функции.

Пример:

Как найти производную функции примеры с решением

*В этом случае говорят, что прямая Как найти производную функции примеры с решением — вертикальная асимптота графика функции Как найти производную функции примеры с решением (см. с. 117).

**В этом случае говорят, что прямая Как найти производную функции примеры с решением — наклонная асимптота графика функции Как найти производную функции примеры с решением.

Схема исследования функции:

8. На основании проведенного исследования построить гарфик функции.

Пример:

Как найти производную функции примеры с решением

Объяснение и обоснование:

Для построения графика функции (особенно в тех случаях, когда речь идет о незнакомой функции) целесообразно исследовать ее свойства, которые помогают составить определенное представление о виде ее графика. Когда такое представление составлено, можно построить график функции по найденным характерным точкам. Фактически при исследовании функции мы будем придерживаться схемы, только для исследования функции на возрастание, убывание и экстремумы используем производную.

Таким образом, для построения графика функции ее можно исследовать по схеме:

  1. найти область определения функции;
  2. исследовать функцию на четность/нечетность и периодичность;
  3. найти точки пересечения графика с осями координат;
  4. найти производную и критические точки функции;
  5. найти промежутки возрастания, убывания и точки экстремума (и значения функции в этих точках);
  6. исследовать поведение функции на концах промежутков области определения;
  7. если необходимо, найти координаты дополнительных точек;
  8. на основании проведенного исследования построить график функции.

Эта схема — ориентировочная, и не всегда нужно выполнять все этапы исследования. Например, иногда нельзя точно найти точки пересечения графика с осью Как найти производную функции примеры с решением даже если мы знаем, что такие точки существуют. Также бывает сложно исследовать поведение функции на концах промежутков области определения. В таком случае уточнить ее поведение можно за счет нахождения координат точек графика функции, абсциссы которых приближаются к концам промежутков области определения.

Охарактеризуем особенности выполнения каждого из указанных этапов исследования функции и особенности учета полученных результатов при построении графика функции.

1. В первую очередь, необходимо выяснить и записать область определения. Если нет специальных ограничений, то функцию считают заданной при всех значениях аргумента, при которых существуют все выражения, входящие в запись функции. Ограничения, которые следует учесть при нахождении области определения функции, приведены ниже:

Вид функции:

1.Как найти производную функции примеры с решением

Ограничения , которые учитываются при нахождении области определения функции*

1 .Как найти производную функции примеры с решением Знаменатель дроби не равен нулю

Вид функции:

2. Как найти производную функции примеры с решением

Ограничения , которые учитываются при нахождении области определения функции:

2. Как найти производную функции примеры с решением Под знаком корня четной степени может стоять только неотрицательное выражение

Вид функции:

3.Как найти производную функции примеры с решением

Ограничения , которые учитываются при нахождении области определения функции:

3. Как найти производную функции примеры с решениемПод знаком тангенса может стоять только выражение, не равное Как найти производную функции примеры с решением (Как найти производную функции примеры с решением — любое целое число)

Вид функции:

4. Как найти производную функции примеры с решением

Ограничения , которые учитываются при нахождении области определения функции:

4. Как найти производную функции примеры с решением Под знаком котангенса может стоять только выражение, не равное Как найти производную функции примеры с решением (Как найти производную функции примеры с решением — любое целое число)

Вид функции:

5 .Как найти производную функции примеры с решением

6. Как найти производную функции примеры с решением

Ограничения , которые учитываются при нахождении области определения функции:

5,6.Как найти производную функции примеры с решением

Под знаками арксинуса и арккосинуса может стоять только выражение, модуль которого меньше или равен единице

Вид функции:

7. Как найти производную функции примеры с решением

Ограничения , которые учитываются при нахождении области определения функции

7.

*При записи этих ограничений предполагаем, что функции Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением определены на рассматриваемом множестве.

После нахождения области определения функции полезно отметить ее на оси абсцисс. Если область определения — вся числовая прямая, то никаких отметок можно не выполнять. Если эта область — промежуток числовой прямой, то через его концы полезно провести вертикальные прямые, между которыми будет находиться график функции. Если отдельные точки числовой прямой не входят в область определения функции, то целесообразно отметить их на оси абсцисс и провести через них вертикальные прямые, не пересекающие график функции.

2. Если выяснится, что заданная функция четная (или нечетная), то можно исследовать свойства и построить ее график только при Как найти производную функции примеры с решением а затем отобразить его симметрично относительно оси Как найти производную функции примеры с решением (для четной) или относительно начала координат (для нечетной). Если же функция периодическая, то достаточно построить ее график на отрезке длиной Как найти производную функции примеры с решением, а затем повторить его на каждом из промежутков длиной Как найти производную функции примеры с решением (то есть перенести график параллельно вдоль оси Как найти производную функции примеры с решением на Как найти производную функции примеры с решением где Как найти производную функции примеры с решением — целое число).

Для обоснования четности функции достаточно проверить, что для всех Как найти производную функции примеры с решением из ее области определения Как найти производную функции примеры с решением для нечетности — выполнение равенства Как найти производную функции примеры с решением а для периодичности — равенства Как найти производную функции примеры с решением при условии, что если Как найти производную функции примеры с решением входит в область определения функции Как найти производную функции примеры с решением (где Как найти производную функции примеры с решением) также входят в нее.

3. Чтобы найти точки пересечения графика с осями координат, учитываем, что на оси Как найти производную функции примеры с решением значение Как найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решением (если это значение существует). На оси Как найти производную функции примеры с решением значение Как найти производную функции примеры с решением поэтому для нахождения соответствующих значений Как найти производную функции примеры с решением приравниваем заданную функцию к нулю и находим корни полученного уравнения (если его удается решить).

4. Далее полезно найти производную и критические точки функции — внутренние точки ее области определения, в которых производная равна нулю или не существует. На всех промежутках, где существует производная данной функции, эта функция непрерывна и ее график на каждом из промежутков — неразрывная линия.

5. Используя производную и критические точки функции, находим промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции (и значения функции в этих точках). Целесообразно отметить критические точки функции на ее области определения и найти знаки производной в каждом из промежутков, на которые разбивается область определения. Вывод о возрастании или убывании функции на промежутке между критическими точками часто можно сделать, сравнив значения функции на концах этого промежутка (вместо определения знака производной).

Результаты этого этапа исследования можно оформить в виде специальной таблицы:

Как найти производную функции примеры с решением

После нахождения значения функции в каждой критической точке Как найти производную функции примеры с решением строим соответствующие точки на координатной плоскости, учитывая поведение графика функции в окрестности точки Как найти производную функции примеры с решением

Критическая точка Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением— точка максимума

Поведение Как найти производную функции примеры с решением

а)Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением меняет знак в точке Как найти производную функции примеры с решениемс « + » на «-»

б)Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением меняет знак в точке Как найти производную функции примеры с решениемс « + » на «-»

Ориентировочный вид графика функции Как найти производную функции примеры с решением в окрестности точки Как найти производную функции примеры с решением

а)Как найти производную функции примеры с решением б)Как найти производную функции примеры с решением

Критическая точка Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением— точка минимума

Поведение Как найти производную функции примеры с решением

а)Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением меняет знак в точке Как найти производную функции примеры с решениемс « — » на «+»

б)Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением меняет знак в точке Как найти производную функции примеры с решениемс « — » на «+»

Ориентировочный вид графика функции Как найти производную функции примеры с решением в окрестности точки Как найти производную функции примеры с решением

а)Как найти производную функции примеры с решениемб)Как найти производную функции примеры с решением

Критическая точка Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением— критическая точка, в которой производная рана нулю, но которая не является точкой экстремума

Поведение Как найти производную функции примеры с решением

а)Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решениемслева и справа от точки Как найти производную функции примеры с решением положительная

б)Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решениемслева и справа от точки Как найти производную функции примеры с решением отрицательная

Ориентировочный вид графика функции Как найти производную функции примеры с решением в окрестности точки Как найти производную функции примеры с решением

а)Как найти производную функции примеры с решениемб)Как найти производную функции примеры с решением

При изображении графика функции в окрестности точки Как найти производную функции примеры с решением учитывают геометрический смысл производной: если Как найти производную функции примеры с решением то в точке с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением к графику функции Как найти производную функции примеры с решением можно провести касательную, параллельную оси Как найти производную функции примеры с решением Если же значение Как найти производную функции примеры с решением не существует, то в точке с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением график будет иметь излом (или касательную к графику функции в этой точке провести нельзя, или касательная перпендикуляр на к оси Как найти производную функции примеры с решением).

6. Для более полного представления о виде графика функции, целесообразно исследовать поведение, функции на концах области определения. При этом возможны несколько случаев.

а) Около точки Как найти производную функции примеры с решением ограничивающей промежуток области определения, значение функции стремится к бесконечности. Например, у функции Как найти производную функции примеры с решениемобласть определения — Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением и если значение Как найти производную функции примеры с решением стремится к пулю, то значение Как найти производную функции примеры с решением — к бесконечности (рис. 5.19).

Как отмечалось на этапе 1, через точку Как найти производную функции примеры с решением уже проведена вертикальная прямая. Около точки Как найти производную функции примеры с решением график функции будет стремиться вверх или вниз, приближаясь к этой прямой. Ее называют вертикальной асимптотой* графика функции. Чтобы выяснить, вверх или вниз стремится график функции, достаточно определить знаки функции слева и справа от точки Как найти производную функции примеры с решением Характерные случаи изображены на рис. 5.20, 5.21.

б) Если предельная точка Как найти производную функции примеры с решением входит в область определения функции, то надо определить значение функции в точке а и построить полученную точку. Типичный пример — точка Как найти производную функции примеры с решением для функции Как найти производную функции примеры с решением рис (5.22).

Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

в) В область определения функции входит бесконечный промежуток (либо вся числовая прямая, либо промежутки Как найти производную функции примеры с решением или Как найти производную функции примеры с решением). В этом случае полезно представить себе поведение графика функции при Как найти производную функции примеры с решением или при Как найти производную функции примеры с решением. Например, для функции Как найти производную функции примеры с решением имеем: при Как найти производную функции примеры с решением значение Как найти производную функции примеры с решением оставаясь положительным (записываем: Как найти производную функции примеры с решением). А при Как найти производную функции примеры с решением значение Как найти производную функции примеры с решением оставаясь отрицательным (записываем: Как найти производную функции примеры с решением). В этом случае говорят, что прямая Как найти производную функции примеры с решением — горизонтальная асимптота графика функции (см. рис. 5.19).

Иногда при Как найти производную функции примеры с решением или при Как найти производную функции примеры с решением можно выделить наклонную прямую, к которой неограниченно приближается график функции, — так называемую наклонную асимптоту, позволяющую лучше представить поведение графика функции.

7. Если нужно уточнить поведение графика функции (например, когда на каком-нибудь бесконечном промежутке области определения функция возрастает Как найти производную функции примеры с решением), следует найти координаты дополнительных точек графика, взяв произвольные значения аргумента из необходимого промежутка.

*Прямую, к которой неограниченно приближается кривая при удалении ее в бесконечность, называют асимптотой этой кривой (подробнее см. на с. 115).

  • Заказать решение задач по высшей математике

Примеры решения задач

Пример №64

Постройте график функции Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

1. Область определения: Как найти производную функции примеры с решением

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

3. Точка пересечения графика с осью Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

4. Производная и критические точки. Как найти производную функции примеры с решением Производная существует на всей области определения функцииКак найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решением следовательно, Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением — критические точки.

5. Отмечаем критические точки на области определения функции Как найти производную функции примеры с решением и находим знак Как найти производную функции примеры с решением на каждом из полученных промежутков (рис. 5.23).

Как найти производную функции примеры с решением

Составляем таблицу, в которой отмечаем промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции:

Как найти производную функции примеры с решением

6. Найдем значения функции в нескольких точках:

Как найти производную функции примеры с решением

7. Используя результаты исследования, строим график функции Как найти производную функции примеры с решением(рис. 5.24).

Как найти производную функции примеры с решением

Комментарий

Используем общую схему исследования функции (с. 69). При нахождении области определения учитываем, что никаких ограничений, зафиксированных в табл. 8, функция не имеет, значит, областью определения является множество всех действительных чисел (можно использовать известное утверждение, что областью определения многочлена являются все деиствительные числа). Чтобы найти точку пересечения графика с осью Как найти производную функции примеры с решением нужно приравнять функцию к нулю и решить уравнение Как найти производную функции примеры с решением

Но мы не можем найти корни этого уравнения, поэтому в решение включено лишь нахождение точки пересечения графика с осью Как найти производную функции примеры с решением

Когда уже известны производная данной функции, ее критические точки и знаки производной в каждом из промежутков, на которые критические точки разбивают область определения функции, удобно находить промежутки возрастания и убывания и экстремумы функции, заполняя специальную таблицу.

Обратим внимание: функция непрерывна на всей числовой прямой, поскольку дифференцируема в каждой точке области определения, а значит, ее график — неразрывная линия.

Для уточнения вида графика целесообразно найти координаты нескольких дополнительных точек.

После построения графика функции можно сделать вывод, что он имеет единственную точку пересечения с осью Как найти производную функции примеры с решением Она находится между точками Как найти производную функции примеры с решением поскольку функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна, на промежутке Как найти производную функции примеры с решением возрастает, в точке Как найти производную функции примеры с решением принимает отрицательное значение, а в точке Как найти производную функции примеры с решением — положительное. Других точек пересечения с осью Как найти производную функции примеры с решением быть не может, потому что на промежутке Как найти производную функции примеры с решением функция Как найти производную функции примеры с решением возрастает Как найти производную функции примеры с решением а на промежутке Как найти производную функции примеры с решением— убывает Как найти производную функции примеры с решением то есть значения функции на этих промежутках отрицательны.

Замечание:

При построении графика функции мы не исследовали поведение функции на концах промежутков ее области определения. Покажем, как это можно сделать. Область определения данной функции — промежуток Как найти производную функции примеры с решением Чтобы исследовать поведение функции на концах промежутков области определения, необходимо выяснить, к какому значению будет стремиться функция при Как найти производную функции примеры с решением Для этого в многочлене достаточно вынести за скобки наивысшую степень переменной (это всегда можно сделать, так какКак найти производную функции примеры с решением когда значение Как найти производную функции примеры с решением велико по модулю).

Тогда при Как найти производную функции примеры с решением имеем Как найти производную функции примеры с решением Поскольку при Как найти производную функции примеры с решением значения Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением то Как найти производную функции примеры с решением Следовательно, Как найти производную функции примеры с решением будет стремиться к тому же значению, что и Как найти производную функции примеры с решением Но при Как найти производную функции примеры с решением значение Как найти производную функции примеры с решениемтогда и Как найти производную функции примеры с решением а при Как найти производную функции примеры с решением значение Как найти производную функции примеры с решением тогда и Как найти производную функции примеры с решением Учитывая непрерывность функции Как найти производную функции примеры с решением получаем, что она принимает все значения из промежутка Как найти производную функции примеры с решением Приведенные соображения можно повторить для любой функции — многочлена нечетной степени. Тогда, строя графики таких функций, полезно помнить, что многочлен нечетной степени принимает все значения из промежутка Как найти производную функции примеры с решением и при больших по модулю значениях аргумента поведение многочлена будет аналогично поведению степенной функцией — его старшего члена.

Пример №65

1) Постройте график функции Как найти производную функции примеры с решением 2*) Сколько корней имеет уравнение Как найти производную функции примеры с решением в зависимости от значения параметра Как найти производную функции примеры с решением

Комментарий:

Для выполнения задания 1 исследуем функцию Как найти производную функции примеры с решением по общей схеме и по результатам исследования построим ее график. Для нахождения точки пересечения графика с осью Как найти производную функции примеры с решением приравниваем функцию к нулю и решаем полученное биквадратное уравнение. При построении графика также учитываем, что при Как найти производную функции примеры с решением значение

Как найти производную функции примеры с решением

Как видим, и для многочлена четной степени при больших по модулю значениях аргумента поведение многочлена будет аналогично поведению степенной функции — его старшего члена.

При выполнении задания 2 можно пользоваться таким ориентиром: если в задании с параметром идет речь о количестве решений уравнения (неравенства или системы), то для анализа данной ситуации часто удобно использовать графическую иллюстрацию решения.

Особенно простым является исследование в том случае, когда заданное уравнение можно представить в виде Как найти производную функции примеры с решением поскольку график функции Как найти производную функции примеры с решением — это прямая, параллельная оси Как найти производную функции примеры с решением (которая пересекает ось Как найти производную функции примеры с решением в точке Как найти производную функции примеры с решением), а график функции Как найти производную функции примеры с решением легко построить, исследовав функцию Как найти производную функции примеры с решением с помощью производной. (Заменяя заданное уравнение па уравнение Как найти производную функции примеры с решением необходимо следить за равносильностью выполненных преобразований, чтобы полученное уравнение имело те же корни, что и заданное. Следовательно, и количество корней у них будет одинаковым.) Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение Как найти производную функции примеры с решением достаточно узнать, сколько точек пересечения имеет график функции Как найти производную функции примеры с решением с прямой Как найти производную функции примеры с решением при разных значениях параметра Как найти производную функции примеры с решением(Для этого на рисунке целесообразно изобразить все характерные положения прямой.)

Решение:

1) Исследуем функцию Как найти производную функции примеры с решением 1. Область определения :Как найти производную функции примеры с решением

2. Функция четная, поскольку для всех значений Как найти производную функции примеры с решением из ее области определения

Как найти производную функции примеры с решением

Следовательно, график функции симметричен относительно оси Как найти производную функции примеры с решением

3. Точка пересечения графика с осью Как найти производную функции примеры с решением Точки пересечения графика с осью Как найти производную функции примеры с решением Замена Как найти производную функции примеры с решением дает: Как найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решением (корней нет) или Как найти производную функции примеры с решением Отсюда Как найти производную функции примеры с решением — абсциссы точек пересечения графика с осью Как найти производную функции примеры с решением

4. Производная и критические точки, Как найти производную функции примеры с решением Производная существует на всей области определения функции Как найти производную функции примеры с решением(следовательно, функция непрерывна на всей числовой прямой). Как найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решением значит, Как найти производную функции примеры с решением — критические точки.

