Как найти производную натурального логарифма в степени

Производная натурального логарифма

Определение
Производная натурального логарифма равна отношению единицы и выражения, стоящего под знаком самого логарифма: $$ (ln x)’ = frac{1}{x} $$

Данная формула выводится из формулы производной логарифма с основанием $ a = e $:

$$ (ln x)’=(log_e x)’=frac{1}{xln e}=frac{1}{x} $$

Примеры решений

Пример 1
Найти производную натурального логарифма во второй степени: $$ y(x) = ln^2 x $$
Решение

Чему равна производная натурального логаримфа известно из определения. Но в данном случае есть степень, поэтому функция сложная. Берем производную степенной функции по правилу: $ (x^p)’ = px^{p-1} $, а затем умножаем на производную логарифма:

$$ y'(x) = (ln^2 x)’ = 2ln x cdot (ln x)’ = 2ln x cdot frac{1}{x} = frac{2ln x}{x} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ y'(x) = frac{2ln x}{x} $$
Пример 2

Найти производную натурального логарифма сложной функции:

$$ y(x) = ln cos x $$
Решение

Логарифм косинуса представляет собой сложную функцию. Поэтому сначала берем производную от натурального логарифма, а затем производную от косинуса по правилу: $ (cos x)’ = -sin x $

$$ y'(x) = (ln cos x)’ = frac{1}{cos x} cdot (cos x)’ = frac{-sin x}{cos x} = -tg x $$
Ответ
$$ y'(x) = -tg x $$
Источник

урок 3. Математика ЕГЭ

Как найти производную от функции

Как считать производные?

Никто не использует определение производной, чтобы ее вычислить. Как же тогда ее посчитать?

Оказывается, существуют специальные формулы, с помощью которых производная от функции вычисляется достаточно просто.

Формулы производной

Выпишем теперь все формулы производной функции и порешаем примеры.

Производная от константы
Производная от любого числа всегда равна (0):
$$(const)^{/}=0;$$

Пример 1
$$(5)^{/}=0;$$

Производная от (x)
Производная просто от (x) равна (1):
$$x^{/}=1;$$

Производная от степени
$$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$
Пример 2
$$(x^4)^{/}=4*x^{4-1}=4*x^{3};$$
$$(x^{10})^{/}=10*x^{10-1}=10*x^{9};$$
$$(x^{-3})^{/}=-3*x^{-3-1}=-3*x^{-4};$$
$$(x^{frac{1}{3}})^{/}=frac{1}{3}*x^{1-frac{1}{3}}=frac{1}{3}*x^{frac{2}{3}};$$

Производная от квадратного корня
$$(sqrt{x})^{/}=frac{1}{2sqrt{x}};$$
Тут полезно заметить, что формулу производной от квадратного корня можно не учить. Она сводится к формуле производной от степени:
$$(sqrt{x})^{/}=(x^{frac{1}{2}})^{/}=frac{1}{2}*x^{frac{1}{2}-1}=frac{1}{2}*x^{-frac{1}{2}}=frac{1}{2sqrt{x}};$$

Производная от синуса
$$sin(x)^{/}=cos(x);$$

Производная от косинуса
$$cos(x)^{/}=-sin(x);$$

Производная от тангенса
$$tg(x)^{/}=frac{1}{cos^{2}(x)};$$

Производная от котангенса
$$tg(x)^{/}=frac{-1}{sin^{2}(x)};$$

Производная от экспоненты
$$(e^x)^{/}=e^x;$$

Производная от показательной функции
$$(a^x)^{/}=a^x*ln(a);$$
Пример 3
$$(2^x)^{/}=2^{x}*ln(2);$$

Производная от натурального логарифма
$$(ln(x))^{/}=frac{1}{x};$$

Производная от логарифма
$$(log_{a}(x))^{/}=frac{1}{x*ln(a)};$$

Свойства производной

Помимо формул по вычислению производной еще есть свойства производной, их тоже надо выучить.