5. Отмечаем критические точки на области определения функции Как найти производную функции примеры с решением и находим знак Как найти производную функции примеры с решением на каждом из полученных промежутков (рис. 5.25). Составляем таблицу, в которой отмечаем промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции: Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

6. Используя результаты исследования, строим график* функции Как найти производную функции примеры с решением(рис. 5.26).

2) Заданное уравнение Как найти производную функции примеры с решением равносильно уравнению Как найти производную функции примеры с решением Решим последнее уравнение графически: построим графики функций Как найти производную функции примеры с решением (см. задание 1) и Как найти производную функции примеры с решением (рис. 5.27). Как видим, при Как найти производную функции примеры с решением уравнение не имеет корней (нет точек пересечения графиков); при Как найти производную функции примеры с решением уравнение имеет два корня (графики имеют только две общие точки); при Как найти производную функции примеры с решением уравнение имеет три корня (графики имеют три общие точки) и при Как найти производную функции примеры с решением уравнение имеет четыре корня (графики имеют четыре общие точки).

*Масштаб по осям Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением разный.

Наибольшее и наименьшее значения функции

1. Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке

Свойство:

Если функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна на отрезке и имеет на нем конечное число критических точек, то она принимает наибольшее и наименьшее значения на этом отрезке, или в критических точках, принадлежащих этому отрезку, или на концах отрезка.

Примеры:

Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

2. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке

Схема:

1. Убедиться, что заданный отрезок входит в область определения функции

Пример:

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции Как найти производную функции примеры с решением

Область определения заданной функции — все действительные числа Как найти производную функции примеры с решением Следовательно, заданный отрезок входит в область определения функции Как найти производную функции примеры с решением

Схема:

2. Найти производную Как найти производную функции примеры с решением

Пример:

Как найти производную функции примеры с решением

Схема:

3. Найти критические точки: Как найти производную функции примеры с решением или не существует.

Пример:

Как найти производную функции примеры с решением существует на всей области определения функции Как найти производную функции примеры с решением (значит, функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна на заданном отрезке).

Как найти производную функции примеры с решением

Схема:

4. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку.

Пример:

Заданному отрезку Как найти производную функции примеры с решением принадлежит только критическая точка Как найти производную функции примеры с решением

Схема:

5. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.

Пример:

Как найти производную функции примеры с решением

Схема:

6. Сравнить полученные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Пример:

Как найти производную функции примеры с решением

3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на интервале

Свойство:

Если непрерывная функция Как найти производную функции примеры с решением имеет на заданном интервале только одну точку экстремума Как найти производную функции примеры с решением и это точка минимума, то на заданном интервале функция принимает свое наименьшее значение в точке Как найти производную функции примеры с решением.

Иллюстрация:

Как найти производную функции примеры с решением

Свойство:

Если непрерывная функция Как найти производную функции примеры с решением имеет на заданном интервале только одну точку экстремума Как найти производную функции примеры с решением и это точка максимума, то на заданном интервале, функция принимает свое наибольшее значение в точке Как найти производную функции примеры с решением.

Иллюстрация:

Как найти производную функции примеры с решением

4. Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Схема:

1. Одну из искомых величин (или величину, с помощью которой можно дать ответ на вопрос задачи), обозначить через Как найти производную функции примеры с решением (и по смыслу задачи наложить ограничения на Как найти производную функции примеры с решением).

Пример:

Имеется кусок проволоки длиной 100 м. Необходимо огородить им прямоугольный участок наибольшей площади. Найдите размеры участка.

Пусть участок имеет форму прямоугольника Как найти производную функции примеры с решением (см. рисунок) со стороной Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Так как проволока будет натянута по периметру прямоугольника, получаем: Как найти производную функции примеры с решением т. е. Как найти производную функции примеры с решением Отсюда Как найти производную функции примеры с решением Поскольку длина каждой стороны прямоугольника — положительное число, то Как найти производную функции примеры с решением

Схема:

2. Величину, о которой говорится, что она наибольшая или наименьшая, выразить как функцию от Как найти производную функции примеры с решением

Пример:

Площадь прямоугольника: Как найти производную функции примеры с решением

Схема:

3. Исследовать полученную функцию на наибольшее или наименьшее значение (чаще всего с помощью производной).

Пример:

Исследуем функцию Как найти производную функции примеры с решением с помощью производной. Производная Как найти производную функции примеры с решением существует при всех действительных значениях Как найти производную функции примеры с решением (значит, Как найти производную функции примеры с решением — непрерывная функция на заданном промежутке). Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением — критическая точка.

Как найти производную функции примеры с решением

В точке Как найти производную функции примеры с решением производная Как найти производную функции примеры с решением меняет знак с «+» на «-» (см. рисунок), следовательно, Как найти производную функции примеры с решением — точка максимума. Поскольку непрерывная функция Как найти производную функции примеры с решением имеет на заданном интервале (0; 50) только одну точку экстремума Как найти производную функции примеры с решением и это точка максимума, делаем вы вод: на заданном интервале функция принимает свое наибольшее значение в точке Как найти производную функции примеры с решением*.

Схема:

4. Убедиться, что полученный результат имеет смысл для исходной задачи.

Пример:

Итак, площадь огороженного участка будет наибольшей, если стороны прямоугольника равны: Как найти производную функции примеры с решением то есть если участок будет иметь форму квадрата со стороной 25 м.

Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке

Человеку в жизни часто приходится искать лучшее, или, как говорят, оптимальное решение поставленной задачи. Часть таких задач удается решить с помощью методов математического анализа — это задачи, которые можно свести к нахождению наибольшего или наименьшего значения функции. В курсах математического анализа доказывается теорема Вейер-штрасса: непрерывная на отрезке Как найти производную функции примеры с решением функция Как найти производную функции примеры с решением имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, то есть существуют точки отрезка Как найти производную функции примеры с решением в которых Как найти производную функции примеры с решением принимает наибольшее и наименьшее на Как найти производную функции примеры с решением значения.

*В этой задаче можно было исследовать функцию Как найти производную функции примеры с решением и без применения производной. Как найти производную функции примеры с решением — квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. Тогда наибольшее значение эта функция принимает в вершине параболы, то есть при Как найти производную функции примеры с решением Это значение находится в заданном интервале (0; 50), следовательно, на этом интервале функция принимает наибольшее значение при Как найти производную функции примеры с решением

Рассмотрим случай, когда непрерывная на отрезке Как найти производную функции примеры с решением функция Как найти производную функции примеры с решением имеет на этом отрезке только конечное число критических точек. Тогда имеет место свойство:

  • если функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна на отрезке и имеет на нем конечное число критических точек, то она принимает наибольшее и наименьшее значения на этом отрезке, или в критических точках, принадлежащих этому отрезку, или на концах отрезка.

Геометрическая иллюстрация этого свойства приведена в п. 1

1) Сначала рассмотрим случай, когда непрерывная на отрезке Как найти производную функции примеры с решением функцияКак найти производную функции примеры с решением не имеет на нем критических точек. Тогда на отрезке Как найти производную функции примеры с решением производная Как найти производную функции примеры с решением сохраняет постоянный знак (см. с. 53), следовательно, функция Как найти производную функции примеры с решением на отрезке Как найти производную функции примеры с решением возрастает (рис. 5.28, а) или убывает (рис. 5.28, б). Поэтому наибольшее и наименьшее значения функции Как найти производную функции примеры с решением па отрезке Как найти производную функции примеры с решением — это значения па концах отрезка в точках Как найти производную функции примеры с решением

2) Пусть теперь функция Как найти производную функции примеры с решением имеет на отрезке Как найти производную функции примеры с решениемконечное число критических точек. Они разбивают отрезок Как найти производную функции примеры с решением на конечное число отрезков, внутри которых критических точек нет. Тогда согласно п. 1 наибольшее и наименьшее значения функция Как найти производную функции примеры с решением принимает на концах таких отрезков, то есть в критических точках функции, или в точкахКак найти производную функции примеры с решением

Таким образом, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции, имеющей на этом отрезке конечное число критических точек, достаточно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка и из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее. Для использования этого ориентира нужно убедиться, что заданный отрезок входит в область определения данной функции и что функция непрерывна на этом отрезке (последнее следует, например, из того, что функция дифференцируема на заданном отрезке).

Для нахождения критических точек функции необходимо найти ее производную и выяснить, где она равна нулю или не существует. Уточненная схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке, приведена в табл. 9 (п. 2, с. 80). Там же дан пример использования этой схемы. Другие примеры нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке, приведены будут ниже.

Утверждение, что наибольшее значение функции Как найти производную функции примеры с решением на отрезке Как найти производную функции примеры с решением достигается в точке Как найти производную функции примеры с решением можно обозначать так: Как найти производную функции примеры с решением а утверждение, что наименьшее значение функции Как найти производную функции примеры с решением на отрезке Как найти производную функции примеры с решениемдостигается в точке Как найти производную функции примеры с решением можно обозначать так: Как найти производную функции примеры с решением

При решении некоторых задач приходится находить наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции не на отрезке, а на интервале. Чаще всего в таких задачах функция имеет на заданном интервале только одну критическую точку: или точку максимума, или точку минимума. В этих случаях в точке максимума функция Как найти производную функции примеры с решением принимает наибольшее значение на данном интервале (рис. 5.29), а в точке минимума — наименьшее значение на данном интервале (рис. 5.30).

Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

Действительно, если, например, непрерывная функция Как найти производную функции примеры с решением имеет на заданном интервале Как найти производную функции примеры с решением только одну точку экстремума Как найти производную функции примеры с решением и это точка минимума, то в этой точке производная Как найти производную функции примеры с решением меняет знак с «-» на « + ». Таким образом, если Как найти производную функции примеры с решением то Как найти производную функции примеры с решением Поскольку функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна в точке Как найти производную функции примеры с решением, то она убывает при Как найти производную функции примеры с решением и тогда при Как найти производную функции примеры с решением имеем Как найти производную функции примеры с решением Если же Как найти производную функции примеры с решением тоКак найти производную функции примеры с решениемПоскольку функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна в точке Как найти производную функции примеры с решением, то она возрастает при Как найти производную функции примеры с решением и тогда при Как найти производную функции примеры с решением имеем Как найти производную функции примеры с решением Это и означает, что значение Как найти производную функции примеры с решением— наименьшее значение функции на интервале Как найти производную функции примеры с решением

Аналогично обосновывается и случай, когда Как найти производную функции примеры с решением — точка максимума (проведите обоснование самостоятельно).

Рассмотренные способы нахождения наибольших и наименьших значений функции используются для решения разнообразных прикладных задач.

Решение практических задач математическими методами, как правило, содержит три основных этапа:

  1. формализацию, то есть создание математической модели задачи (перевод условия задачи на язык математики);
  2. решение составленной математической задачи;
  3. интерпретацию найденного решения (анализ полученного результата, то есть перевод его с языка математики в термины исходной задачи)*.

*С общим методом решения практических задач методами математики (его называют методом математического моделирования) вы уже фактически ознакомились: по описанной схеме решали текстовые задачи в курсе алгебры.

Эти этапы для задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений можно реализовать по схеме:

  1. одну из величин, которую необходимо найти (или величину, с помощью которой можно дать ответ на вопрос задачи), обозначить через х (и по смыслу задачи наложить ограничения на Как найти производную функции примеры с решением);
  2. величину, о которой говорится, что она наибольшая или наименьшая, выразить как функцию от Как найти производную функции примеры с решением;
  3. исследовать полученную функцию ни наибольшее или наименьшее значения;
  4. убедиться, что результат имеет смысл для исходной задачи.

При решении некоторых задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции целесообразно использовать следующее утверждение: если значения функции Как найти производную функции примеры с решением неотрицательны на некотором промежутке, то эта функция и функция Как найти производную функции примеры с решением где Как найти производную функции примеры с решением — натуральное число, принимают наибольшее (наименьшее) значение в одной и той же точке.

Действительно, при Как найти производную функции примеры с решением функцияКак найти производную функции примеры с решением, где Как найти производную функции примеры с решением — натуральное число, является возрастающей Как найти производную функции примеры с решением только при Как найти производную функции примеры с решением Тогда сложная функция Как найти производную функции примеры с решением (то есть функция Как найти производную функции примеры с решением где Как найти производную функции примеры с решением будет возрастать там, где возрастает функция Как найти производную функции примеры с решением, и убывать там, где убывает функция Как найти производную функции примеры с решением, а значит, принимать наибольшее (или наименьшее) значение в той же точке, что и функция Как найти производную функции примеры с решением.

Примеры решения задач:

Пример №66

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции Как найти производную функции примеры с решением на отрезке Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

1 )Как найти производную функции примеры с решением следовательно, отрезок Как найти производную функции примеры с решением входит в область определения функции Как найти производную функции примеры с решением 2) Как найти производную функции примеры с решением 3) Как найти производную функции примеры с решением существует на всей области определения функции Как найти производную функции примеры с решением (следовательно, функция Как найти производную функции примеры с решением является непрерывной на заданном отрезке);

Как найти производную функции примеры с решением

или Как найти производную функции примеры с решением— критические точки. 4) В заданный отрезок попадают только критические точки: Как найти производную функции примеры с решением 5) Как найти производную функции примеры с решением 6) Как найти производную функции примеры с решением

Комментарий:

Используем схему нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции Как найти производную функции примеры с решением

  • 1) убедиться, что заданный отрезок входит в область определения функции;
  • 2) найти производную;
  • 3) найти критические точки Как найти производную функции примеры с решением или не
  • существует);
  • 4) выбрать критическиеточки, принадлежащие заданному отрезку;
  • 5) вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка;
  • 6) сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Чтобы убедиться в непрерывности данной функции, достаточно после нахождения ее производной показать, что производная существует в каждой точке области определения функции, или отметить, что заданная функция непрерывна как сумма двух непрерывных функций Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением Выяснить, какие критические точки принадлежат заданному отрезку, можно на соответствующем рисунке, отмечая критические точки на числовой прямой (рис. 5.31):

Как найти производную функции примеры с решением

*Конечно, при Как найти производную функции примеры с решением а при Как найти производную функции примеры с решением значение Как найти производную функции примеры с решением

Пример №67

Из круглого бревна вырезают брус прямоугольного сечения наибольшей площади. Найдите размеры сечения бруса, если радиус сечения бревна равен 25 см.

Решение

1) Пусть из круга вырезают прямоугольник Как найти производную функции примеры с решением (рис. 5.32) со стороной Как найти производную функции примеры с решением(см). Учитывая, что Как найти производную функции примеры с решением — диаметр круга, имеем Как найти производную функции примеры с решением = 50 (см). Поскольку Как найти производную функции примеры с решением — длина отрезка, то Как найти производную функции примеры с решением Кроме того, Как найти производную функции примеры с решением (катет прямоугольного треугольника Как найти производную функции примеры с решением меньше его гипотенузы), следовательно, Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

2) Из прямоугольного Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Тогда площадь сечения прямоугольника Как найти производную функции примеры с решением равна: Как найти производную функции примеры с решением Поскольку при Как найти производную функции примеры с решением значение Как найти производную функции примеры с решением то рассмотрим функцию Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением принимающую наибольшее значение на промежутке Как найти производную функции примеры с решением в той же точке, что и Как найти производную функции примеры с решением 3) Производная Как найти производную функции примеры с решением существует во всех точках заданного промежутка (следовательно, функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна на заданном промежутке). Как найти производную функции примеры с решением В промежуток Как найти производную функции примеры с решением попадает только критическая точка Как найти производную функции примеры с решением которая является точкой максимума: в этой точке производная меняет знак с « + » на «-» (рис. 5.33).

Как найти производную функции примеры с решением

Поскольку функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна на заданном интервале и имеет там только одну точку экстремума и это точка максимума, то на этом интервале функция принимает наибольшее значение в точке Как найти производную функции примеры с решением 4) Тогда Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Следовательно, наибольшая площадь сечения бруса будет в том случае, когда искомый прямоугольник будет квадратом со стороной Как найти производную функции примеры с решением (~ 35 см).

Комментарий:

Используем общую схему решения задач на наибольшее и наименьшее значения:

Полученную функцию Как найти производную функции примеры с решением на промежутке Как найти производную функции примеры с решением можно ис следовать непосредственно. Но лучше учесть, что на этом промежутке Как найти производную функции примеры с решением и исследовать функцию Как найти производную функции примеры с решением в записи которой не содержится знака корня и которая принимает наибольшее значение в той же точке, что и Как найти производную функции примеры с решением

Вывод о том, что в найденной точке функция Как найти производную функции примеры с решением принимает наибольшее значение, можно обосновать одним из трех способов:

Следовательно, наибольшее значение на отрезке Как найти производную функции примеры с решением функция Как найти производную функции примеры с решением принимает в точке Как найти производную функции примеры с решением (которая лежит внутри этого отрезка). Тогда и на интервале (0; 50) эта функция принимает наибольшее значение в точке Как найти производную функции примеры с решением.

Пример №68

Найдите наибольшее значение площади треугольника Как найти производную функции примеры с решением если точка Как найти производную функции примеры с решением — начало координат, точка Как найти производную функции примеры с решением лежит на графике функции Как найти производную функции примеры с решением точка Как найти производную функции примеры с решением — на оси Как найти производную функции примеры с решением и ее абсцисса в четыре раза больше ординаты точки Как найти производную функции примеры с решением (где Как найти производную функции примеры с решением

Комментарий:

Для функции Как найти производную функции примеры с решением непросто найти область определения, но можно убедиться, что заданный промежуток полностью входит в область определения этой функции, оценив значения подкоренного выражения на заданном промежутке. Для этого учитываем, что на единичной окружности заданный промежуток находится во второй и третьей четвертях (рис. 5.34), где Как найти производную функции примеры с решением при всех значениях Как найти производную функции примеры с решением

Также следует учесть, что согласно определению графика функции точка Как найти производную функции примеры с решениемимеет координаты Как найти производную функции примеры с решением Чтобы утверждать, что высота треугольника Как найти производную функции примеры с решением равна ординате точки Как найти производную функции примеры с решением (рис. 5.35), необходимо обосновать, что на заданном промежутке график функции Как найти производную функции примеры с решением лежит в первой четверти.

Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

После записи площади треугольника Как найти производную функции примеры с решением как функции Как найти производную функции примеры с решением для нахождения ее наибольшего значения обращаем внимание на то, что достаточно сложно найти Как найти производную функции примеры с решением Поэтому удобно выполнить исследование этой функции с помощью производной и обосновать, что в точке экстремума из заданного промежутка функция принимает наибольшее значение на заданном промежутке (а не пользоваться схемой нахождения наибольшего значения непрерывной функции на отрезке).

Решение:

При Как найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решением на заданном промежутке. При всех значениях Как найти производную функции примеры с решением имеем Как найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решением значит, Как найти производную функции примеры с решением Таким образом, на заданном промежутке Как найти производную функции примеры с решением следовательно, заданный промежуток полностью входит в область определения функции Как найти производную функции примеры с решением. Отметим также, что в этом случае значения функции Как найти производную функции примеры с решением будут положительными, то есть на заданном промежутке график функции Как найти производную функции примеры с решением лежит в первой четверти.

Поскольку заданная точка Как найти производную функции примеры с решением лежит на графике функции Как найти производную функции примеры с решением то в случае, когда абсцисса точки Как найти производную функции примеры с решением равна Как найти производную функции примеры с решением ордината равна Как найти производную функции примеры с решением (рис. 5.35). По условию Как найти производную функции примеры с решением Точка Как найти производную функции примеры с решением лежит в первой четверти, следовательно, Как найти производную функции примеры с решением а значит, и Как найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решением а высота треугольника Как найти производную функции примеры с решением равна ординате точки Как найти производную функции примеры с решением Поэтому площадь треугольника Как найти производную функции примеры с решением равна: Как найти производную функции примеры с решением

Следовательно, необходимо найти наибольшее значение функции Как найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решением Производная Как найти производную функции примеры с решением существует во всех точках заданного отрезка, а значит, функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна на этом отрезке. Найдем, где Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Из найденных точек в заданный отрезок входит только критическая точка Как найти производную функции примеры с решением

Обозначим критические точки на области определения и найдем знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения (рис. 5.36). Учитывая непрерывность функции Как найти производную функции примеры с решением на заданном промежутке, получаем, что функция возрастает на промежутке Как найти производную функции примеры с решением(тогда при Как найти производную функции примеры с решением значение Как найти производную функции примеры с решением) и убывает на промежутке Как найти производную функции примеры с решением (при Как найти производную функции примеры с решением значение Как найти производную функции примеры с решением). Следовательно, на отрезке Как найти производную функции примеры с решением функция Как найти производную функции примеры с решением принимает наибольшее значение при Как найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решением (квадратных единиц).

Ответ: наибольшее значение искомой площади треугольника равно Как найти производную функции примеры с решением кв. ед.

Производные обратных тригонометрических функций

1. Формулы производных обратных тригонометрических функций

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

2. Доказательство тождеств с помощью производной

Условие постоянства функции

Функция Как найти производную функции примеры с решением является постоянной Как найти производную функции примеры с решением на интервале Как найти производную функции примеры с решением тогда и только тогда, когда Как найти производную функции примеры с решением во всех точках этого интервала (а если функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна на отрезке Как найти производную функции примеры с решением, то Как найти производную функции примеры с решением па Как найти производную функции примеры с решением).

Схема доказательства тождеств вида Как найти производную функции примеры с решением с помощью производной:

  1. Рассмотреть вспомогательную функцию Как найти производную функции примеры с решением (на ее области определения или заданном интервале).
  2. Проверить, что Как найти производную функции примеры с решением на этом интервале.
  3. Исходя из условия постоянства функции, сделать вы вод, что функция Как найти производную функции примеры с решением на рассматриваемом интервале.
  4. Чтобы найти постоянную Как найти производную функции примеры с решением нужно подставить вместо Как найти производную функции примеры с решением любое значение Как найти производную функции примеры с решением из рассматриваемого интервала и доказать, что Как найти производную функции примеры с решением
  5. Сделать следующий вывод: поскольку Как найти производную функции примеры с решением тоКак найти производную функции примеры с решением

Пример:

Доказать, что arccos Как найти производную функции примеры с решениемпри Как найти производную функции примеры с решением

Рассмотрим функцию

Как найти производную функции примеры с решением Ее область определения Как найти производную функции примеры с решением На интервалеКак найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Тогда по условию постоянства функции получаем, что Как найти производную функции примеры с решением при всех значениях Как найти производную функции примеры с решением из интервала Как найти производную функции примеры с решением, а с учетом того, что функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна на своей области определения, и при всех значениях Как найти производную функции примеры с решением из отрезка Как найти производную функции примеры с решением

Чтобы найти значение Как найти производную функции примеры с решением подставим в равенство Как найти производную функции примеры с решением вместо Как найти производную функции примеры с решением например, значение Как найти производную функции примеры с решением Получаем: Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Значит, при всех значениях Как найти производную функции примеры с решением из отрезка Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Отсюда arccos Как найти производную функции примеры с решением при Как найти производную функции примеры с решением

Формулы производных обратных тригонометрических функций

Формулы производных обратных тригонометрических функций докажем, используя определение этих функций (существование их производных примем без доказательства).

Например, если Как найти производную функции примеры с решением то согласно определению арксинуса Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением Продифференцируем обе части этого равенства, рассматривая производную Как найти производную функции примеры с решением как производную сложной функции. Получаем Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением Отсюда Как найти производную функции примеры с решением Но Как найти производную функции примеры с решением Учитывая, что Как найти производную функции примеры с решением получаем Как найти производную функции примеры с решением Тогда при Как найти производную функции примеры с решением(в этом случае Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением) имеем Как найти производную функции примеры с решением Поэтому при Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Аналогично, если Как найти производную функции примеры с решением то согласно определению арккосинуса Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением Продифференцируем обе части этого равенства, рассматривая производную Как найти производную функции примеры с решением как производную сложной функции. Получаем Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением Отсюда Как найти производную функции примеры с решением Но Как найти производную функции примеры с решением Учитывая, что Как найти производную функции примеры с решением получаем Как найти производную функции примеры с решением Тогда при Как найти производную функции примеры с решением (в этом случае Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением) имеем Как найти производную функции примеры с решением Поэтому при Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Найдем производную функции Как найти производную функции примеры с решением По определению арктангенса Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением После дифференцирования последнего равенства получаем Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением Отсюда Как найти производную функции примеры с решением cos у Но Как найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решением Следовательно, при любых значениях Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Аналогично, если Как найти производную функции примеры с решением то согласно определению арккотангенса Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением После дифференцирования последнего равенства получаем Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением Отсюда Как найти производную функции примеры с решением Но Как найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решением Следовательно, при любых значениях Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Доказательства тождеств с помощью производной

Рассмотрим условие постоянства функции: если на некотором интервале Как найти производную функции примеры с решением во всех точках этого интервала, то функция Как найти производную функции примеры с решением постоянна на этом интервале. Если функция Как найти производную функции примеры с решением также непрерывна на отрезке Как найти производную функции примеры с решением, то она постоянна и на отрезке Как найти производную функции примеры с решением. Это условие можно использовать для доказательства некоторых тождеств.

Пример №69

Докажите тождество Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Рассмотрим вспомогательную функцию Как найти производную функции примеры с решением и найдем ее производную при Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

По условию постоянства функции получаем, что Как найти производную функции примеры с решением при всех значениях Как найти производную функции примеры с решением из интервала Как найти производную функции примеры с решением а учитывая, что функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна на своей области определения, — и при всех Как найти производную функции примеры с решением из отрезка Как найти производную функции примеры с решением Чтобы найти Как найти производную функции примеры с решением отметим, что равенство Как найти производную функции примеры с решением выполняется тождественно, то есть при любом значении Как найти производную функции примеры с решением. Подставляя в это равенство Как найти производную функции примеры с решением получаем:

Как найти производную функции примеры с решением

Поэтому Как найти производную функции примеры с решением и, значит, Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением или Как найти производную функции примеры с решением

Приведенное решение позволяет предложить следующую схему доказательства тождеств вида Как найти производную функции примеры с решением с помощью производной.

  1. Рассмотреть вспомогательную функцию Как найти производную функции примеры с решением ( на ее области определения или на заданном интервале).
  2. Проверить, что Как найти производную функции примеры с решением на этом интервале.
  3. Пользуясь признаком постоянства функции, сделать вывод, что Как найти производную функции примеры с решением на рассмотренном интервале (если функция Как найти производную функции примеры с решением также непрерывна на отрезке, содержащем концы рассмотренного интервала, то Как найти производную функции примеры с решением на этом от резке).
  4. Чтобы найти Как найти производную функции примеры с решением подставить вместо Как найти производную функции примеры с решением любое значение Как найти производную функции примеры с решением из рассмотренного промежутка и доказать, чтоКак найти производную функции примеры с решением
  5. Сделать вывод: поскольку Как найти производную функции примеры с решением то Как найти производную функции примеры с решением

Всё о второй и высших производных. Понятие выпуклости функции

1. Понятие второй производной

Понятие:

Пусть функция Как найти производную функции примеры с решением имеет производную Как найти производную функции примеры с решением во всех точках некоторого промежутка. Эта производная, в свою очередь, является функцией аргумента Как найти производную функции примеры с решением Если функция Как найти производную функции примеры с решением дифференцируема, то ее производную называют второй производной функции Как найти производную функции примеры с решением и обозначают Как найти производную функции примеры с решением

Запись:

Как найти производную функции примеры с решением

Пример:

Как найти производную функции примеры с решением

2. Понятие выпуклости и точек перегиба дифференцируемой на интервале Как найти производную функции примеры с решением функции

Как найти производную функции примеры с решением

Функцию Как найти производную функции примеры с решением называют выпуклой вниз на интервале Как найти производную функции примеры с решением, если для любой точки Как найти производную функции примеры с решением из этого интервала при всех Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением график функции лежит выше касательной к этому графику в точке Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Функцию Как найти производную функции примеры с решением называют выпуклой вверх на интервале Как найти производную функции примеры с решением если для любой точки Как найти производную функции примеры с решением из этого интервала при всех Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением график функции лежит ниже касательной к этому графику в точке Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Точку Как найти производную функции примеры с решением графика непрерывной функции Как найти производную функции примеры с решением в которой существует касательная и при переходе через которую кривая меняет направление выпуклости, называют точкой перегиба графика функции. В точке перегиба график функции переходит с одной стороны касательной на другую. Абсциссу Как найти производную функции примеры с решением точки Как найти производную функции примеры с решением перегиба графика функции Как найти производную функции примеры с решением называют точкой перегиба функции Как найти производную функции примеры с решением. Точка Как найти производную функции примеры с решением разделяет интервалы выпуклости функции.

3. Свойство графиков выпуклых функций

Как найти производную функции примеры с решением

Если функция Как найти производную функции примеры с решением выпуклая вниз на интервале Как найти производную функции примеры с решением и точки Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решениемявляются точками ее графика еа этом интервале, то на интервале Как найти производную функции примеры с решением график функции Как найти производную функции примеры с решением лежит ниже отрезка Как найти производную функции примеры с решением то есть график лежит ниже хорды.

Как найти производную функции примеры с решением

Если функция Как найти производную функции примеры с решением выпуклая вверх на интервале Как найти производную функции примеры с решением, а точки Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением — точки ее графика на этом интервале, то на интервале Как найти производную функции примеры с решением график функции Как найти производную функции примеры с решением) лежит выше отрезка Как найти производную функции примеры с решением то есть график лежит выше хорды.

4. Достаточные условия выпуклости функции, имеющей вторую производную на заданном интервале Как найти производную функции примеры с решением

Условие выпуклости вниз:

Если на интервале Как найти производную функции примеры с решением дважды дифференцируемая функция Как найти производную функции примеры с решением имеет положительную вторую производную (то есть Как найти производную функции примеры с решением при всех Как найти производную функции примеры с решением то ее график на интервале Как найти производную функции примеры с решением направлен выпуклостью вниз.

Условие выпуклости вверх:

Если на интервале Как найти производную функции примеры с решением дважды дифференцируемая функция Как найти производную функции примеры с решением имеет отрицательную вторую производную (то есть Как найти производную функции примеры с решением при всех Как найти производную функции примеры с решением то ее график на интервале Как найти производную функции примеры с решением направлен выпуклостью вверх.

5. Нахождение точек перегиба функции, имеющей вторую производную на заданном интервале

Необходимое условие:

В точках перегиба функции Как найти производную функции примеры с решением ее вторая производная равна нулю или не существует.

Как найти производную функции примеры с решением

Достаточное условие:

Пусть функция Как найти производную функции примеры с решением имеет на интервале Как найти производную функции примеры с решением вторую производную. Тогда, если Как найти производную функции примеры с решением меняет знак при переходе через Как найти производную функции примеры с решением, где Как найти производную функции примеры с решением то Как найти производную функции примеры с решением — точка перегиба функции Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Схема исследования функции y=f(x) на выпуклость и точки перегиба

Схема исследования функции Как найти производную функции примеры с решением на выпуклость и точки перегиба:

  1. Найти область определения функции.
  2. Найти вторую производную.
  3. Найти внутренние точки области определения, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
  4. Отметить полученные точки на области определения функции, найти знак второй производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения.
  5. Записать нужный результат исследования (интервалы и характер выпуклости и точки перегиба).

Пример №70

Исследовать функцию Как найти производную функции примеры с решением на выпуклость и точки перегиба.

  1. Область определения: Как найти производную функции примеры с решением Функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна в каждой точке своей области определения (как многочлен).
  2. Как найти производную функции примеры с решением
  3. Как найти производную функции примеры с решением существует и непрерывна на всей области определения функции Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением
  4. Как найти производную функции примеры с решением
  5. На интервалах Как найти производную функции примеры с решением график функции направлен выпуклостью вниз Как найти производную функции примеры с решением а на интервале Как найти производную функции примеры с решением — выпуклостью вверх Как найти производную функции примеры с решениемТочки перегиба: Как найти производную функции примеры с решением (в этих точках Как найти производную функции примеры с решением меняет знак).

Расширенная схема исследования функции для построения ее графика

Схема:

  1. Найти область определения функции.
  2. Выяснить, является ли функция четной или нечетной (или периодической).
  3. Точки пересечения графика с осями координат (если их можно найти).
  4. Производная и критические точки функции.
  5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума (и значения функции в этих точках).
  6. Поведение функции на концах промежутков области определения и асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные и наклонные).
  7. Вторая производная и исследование функции на выпуклость и точки перегиба (и значения функции в этих точках).
  8. Найти координаты дополнительных точек графика функции (если нужно уточнить его поведение).
  9. На основании проведенного исследования построить график функции.

Пример №71

Постройте график функции Как найти производную функции примеры с решением

1. Область определения: Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

2. Функция Как найти производную функции примеры с решением ни четная, ни нечетная, посколькуКак найти производную функции примеры с решением и не периодическая.

3. На оси Как найти производную функции примеры с решением значение Как найти производную функции примеры с решением тогда Как найти производную функции примеры с решением На оси Как найти производную функции примеры с решением значение Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением — абсциссы точек пересечения графика с осью Как найти производную функции примеры с решением

4. Как найти производную функции примеры с решением Производная существует на всей области определения функции Как найти производную функции примеры с решением Поэтому функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна в каждой точке своей области определения. При Как найти производную функции примеры с решением имеем Как найти производную функции примеры с решением — критические точки.

5. Отмстим критические точки на области определения и найдем знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, па которые разбивается область определения (см. рисунок).

Как найти производную функции примеры с решением

Следовательно, функция возрастает на каждом из промежутков Как найти производную функции примеры с решениеми убывает на промежутках Как найти производную функции примеры с решением Так как в критической точке Как найти производную функции примеры с решением производная меняет знак с «+» на «-», то Как найти производную функции примеры с решением — точка максимума. В критической точке 2 производная меняет знак с «-» на « + », по этому Как найти производную функции примеры с решением — точка минимума. Итак,

Как найти производную функции примеры с решением

6. Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Следовательно, прямая Как найти производную функции примеры с решением — вертикальная асимптота.

Как найти производную функции примеры с решением

При Как найти производную функции примеры с решением тогда Как найти производную функции примеры с решением то есть прямая Как найти производную функции примеры с решениемнаклонная асимптота.

7. Как найти производную функции примеры с решением

Поскольку Как найти производную функции примеры с решением то знак второй производной может меняться только в точке Как найти производную функции примеры с решением Получаем такие знаки второй производной и соответствующий характер выпуклости (см. рисунок).

Как найти производную функции примеры с решением

8. Как найти производную функции примеры с решением

9. Как найти производную функции примеры с решением

Объяснение и обоснование:

Вторая производная и производные высших порядков

Если функция Как найти производную функции примеры с решением имеет производнуюКак найти производную функции примеры с решением во всех точках некоторого промежутка, то эту производную можно рассматривать как функцию от аргумента Как найти производную функции примеры с решением.