Вынесение константы за знак производной
$$(alpha*f(x))^{/}=alpha*(f(x))^{/};$$

Пример 4
$$(3*x^5)^{/}=3*(x^5)^{/}=3*5x^4=15x^4;$$
$$(10sin(x))^{/}==10*(sin(x))^{/}=10*cos(x);$$

Производная от суммы и разности двух функций
$$(f(x) pm g(x))^{/}=(f(x))^{/} pm (g(x))^{/};$$

Пример 5
$$(2x^4+x^3)^{/}=?$$
Тут (f(x)=2x^4), а (g(x)=x^3). Тогда по формуле производной от суммы:
$$(2x^4+x^3)^{/}=(2x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*(x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*4x^3+3x^2=8x^3+3x^2;$$

Пример 6
$$(ln(x)+cos(x))^{/}=(ln(x))^{/}+(cos(x))^{/}=frac{1}{x}-sin(x);$$

Пример 7
$$(x^6-e^x)^{/}=(x^6)^{/}-(e^x)^{/}=6x^5-e^x;$$

Производная от произведения двух функций
$$(f(x)*g(x))^{/}=(f(x))^{/}*g(x)+f(x)*(g(x))^{/};$$

Пример 8
$$(x^2*sin(x))^{/}=?$$
$$(x^2*sin(x))^{/}=(x^2)^{/}*sin(x)+x^2*(sin(x))^{/}=2x*sin(x)+x^2*cos(x);$$

Пример 9
$$(ln(x)*e^x)^{/}=(ln(x))^{/}*e^x+ln(x)*(e^x)^{/}=frac{1}{x}*e^x+ln(x)*e^x;$$

Производная от частного двух функций
$$left(frac{f(x)}{g(x)}right)^{/}=frac{(f(x))^{/}*g(x)-f(x)*(g(x))^{/}}{(g(x))^2};$$

Пример 10
$$left(frac{x^3}{sin(x)}right)^{/}=frac{(x^3)^{/}*sin(x)-x^3*(sin(x))^{/}}{(sin(x))^2}=frac{3x^2*sin(x)-x^3*cos(x)}{(sin(x))^2};$$

Примеры нахождения производной

Рассмотрим несколько примеров нахождения производной, чтобы разобраться, как применяются свойства и формулы производной на практике.

Пример 11
$$(5x^3+2cos(x))^{/}=(5x^3)^{/}+(2cos(x))^{/}=$$
$$=5*(x^3)^{/}+2*(cos(x))^{/}=5*3*x^2+2*(-sin(x))=15x^2-2sin(x);$$

Пример 12
$$left(-frac{3x^2}{2x^4+5x}right)^{/}=-frac{(3x^2)^{/}*(2x^4+5x)-3x^2*(2x^4+5x)^{/}}{(2x^4+5x)^2}=$$
$$=-frac{6x*(2x^4+5x)-3x^2*(8x+5)}{(2x^4+5x)^2}=-frac{12x^5-24x^3+15x^2}{(2x^4+5x)^2};$$

Пример 13
$$(2xsqrt{x})^{/}=(2x)^{/}*sqrt{x}+2x*(sqrt{x})^{/}=$$
$$=2*sqrt{x}+2x*frac{1}{2sqrt{x}}=2*sqrt{x}+frac{2x}{2sqrt{x}}=2*sqrt{x}+sqrt{x}=3sqrt{x};$$

Производная сложной функции

Сложная функция — это функция не от аргумента (x), а от какой-то другой функции: (f(g(x))). Например, функция (sin(x^2)) будет сложной функцией: «внешняя» функция синуса берется от «внутренней» функции степени ((x^2)). Так как под синусом стоит аргумент не (x), а (x^2), то такая функция будет называться сложной.
Еще примеры сложных функций:

  • $$ln(3x^4);$$
    Внешняя функция: натуральный логарифм; Внутренняя функция: ((3x^4)).
  • $$cos(ln(x));$$
    Внешняя функция: косинус; Внутренняя функция: ((ln(x))).
  • $$e^{2x^2+3};$$
    Внешняя функция: экспонента; Внутренняя функция: ((2x^2+3)).
  • $$(sin(x))^3;$$
    Внешняя функция: возведение в третью степень; Внутренняя функция: (sin(x)).