Если функция Как найти производную функции примеры с решением является дифференцируемой, то ее производную называют второй производной от Как найти производную функции примеры с решением и обозначают Как найти производную функции примеры с решением (или Как найти производную функции примеры с решением). Например, если Как найти производную функции примеры с решением то Как найти производную функции примеры с решением тогда Как найти производную функции примеры с решением

По аналогии со второй производной определяют и производные высших порядков. Производную от второй производной функции Как найти производную функции примеры с решением называют третьей производной, или производной третьего порядка этой функции, и т. д. Таким образом, производной Как найти производную функции примеры с решением порядка функции Как найти производную функции примеры с решением называют производную от производной Как найти производную функции примеры с решением порядка этой функции. Производную Как найти производную функции примеры с решением порядка функцииКак найти производную функции примеры с решением обозначают Как найти производную функции примеры с решением Например, если Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Выпуклость функции

Пусть функция Как найти производную функции примеры с решением определена на интервале Как найти производную функции примеры с решением а в точке Как найти производную функции примеры с решением имеет конечную производную. Тогда к графику этой функции в точке Как найти производную функции примеры с решением можно провести касательную. В зависимости от расположения графика функции относительно касательной функцию называют выпуклой вниз, если график расположен выше касательной (рис. 9.1), или выпуклой вверх, если график расположен ниже касательной (рис. 9.2). Со ответственно и сам график в первом случае называют выпуклым вниз, а во втором — выпуклым вверх. Приведем соответствующие определения и свойства для функции Как найти производную функции примеры с решением, определенной и дифференцируемой дважды на интервале Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

Функция Как найти производную функции примеры с решением называется выпуклой вниз на интервале Как найти производную функции примеры с решением если для любой точки Как найти производную функции примеры с решением из этого интервала при всех Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решениемграфик функции лежит выше касательной к этому графику в точке Как найти производную функции примеры с решением

Функция Как найти производную функции примеры с решением называется выпуклой вверх на интервале Как найти производную функции примеры с решением если для любой точки Как найти производную функции примеры с решением из этого интервала при всех Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением график функции лежит ниже касательной к этому графику в точке Как найти производную функции примеры с решением

*Четвертую, пятую и шестую производные функции Как найти производную функции примеры с решением часто обозначают соответственно Как найти производную функции примеры с решением

Отметим, что на интервале, где функция Как найти производную функции примеры с решением является выпуклой вниз, ее производная Как найти производную функции примеры с решением возрастает. Действительно, как видно из рис. 9.1, при возрастании аргумента Как найти производную функции примеры с решением величина угла Как найти производную функции примеры с решением который касательная к графику функции Как найти производную функции примеры с решением образует с положительным направлением оси Как найти производную функции примеры с решением возрастает, принимая значения между Как найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решением также возрастает. На интервале, где функция Как найти производную функции примеры с решением является выпуклой вверх, ее производная Как найти производную функции примеры с решениемубывает. Действительно, как видно из рис. 9.2, при возрастании аргумента Как найти производную функции примеры с решениемвеличина угла Как найти производную функции примеры с решением который касательная к графику функции Как найти производную функции примеры с решением образует с положительным направлением оси Как найти производную функции примеры с решением убывает, принимая значения между Как найти производную функции примеры с решением. Тогда Как найти производную функции примеры с решением также убывает.

Можно доказать, что имеют место и обратные утверждения.

  1. Если производная Как найти производную функции примеры с решением функции Как найти производную функции примеры с решением возрастает на интервале Как найти производную функции примеры с решением то функция Как найти производную функции примеры с решением является выпуклой вниз на этом интервале.
  2. Если производная Как найти производную функции примеры с решением функции Как найти производную функции примеры с решением убывает на интервале Как найти производную функции примеры с решением то функция Как найти производную функции примеры с решением является выпуклой вверх на этом интервале.

Эти свойства позволяют сформулировать достаточные условия выпуклости функции (и графика функции ).

  1. Если на интервале Как найти производную функции примеры с решением дважды дифференцируемая функция Как найти производную функции примеры с решением имеет положительную вторую производную (то есть Как найти производную функции примеры с решением при всех Как найти производную функции примеры с решением то ее график на интервале Как найти производную функции примеры с решением направлен выпуклостью вниз.
  2. Если па интервале Как найти производную функции примеры с решением дважды дифференцируемая функция Как найти производную функции примеры с решением имеет отрицательную вторую производную (т. е. Как найти производную функции примеры с решением при всех Как найти производную функции примеры с решением то ее график на интервале Как найти производную функции примеры с решением направлен выпуклостью вверх.

Действительно, пусть, например, Как найти производную функции примеры с решением при всех Как найти производную функции примеры с решением Если рассматривать Как найти производную функции примеры с решением как функцию от Как найти производную функции примеры с решением то Как найти производную функции примеры с решениемявляется производной этой функцииКак найти производную функции примеры с решением Тогда, имея положительную производную, функция Как найти производную функции примеры с решением возрастает на интервале Как найти производную функции примеры с решением Следовательно, по свойству 1 функция Как найти производную функции примеры с решениемявляется выпуклой вниз на этом интервале, а значит, и ее график будет выпуклым вниз на интервале Как найти производную функции примеры с решением Аналогично обосновывается и второе достаточное условие.

Отметим, что эти условия являются только достаточными, но не являются необходимыми. Напри мер, функция Как найти производную функции примеры с решением выпуклая вниз на всей числовой прямой (рис. 9.3), хотя в точке Как найти производную функции примеры с решением ее вторая производная Как найти производную функции примеры с решением равна нулю.

Как найти производную функции примеры с решением

Обратим внимание, что в случае, когда функция Как найти производную функции примеры с решением выпуклая вниз на интервале Как найти производную функции примеры с решением и точки Как найти производную функции примеры с решением являются точками ее графика на этом интервале (рис. 9.4), то на интервале Как найти производную функции примеры с решением где Как найти производную функции примеры с решением график функцииКак найти производную функции примеры с решением лежит ниже отрезка Как найти производную функции примеры с решением. Этот отрезок по аналогии с отрезком, соединяющим две точки дуги окружности, часто называют хордой кривой. Следовательно, в этом случае на интервале Как найти производную функции примеры с решением график лежит ниже хорды.

Если функция Как найти производную функции примеры с решением выпуклая вверх на интервале Как найти производную функции примеры с решением и точкиКак найти производную функции примеры с решением являются точками ее графика на этом интервале (рис. 9.5), то на интервале Как найти производную функции примеры с решением где Как найти производную функции примеры с решением график функции Как найти производную функции примеры с решением лежит выше отрезка Как найти производную функции примеры с решением, то есть график лежит выше хорды.

Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

Точки перегиба

Точку Как найти производную функции примеры с решением графика непрерывной функции Как найти производную функции примеры с решением в которой существует касательная и при переходе через которую кривая изменяет направление выпуклости, называют точкой перегиба графика функции.

Учитывая определения выпуклости функции вверх и выпуклости функции вниз, получаем, что касательная к графику функции по одну сторону от точки касания расположена выше графика, а по другую сторону — ниже графика, то есть в точке перегиба касательная пересекает кривую (рис. 9.6), а сам график функции переходит с одной стороны касательной на другую.

Отметим, что абсциссу Как найти производную функции примеры с решением точки перегиба графика функции Как найти производную функции примеры с решением называют точкой перегиба функции. Тогда Как найти производную функции примеры с решением является одновременно концом интервала выпуклости вверх и концом интервала выпуклости вниз функции Как найти производную функции примеры с решением. Точки перегиба дважды дифференцируемой функции можно находить с помощью ее второй производной. Приведем достаточное условие существования точки перегиба.

Пусть функция Как найти производную функции примеры с решением имеет на интервале Как найти производную функции примеры с решением вторую производную. Тогда, если Как найти производную функции примеры с решением меняет знак при переходе через Как найти производную функции примеры с решением, где Как найти производную функции примеры с решением то Как найти производную функции примеры с решением — точка перегиба функции Как найти производную функции примеры с решением.

Действительно, если функция Как найти производную функции примеры с решением имеет на интервале Как найти производную функции примеры с решением вторую производную, то она имеет на этом интервале и первую производную. Следовательно, функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна на заданном интервале и существует касательная к графику функции в точке с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением.

ПустьКак найти производную функции примеры с решением при Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением при Как найти производную функции примеры с решением (на заданном интервале). Тогда, используя достаточные условия выпуклости функции,

получаем, что при Как найти производную функции примеры с решением график функции Как найти производную функции примеры с решением направлен выпуклостью вверх, а при Как найти производную функции примеры с решением — выпуклостью вниз. Таким образом, точка Как найти производную функции примеры с решением является точкой перегиба функции Как найти производную функции примеры с решением Аналогично рассматривается и случай, когдаКак найти производную функции примеры с решениемпри Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением при Как найти производную функции примеры с решением И в этом случае Как найти производную функции примеры с решением является точкой перегиба функции Как найти производную функции примеры с решением

Для нахождения промежутков выпуклости функции и точек ее перегиба следует учесть следующее.

Пусть функция Как найти производную функции примеры с решением задана на интервале Как найти производную функции примеры с решением и в каждой точке этого интервала имеет вторую производную Как найти производную функции примеры с решением которая является непрерывной функцией на заданном интервале. Если для точки Как найти производную функции примеры с решением из этого интервала Как найти производную функции примеры с решением то, учитывая непрерывность функции Как найти производную функции примеры с решением получаем, что в некоторой Как найти производную функции примеры с решением этой точки вторая производная также будет положительной, то есть для всех Как найти производную функции примеры с решением значения Как найти производную функции примеры с решением Но тогда в интервале Как найти производную функции примеры с решением функция Как найти производную функции примеры с решением направлена выпуклостью вниз и точка хо не может быть точкой перегиба функции Как найти производную функции примеры с решением. Аналогично, если Как найти производную функции примеры с решением то в некоторой окрестности точки Как найти производную функции примеры с решением функция Как найти производную функции примеры с решением направлена выпуклостью вверх и точка Как найти производную функции примеры с решением не может быть точкой перегиба функции Как найти производную функции примеры с решением. Следовательно, в рассмотренном случае точкой перегиба может быть только такая точка Как найти производную функции примеры с решением, в которой вторая производная равна нулю. Получаем необходимое условие существования точек перегиба (для дважды дифференцируемой функции):

Как найти производную функции примеры с решением

Например, функция Как найти производную функции примеры с решением (рис. 9.7) имеет точку перегиба Как найти производную функции примеры с решением в которой ее вторая производная равна нулю. Действительно, Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением При Как найти производную функции примеры с решением значение Как найти производную функции примеры с решением график направлен выпуклостью вниз; при Как найти производную функции примеры с решениемзначение Как найти производную функции примеры с решением график направлен выпуклостью вверх.

Следовательно, 0 — точка перегиба функции.

Отметим, что точка перегиба функции Как найти производную функции примеры с решением может быть и в той точке Как найти производную функции примеры с решением в которой Как найти производную функции примеры с решением не существует (но Как найти производную функции примеры с решением существует).

Например, функция Как найти производную функции примеры с решением (рис. 9.8) определена на всей числовой прямой, имеет перегиб в точке 0, в которой существует ее первая производная Как найти производную функции примеры с решением но не существует вторая производная Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

При Как найти производную функции примеры с решением значения Как найти производную функции примеры с решением и график направлен выпуклостью вниз, а при Как найти производную функции примеры с решением значения Как найти производную функции примеры с решением и график направлен выпуклостью вверх. Следовательно, 0 — точка перегиба функции.

Для нахождения промежутков выпуклости функции Как найти производную функции примеры с решением необходимо решить неравенства Как найти производную функции примеры с решением на области определения функции Как найти производную функции примеры с решением. Поскольку Как найти производную функции примеры с решением также можно рассматривать как функцию переменной Как найти производную функции примеры с решением то в случае, когда функция Как найти производную функции примеры с решением является непрерывной в каждой точке своей области определения, для решения этих неравенств можно использовать метод интервалов, точнее, его обобщение, основанное на следующем свойстве: точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции Как найти производную функции примеры с решением на промежутки, в каждом из которых Как найти производную функции примеры с решением сохраняет постоянный, знак.

Учитывая это свойство и рассмотренные условия выпуклости функции и существования ее точек перегиба, можно выделить такую схему исследования функции Как найти производную функции примеры с решением на выпуклость и точки перегиба:

  1. Найти область определения функции.
  2. Найти вторую производную.
  3. Найти внутренние точки области определения, в которых вторая производная равна нулю или не существует*.
  4. Отметить полученные точки на области определения функции, найти знак второй производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на. которые разбивается область определения.
  5. Записать необходимый результат исследования (интервалы и характер выпуклости, точки перегиба).

Применение этой схемы показано в табл. 15. Использование второй производной позволяет более детально исследовать свойства функции для построения ее графика. В табл. 15 приведена расширенная схема исследования функции для построения ее графика и пример ее использования. В эту схему дополнительно включено нахождение интервалов выпуклости функции, точек перегиба и асимптот графика функции.

*По аналогии с критическими точками те внутренние точки области определения, в которых вторая производная равна нулю или не существует, часто называют критическими точками второго рода, или критическими точками по второй производной.

Применение производной к решению уравнений и неравенств и доказательству неравенств

Применение производной:

Иногда для выяснения необходимых свойств функций целесообразно использовать производную. Это прежде всего нахождение промежутков возрастания и убывания функции и оценка области значений функции (приемы такого исследования приведены ниже).

1. Оценка значений левой и правой частей уравнения

Ориентир:

Как найти производную функции примеры с решением

Если нужно решить уравнение вида Как найти производную функции примеры с решением и выяснилось, чтоКак найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решениемто равенство между левой и правой частями возможно только в случае, если Как найти производную функции примеры с решением одновременно равны Как найти производную функции примеры с решением

Пример №72

Решите уравнение Как найти производную функции примеры с решением Оценим значения левой и правой частей уравнения: Как найти производную функции примеры с решением Исследуем функцию Как найти производную функции примеры с решением на наибольшее и наименьшее значения с помощью производной. Как найти производную функции примеры с решениемто есть Как найти производную функции примеры с решением Производная не существует в точках 1 и 3 из области определения функции Как найти производную функции примеры с решением, но эти точки не являются внутренними для Как найти производную функции примеры с решением а следовательно, и критическими.

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением — критическая точка Как найти производную функции примеры с решением

Непрерывная функция* Как найти производную функции примеры с решением задана на отрезке Как найти производную функции примеры с решением поэтому она принимает наибольшее и наименьшее значения или на концах этого отрезка, или в его критической точке.

*В точке Как найти производную функции примеры с решением функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна справа, а в точке Как найти производную функции примеры с решением — слева.

Поскольку Как найти производную функции примеры с решением то Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решениемКроме того, Как найти производную функции примеры с решением Следовательно, заданное уравнение равносильно системе

Как найти производную функции примеры с решением

Ответ: 2.

2. Использование возрастания и убывания функций

Схема решения уравнения:

  1. Подобрать один или несколько корней уравнения.
  2. Доказать, что других корней это уравнение не имеет (используя теоремы о корнях уравнения, или оценку значений левой и правой частей уравнения, или следующее свойство функций: возрастающая или убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения).

Теоремы о корнях уравнения:

1. Если в уравнении Как найти производную функции примеры с решением функция Как найти производную функции примеры с решением возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не больше чем один корень на этом промежутке

Как найти производную функции примеры с решением

2. Если в уравнении Как найти производную функции примеры с решением функция Как найти производную функции примеры с решением возрастает на некотором промежутке, а функция Как найти производную функции примеры с решением убывает на этом промежутке (или наоборот), то это уравнение может иметь не больше одного корня на этом промежутке.

Как найти производную функции примеры с решением

Пример №73

Уравнение Как найти производную функции примеры с решениемимеет корень**Как найти производную функции примеры с решением,

Как найти производную функции примеры с решением Других корней это уравнение не имеет, поскольку функция Как найти производную функции примеры с решением возрастающая (ее производная Как найти производную функции примеры с решением при всех значениях Как найти производную функции примеры с решением из области определения: Как найти производную функции примеры с решением Ответ:Как найти производную функции примеры с решением

Пример №74

Уравнение Как найти производную функции примеры с решением имеет корень Как найти производную функции примеры с решением Других корней это уравнение не имеет, поскольку его ОДЗ: Как найти производную функции примеры с решением и на этой ОДЗ функцияКак найти производную функции примеры с решениемвозрастающая Как найти производную функции примеры с решением при Как найти производную функции примеры с решением), а функция Как найти производную функции примеры с решением убывающая при Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Ответ: 1.

*Мы могли бы точнее оценить область значений непрерывной функции Как найти производную функции примеры с решениемпоскольку Как найти производную функции примеры с решением но для приведенного решения достаточно оценки Как найти производную функции примеры с решением **Корни в примерах 1 и 2 получены подбором. Как правило, подбор начинают с целых значений: Как найти производную функции примеры с решением которые подставляют в заданное уравнение, а для тригонометрических уравнений проверяют также «табличные» значения: Как найти производную функции примеры с решением

Объяснение и обоснование:

Выше показано применение производной для реализации способов решения уравнений, которые связаны с использованием свойств функций и были рассмотрены и обоснованы раннее.

Напомним, что эти способы чаще используются в тех случаях, когда мы не можем решить заданное уравнение с помощью равносильных пре образований или уравнений-следствий (или если такое решение очень громоздкое). Отметим, что использование производной также позволяет при решении некоторых уравнений реализовать следующую схему рассуждений.

Допустим, мы смогли подобрать два корня заданного уравнения вида Как найти производную функции примеры с решениемЧтобы доказать, что уравнение не имеет других корней, достаточно убедиться, что функция Как найти производную функции примеры с решениемимеет только два промежутка возрастания или убывания (на каждом из которых уравнение Как найти производную функции примеры с решением может иметь только один корень). Если функция Как найти производную функции примеры с решением дифференцируема на каком-либо промежутке, то характер возрастания или убывания функции Как найти производную функции примеры с решением на этом промежутке может измениться только в ее критических точках.

Например, если в точке Как найти производную функции примеры с решениемвозрастание дифференцируемой (а следовательно, и непрерывной) функции изменилось на убывание, то это означает, что в точке Как найти производную функции примеры с решением функция имеет максимум, но тогда Как найти производную функции примеры с решением — критическая точка. Таким образом, для того чтобы дифференцируемая на интервале функция, имела на этом, интервале не. больше двух промежутков возрастания или убывания, достаточно, чтобы на этом интервале она имела только одну критическую точку.

Пример №75

Решим с помощью указанной выше схемы уравнение Как найти производную функции примеры с решением

Решение

Данное уравнение имеет корни Как найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением Докажем, что других корней это уравнение не имеет. Для этого достаточно доказать, что функция Как найти производную функции примеры с решением имеет не больше двух промежутков возрастания или убывания. Действительно, Как найти производную функции примеры с решением существует на всей области определения функции Как найти производную функции примеры с решением. Если Как найти производную функции примеры с решением то Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением — единственная критическая точка функции Как найти производную функции примеры с решением. Если отметить эту критическую точку па области определения функции Как найти производную функции примеры с решением (на множестве Как найти производную функции примеры с решением), то область определения разобьется па два промежутка, в каждом из которых функция будет или возрастать, или убывать (на промежутке Как найти производную функции примеры с решением функция Как найти производную функции примеры с решением убывает, а на промежутке Как найти производную функции примеры с решением — возрастает).

Тогда в каждом из этих промежутков уравнение Как найти производную функции примеры с решением может иметь не больше одного корня, то есть всего заданное уравнение может иметь не больше двух корней. Два корня этого уравнения мы уже подобрали. Следовательно, данное уравнение имеет только эти два корня: Как найти производную функции примеры с решением

Ответ: 1, 2.

Аналогичные рассуждения для случая, когда для уравнения видаКак найти производную функции примеры с решением удается подобрать три корня, приведены в задаче 2 на с. 142, 143. При решении неравенств вида Как найти производную функции примеры с решением методом интервалов описанные выше приемы решения уравнений с использованием производной часто приходится применять для нахождения нулей функции Как найти производную функции примеры с решением (см. задачу 5, с. 144).

Примеры решения задач:

Пример №76

Решите уравнение Как найти производную функции примеры с решением(1)

Комментарий:

Поскольку у нас нет формул, которые позволяли бы преобразовывать одновременно и иррациональные, и тригонометрические выражения, то попробуем решить заданное уравнение, используя свойства соответствующих функций. В частности, оценим область значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Для функции, стоящей в правой части уравнения, это легко сделать и без производной, а для исследования функции, стоящей в левой части уравнения, можно использовать производную (см. решение).

Решение:

ОДЗ заданного уравнения: Как найти производную функции примеры с решением Оценим значения левой и правой частей уравнения. Поскольку Как найти производную функции примеры с решениемпринимает все значения от (-1) до 1, то выражение Как найти производную функции примеры с решениемпринимает все значения от 0 до 2, а функция Как найти производную функции примеры с решением все значения от 0 до 4. Значит, Как найти производную функции примеры с решениемФункцию Как найти производную функции примеры с решениемисследуем с помощью производной. Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением— существует на всей области определения функцииКак найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением — критическая точка. Отмечаем ее на области определения функцииКак найти производную функции примеры с решением и находим знаки производной в каждом из полученных промежутков (рис. 10.1).

Непрерывная функция имеет на интервале Как найти производную функции примеры с решением только одну критическую точку, и это точка минимума (в ней производная меняет знак с «-» па «+»). Следовательно, в этой точке функция принимает свое наименьшее значение: Как найти производную функции примеры с решением Таким образом, Как найти производную функции примеры с решением

Учитывая, что Как найти производную функции примеры с решением заданное уравнениеКак найти производную функции примеры с решением равносильно системеКак найти производную функции примеры с решением Но значение 4 функция Как найти производную функции примеры с решением принимает только при Как найти производную функции примеры с решением что удовлетворяет и второму уравнению системы Как найти производную функции примеры с решением И так, полученная система (а значит, и заданное уравнение) имеет единственный корень: Как найти производную функции примеры с решением

Ответ: 4.

Отметим, что уравнение (1) можно решить еще одним способом,  предлагается попробовать рассмотреть заданное уравнение как квадратное относительно какой-либо переменной (или относительно какой-либо функции ).

Заданное уравнение можно записать так: Как найти производную функции примеры с решением Замена Как найти производную функции примеры с решением дает уравнение Как найти производную функции примеры с решением которое при Как найти производную функции примеры с решением равносильно уравнению

Как найти производную функции примеры с решением(2)

Если уравнение (2) рассмотреть как квадратное относительно переменной Как найти производную функции примеры с решением, то для существования корней его дискриминант должен быть неотрицательным. Следовательно, Как найти производную функции примеры с решением ТогдаКак найти производную функции примеры с решением а учитывая, что Как найти производную функции примеры с решением всегда, получаем Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением Но в последнем неравенстве знак «больше» не может выполняться (значения косинуса не бывают больше 1), следовательно,

Как найти производную функции примеры с решением(3)

Тогда уравнение (2) преобразуется в уравнение Как найти производную функции примеры с решением откуда Как найти производную функции примеры с решениемОбратная замена дает: Как найти производную функции примеры с решением следовательно, Как найти производную функции примеры с решением что удовлетворяет уравнению (3). Ответ: 4.

Пример №77

Решите уравнение Как найти производную функции примеры с решением(1)

Комментарий:

Данное уравнение можно решить, используя методы приближенного вычисления корней, но сначала попробуем решить его, используя свойства соответствующих функций. В частности, попробуем подобрать корни заданного уравнения Как найти производную функции примеры с решением и доказать, что других корней оно не имеет. Последовательно подставляя Как найти производную функции примеры с решением выясняем, что Как найти производную функции примеры с решением то есть уравнение Как найти производную функции примеры с решением имеет три корня. Чтобы доказать, что других корней нет, достаточно доказать, что у функции Как найти производную функции примеры с решениемне больше трех промежутков возрастания или убывания; если же учитывать непрерывность Как найти производную функции примеры с решением на всей числовой прямой, то достаточно доказать, что у нее не больше двух критических точек, то есть уравнение Как найти производную функции примеры с решением имеет не больше двух корней. Рассматривая теперь уравнение Как найти производную функции примеры с решением, мы после его преобразования можем провести аналогичные рассуждения для двух корней (как это было сделано в примере на с. 139).

Решение:

Обозначим Как найти производную функции примеры с решением Поскольку Как найти производную функции примеры с решениемf Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением то уравнениеКак найти производную функции примеры с решением имеет три корня: 0, 1, 2. Докажем, что других корней уравнение (1) не имеет. Для этого достаточно доказать, что у функции Как найти производную функции примеры с решением есть не больше трех промежутков возрастания или убывания, если же учитывать непрерывность функцииКак найти производную функции примеры с решением на всей числовой прямой, достаточно доказать, что функция имеет не больше двух критических точек. Область определения:Как найти производную функции примеры с решением Производная Как найти производную функции примеры с решением существует при всех значениях Как найти производную функции примеры с решением. Следовательно, критическими точками могут быть только те значения Как найти производную функции примеры с решением, при которыхКак найти производную функции примеры с решением Получаем уравнение

Как найти производную функции примеры с решением(2)

Чтобы доказать, что уравнение (2) имеет не больше двух корней, достаточно доказать, что функция Как найти производную функции примеры с решением стоящая в левой части уравнения, имеет не больше двух промежутков возрастания или убывания. Учитывая непрерывность этой функции на всей числовой прямой, достаточно доказать, что она имеет только одну критическую точку.

Действительно, Как найти производную функции примеры с решением существует при всех значениях Как найти производную функции примеры с решением. Следовательно, критическими точками могут быть только те значения , при которых Как найти производную функции примеры с решением Получаем уравнение Как найти производную функции примеры с решением Откуда Как найти производную функции примеры с решением Значит, последнее уравнение имеет единственный корень. Тогда функция Как найти производную функции примеры с решениемимеет единственную критическую точку, и поэтому уравнение (2) имеет не больше двух корней. Это означает, что функция Как найти производную функции примеры с решением имеет не больше двух критических точек. Тогда уравнение (1) имеет не больше трех корней. Но три корня заданного уравнения мы уже знаем: -1 , 1, 2. Следовательно, других корней заданное уравнение не имеет.

Ответ: -1 , 1, 2.

Пример №78

Решите систему уравнений Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Заданная система равносильна системе Как найти производную функции примеры с решением(1) Рассмотрим функцию Как найти производную функции примеры с решением Поскольку Как найти производную функции примеры с решением всегда, то на своей области определения Как найти производную функции примеры с решениемфункция Как найти производную функции примеры с решением является возрастающей. Тогда первое уравнение системы (1), которое имеет видКак найти производную функции примеры с решением равносильно уравнению Как найти производную функции примеры с решением Следовательно, система (1) равносильна системеКак найти производную функции примеры с решением ПодставляяКак найти производную функции примеры с решением во второе уравнение системы, имеемКак найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решением

Ответ: (1; 1).

Комментарий:

Решить заданную систему с помощью равносильных преобразований не удается. Поэтому попробуем использовать свойства функций. Если в первом уравнении системы члены с переменной Как найти производную функции примеры с решением перенести в одну сторону, а с Как найти производную функции примеры с решением — в другую, то получим в левой и правой частях уравнения значения одной и той же функции. С помощью производной легко проверить, что эта функция является возрастающей. Но равенство Как найти производную функции примеры с решением для возрастающей функции возможно тогда и только тогда, когда Как найти производную функции примеры с решением поскольку каждое свое значение возрастающая (или убывающая) функция может принимать только при одном значении аргумента. Коротко этот результат можно сформулировать так: если функция Как найти производную функции примеры с решением является возрастающей (или убывающей) на определенном множестве, то на этом множестве Как найти производную функции примеры с решением

Пример №79

Решите неравенство Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Заданное неравенство равносильно неравенству Как найти производную функции примеры с решением Функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна в каждой точке своей области определения, поэтому для решения неравенства можно использовать метод интервалов. 1. ОДЗ: Как найти производную функции примеры с решением 2. Нули функции: Как найти производную функции примеры с решением Найдем производную функции Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Если обозначить Как найти производную функции примеры с решением то Как найти производную функции примеры с решением Но квадратный трехчлен Как найти производную функции примеры с решением имеет отрицательный дискриминант, тогда для всех Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Следовательно, для всех Как найти производную функции примеры с решением значениеКак найти производную функции примеры с решением Тогда функция возрастает на всей числовой прямой и уравнение Как найти производную функции примеры с решением может иметь только один корень. Поскольку Как найти производную функции примеры с решением то Как найти производную функции примеры с решением — единственный нуль функции Как найти производную функции примеры с решением 3. Отмечаем нули на ОДЗ и находим знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ (рис. 10.2).

Как найти производную функции примеры с решением

Ответ: (-оо; -1 ).

Комментарий:

Заданное неравенство не удается решить с помощью равносильных преобразований, поэтому используем метод интервалов. Для этого неравенство необходимо привести к виду Как найти производную функции примеры с решением где Как найти производную функции примеры с решением — непрерывная в каждой точке своей области определения функция, поскольку она является многочленом.

Напомним схему решения неравенств методом интервалов.

  1. Найти ОДЗ неравенства.
  2. Найти нули функции: Как найти производную функции примеры с решением
  3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции Как найти производную функции примеры с решением в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.
  4. Записать ответ, учитывая знак данного неравенства.

Для нахождения нулей функции надо решить уравнение Как найти производную функции примеры с решением которое не удается решить с помощью равносильных преобразований. Поэтому для его решения целесообразно использовать свойства функции Как найти производную функции примеры с решением в частности ее монотонность, которую можно обосновать с помощью производной.

Пример №80

Решите неравенство Как найти производную функции примеры с решением

Комментарий:

Попробуем решить заданное неравенство методом интервалов (см. схему решения в задаче 4). Для этого его необходимо привести к виду Как найти производную функции примеры с решением (где функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна в каждой точке своей области определения). При нахождении нулей функции для решения уравнения Как найти производную функции примеры с решением целесообразно использовать свойства соответствующих функций, в частности оценку значений левой и правой частей уравнения вида Как найти производную функции примеры с решением Значение функции Как найти производную функции примеры с решением легко оценить и без применения производной, а для исследования функции Как найти производную функции примеры с решением используем производную. Отметим, что в данном случае внутри ОДЗ мы не найдем ни одного нуля функции Как найти производную функции примеры с решением (см. решение: нулем является только крайняя точка ОДЗ). Но метод интервалов применим и в этом случае — мы получаем единственный интервал, в котором функция сохраняет свой знак.

Решение:

Заданное неравенство равносильно неравенству

Как найти производную функции примеры с решением(1)

Функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна в каждой точке* своей области определения, поэтому для решения неравенства (1) можно использовать метод интервалов.

Как найти производную функции примеры с решением

2. Нули: Как найти производную функции примеры с решением Это уравнение равносильно уравнению

Как найти производную функции примеры с решением(2)

Оценим значения функций Как найти производную функции примеры с решением стоящих соответственно в левой и правой частях уравнения (2).

Поскольку Как найти производную функции примеры с решением

Тогда Как найти производную функции примеры с решением

*Конечно, если учесть, что в точке 3 функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна справа, а в точке 4 — слева (см. ее ОДЗ).

Исследуем функцию Как найти производную функции примеры с решением на ОДЗ неравенства (1), то есть при Как найти производную функции примеры с решением Функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна на отрезке Как найти производную функции примеры с решением поэтому она принимает наибольшее и наименьшее значения или на концах, или в критических точках этого отрезка. Как найти производную функции примеры с решением не существует в точке 3 отрезка Как найти производную функции примеры с решением но эта точка не является внутренней точкой этого отрезка, следовательно, она не является критической. Выясним, когда Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Сравнивая значения Как найти производную функции примеры с решением получаем: Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Следовательно, Как найти производную функции примеры с решением Тогда уравнение (2) равносильно системе Как найти производную функции примеры с решением Поскольку 2 — наибольшее значение функции Как найти производную функции примеры с решением которое достигается только при Как найти производную функции примеры с решением то уравнение Как найти производную функции примеры с решением имеет единственный корень Как найти производную функции примеры с решением удовлетворяющий и уравнению Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решениемдействительно, Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением Таким образом, функция Как найти производную функции примеры с решениемимеет только один нуль: Как найти производную функции примеры с решением Отмечаем нуль на ОДЗ и находим знак функции в полученном промежутке (рис. 10.3). Как видим, функция Как найти производную функции примеры с решением не принимает положительных значений и в неравенстве (1) знак «больше» не может выполняться. Следовательно, может выполняться только знак «равно», но Как найти производную функции примеры с решением только при Как найти производную функции примеры с решением

Ответ: 4.

Как найти производную функции примеры с решением

Замечание:

Используя введенные обозначения, заданное неравенство можно записать так: Как найти производную функции примеры с решением После выполнения оценки значений функций Как найти производную функции примеры с решением имеем: Как найти производную функции примеры с решением и без метода интервалов можно сделать вывод, что неравенство Как найти производную функции примеры с решением не может выполняться. Следовательно, заданное неравенство равносильно уравнению Как найти производную функции примеры с решением которое равносильно системе Как найти производную функции примеры с решением имеющей единственное решениеКак найти производную функции примеры с решением Но такие рассуждения можно провести только для этого неравенства, в то время как метод интервалов можно использовать для решения любого неравенства вида Как найти производную функции примеры с решением (где функция Как найти производную функции примеры с решением непрерывна в каждой точке своей области определения). Поэтому основным способом решения таких неравенств мы выбрали метод интервалов.

Применение производной к доказательству неравенств

Производную иногда удается использовать при доказательстве неравенств с одной переменной. Приведем ориентировочную схему доказательства неравенств вида Как найти производную функции примеры с решением с помощью производной.

  1. Рассмотреть вспомогательную функцию Как найти производную функции примеры с решением (на ее области определения или на заданном промежутке).
  2. Исследовать с помощью производной поведение функции Как найти производную функции примеры с решением (возрастание или убывание, ее наибольшее или наименьшее значение) на рассматриваемом промежутке.
  3. Обосновать (опираясь на поведение функции Как найти производную функции примеры с решением), что Как найти производную функции примеры с решением (или Как найти производную функции примеры с решением) на рассматриваемом промежутке, и сделать вывод, что Как найти производную функции примеры с решением (или Как найти производную функции примеры с решением) на этом промежутке.

Обратим внимание, что при доказательстве некоторых неравенств эту схему приходится использовать несколько раз (см. решение задачи 2).

Примеры решения задач:

Пример №81

Докажите неравенство Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Для доказательства данного неравенства достаточно доказать неравенство Как найти производную функции примеры с решением при Как найти производную функции примеры с решением Рассмотрим функцию Как найти производную функции примеры с решением при Как найти производную функции примеры с решением (ее область определения Как найти производную функции примеры с решением содержит заданный промежуток). Производная Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением при Как найти производную функции примеры с решением Следовательно, функция Как найти производную функции примеры с решением возрастает на интервале Как найти производную функции примеры с решением а учитывая непрерывность функции Как найти производную функции примеры с решениемв точке 1 (она непрерывна и на всей области определения), получаем, что функция Как найти производную функции примеры с решением возрастает и на промежутке Как найти производную функции примеры с решением Но Как найти производную функции примеры с решением Тогда при Как найти производную функции примеры с решениемзначения Как найти производную функции примеры с решением Таким образом, Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением при Как найти производную функции примеры с решением что и требовалось доказать. (Отметим, что при Как найти производную функции примеры с решением значения Как найти производную функции примеры с решением а при Как найти производную функции примеры с решением заданное неравенство превращается в равенство.)