    • Чтобы посчитать производную от такой функции, нужно сначала найти производную внешней функции, а затем умножить результат на производную внутренней функции. В общем виде формула выглядит так:
    $$f(g(x))^{/}=f^{/}(g(x))*g^{/}(x);$$
    Скорее всего, выглядит непонятно, поэтому давайте разберем на примерах.

    Пример 14
    $$((cos(x))^4)^{/}=?$$
    Внешней функцией тут будет возведение в четвертую степень, поэтому сначала считаем производную от степени по формуле ((x^n)^{/}=n*x^{n-1}). А потом умножаем результат на производную внутренней функции, у нас это функция косинуса, по формуле (cos(x)^{/}=-sin(x)):
    $$((cos(x))^4)^{/}=underset{text{внешняя производная}}{underbrace{4*(cos(x))^3}}*underset{text{внутренняя производная}}{underbrace{(cos(x))^{/}}}=$$
    $$=4*(cos(x))^3*(-sin(x))=-4*(cos(x))^3*sin(x);$$

    Пример 15
    $$(e^{2x^3+5})^{/}=?$$
    Внешняя функция — это экспонента ((e^x)^{/}=e^x), а внутренняя функция — квадратный многочлен ((2x^3+5)):
    $$(e^{2x^3+5})^{/}=e^{2x^3+5}*(2x^3+5)^{/}=e^{2x^3+5}*((2x^3)^{/}+5^{/})=e^{2x^3+5}*6x^2.$$

    Пример 16
    $$(ln((2x^2+3)^6))^{/}=?$$
    Внешняя функция — это натуральной логарифм, берем производную от него по формуле ((ln(x))^{/}=frac{1}{x}), и умножаем на производную внутренней функции, у нас это шестая степень: ((x^n)^{/}=n*x^{n-1}). Но и на этом еще не все: под шестой степенью стоит не просто (x), а квадратный многочлен, значит еще нужно умножить на производную от этого квадратного многочлена:
    $$ln((2x^2+3)^6)=frac{1}{(2x^2+3)^6}*((2x^2+3)^6)^{/}*(2x^2+3)^{/}=$$
    $$=frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*(4x+0)=frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*4x=$$
    $$=frac{6*(2x^2+3)^5*4x}{(2x^2+3)^6}=frac{24x*(2x^2+3)^5}{(2x^2+3)^6}=frac{24x}{(2x^2+3)^6}.$$

Вывод формул производной функции

Выведем некоторые из этих формул, чтобы было понимание, откуда они берутся. Но перед этим познакомимся с новыми обозначениями. Запись (f(x)) означает, что функция берется от аргумента (x). Например:
$$f(x)=x^3+sin(x);$$
На месте аргумента (x) может стоять все что угодно, например выражение (2x+3). Обозначение такой функции будет (f(2x+3)), а сама функция примет вид:
$$f(2x+3)=(2x+3)^3+sin(2x+3);$$
То есть, везде вместо аргумента (x) мы пишем (2x+3).

И несколько важных замечаний про (Delta f(x)) и (Delta x). Напомню, что значок (Delta) означает изменение некоторой величины. (Delta x) — изменения координаты (x) при переходе от одной точки на графике функции к другой; (Delta f(x)) — разница координат (y) между двумя точками на графике. Подробнее про это можно почитать в главе, где мы вводим понятие производной. Распишем (Delta x) для двух близких точек на графике функции (O) и (B):
$$Delta x=x_B-x_O;$$
Отсюда можно выразить (x_B):
$$x_B=x_O+Delta x;$$
Абсцисса (координата точки по оси (x)) точки (B) получается путем сложения абсциссы точки (O) и (Delta x).

Кстати, функцию (f(x)=x^3+sin(x)) от аргумента (x_B=x_O+Delta x) можно расписать:

$$f(x_B)=f(x_O+Delta x)=(x_O+Delta x)^3+sin(x_O+Delta x);$$

Определение производной

Рис.1. График произвольной функции

И распишем (Delta f):
$$Delta f(x)=f(x_B)-f(x_O)=f(x_O+Delta x)-f(x_O);$$
Тогда определение производной можно записать в виде:
$$f^{/}(x)=frac{Delta f(x)}{Delta x}=frac{f(x_O+Delta x)-f(x_O)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$

За (x_O) обычно обозначают точку, в окрестности которой берут производную. То есть, получается (x_O) — это абсцисса начальной точки, а (x_O+Delta x) — абсцисса конечной точки.

Нам это пригодится при выводе формул производной.

Производная квадратичной функции

Выведем теперь формулу производной от (f(x)=x^2), воспользовавшись определением производной:
$$f^{/}(x)=frac{Delta f(x)}{Delta x}=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
Распишем числитель (f(x+Delta x)-f(x)) с учетом, что (f(x)=x^2):
$$f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^2-x^2=x^2+2xDelta x+(Delta x)^2-x^2=2xDelta x+(Delta x)^2;$$
Подставим в определение производной:
$$f^{/}(x)=frac{2xDelta x+(Delta x)^2}{Delta x}=frac{Delta x*(2x+Delta x)}{Delta x}=2x+Delta x;$$
Напоминаю, что (Delta x) это бесконечно малая величина:
$$(Delta x)^2 ll 0;$$
Поэтому этим слагаемым можно пренебречь. Вот мы и получили формулу для производной от квадратной функции:
$$f^{/}(x)=(x^2)^{/}=2x;$$

Производная от третьей степени

Аналогичные рассуждения можно провести для функции третьей степени:
$$f(x)=x^3;$$
Воспользуемся определением производной:
$$f^{/}(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
$$f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^3-x^3=(x+Delta x-x)((x+Delta x)^2+(x+Delta x)*x+x^2)=$$
$$=Delta x*(x^2+2x*Delta x+(Delta x)^2+x^2+x*Delta x+x^2)=Delta x*(3x^2+3xDelta x);$$
$$f^{/}(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}=frac{Delta x*(3x^2+3xDelta x)}{Delta x}=3x^2+3xDelta x;$$
Так как при умножении на бесконечно малую величину получается бесконечно малая величина, то слагаемым (3xDelta x) можно пренебречь:
$$f^{/}(x)=(x^3)^{/}=3x^2;$$
Точно таким же способом можно вывести формулы производных для любых степеней:
$$(x^4)^{/}=4x^3;$$
$$(x^5)^{/}=5x^4;$$
$$…$$
$$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$
Кстати, эта формула справедлива и для дробных степеней.

Вывод остальных формул делается похожим образом, только там может понадобиться знание пределов. Вывод всех формул разбирается в университетском курсе математического анализа.

Что такое производная функции простыми словами? Для чего нужна производная? Определение производной

Как решать задания №7 из ЕГЭ по математике. Анализ графиков при помощи производной. Графики производной и графики функции

Исследуем функцию с помощью производной. Находим точки минимума и максимума, наибольшее и наименьшее значение функции. Точки экстремума. Промежутки возрастания и убывания.

Связь коэффициента наклона и тангенса угла наклона касательной к функции и производной функции в точке касания. Задание №7 в ЕГЭ по математике.

Источник

Таблица производных в алгебре нужна для решения целого ряда различных прикладных задач. Поскольку смысл производной иначе интерпретируется как “скорость изменения”, то, каждый раз, беря производную, мы находим величину на ступеньку более “быструю”, чем та, от которой мы берем производную. Например, беря производную от y(x) по x, мы фактически находим скорость изменения координаты y в зависимости от изменения координаты x, а беря производную от скорости изменения координаты y в зависимости от координаты x, мы находим ускорение.