Пример №82

Докажите неравенство Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Данное неравенство равносильно неравенству Как найти производную функции примеры с решением Рассмотрим функцию Как найти производную функции примеры с решением Эта функция непрерывна на всей числовой прямой и имеет производную Как найти производную функции примеры с решением Теперь рассмотрим функцию Как найти производную функции примеры с решением и докажем, что Как найти производную функции примеры с решением на промежутке Как найти производную функции примеры с решением Функция Как найти производную функции примеры с решениемнепрерывна на всей числовой прямой и имеет производную Как найти производную функции примеры с решением Учитывая, чтоКак найти производную функции примеры с решением получаем Как найти производную функции примеры с решениемСледовательно, функцияКак найти производную функции примеры с решением возрастает на всей числовой прямой, и в частности на промежутке Как найти производную функции примеры с решением Тогда согласно определению возрастающей функции при Как найти производную функции примеры с решением получаем, что Как найти производную функции примеры с решением то есть при Как найти производную функции примеры с решением Это означает, что функция Как найти производную функции примеры с решением возрастает на интервале Как найти производную функции примеры с решением, а так как она непрерывна, то и на промежуткеКак найти производную функции примеры с решением Тогда из неравенства Как найти производную функции примеры с решением вытекает неравенствоКак найти производную функции примеры с решением следовательно, Как найти производную функции примеры с решением при всех Как найти производную функции примеры с решением Таким образом, на этом интервале выполняется неравенствоКак найти производную функции примеры с решением а значит, и неравенство Как найти производную функции примеры с решением

Пример №83

Докажите, что при всех Как найти производную функции примеры с решением выполняется неравенство Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Если Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением следовательно, на интервале Как найти производную функции примеры с решением функция Как найти производную функции примеры с решениемвыпукла вверх.

Тогда на этом интервале ее график лежит выше хорды Как найти производную функции примеры с решением (рис. 10.4).

Как найти производную функции примеры с решением

Прямая Как найти производную функции примеры с решением имеет уравнение Как найти производную функции примеры с решениеми проходит через точку Как найти производную функции примеры с решением Следовательно, Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением Отсюда уравнение прямой Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решениемТаким образом, при всех Как найти производную функции примеры с решением выполняется неравенство Как найти производную функции примеры с решением

Комментарий:

На тех интервалах, где функция Как найти производную функции примеры с решением выпукла вверх, график функции Как найти производную функции примеры с решениемлежит выше соответствующей хорды (рис. 10.5, а), а на тех интервалах, где эта функция выпукла вниз, график лежит ниже хорды (рис. 10.5, б).

Как найти производную функции примеры с решением

Используем это при доказательстве данного неравенства: с помощью второй производной исследуем функцию Как найти производную функции примеры с решением на выпуклость, рассмотрим уравнение соответствующей хорды Как найти производную функции примеры с решением и сравним уравнение хорды с уравнением прямой Как найти производную функции примеры с решением (где Как найти производную функции примеры с решением — функция, стоящая в правой части неравенства).

Применение производной к решению задач с параметрами

При решении задач с параметрами производная может использоваться для исследования функции на монотонность и экстремумы, для исследования функции и построения ее графика, для записи уравнений касательных к графикам функций, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции.

Следует также помнить те ориентиры, которые использовались при решении заданий с параметрами в 10 классе. В частности, если в задании с параметрами говорится о количестве решений уравнения ( неравенства или системы), то для анализа заданной ситуации удобно использовать графическую иллюстрацию решения.

Пример №84

Найдите все значения параметра Как найти производную функции примеры с решением при которых функция Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Область определения функции:Как найти производную функции примеры с решением Функция дифференцируем а на всей числовой прямой: Как найти производную функции примеры с решением Заданная функция будет убывать при всех Как найти производную функции примеры с решениемесли Как найти производную функции примеры с решением на всей числовой прямой, при чем уравнение Как найти производную функции примеры с решением имеет только конечное (или счетное) множество корней. Если Как найти производную функции примеры с решением то Как найти производную функции примеры с решением и неравенство Как найти производную функции примеры с решением не выполняется на всей числовой прямой (Как найти производную функции примеры с решением только приКак найти производную функции примеры с решением). Если Как найти производную функции примеры с решением то производная является квадратичной функцией относительно переменной Как найти производную функции примеры с решением она принимает значения Как найти производную функции примеры с решением на всей числовой прямой тогда и только тогда, когда выполняются условия

Как найти производную функции примеры с решением

(при этом уравнение Как найти производную функции примеры с решением может иметь не более одного корня). Из неравенства Как найти производную функции примеры с решением получаем Как найти производную функции примеры с решением Из неравенства Как найти производную функции примеры с решением имеем:

Как найти производную функции примеры с решением

Учитывая полученное условие Как найти производную функции примеры с решением получаем , что Как найти производную функции примеры с решением тогда из неравенства (2) имеем Как найти производную функции примеры с решением то есть Как найти производную функции примеры с решением Следовательно, систем а (1) равносильна системе Как найти производную функции примеры с решением Отсюда получаем Как найти производную функции примеры с решением Ответ: Как найти производную функции примеры с решением

Комментарий:

Используем уточненный вариант условия убывания функции (с. 59). Если Как найти производную функции примеры с решением в каждой точке интервала Как найти производную функции примеры с решением причем уравнение Как найти производную функции примеры с решениемимеет только конечное (или счетное) множество корней, то функция Как найти производную функции примеры с решением убывает на этом интервале.

Отметим , что это условие является не только достаточным , но и необходимым для дифференцируемой на интервале функции (если на каком-либо интервале функция Как найти производную функции примеры с решением дифференцируем а и убывает , то на этом интервале Как найти производную функции примеры с решением).

Следовательно, условию задачи могут удовлетворять те и только те значения параметра, которые мы найдем по этому условию .

Анализируя производную данной функции, учитывая, что она является квадратичной функцией только в случае, когдаКак найти производную функции примеры с решением (то есть Как найти производную функции примеры с решением) . Поэтому случай Как найти производную функции примеры с решением (то есть Как найти производную функции примеры с решением) следует рассмотреть отдельно.

Для квадратичной функции вспоминаем все возможные варианты расположения параболы относительно оси абсцисс и выясняем , когда неравенство Как найти производную функции примеры с решением выполняется для всех Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Обратим внимание, что неравенство Как найти производную функции примеры с решением (при Как найти производную функции примеры с решением), которое свелось к неравенству (2), можно было решать отдельно или методом интервалов, или с помощью графика квадратичной функции (исключая точку с абсциссойКак найти производную функции примеры с решением), а уже затем находить общее решение системы (1).

Пример №85

Найдите наименьшее значение Как найти производную функции примеры с решением при котором график функции Как найти производную функции примеры с решением касается оси абсцисс.

Решение:

По условию ось абсцисс (имеющая уравнение Как найти производную функции примеры с решением и угловой коэффициент 0) должна быть касательной к графику функции Как найти производную функции примеры с решением

Если Как найти производную функции примеры с решением — абсцисса точки касания, то, учитывая геометрический смысл производной, получаем Как найти производную функции примеры с решением

Чтобы касательной была именно ось абсцисс (а не параллельная ей прямая, имеющая такой же угловой коэффициент), достаточно проверить, что Как найти производную функции примеры с решением

Поскольку Как найти производную функции примеры с решением то Как найти производную функции примеры с решением если Как найти производную функции примеры с решением (1) При Как найти производную функции примеры с решением уравнение (1) не имеет решения (получаем уравнение Как найти производную функции примеры с решением). При Как найти производную функции примеры с решением получаем Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Тогда Как найти производную функции примеры с решением

Выясним, при каких значениях Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением Учитывая, что Как найти производную функции примеры с решением получаем Как найти производную функции примеры с решением

Следовательно, при этих значениях Как найти производную функции примеры с решением график функции Как найти производную функции примеры с решением касается оси абсцисс. Наименьшее из значений Как найти производную функции примеры с решением

Ответ: 0,5.

Комментарий:

Для того чтобы график функции касался оси абсцисс, необходимо, чтобы ось абсцисс была касательной к этому графику. Зная уравнение оси абсцисс: Как найти производную функции примеры с решением(то есть Как найти производную функции примеры с решением), заданную ситуацию можно исследовать двумя способами.

1. Если касательная к графику функции Как найти производную функции примеры с решением в точке с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением имеет уравнение Как найти производную функции примеры с решением то угловой коэффициент касательной равен 0. Тогда по геометрическому смыслу производной Как найти производную функции примеры с решением Но угловой коэффициент 0 имеет не только ось абсцисс, но и все прямые, параллельные оси Как найти производную функции примеры с решением (рис. 11.1, а, б).

Чтобы касательной была именно ось абсцисс, необходимо, чтобы точка касания Как найти производную функции примеры с решением находилась на оси Как найти производную функции примеры с решением (рис. 11.1, а), то есть чтобы ордината этой точки равнялась 0, следовательно, Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

2. Можно записать также уравнение касательной к графику функции Как найти производную функции примеры с решением в точке с абсциссой Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением и сравнить полученное уравнение с уравнением оси абсцисс: Как найти производную функции примеры с решением (снова получим те же условия Как найти производную функции примеры с решением При исследовании уравнения Как найти производную функции примеры с решением случай Как найти производную функции примеры с решением необходимо рассмотреть отдельно.

Пример №86

Найдите все значения Как найти производную функции примеры с решением при которых уравнение Как найти производную функции примеры с решением имеет хотя бы один корень

Решение:

ОДЗ: Как найти производную функции примеры с решением На этой ОДЗ заданное уравнение равносильно уравнениям Как найти производную функции примеры с решением Замена Как найти производную функции примеры с решениемна ОДЗ) дает равносильное уравнение Как найти производную функции примеры с решением

Для заданного уравнения требование задачи будет выполняться тогда и только тогда, когда уравнение (1) будет иметь хотя бы один ненулевой корень в промежутке Как найти производную функции примеры с решением

Для этого достаточно обеспечить, чтобы число а входило в область значений функцииКак найти производную функции примеры с решениемпри Как найти производную функции примеры с решением Найдем эту область значений. Производная Как найти производную функции примеры с решением существует на всей числовой прямой, иКак найти производную функции примеры с решением при Как найти производную функции примеры с решением (то есть критические точки не входят в отрезок 2 Как найти производную функции примеры с решением поскольку Как найти производную функции примеры с решением

Следовательно, на всем заданном отрезке Как найти производную функции примеры с решением сохраняет свой знак. Поскольку Как найти производную функции примеры с решением то Как найти производную функции примеры с решениемпри Как найти производную функции примеры с решением то есть функция Как найти производную функции примеры с решением убывает на отрезке Как найти производную функции примеры с решением

Тогда ее наибольшее значение на этом отрезке равно Как найти производную функции примеры с решением а наименьшее — Как найти производную функции примеры с решением

Учитывая, что Как найти производную функции примеры с решением получаем, что при Как найти производную функции примеры с решениемнепрерывная функция Как найти производную функции примеры с решением принимает все значения из промежутков Как найти производную функции примеры с решением Именно при этих значениях Как найти производную функции примеры с решением и будет выполняться требование задачи. Ответ: Как найти производную функции примеры с решением

Комментарий:

Сначала начнем решать заданное уравнение по схеме решения тригонометрических уравнений: попробуем привести все тригонометрические функции к одному аргументу; если это удалось, попробуем привести все тригонометрические выражения к одной функции. Указанные два этапа можно выполнить одновременно, используя формулу Как найти производную функции примеры с решением

После замены Как найти производную функции примеры с решением для исследования существования корней у полученного кубического уравнения удобно использовать графическую иллюстрацию решений (приведя уравнение к виду Как найти производную функции примеры с решением). Также можно найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции Как найти производную функции примеры с решением заданной на отрезке, или воспользоваться свойствами функции Как найти производную функции примеры с решением на отрезкеКак найти производную функции примеры с решением исследованными с помощью производной (см. решение). Напомним, что после замены переменной требование задачи в за дачах с параметрами чаще всего изменяется, поэтому необходимо выяснить новое требование для уравнения (1).

Отметим, что достаточно наглядной является графическая иллюстрация решения (рис. 11.2), но исследование функции Как найти производную функции примеры с решением для по строения графика более громоздко, чем в приведенном решении.

Как найти производную функции примеры с решением

Отношение приращений переменных

В человеческой жизнедеятельности часто приходится встречаться с отношением двух переменных величин, измеряемых в различных единицах измерения.

Например, скорость автомобиля, как отношение пройденного пути к затраченному времени измеряется в км/ч или в м/с, а расход топлива в литрах/км.

Далее, результативность бросков баскетболиста определяется количеством набранных очков за одну игру.

Пример:

В учебно-производственном комплексе ученикам 11 -класса было дано задание, оценивающее качество и скорость компьютерного набора текста.

Карим за 3 минуты набрал 213 слов, и при этом допустил 6 орфографических ошибок, а Наргиза за 4 минуты набрала 260 слов, допустив при этом 7 орфографических ошибок. Сравните их результаты.

Составим соответствующие отношения для каждого учащегося:

Карим:

скорость набора текста: Как найти производную функции примеры с решением

качество набора текста: Как найти производную функции примеры с решением

Наргиза:

скорость набора текста: Как найти производную функции примеры с решением

качество набора текста: Как найти производную функции примеры с решением

Значит, Карим набирал текст быстрее Наргизы. В то же время отметим, что Наргиза справилась с заданием качественнее Карима.

Пример:

Ёмкость цилиндрической формы с одинаковой скоростью заполняется водой. При этом в силу того, что вода заполняет ёмкость пропорционально времени, её уровень (высота над дном ёмкости) изменяется с течением времени как линейная функция времени (см. рис.1).

Как найти производную функции примеры с решением

Отметим, что в этом случае отношение уровня воды ко времени (то есть скорость изменения высоты) остаётся постоянной. Теперь рассмотрим ёмкости другой формы (рисунок 2):

Как найти производную функции примеры с решением

Справа на рисунке показано, как изменяется уровень воды по отношению ко времени.

Средняя скорость изменения

Если зависимость двух переменных величин описывается линейной функцией, то отношения изменений этих величин есть величина постоянная.

В случае, когда зависимость двух переменных величин не описывается линейной функцией, то мы можем рассматривать отношение изменений этих величин на заданном интервале. Ясно, что если мы будем выбирать эти интервалы различными, то соответствующие отношения будут тоже различными.

Пример:

На рисунке 7 изображен график зависимости положения материальной точки от времени Как найти производную функции примеры с решением:

Как найти производную функции примеры с решением

Рассмотрим точку F на графике, соответствующую моменту времениКак найти производную функции примеры с решениемсекунды, а также отличную от точки С точку М (например точку, соответствующую моменту времени Как найти производную функции примеры с решением=4). Найдем среднюю скорость на интервале времени.Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Видно, что угловой коэффициент секущей равен 30.

Пример:

Число особей в популяции мышей меняется с течением времени (измеряемого в неделях) в соответствии с графиком (рис.8):

Как найти производную функции примеры с решением

Как меняется количество особей в промежутке между 3 и 6 -неделями? А в течении 7 недель?

Найдем скорость изменения популяции мышей в промежутке между 3 и 6 — неделями

Как найти производную функции примеры с решением, значит, количество особей в в течении

(6 — 3) недели недели в промежутке между 3 и 6 — неделями росло со средней скоростью 43 особи в неделю.

Точно также в течении 7 недель Как найти производную функции примеры с решением

Значит, количество особей в течении 7 недель росло со средней скоростью 38 особей в неделю.

В общем случае, когда величина x меняется в промежутке между a и b, средняя скорость изменения величины у =f(х) определяется как отношение приращений

Как найти производную функции примеры с решением

где f (b) —f (а) — приращение функции, а b-а — приращение аргумента. Обозначив Как найти производную функции примеры с решением, получим, что средняя скорость равна Как найти производную функции примеры с решением Общепринято называть числитель дробиКак найти производную функции примеры с решением приращением функции у =f(х), соответствующим приращению h аргумента х . Сама дробь называется разностным отношением.

Понятие предела

Рассмотрим функцию Как найти производную функции примеры с решением. Предположим, что значения х приближаются к числу 2, всё время оставаясь меньше его, и составим таблицу значений:

Как найти производную функции примеры с решением

Из этой таблицы видно, что при неограниченном приближении (стремлении) значения х к 2, значения функции f(х) неограниченно стремятся к числу 4.

В таких случаях говорят, что функция f(х) стремится к 4 при стремлении аргумента (переменной) х к 2 слева.

Теперь предположим, что значения х приближаются к числу 2, оставаясь больше его, и составим таблицу значений: Как найти производную функции примеры с решением

В таких случаях говорят, что функция f(х) стремится к 4 при стремлении аргумента (переменной) х к 2 справа.

Объединяя вышеуказанные два случая, будем говорить, что функция f(х) стремится к 4 при стремлении аргумента (переменной) х к 2 и записывать так: Как найти производную функции примеры с решением.

Данная запись читается так:

Предел функции f(х) при стремлении аргумента (переменной) х к 2 равен 4.

В общем случае понятие предела функции определяется следующим образом:

Пусть значения x ≠ a стремятся к а, а значения f(х) стремятся к числу А. Тогда число А называется пределом функции f(х) при стремлении аргумента (переменной) х к а и обозначается так: Как найти производную функции примеры с решением.

В таких случаях также говорят, что функция f(х) стремится к А при стремлении х к а .

Вместо записи Как найти производную функции примеры с решениемтакже применяют записьКак найти производную функции примеры с решениемприКак найти производную функции примеры с решением

Напоминание.

Отметим важность условия x ≠ a при стремлении х к а.

Пример:

Найдём предел функции Как найти производную функции примеры с решением при Как найти производную функции примеры с решением.

Решение:

Представим себе, что условие x 0 не выполнено, т.е. х=0 если мы непосредственно попытаемся подставить значение в f(х), то получим неопределённость вида Как найти производную функции примеры с решением .

С другой стороны, так как Как найти производную функции примеры с решением,то эта функция имеет вид

Как найти производную функции примеры с решением

График функции Как найти производную функции примеры с решением представляет собой прямую вида Как найти производную функции примеры с решением с «выколотой» точкой (0; 5) (рисунок 11):

Как найти производную функции примеры с решением

Точка с координатами (0; 5) называется точкой разрыва функции

Как найти производную функции примеры с решением

Видно, что для всех точек, отличных от точки (0; 5), при стремлении х к 0 соответствующие значения функции f(x) стремятся к 5, то есть существует предел Как найти производную функции примеры с решением.