Что такое производная функции

Например, при использовании производной в физике, мы знаем, что производная расстояния s по времени – это скорость. Потому что скорость – это величина, характеризующая быстроту изменения расстояния в зависимости от времени. А производная скорости – ничто иное как ускорение, так как ускорение – это величина, характеризующая быстроту изменения скорости.
Поскольку производная находится по формуле: displaystyle f^prime(x) =lim_{Delta xto0}frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}, то бесконечное количество различных функций усложняют задачу дифференцирования, так как удобно функцию, которую можно представить из различных элементарных функций, дифференцировать основываясь на уже выведенных выражениях для производных этих элементарных функций.

Характеристика производной и ее смысл

Производная характеризует быстроту изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Таблица производных

Таким образом, чтобы работать с производными, необходима таблица производных элементарных функций. Руководствуясь этой таблицей, можно взять производную от какой угодно функции. Но прежде чем работать с таблицей – нужно знать как брать производную функции, есть определенные правила дифференцирования, которые представим в таблице.

Правила дифференцирования

№ правила Название правила Правило дифференцирования
1 Производная постоянной величины C^prime= 0, С-постоянная
2 Производная суммы (u+v-w)^prime= u ^prime +v ^prime -w^prime.
3 Производная произведения постоянной на функцию (C cdot u)' = C cdot u', С – постоянная
4 Производная переменной x (x)' = 1
5 Производная произведения двух функций (uv)' = u'v+uv'
6 Производная деления двух функций displaystyle (frac{u}{v})' = frac{u'v-v'u}{v^2}
7 Производная сложной функции y{}'_x = y{}'_u cdot u{}'_x

Таблица производных простых и сложных функций

Теперь таблица производных для элементарных и для сложных функций.

Номер формулы Название производной Основные элементарные функции Сложные функции
1 Производная натурального логарифма по x (ln (x))' = frac{1}{x} (ln(u))' = frac{1}{u}u'
2 Производная логарифмической функции по основанию a displaystyle (log(x)_a)' = frac{1}{x cdot ln a} displaystyle (log(u)_a)' = frac{1}{u cdot ln a}u'
3 Производная по x в степени n (x^n)' = n x^{n-1} (u^n)' = n u^{n-1}u'
4 Производная квадратного корня (sqrt {x})' = frac{1}{2 sqrt{x}} (sqrt {u})' = frac{1}{2 sqrt{u}}u'
5 Производная a в степени x displaystyle (a^x)' = a^x cdot ln a displaystyle (a^u)' = a^u cdot ln u cdot u'
6 Производная e в степени x (e^x)' = e^x (e^u)' = e^u cdot u'
7 Производная синуса (sin {x})' = cos{x} (sin {u})' = cos{u} cdot u'
8 Производная косинуса (cos {x})' = -sin{x} (cos {u})' = -sin{u} cdot u'
9 Производная тангенса (tan {x})' = frac{1}{cos^2{x}} (tan {u})' = frac{1}{cos^2{u}} cdot u'
10 Производная котангенса (ctg {x})' = -frac{1}{sin^2{x}} (ctg {u})' = -frac{1}{sin^2{u}} cdot u'
11 Производная арксинуса (arcsin {x})' = frac{1}{sqr{1-x^2}} (arcsin {u})' = frac{u'}{sqr{1-u^2}}
12 Производная арккосинуса (arccos {x})' = -frac{1}{sqr{1-x^2}} (arccos {u})' = -frac{u'}{sqr{1-u^2}}
13 Производная арктангенса (arctg {x})' = frac{1}{1+x^2} (arctg {u})' = frac{u'}{1+u^2}
14 Производная арккотангенса (arcctg {x})' = -frac{1}{1+x^2} (arcctg {u})' = -frac{u'}{1+u^2}

Примеры нахождения производных

Пример 1

Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найти производную функции: y=x^2-5x+4.

Решение: y'=(x^2-5x+4)'=(x^2)'-(5x)'+(4)'

Мы использовали правило 2 дифференцирования суммы. Теперь найдем производную каждого слагаемого:

(x^2)'=2x По формуле 3 “производная по x в степени n” (у нас в степени 2).

(5x)'=5 По правилам дифференцирования 3 и 4.

(4)'=0 По первому правилу дифференцирования “производная постоянной равна нулю”

Итак, получим: y'=2x-5.

Пример 2

Найти производную функции y=frac{2x}{3x+5}

Решение:

Находим производную, пользуясь правилам дифференцирования 6.

    [y'=frac{(2x)'(3x+5)-2x(3x+5)'}{(3x+5)^2}]

    [y'=frac{2(3x+5)-2x cdot 3}{(3x+5)^2}]

    [y'=frac{6x+10-6x}{(3x+5)^2}]

    [y'=frac{10}{(3x+5)^2}]

Ответ:

    [y'=frac{10}{(3x+5)^2}]

Пример 3

Найти производную функции y=cosx

Решение: здесь все просто, мы возьмем производную из таблицы производных.

y'=-sin x

Ответ: y'=-sin x

Пример 4

Найдите производную функции y=cos(5x+7)

Решение: Здесь мы уже имеем не простую функцию, а сложную функцию и брать производную мы будем по формуле 8 таблицы производных для сложных функций.

    [y'=cos'(5x+7) cdot (5x+7)']

    [y'=-sin(5x+7) cdot 5=-5sin(5x+7)]

Ответ:

    [y'=-5sin(5x+7)]

Пример 5

Пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, найдите производную функции y=sqrt{2x^2+5x+4}

Решение: У нас сложная функция, так как под корнем стоит не просто x, а квадратная функция.

То есть мы имеем функцию вида y=sqrt{u(x)}.

Возьмем производную этой функции:

    [y'=frac{(2x^2+5x+4)'}{2 sqrt{2x^2+5x+4}}]

    [y'=frac{4x+5}{2 sqrt{2x^2+5x+4}}]

Ответ:

    [y'=frac{4x+5}{2 sqrt{2x^2+5x+4}}]

Пример 6

Найдите скорость тела, если траектория его движения задана уравнением x(t)=3t+4 м

Решение: скорость тела – это первая производная траектории по времени: v(t)=x'(t). м/с.

Находим скорость тела:

    [v(t)=(3t+4)']

    [v(t)=3]

Ответ: 3 м/с.

Итак, таблица производных и правила дифференцирования дают возможность легко брать производные и простых, и сложных функций.

Источник

В данной публикации мы рассмотрим производные логарифмических функций, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

  • Виды логарифмов

  • Общая формула производной логарифма

  • Производная натурального логарифма

  • Примеры задач

Виды логарифмов

Прежде, чем перейти к формулам производных, напомним, что для некоторых логарифмов предусмотрены отдельные названия:

1. Десятичный логарифм (lg x)

lg x = log10x

Т.е. это логарифм числа x основанию 10.

2. Натуральный логарифм (ln x)

ln x = loge x

Т.е. это логарифм числа x по основанию e (экспонента).

Общая формула производной логарифма

Производная логарифма

Производная логарифма x по основанию a равняется числу 1, разделенному на произведение натурального логарифма a и числа x.

Производная натурального логарифма

Производная натурального логарифма

Производная от натурального логарифма числа x равняется единице, разделенной на x.

Данная формула получена следующим образом:

Производная натурального логарифма

Сокращение ln e в данном случае возможно благодаря свойству логарифма:

Свойство логарифма

Производная натурального логарифма сложной функции u = u (x):

Производная натурального логарифма сложной функции

Примеры задач

Задание 1:
Найдите производную функции y(x) = log4x.

Решение:
Используя общую формулу производной получаем:
Вычисление производной логарифма функции

Задание 2:
Вычислите производную функции y = ln x / 5.

Решение:
Применим свойство производной, согласно которой константу можно вынести за знак производной, и далее воспользуемся формулой для натурального логарифма:
Вычисление производной натурального логарифма

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти сумму неколлинеарных векторов
  • Микрофризы в пабг как исправить
  • Как найти температурный коэффициент сопротивления металла
  • Отец ариандель как найти
  • Как найти ветеранов чеченской войны