На практике для нахождения предела функции, полезно произвести соответствующие алгебраические преобразования.

Пример №87

Найдите пределы:

Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

а) Когда значения х стремятся к 2, значенияКак найти производную функции примеры с решением стремятся к 4, то есть Как найти производную функции примеры с решением.

б) Так как x 0, то

Как найти производную функции примеры с решением.

в) Так как x 3, то

Как найти производную функции примеры с решением.

Производная сложной функции

Сложная функция. Рассмотрим функцию у = (х2 + Зх)4 Если ввести обозначения Как найти производную функции примеры с решением то функция у = (х2 + Зх)4 примет вид Как найти производную функции примеры с решением В дальнейшем мы будем называть функцию вида Как найти производную функции примеры с решением сложной функцией.

Пример №88

Пусть Как найти производную функции примеры с решением Найдите:

Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Воспользовавшись заданными функциями, выполним преобразования:

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Ответ:Как найти производную функции примеры с решением Для производной сложной функции справедлива формула: Как найти производную функции примеры с решением (1)

Пример №89

Найдите производную (здесь Как найти производную функции примеры с решением — постоянные):

Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

1) Применим формулу (1) для функций f(t) = tn и Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

2) Применим формулу (1) для функций f(t) =sint и Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

3) Применим формулу (1) для функций f(t) =cost и Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

4) Применим формулу (1) для функций f(t) =tgt и Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Ответ: Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Пример №90

Найдите производную функцииКак найти производную функции примеры с решением

Решение:

Воспользуемся правилом 4 дифференцирования и формулой (1):

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Ответ: Как найти производную функции примеры с решением

Пример №91

Найдите значение функцииКак найти производную функции примеры с решением в точке х0= 1.

Решение:

Применим формулу (1):

Как найти производную функции примеры с решением

Пример №92

Найдите производную функцииКак найти производную функции примеры с решением

Решение:

Применим формулу (1):

Как найти производную функции примеры с решением

Пример №93

Найдите производную функции Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Введём обозначения Как найти производную функции примеры с решением и применим формулу (1):

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Функцию h(х) представим как произведение двух функций:

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Ответ: Как найти производную функции примеры с решением

Уравнения касательной и нормали к графику функции

Уравнение касательной

Найдём уравнение касательной к графику функции уf(x) в точке (х0; f (х0)) (рисунок 19). Так как касательная является прямой, то её уравнение имеет вид Как найти производную функции примеры с решением. Исходя из геометрического смысла производнойКак найти производную функции примеры с решением. Отсюда следует, что уравнение касательной имеет вид Как найти производную функции примеры с решением. Так как эта касательная проходит через точку (х0; f(x0)), то Как найти производную функции примеры с решением. Отсюда Как найти производную функции примеры с решением. Подставив найденное значение b в уравнение касательной, окончательно получим уравнение:

Как найти производную функции примеры с решением или

Как найти производную функции примеры с решением (1)

Таким образом, уравнение касательной к графику функции Как найти производную функции примеры с решением в точке Как найти производную функции примеры с решением имеет вид Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Пример №94

Выпишите уравнение касательной к графику функции

Как найти производную функции примеры с решением в точке с абсциссой х0=2 .

Решение:

Сначала найдём значение функции и её производной в точке х0=2:

Как найти производную функции примеры с решениемПодставим найденное в уравнение (1), получим уравнение искомой касательной:

Как найти производную функции примеры с решением

Пример №95

Выпишите уравнение касательной к графику функции Как найти производную функции примеры с решениемв точке с абсциссой х0=1.

Решение:

Сначала найдём значение функции и её производной в точке х0= 1: Как найти производную функции примеры с решением

Подставив найденное в уравнение (1), получим уравнение искомой касательной:

Как найти производную функции примеры с решением

Ясно, что если касательная к графику функции Как найти производную функции примеры с решением в точке с абсциссой х0 параллельна прямойКак найти производную функции примеры с решением. Это условие позволяет найти уравнение касательной, параллельной заданной прямой.

Пример №96

Выпишите уравнение касательной к графику функции Как найти производную функции примеры с решением , параллельной прямой у = 2х — 1.

Решение:

Из условия Как найти производную функции примеры с решением параллельности касательной заданной прямой получим уравнение Как найти производную функции примеры с решением. Из этого уравнения х0=2,5. Значит, искомая касательная проходит через точку с абсциссой х0=2,5. Отсюда:

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Теперь можно найти уравнение касательной:

Как найти производную функции примеры с решением

Ответ: Как найти производную функции примеры с решением

Пример №97

Выпишите уравнение касательной к графику функцииКак найти производную функции примеры с решением , проходящей через точку с абсциссой х0= 4. Найдите синус угла, образованного этой касательной с положительным направлением оси Ох.

Решение:

Сначала найдём значение функции и её производной в точке х0=4:

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Подставив найденное в уравнение (1), получим уравнение искомой касательной:

Как найти производную функции примеры с решением

Согласно геометрическому смыслу производной Как найти производную функции примеры с решением. Отсюда

Как найти производную функции примеры с решением

Ответ:Как найти производную функции примеры с решением

Пример №98

Докажите, что касательная к параболе Как найти производную функции примеры с решениемпроведенная в точке А с абсциссой х0, пересекает ось Ох в точке Как найти производную функции примеры с решением.

Решение:

Имеем Как найти производную функции примеры с решением

Воспользуемся (1): Как найти производную функции примеры с решением Ясно, что данная прямая пересекает ось Ох в точке Как найти производную функции примеры с решением

Отсюда следует правило построения касательной к параболе Как найти производную функции примеры с решением. Именно, эта касательная проходит через точку А с абсциссой пересекает ось Ох в точке

х0 и точку Как найти производную функции примеры с решением.

Уравнение нормали

Пусть задана касательная к графику функции Как найти производную функции примеры с решением , проведённая к точке с абсциссой х = х0.

Прямая Как найти производную функции примеры с решением (2)

проходящая через точку с абсциссой х = х0 перпендикулярно этой касательной, называется нормалью к графику функцииКак найти производную функции примеры с решением в точке с абсциссой х0 (рисунок 19).

Пример №99

Составить уравнение нормали к графику функции Как найти производную функции примеры с решением в точке с абсциссой х0 =1.

Решение:

Найдём производную:Как найти производную функции примеры с решением. Вычислим значение функции и её производной в точке х0=1:

Как найти производную функции примеры с решением. Подставив эти значения в уравнение

нормали, получим Как найти производную функции примеры с решениемилиКак найти производную функции примеры с решением.

Ответ: Как найти производную функции примеры с решением

Примечание: Касательная к графику функции Как найти производную функции примеры с решением, в точке с абсциссой х0=1 имеет уравнение Как найти производную функции примеры с решением (докажите!). Обратите внимание, что для произведения угловых коэффициентов касательной и нормали справедливо равенство Как найти производную функции примеры с решением.

Исследование функции с помощью производной и построение её графика

Возрастание и убывание функции

Мы знакомы с возрастающими и убывающими функциями. Далее мы будем использовать производную для нахождения промежутков возрастания и убывания функции.

Теорема 1. Пусть функция Как найти производную функции примеры с решением определена и имеет производную на интервале Как найти производную функции примеры с решением. Если для всех Как найти производную функции примеры с решением выполнено неравенство Как найти производную функции примеры с решением, то функция Как найти производную функции примеры с решением возрастает на промежутке Как найти производную функции примеры с решением(рисунок 20).

Теорема 2. Пусть функция Как найти производную функции примеры с решением определена и имеет производную на интервалеКак найти производную функции примеры с решением. Если для всех Как найти производную функции примеры с решением выполнено неравенствоКак найти производную функции примеры с решением, то функция Как найти производную функции примеры с решением убывает на промежутке Как найти производную функции примеры с решением (рисунок 21).

Как найти производную функции примеры с решением

Теоремы 1, 2 примем без доказательства.

Пример №100

Найдите промежутки убывания и возрастания функции:

Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Эта функция определена на интервале Как найти производную функции примеры с решением Найдём производную. Решая неравенстваКак найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решениемметодом интервалов найдём, что функция возрастает на интервалахКак найти производную функции примеры с решением, а на интервале (—1; 2) — убывает.

Ответ: На интервалахКак найти производную функции примеры с решением и Как найти производную функции примеры с решением функция возрастает, а на интервале (-1; 2) функция убывает. Как найти производную функции примеры с решением

Пример №101

Найдите промежутки убывания и возрастания функции:

Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Эта функция определена на интервале Как найти производную функции примеры с решением.

Найдём производную: Как найти производную функции примеры с решением. Решая неравенство Как найти производную функции примеры с решением , то

есть неравенство Как найти производную функции примеры с решением методом интервалов, получим, что на промежутках Как найти производную функции примеры с решением функция возрастает. Точно также, решая неравенство Как найти производную функции примеры с решением, то есть неравенствоКак найти производную функции примеры с решением, получим, что функция убывает на промежутках (-1; 0) и (0; 1).

Ответ: Функция возрастает на промежутках Как найти производную функции примеры с решением ; функция убывает на промежутках (-1; 0) и (0; 1). Как найти производную функции примеры с решением

Стационарные (критические) точки функции

Пусть функция Как найти производную функции примеры с решением определена на интервале (a; b).

Определение: Точки, в которой производная функции Как найти производную функции примеры с решениемобращается в 0, называются стационарными или критическими.

Пример №102

Найдите стационарные точки функции: Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Найдём производную функции Как найти производную функции примеры с решением и приравняем её к нулю: Как найти производную функции примеры с решением Решая полученное уравнение, заключаем, что точки х1= —1, х2= 2 — стационарные.

Ответ: Как найти производную функции примеры с решением

Локальные максимумы и минимумы функции

Для нахождения локальных максимумов и минимумов можно воспользоваться понятием производной. Как найти производную функции примеры с решением

Теорема 3. Пусть функция Как найти производную функции примеры с решением определена и имеет производную

на интервале Как найти производную функции примеры с решением. Пусть для некоторой точки Как найти производную функции примеры с решениемна интервале

(а;х0) выполнено неравенство Как найти производную функции примеры с решением, а на интервале Как найти производную функции примеры с решением. Тогда точка х0 является точкой локального максимума функции f(х).

Теорема 4. Пусть функция Как найти производную функции примеры с решениемопределена и имеет производную на интервале Как найти производную функции примеры с решением. Пусть для некоторой точки Как найти производную функции примеры с решениемна интервале Как найти производную функции примеры с решением, а на интервале Как найти производную функции примеры с решением ( здесь Как найти производную функции примеры с решением). Тогда х0 является точкой локального минимума функции f(х).

Теоремы 3, 4 примем без доказательства.

Определение: Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума.

Пример №103

Найдите точки локального экстремума функции

Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Найдём производную функции: Как найти производную функции примеры с решением. Производная определена всюду и обращается в нуль в точках х = ±1. Поэтому точки х = ± 1 являются стационарными (критическими). Воспользовавшись методом интервалов, определим, что на промежутках Как найти производную функции примеры с решением, а на промежутке Как найти производную функции примеры с решением. Значит х = -1 — точка локального максимума, а точка х = 1 — точка локального минимума (рисунок 23).

Как найти производную функции примеры с решением

Ответ: х = — 1 — точка локального максимума, а точка х = 1 — точка локального минимума. Как найти производную функции примеры с решением

Наибольшее и наименьшее значения функции. С этими понятиями мы познакомились в 10 классе.

Пусть функция f(х) определена на отрезке [а; b] и имеет производную на интервале (a; b). Сформулируем алгоритм нахождения его наибольшего и наименьшего значений:

  1. Находим все стационарные точки;
  2. Вычисляются значения функции в найденных стационарных точках и на на граничных точках а и b;
  3. Наибольшее среди найденных в предыдущем пункте значений и будет наибольшим значением функции на отрезке [а; b].

Наименьшее значение функции на отрезке [а; b] находится аналогично.

Пример №104

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции Как найти производную функции примеры с решением на отрезке [-4; 2] .

Решение:

Найдём производную функции:Как найти производную функции примеры с решением.

Приравняв производную к нулю, найдём стационарные точки: Как найти производную функции примеры с решением.

Вычислим значения функции в найденных стационарных точках x1=0, х2=-3 и на граничных точках а = -4, b=2: Как найти производную функции примеры с решением

Значит, наибольшее значение функции равно 17, а наименьшее значение равно

— 9.

Ответ: наибольшее значение функции равно 17, а наименьшее значение равно

— 9.

Исследование и построение графика функции с помощью производной

Для этого будем придерживаться следующей последовательности действий:

  1. находится область определения;
  2. находятся стационарные точки;
  3. определяются промежутки убывания и возрастания;
  4. находятся точки локального максимума и локального минимума, а также значения функции в этих точках;
  5. на основании полученной информации строится эскиз графика.

При построении графика полезно находить точки пересечения графика функции с осями координат, а также некоторые другие точки.

Пример №105

Исследуйте функциюКак найти производную функции примеры с решением с помощью производной и постройте график.

Решение:

1.Функция определена наКак найти производную функции примеры с решением.

2.Найдём стационарные точки:

Как найти производную функции примеры с решением x1=1 и точки х2= -1 стационарные.

3.Найдём промежутки убывания и возрастания.

Так как на интервалах Как найти производную функции примеры с решением, то функция

возрастает на этих интервалах. Далее, так как на интервале (- 1; 1)Как найти производную функции примеры с решением, то функция убывает на этом интервале.

4.Точка х=- — точка локального максимума. Вычислим значение функции в этой точке: Как найти производную функции примеры с решением. Аналогично, точка x=1 — точка локального минимума. Найдём значение функции в этой точке Как найти производную функции примеры с решением.

5.Найдём точки пересечения графика функции с осью Ох: Как найти производную функции примеры с решением. Отсюда получим х=0 или х2 — 3=0.

Решая последнее уравнение, заключаем, что точкиКак найти производную функции примеры с решениемявляются абсциссами точек пересечения графика функции с осью Ох. В результате получим схематический вид графика (рисунок 24).

Как найти производную функции примеры с решением

Применение методов дифференциального исчисления к решению экстремальных задач с геометрическим, физическим и экономическим содержанием

Задачи с геометрическим содержанием

Пример №106

Найдите наибольшую площадь земельного участка прямоугольной формы, который можно огородить забором длиной 100 метров.

Решение:

Пусть длина и высота прямоугольника равны х м и у м соответственно (рисунок 27).

Как найти производную функции примеры с решением

Периметр прямоугольника равен Как найти производную функции примеры с решением. Отсюда у = 50-х. Найдём площадь этого прямоугольника Как найти производную функции примеры с решением

Требуется найти х такое, что функция достигает своего максимума.

Найдём стационарные точки функцииS(x)

Как найти производную функции примеры с решением, отсюда х = 25. Так как на промежутке Как найти производную функции примеры с решением, а на промежутке Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением, то функция S(x) достигает своего максимума в точке х=25, причем S(25 ) =625. Значит, наибольшая площадь земельного участка прямоугольной формы, который можно огородить забором длиной 100 метров, равна 625 м2.

Ответ: 625 м2.

Вообще говоря, среди прямоугольников с заданным периметром, наибольшую площадь имеет квадрат.

Пример №107

Из картона формы квадрата со стороной а см необходимо изготовить коробку без верха. Для этого отрезают одинаковые меньшие квадратные уголки. В каком случае мы можем получить коробку наибольшей вместимости?

Решение:

Пусть х см — сторона основания получившейся коробки (рисунок 28). Как найти производную функции примеры с решением

Сторона отрезанного квадратного уголка равна Как найти производную функции примеры с решением .

Объём получившейся коробки равен Как найти производную функции примеры с решениемсм3. Значит, задача свелась к нахождению наибольшего значения функции Как найти производную функции примеры с решением на отрезке [0; а]. Найдём стационарные точки функции

Как найти производную функции примеры с решением.

В итоге получим, что Как найти производную функции примеры с решением стационарные точки. Ясно,

что Как найти производную функции примеры с решением.

Таким образом, наибольшее значение V(х) на [0;а] равно Как найти производную функции примеры с решением.

Ответ: коробка с длиной стороны основания Как найти производную функции примеры с решением

Задачи с физическим содержанием

Пример №108

Материальная точка движется по прямой согласно закону движенияКак найти производную функции примеры с решениемПусть t — измеряется в секундах, s — в метрах.

Найдите:

1)Момент времени (0, при котором ускорение максимально;

2)Мгновенную скорость в момент времени /0;

3)Путь, пройденный за время t{).

Решение:

Найдём скорость материальной точки:Как найти производную функции примеры с решением Из курса физики известно, что производная скорости равна ускорению, т.е: Как найти производную функции примеры с решением

1) Найдём момент времени t0, при котором ускорение максимально. Решим уравнение Как найти производную функции примеры с решением. Так как на интервале (0; 3) Как найти производную функции примеры с решением, а на интервале Как найти производную функции примеры с решением, то заключаем, что в момент времени t0= 3 функция a(t) достигает своего максимума.

2) Вычислим мгновенную скорость в момент времени t0: Как найти производную функции примеры с решением

3) Для нахождения пути, пройденного за время подставим

выражение Как найти производную функции примеры с решением

Ответ: Как найти производную функции примеры с решением

Пример №109

Материальная точка движется по прямой согласно закону движения Как найти производную функции примеры с решением Пусть t — измеряется в секундах, а s — в метрах. Найдите:

1)Момент времени t0 при котором скорость минимальна;

2)Ускорение в момент времени t0;

3)Путь, пройденный за время t0.

Решение:

Найдём скорость и ускорение материальной точки:Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

1)Найдём момент времени t0 при котором скорость минимальна:

Как найти производную функции примеры с решением, отсюда t0=1. Так как на интервале Как найти производную функции примеры с решением, а на интервале Как найти производную функции примеры с решением, то в момент времени Как найти производную функции примеры с решением достигает своего минимума.

2)Вычислим ускорение при Как найти производную функции примеры с решением

3)Для нахождения пути, пройденного за время t0, подставим в выражение Как найти производную функции примеры с решением значение t0=1:

Как найти производную функции примеры с решением

Ответ: Как найти производную функции примеры с решением

Пример №110

В течение времени Как найти производную функции примеры с решением минут в воздушный шар подаётся воздух объёма Как найти производную функции примеры с решением. Найдите:

1)Объём воздуха, подаваемый в начале;

2)Объём воздуха, подаваемый в момент времени t = 8 мин;

3)Скорость подачи воздуха в момент времени t = 4 мин.

Решение:

1)Для того, чтобы найти объём воздуха, подаваемый в начале,

подставим в формулу Как найти производную функции примеры с решением значение t =0, то есть V( 0)=2 м3.

2)Объём воздуха, подаваемый в момент времени t = 8 мин подставим в формулу Как найти производную функции примеры с решением значение t =8, то есть:

Как найти производную функции примеры с решением

3)Найдём скорость подачи воздуха:

Как найти производную функции примеры с решением

Значит, Как найти производную функции примеры с решением Значит, Как найти производную функции примеры с решением

Ответ: Как найти производную функции примеры с решением

Задача экономического содержания

Пример №111

Карима получила заказ на пошив платьев. Пусть она шьёт в течение месяца х платьев, получая при этом доход Как найти производную функции примеры с решениемтыс. сум. Найдите:

1)Сколько платьев должно быть сшито, чтобы получить наибольший ДОХОД?

2)Чему равен этот наибольший доход?

Решение:

1) Найдём максимум функции Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением, отсюда х0=50. Так как на интервале Как найти производную функции примеры с решением, а на интервале Как найти производную функции примеры с решением, то функция достигает своего максимума при х0=50. Значит, для получения наибольшего дохода необходимо сшить 50 платьев.

3) Для нахождения наибольшего дохода подставим значение х0=50 в выражение Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Ответ: 1) 50 платьев; 2) 2 500 000 сум. Как найти производную функции примеры с решением

Приближенные вычисления

Пусть функция Как найти производную функции примеры с решением имеет в точке х0 ограниченную производную Как найти производную функции примеры с решением.

Мы знаем, что уравнение касательной в точке с абсциссой х0 имеет видy Как найти производную функции примеры с решением

Заметим, что график функцииКак найти производную функции примеры с решением вблизи х0 можно приближенно заменить соответствующим отрезком касательной (рисунок 29):

Как найти производную функции примеры с решением

Обозначив приращение хх0 через Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением получим следующее приближенное равенство: Как найти производную функции примеры с решениемили Как найти производную функции примеры с решением Приближенную формулу (1) будем называть формулой малых приращений.

Замечание. Рекомендуем выбирать х0 так, чтобы значения

Как найти производную функции примеры с решениемвычислялись непосредственно. Отметим также, что при лучшем приближении точки х к точке х0, формула (1) даёт более точный результат.

Далее мы будем применять формулу малых приращений к приближенным вычислениям.

Пример №112

Найдите приближенное значение функции Как найти производную функции примеры с решением в точке х = 2,02.

Решение:

Выберем близкую к точке х=2,02 точку х0=2. Значение функции

в этой точке вычисляется без затруднений: Как найти производную функции примеры с решением.

Найдём производную функции:Как найти производную функции примеры с решением

ИмеемКак найти производную функции примеры с решением

Значит, по формулеКак найти производную функции примеры с решением

С помощью калькулятора или иного вычислительного устройства можно получить значение Как найти производную функции примеры с решением

Пример №113

Найдите приближенное значение корня Как найти производную функции примеры с решением . Найдём ее производную.

Решение:

Рассмотрим функцию Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Найдите производную. Положим х0 = 1. Тогда получим Как найти производную функции примеры с решением,

Как найти производную функции примеры с решением

Из формулы (1):

Как найти производную функции примеры с решением

С помощью калькулятора или иного вычислительного устройства

можно получить значениеКак найти производную функции примеры с решением

Пример №114

Найдите приближенное значение Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

Рассмотрим функциюКак найти производную функции примеры с решением

Найдём её производную: Как найти производную функции примеры с решением

Положим х0 = 8 . Тогда получим Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Тогда из формулы (1) получим

Как найти производную функции примеры с решением

С помощью калькулятора или иного вычислительного устройства можно получить значение Как найти производную функции примеры с решением

Пример №115

Найдите приближенное значение sin 29°.

Решение:

Рассмотрим функцию Как найти производную функции примеры с решением. Найдём её производную: Как найти производную функции примеры с решением

положим Как найти производную функции примеры с решением,

Как найти производную функции примеры с решением

Тогда из формулы (1) получим

Как найти производную функции примеры с решением

С помощью калькулятора или иного вычислительного устройства

можно получить значение Как найти производную функции примеры с решением

Пример №116

Привести формулу малых приращений для логарифма.

Решение:

Как найти производную функции примеры с решением. Отсюда получим приближенную формулу Как найти производную функции примеры с решением

ЕслиКак найти производную функции примеры с решением, то справедлива формула, Как найти производную функции примеры с решением. Используя её, можно получить, например, значение Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

В общем случае, если Как найти производную функции примеры с решением.

Тогда формула малых приращений (1) примет вид

Как найти производную функции примеры с решением (2) Как найти производную функции примеры с решением

Используя формулу (2), выведите приближенные формулы, справедливые для малых х Как найти производную функции примеры с решением

Пример №117

Найдите приближенное значение выраженияКак найти производную функции примеры с решением

Решение:

Воспользуемся формулой: Как найти производную функции примеры с решениемКак найти производную функции примеры с решением

С помощью калькулятора или иного вычислительного устройства

можно получить значениеКак найти производную функции примеры с решением

Отметим, что используя приближенную формулу Как найти производную функции примеры с решением, можно вычислять и значения корней.

Действительно, пусть n — натуральное число, а число |B | достаточно мало по сравнению с Как найти производную функции примеры с решением . Тогда Как найти производную функции примеры с решением или Как найти производную функции примеры с решением Например, Как найти производную функции примеры с решением

С помощью калькулятора или иного вычислительного устройства можно получить значение Как найти производную функции примеры с решением

Опираясь на формулу (2), вычислим при достаточно малых х приближенные значения cosx.

Так как Как найти производную функции примеры с решением, то формула Как найти производную функции примеры с решением

примет вид Как найти производную функции примеры с решением, то есть Как найти производную функции примеры с решением.

Очевидно, что такая «приближенная» формула не годится для приближений.

Поэтому пойдём другим путём. Из основного тригонометрического тождества имеем Как найти производную функции примеры с решением .

Очевидно, что когда х достаточно мало, х2 тоже будет достаточно малым, Как найти производную функции примеры с решением.

Выше было сказано, что при достаточно малых Как найти производную функции примеры с решением.

Поэтому из формулы Как найти производную функции примеры с решением непосредственно получим формулуКак найти производную функции примеры с решением , т.е. справедлива формула Как найти производную функции примеры с решением .

Пример №118

Найдите приближенное значение cos 44°.

Решение:

Так как Как найти производную функции примеры с решением, то

Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

С помощью калькулятора или иного вычислительного устройства можно получить значение Как найти производную функции примеры с решением

Дифференциальные модели

В 10 классе мы изучали процессы изменения популяции бактерий (темы 79-81). Далее мы продолжим это изучение с других позиций.

Пример:

Пусть бактерия в конце определенного промежутка времени (несколько часов или минут) делится на две бактерии. В итоге популяция (т.е. количество бактерий в ней) увеличивается вдвое. В свою очередь, через определённое время две вышеуказанные бактерии опять делятся на две бактерии каждая и популяция увеличивается вдвое. Предположим, что при благоприятных условиях (достаточные ресурсы, пространство, питательные вещества, вода, энергия и т.д.) этот процесс увеличения популяции продолжается.

Также предположим, что скорость увеличения количества бактерий в популяции пропорционально этому количеству.

Как изменяется количество бактерий в популяции в зависимости от времени t ?

Решение:

Обозначим черезКак найти производную функции примеры с решением количество бактерий в популяции в момент времени t .

Согласно смыслу производной, скорость изменения количества бактерий в популяции в момент времени t равна Как найти производную функции примеры с решением.

Согласно нашим предположениям, в каждый момент времени t величина Как найти производную функции примеры с решением пропорциональна величине Как найти производную функции примеры с решением, то есть

Как найти производную функции примеры с решением. (1)

Здесь Как найти производную функции примеры с решением — коэффициент пропорциональности.

Пусть Как найти производную функции примеры с решением — количество бактерий в начальный момент времени t =0.

Очевидно, что функция вида Как найти производную функции примеры с решением удовлетворяет соотношению (1).

Действительно, Как найти производную функции примеры с решением.

Допустим, что в начале популяция состояла из 10 миллионов бактерий Как найти производную функции примеры с решениеми в конце первого часа их стало Как найти производную функции примеры с решением(млн). Отсюда получим Как найти производную функции примеры с решением. Значит, Как найти производную функции примеры с решением.

Найдём количество бактерий в популяции в момент времени t.

Как найти производную функции примеры с решением (млн).

Этот результат совпадает с аналогичным результом, полученным в 10 классе. 

Исторические сведения:

Проводя аналогичные рассуждения в 18 веке английский учёный Томас Мальтус получил соотношение Как найти производную функции примеры с решением (2)

для роста численности населения Земли, здесь N(t) — численность населения Земли в момент времени N0=N(t0) — численность населения в начальный момент времени t0 .

Действительно, Как найти производную функции примеры с решением. Исследуя закономерностьКак найти производную функции примеры с решением описывающую экспоненциальный, то есть неконтролируемый рост населения, Томас Мальтус пришёл к прогнозу, что когда-то на Земле будет ощущаться нехватка ресурсов и пищи (см. рисунок 30).

Как найти производную функции примеры с решением

Пример №119

Экология изучает взаимоотношение человека и вообще живых организмов с окружающей средой. Основным объектом экологии является эволюция популяций. Изучим вопрос о скорости изменения популяции организмов с учётом размножения и вымирания в силу определённых причин.

Решение:

Пусть N(t) — число особей в популяции в момент времени t. Тогда если А — число особей в популяции, рождающихся в единицу времени, а В — число особей, умирающих в единицу времени, то с достаточным основанием можно утверждать, что скорость изменения N(t) со временем задаётся формулой

Как найти производную функции примеры с решением (3)

Исследователи рассматривают следующие случаи зависимости А и В от N.

а)Простейший случай: Как найти производную функции примеры с решением. Здесь а и b коэффициенты рождения и смерти особей в единицу времени соответственно. Тогда соотношение (3) можно записать в виде Как найти производную функции примеры с решением. (4)

Полагая, что в момент времени t0 число особей в популяции равно Как найти производную функции примеры с решением, заметим, что функция Как найти производную функции примеры с решением удовлетворяет (4) (проверьте).

в)Часто встречается случай Как найти производную функции примеры с решением. Тогда получим соотношение

Как найти производную функции примеры с решением (5)

Можно проверить, что функция Как найти производную функции примеры с решением удовлетворяет этому соотношению. 

Соотношение (4) получил в 1845 году бельгийский ученый-демограф Ферхюльст. Для получения этого соотношения он использовал фактор борьбы между особями внутри популяции. Этот результат более точно описывает процесс изменения популяции, чем аналогичный результат (2), полученный Мальтусом.

Возникает естественный вопрос о том, как зависит рост популяции от чисел а и b.

На следующем рисунке изображены графики функций

Как найти производную функции примеры с решением Как найти производную функции примеры с решением

Видно, что при возрастании времени число особей в популяции достаточно быстро стремится к числу Как найти производную функции примеры с решением. Данный факт характеризует так называемое явление насыщения в популяции. Именно, начиная с определённого времени, изменение популяции становится незначительным.

Соотношения вида Как найти производную функции примеры с решением связывающие аргумент, функцию и её производную, называются дифференциальными уравнениями.

Вышеприведённые соотношения (1) — (5) служат примерами дифференциальных уравнений.

В курсе высшей математики при определённых условиях на уравнение Как найти производную функции примеры с решением доказывается, что существует единственное решение у(х), удовлетворяющее начальному условию Как найти производную функции примеры с решением.

Пример №120

Предположим, что торговыми учреждениями реализуется продукция, для ускорения сбыта которой были даны рекламные объявления по радио и телевидению. Последующая информация о продукции распространяется среди покупателей посредством общения друг с другом.

Решение:

Изучим, как изменяется величина х(t), характеризующая число знающих о продукции в момент времени t.

Тогда число не знающих о продукции потенциальных покупателей равно Как найти производную функции примеры с решением.

Согласно нашему предположению, приходим к дифференциальному уравнению:

Как найти производную функции примеры с решением, здесь Как найти производную функции примеры с решением— коэффициент пропорциональности.

Решение данного уравнения имеет вид Как найти производную функции примеры с решением

С — постоянная величина.

Очевидно, что при возрастании t величина Как найти производную функции примеры с решением уменьшается и, поэтому выражениеКак найти производную функции примеры с решением неограниченно стремится к N (рисунок 32).Как найти производную функции примеры с решением

Как найти производную функции примеры с решением

Пример №121

Пусть тело массой m, постоянной теплоёмкости с имеет в начальный момент времени температуру Т0. Температура окружающего воздуха постоянна и равна Как найти производную функции примеры с решением. Считая, что теплоотдача тела в течение малого времени пропорциональна разности температур тела и окружающего воздуха, найдите закон, по которому остывает данное тело.

Решение:

Во время остывания температура тела падает Как найти производную функции примеры с решением. Пусть в момент времени t (температура тела равна Т(t). Так как количество геила, отдаваемого в течение малого времени, пропорционально разности температур тела и окружающего воздуха, то

Как найти производную функции примеры с решением

здесь Как найти производную функции примеры с решением — коэффициент пропорциональности.

С другой стороны, из курса физики известно, что количество тепла, отдаваемого в течение малого времени, равно Как найти производную функции примеры с решением. Вычислим производную:

Как найти производную функции примеры с решением (6)

Сравнивая оба полученных выражения для Как найти производную функции примеры с решением, получим дифференциальное уравнение Как найти производную функции примеры с решением.

Функция Как найти производную функции примеры с решением

удовлетворяет дифференциальному уравнению (6) (проверьте!), здесь С — произвольная постоянная.

Начальное условие Как найти производную функции примеры с решением С позволяет найти С:

Как найти производную функции примеры с решением

Поэтому закон, по которому остывает данное тело, можно записать так: Как найти производную функции примеры с решением

Ответ: Как найти производную функции примеры с решением

Пример №122

Лепешка, вынутая из печи, за 20 минут остывает от 100° до 60°. Температура окружающего воздуха равна 25°. За какое время лепешка остынет до 30° ?

Решение:

Используя решение предыдущей задачи, мы запишем закон, по которому остывает лепёшка:

Как найти производную функции примеры с решением,

Здесь а — неизвестный коэффициент.

Найдём а, используя условие T(20)=60 при t=20: Как найти производную функции примеры с решением,

Как найти производную функции примеры с решением

Значит, остывание лепёшки проходит по закону

Как найти производную функции примеры с решением

Найдём время, за которое лепёшка остынет до 30°:

Как найти производную функции примеры с решением

Так как Как найти производную функции примеры с решением

найдем Как найти производную функции примеры с решением

Лепешка остынет до 30° за 1 час 11 минут. Как найти производную функции примеры с решением

Пример №123

Моторная лодка движется в стоячей воде со скоростью 20 км/час. Через некоторое время двигатель вышел из строя. В результате через 40 секунд скорость лодки оказалась равной 8 км/час. Считая, что сопротивление воды пропорционально скорости лодки, найдите скорость лодки через 2 минуты после остановки двигателя.

Как найти производную функции примеры с решением

Решение:

На лодку действует сила сопротивления воды Как найти производную функции примеры с решением. Согласно закону Ньютона Как найти производную функции примеры с решением. Отсюда Как найти производную функции примеры с решением Данному уравнению удовлетворяет функция Как найти производную функции примеры с решением . Учитывая что , при t= 0 Как найти производную функции примеры с решением = 20, найдём С = 20. Отсюда

Как найти производную функции примеры с решением t = 40, Как найти производную функции примеры с решением. Учитывая то , что через 40 секунд скорость лодки оказалась равной 8 км/час, получим

Как найти производную функции примеры с решением или Как найти производную функции примеры с решением .

Тогда через 2 минуты скорость лодки окажется равной

Как найти производную функции примеры с решением

Ответ: скорость лодки через 2 минуты после остановки двигателя будет приблизительно равной 1,28 км/час. Как найти производную функции примеры с решением

Пример №124

Найдите закон, по которому изменяется масса m(t ) радиактивного вещества в результате процесса радиактивного распада. Здесь m(t ) измеряется в граммах, a t — в годах.

Решение:

Предположим, что скорость радиактивного распада пропорциональна массе. Тогда получим дифференциальное уравнение

Как найти производную функции примеры с решением (7)

Можно проверить, что функция Как найти производную функции примеры с решением является решением данного уравнения.

Из начального условия Как найти производную функции примеры с решением получим закономерность Как найти производную функции примеры с решением. Ответ: Как найти производную функции примеры с решением

  • Асимптоты графика функции
  • Касательная к графику функции и производная
  • Предел и непрерывность функции
  • Свойства функций, непрерывных в точке и на промежутке
  • Свойства и график функции y=ⁿ√x (n>1, n∈N) 
  • Иррациональные уравнения
  • Иррациональные неравенства
  • Производная в математике

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как обойти найти айфон при активации
  • Как найти яхту в открытом море
  • Как найти когда воруют электроэнергию
  • Как найти трояна майнера
  • Клавиатура пишет большими буквами как исправить